2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练(六十七)绝对值不等式 (1)
2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件绝对值不等式
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2．若不等式|kx－4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3}，则实数 k＝ ________.
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案：2 3．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________． 解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 所以所求函数的最小值为 8. 答案：8
得12≤x<2 或 0<x<12或无解． 故不等式 f(x)<|x|＋1 的解集为{x|0<x<2}． (2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋ |2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56<1. 故不等式 f(x)＜1 得证．
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2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数 f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|(m∈R )，
若关于 x 的不等式 f(x)≤|2x＋1|的解集为 A，且34，2⊆A，求实数 m 的取值范围．
解：∵34，2⊆A，∴当 x∈34，2时，不等式 f(x)≤|2x＋1|恒成立， 即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在 x∈34，2上恒成立， ∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1， 即|x＋m|≤2 在 x∈34，2上恒成立， ∴－2≤x＋m≤2， ∴－x－2≤m≤－x＋2 在 x∈34，2上恒成立， ∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min， ∴－141≤m≤0，故实数 m 的取值范围是－141，0.
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一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)若|x|>c 的解集为 R ，则 c≤0.
(× )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2 的解集为∅.
2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(六十七)绝对值不等式 Word版含解析
课时跟踪练(六十七)A 组 基础巩固1．(2019·郑州调研)设函数f (x )＝|x ＋a |＋2a .(1)若不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≥k 2－k －4恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)因为|x ＋a |＋2a ≤1，所以|x ＋a |≤1－2a ，所以2a －1≤x ＋a ≤1－2a ，所以a －1≤x ≤1－3a .因为不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，所以解得a ＝－1.{a －1＝－2，1－3a ＝4，)(2)由(1)得f (x )＝|x －1|－2.不等式f (x )≥k 2－k －4恒成立，只需f (x )min ≥k 2－k －4，所以－2≥k 2－k －4，即k 2－k －2≤0，解得－1≤k ≤2，所以实数k 的取值范围是[－1，2]．2．(2019·太原质检)已知函数f (x )＝|x －1|－a (a ∈R)．(1)若f (x )的最小值不小于3，求a 的最大值；(2)若g (x )＝f (x )＋2|x ＋a |＋a 的最小值为3，求a 的值．解：(1)因为f (x )min ＝f (1)＝－a ，所以－a ≥3，解得a ≤－3，即a max ＝－3.(2)g (x )＝f (x )＋2|x ＋a |＋a ＝|x －1|＋2|x ＋a |.当a ＝－1时，g (x )＝3|x －1|≥0，0≠3，所以a ＝－1不符合题意；当a <－1时，g (x )＝{（x －1）＋2（x ＋a ），x ≥－a ，（x －1）－2（x ＋a ），1≤x <－a ，－（x －1）－2（x ＋a ），x <1，)即g (x )＝{3x －1＋2a ，x ≥－a ，－x －1－2a ，1≤x <－a ，－3x ＋1－2a ，x <1，)所以g (x )min ＝g (－a )＝－a －1＝3，解得a ＝－4.当a >－1时，同理可知g (x )min ＝g (－a )＝a ＋1＝3，解得a ＝2.综上，a ＝2或a ＝－4.3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b的最小值．解：(1)f (x )＝{－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．(2019·衡水中学质检)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|.(1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )>＋a 的解集包含[2，3]，求实数a 的取值范围．1x解：(1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，当x <－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2，解得x ≤－，故x <－3；12当－3≤x ≤1时，原不等式可化为2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2，解得x ≤，故－3≤x ≤；3434当x >1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解．综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为.(－∞，34](2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|>＋a 在[2，3]上恒成立，1x则3x ＋1－>a 在[2，3]上恒成立．1x又因为g (x )＝3x ＋1－在[2，3]上为增函数，1x所以有3×2＋1－>a ，解得a <.12132故实数a 的取值范围为.(－∞，132)B 组 素养提升5．设函数f (x )＝＋|x |(x ∈R)的最小值为a .|12x ＋1|(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求＋的最小值．1m 1n解：(1)f (x )＝{－32x －1，x ＜－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x ＞0.)当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增；所以当x ＝0时，f (x )取最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，1mn 由于m ＞0，n ＞0，则＋≥2≥2，当且仅当m ＝n ＝时取等号．1m 1n 1mn 222所以＋的最小值为2.1m 1n26．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3.(1)求不等式f (x )≤2的解集；(2)若直线y ＝kx －2与函数f (x )的图象有公共点，求k 的取值范围．解：(1)由f (x )≤2，得或{x ≤1，2－2x ≤2，){1<x <4，0≤2，)或{x ≥4，2x －8≤2，)解得0≤x ≤5，故不等式f (x )≤2的解集为[0，5]．(2)f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3＝{2－2x ，x ≤1，0，1<x <4，2x －8，x ≥4，)作出函数f (x )的图象，如图所示．直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)，当此直线经过点B (4，0)时，k ＝；12当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2.故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪.[12，＋∞)7．(2019·唐山模拟)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m .(1)求m 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求＋的最小值．a 2b ＋1b 2a ＋1解：(1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1，所以f (x )的最大值为1，所以m ＝1.(2)由(1)可知，a ＋b ＝1，所以＋＝[(a ＋1)＋(b ＋1)]a 2b ＋1b 2a ＋113(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)＝13[a 2（a ＋1）b ＋1＋b 2（b ＋1）a ＋1＋a 2＋b 2]≥(2ab ＋a 2＋b 2)＝(a ＋b )2＝，131313当且仅当a ＝b ＝时取等号，12所以＋的最小值为.a 2b ＋1b 2a ＋1138．(2019·青岛模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|2x －1|.(1)解不等式f (x )>3－4x ；(2)若f (x )＋|1－x |≥6m 2－5m 对一切实数x 都成立，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x －1|＋|2x －1|＝{3x －2，x ≥1，x ，12<x <1，－3x ＋2，x ≤12，)所以由不等式f (x )>3－4x ，得或或{x ≥1，3x －2>3－4x ，){12<x <1，x >3－4x ，){x ≤12，－3x ＋2>3－4x ，)解得x >，35所以原不等式的解集为.{x |x >35}(2)f (x )＋|1－x |＝|x －1|＋|2x －1|＋|1－x |＝2|x －1|＋|2x －1|＝|2x －2|＋|2x －1|≥|2x －2－(2x －1)|＝1，当且仅当(2x －2)(2x －1)≤0时取等号，故f (x )＋|1－x |的最小值为1，又f (x )＋|1－x |≥6m 2－5m 对一切实数x 都成立，所以1≥6m 2－5m ，解得－≤m ≤1，16所以m 的取值范围为.[－16，1]。
