函数的定义域
函数定义域的写法
函数定义域的写法通常包括以下几种情况：
1.整式形式：如果函数表达式是整式，那么定义域为全体实数。
例如，对于函
数y=x^2+2x+1，其定义域为全体实数。
2.分式形式：如果函数表达式是分式，那么定义域为使得分式有意义的x的取
值范围。
例如，对于函数y=1/x，其定义域为除去0以外的所有实数。
3.根式形式：如果函数表达式中含有根式，那么定义域为使得根式有意义的x
的取值范围。
例如，对于函数y=√x，其定义域为非负实数。
4.复合函数形式：如果函数表达式是两个或多个函数的复合，那么定义域为各
个函数定义域的交集。
例如，对于函数y=log(x+1)，其定义域为除去负数以外的所有实数。
此外，在特殊情况下，函数的定义域还可能受到其他条件的限制。
例如，在三角函数中，函数的定义域通常受到角度范围的限制；在反三角函数中，函数的定义域通常受到角度范围的限制等等。
归纳来说，函数的定义域需要根据具体的函数表达式和问题背景来确定。
在确定函数的定义域时，需要注意各种情况下的限制条件，以确保函数的正确性和完整性。
函数的定义域
类型二：f(x)是分式
1 y 1 | x |
类型二：
1 y 2 x x2
如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于 零的实数的集合
类型三：f（x）根式
2 x x 1
y 3- x
3 2
F（x）=
f（x） x 2x - 8
如果f(x)是 偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式 子不小于0的实数的集合. 如果f(x)是 奇次根式，那么函数的定义域根号内式子有意 义的数的集合
f 2 5 x 的定义域是 [
7 ,1) 5
总结： 已知f(x)的定义域为A，求f[g(x)]的定 义域：实质是由g(x)∈A求x的范围。 已知f[g(x)] 的定义域为A，求f(x)的定
义域：实质是由x的范围求g(x)的范围。
x 1 0 (2) x 1 x 0
1
故该函数的定义域为 {x | x 1}
x 0 1 1 x 0 (3) x 1 1 x 0
故该函数的定义域为： {x | x 1, 且x 0}.
x2 3 0 (4) 2 5 x 0
解： 由题意知:
0 x2 2
2 x 2
故 : f x 2 的定义域是 [ 2 ,
2]
类型二 :已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2. 已知f 2x 1的定义域(1,5],求f ( x)的定义域
解： 由题意知 :
1 x 5
函数的定义域指自变量的取值集 合。数学中涉及的求定义域问题一般 有两大类：一类是求初等函数的定义 域问题；一类是求抽象函数的定义域 问题。
使函数有意义的x的取值 范围
大一数学函数定义域知识点
大一数学函数定义域知识点函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种特定的输入与输出之间的关系。
函数的定义域是指所有可能的输入值集合，也就是函数可接受的自变量的取值范围。
在大一数学中，我们需要掌握一些与函数定义域相关的知识点。
本文将介绍一些常见的数学函数及其定义域的情况。
一、一次函数一次函数也称为线性函数，其定义域为全体实数集合R。
一次函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b是常数，a ≠ 0。
例如，函数f(x) = 2x + 1的定义域为全体实数。
二、二次函数二次函数的定义域也是全体实数集合R。
二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a ≠ 0。
例如，函数f(x) = x^2 - 4x + 3的定义域为全体实数。
三、指数函数指数函数的定义域是全体实数集合R。
指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a是正实数且a ≠ 1。
例如，函数f(x) = 2^x的定义域是全体实数。
四、对数函数对数函数的定义域是正实数集合R+。
对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a是正实数且a ≠ 1。
例如，函数f(x) = log2(x)的定义域是正实数。
五、三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些三角函数的定义域是全体实数集合R。
例如，函数f(x) = sin(x)的定义域为全体实数。
六、有理函数有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。
有理函数的定义域由多项式的零点和分母不为零的点组成。
例如，函数f(x) = (x + 1)/(x - 2)的定义域是除了x = 2以外的所有实数。
七、根式函数根式函数是指带有根号的函数，例如平方根函数、立方根函数等。
根式函数的定义域由根号内的表达式决定，使得根号内的表达式大于等于0。
例如，函数f(x) = √(x + 2)的定义域是x + 2大于等于0，即x大于等于-2。
以上是一些常见函数的定义域知识点，希望能帮助大家理解函数的性质和范围。
各种函数定义域
各种函数定义域
1.线性函数：定义域为实数集（即所有实数）。
2.二次函数：定义域为实数集。
3.指数函数：定义域为实数集。
4.对数函数：定义域为正实数集（即所有大于零的实数）。
5.三角函数（如正弦函数、余弦函数）：定义域为实数集。
6.分式函数：定义域为实数集，除去使分母为零的点。
7.绝对值函数：定义域为实数集。
8.平方根函数：定义域为非负实数集（包括零）。
9.常值函数：定义域为实数集。
10.指数幂函数：定义域为正实数集（即所有大于零的实数）。
11.多项式函数：定义域为实数集。
12.有理函数：定义域为实数集，除去使分母为零的点。
13.三角反函数（如反正弦函数、反余弦函数）：定义域视具体函数而定，一般为特定区间内的实数集。
函数的定义域知识点及例题解析
函数的定义域知识点及例题解析函数是数学中的一种基本概念，是一种特殊的关系，它将某个集合的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在定义函数时，我们需要确定函数的定义域，即函数的输入值所属的集合。
函数的定义域知识点1. 函数的定义域是指函数的输入值所属的集合。
2. 函数的定义域可能包含实数集、整数集、有理数集或其他特定的数集。
3. 函数的定义域在确定函数的合法输入范围时起到关键作用。
4. 当函数存在分式、根式或对数等特殊形式时，需要注意定义域中不可取的值。
例题解析例题1：已知函数 f(x) = x^2 + 5，求函数 f(x) 的定义域。
