高考数学总复习2-9
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学9-2
第九章
第二节
高考数学总复习
分析：(1)由 E、F 为中点易想到中位线获证． (2)求三棱锥 E－ABC 的体积， 由于△ABC 面积易求， 需看 E 到平面 ABC 的距离是否可求，注意到 E 为 PB 中 点，PA⊥平面 ABCD，因此只需取 AB 中点 G，则 EG 为 高，或由 E 为 PB 中点知，E 到平面 ABC 的距离等于 P 到平面 ABC 的距离的一半．而 P 到平面 ABC 的距离为 PA，也可获解．
人 教
A
版
第九章
第二节
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解析：(1)在△PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中 点，
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第九章
第二节
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∴EF∥BC. 又 BC∥AD，∴EF∥AD， 又∵AD⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD.
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第九章
第二节
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(2)连接 AE，AC，EC，过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G， 1 则 EG⊥平面 ABCD，且 EG＝ PA. 2 在△PAB 中，AP＝AB，∠PAB＝90° ，BP＝2， 2 ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ ， 2
第二节
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解析：设棱柱的底面积为 S，高为 h，则三角形 AEF S 1 S S 7 的面积为 ， 由于 VⅠ ＝VAEF－ A B C ＝ · ( ＋S＋ )＝ Sh， h· 4 3 4 2 12
1 1 1
7 5 剩余不规则几何体的体积为 VⅡ＝V－VⅠ ＝Sh－ Sh＝ 12 12
· · Sh，所以 VⅠ·VⅡ ＝7·5，故Ⅰ、Ⅱ两部分的体积之比等于
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人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业9 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数
课时作业9 对数与对数函数1．(2019·某某某某统考)函数f (x )＝1ln3x ＋1的定义域是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＞0，ln 3x ＋1≠0，解得x ＞－13且x ≠0，故选B.2．(2019·某某某某模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( B )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：∵a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，∴a ＞b ＞c .故选B. 3．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由已知，得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2. 又lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b2＝2(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫22－4×12＝2×2＝4，故选B.4．若函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 37＋log a 1123＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若a ＞1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递减，则⎩⎨⎧a －a ＝0，a －1＝1，解得a ＝2，此时，log a 37＋log a 1123＝log 216＝4；若0＜a ＜1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，则⎩⎨⎧a －a ＝1，a －1＝0，无解，故选D.5．(2019·某某省际名校联考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1ex ＋k (k 为常数)，则f (ln5)的值为( B )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝1e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1，所以f (ln5)＝－f (－ln5)＝－(e ln5－1)＝－4.6．(2019·某某某某南雄模拟)函数f (x )＝x a满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C )解析：∵f (2)＝4，∴2a＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，－log 2x ＋1，－1＜x ＜0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递减，故选C.7．已知函数f (x )＝e x＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值X 围是( A )A ．(－∞，e)B ．(0，e)C ．(e ，＋∞)D ．(－∞，1)解析：由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x－ln(x ＋a )＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，则ln a ＜1，即0＜a ＜e ，则a 的取值X 围是(0，e)，当a ≤0时，y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象总有交点，故a 的取值X 围是(－∞，e)，故选A.8．(2019·某某省级名校模拟)已知函数f (x )＝(e x－e－x)x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值X 围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x)＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)， ∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为－14.解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.10．(2019·某某质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝9__.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )， 可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9. 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．已知函数f (x )＝log a (a 2x＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值X 围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值X 围．解：(1)∵log 2(22x＋t )＜x ＝log 22x，∴22x＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x恒成立， 即t ≥－22x＋2x＝g (x )恒成立， 即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，∴当2x＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m ，f n ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，问题等价于关于k 的方程a 2k－a k＋t ＝0有两个不相等的实根，令a k＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.13．