新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 因式分解综合运用》教案_5
2023七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2公式法教案(新版)沪科版
题型三：综合题
5. 已知一个二次方程 \(x^2 + (a+b)x + ab = 0\) 的两个根的和为 \(-a-b\)，两个根的积为 \(ab\)，求这个二次方程。
提示：在解题过程中，请同学们注意运用完全平方公式和平方差公式，以及灵活运用所学的因式分解技巧。
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法分解因式的基本概念。公式法是利用特定的数学公式将一个多项式分解成两个或多个多项式的乘积。它是解决因式分解问题的重要方法之一。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
四、教学资源
软硬件资源：
1. 教室内的多媒体设备，包括投影仪和计算机。
2. 学生用的计算器。
3. 白板和记号笔。
课程平台：
1. 人教版七年级数学下册教材。
2. 与教材配套的练习册和作业本。
信息化资源：
1. 教学PPT，包含本节课的主要内容和例题。
2. 在线数学题库，用于学生练习和巩固知识。
教学手段：
六、教学资源拓展
1.拓展资源：
（1）课后习题：为学生提供与本节课内容相关的课后习题，包括不同难度的题目，以便学生巩固所学知识。
（2）在线课程：推荐一些与因式分解相关的在线课程或视频，如“公式法分解因式技巧讲解”、“因式分解的实际应用”等，以便学生进一步学习和拓展知识。
（3）数学竞赛题目：提供一些与因式分解相关的数学竞赛题目，激发学生的学习兴趣和挑战精神。
沪科版数学七年级下册 第8章 整式乘法和因式分解 84 因式分解 公式法 共17张
（三）语言：两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积.这个公 式就是平方差公式.
例2：把下列各式分解因式
（1）x2 ? 14x ? 49
(2)9a 2 ? 30ab ? 25b2
a2 - b2= ( a + b)( a - b ) 4x2- 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)
如果把乘法公式反过来，就 可以用来把某些多项式分解 因式.这种分解因式的方法叫 做运用公式法.
关键词： 公式 反 某些
平方差公式
（一）公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
? (3m ? n（) m ? 3n)
解 : (2) （x ? ? 2 ?(x ? y) ?1 ?（1）2 22
?（x ? y ? 1 )2 2
解：（3） 6xy? x2 ? 9 y2 ? ?（x2 ? 6xy? 9 y2 ) ? ?［x2 ? 2 ?x?3y ? (3y)2］ ? ?（x ? 3y）2
a2 - 2 a b + b2 = ( a - b)2
（3）9 x2 ? 6 x ? 1
? (3x)2 ? 2?(3x)?1? 12 ? (3x?1)2
a 2 ? 2ab ? b2 ? ?a ? b?2
完全平方公式
（一）公式： a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2
（二）结构特点： 1、公式左边是三项式，其中首末两项都为 正，且这两项可化为两个数的平方，中间一 项可正可负，还是这两个数的乘积的2倍； 2、右边是两个数的和（或差）的平方.
沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有 分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式 或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式： 整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？ （1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构 特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数 与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解》教学设计3
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解》教学设计3一. 教材分析《因式分解》是沪科版数学七年级下册8.4节的内容，本节课主要让学生掌握因式分解的基本方法和技巧。
教材通过实例引导学生探索、发现并总结因式分解的规律，使学生能够灵活运用各种方法进行因式分解。
教材内容由浅入深，循序渐进，让学生在解决实际问题的过程中，体会因式分解的意义和价值。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了整式的乘法，对基本的代数运算有一定的了解。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和探索精神。
通过前面的学习，大部分学生能掌握简单的因式分解，但遇到一些较复杂的题目时，可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习需求，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的基本方法，能够熟练地进行因式分解。
2.过程与方法：通过探索、发现和总结，培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体验到数学的乐趣，培养学生的自信心，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的基本方法和技巧。
2.难点：如何引导学生发现并总结因式分解的规律，以及如何运用各种方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生积极思考，发现并总结因式分解的规律。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.课件：制作精美的课件，展示因式分解的实例和规律。
2.练习题：准备一定数量的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引出因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，展示因式分解的实例，引导学生观察、分析并总结因式分解的规律。
3.操练（10分钟）让学生在课堂上进行练习，运用所学的因式分解方法解决实际问题。
七年级下册8、4因式分解第1课时因式分解和提公因式法习题新版沪科版
(3)在(2)的条件下，把多项式 x3＋mx2＋12x＋n 分解因式．
解：因为 m＝－7，n＝0， 所以 x3＋mx2＋12x＋n 可化为 x3－7x2＋12x， 所以 x3－7x2＋12x＝x(x－3)(x－4)．
D．－2 或 30
12．如图，相邻两边长分别为 a，b 的长方形的周长为 16，面积
为 15，则 a2b＋ab2 的值为( B )
A．240
B．120
C．32
D．30
【点拨】根据题意知 2(a＋b)＝16，ab＝15，则 a＋b＝8. 所以 a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝15×8＝120.
