第六章 等参数单元G2
第六章 PID指令
第六章PID指令说明及应用上式T为梯形图时间继电器周期输出，在此引为采样及调节周期。
S1为设定的目标值，又称给定值S2为实际测定值。
S3为PID控制参数的起始参数单元，控制参数占用S3后续的25个D数据寄存器。
具体说明如下：S3+0: TS 采样时间设定为K1(1T)S3+1: ACT.运算方向一般设为H0001；设为H0000时为反PID运算。
S3+2:L滤波系数0-99% 0% 无滤波。
参考设定为K500000-99.00S3+3: KP 比例増益0-32767% 参考设定为K2000。
0000-327.67S3+4: TI 积分时间0-32767(•1T) 参考设定为K500。
S3+5: KD 微分増益0-32767% 一般设定为K0。
0000-327.67S3+6: TD 微分参数0-32767(•1T) 设定为K0，无微分S3+7: 偏差，浮点数表示，占两个字节：S7+7，S7+8。
E(K)=SV-PV(ACT.0=1)E(K)=PV-SV(ACT.0=0)S3+8:S3+9: 偏差的一阶导数，浮点数表示。
S3+9，S3+10E(K)'=E(K)-E(K-1)S3+10:S3+11: 偏差的二阶导数，浮点数表示。
S3+11，S3+12E(K)''=E(K)'-E(K-1)'S3+12:S3+13: 本次滤波后的实测值，浮点数表示。
S3+13，S3+14。
PVF(K)=PV(K)+L•[PVF(K-1)-PV(K)]S3+14:S3+15: PID的微分调整项，浮点数表示。
S3+15，S3+16。
PID_D(K)=[TD•E(K)''+KD•TD•PID_D(K-1)]/(TS+KD•TD) S3+16:S3+17: PID的本次调整输出，浮点数表示。
S3+17，S3+18DMV(K)=DMV(K-1)小数部分+KP[E(K)'+TS•E(K)/TI+PID_D(K)] S3+18:S3+19: PID控制的输出值，取值范围：0-32767。
等参数单元
J12
xi , yi i 1,2,3,4 为4个节点在整体坐标系下的坐标，将各坐标值代入
就可以 得到也可比矩阵，具体为
c a 2 J 0
2 0 c a 1 进一步，由式(6.8)可求得其逆矩阵为 J d b 0 2
J11 4
x 1 J y
(6.9)
x1 (1 ) x2 (1 ) x3 (1 ) x4 (1 )
6.1 等参元的基本概念
将单元任一点的应变列阵代入平面问题的物理方程，得到单元应 力列阵。再利用虚功原理，进一步推导出单元刚度矩阵
6.2 等参元的单元分析
k B DBtdxdy
e T 1
1 1
1
BT DBt J d d
(6.15)
式中，t为单元厚度。注意上式中的积分限，在整体坐标系中的积 分相应地转化成了局部坐标系下的积分，是积分限为-1到+1的定积 分。 在等参元分析中，单元外载荷的计算分析如下。设外载荷包括信 集中载荷、体积力、表面力等，可以写成如下形式
(6.12)
为了求得应变矩阵B，进行如下推导。由于形函数 Ni , 是局部坐标 的函数， 需要进行偏导数的变换
6.2 等参元的单元分析
N i x N i y
N i 1 J N i
(6.1Hale Waihona Puke )其元素根据坐标变换式确定，即
x 8 Ni y 8 Ni xi ; yi i 1 i 1 N N x y i xi ; i yi i 1 i 1
有限元等参数单元
（2）应变场的表达 根据几何方程得到应变场表达式：
⎡ε x ⎤ ⎡∂ ∂x 0 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ∂ ∂y ⎢ y ⎥ ⎢0 u ( x , y , z ) ⎡ ⎤ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ ⎥ ε ( x, y ) = ⎢ ⎥ = ⎢ v ( x , y , z ) ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢∂ ∂y ∂ ∂x ⎢ w( x, y, z ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ∂ ∂z ∂ ∂y γ yz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎣∂ ∂z 0 x ∂ ∂ ⎦ ⎣ zx ⎦ e = B ( x, y , z ) ⋅ δ
第六章
等参数单元的一般原理 和数值积分
由于实际问题的复杂性，需要使用一些几何形状 不太规整的单元来逼近原问题，特别是在一些复 杂的边界上，有时只能采用不规整单元；但是直 接研究这些不规整单元则比较困难，如何利用规 整单元（如三角形单元、矩形单元、正六面体单 元）的原理来研究（推导）所对应的不规整单元 的表达式？这将涉及到几何形状映射、等参变换 （坐标系变换）等问题。
其中
1 N i = (1 + ξiξ )(1 + ηiη )(1 + ζ iζ ) 8 i = 1, 2,3, 4