绝对值不等式高考真题和典型题
绝对值不等式高考真题和典型题1．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．3.已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．4.已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.5.设函数f(x)＝lg (|2x－1|＋2|x＋1|－a)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．参考答案1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解；当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112.综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ，由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎨⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎨⎧ x <a ，2x ＋a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由－a 2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不符合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤a 4. 由a 4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.4.解 (1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x ≤4，2x －6，x >4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤112. 5.解 (1)当a ＝4时，f (x )＝lg (|2x －1|＋2|x ＋1|－4)，此时x 应满足|2x －1|＋2|x ＋1|>4.当x ≤－1时，1－2x －2x －2>4，解得x <－54；当－1<x <12时，1－2x ＋2x ＋2>4，无解；当x ≥12时，2x －1＋2x ＋2>4，解得x >34.综上所述，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－54或x >34. (2)函数f (x )的定义域为R ，即|2x －1|＋2|x ＋1|－a >0在R 上恒成立，即a <(|2x －1|＋2|x ＋1|)min .因为|2x －1|＋2|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3， 所以a <3，即实数a 的取值范围为(－∞，3)．。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解72---绝对值不等式
高考数学一轮复习考点知识专题讲解绝对值不等式考点要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c .知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.(×) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.(√)(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．(×) (4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．(√) 教材改编题1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为() A ．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 答案D解析由题意得⎩⎨⎧ |2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎨⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，∴不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为______．答案(－∞，4)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．答案R解析∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.题型一绝对值不等式的解法例1(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，当x ≥1时，2x ＋2≥6，得x ≥2；当－3<x <1时，4≥6，此时没有x 满足条件； 当x ≤－3时，－2x －2≥6，得x ≤－4. 综上，不等式f (x )≥6的解集为 {x |x ≤－4或x ≥2}．(2)f (x )＝|x －a |＋|x ＋3|≥|(x －a )－(x ＋3)|＝|a ＋3|， 当且仅当(x －a )(x ＋3)≤0时，等号成立． 所以f (x )min ＝|a ＋3|>－a ， 当a <－3时，－a －3>－a ，无解； 当a ≥－3时，a ＋3>－a ，解得a >－32，综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.教师备选已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )<4的解集；(2)若不等式f (x )－|a ＋1|<0有解，求a 的取值范围．解(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∵f (x )<4， ∴⎩⎨⎧－2x <4，x ≤－1或⎩⎨⎧2<4，－1<x ≤1或⎩⎨⎧2x <4，x >1，∴－2<x ≤－1或－1<x ≤1或1<x <2，故不等式的解集为(－2,2)． (2)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴f (x )min ＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号， ∵f (x )－|a ＋1|<0有解， ∴|a ＋1|>f (x )min ＝2， ∴|a ＋1|>2，∴a ＋1<－2或a ＋1>2，即a <－3或a >1， 故a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象； (2)若f (x ＋a )≥g (x )，求a 的取值范围． 解(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x <－32，4x ＋2，－32≤x <12，4，x ≥12，作出图象，如图所示．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，函数f (x ＋a )的图象即为将函数f (x )的图象向左或向右平移|a |个单位长度，当a ≤0时，即为将函数f (x )的图象向右平移|a |个单位长度得到f (x ＋a )的图象，此时函数f (x ＋a )的图象始终有部分图象位于函数g (x )的图象下方，无法满足f (x ＋a )≥g (x )，则要满足f (x ＋a )≥g (x )， 需a >0，f (x ＋a )＝|x ＋a －2|，当函数y ＝|x ＋a －2|的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，4时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋a －2＝4， 解得a ＝112或a ＝－52(舍去)， 根据图象可得若f (x ＋a )≥g (x )，则a ≥112，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫112，＋∞.题型二 利用绝对值不等式的性质求最值 例2已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤6；(2)若不等式f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解，求实数a 的取值范围．