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＞0，记a ＝f 30.230.2，b ＝f 0.320.32，c ＝f log 25log 25，则( B ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数， 对任意两个不相等的正数x 1，x 2， 都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＞0，故x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)同号， 则x 1－x 2与x 2f x 1－x 1f x 2x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫即f x 1x 1－f x 2x 2同号， ∴函数y ＝f xx是(0，＋∞)上的增函数， ∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log 25＞2， ∴0.32＜30.2＜log 25，∴b ＜a ＜c ，故选B.14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1B ．(1,4)C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－(2－x ))＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知．要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＋2＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值X 围是(8，＋∞)．15．(2019·某某某某模拟)已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，g (x )＝f (x )＋2 017，下列命题：①f (x )的定义域为(－∞，＋∞)； ②f (x )是奇函数；③f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b ＝1；⑤设函数g (x )在[－2 017,2 017]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝2 017. 其中真命题的序号是①②③④__.(写出所有真命题的序号) 解析：对于①，∵x 2＋1＞x 2＝|x |≥－x ， ∴x 2＋1＋x ＞0，∴f (x )的定义域为R ，∴①正确．对于②，f (x )＋f (－x )＝ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋－x2＋1)＝ln[(x 2＋1)－x 2]＝ln1＝0.∴f (x )是奇函数，∴②正确． 对于③，令u (x )＝x ＋x 2＋1， 则u (x )在[0，＋∞)上单调递增． 当x ∈(－∞，0]时，u (x )＝x ＋x 2＋1＝1x 2＋1－x，而y ＝x 2＋1－x 在(－∞，0]上单调递减，且x 2＋1－x ＞0.∴u (x )＝1x 2＋1－x在(－∞，0]上单调递增，又u (0)＝1，∴u (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)在R 上单调递增，∴③正确． 对于④，∵f (x )是奇函数，而f (a )＋f (b －1)＝0，∴a ＋(b －1)＝0， ∴a ＋b ＝1，∴④正确．对于⑤，f (x )＝g (x )－2 017是奇函数，当x ∈[－2 017,2 017]时，f (x )max ＝M －2 017，f (x )min ＝m －2 017， ∴(M －2 017)＋(m －2 017)＝0， ∴M ＋m ＝4 034，∴⑤不正确． 16．已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1＞ln mx －17－x恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由x ＋1x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1＞ln mx －17－x恒成立， ∴x ＋1x －1＞mx －17－x＞0， ∵x ∈[2,6]，∴0＜m ＜(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减， 即x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0＜m ＜7.故实数m 的取值X 围为(0,7)．。
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第9节函数模型及其应用跟踪检测文含解析
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。
2024届新高考一轮复习北师大版 第2章 第9节 实际问题中的函数模型 课件(54张)
A．当 T＝220，P＝1 026 时，二氧化碳处于液态 B．当 T＝270，P＝128 时，二氧化碳处于气态 C．当 T＝300，P＝9 987 时，二氧化碳处于超临界状态 D．当 T＝360，P＝729 时，二氧化碳处于超临界状态
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[对点查验]
1．在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对 x，y 最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
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D 根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01， y＝0.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满 足题意．故选 D.
则1200
×23
n
≤1
1 000
，即23
n ≤210 ，
由 n lg
2 3
≤－lg 20，即 n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得 n≥lg1＋3－lglg22 ≈7.4，故选 BC.
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4．已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x＋1)，设 这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到________________只．
随 x 的增大逐渐表 随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而 现为与_y_轴__平行 现为与_x_轴__平行 各有不同
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2.常见的函数模型 (1)反比例函数模型：f (x)＝kx (k 为常数，k≠0)； (2)一次函数模型：f (x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)； (3)二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)； (4)指数函数模型：f (x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b>0，b≠1)； (5)对数函数模型：f (x)＝mlogax＋n(m，n，a 为常数，m≠0，a>0，a≠ 1)； (6)幂函数模型：f (x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠1).
2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：9_2二项式定理
课时规范练(授课提示：对应学生用书第321页)A 组 基础对点练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( B ) A ．80 B ．40 C ．20D ．102．二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( B ) A ．7 B ．6 C ．5D ．43．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( D )A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－64．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( C ) A ．30 B ．20 C ．15D ．105.⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的二项展开式的第二项的系数为－3，则x 2d x 的值为( B )A ．3B ．73C ．3或73D ．3或－1036．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( A ) A ．29 B ．210 C ．211D ．212解析：由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A.7．(2017·高考山东卷)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝ 4 .解析：由题意可知C 2n 32＝54，∴C 2n ＝6，解得n ＝4.8．