位移模式的矩阵形式：
⎡u(x, y) ⎤ ⎡N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8 0 0 ⎤ ⎢v(x, y) ⎥ = ⎢ 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 ⎥ ⋅δ e 1 2 3 4 5 6 7 8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣w(x, y)⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8 ⎥ ⎦ = N(ξ,η) ⋅δ e
有限元基本理论及工程应用：第六章 非协调单元
( 2
j
)
l, j
)
i 1
j 1
(6-2-1)
在穿过单元边界时也可能有有限跳跃量。故φi、ψl 所张成的有限元空间Ｓh 仅是 L2 的一个子空间（函数自身平方可积）。不是H1（协调单元的有限元空间）
的子空间（一阶导数平方可积）。基函数ψl,j-1、ψl,j 仅在第 j 号单元内的非零，
且
l, j1 (1 2 ), l, j (1 2 ) (6-2-2)
（3）协调性分析
y,v
沿单元的一边，例如节点１、
3
v2
u2
４
e
2
η ３
２所在的边，η ＝－１。u,v是
4
Ｍ
v1
ξ
ê
ξ的二次函数，完全被u1, v1,α1,
1
u1
１
Mˆ
２
和u2, v2,α3 所决定。但由于不 0
x,u
（ξ,-1）
同单元的α1~α4 彼此独立，故不
图 ６－3
能保证单元之间位移的协调性。
m
m
Ｐh Vej Wej WS (6-1-2)
j 1
j 1
WS4
为各边界外力在位移 4
Niui、 Nivi 上做的功之和
i 1
i 1
不计算边界力在内自由度上的功！
有限元解：
由 方程组：
h P
0 ,
h P
0 (i 1 ~ n）;
ui
vi
h P
0 ( j 1 ~ m） (l 1 ~ 4）
能否保证收敛到真实解 ？
平面应力问题为例。设节点总数为n，单元总数为m。则总的自由度可区分为：
节点自由度 ui , vi （i 1 ~ n）
有限元三角形等参单元
北方工业大学高等有限元课程总结姓名:韩双鹏学号: ************* 专业班级:结构研-11 系(部、院):建筑工程学院2012 年5 月25 日高等有限元学习总结——六节点三角形等参数单元1 概述从弹性力学基本方程到有限元原理再到最新进展，经过本课程的学习，比较系统的掌握了有限元相关内容，更学习到了一种方法、一些生活中的哲理。
首先从大方向掌握所学内容，避免迷失在局部造成一叶遮目不见泰山之悲剧，比如弹性力学原理从大方向说就是三类方程，以及其在各类问题中的应用；其次了解了科研的相关过程及创新之处，从已知的东西到无知的领域，正如老师所说，能成功地把某一领域的东西搬到相关领域，这就是一大创造，比如有限元中将梁弯曲的理论研究厚板弯曲问题，由有限元标准单元到等参元的研究等；再有，我们生活中的常识、学习中的某些东西值得我们细细品味，也许这就是平时所说的小事反应大道理，老师的理论：“很多想法都是错误的”“很好想到的方法也许很难走通”“有缺陷的东西才更体现出美”“平衡的理论，吃点亏也许是福”等等，受益匪浅。
不再一一赘述，本文将取其中的一个知识点，总结六节点三角形等参单元的相关内容。
我们知道，无论三节点或者六节点三角形单元还是四节点或者八节点矩形单元，它们形状简单、规则但计算精度低，且对于复杂边界的适应性差，难以很好的拟合曲边边界，解决这一问题的通用方法是细分边界，以直代曲，利用更多的简单单元去拟合边界复杂的区域。
但这样处理仍存在折线代替曲线所带来的误差，且这种误差不能通过提高单元位移函数的精度来补偿。
那么能否构造出单元形状任意、边界适应性好、计算精度高的曲边单元，以便在给定的精度下用较少数目的单元去解决实际问题？这就是有限元中一类重要的单元——等参数单元。
本文将总结等参数单元的基本概念，并以六节点三角形单元为例讲述等参元实现过程中的三种变换，以及该等参元的收敛性等问题。
2 等参数单元及实现过程2.1 等参数单元概念由于实际问题的复杂性，通常需要使用一些形状不规整和形状复杂的单元来离散边界形状复杂的原问题。
有限元等参数单元
有限元等参数单元有限元分析是一种工程数值分析方法，广泛用于结构力学、固体力学等领域。
在有限元分析中，将结构或物体离散为许多小单元，每个小单元称为参数单元。
本文将介绍有限元等参数单元的概念和应用。
在有限元分析中，参数单元是对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是通过数学建模技术将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元可以是一维、二维或三维的。
在一维情况下，常见的参数单元有杆单元和梁单元等。
在二维情况下，常见的参数单元有三角形单元和四边形单元等。
在三维情况下，常见的参数单元有四面体单元和六面体单元等。
