泛函分析——武大精品课4-2

2
（闭凸 集）的最佳 逼近 元。不 仅如 此，在 Hilbert 空间上 我们还 可以 定 量地计 算出 一点到 最佳 逼近元 的距 离。 例 1 设 H 是 Hilbert 空间， E ⊂ H 是线 性子空 间， dim E = n ,
n i =1
e1 ,
, en 是 E 的一组 规范正 交基 ，则 ∀x ∈ H ， PE x = ∑ ( x, ei )ei 并且
P 是从 H 到 E 上的 投影算 子 .
当 x1 = 0 , 即 Px = 0 或 x ∈ N ( P ) . 从而 E
⊥
由 定 理 2, ∀x ∈ H , x = x1 + x 2 , 其 中 x1 ∈ E , x 2 ⊥ E . 即
= N ( P) .
思考题
若
H 是内积空间， M , N ⊂ H .
（ 1） 若 （ 2） 若 （ 3）
→ ρ ( y, E ) = d ，由于
xm − xn
2
= ( x − xn ) − ( x − xm )
＝ 2( x − xn
2
2
+ x − xm
2
x +x ) －4 x − n m 2
2
2
≤ 2( y − x n
2
+ y − xm ) － 4 d 2 → 0 ,
{x n } 是 Cauchy 序列。 不妨 设 x n → x0 ， E 闭，所 以 x0 ∈ E . 现在
称 E 是 P 的投影 子空间 .
3
证明 则
1 设 x = x1 + x 2 , y = y1 + y 2 , 其 中 x1 , y1 ∈ E , x2 , y2 ⊥ E ,
αx + βy = (αx1 + βy1 ) + (αx2 + βy 2 ),
其中 αx1 + βy1 ∈ E , 而 ∀z ∈ E , ( x 2 , z ) = 0, ( y 2 , z ) = 0, 故
2 2 i =1
∞
(4-2-4)
实 际 上 ， 令 x1 =
n
∑ ( x, e ) e
i =1 i
n
i
， x 2 = x − x1 ， 则 x1 ∈ E , ∀z ∈ E ，
z = ∑ ( z , ei )ei , 实际计 算 得到
i =1
( x2 , z ) = ( x − x1 , z ) = ( x, z ) − ( x1 , z ) = 0
λ = 0 的最小 性即 （ 4-2-1 ） .
1
(3) ⇒ (1)
∀z ∈ E ，取 λ 为实 变量， 则
f (λ ) − f (0)
λ →0
f ′(0) = lim
λ
λ →0
= lim
λ →0
x − x1 + λ z − x − x1
2
2
λ
2
= lim ( x − x1 , z ) + ( z , x − x1 ) + λ z = 2 Re ( x − x1 , z ) .
E ⊥ = {x ∈ H , x ⊥ E} , 则
(1)
E ⊥ 是 H 的闭 线性子 空间 .
⊥⊥
(2) 若 E 是闭 的 , 则 E
= E.
⊥
(3) 若 E 是闭 的 , 则 H = E ⊕ E , 即
H = E + E ⊥ , E ∩ E ⊥ = {0}.
⊥
(4-2-5)
(4) 若 E 是闭 的 , P : H → E 是投影 算子 , 则 E = N ( P ) . 通 常 称 E 是 E 的 正 交 补 空 间 . 由 于 (4-2-5), 称 H 是 E 与 E 的
(α x2 + β y2 , z ) = α ( x2 , z ) + β ( y2 , z ) = 0.
所以
αx2 + βy 2 ⊥ E , 于是
P(αx + βy ) = αx1 + βy1 = αPx + βPy.
P 是线性 的 .
2
而
∀x ∈ H , 若 x = x1 + x2 是 正 交 分 解 , 则 x = x1 + x 2
是 E 的规范正交基, 证明类似的结论成
设 H 是 Hilbert 空间 , E ⊂ H 是 闭线性 子空 间 , 记从 H
到 E 的投 影算 子是 P, 则 (1) (2) (3)
P : H → E 是线性 算子 .
P ≤ 1. 若 E = {0} , 则 P = 0; 若 E ≠ {0}, 则 P = 1. E = R ( P ) = N ( I − P ), N ( P ) = R ( I − P ).
= ( x1 + x 2 , y1 ) = ( x, Py ) .
P 自伴 .