(2016·高考北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x 2的系数为 60 .(用数字作答)解析：(1－2x )6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6(－2)r x r ，当r ＝2时，T 3＝C 26(－2)2x 2＝60x 2，所以x 2的系数为60.9．(2016·高考天津卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为 －56 .(用数字作答)解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，故x 7的系数为－C 38＝－56.10．(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为 35 .解析：∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，∴x 4的二项式系数为C 47＝35.11．在(x －1)4的展开式中，x 的系数为 6 .解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r ·(－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r 2＝1，得r ＝2，所以所求系数为(－1)2C 24＝6.12.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是 35 .(用数字填写答案) 解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 7x21－4r，令21－4r ＝5，则r ＝4，所以T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.13．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝ 10 .解析：由于f (x )＝x 5＝[(1＋x )－1]5，所以a 3＝C 35(－1)2＝10.14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝ 3 .解析：根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理得⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a ＝3，C 2n ·1a 2＝4，解得a ＝3.B 组 能力提升练1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( D ) A ．－54 B ．54 C ．－1516D ．15162．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( D ) A ．－20 B ．0 C ．1D ．203．已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( C ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±24．(x 2－x ＋1)3展开式中x 项的系数为( A ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．35．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( B )A ．2B ．3C ．－2D ．－36．已知等差数列{a n }的第8项是二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋y 4展开式的常数项，则a 9－13a 11＝( C ) A.23B ．2C ．4D ．67．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( C ) A ．68y 7 B ．112x 3y 4 C ．672x 2y 5D ．1 344x 2y 58．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( B ) A ．15x 2 B ．20x 3 C ．21x 3D ．35x 39．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( D ) A.34(3n －1) B ．34(3n －2) C.32(3n －2)D ．32(3n －1)解析：在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n)1－3＝32(3n－1)．10．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( B ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n )．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项．∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.11．(x －2y )6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为 －160 (用数字作答)．解析：二项式系数最大的项是T 4＝C 36x 3(－2y )3＝－160x 3y 3.12．(2x －y )5的展开式中，x 2y 3的系数为 －40 .解析：x 2y 3的系数为C 35×22×(－1)3＝－40.13．将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是 －160 .解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k .令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.14．已知x 8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 7＝ 8 .解析：∵x 8＝[1＋(x －1)]8，∴其展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x －1)r .令r ＝7，得a 7＝C 78＝8.15.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2的系数为 160 . 解析：依题意，得3n＝729，即n ＝6.二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 6·26－r·x 6－4r 3.令6－4r 3＝2，得r ＝3.因此，在该二项式的展开式中x 2的系数是C 36×26－3＝160. 16．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝ 120 .解析：在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.。
高考总复习一轮数学精品课件 第2章 一元二次函数、方程和不等式 课时规范练9 恒成立与能成立问题
成立,
综合提升练
6.(2024·广东汕头模拟)已知 f(x)=ln(x
2
1 x
+1),g(x)=(2) -m,若对任意 x1∈[0,3],x2∈
[1,2],使得 f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围是( C )
1
1
A.[4,+∞)
B.(-∞,4]
1
C.[ ,+∞)
2
1
D.(-∞,- ]
2
1
[2,+∞),存在 x2∈[ ,3]有 f(x1)≥g(x2),则实数 a 的取值范围是( B )
3
A.(-∞,1]
B.(-∞,2]
14
C.(-∞,-2]
D.(-∞, ]
9
解析 对于任意x1∈[2,+∞),
1
存在x2∈[3
,3]有f(x1)≥g(x2)等价于[f(x1)]min≥[g(x2)]min,
23
f(x)<m 成立,则实数 m 的取值范围是 [- 8 ,+∞) .
解析
所以
1 x
f(x)=(2) -x
在(3,+∞)内单调递减,
23
f(x)<f(3)=- 8 ,
因为对∀x∈(3,+∞)都有 f(x)<m 成立,
所以
23
m≥- 8 .
1 2 3 4 5 6 7 8
4.(2024·贵州贵阳模拟)已知函数
9 +1
f(x)= 为偶函数.
3
(1)求实数 m 的值;
- 2 -2+
(2)若对任意的 x∈R,总存在 y∈R,使得2
f(x)≥1 成立,求 n 的取值范围.
2019版高考数学(理)一轮总复习课件：2-9函数的图像
【讲评】 解决简单函数图像的“搭建型”混搭问题，关键 是熟练把握这些基本初等函数的基本性质，如函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性以及周期性等，根据各选项与函数解析式的 特征，抓住一个方面作为突破口，利用排除法就会很容易得到正 确选项．
微专题 2：知图选式 (2)下图可能是下列哪个函数的图像( )
1 x)cosx
为奇函数，所以排除
A，B；取
x＝π，则
f(π)＝(π－π1 )cos
π＝－(π－π1 )<0，故排除 C.
方法二：(特值排除法)f(π)＝(π－π1 )cosπ＝－(π－π1 )<0， 故可排除 A，C；而 f(－π)＝(－π－－1π)cos(－π)＝(π－π1 )>0， 故排除 B.