13．分解因式：(2a＋b)2－2b(2a＋b)＝_(_2_a_＋__b_)(_2_a_－__b_)_.
14．分解因式：2a(x－y)－3b(y－x)＝_(_x_－__y)_(_2_a_＋__3_b_)__.
15．用提公因式法分解因式： (1)6m2n－15mn2＋30m2n2；
解：原式＝3mn(2m－5n＋10mn)． (2)－4x3＋16x2－26x；
原式＝－2x(2x2－8x＋13)． (3)2x(a－b)＋4y(b－a)．
A．－x＋y B．x－y
C．(x－y)2
Hale Waihona Puke D．以上都不对8．把(x－a)3－(a－x)2 分解因式的结果为( B )
A．(x－a)2(x－a＋1)
B．(x－a)2(x－a－1)
C．(x－a)2(x＋a)
D．(a－x)2(x＋a＋1)
9．下列变形正确的是__①__④__⑤____(填序号)． ①a－b＝－(b－a)； ②a＋b＝－(a＋b)； ③(b－a)2＝－(a－b)2； ④(a－b)2＝(b－a)2； ⑤(a－b)3＝－(b－a)3.
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解》教学设计2
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解》教学设计2一. 教材分析《因式分解》是沪科版数学七年级下册8.4节的内容，本节课主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，能够将多项式分解为几个整式的乘积形式。
教材通过例题和练习题，让学生逐步理解和掌握因式分解的方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了整式的乘法，对多项式有一定的了解。
但因式分解相对较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
在实际教学中，我发现部分学生对因式分解的概念和方法理解不深，容易混淆，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.让学生掌握因式分解的概念和方法，能够正确进行因式分解。
2.培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.培养学生的团队合作精神，提高学生的表达能力和沟通能力。
四. 教学重难点1.因式分解的方法和技巧。
2.如何在实际问题中应用因式分解。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究，合作解决问题。
通过具体的例题和练习题，让学生在实践中掌握因式分解的方法和技巧。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备因式分解的练习题，难度适中，以便进行课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对因式分解的思考。
例如：已知二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(1,2)，求该二次函数的解析式。
让学生尝试解决该问题，从而引出因式分解的概念。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和基本方法，通过PPT和相关的教学素材，让学生对因式分解有一个直观的认识。
同时，给出一些例题，让学生观察和分析，归纳出因式分解的方法和技巧。
3.操练（10分钟）让学生进行因式分解的练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
可以设置一些小组合作的活动，让学生互相讨论和交流，共同解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些巩固性的练习题，让学生进一步理解和掌握因式分解的方法。
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 公式法》课件_8
填一填
（1）
1 m2 1 mn
4 n2 1
2n
+ _9 = ( m +_3
)2
43
2(2)如果二次三项式4x2 Nhomakorabeamx+36是一个完全平方式， 则m= ±24.