解析：函数 f(x) = x^2 + 5 的定义域是所有实数集，因为任意实数都可以作为该函数的输入值。
例题2：已知函数g(x) = √(x + 3)，求函数 g(x) 的定义域。
解析：函数g(x) = √(x + 3) 的定义域需要满足√(x + 3) 中的被开方数 x + 3 大于等于 0，即x + 3 ≥ 0。
解这个不等式得到x ≥ -3。
所以函数g(x) 的定义域为x ≥ -3。
例题3：已知函数 h(x) = 1/(2x - 4)，求函数 h(x) 的定义域。
解析：函数 h(x) = 1/(2x - 4) 中的分母 2x - 4 不可以等于 0，否则会导致分母为零的情况。
所以要排除 2x - 4 = 0 的解。
解这个方程得到 x ≠ 2。
所以函数 h(x) 的定义域为x ≠ 2。
以上是关于函数的定义域知识点及例题解析。
通过理解函数的定义域，我们可以更好地掌握函数的性质和特点，从而更好地解决与函数相关的数学问题。
函数的定义域
函数的定义域函数y=f(x)中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域。
求函数的定义域一般有3类问题（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下：①分式的分母不等于0；②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；④指数为0时，底数不等于0⑤三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。
2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x)]的定义域为x ∈（a,b ）求f(x)的定义域，方法是：利用a<x<b 求得g(x)的值域，则g(x)的值域即是f(x)的定义域。
②已知f(x)的定义域为x ∈（a,b ）求f[g(x)]的定义域,方法是：由a<g(x)<b 求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。
如，周长为定值a 的扇形，它的面积S 是它的半径R 的函数，则函数的定义域是（ ）A ．（2a ，a ）B ．（a ，2a ）C ．（)1(2π+a ，2a ） D ．（0，)1(2π+a ） 【例1】求下列函数的定义域（1）21x y += （2）lg cos y x =(3)y=lg(a x -kb x ) (a,b>0且a,b≠1，k ∈R)[解析] （1）依题有1021021032403241x x x x ≠+>⎪⎪+≠⎨⎪->⎪⎪-≠⎩ 4112052log 31x x x x x ≠±⎧⎪⎪>-⎪⎪⇒≠⎨⎪⎪<⎪⎪≠⎩ ∴函数的定义域为415{|0,1,log 31}22x x x -<<≠且 (2)依题意有2250cos 0x x ⎧-≥⎨>⎩ 5522()22x k x k k z ππππ-≤≤⎧⎪⇒⎨-<<+∈⎪⎩∴函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222ππππ--⋃-⋃ （3）要使函数有意义，则a x -kb x >0，即x a k b ⎛⎫> ⎪⎝⎭①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则log a b x k > 定义域为{x|log a bx k >}(Ⅱ)若0<a<b ，则log a b x k <， 定义域为{x|log a bx k <}(Ⅲ)若a=b>0，则当0<k<1时定义域为R ；当k≥1时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x 的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组)。
函数定义域总结
函数定义域总结
函数定义域是指函数的能够接受哪些特定输入值的集合。
在函数中，
定义域可以是一个单独的值，也可以是一个区间，或者一个多个值的集合。
单独值表示只能输入一个特定值，而区间则表示能输入一定范围内的值，如[1,10]表示只能输入从1到10的值，范围可以是开区间、闭区间、半开半闭区间等。
多个值的集合表示可以输入哪些特定值，如{1,2,3}表
示只能输入1，2，3这三个数据。
同时，也有可以接受所有可能值的定义域，用通用的∀表示，这表示
该函数的定义域是所有的实数，或其他类型的变量。
定义域跟函数图像有关，它规定了函数值的取值范围。
对于定义域为[a,b]的函数，其函数图像会以位于a和b之间的点为轴，以[a,b]为定义域，以[a,b]为值域，绘制出一个完整的函数曲线。
另外，定义域的取值类型也会影响函数的表示方式，如定义域是整数，函数可以用函数表或部分导函数表示，如果定义域是实数，函数可以用函
数图像表示。
总之，函数定义域是指函数能够接受哪些特定输入值的集合，它影响
函数的表示方式，也决定了函数图像的形状。
函数的定义域及常见求解方法
例3：已知 y f 2x 1 的定义域为 1, 2
，求 y f x 的定义域。
练习：
⑴已知 y f x 的定义域为 1, 2
，求 f x2 2 的定义域；
⑵已知 y f x 的定义域为 , 0
，求
f
log
2
x2
2
的定义域；
⑶已知 y f x2 2x 3 的定义域为
（Ⅰ）已知 y 求 Leabharlann f g xf x的定义域
的定义域 D2
。D1
，
解法：解不等式 g x D1
例2：已知 y f x 的定义域 D1 1, 2
。
，求 y f x2 2 的定义域D2
（Ⅱ）已知 y f g x 的定义
域 D1，求 y f x的定义域 D2。
解法：令 u g x, x D1，求函数
第一讲---函数及其定义域
一、函数的概念：
1、函数的定义：（见课本） 2、函数的对应类型：一对一、多对一 3、函数的三要素：定义域、值域及对应法则
4、 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法 5、函数的运算：合成即四则运算与复合运算 6、函数的相等与不等
二、函数的定义域及常见求解方法
（一）、函数的定义域：
（１）分式的分母不能为0； （2）偶次方 根 内部必需非负 即大于等于零。
（３）对数的真数为正； （4）对数的底 数大于0且不为1；
（5x）0 中x， 0 。
例1：求下列各函数的定义域
1 y x2 2x 2 y x2 2x 3 0 x3
例1:
3 y 5 x2 lg x 1
x2
y f x的定义域指的是自变量 x的
作取用值的范对围象，的实取质值上范是围指。被故法要则用f 集直合接表
数学中的函数定义域与值域
数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。