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 y＝f(x)的图 像关于直线 x＝1 对称． (2)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋1)＝f(x－1)，则函数 y＝f(x)的图 像关于直线 x＝1 对称．
(3)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝f(|x|)的图像与 y＝|f(x)|的图 像相同．
【答案】 不对．错在由②到③不能通过变换得到．
(2)例 1(2)改为：f(x)＝|lg(|x|－1)|如何作图？
【答案】 ①作 y＝lgx 的图像； ②将 y＝lgx 图像向右平移 1 个单位而得到 y＝lg(x－1)图像； ③将 y＝lg(x－1)图像沿 y 轴对折后与原图像，同为 y＝lg(|x|－ 1)的图像； ④将 y＝lg(|x|－1)图像在 x 轴下方部分沿 x 轴向上翻折，得 y＝ |lg(|x|－1)|图像．
③作出 y＝(12)x 的图像，保留 y＝(12)x 的图像中 x≥0 的部分， 加上 y＝(12)x 的图像中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝(12)|x| 的图像，如图实线部分．
2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类9函数的图象与变换
A．5（exx2－＋e2－x） C．5（exx2＋＋e2－x）
B．5x2s＋in 1x D．5xc2＋os1x
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真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案：D 由图知函数图象关于 y 轴对称，其为偶函数，且 f(－2)＝f(2)<0， 由5（si－n （x）－2＋x）1 ＝－5x2s＋in 1x 且定义域为 R，即 B 中函数为奇函数，排除； 当 x>0 时，5（exx2－＋e2－x） >0，5（exx2＋＋e2－x） >0，即 A，C 中函数在(0，＋∞)上的函数 值为正数，排除． 故选 D.
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真题分类9 函数的图象与变换
5．(2021·天津，3，5 分)函数 y＝xl2n＋|x2| 的图象大致为(
)
高考·数学
A
B
C
D
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真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案：B 设 y＝f(x)＝xl2n＋|x2| ，则函数 f(x)的定义域为xx≠0 ，关于原点对称， 又 f(－x)＝（－lnx|－）x2＋| 2 ＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，排除 A，C； 当 x∈(0，1)时，ln |x|<0，x2＋2>0，所以 f(x)<0，排除 D. 故选 B.
真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案：A 设 f(x)＝x cos x＋sin x，f(x)的定义域为 R.因为 f(－x)＝－x cos (－x)＋sin (－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数，排除选项 C，D.又 f(π)＝πcos π＋sin π＝－π<0，排除选 项 B，故选 A.
高考数学总复习 第九篇 解析几何 第2讲 两条直线的位置关系课件 理
(2)两条直线垂直
① 如 果 两 条 直 线 l1 ， l2 的 斜 率 存 在 ， 设 为 k1 ， k2 ， 则 l1⊥l2⇔
k1k2＝－1
.
②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 为0时，l1与l2的关系为垂直 ．
2．两直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共 点的坐标与方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解一一对应． 相交⇔方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组 无解 ； 重合⇔方程组有 无数个解 ．
(2)过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直
线，由l⊥AO，得klkOA＝－1，所以kl＝－k1OA＝2， 由直线的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点A且与原点距离最大的直线l
的方程，最大距离是|－5|＝ 5
5.
(3)不存在．由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5 的
3．距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2 .
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时
故所求直线的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 当过点A的直线的斜率不存在时，由点A的坐标为(－1,2) 知，过点A的直线为x＝－1.易得P1，P2到直线x＝－1的距离 相等，故x＝－1符合题意． 综上，所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
高考数学(文)总复习：创新思维课时规范练(含答案)第二章 第九节 函数模型及其应用
课时规范练A组基础对点练1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()A．v＝1100·ex B．v＝100ln xC．v＝x100D．v＝100×2x答案：A2．(2019·开封质检)用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3米B．4米C．6米D．12米解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)米，矩形的面积为y平方米，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y取得最大值．答案：A3．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4 B．5.5C．8.5 D．10解析：由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.答案：C4．(2019·济南模拟)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到()A．200只B．300只C．400只D．500只解析：∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝a log3(x＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.答案：A5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析：由三角形相似得24－y 24－8＝x 20， 得x ＝54(24－y )，由0＜x ≤20得，8≤y ＜24，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.答案：A6．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．答案：C7．(2019·南昌模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式的电话费相差__________．解析：依题意可设S A(t)＝20＋kt，S B(t)＝mt.又S A(100)＝S B(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是S A(150)－S B(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式的电话费相差10元．答案：10元8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元？解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元．依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点．故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．答案：49．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的 全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6 000元？