解(1)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x <－12，x ＋5，－12≤x ≤4，3x －3，x >4，当x <－12时，－3x ＋3≤6，即x ≥－1，∴－1≤x <－12；当－12≤x ≤4时，x ＋5≤6，即x ≤1，∴－12≤x ≤1；当x >4时，3x －3≤6，即x ≤3(舍去)． 综上得f (x )≤6的解集为[－1,1]．(2)f (x )＋|x －4|＝|2x ＋1|＋|2x －8|≥9，⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当－12≤x ≤4时取等号 ∵f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解， ∴a 2－8a >9，(a －9)(a ＋1)>0，a <－1或a >9，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 教师备选已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －k |(其中k ≥2)． (1)若k ＝4，求f (x )＋g (x )<9的解集；(2)∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立，求实数k 的值． 解(1)若k ＝4，则f (x )＋g (x )<9，即|x －3|＋|x －4|<9， 即⎩⎨⎧x <3，3－x ＋4－x <9或⎩⎨⎧3≤x ≤4，x －3＋4－x <9或⎩⎨⎧x >4，x －3＋x －4<9，解得－1<x <3或3≤x ≤4或4<x <8， ∴原不等式的解集为{x |－1<x <8}． (2)∵k ≥2，且x ∈[1,2]， ∴x －3<0，x －k ≤0，∴f (x )＝|x －3|＝3－x ，g (x )＝|x －k |＝k －x ， 则∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立， 即∀x ∈[1,2]，x ＋3≥2k 恒成立， ∴4≥2k ，即k ≤2， 又k ≥2，∴k ＝2.思维升华 求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值的三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值． 跟踪训练2已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求a 的取值范围． 解(1)由题意得|x ＋1|>|2x －1|， 所以|x ＋1|2>|2x －1|2，整理可得x 2－2x <0，解得0<x <2， 故原不等式的解集为{x |0<x <2}． (2)由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立， 设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，由g (x )的单调性可知，当x ＝12时，g (x )取得最大值，且最大值为1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)． 题型三 绝对值不等式的综合应用 例3设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 教师备选(2020·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x <4，2x －7，x ≥4.当x ≤3时，令7－2x ≥4，解得x ≤32；当3<x <4时，1≥4，无解；当x ≥4时，令2x －7≥4，解得x ≥112. 因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤32或x ≥112. (2)将题目转化为f (x )≥4恒成立，即f (x )min ≥4.因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，所以(a －1)2≥4，即|a －1|≥2.解得a ≥3或a ≤－1. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3(2022·白山联考)已知函数f (x )＝|x －2|－a |x ＋1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<x 的解集；(2)当a ＝2时，若关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，求实数m 的取值范围． 解(1)由已知不等式|x －2|－|x ＋1|<x ，得|x －2|<x ＋|x ＋1|，当x ≥2时，不等式为x －2<x ＋x ＋1，解得x >－3，所以x ≥2；当－1<x <2时，不等式为2－x <x ＋x ＋1，解得x >13，所以13<x <2； 当x ≤－1时，不等式为2－x <x －x －1，解得x >3，此时无解．综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)由题意，函数f (x )＝|x －2|－2|x ＋1|，可得f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋4，x ≤－1，－3x ，－1<x <2，－x －4，x ≥2，f (x )的图象如图．f (－3)＝1，f (－2)＝2，f (－1)＝3，f (0)＝0，因为关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，由图可知，1≤m ＋1<2，所以0≤m <1，故m 的取值范围为[0,1)．课时精练1．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围．解(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1.(2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，则⎩⎨⎧ a ≤1，3(1－a )－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ 1<a ≤2，3(a －1)－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ a >2，3(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a >2， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .(1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎨⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不符合题意；当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意．综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1,0)．3．已知函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －3|(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求不等式f (x )＋1>0的解集；(2)已知a >0，若f (x )＋3a >2对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解(1)因为a ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <12，3x －4，12≤x ≤3，x ＋2，x >3，所以不等式f (x )＋1>0等价于 ⎩⎨⎧ x <12，－x －2＋1>0或⎩⎨⎧ 12≤x ≤3，3x －4＋1>0或⎩⎨⎧x >3，x ＋2＋1>0，解得x <－1或x >1.所以不等式f (x )＋1>0的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)因为a >0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －a －3，x <－a 2，3x ＋a －3，－a 2≤x ≤3，x ＋a ＋3，x >3.根据函数的单调性可知函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2－3， 因为f (x )＋3a >2恒成立，所以－a 2－3＋3a >2，解得a >2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．4．(2022·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋1.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )＋x <2；(2)若存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得不等式f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|的解集非空，求b 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，函数f (x )＝|2x ＋2|＋1，解不等式f (x )＋x <2化为|2x ＋2|＋1＋x <2，即|2x ＋2|<1－x ，∴x －1<2x ＋2<1－x (x <1)，解得－3<x <－13，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <－13. (2)由f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|， 得b ≤|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，设g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，则不等式的解集非空，等价于b ≤g (x )max ，由g (x )≤|(2x ＋a )－(2x ＋a 2)|＋1＝|a 2－a |＋1，∴b ≤|a 2－a |＋1.