4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。
二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。
4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。
三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。
2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。
3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。
四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。
2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。
3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。
4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。
5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。
五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。
2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。
3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。
4.对于对数函数，值域为实数集R。
5.对于分式函数，值域为非零实数集。
6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。
六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。
2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。
3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。
4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
函数定义域的标准写法
函数定义域的标准写法函数定义域是指函数的自变量（输入变量）的取值范围。
在数学中，我们经常需要明确地定义函数的定义域，以确保函数在这个范围内有良好的定义和运算。
本文将介绍函数定义域的标准写法，以及一些常见的函数定义域的示例。
一、函数定义域的概念函数定义域是指函数中自变量的取值范围，通常用数学符号表示。
在函数的定义中，需要明确指定函数的定义域，以避免出现定义域之外的输入，导致函数无法进行运算或产生无意义的结果。
二、常见的函数定义域标准写法1. 实数定义域对于大多数函数而言，函数的定义域通常是整个实数集(-∞, +∞)。
这表示函数在实数范围内任意取值，没有限制条件。
例如，函数 f(x) = x^2 的定义域为 (-∞, +∞)。
在这个定义域内，任何实数都可以作为函数 f(x) 的输入。
2. 有限实数定义域在某些情况下，函数的定义域可能有限制，只能在某个区间内取值。
这时，我们可以使用区间表示法来明确函数的定义域。
例如，函数g(x) = √(x-3) 在实数范围内并不能取得所有的实数值。
我们可以将其定义域表示为[3, +∞)。
这表示函数 g(x) 的输入必须大于等于3。
3. 整数定义域对于某些函数，其定义域可能只能是整数集合。
这时，我们可以使用整数集合的符号 Z 来表示函数的定义域。
例如，函数 h(x) = 2x 在整数范围内有定义。
我们可以将其定义域表示为 Z，即整数集合。
三、函数定义域的示例1. 有理函数的定义域有理函数是指多项式函数之间的比例或其反函数。
例如，函数 f(x) = (x+1)/(x-2) 是一个有理函数。
为了确保有理函数有良好的定义和运算，我们需要排除函数分母为零的情况。
因此，函数 f(x) 的定义域为实数集合中除去 x=2 的所有实数。
2. 根式函数的定义域根式函数是指包含根号的函数，例如函数g(x) = √(x+1)。
在根式函数中，根号内的数必须大于等于零，否则函数无意义。
因此，函数 g(x) 的定义域为x+1≥0，即x ≥ -1。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。
求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。
以下是常见的求解函数定义域的8种方法：方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。
如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。
例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。
所以定义域是R- {1}。
方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。
如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。
例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。
方法三：检查函数表达式中的对数。
对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。
对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。
例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。
所以定义域是(0, +∞)。
方法四：检查函数表达式中的三角函数。
注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。
所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。
例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。
方法五：检查函数表达式中的指数。
有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。
例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。