在有限元分析中，参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定。
一般来说，参数单元的几何形状应能较好地适应结构或物体的形状。
对于复杂结构或物体，可以使用不同形状的参数单元进行组合，以更好地描述结构的几何特征。
在参数单元中，需要定义材料性质、几何性质和加载条件等参数。
材料性质包括弹性模量、泊松比、密度等。
几何性质包括长度、面积、体积等。
加载条件包括外力、边界条件等。
这些参数可以通过实验测量或根据经验来确定。
在有限元分析中，参数单元的刚度、质量和荷载等可以通过这些参数来计算。
有限元分析的基本思想是，将结构或物体分解为多个参数单元，并将其转化为一个或多个代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到结构或物体的应力、应变、位移等信息。
有限元方法可以有效地分析复杂结构的性能和行为，并为工程设计和优化提供依据。
总之，有限元等参数单元是在有限元分析中对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定，并通过定义材料性质、几何性质和加载条件等参数来描述结构的特征。
有限元分析是一种用于求解结构或物体应力、应变、位移等信息的数值分析方法，可以为工程设计和优化提供依据。
等参数单元
(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。 在上述分析的基础上，利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成 结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件，进而进 行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念 等参数单元（Isoparametric elements）简称等参元，是根据特 定方法设定的一大类单元，不一定具有相同的几何形状。因为等参 元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限 元理论中占有重要的地位。采用等参元，一方面能够很好地适应曲 线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，等参元一般 具有高阶位移模式，能够较好地反映结构的复杂应力分布情况，即 使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。 等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系（Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系）的规整形状的单 元（母单元）的高阶位移模式，然后利用形函数多项式进行坐标变 换，得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元 （子单元），其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换 的节点数相等，位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的 形函数与节点参数，这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程，将会 得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x
有限元分析与应用 第6讲、等参单元
我们可以看到,位移插值函数公式(3)和 坐标变换公式(4)具有完全相同的形式,它们 用同样数目的对应节点值作为参数,并有完 全相同的形状函数 N (ζ ,η ), 作为这些节点 值前面的系数,我们称具有这种特点的单元 为等参数单元
i
等参变换步骤: 等参变换步骤
1找变换 x = x(ξ ,η ), y = (ξ ,η ) ,使x0y面上的任意四边形变成在 上的边长为2的正方形.
1 4 1 4 1 4 1 4
(1 − ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )
利用节点处得（ξ,η）坐标，上式可以写成统一得形式:
1 Ni (ξ ,η ) = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) 4
其中（ξi,ηi）为
ξoη 面
2在 ξoη 面上构造多项式插值函数 N k (ξ ,η ) 满足µ = ∑ N k (ξ ,η )µ k
3再变回xoy即: µ = ∑ N k (ξ ( x, y ) η ( x, y ))µ k = ∑ N k ( x, y )µ k 由于在 ξoη 面交界两测 u是连续的,xoy 面上也同样连续,但现在 N k (x, y )已经不 再是x,y的多项式了.