由题意知存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得上式成立， 而函数h (a )＝|a 2－a |＋1在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝139， ∴b ≤139， 即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，139. 5．设f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数x (x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎨⎧ x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2，解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12. 综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3， 当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0时取等号， 因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 所以|a －2|＋|a ＋1|≥6，解得a ≤－52或a ≥72， 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.。
高中数学-课时跟踪检测(五)绝对值不等式的解法新人教A版选修
课时跟踪检测(五) 绝对值不等式的解法1．不等式|x ＋1|>3的解集是( )A ．{x |x <－4或x >2}B ．{x |－4<x <2}C ．{x |x <－4或x ≥2}D ．{x |－4≤x <2}解析：选A |x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x <－4或x >2.2．满足不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( )A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72 解析：选C |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析：选D 由1≤|2x －1|<2，得1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32. 4．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |＞3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C ．(－4,2)D ．[－4,1]解析：选A 由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |＞3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|＞3即可，所以m ＋1＞3或m ＋1＜－3，解得m ＞2或m ＜－4，故实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(x ＋2)2≥x 2， ∴x 2＋4x ＋4≥x 2，即x ≥－1，∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}．答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔－x －1<2x －1<x ＋1⇔错误!⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a |，若函数f (x )的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围为________．解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3，所以f (x )的最小值为3－|a 2－2a |.由题意，得|a 2－2a |＜3，解得－1<a <3.答案：(－1,3)8．解不等式：|x 2－2x ＋3|<|3x －1|.解：原不等式⇔(x 2－2x ＋3)2<(3x －1)2⇔[(x 2－2x ＋3)＋(3x －1)][(x 2－2x ＋3)－(3x －1)]<0 ⇔(x 2＋x ＋2)(x 2－5x ＋4)<0 ⇔x 2－5x ＋4<0(因为x 2＋x ＋2恒大于0)⇔1<x <4. 所以原不等式的解集是{x |1<x <4}．9．解关于x 的不等式|2x －1|<2m －1(m ∈R)．解：若2m －1<0，即m ≤12，则|2x －1|<2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1>0，即m >12， 则－(2m －1)<2x －1<2m －1，所以1－m <x <m .综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅； 当m >12时，原不等式的解集为{x |1－m <x <m }．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0， 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.。
高考数学一轮复习课时规范练67绝对值不等式(含解析)新人教A版理
课时规范练67 绝对值不等式基础巩固组1.(2020全国Ⅱ,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.2.(2021四川绵阳一诊)已知函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|.(1)在如图所示的网格图中画出函数f(x)的图象;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(2m+1),求m的取值范围.综合提升组3.已知函数f(x)=|x+1|+|2x-2|,g(x)=|x-1|+|x+3m|-m.(1)求函数f(x)的最小值;(2)对于任意x1∈R,存在x2∈R,使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数m的取值范围.创新应用组4.(2021广西桂林模拟)已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x+2|.(1)若f(x)+2g(x)的最小值为2,求实数a的值;(2)若关于x的不等式f(x)+g(x)<6的解集为A,若[1,2]⊆A,求实数a的取值范围.答案：课时规范练1.解:(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4.所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).2.解: (1)由已知条件可得,f (x )={ -4,x ≤-12,4x -2,-12<x <32,4,x ≥32. 作出函数图象如图所示.(2)由(1)的图象可得,实数m满足-52<2m-1<32或-12<2m+1<72,解得-34<m<54.所以实数m 的取值范围为-34,54.3.解:(1)∵f (x )=|x+1|+|2x-2|={-3x +1,x <-1,-x +3,-1≤x ≤1,3x -1,x >1,∴f (x )min =f (1)=2,故当x=1时,f (x )取得最小值2.(2)由(1)得f (x )min =2,而g (x )=|x-1|+|x+3m|-m ≥|x-1-x-3m|-m=|1+3m|-m ,当且仅当x=1时,等号成立.由题意知,对任意x 1∈R ,存在x 2∈R 使得f (x 1)≥g (x 2)成立,则f (x )min ≥g (x )min ,即2≥|1+3m|-m ,所以{2+x ≥0,(2+x )2≥(1+3x )2,解得-34≤m ≤12, 即m 的取值范围为-34,12.4.解: (1)∵f (x )+2g (x )=|2x-a|+|2x+4|≥|2x-a-2x-4|=|-a-4|,当且仅当(2x-a )(2x+4)≤0时,等号成立,∴|a+4|=2,解得a=-2或-6.(2)由f (x )+g (x )<6得|2x-a|+|x+2|<6,当x ∈[1,2]时,|2x-a|+|x+2|=|2x-a|+x+2<6,即|2x-a|<4-x ,{2x -x <4-x ,2x -x >x -4,解得a-4<x<4+x 3, 由[1,2]⊆A ,∴{x +43>2,x -4<1,解得2<a<5,即a 的取值范围为(2,5).。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数.（1）解不等式: ；（2）当时, 不等式恒成立,求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于，可以转化为，所以分3种情况，，进行讨论去掉绝对值符号解不等式；第二问，，所以利用不等式的性质得到最大值代入上式，解不等式，得到a的取值范围.试题解析：（1）原不等式等价于:当时, ,即；当时, ,即；当时, ,即.综上所述,原不等式的解集为. （5分）（2）当时,=所以（10分）【考点】绝对值不等式的解法、不等式的性质.2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】记，则不等式有实数解等价于，因为，故【考点】绝对值三角不等式.4.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．5.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