方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。
例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。
所以定义域是[-1, 1]。
方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。
例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。
函数的定义域、值域及解析式
§2.2 函数的定义域、值域及解析式知识点： 1． 函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R .④y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . ⑤y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .⑥函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 2． 函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}．④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R . 3． 函数解析式的求法(1)换元法；(2)待定系数法；(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式． [难点]1． 函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．2． (1)如果函数f (x )的定义域为A ，则f (g (x ))的定义域是使函数g (x )∈A 的x 的取值范围．(2)如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域． (3)f [g (x )]与f [h (x )]联系的纽带是g (x )与h (x )的值域相同． 自测：1． (2012·山东改编)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为____________．答案 (－1,0)∪(0,2] 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0得－1<x ≤2，且x ≠0.2． 设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )＝________.答案 2x ＋7解析 由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.3． 若f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则可写出满足条件的一个函数解析式f (x )＝2x .类比可以得到：若定义在R 上的函数g (x )，满足(1)g (x 1＋x 2)＝g (x 1)g (x 2)；(2)g (1)＝3；(3)∀x 1<x 2，g (x 1)<g (x 2)，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为__________． 答案 g (x )＝3x解析 由①知g (x )应该是指数函数模型，结合②③知g (x )＝3x .抽象离不开具体，对于一些常见的恒等式，其对应的函数模型应该熟悉．如：一、指数函数模型，对应的性质为：f (m ＋n )＝f (m )·f (n )或f (m －n )＝f (m )f (n )；二、对数函数型，对应的性质为：f (mn )＝f (m )＋f (n )或f (mn )＝f (m )－f (n )；三、正比例函数模型，对应的性质为：f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；四、余弦函数型，对应的性质为：f (m ＋n )＋f (m －n )＝2f (m )f (n )． 4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为___________________．答案 (0，＋∞)解析 由3x >0知3x ＋1>1.又f (x )在(0，＋∞)为增函数且f (1)＝0， ∴f (x )＝log 2(3x ＋1)>0.5． 已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋x21－x 2，则f (x )＝__________.答案 x 2＋1x 2－1(x ≠0)解析 令1x ＝t ，则x ＝1t 且t ≠0，∴f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t 21－⎝⎛⎭⎫1t 2＝t 2＋1t 2－1，即f (x )＝x 2＋1x 2－1(x ≠0).题型一 求函数的定义域 例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是____________．思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置． 答案 (1)(－1,1) (2)[0,1)解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.(2)依已知有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解之得0≤x <1，定义域为[0,1)．探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．(1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，34解析 f (x )的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件．②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0， 即m (4m －3)<0，∴0<m <34.综上所述，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________． 答案 [1,3]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]． 题型二 求函数的值域 例2 求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.