等参数单元平面问题变换的有限元格式
前面讲的建立有限元计算格式的推导过程中,前几步的主要 目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数,或求出单元形 状函数,后几步的主要目的是求出单元刚度矩阵,然后是用已知节 点位移计算应力。对于等参数单元,上面得到了四节点四边形等 参数单元的形状函数,下面主要讨论单元刚度矩阵的形成。 单元应变—单元位移—节点位移之间的关系. 由平面问题几何方程和位移插值公式(3)有:
有限元基本理论及工程应用：第六章 非协调单元
v Ni ( ,)vi 3 (1 2 ) 4 (1 2 ) i 1
(x4, y4)
1 (x1, y1) x,u
0
(6-1-1)
图６－２
单元内的位移场精度有所改善，二次函数
同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：
1(1 2 )、 2 (1 2 )、3 (1 2 )、 4 (1 2 )
本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法， 非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别 方法。这些结论对四阶问题同样适用。
§6-1 Wilson 非协调元
η ４（-1,1）
３（1, 1）
1. 母体单元 形函数
母体单元ê：边长为２的正方形, 自然坐标：ξ、η 取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。
这四项有如下特性：
（1）不影响节点处的位移值，故称 αl 为非节点自由度或单元的“内自由
度”。在计算单元变形能和单元体积力做功时计入这些位移；但在计算边界外力 做功（为了将边界力化为等效节点力）时不计这些位移。即在计算边界外力做功
时只计 Niui、Nivi 各项。
（2）补充这些项后，单元内的位移场是 ξ，η 的完全二次多项式。当实际 单元 e 为矩形时，单元内位移场将是 x、y 的完全二次多项式。
( l
j
)
( l
j
)
( l
j
)
(6-1-4)
在单元分析时可以先消去αl (j) （这一步骤称为静凝聚），只剩下ui, vi 进入总 体平衡方程。
４. 单元分析 静凝聚
单元的外自由度： 单元的内自由度：
uE u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 T
uI 1 2 3 4 T
有限元法应用_等参数单元
K B D B dv B D B dxdydz t B D B dxdy
e
将坐标变换式代入
ve
为计算方便,在ξ、η坐标下计算以上积分，即利用等参变换公式进行 变量替换， 则有 dx dy
ve
Ae
J d d
等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系的规整 形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用 形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单 元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位置 坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换 式都用相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元。
y N i y N i
T T
1
J
——Jacobi 矩阵
所以有Βιβλιοθήκη N i x x N x i y
x, y
u x, y
ve j ue j
j
i
uie
x
p1,1
m1,1
0,0
i 1,1
j 1,1
三、单元分析
s
在单元内部分 假定： l 1,1 k 1,1
e vk
y
r
v
vle
0,0
i 1,1
4
l
e i
u
e l
vx, y u x, y
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
其中
0 N4
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 y N 3 x
等参单元概述
Ni 1
， (6-1)
N i 0 ；
2. 能保证用它定义的未知量（位移或坐标）在相邻单元之 间的连续性； 3. 应包含任意线性项，以保证用它定义的单元位移可满足 常应变条件； 应满足下列等式 以保证用它定义的单元位移能反映刚体位移。
二、母单元
首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，称为母单元。 二维母单元是平面中的2×2正方形