【答案】-9【解析】解：由关于x的不等式的解集不是空集得：即a的最小值是，所以答案应填．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．6.若存在实数使成立，则实数的取值范围_______【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.7.已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝()A．0B．-1C．-2D．-3【答案】A【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，∴t＝0，选A.8.解不等式：|x＋1|>3.【答案】(－∞，－4)∪(2，＋∞)．【解析】由|x＋1|＞3得x＋1＜－3或x＋1＞3，解得x＜－4或x＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．9.解不等式：|2x－1|－|x－2|<0.【答案】{x|－1＜x＜1}．【解析】原不等式等价于不等式组①无解；②解得<x<1；③解得－1＜x≤.综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．10.解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1.【答案】{x|x<－或x>2}【解析】①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．11.解不等式：|x－1|>.【答案】{x|x<0或x>2}【解析】当x<0时，原不等式成立；当x≥1时，原不等式等价于x(x－1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2；当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．12.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】（1）x≤1或x≥4（2）－3≤a≤0【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≥3，|x－3|＋|x－2|≥3，或或解得x≤1或x≥4.(2)原命题f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立，故－3≤a≤0.13. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A.；B．；C．【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C.由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.14.设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据绝对值不等式公式可得的解集，根据其解集与集合可得的值。
浙江专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五绝对值不等式含解析
课时跟踪检测（五） 绝对值不等式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 •已知a ，b € R ,则使不等式| a + b | < | a | + | b | 一定成立的条件是（ ）A. a + b >0B . a + b < 0D . ab < 0解析：选 D 当 ab >0 时，| a + b | = | a | +1 b |，当 ab < 0 时，| a + b | < | a | + | b |，故选解析：选 A 由题意得 A = — 2, 2 , B=( —o,— 3)u [0,+o )(?R A ) n B =(—3.不等式|x + 2| > 3X ；14的解集是（ ） A. ( — 3, — 2) B . ( — 2,0)C. (0,2)D . (—o,— 3) U (2 ,+o)解析：选D 不等式即为5(x + 2) >3x + 14或5( x + 2) <— (3x + 14)，解得x >2或x < —3，故选D.4.不等式|x — 1| — | x — 5| < 2的解集为 ________________ .解析：不等式 |x — 1| — |x — 5| < 2 等价于 x < 1,‘1W x w 5, £或 ]-x — 1 + x — d < 2x — 1 + x —5< 2x > 5,或 ix —1 — x —5 < 2,x < 1,1< x w 5, 1 x > 5, 即i或<或—4< 2|2x < 84 < 2 ,故原不等式的解集为{x | x < 1} U {x |1 w x < 4} U ? = {x | x < 4}. 答案：{x | x < 4}C. ab > 0D.2. 设集合A = {x ||4 x — 1| < 9, x € R}, B=)xIA . (—o,—3) U F +o [• 也，十丿B .(—3, -2] u ||0,C .(—o, —3] UE ,+o 丿D . (—3, —2],则（?R A ）n B =（ ）o o,-3) U ||,+o ；5•不等式|x (x — 2)| > x (x — 2)的解集为 ___________ . 解析：不等式|x (x — 2)| >x (x — 2)的解集即x (x — 2) v 0的解集，解得O v x < 2. 答案：{x |0 < x < 2}—保咼考，全练题型做到咼考达标 1. (2018 •台州联考)不等式(1 + x )(1D .既不充分也不必要条件解析：选B 令a = 0, b =2,则| a | + | b | > 1成立，但推不出b <— 1;反之，若b < — 1,则| b | > 1,又| a | >0,所以| a | + | b | > 1.所以 “I a | +1 b | > 1” 是“ b < — 1” 的必要不充 分条件.3. 不等式|x — 5| + | x + 3| > 10的解集是()A. [ — 5,7]B. [ — 4,6]C. ( —a,— 5] U [7,+s )D. ( —a,— 4] U [6 ,+^)解析：选 D 当 x <— 3 时，| x — 5| + | x + 3| = 5 — x — x — 3= 2 — 2x > 10,即 x w — 4,「.x w — 4.当一3< x < 5 时，| x — 5| + | x + 3| = 5 — x + x + 3 = 8》10,不成立，.••无解. 当 x 时，|x — 5| + | x + 3| = x — 5+ x + 3= 2x — 2》10, 即卩X 》6,— x 》6.综上可知，不等式的解 集为(一a, — 4] U [6 ,+a ).4. 不等式x 2— |x —1| — 1W0的解集为( )A. {x | — 2w x w 1} B . {x | — 1 w x w 2} C. {x |1 w x w 2}D . {x | — 1w x w 1}解析：选A 当x —1》0时，原不等式化为 x 2— x w 0,解得0w x w 1. x = 1; 当x —1< 0时，原不等式化为 x 2 + x — 2w 0,—|x |) > 0的解集是(A. {x |0 w x < 1} B . {x | x < 0 且 X M — 1}C. {x | — 1 < x < 1}D . {x | x < 1 且 X M —1}x > 0, 解析：选D 不等式等价于二x 2> 0 x < 0,或 1 + x 2> 0,解得0w x < 1或x < 0且X M — 1.故选 D.2.已知 a , b € R ,则 “| a | + | b | > 1” 是“ b < — 1” 的(A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件解得—2w x w 1. ••• —2w x< 1.综上，—2w x w 1.所以原不等式的解集为{x| —2w x w 1}，故选A.1 25. (2018 •长沙六校联考)设f (x) =- x2—bx+ c,不等式f(x) < 0的解集是(—1,3),若af(7 + |t|) > f(1 + t2)，则实数t的取值范围为()A. ( —3,1) B . ( —3,3)C. ( —1,3) D . ( —1,1)解析：选B ••• f(x) v 0的解集是(—1,3),••• a>0, f (x)的对称轴是x = 1，且ab= 2.•••f(x)在[1 ,+R)上单调递增.2又T 7+ |t| >7,1 + t > 1,2 2•••由f(7 + |t|) > f (1 + t )，得7 + |t| > 1 + t .•|t|2—|t| —6v 0，解得—3v t v 3. 故选 B.6. 已知函数f (x) = |x + 6| —| m—x|( m€R),若不等式f (x) W7对任意实数x恒成立，则m的取值范围为_________ .解析：由绝对值三角不等式得 f (x) = |x + 6| —| m-x| w| x+ 6 + m- x| = | m+ 6|，由题意得|计6| w乙则—7< m+ 6< 7,解得—13W me 1,故m的取值范围为[—13,1].答案：[—13,1]7. ______________________________________________________________________ 设| x —2| v a时，不等式|x2—4| v 1成立，则正数a的取值范围为___________________________ .