思维启迪：根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法或单调性法；(4)基本不等式法． 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15， 即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (3)方法一 (换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(4)(基本不等式法)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}． 当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x－1≥2log 3x ·1log 3x－1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是 y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎡⎦⎤(－log 3x )＋⎝⎛⎭⎫1－log 3x －1 ≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－xx 2－x ＋1； (2)y ＝2x －1－13－4x .解 (1)方法一 (配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. 方法二 (判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， 解得－13≤y ≤1.综上得－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2)方法一 (换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 方法二 (单调性法) 函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112， 故原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 题型三 求函数的解析式例3 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．探究提高 函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)消去法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式． 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.函数问题首先要考虑定义域典例：(14分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．审题视角 (1)f (x )的定义域；(2)y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域与f (x )的定义域不同；(3)如何求y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域．规范解答解∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，[4分]∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3.[8分]∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，∴y max＝(1＋3)2－3＝13，y min＝(0＋3)2－3＝6.[12分]∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]．[14分]温馨提醒(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识．(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大．(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.方法与技巧1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义．2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．3．函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．失误与防范1．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题中的最值的求法．2．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分) 1． 若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，0 解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121，∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0.2． (2012·福建改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________． 答案 0解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.3． 已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.答案 6解析 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.4． 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为____________． 答案 f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)解析 令t ＝1－x 1＋x (t ≠－1)，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t1＋t 2，从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)． 5． 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.6． 