在有限元分析中，两者的作用是不同的。直角坐标系在 x, y, z整个结构的所有子单元中共同采用，所以称为整体坐标。 而曲线坐标系 ,,则只适用于单个独立的子单元，所以称 为局部坐标。整体坐标在整体分析中采用，局部坐标则在单 元分析中采用。
返回
现在讨论两类坐标系中有关偏导数的关系，以二维坐标为例： 根据复合函数的求导法则，有 x y x y (6-5) x y x y 上式可写成矩阵形式 x (6-6) J y x y 其中：[J]称为雅可比（Jacobi）矩阵 J x y (6-7)
图 6-2 表示了二维单元的平面坐标变换。母单元是正方形， 子单元则分别变换成任意四边形和曲边四边形。而且相邻子单 元在公共边上的整体坐标是连续的。以二次单元为例，两个相 邻单公共边界上都是二次曲线（抛物线），而在三个公共结点 上具有相同的坐标。因此，整个公共边界都有相同的坐标，即 相邻单元是连续的。
为了克服以上缺点，人们试图找出这样一种单元：一方面， 单元能很好地适应曲线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状； 另一方面，这种单元要具有较高次的位移模式，能更好地反映 结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也可 得到较好的计算精度。等参数单元（等参元）就具备了以上两 条优点，因此，得到广泛应用。
5.1.15.1等参数单元及空间问题分析
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2） 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状，又能具 有较高次的位移模式，
等参单元（iso-parametric element）的概念：等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。
。
5.1.1 平面4节点等参单元 1）等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知：
xi yi
f
ii
（i=
1,2,3,4）求， ：
x y
f
解法：插值 x 1 2 3 4
第6章形函数坐标变换和等参数单元
第6章形函数坐标变换和等参数单元6.1形函数在有限元方法中，形函数是用来近似表示未知场量的函数。
形函数的选择对求解结果有很大影响，因此形函数的选择是有一定规则和原则的。
6.1.1一维等参数线性单元形函数一维等参数线性单元的形函数为线性函数，形式为N(x) = a + bx，其中a和b是待定系数。
6.1.2二维等参数线性单元形函数二维等参数线性单元的形函数为平面上的线性函数，形式为N(x,y)= a + bx + cy，其中a、b和c是待定系数。
6.1.3三维等参数线性单元形函数三维等参数线性单元的形函数为空间中的线性函数，形式为N(x,y,z) = a + bx + cy + dz，其中a、b、c和d是待定系数。
6.2坐标变换在有限元方法中，常常需要进行坐标变换，将全局坐标系下的问题转化为局部坐标系下的问题。
坐标变换可以简化问题的计算。
6.2.1一维坐标变换一维坐标变换是将全局坐标系和局部坐标系之间进行转换，常用的一维坐标变换公式为x=x1+ξ(x2-x1)，其中x1和x2是全局坐标系下的两个节点坐标，ξ是局部坐标。
6.2.2二维坐标变换二维坐标变换也是将全局坐标系和局部坐标系之间进行转换，常用的二维坐标变换公式为x=x1+ξ1(x2-x1)+ξ2(x3-x1)，y=y1+ξ1(y2-y1)+ξ2(y3-y1)，其中(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)是全局坐标系下的三个节点坐标，(ξ1,ξ2)是局部坐标。
等参数单元是指形函数和坐标变换相互独立，即形函数中的系数不随坐标变换改变。
等参数单元的优点是简化了计算，但缺点是对非线性问题的建模能力较差。
在等参数单元中，形函数和坐标变换可以一起表示为N(ξ1,ξ2,...,ξn)=∑(Ni*ξi)，其中Ni是形函数的系数，ξi是坐标变换的系数。
总结：本章主要介绍了形函数、坐标变换和等参数单元。
形函数是用来近似表示未知场量的函数，根据单元的维度和性质可以选择不同的形函数。
第6章 形函数、坐标变换和等参数单元
v N i vi N1v1 N 2 v2
（8-17）
比较式（8-16）和式（8-17）可见，坐标变换公式 和单元位移函数都利用了形函数，它们可以是局部坐 标的一次、二次和三次甚至更高次的函数。如果单元 坐标变换和位移函数所用的形函数的阶次相等，那么 用以规定单元形状的结点数应等于用以规定单元位移 的结点数，这种单元称为等参数单元。如果坐标变换 所用形函数的阶次高于位移函数中的形函数的阶次， 坐标变换的结点数应超过用以规定单元位移的结点数 ，这种单元称为超参数单元。反之，如果坐标变换所 用形函数的阶次低于位移函数中的形函数的阶次，则 称为逊参数单元。