解析：由| x—2| v a 得2—a v x v a+ 2,由|x2—4| v 1,得3v x2v 5,所以一.5v x v—, 3或.3v x v 5.yj3^2—a, 厂因为a>0,所以由题意得解得o v a w{3 —2,0+ 2^/5.故正数a的取值范围为(0 , 5 —2].答案：(0 , 5—2]28. _________________ (2018 •杭州五校联考)已知不等式|x —4x+ a| + |x —3| <5的x的最大值为3,则实数a的值是__ .解析：T x<3,二|x —3| = 3 —x.右x —4x+ a v 0，则原不等式化为x —3x+ a + 2》0.此不等式的解集不可能是集合{x|x < 3}的子集，•- x —4x+ a v 0 不成立.于是，x —4x+ a》0,则原不等式化为x2—5x+ a—2< 0.2 2■/x<3,令x —5x+ a—2= (x—3)( x—m = x —(n+ 3)x+ 3m,比较系数，得m= 2, • a =8.答案：89. 已知|2 x —3| <1的解集为[m n].(1)求vrn- n 的值；⑵若 | x - a | v n ,求证：| x | v | a | + 1.解：(1)不等式|2 x -3| W1可化为一K2 x -3W 1, 解得 K x w 2,所以 m= 1, n = 2, n = 3.⑵证明：若 | x — a | v 1,则 | x | = | x - a + a | <1 x - a | + | a | v | a | + 1.即 | x | v | a | + 1.10. (2018 •杭州质检)已知函数f (x ) = | x - 4| + | x -a |( a € R)的最小值为a . (1) 求实数a 的值； (2) 解不等式f (x ) < 5.解：(1) f (x ) = | x -4| + |x - a | >| a - 4| = a , 从而解得a = 2.[-2x + 6, x < 2,(2)由(1)知，f (x ) = |x -4| + |x -2| = 2, 2v x <4,2x — 6, x > 4.1故当 x <2 时，令一2x + 6< 5,得 < x < 2, 当2v x <4时，显然不等式成立，11当 x >4 时，令 2x -6< 5,得 4v x <2,三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018 •金丽衢十二校联考)设a , b 为实数，则“| a -b 2| + | b -a 2| < 1”是“ j a -2.已知函数 f (x ) = |x -1| + | x -a |( a > 1).1 5(1)若不等式f(x)》2的解集为xx < 2或x '鼻⑵ 若对任意的x € R,都有f (x ) + |x -1| > 1,求实数a 的取值范围.1 111,-< x < —2 2故不等式f (x ) <5的解集为 A.充分不必要条件.必要不充分条件C.充要条件•既不充分也不必要条件解析：选A1212,32a -2 2 +b -12< 3? a 2-a + J + b 2-b + 4<|? a 2-a + b 2- b <1? b 2- a2 2 -2 2 2+ a - b < 1,令 b - a = x , a - b = y ,则 | x | +1 y | >1 x + y | > x + y ,所以 | x | + | y | <1 ? x + y < 1,故充分性成立，必要性不成立，故选 A.，求a 的值;2x — a — 1，x >a ，解：(1) f (x ) = |x — 1| + |x — a | = a — 1，1W x v a ，—2x + a + 1，x v 1，a + 3 5当 x >a 时，由 2x — a -1>2,解得 x > =-;当 x v 1 时，由一2x + a +1>2,解得 x w 综上得a = 2.(2)由 x € R,f (x ) +1 x —1| > 1,可得 2| x —1| + | x — a | > 1.当 x >a 时，只需 3x — 2— a >1 3恒成立即可，此时只需 3a — 2 — a >l ? a > ；当1w x v a 时，只需x — 2 + a 》l 恒成立即可， 此时只需1 — 2 + a 》l? a 》2；当x v 1时，只需一3x + 2 + a 》1恒成立即可，此时只需一 3 + 2 + a>i ?a >2.综上可得，a 的取值范围为［2，+^).a —1 2。
绝对值不等式练习题及答案
绝对值不等式练习题及答案精品文档绝对值不等式练习题及答案?考纲解读 ?理解不等式a?b?a?b?a?b?掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;?知识梳理1.绝对值的意义 ?___,?????代数意义:a??___,??? ?___,?????几何意义:a是数轴上表示a的点____________。
2. 含绝对值的不等式的解法?a?0时，|f|?a?____________;|f|?a?____________;?去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法;?根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式(?基础训练1.函数y?|x|?|x?3|的最大值为 ___________.2( 函数y?x?4?x?6的最小值为.23.已知方程x?ax?b?0的两根分别为1和2，则不等式ax?b?1的解集为____________ .4.不等式x?x?1?2的解集是 (1 / 13精品文档?典型例题例1 .解不等式5x?1?2?x例2. 解不等式x?1?x?2?5变式1:x?1?x?2?a有解，求a的取值范围变式2:2x?1?x?2?a有解，求a的取值范围变式3:x?1?x?2?a恒成立，求a的取值范围?能力提升1.若关于x的不等式|x?a|?a?2的解集为?x|2?x?4?，则实数a?2.不等式|2x?1|?|x?2|?4的解集为3(若f?x??x?t?5?x的最小值为3, 则实数t的值是________.4. 若不等式x?1x则实数?a?2?1对于一切非零实数x均成立，a的取值范围是_________________。
5(关于x的不等式x?1?x?2?a?a?1的解集为空集，则实数a的取值范围是____.6. 若关于x的不等式x?2?x?1?a的解集为R，则实数a的取值范围是_____________.第10课绝对值不等式?知识梳理1.? a,0,?a, ? 到原点的距离.2. ?f?a或f??a，?a?f?a ?基础训练2 / 13精品文档1. ，.，3. ?13??1?，.??,?,1?3????22??典型例题例1. 解:原不等式又化为5x?1?2?x或5x?1??解之得x?16或x??34? 原不等式的解集为{xx?16或x??34}例2. 解:分区间去绝对值: ?x?1?x?2?5?x??2?x????????5???2?x?1????5?x???x?1?x? ???5?? 原不等式的解集为?xx??3??或??x?2?变式1:解:设f?x?1?x?要使f?a有解，则a应该大于f的最小值，?f?x?1?x?2???3, 所以f的最小值为3，?a?3变式2:解:设f?2x?1?x?要使f?a有解，则a应该大于f的最小值，113?f?2x?1?x?2???,223 / 13精品文档所以f的最小值为32， ?a?32变式3:解:设f?x?1?x?要使f?a恒成立，则a应该小于f的最小值，?f?x?1?x?2???3, 所以f的最小值为3，?a?3?能力提升1. ，. ，.或，4. 1?a? ，6.a?3. .，含有绝对值的不等式A卷一、选择题1、设命题A:2,x,3，命题B:| x,|,1，那么11、不等式x+ | x |,6,0的解集是。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.（不等式选讲题）对于任意实数和不等式恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意可得恒成立，等价于小于或等于的最小值.因为.所以.【考点】1绝对值不等式的性质.2.恒成立问题.3.最值问题.2.关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,求a的取值范围.【答案】(1,+∞)【解析】∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,∴a>1.即a的取值范围是(1,+∞).3.设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.(1)求关于x的不等式f(x)≤5的解集.(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.【答案】(1) x∈[-,] (2) m>-2【解析】(1)或或不等式的解集为x∈[-,].(2)若g(x)=的定义域为R.则f(x)+m≠0恒成立,即f(x)+m=0在R上无解,又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,f(x)的最小值为2,所以m>-2.4.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[－2,4]【解析】|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.5.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【解析】因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋＝8，∴当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|<a无解，3|)min故实数a的取值范围为(－∞，8]．6.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．【答案】（1）{x|0＜x＜2}（2）【解析】(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈都成立，应有－≥a－2，则a≤，从而实数a的取值范围是.7.若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】不等式的解集为，所以.，所以，.【考点】不等式8.设函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）原不等式的解集等价于不等式组或的解集的并集；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，恒成立问题，对分类讨论，①，②.试题解析：（Ⅰ）当时，，或或，∴不等式的解集是. 5分[（Ⅱ）不等式可化为，∴，由题意，时恒成立，当时，可化为，，，，综上，实数的取值范围是. 10分【考点】绝对值不等式，恒成立问题.9.（本题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数(1)证明:(2)求不等式:的解集【答案】（1）；（2）【解析】（1）对于x进行分三类讨论，得到关于x的分段函数，进而分别求解得到解集取其并集得到。