若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由－1≤log 2x ≤1得log 212≤log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上递增，得12≤x ≤2.7． 若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是__________．答案 [－5，－1]解析 ∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1. 二、解答题(共27分)8． (13分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N . 解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1－2x －1≥0＝{x |x ≥3或x <1}；(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝{x |x <1或x >32}．9． (14分)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . (2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2) ＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18. ∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. B 组 专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1． (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析 要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0. 解得0<x ≤ 6.2． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是____________．答案 [0，＋∞)解析 f (x )的图象如图．g (x )是二次函数，且f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，∴g (x )的值域是[0，＋∞)．3． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2，若f (x )的值域为R ，则常数a 的取 值范围是______________．答案 a ≥2或a ≤－1解析 易知两段函数都是增函数，当x >2时，y >4＋a ；当x ≤2时，y ≤2＋a 2，要使f (x )的值域为R ，则4＋a ≤2＋a 2，解得a ≥2或a ≤－1.4． 已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. 答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.5． 设函数g (x )＝x 2－2 (x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )＋x ＋4，x <g (x )g (x )－x ， x ≥g (x )， 则f (x )的值域是________________．答案 ⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析 由x <g (x )可得x <－1或x >2，由x ≥g (x )可得－1≤x ≤2；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2， x <－1或x >2，x 2－x －2， －1≤x ≤2. 由f (x )的图象可得：当x <－1或x >2时，f (x )>f (－1)＝2，当－1≤x ≤2时，f ⎝⎛⎭⎫12≤f (x )≤f (2)，即－94≤f (x )≤0，∴f (x )值域为⎣⎡⎭⎫－94，0∪(2，＋∞)． 6． 设x ≥2，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． 答案 283解析 y ＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5，在 区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283. 二、解答题(共28分)7． (14分)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6 (a ∈R )．(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0.∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0， ∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)．即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4. 8． (14分)已知定义在[0,6]上的连续函数f (x )，在[0,3]上为正比例函数，在[3,6]上为二次函数，并且当x ∈[3,6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．解 由题意，当x ∈[3,6]时，可设f (x )＝a (x －5)2＋3 (a <0)．∵f (6)＝2，∴a (6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴f (x )＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22.当x ∈[0,3]时，设f (x )＝kx (k ≠0)．∵x ＝3时，f (x )＝－(3－5)2＋3＝－1，∴－1＝3k ，k ＝－13，∴f (x )＝－13x . 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x (0≤x <3)，－x 2＋10x －22 (3≤x ≤6).。
定义域的表示方法
定义域的表示方法在数学中，定义域是指函数所能接受的输入值的范围。
它是函数的一个重要属性，对于理解和分析函数的性质具有重要意义。
定义域的表示方法有多种，下面我们将逐一介绍这些表示方法。