二维母单元是（ξ，η）平面中的2×2正方形，其
中
-1≤ ξ ≤+1， -1≤ η ≤+1 如图8-2所示坐标原点放在单元的形心上。单元边 界是4条直线： ξ= ±1， η = ±1，结点数目应与形函 数阶次相适应，以保证用形函数定义的未知量在相邻 单元之间的连续性。因此，对于线性、二次、三次形 函数，单元每边应分别有2、3、4个结点。除了4个角 点外，其他结点放在各边的二等分或三等分点上。
空间问题的应变可表示如下：
u x v x y y w z z u v xy yz y x v w zx z y w u x z
2
1 1
5.三角形单元的形函数 三角形单元的形函数用面积坐标表示。例如三结 点三角形单元的形函数，可以表示如下： Ni=Li （i=1,2,3） 式中：Li为面积坐标。
前面所述的几种母单元，几何形状简单而规则， 便于进行运算，但难以适应实际工程中出现的各种结 果的复杂形状。为了解决这个矛盾，可进行坐标变换 ，使（ ξ，η，ζ ）坐标系中简单形状的母单元，在（x ，y，z）坐标系中变换为具有曲线（面）边界的形状 复杂的单元。变换后的单元称为子单元。子单元在结 构上可以适应各种复杂结构的实际外形。经过这样处 理，单元具有双重特性：一方面，子单元的几何特征 、荷载等等，都来自实际结构，充分反映了实际情况 ；另一方面，大量计算工作是在母单元内进行的，由 于它的形状简单而且规则，计算比较方便，并便于循 环，特别有利于电子计算机上进行计算。因此兼有两 方面的优点。
等参单元概述
§6-1 等参元的概念
前面介绍的三角形单元和四面体单元，其边界都是直线和 平面，对于结构复杂的曲边和曲面外形，只能通过减小单元尺 寸，增加单元数量进行逐渐逼近。这样，自由度的数目随之增 加，计算时间长，工作量大。另外，这些单元的位移模式是线 性模式，是实际位移模式的最低级逼近形式，问题的求解精度 受到限制。
设其内部的位移分布情况。子单元的位移模式可用形函数表示 如下
u N i , , ui N 1 , , u1 N 2 , , u2 w N i , , wi N 1 , , w1 N 2 , , w2 v N i , , vi N 1 , , v1 N 2 , , v2
二维母单元
以上形函数也可以合并表示为
Ni
0
1 1
0
（i=1, 2, 3, 4）
(6-4) (6-5)
4
其中
0 i
0 i
三、坐标变换 母单元可以直接用来进行有限元分析，其单元特性可以按 照前面几章中讲述的步骤进行。但是这些单元形状规整，难以 适应实际工程中出现的各种结构的复杂形状。为了解决这个矛 盾，需要用坐标变换的方法，把形状规整的母单元，转换成具 有曲线（面）边界的形状复杂的单元。转换后的单元称为子单 元。子单元在几何上可以适应各种实际结构的复杂外形。这样， 对于一个实际结构，就可以采用各种形状复杂的子单元在整体 坐标系中进行划分，来逼近其复杂的曲线或曲面边界。而每个 子单元，通过坐标变换，都可以映射成一个局部坐标系下的规 整单元，即母单元，计算比较简单。 为了进行坐标变换，必须在局部坐标 , , 和整体坐标 x, y, z之间建立一一对应关系。这种对应关系可以利用形函数 建立起来。
第05讲 等参单元-09_891907157
汽车工程系
6.2 平面四结点四边形等参单元
6.2.3 单元应变与应力 记
[ J ] = ⎡ Jˆ ⎤ ⎣ ⎦
−1
则：
⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂u ⎫ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ˆ ⎪ ∂y ⎪ ⎡ ⎡ J ⎤ 0 ⎤ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ˆ ⎪ ∂v ⎪ ⎢ 0 ⎡ J ⎤ ⎥ ⎪ ∂v ⎪ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂η ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(6-9)
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.2 平面四结点四边形等参单元
6.2.3 单元应变与应力
4 ⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂N i ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∑ ∂ξ i =1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ∑ ∂η ⎪ ⎪ i =1 =⎨ 4 ⎨ ⎬ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∑ ∂ξ i =1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ∑ ∂η ⎩ ⎭ ⎩ i =1