( 工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)解析：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．(2)当0≤x ≤100时，p ＝60；当100＜x ＜550时，p ＝60－0.02(x －100)＝62－x 50；当x ≥550时，p ＝51.所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60(0≤x ≤100)，62－x 50(100＜x ＜550)，(x ∈N *)，51(x ≥550).(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(p －40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x (0≤x ≤100)，22x －x 250(100＜x ＜550)，(x ∈N *)，11x (x ≥550)，当0≤x ≤100时，L ≤2 000；当x ≥550时，L ≥6 050； 当100＜x ＜550时，L ＝22x －x 250.由⎩⎪⎨⎪⎧ 22x －x 250＝6 000，100＜x ＜550，解得x ＝500.B 组 能力提升练11．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8% 解析：由题意得(1＋x )40＝2，∴40lg(1＋x )＝lg 2，∴lg(1＋x )≈0.007 5，∴1＋x ＝100.007 5，∴x ≈0.017＝1.7%.故选C.答案：C12．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q (x )(单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为 q (x )＝⎩⎨⎧ 1 260x ＋1，0＜x ≤20，90－35x ，20＜x ≤180，则当该服装厂所获效益最大时，x ＝( )A ．20B ．60C ．80D ．40 解析：设效益为f (x )则f (x )＝100xq (x )＝⎩⎨⎧ 126 000x x ＋1，0＜x ≤20，100x (90－35x )，20＜x ≤180.当0＜x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f (x )在区间(0,20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000.当20＜x ≤180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，则f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，∴x ＝80.当20＜x ＜80时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当80≤x ≤180时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以当x ＝80时，f (x )有极大值，也是最大值240 000.故选C.答案：C13．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠．(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠．(3)如果超过500元，则500元按第(2)条给予优惠，剩余部分给予7折优惠． 某人单独购买A ，B 商品分别付款100元和450元，假设他一次性购买A ，B 两件商品，则应付款是________元．解析：设商品总额为x 元，应付金额为y 元，则y ＝⎩⎨⎧ x ，0≤x ≤200，0.9x ，200＜x ≤500，0.7x ＋100，x ＞500，令0.9x ＝450，得x ＝500， 则0.7×(500＋100)＋100＝520(元)．答案：52014．(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：依题意有a ·e －b ×8＝12a ，所以b ＝ln 28，所以y ＝a ·e －ln 28t .若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则有a ·e －ln 28t ＝18a ，解得t ＝24，所以再经过的时间为24－8＝16 min.答案：1615．随着中国一带一路的深入发展，中国某陶瓷厂为了适应发展，制定了以下生产计划，每天生产陶瓷的固定成本为14 000元，每生产一件产品，成本增加 210元．已知该产品的日销售量f (x )(单位：件)与产量x (单位：件)之间的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1625x 2(0≤x ≤400)x －144(400＜x ＜500)，每件产品的售价g (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －58x ＋750(0≤x ≤400)－x ＋900(400＜x ＜500).(1)写出该陶瓷厂的日销售利润Q (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式；(2)若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产多少件产品，并求出最大利润．解析：(1)设总成本为c (x )(单位：元)则c (x )＝14 000＋210x ，所以日销售利润Q (x )＝f (x )g (x )－c (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －11 000x 3＋65x 2－210x －14 000(0≤x ≤400)，－x 2＋834x －143 600(400＜x ＜500).(2)由(1)知，当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝－31 000x 2＋125x －210. 令Q ′(x )＝0，解得x ＝100或x ＝700(舍去)．易知当x ∈[0,100)时，Q ′(x )＜0；当x ∈(100,400]时，Q ′(x )＞0.所以Q (x )在区间[0,100)上单调递减，在区间(100,400]上单调递增．因为Q(0)＝－14 000，Q(400)＝30 000，所以Q(x)在x＝400时取到最大值，且最大值为30 000. 当400＜x＜500时，Q(x)＝－x2＋834x－143 600.当x＝－8342×(－1)＝417时，Q(x)取得最大值，最大值为Q(x)max＝－4172＋834×417－143 600＝30 289.综上所述，若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产417件产品，其最大利润为30 289元．16．(2019·湖北八校联考)已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x(x＞0)件产品的销售收入是R(x)＝－14x2＋500x(元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝总利润总产量)．销售商从工厂以每件a元进货后，又以每件b元销售，且b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b－a是c－b，c－a的比例中项时来确定．(1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？并求P(x)的最大值；(2)求乐观系数λ的值；(3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值．解析：(1)依题意设总利润为L(x)，则L(x)＝－14x2＋500x－100x－40 000＝－14x2＋400x－40 000(x＞0)，∴P(x)＝－14x2＋400x－40 000x＝－14x－40 000x＋400≤－200＋400＝200，当且仅当14x＝40 000x，即x＝400时等号成立．故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b＝a＋λ(c－a)，得λ＝b－a c－a.∵b－a是c－b，c－a的比例中项，∴(b－a)2＝(c－b)(c－a)，两边同时除以(b －a )2，得1＝(c －a )－(b －a )b －a ·c －a b －a ＝(c －a b －a －1)c －a b －a， ∴1＝(1λ－1)·1λ，解得λ＝5－12或λ＝－5－12(舍去)． 故乐观系数λ的值为5－12.(3)∵厂家平均利润最大，∴a ＝40 000x ＋100＋P (x )＝40 000400＋100＋200＝400.由b ＝a ＋λ(c －a )，结合(2)可得b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)， ∴b ＝100(5＋3)．故a 与b 的值分别为400,100(5＋3)．。
2017届高考数学(理)一轮复习同步基础训练第2章-第9课时《函数与方程》(通用版含解析)