1. 数学符号表示。
定义域可以用数学符号来表示，通常使用集合符号{}来表示。
例如，对于函数f(x) = √x，其定义域可以表示为{x | x ≥ 0}，其中“|”表示“使得”，“x ≥ 0”表示x的取值范围。
2. 区间表示。
在实数范围内，定义域可以用区间来表示。
常见的区间表示包括开区间、闭区间、半开半闭区间等。
例如，对于函数g(x) = 1/x，其定义域可以表示为(-∞, 0) ∪(0, +∞)，即x不等于0时函数有定义。
3. 不等式表示。
定义域也可以用不等式来表示。
通过对函数进行分析，可以得到定义域的不等式表示。
例如，对于函数h(x) = 1/(x-2)，其定义域可以表示为x ≠ 2，即x的取值范围不包括2。
4. 图像表示。
对于一些简单的函数，可以通过绘制函数的图像来表示其定义域。
通过观察函数的图像，可以直观地看出函数的定义域。
例如，对于函数y = √x，其图像在x 轴右侧的部分为其定义域。
5. 文字描述。
有时候，定义域也可以通过文字来描述。
例如，对于一个复杂的函数，可以通过文字描述函数的定义域，指出哪些值可以作为函数的输入。
总结。
定义域的表示方法有多种，可以通过数学符号、区间、不等式、图像和文字来表示。
在实际应用中，可以根据具体的函数形式和要求选择合适的表示方法。
对于复杂的函数，有时候需要结合多种表示方法来确定函数的定义域。
通过准确地表示函数的定义域，可以更好地理解和分析函数的性质，为数学建模和问题求解提供重要的帮助。
函数的定义域
函数的定义域1、 函数的定义域是指能使函数式有意义的实数x 的集合，它是函数不可缺少的组成部分。
2、 确定函数定义域的原则：①、当函数)(x f y =用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合。
②、当函数)(x f y =用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合。
③、当函数)(x f y =用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合。
④、当函数)(x f y =用实际问题给出时，函数的定义域是由实际问题的意义确定。
3、 确定函数定义域的依据①、若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②、若)(x f 是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x 取值的集合 ③、若)(x f 是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x 取值的集合④、若)(x f 是零指数幂或负指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合 ⑤、若)(x f 是对数式时，定义域是使真数大于0同时底数为大于0且不等于1的正数x 的取值的集合4、 复合函数的定义域的求法已知函数),(),(d c x x f y ∈=及函数),(),(b a x x g y ∈=，则我们把函数)]([x g f y =，),(b a x ∈叫做复合函数。
①、若已知函数)]([x g f 的定义域为),(b a x ∈，求)(x f 的定义域，其方法是：利用b x a << 求得)(x g 的范围，此即)(x f 的定义域。
②、若已知)(x f 的定义域为),(b a x ∈，求)]([x g f 的定义域，其方法是：利用b x g a <<)(， 求得x 的范围，此即为)]([x g f 的定义域。
5、 例题精讲1、 求下列函数的定义域；① 1212-+-=x x y ； ② 02)45()34lg(-++=x x x y ；③ x x x y +-=)1( ④ )1(log 221-=x y⑤ )11lg(x y -= ⑥ 2322---=x x xy⑦ xx x y 12132+--+= ⑧ )1(log 122---=x x y 注意：求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借肋数轴，并且要注意端点值或边界值。
函数考点：函数的定义域和值域
第一章 函数一、考点：函数的定义域和值域定义：x 的取值范围叫做函数的定义域；y 的值的集合叫做函数的值域，求定义域：1. c bx ax y bkx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R2. x k y =分式形式的定义域：x ≠0 3. x y = 根式的形式定义域：x ≥04. x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0解析：考试时一般会求结合两种形式的定义域，分开最后求交集（公共部分）二、考点：函数的单调性在)(x f y =定义在某区间上任取1x ，2x ，且1x <2x ，相应得出)(1x f ，)(2x f 如果：1、)(1x f <)(2x f ，则函数)(x f y =在此区间上是单调增加函数，或增函数，此区间叫做函数的单调递增区间。
随着x 的增加，y 值增加，为增函数。
2、)(1x f >)(2x f ，则函数)(x f y =在此区间上是单调减少函数，或减函数，此区间叫做函数的单调递减区间。
随着x 的增加，y 值减少，为减函数。
解析：分别在其定义区间上任取两个值，代入，如果得到的y 值增加了，为增函数；相反为减函数。
三、考点：函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，有-x ∈D 且：1、)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数，奇函数的图像关于原点对称2、)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数，偶函数的图像关于y 轴对称解析：判断时先令x x -=，如果得出的y 值是原函数，则是偶函数；如果得出的y 值是原函数的相反数，则是奇函数；否则就是非奇非偶函数。
四、考点：一次函数定义：函数b kx y +=叫做一次函数，其中k ，b 为常数，且0≠k 。
当b=0是，kx y =为正比例函数，图像经过原点。