(2) ⇒ (3). 若 x ∈ N ( P), 则 Px = 0, 若 y ∈ R( P) 则 ∃x1 ∈ H , y = Px1 . 于是
( x, y ) = ( x, Px1 ) = ( Px, x1 ) =0
即 N ( P) ⊥ R( P) . (3) ⇒ (1). 令 E = N ( I − P) , E 是 H 的 闭 线 性 子 空 间 , 现 在 验 证
⊥ ⊥
4
直和 . 换句 话说 , (3) 表明 Hilbert 空间的 每 个闭子 空间 存在正 交补 空 间. 证明
1
若 x, y ∈ E , 则 ∀z ∈ E , x ⊥ z , y ⊥ z , 从而
⊥
(αx + βy, z ) = α ( x, z ) + β ( y, z ) =0,
故 αx + βy ∈ E , E 是线 性 子空间 .
故 x 2 = 0 , x = x1 ∈ E , 即 E
⊥⊥
⊂ E . 最后 E = E ⊥⊥ .
3
x 2 ∈ E ⊥ 从而 H = E + E ⊥ . 另一 方面 E ∩ E ⊥ = {0}. 故 H = E ⊕ E ⊥ .
4 ∀x ∈ H , x = x1 + x 2 其中 x1 ∈ E , x 2 ⊥ E . 故 x ∈ E ⊥ 当且仅
x − x0 = lim x − xn = d = inf x − z ，
n →∞
z∈E
由定理 1 ， PE x ＝ x0 。 由于 Hilbert 空间是严 格凸的 ， x0 是唯一的 最佳 逼近元 。 其实为 了得 到最佳 逼近 元，定 理 2 中的集 合 E 可以是任 一闭 凸子 集， x0 的存在 唯一性 结论 及其证 明都 不改变 。定 理 2 和定理 1 还说明 空间一 点到 闭子空 间（ 闭凸集 ）的 投影， 恰恰 是这一 点关 于闭子 空 间
M ⊥ N ，则 M ⊂ N ⊥ ， N ⊂ M ⊥ . M ⊂ N ，则 M ⊥ ⊃ N ⊥ .
M ⊥ = (M ) ⊥ .
(1) 称线 性算 子 T : X → X 是幂 等的 , 若 T
2
定义 2
=T .
(2) 设 H 是内 积空间 , 称 T ∈ B ( H ) 是自伴 算子 , 若
(Tx, y ) = ( x, Ty ) , ∀x, y ∈ H .
定理 4
(4-2-6)
设 H 是 Hilbert 空间 , P ∈ B ( H ) , 则下列 诸条 件等价 :
5
(1) P 是投 影 算子 . (2) P = P 并且 P 是 自伴的 .
2 2
(3) P = P 并且 N ( P) ⊥ R ( P) . (4) 若 H 是复 空间 , 以上 条件还 等价 于
( Px, x) = Px , ∀x ∈ H .
证明
2
(4-2-7)
(1) ⇒ (2). 首 先 设 P 是 从 H 到 闭 线 性 子 空 间 E 上 的 投 影
2 2
算 子 , ∀x ∈ H , Px ∈ E , 故 P x = P( Px) = Px . 于 是 P = P . 其 次 ,
∀x, y ∈ H , x = x1 + x 2 , y = y1 + y 2 , x1 , y1 ∈ E , x 2 , y 2 ⊥ E , 则 ( Px, y ) = ( x1 , y1 + y 2 ) = ( x1 , y1 )
⊥⊥ ⊥
⊥
知道 E ⊂ E
⊥⊥
. 另一方 面 , 若
⊥
x∈E
, 则 x ⊥ E . 若 x = x1 + x 2 , x1 ∈ E , x 2 ⊥ E , 则 x 2 ∈ E ,
从
而 ( x, x 2 ) = 0 . 于是
( x 2 , x 2 ) = ( x1 + x 2 , x 2 ) = ( x, x 2 ) = 0 ,
由 于 y ∈ R( P) 当 且 仅 当 y = x1 + x 2 时 x 2 = 0 , 此 即
y − Py = 0 从而 y ∈ N ( I − P) , 反过 来也一 样 , 另一式 子可 同样证 明 .
定理 3 设 H 是 Hilbert 空 间 , E ⊂ H 是 线 性 子 空 间 , 记
2
2
2
. 从
Px = x1
2
2
≤ x , Px ≤ x , P ≤ 1.
2
若 E = {0} , 则 ∀x ∈ H , Px = 0 , 故 P = 0 . 若 E ≠ {0} , 则 有 x1 ∈ E , x1 = 1 使 得 Px1 = x1 ,
P ≥ Px1 =
x1 =1, 从而 P =1.