2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-绝对值不等式
2020年高考数学一轮复习 绝对值不等式 教材版本 全国通用 课时说明（建议） 2课时 知识点绝对值不等式的解法、不等式的证明、综合运用 复习目标利用几个重要的不等式求函数的最值以及不等式的证明 复习重点利用几个重要的不等式求函数的最值以及不等式的证明 复习难点 考查含参数的绝对值不等式的解法中分类讨论、等价转化的数学思想一、自我诊断 知己知彼1．如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是 ( )． A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13 【答案】B【解析】解不等式1x <2得x <0或x >12. 解不等式|x |>13得x >13或x <－13.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13. 2. 不等式1<|x ＋1|<3的解集为 ( )．A ．(0,2)B ．(－2,0)∪(2,4)C ．(－4,0)D ．(－4，－2)∪(0,2) 【答案】D【解析】原不等式等价于⎩⎨⎧ x ＋1≥0，1<x ＋1<3或⎩⎨⎧ x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎨⎧ x ≥－1，0<x <2或⎩⎨⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2.答案为D. 3．若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，5)B ．[0,5)C ．(－∞，1)D ．[0,1]【答案】A【解析】由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5，∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5.答案为A.4．若不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a 的范围为____________．【答案】[3，＋∞)【解析】由题意得0<x <4⇒|x －1|<a ，则①0<x ≤1，|x －1|＝1－x ，∴0≤1－x <1.②1<x <4，|x －1|＝x －1，∴0<x －1<3.综合①，②得|x －1|<3，∴a ∈[3，＋∞)．5．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．【答案】0≤a ≤14【解析】∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0； 当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14； 当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14无解．综上可知0≤a ≤14.二、温故知新 夯实基础1．绝对值三角不等式（1）性质1：a b +≤a b +.（2）性质2：a b -≤a b -.性质3：a b -a b ≤-≤a b +.2．绝对值不等式的解法（1（2①()0ax b c c +≤>:c ax b c -≤+≤；②()0ax b c c +≥>:ax b c ax b c +≤-+≥或.（3）和型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.三、典例剖析 思维拓展考点一 含有绝对值不等式的解法例1(1)求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集；(2)求|x －1|＋|x ＋2|<5的解集．【答案】略【解析】(1)原不等式可化为：⎩⎨⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎨⎧ －3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎨⎧ x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．(2)分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x <－2，－2≤x ≤1，x >1.当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5，解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5，因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1；当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5， 解得1<x <2.综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．【易错点】注意取并集交集情况【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.例2设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【答案】(1) {x |x ≥3或x ≤－1}；(2) a ＝2.【解析】(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧ x ≤a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.【易错点】代入得整个过程.【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.考点二 不等式的证明例1设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.【答案】略【解析】因为a ，b ，c 为正实数，由平均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc ，当且仅当1a 3＝1b 3＝1c 3即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23，当且仅当3abc ＝abc 即abc ＝3时，等号成立，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.【易错点】容易忽视取等的条件.【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.考点三 不等式的综合应用例1 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）y ＝225x ＋3602x －360 (x >2)；（2）当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.【解析】 法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎨⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5. 从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．法二 (1)同法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．【易错点】忽视取值范围，列式子.【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值.四、举一反三 成果巩固考点一 含有绝对值不等式的解法1、不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解集为________．【答案】(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2答案：(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32 2、若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( )． A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－8【答案】C【解析】由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4.当a >0时，－8a <x <4a .