由几何方程：
式中（u, v）是中间变量（x, y）的函数， 而（x, y）又是（ξ, η）的函数, 由复合求导：
⎧ ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ⎪ ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ ⎪ , ⎨ ⎪ ∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y ⎪ ⎩ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ⎧ ∂v ∂v ∂x ∂v ∂y ⎪ ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ ⎪ ⎨ ⎪ ∂v = ∂v ∂x + ∂v ∂y ⎪ ⎩ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
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(6.9)
例6-1：对一个四边形单元，在整体坐标系下的4个节点（1, 2, 3, 4） 的坐标分 别是(a, b), (c, b), (c, d), (a, d)，求其雅可比矩阵及其逆矩 阵。 解：根据式(6.1)、(6.4a) 和式(6.7)可以得到雅可比矩阵各元素 的表达式为 x 1
J 11 4
N i
N i x x
N i y y
(6.5)
6.1 等参元的基本概念
上式写成矩阵形式
N i N i x x y y N i x N i y N i x J N i y
yi
(6.7)
6.1 等参元的基本概念
y 1 J x
x y J
因为
J
1
y x
(6.8)
所以
1
(6.6)
其中，J称为雅可比矩阵（Jacobian matrix） 将式(6.4)的表达式代入雅可比矩阵式(6.7)，求得雅可比矩阵。对 于式(7.4a)表示的双线性四边形单元，有
x
i 1
4
N i ,
xi ,
y
i 1
4
N i ,
x
N i , x i N 1 , x1 N 2 , x 2
i 1
4
N 4 , x 4
y
N i , y i N 1 , y1 N 2 , y 2
i 1
6.1 等参元的基本概念
（a）母单元 图6-1
（b）子单元 线性矩形单元及其平面坐标变换
（a）母单元 图6-2 二次矩形单元
（b）子单元
6.1 等参元的基本概念
对于如图6-1所示的线性4节点四边形等参元（Bilinearisoparametric
element），它在局部坐标系形函数如下：
1 1 N , 1, , , 1 1
i 1, 2 ,3 , 4 为4个节点在整体坐标系下的坐标，将各坐标值代入
0 d b 2
就可以 得到也可比矩阵，具体为
2 c a 1 进一步，由式(6.8)可求得其逆矩阵为 J 0 2 d b 0
6.2 等参元的单元分析
2 0
（i = 5, 7） （i = 6, 8）
（6.2b）
1 1
2 0
（6.2c）
可见，线性四边形单元和8节点二次四边单元用局部坐标形函 数表达的位移模式如下 n n
u
N i , u i , v N i , v i
i 1 i 1
B2
B8 δ
e
(6.12)
为了求得应变矩阵B，进行如下推导。由于形函数 N , 是局部坐标
i
的函数， 需要进行偏导数的变换
6.2 等参元的单元分析
N i x N i y
J
1
N i N i
(6.13)
其元素根据坐标变换式确定，即
x x
xi ;
y y
i 1
8
Ni Ni
yi
i 1
8
xi ;
i 1
8
(6.14)
yi
将单元任一点的应变列阵代入平面问题的物理方程，得到单元应 力列阵。再利用虚功原理，进一步推导出单元刚度矩阵
6.2 等参元的单元分析
1 1 1
k
e
B D B td x d y
T
1
B D B t J d d
T
(6.15)
式中，t为单元厚度。注意上式中的积分限，在整体坐标系中的积 分相应地转化成了局部坐标系下的积分，是积分限为-1到+1的定积 分。 在等参元分析中，单元外载荷的计算分析如下。设外载荷包括信 集中载荷、体积力、表面力等，可以写成如下形式
1
1 2 3 4
1 2 3 4
3 3 4 4
1 1
2 2
代入节点坐标值
Ni
0
1 0 1 0
4 i 0 i. ，
（i=1, 2, 3, 4）
(6.1)
其中 变量 , 的函数。
n 4, 8
(6.3)
6.1 等参元的基本概念 利用形函数性质快速写出局部坐标系下规则母单元的形函数