第二章 第9课时【A 级】 基础训练1．(2015·山东淄博模拟)若方程xlg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z)上，则k 等于( )A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图像，如图所示，由图像可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C.答案：C2．(2015·北京海淀模拟)函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f(12)＝log 212－2＝－3＜0，f(1)＝log 21－1＝－1＜0，f(2)＝log 22－12＝12＞0，∴函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为(1,2)，故应选C. 答案：C3．(2013·高考湖南卷)函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出两个函数的图像，利用数形结合思想求解．g(x)＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x 与g(x)＝(x －2)2的图像(如图)．由图可得两个函数的图像有2个交点．答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2|x|＋12，x≤0|lgx|－1，x>0的零点个数为________．解析：作出函数f(x)的图像，从图像中可知函数f(x)的零点有4个． 答案：45．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.解析：∵2<a<3<b<4，当x ＝2时，f(2)＝log a 2＋2－b<0；当x ＝3时，f(3)＝log a 3＋3－b>0，∴f(x)的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. 答案：26．(2014·高考天津卷)已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像，将方程根的个数问题转化为两图像交点的个数问题求解．设y 1＝f(x)＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像如图所示．由图可知f(x)－a|x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x|与y 2＝a|x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝－有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a)x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a<1或a>9.又由图像得a>0，∴0<a<1或a>9. 答案：(0,1)∪(9，＋∞)7．(2015·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x＝t(t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.8．(2015·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：－.由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝e a＋2因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a·(－a)＞－a，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 【B 级】 能力提升1．(2015·沈阳四校联考)已知函数f(x)＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：依题意得，a ＞1,0＜b ＜1，则f(x)为R 上的单调递增函数，又f(－1)＝1a －1－b＜0，f(0)＝1－b ＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1，选B.答案：B2．(2015·豫西五校联考)已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x)＝1，f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x)＝0，f(x)＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x)＝－1，f(x)＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x 的零点个数为2.答案：B3．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：作出函数的图像，用数形结合思想求解．先作出函数f(x)＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx 过A 点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：B4．若函数f(x)的图像是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)间．答案：③④⑤5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．解析：∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f(x)＝x 2－x －6. ∵不等式af(－2x)>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x<1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x<16．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f(x)与y ＝a 的图像，根据图像交点个数得出a 的取值范围． 作出函数y ＝f(x)在[－3,4]上的图像，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图像可得0<a<12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．已知函数f(x)＝|x|x ＋2，如果关于x 的方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．解：∵f(x)＝|x|x ＋2，∴原方程即|x|x ＋2＝kx 2.(*)①x ＝0恒为方程(*)的一个解．②当x<0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx ＋1＝0.当k ＝0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0无解； 当k≠0时，Δ＝4k 2－4k≥0，即k<0或k≥1时， 方程kx 2＋2kx ＋1＝0有解．设方程kx 2＋2kx ＋1＝0的两个根分别是x 1、x 2， 则x 2＋x 2＝－2，x 1x 2＝1k.当k>1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个不等的负根； 当k ＝1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个相等的负根； 当k<0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有一个负根． ③当x>0时，若方程(*)有解， 则x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx －1＝0. 当k ＝0时，方程kx 2＋2kx －1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k 2＋4k≥0，即k≤－1或k>0时， 方程kx 2＋2kx －1＝0有解．设方程kx 2＋2kx －1＝0的两个根分别是x 3、x 4， 则x 3＋x 4＝－2，x 3x 4＝－1k.当k>0时，方程kx 2＋2kx －1＝0有一个正根； 当k≤－1时，方程kx 2＋2kx －1＝0没有正根．综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解．。
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第9章平面解析几何 第2节两条直线的位置关系
|k0 + |
(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为
.( × )
2
1+k
)
2.已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是
解析 利用两平行线间的距离公式得 d=
|-1-1|
22 +12
= -4.
4-2 + = 0,
考向2由两条直线位置关系求直线方程
例2过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直
线的方程为 4x-3y+9=0
.