当k>0时，图像主要经过一三象限；当k<0时，图像主要经过二四象限五、考点：二次函数定义：c bx ax y ++=2为二次函数，其中a ，b ，c 为常数，且0≠a ，当a>0时，其性质如下：1、 定义域：二次函数的定义域为R2、 图像：顶点坐标为（a b ac a b 44,22--），对称轴ab x 2-=，图像为开口向上的抛物线，如果a<0，为开口向下的抛物线3、 单调性：（-∞，a b 2-]单调递减，[ab 2-，+∞)单调递增;当a<0时相反. 4、 最大值、最小值：a b ac y 442-=为最小值;当a<0时ab ac y 442-=取最大值5、 韦达定理:ac x x a b x x =⋅-=+2121, 六、考点：反比例函数定义: x k y =叫做反比例函数 1、 定义域：0≠x2、 是奇函数3、 当k>0时，函数在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是减函数当k<0时，函数在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是增函数七、考点：指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数1、 定义域：指数函数的定义域为R2、 性质：● a a a ==10,1 0>x a 3、 图像：经过点（0,1），当a>1时，函数单调递增，曲线左方与x 轴无限靠近；当0<a<1时，函数单调递减，曲线右方可与x 轴无限靠近。
函数的定义域
1 1 1 1 x
S2.2 函数的定义域 5.含参数的函数定义域常常受参 数变化范围的制约。
(1) f(x) ax 3
S2.2 函数的定义域 6.f(x)是由实际问题列出的，函 数的定义域是使解析式本身有 意义且符合实际意义的集合。
例1：一个矩形的宽为X m，长是宽 2 的2倍，其面积是： y 2x 此函数的定义域是 X 〉0， 而不是全体实数。
解： ∵f(x)的定义域为（0，1）
∴要使 f(x )有意义，须使0﹤x ﹤1,
2 2
即
-1﹤x ﹤0 或 0﹤x ﹤1
2
∴函数f(x )的定义域为
{x| -1﹤x ﹤0 或 0﹤x ﹤1}
（2）已知函数f(2x+1)的定义域为（0，1） 求f(x)的定义域。
解： ∵f(2x+1)的定义域为（0，1） 即其中的函数自变量x的取值范围是0﹤x ﹤1 令t=2x+1, ∴ 1﹤t ﹤3 ∴函数f(t)的定义域为{t| 1﹤t ﹤3} ∴函数f(x)的定义域为{x| 1﹤x ﹤3}
（3）已知函数f(x+1)的定义域为[-2，3山灰洁肤粉球 /2084997537
崤冚莒
S2.2 函数的定义域
作业：
课本P52习题2.1 第5题 ：（2）（4） 第6题 ：（2）（4）（6）
3
(3) f (x) x 3x 2 1
2
S2.2 函数的定义域 4. f(x)是由几个部
分的数学式子构成 的，函数的定义域 是使各部分式子都 有意义的实数的集 合。
1 (1) f (x) x 1 2x
1 (2) f(x) 4 x | x | 3
2
(3)
函数的定义域
课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
f (x) 1 x | x |
(,0)
(,1) (1,0) (0,)
（2）
1 1 x （4） 4 x2 f (x) x 1
f (x)
1
2,1 1,2
[-3,1]
（5） f (x) 1 x x 3 1
x 2 5x 6 的定义域是: {x x 3或x 2} x2
f ( x)
练习 1、函数f ( x)
( x 1) 0 x x
的定义域为 ( C)
x | x 0 A、
B、 {x | x 1} D、 {x | x 0}
C、 {x | x 0, 且x 1}
格吗?”钟先生说话间,双掌拍击而出,黑色の波纹剧烈动荡,死亡の气息顿事铺甜盖地.钟先生掌握の是死亡法则,虽然仅仅只是分身,可对法则の运用,也不是壹般虚申能够相比の.“轰隆！”“嗤嗤……”彩色剑光,与黑色波纹纠缠,双方撕扯.空间屏障,如同纸糊の壹般,被撕裂开硕大の口 子.“鞠言小子,你の表现还真让老夫很意外啊！看来那个老家伙,还真找到了壹个不错の传承者.能够杀死呐样壹个传承者,啧啧,真让俺都有些兴奋啊！”钟先生全身黑雾迷们,阴气森森の声音,在整个空间内响彻.“给老夫死来！”钟先生手掌之中,壹双黑色手套闪烁着寒光.看起来,那应当 也是壹件申器.钟先生,动用了申器.方才他两掌拍击而出,并未对鞠言造成威胁,呐让他明白,鞠言有与他壹战の实历.“噗！”使用申器の钟先生,攻击历急速提升.只见,壹条黑龙浮现而出,跨越半个甜际,向着鞠言扑杀过去.“圣光剑法！”鞠言不敢大意.“剑意申通！”彩霞剑接连斩出.彩 色の剑身上,霞光万丈.能够看到,近乎黑色の甜幕,被彩色剑光冲散了许多.与剑光接触の地方,死亡法则快速消融.但是,半
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§ 1.3函数的定义域
(7) 实际问题(应用题)
、基本知识： 1.定义：自变量x 的取值范围叫做函数的定义域。
2 •函数定义域的求法：
(1) 含有分式的：分母不等于
例1.求函数y
1 的定义域。
- ：：，.-1 一 -1,0 一 0,：： (2) 含有偶次根式的:
=1丄
x
被开方式大于等于
器(x 2
3X 4
|x+l|_2
(3) (4)
(5) (6)
含有对数式的: 例11.已知扇形的周长为 20cm ,①试用扇形半径 x 表示其面积f (x);②求此函数的
定义域，并作出图
象。
f (x) - -x 2
数求解
例12.如图，圆锥型量杯口径为 2R ,高为 x 的函数关系。
r
略解：设液面半径为 r ，则一口
R
= P2x 2 — 1 + (x+10 的定义
域。
真数大于
0,底数大于0且不等于1
y = lg x lg(5_x)的定义域。
[1,-5)
抽象函数的定义域:
例8.
已知 已知 已知 f (x)的定义域为［0 , f (x 1)的定义域为
f (x)的定义域为［a , 定义域。
a, -a 1
已知f (x)的定义域为［0 , 复合函数的定义域:
例9.求函数y 二 三角函数的定义域:
27 -
1］,求f(x 2)的定义域。
［-1 ,
［-2 ,3)，求f (丄2)的定义域。
x
1]
一 1 1 .
QO —— |<J —
+ 迂 |
,
3
2,
b],且 b -a 0，求函数 g(x)二 f (x) - f (-X )的 1］,求 g(x ，a)，g(x-a)的定义域。
lg 1 lx 2 -3x 40 j
I 2
的定义
域。
[一3,-2) - (5,6]
10 ■,
10x,」° ::: x ：：： 10,图略;也可使用导 ■■亠1
h ,求量杯母线上刻度 V (容积)与液面深
三、练习配备：
求下列函数的定义域:
Rx 2 x 二 3ih 丿
(1) y - .一 2x 1 Tg X 2 - 2x - 3
二 R 2x 3 3h
2
,0*h
3,
(2)若 f (x) = x 1,g(x)二、、x, ：(x) =e x ，则函数g^j 〔f (x )b 的定义域。
［0.
^2 _ 2 i ______
例10.求函数y 二—x ―— - - sinx 的定义域。
lg(2x —1)
1
(2 ,1) - (1,2]。