2020-2021学年数学人教A版必修4学案：2.1 平面向量的实际背景及基本概念

第二章平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
[目标] 1.知道向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量． 2.记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示． 3.
记住共线向量的概念，并能找共线向量．
[重点] 向量相等及几何表示．
[难点] 共线向量．
知识点一向量的概念和表示方法
[填一填]
1．向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．
2．向量的表示
(1)表示工具——有向线段．
有向线段的三个要素：①起点，②方向，③长度．
(2)表示方法：
向量可以用有向线段表示，向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.
[答一答]
1．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？
提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．
2．两个向量可以比较大小吗？
提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．
知识点二向量的长度(或称模)与特殊向量
[填一填]
1．向量的长度定义：向量的大小．
2．向量的长度表示：向量的长度记作：||；向量a的长度记作：|a|.
3．特殊向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
[答一答]
3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同．
知识点三相等向量与共线向量
[填一填]
1．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a，b 平行，记作a∥b.任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
[答一答]
4．共线向量与相等向量有什么关系？
提示：相等的向量一定共线，而共线的向量不一定相等．
5．零向量与任一向量有什么关系？
提示：规定零向量与任一向量是共线向量．
6．向量平行与直线平行是一样的吗？
提示：两种平行不同．
类型一向量的有关概念
[例1]判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
[分析]解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它
们方向的关系．
(3)不正确．依据规定：0与任一向量平行．
(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方
向不定．
(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任
意移动的．
对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．
(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向
是任意的．因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意．
(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一
个表示向量．
(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，
0的方向是任意的．
[变式训练1]下列说法错误的有(1)(2)．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
解析：(1)错误，单位向量也可能平行；
(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；
(3)正确，a与b只要有零向量，那么a与b都称为共线向量．类型二向量的几何表示
[例2]一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量、、；
(2)求||.
[解](1)向量、、，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线．又||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝200 km.
(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后
作出解答.
(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，
先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.
[变式训练2]在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O的正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值．
解：取每个方格的单位长为1，
依题意，结合向量的表示可知，
(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，
所以||＝＝3.
类型三相等向量与共线向量
[例3]在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量．
(2)求证：＝.
[分析](1)与共线的向量需具备什么条件？(与的方向相同或相反)
(2)＝必须具备什么条件？(①||＝||，②二者方向相同)
[解](1)由满足共线向量的条件得与向量共线的向量有：，，，，，，，，，，.
(2)证明：在▱ABCD中，AD綊BC.
又E、F分别为AD、BC的中点，∴ED綊BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE綊FD，∴＝.
(1)共线向量和相等向量有何关系？(共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量)
(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？
(①证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线)
[变式训练3]给出下列命题：
(1)两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等．
(2)若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点．
(3)在平行四边形ABCD中，一定有＝.
(4)若a＝b，b＝c，则a＝c.
(5)若a＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号是(3)(4)(5)．
解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故(1)不正确.＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确．在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故(3)正确．若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b 方向相同．若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，(4)正确．若a＝b，则a与b的方向一定相同，故a∥b，(5)正确.
1．下列命题正确的是(C)
A．向量与是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
2．下面几个命题：
(1)若a＝b，则|a|＝|b|.
(2)若|a|＝0，则a＝0.
(3)若|a|＝|b|，则a＝b.
(4)若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是(B)
A．0B．1 C．2D．3
3．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(B)
A.与共线
B.与共线
C.与相等
D.与相等
4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝.
5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示．
——本课须掌握的三大问题1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不
一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
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向量在平面几何中的应用
开讲啦利用向量可以证明线段相等、多点共线，判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)，将平面几何与向量结合在一起，可以使问题更加直观、明了．
[典例]如图所示，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，且＝，求证：四边形AMCN是平行四边形．
[证明]∵＝，
∴||＝||，且∥，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝.
∵M，N分别是BC，AD的中点，
∴||＝||，||＝||，
∴||＝||.
又∵∥.
∴四边形AMCN是平行四边形．
[名师点评]若＝，且点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，利用这一重要结论，可以解决与平行、相等有关的平面几何问题．
[针对训练]在四边形ABCD中，若∥且||≠||，则四边形ABCD 的形状是梯形．
解析：∵∥，∴AB∥CD，∵||≠||，∴AB≠CD.
∴四边形ABCD为梯形.。