高一数学暑假作业--14

高一数学暑假作业（14）一、 选择题：（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.（易）若2∈{1，a ，a 2-a }，则a =(A) -1(B) 0(C) 2(D) 2或-12.（易）已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)3.（易）已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a = (A) 12-(B) 23-(D)524.（易） 如图所示，已知2AB BC = ，OA a = ，OB b = ，OC c =，则下列等式中成立的是2c b a =-(C) 2c a b =- (D) 3122c a b =-5.（易）已知函数2()log f x x =，若()1f x ≥，则实数x 的取值范围是（ ）A ． 1(,]2-∞ B ． [2,)+∞D ． 1(,][2,)2-∞+∞ 6.（中）已知x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x线性相关，且回归方程为 0.95y x a =+，则a =OO O O x x xx yyyy1 11 11111OxyO π2π1-1(A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 07.（中）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(B) sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+8.（难）用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是(A) (0,3) (B) (0,3] (C) (0,4) (D) [0,4]9.（难）已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 (A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞二、填空题：（将答案填写在题中横线上）10.（易）函数2cos sin y x x x =-的最小正周期为 ，最大值 为 ．11.（易）已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元． 15 12.（易）如果执行右面的程序框图，那么输出的a =___13.（易）已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角为︒90，则实数k 的值为 。

2- 14.（易）一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P ，点P 恰好落在正三角形外的概率是 . 15.（中）已知{(,)6,0,0},x y x y x y Ω=+≤≥≥{(,)4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥。

若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率是 。

16.（中）如右图，在倾斜角150(∠CAD=150)的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（BC ），在A 处测得塔顶B 的仰角为450（∠BAD=450），则塔顶到水平面的距离（BD ）约为 米（保留一位小数，如需1.7 ) 40.517.（难）对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2，４”，“２，3”，其“顺序数”等于２． 若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是４，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ． ６18.（难）在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积。

若数列{}n a 是等积数列，且62a =，公积为6，则159********a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值是 。

5033二、 解答题：（解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）19.（易）已知函数21()sin cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()12f π-的值； （Ⅱ）若[0,]2x π∈，求函数()y f x =的最小值及取得最小值时的x 值．20.（易）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4， S 5=35．（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n an b e =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ．则1145(51)5352a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ∴113a d =⎧⎨=⎩， ∴ 32n a n =-． ∴ 前n 项和(132)(31)22n n n n n S +--==．（Ⅱ）∵32n a n =-， ∴ 32n n b e -=，且b 1=e ．当n ≥2时， 3233(1)21n n n n b e e b e----==为定值，∴ 数列{}n b 构成首项为e ，公比为e 3的等比数列．∴33133(1)11n n n e e e e T e e +--==--． 数列{}n b 的前n 项的和是3131n n e eT e +-=-． 21.（易）已知等比数列{}n a 中，a 2=9， a 5=243．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式a n ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3,(),log ,()n n na nb a n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数． 求数列{}n b 的前100项的和。

解：（Ⅰ）通项公式3n n a =。

（Ⅱ）因为等比数列{}n a ，所以偶数项构成首相为a 2=9，公比为32=9的等比数列。

因为22223213213332223log log log 23log 23log 223kkk k k k a a -+--⋅-=⋅-⋅==⋅(k ∈N)，所以 奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列。

1001299100313339924100=(log +log ++log )+(++)S b b b b a a a a a a =+++++505150499(19)17(5012)9249821988⨯-=⨯+⨯+=⋅+-所以数列{}n b 的前100项的和是51179249888⋅+。

22.（易）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率． 解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=．（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人；[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人；∵ 用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴ [)80,90分数段抽取5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ； []90,100分数段抽取1人，记为M ． 因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在[)80,90分数段，所以只需在分数段[)80,90抽取的5人中确定1人． 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ， 则基本事件空间包含的基本事件有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E)， (A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M ) 共15种．事件A 包含的基本事件有(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )5种． ∴ 恰有1人的分数不低于90分的概率为51()153P A ==．23.（中）20.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且首项11b =，48b =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和为n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S ==亦满足上式，故21n a n =-，(*)n ∈N ．又 数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =． ∴ 12n n b -= (*)n ∈N ．（Ⅱ）2121n n n b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++ 12(21)(21)(21)n =-+-++- 12(222)n n =++-2(12)12n n -=--． 所以 122n n T n +=--．（Ⅲ）假设数列{}n c 中存在三项,,m k l c c c 成等差数列，不妨设(,,*)m k l m k l <<∈N因为 21n n c =-， 所以 m k l c c c <<，且三者成等差数列． 所以 2k l m c c c =+， 即2(21)(21)(21)k m l -=-+-，2222k m l ⋅=+， 即222m k l k --=+．（方法一）因为 (,,*)m k l m k l <<∈N ， 所以1l k -≥，0m k -<． 所以 22l k-≥，20m k ->， 所以 222m kl k --+> 与222m k l k --=+矛盾． 所以数列{}n c 中不存在成等差数列的三项．（方法二）2222k m l ⋅=+2(12)m l m-=+ 所以 12122k l m m +-=+， 即1212k m l m +--=+．所以 1221k ml m +---=． 因为(,,*)m k l m k l <<∈N ， 所以 12k m +-，2l m -均为偶数，而1为奇数， 所以等式不成立．所以数列{}n c 中不存在三项，使得这三项成等差数列．24.（难）用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈，定义51(,)[i f m k ==∑，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值； 解：（Ⅰ）由已知知(1,2)f =++++ 110002=++++=． 所以(1,2)2f =．（Ⅱ）因为数列{}n a是将集合{N*,}A m k P =∈∈中的元素按从小到大的顺序排成而成，所以我们可设计如下表格从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大． <<<<<<<<<<‥‥所以 9a =．。