=
2 + 3 + 1 = 0,
解析 (方法一)由
解得
-3 + 4 = 0,
=
为所求直线与直线 3x+4y-7=0
4
5
为
5
.
解析 由双曲线方程可得 c= 4 + 5=3,即双曲线的右焦点为 F(3,0).则点 F 到
|3+2×0-8|
直线 x+2y-8=0 的距离 d=
12 +22
= 5.
2 研考点 精准突破
考点一 两条直线的平行与垂直(多考向探究预测)
考向1两条直线平行与垂直的判断及应用
例1(1)(2024·安徽黄山模拟)“a=4”是“直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y
的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2.
高中数学2-9
第二章
函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
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第九节 函数模型及应用
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第二章·第九节
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知识梳理·自主学 课堂探究·深度剖析 习 课时作业
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第二章·第九节
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系可近似地表示为 y＝1312xx32－ －82000x2x＋＋58004000x0，，xx∈∈[[112404，，154040]，，
且每处
理 1 吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，
国家将给予补偿． (1)当 x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大
(2)设单价为 6＋x，日均销售量为 100－10x，则日利润 y＝(6 ＋ x － 4)(100 － 10x) － 20 ＝ － 10x2 ＋ 80x ＋ 180 ＝ － 10(x － 4)2 ＋ 340(0<x<10)．∴当 x＝4 时，ymax＝340.即单价为 10 元/件，利润 最大，故选 B.
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解函数应用题的步骤
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课堂升华 强技提能
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高考总复习 · 数学（理）
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1．对函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，
前者将y＝f(x)处于x轴下方的图象，翻折到x轴 上方，后者将y＝f(x)图象y轴左侧图象去掉换成右侧关 于y轴的对称图象，后者是偶函数而前者y≥0.比如y＝|sinx|与y ＝sin|x|.
第九节
函数的图象
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1.掌握绘制函数图象的一般方法． 最新考纲 2．掌握函数图象变化的一般规律． 3．能利用函数图象研究函数的性质． 1.以选择题、填空题的形式考查图象的平移、 对称、伸缩变换． 高考热点 2．以考查图象为主，同时考查数形结合的思想 在解题中的应用.
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则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是
(
)
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[解析] 从 f(x)、g(x)的象知们别偶数 图可它分为函、 奇函数，故 f(x)· g(x)是奇函数，排除 B. 又 x＜0 时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也增数 是函， 故 f(x)· g(x)为增函数，且正负取决于 f(x)的负注到 正，意 x π π π ＝－2时，f(x)＝0，则 f(－2)· 2)必等于 0，排除 C、D. g(－ 或注意到 x→0－(从小于 0 趋向于 ) ，f(x)· 0 g(x)→＋∞，也可 排除 C、D.
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备选例题 1 作出下列函数的图象： 1 |x| )( y＝|x－2 x＋1 ；( y＝( ) ； 1 (· | ) ) 2 2 3－x )( y＝| 2(x＋1 ；( y＝ 3 o g l |) ) 4 . 1－x
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[分析]
首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数，
然后由基本初等函数图象变换得到．
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[解] )( 首先要化简解析式得 1
x2 y＝ 2 －x
(x＞0) (x＜0)
， 用次 数图作 其 利二 函的 象出 图
象，如图①.
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－b个单位长度
而得到．总之，对于平移 ．
变换，记忆口诀为 左加右减、上加下减
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(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；y＝－f(x)与y＝ f(x)的图象关于 x轴 对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于 直线y＝x 原点对称；y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于 对
[答案] A
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[规律总结]
要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、
零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合题目特点
作出合理取ห้องสมุดไป่ตู้.
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备选例题2
函数y＝e|－lnx|－|x－1|的图象大致是(
)
解析： 答案：D
结合图象选D.
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1.函数图象的三种变换 (1)平移变换：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长 度，得到 y＝f(x＋a) 的图象；y＝f(x－b)(b＞0)的图象可 而得到；y＝ 由y＝f(x)的图象 向右平移b个单位长度
f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到 y＝f(x)＋b 的 向下平移 图 象 ； y ＝ f(x) ＋ b(b ＜ 0) 的 图 象 可 由 y ＝ f(x) 的 图 象
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[规律总结]
已知函数解析式研究函数图象问题，主要
是将解析式进行恰当的化简，然后与一些熟知函数的图象相
联系，通过各种图象变换(主要有平移变换、伸缩变换、对称
变换等)得到要求的函数图象．另外，还要善于借助解析式发 现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)，以此帮助分析 函数图象的特征.