分解因式
x2-6ax+9a2 =( x )2-2( x )( 3a )+( 3a )2 =( x - 3a )2
0.49x2-144y2 =( 0.7x )2-( 12y )2 =( 0.7x + 12y )( 0.7x -12y )
专题： 运用公式法分解 因式
把一个多项式化为几个整式的积的的形式叫因式分解。它与整式乘法互为 逆运算。
2、你能分解多项式 6(x-y)2-3y(y-x)吗？
答案：3（x-y)(2x-y)
提问：这道 题我们运用 了什么方法 来分解的？ 你还可以如 何变号？
3.下列多项式能用提公因式法分解吗？ （1）x2-6ax+9a2；（2）0.49x2-144y2
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
a2 b2 (a b)(a b)
利用平方差公式和完全平方公式进 行因式分解的方法叫做公式法
填空
（1）4a2=（ 2a ）2；
（2）4 b2=（
9
2 3
b
）2；
（3）0.16a4=（ 0.4a2 ）2；
（4）1.21a2b2=（ 1.1ab）2；
观察下列各式是否为完全平方式？
（1）a2-4a+4
(√)
（2）x2+4x+ 1 y2
4
（3）4a2+2ab+b2
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 公式法》教案_9
运用公式法分解因式1．理解完全平方公式和平方差公式的特点,并能用语言表述这两个公式，培养学生的语言表达能力．2．能较熟练地运用完全平方公式和平方差公式分解因式．3．会用公式法分解因式求一些特殊代数式的值，体验分解因式在数学解题中的应用．4. 经历通过整式乘法和乘法公式逆向得出分解因式的方法的过程，进一步发展学生的逆向思维、整体换元思想和推理能力．三、教学重难点1.教学重点：运用公式法（完全平方公式和平方差公式）分解因式是本节课的教学重点．2.教学难点：灵活应用公式法分解因式是本节课的教学难点．四、学情分析及教学方法1. 学情分析：因式分解是数学学习的重要工具，它是约分和通分及后续学习的预备知识，根据知识内容和课程标准将本节教学内容安排四课时。
即第一课时是提公因式法，第二课时是运用公式法，第三课时是两种方法的综合应用，第四课时是分组分解法和十字相乘法。
本节课是因式分解的第二种方法，重点关注公式的基本特点和一般形式，使学生明确本节课的学习主线。
2.教学方法：探究与讲练相结合的方法．五、设计理念课件、投影片、导学案等．六、教学过程实录及点评活动1：创设情境，设疑激思.复习：1.什么叫因式分解？它和整式乘法有何关系？2.分解因式：6(x-y)3-3y(y-x)2；试问你用的是什么方法？你能用提公因式法分解下列多项式吗？（1）x2-6ax+9a2；（2）0.49x2-144y2.[师]本节课我和大家一道来解决这个提公因式法不能分解的问题.引例：在一个边长为（n+2)cm的正方形中，截去一个边长为ncn的正方形，请问剩下的面积是多少？问题1：解题中用到什么乘法公式？之前你学过了哪些乘法公式？问题2：根据等式性质的置换性，公式又能写成什么样的形式？此时从左往右叫什么运算？即：（1）a2+2ab+b2=（a+b)2；（2）a2-2ab+b2=(a-b）2；（3）a2-b2=(a+b)(a-b).[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方；两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差. [师]今天我们就来研究用完全平方公式和平方差公式分解因式．活动2：理性思考，归纳公式.1. 填空：（1）4a 2=（ ）2；（2）49b 2=（ ）2； （3）0.16a 4=（ ）2；（4）1.21a 2b 2=（ ）2；2.下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4（2）x 2+4x+14y 2 （3）4a 2+2ab+b2 （4）a 2-ab+b2 （5）x 2-6x-9（6）a 2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．3.填空：（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.公式特点(1）分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的.（2） 让同学们自行总结平方差公式的特点，说说如何利用平方差公式分解因式.5.例题解析例1. 分解因式：（1）x 2-6ax+9a 2；（2）0.49x 2-144y 2.( 关注学生对公式模式的识别，突出多项式的变形与验算，向学生讲清算理，切不可死记硬背公式，防止盲目乱套公式)活动3：深化探究，拓展公式.例2. 分解因式：（1）(m+n)2-6(m+n)+9 （2）9（a+b ）2-(a-b)2( 学生有前面学习公式法的经验，可以让学生先前面的因式分解加以比较，然后尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．可提示学生运用整体换元思想分散解题难点) 归纳公式模型：活动4：知识应用，巩固新知.1.用因式分解解决引例中的问题.