6.1 等参元的基本概念 （2）等参坐标变换 等参元需要用坐标变换把形状规整的母单元转换成具有曲线（面） 边界的、形状复杂的单元。转换后的单元称为子单元。子单元在几 何上可以适应实际结构的各种复杂外形。即可以采用各种形状复杂 的子单元在整体坐标系中对实际结构进行划分。 子单元通过坐标变换映射成一个局部坐标系下的规整的母单元。坐 标变换是指在局部坐标 , , 和整体坐标 x , y , z 之间建立一一对应 关系。在这里，坐标变换关系 利用形函数建立起来。例如，对于上述4节点线性四边形单元，有
R
R F
e e 1 e 1
N
N
e
Q P
e
e
F Q P
(6.16)
G {G x G y}
T
其中，对于集中载荷，设单元任意点c作用有集中载荷 ，移置到单元有关节点上的等效节点载荷为
F i { Fix
e e
Fiy } N i c G
e T
i 1, 2, 8
以二维二次8节点单元为例，说明等参元分析的一般原理。8节点 四边形等参元的位移模式为
u N i , u i , v N i , v i
i 1 i 1
i i
8
8
(6.10)
其中，ui和vi是节点i的位移。 采用坐标变换使母单元的8个节点 , 与等参元的8个节点整体坐标 值（xi,yi）一一对应。整体坐标 x , y 和局部坐标 , 的变换式为
4
(6.4a)
N 4 , y 4
6.1 等参元的基本概念 对于上述8节点二次四边形单元，有 8 x N i , x i N 1 , x1 N 2 , x 2
i 1
N 8 , x 8
y
i
N i , y i
第6章 等参数单元
本章概述
本章主要介绍等参数单元的基本概念及应用原理。具体讨论
了三角形等参元、四边形等参元等。针对等参元积分计算的需求， 还对与有限元方程求解有关的数值积分方法进行了介绍。 形函数三个职能：位移插值；载荷移置；坐标变换
6.1 等参元的基本概念 等参数单元（Isoparametric elements）简称等参元，是根据 特定方法设定的一大类单元，不一定具有相同的几何形状。因为等 参元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有 限元理论中占有重要的地位。采用等参元，一方面能够很好地适应 曲线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，等参元一 般具有高阶位移模式，能够较好地反映结构的复杂应力分布情况， 即使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。 等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系（Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系）的规整形状的 单元（母单元）的高阶位移模式，然后利用形函数多项式进行坐标 变换，得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单 元（子单元），其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变 换的节点数相等，位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同 的形函数与节点参数，这样的单元称为等参元。
i 1
8
N 1 , y1 N 2 , y 2 N 8 , y 8
i i
(6.4b)
x , N 其中， , 是用局部坐标表示的形函数，y 是节点i的整体坐标。 上式即为平面坐标变换公式。 如图6-1和图6-2所示的二维单元的平面坐标变换，其中母单元是 正方形，子单元变换成曲边四边形，且相邻子单元在公共边上的整 体坐标是连续的，且在公共节点上具有相同的坐标，即相邻单元是 连续的。 （3） 两种坐标系的关系——雅可比矩阵（Jacobian matrix） 局部坐标系和整体坐标系之间具有如下偏导数的关系。根据复合 函数的求导法则，有
该形函数是定义成自然坐标下的归一化
6.1 等参元的基本概念
对于8节点二次四边单元，角点上的形函数为 1 N i 1 0 1 0 0 0 1 （i=1, 2, 3, 4）
4
(6.2a)
边中点上的形函数为
Ni
Ni
1 2
1 2
1 1
6.1 等参元的基本概念
下面以四边形单元为例说明等参元的基本概念。
(1) 局部坐标系下的位移模式 根据形函数的定义，在局部坐标系中，建立起几何形状简单且规整 的单元， 称之为母单元。 母单元是 , 平面中的2×2正方形，1 1 1 1 ，如图6-1所示， 坐标原点在单位形心上。单元边界是四条直线： 1 1 为保证用 形函数定义 的未知量在相邻单元之间的连续性， 单元节点数目应与形 函数阶次相适应。 对于具有线性形函数的四边形单元，共有四个节点，如图6-1所示。 如果是二次函数的四边形单元，单元每边的节点数为三个，如图6-2。