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[错因分析]
因为函数是定义在实数集上且f(x－1)＝f(1
－x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，选B. 这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈，即 对称问题中有一结论：设函数y＝f(x)定义在实数集上，且f(a
＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．这个结论只对
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[规律总结]
本题应用图象法求解，比较直观、运算量
小，用图象法解题时，图象间的交点坐标应通过方程组求解， 用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和 特殊情形.
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1 备选例题 3 若关于 x 的不等式 2x＋1＞x＋m 的解为－ 2 ≤x＜4，求实数 m 的值．
(3)伸缩变换 y ＝ Af(x)(A＞ 0) 的图象 ， 可 将y＝f(x) 的图象上所有点 纵 坐标 横坐标 变为原来的A倍， 不变而得到；y ＝ f(ax)(a ＞ 0) 的 图 象 ， 可 将 y ＝ f(x) 的 图 象 上 所 有 点 的 横坐标
变为原来的倍， 纵坐标
不变而得到．
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解：( 先化简，再作图． ) 1 (x≥2) . (x＜2) )( 此函数为偶函数， 2 1x 利用 y＝(2) (x≥0 的图象进行变换． ) )( 利用 y＝l 2x 的图象进行平移和翻折变换． 3 g o －2 2 )( 可先化为 y＝1－ 4 ＝1＋ ， x－1 x－1 2 先作出 y＝－ 的图象，再将其向右平移 1 个单位，再向 x 上平移 1 个单位，即可得所求函数图象．
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题型三 思维提示
函数图象的应用 采用数形结合法解决方程和不等式问题
例 3 若关于 x 的方程 2x＋1＝x＋m 有两个不同的实数 根，求实数 m 的取值范围．
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1 令 Δ＝0，得 m＝1，所以 ≤m＜1 时，两象两交 图有个 2 点，方程有两个不等实根．
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例
设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－1) ( )
与y＝f(1－x)的图象关于
A．直线y＝0对称
B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称 [答案] D
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[解题思路]
作为一选择题可采用如下两种解法：常规
y＝x
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题型一 思维提示
根据函数解析式作图 描点法和图象变换法
例 1 作出下列函数的图象： x＋2 x3 (1)y＝ ；(2)y＝ ； |x| x－1 － (3)y＝|log2x－1|；(4)y＝2 |x 1|.
于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题， 若套用这一结论，必然会得到一个错误的答案.
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高考总复习 · 数学（理）
3 3 )( 因 y＝1＋ 2 ，先出 y＝ 的象 ， 作 图 x x－1 将图向平一单 其象右移个位 ，再上移个位 向平一单 ， x＋2 即 y＝ 得 的象 ，如 ②. 图 图 x－1 )( 先出 y＝l 2x 的象 ， 将图向平一单 3 作 g o 图 再其象下移个 位，保 x 轴方部 留 上的分 ， 将 x 轴方图翻到 下的象折 x 轴方 ， 上 即 y＝| 2x－1|的象 ，如 ③. 得 o g l 图 图 )( 先出 y＝2x 的象 ，再其象 4 作 图 将图在 y 轴边部 左的分 去 ，并出 y 轴边图关 掉 作 右的象于 y 轴 称图 对 的象 ，即 y 得 ＝2|x|的象 ，再 y＝2 |x|的象右移个位 图 将 图向平一单 ，即 y 得 － ＝2|x 1|的象 ，如 ④. 图 图
称 ； y ＝ |f(x)| 的 图 象 可 将 y ＝ f(x) 的 图 象 在 x 轴 下 方 的 部
分
以x轴为对称轴翻折到x轴上方
作出
，其余部分不 当x＜0时 的
变而得到；y＝f(|x|)的图象可先作出y＝f(x)当x≥0时的图象， 再利用偶函数的图象关于 y轴对称 图象．
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x2－x－2 y＝ 2 －x ＋x＋2
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各题的图象如图所示．
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题型二 思维提示 例2
识图 ①奇偶性、单调性 ②周期性
(2010·滨海模拟)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象
如图
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2．研究函数的图象必须与函数的性质有机地结合起来，
实现“数”与“形”的完整统一，切莫将二者割裂开来． 3．作函数的图象必须用平滑的曲线连结，画图时要特
别关注图象的范围、最高(低)点、对称性、图象的形状及变
化趋势等限制条件．
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4．作数图一要据本等数图， 函的象般依基初函的象因 此必熟基初函的象 ，须悉本等数图 ．如正例数反 ：比函、比 例数一函、次数指函、数数 函、次数二函、数数对函、 1 ＋ 的图象． x
求解法和特殊函数法． 下面只讲常规求解法，因为y＝f(x)，x∈R，而f(x－1)的 图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－