(让学生感受数学解题方法的多样性，体会优化数学解法的必要性)2.已知:2a+b=6，2a-b=5,利用因式分解计算4a 2-b 2.( 讲解时可分组完成，1,2两组用解方程组的方法，3,4两组用因式分解的方法，比一比哪组完成的既快又对.注重渗透与培养学生的整体思想，突出因式分解在数学解题中的重要性.)活动5：归纳理解，回顾现实.学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）活动6：课后作业.1.填空（1）4a 2=（ ）2；（2）49b 2=（ ）2； （3）0.16a 4=（ ）2； （4）1.21a 2b 2=（ ）2；（5）2x 2=（ ）2；（6）949x 4y 2=（ ）2． 2..下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4 （ ）（2）x 2+4x+4y 2 （ ）（3）4a 2+2ab+14b 2 （ ）（4）a 2-ab+b 2 （ ）（5）x 2-6x-9 （ ）（6）a 2+a+0.25 （ ）3.填空（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.练一练把下列多项式分解因式：（1）6a-a 2-9；（2）-8ab-16a 2-b 2；（3）-16+m 2n 2；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2七、教学反思。
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课题：浙教版（七下）第四章 因式分解复习
一、教学目标：
知识与技能：1.理解因式分解的概念，知道因式分解和整式乘法的关系。
2.掌握因式分解的基本方法，能运用合适的方法进行因式分解。
3.能灵活运用因式分解解决问题。
过程与方法：通过师生探究、合作交流，提高学生系统整理知识的能力，发展归纳总结的能 力。
情感、态度、价值观：促使学生积极参与到课堂活动中来，增强学生的好奇心，使学生的体 验到获取知识的喜悦；在探究和思考运用因式分解的过程中，要学会用数学的 眼光看待问题，养成独立思考的习惯。
二、教学重难点：
重点：因式分解的步骤和方法。
难点：因式分解的综合应用。
三、课型与教法：
复习课、合作交流、探究归纳。
四、教学准备：ppt 白板
五、教学过程：
问题引入：因式分解是本学期学习的一个重要内容，它也是学习分式运算、分式方程的基础。
试判断一下下列变形那些属于因式分解？
小结：因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
活动一、从x x y x 1016,8,4,2
2，
，中挑选几个单项式，用正负号连接成一个多项式并写出其因式分解的结果。
你能写出几种这样的多项式？
要求：先独立思考用最快的速度写出符合要求的多项式，再写出其因式分解的结果。
小结：1.因式分解的常用方法：
2.因式分解的一般步骤：
活动二、从16,8,2,,22244x y x y x 中挑选几个单项式，用正负号连接成一个多项式使其在有理数范围内可以因式分解。
要求：先独立思考用最快的速度写出符合要求的多项式，再写出其因式分解的结果。
小结：因式分解易错点。
活动三、从16,8,2,,22x y x y x 中挑选四个单项式，用正负号连接成一个多项式使其在有理数范围内可以因式分解。
要求：先独立思考用最快的速度写出符合要求的多项式，再小组讨论形成最终的结果。
2322222(1)(1)1,21(2)1
2222(),2(1)A x x x B x x x x C x y x y D x x x
-+=-++=+++=++=+
(1)(5)66n n n n ++++小结：四项以上的分解方法
挑战一、因式分解：
21.2()3()x y y x --- ---+22.(2)10(2)25.x y x y
+-++2223.()8()12;a a a a
挑战二、
1.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。
2.当8
3,21==+ab b a 时，求32232ab b a b a ++的值。
巩固练习：
1.因式分解：（A ）
(1)y x y x y x 3
234268-+-； (2) 22364a b - （3）543351881a b a b a b ++ (4)22
44x y xy --+ 2.因式分解：（B ）
（1）23()2()x x y y x --- （2）2222
(1)4(1)4x x x x +-++
（3）22244z y xy x -+-； （4）b a b a a 2322-+- 3.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。
4.已知3
12=
-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。
拓展：
1.已知c b a ,,是三角形的三边，且08484322=+--a abc c a b a ，试判断三角形形状。
2.证明:对于任意整数n,多项式
一定是6的倍数.
课堂小结：谈谈你的认识和体会。
作业布置：巩固练习与拓展
六、板书设计：
七、教学反思：。