∵解集为(－1,2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －8a ＝－14a ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝1，a ＝2矛盾，故a 不可能大于0.当a ＝0，则x ∈R 不符合题意．当a <0时，4a <x <－8a .∵解集为(－1,2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝－4，a ＝－4.故a ＝－4.3、设函数f (x )＝| x ＋1|＋| x －a|(a ＞0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a 的值．【答案】（1）略；（2）a ＝2.【解析】(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |＝⎩⎨⎧ －2x －1＋ax ＜－1a ＋1 －1≤x ＜a2x ＋1－a x ≥a，函数f (x )如图所示．(2)由题设知：|x ＋1|＋|x －a |≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝5的图象(如图所示)又解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．由题设知，当x ＝－2或3时，f (x )＝5，且a ＋1＜5即a ＜4，由f (－2)＝(－2)×(－2)－1＋a ＝5得a ＝2.考点二 不等式的证明1、已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值。
高一数学绝对值不等式试题答案及解析
高一数学绝对值不等式试题答案及解析1.不等式｜2－x｜≥1的解集是A．｛x｜1≤x≤3｝B．｛x｜x≤1或x≥3｝C．｛x｜x≤1｝D．｛x｜x≥3｝【答案】B【解析】∵｜2－x｜≥1，∴2-x≥1或2-x≤1，解得x≤1或x≥3, 故不等式｜2－x｜≥1的解集是｛x｜x≤1或x≥3｝，选B【考点】本题考查了绝对值不等式的解法点评：解含绝对值不等式的关键是脱掉绝对值符号，有时利用定义，有时利用公式，属基础题2.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为不等式对任意实数恒成立，那么则可知，故选A.3.不等式的解集为_______________．【答案】（– 1，1）【解析】解：因为4.关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】解：去掉绝对值符号，利用分段函数的思想得到解析式为分段研究最小值，并结合图像求解得到a的范围。
5.不等式解集是（）A．（0，2）B．（－∞，0）C．（2，+∞）D．（－∞，0）∪（0，+∞）【答案】A.【解析】,应选A.6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．（C．D．【答案】A【解析】即解得故选A7.不等式的解集为________________.【答案】【解析】略8.若，则下列不等式：中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（3）（4）【答案】C【解析】略9. (不等式选讲选做题)若的最小值为3,则实数的值是________.【答案】2或8【解析】由，得或810.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把x=1代入不等式组验算得x=1是不等式组的解，则排除(B)、(C), 再把x=-3代入不等式组验算得x=-3是不等式组的解，则排除(B)，所以选(D).11.（2014•九江三模）若关于x的不等式|x﹣1|+x≤a无解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【答案】A【解析】通过去掉绝对值符号化简不等式的左侧为函数的表达式，通过函数的最值求出a的范围．解：令y=x+|x﹣1|=，∴函数的最小值为1，∴要使关于x的不等式x+|x﹣1|≤a无解，实数a的取值范围为a＜1．故答案为：（﹣∞，1）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值的应用，绝对值的基本知识的考查，属于中档题．12.（2013•临沂一模）已知集合A={}，B={x||x﹣1|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{0}D．{1}【答案】B【解析】依题意，可求得A={﹣1，0，1}，解不等式|x﹣1|≤1可求得集合B，从而可求得A∩B．解：∵A={x|x=sin，k∈Z}，∴A={﹣1，0，1}；∵|x﹣1|≤1，∴﹣1≤x﹣1≤1，∴0≤x≤2．∴集合B={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查交集及其运算，求得A={﹣1，0，1}是关键，属于中档题．13.（2013•南开区一模）已知A={x||2x﹣1|＜5}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，C=（1，3），则“x∈A∩B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解一元二次不等式求得A和B，可得A∩B=C，故由“x∈A∩B”，可得“x∈C”，而且由“x∈C”可得“x∈A∩B”，从而得“x∈A∩B”是“x∈C”的充要条件．解：∵已知A={x||2x﹣1|＜5}={x|﹣5＜2x﹣1＜5 }=（﹣2，3），B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|（x﹣1）（x﹣4）＜0}=（1，4），C=（1，3），∴A∩B=（1，3），即A∩B=C．故由“x∈A∩B”，可得“x∈C”，而且由“x∈C”可得“x∈A∩B”，“x∈A∩B”是“x∈C”的充要条件，故选C．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于中档题．14.（2013•红桥区二模）已知集合M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，则b﹣a=（）A．﹣3B．﹣1C．3D．7【答案】C【解析】解绝对值不等式求得M={x|﹣3≤x≤2}，再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，从而求得b﹣a的值．解：由于|x+2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故由|x+2|+|x﹣1|≤5可得﹣3≤x≤2，∴集合M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}={x|﹣3≤x≤2}．再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，b﹣a=3，故选C．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．15.（2014•江西二模）若存在x∈R，使|2x﹣a|+2|3﹣x|≤1成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．（5，7）C．[5，7]D．（﹣∞，5]∪[7，+∞）【答案】C【解析】利用绝对值不等式可得|2x﹣a|+2|3﹣x|≥|a﹣6|，依题意，解不等式|a﹣6|≤1即可．解：∵|2x﹣a|+2|3﹣x|=|2x﹣a|+|6﹣2x|≥|2x﹣a+6﹣2x|=|a﹣6|，∴|a﹣6|≤1，解得：5≤a≤7．∴实数a的取值范围是[5，7]．故选：C．点评：本题考查绝对值不等式的解法，求得|2x﹣a|+2|3﹣x|≥|a﹣6|是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．16.（2014•南昌三模）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【答案】D【解析】依题意，关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集⇔a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|，可求其最大值，从而可解关于a的不等式即可．解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，∴a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，则a2+a+1＞f（x）max ，∵f（x）max =1，∴a2+a+1＞1，∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜﹣1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）故选D．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想的应用与一元二次不等式的解法的考查，属于中档题．17.（2014•南昌模拟）对任意x∈R，且x≠0，不等式|x+|＞|a﹣5|+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）∪（6，+∞）B．（2，8）C．（3，5）D．（4，6）【答案】D【解析】根据|x+|≥2结合题意可得2＞|a﹣5|+1，去掉绝对值，求得不等式的解集．解：∵|x+|≥2，不等式|x+|＞|a﹣5|+1恒成立，∴2＞|a﹣5|+1，即|a﹣5|＜1，﹣1＜a﹣5＜1，解得 4＜a＜6，故选：D．点评：本题主要考查基本不等式、绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．18.（2014•江西二模）若存在x∈R，使|2x﹣a|+2|3﹣x|≤1成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．（5，7）C．[5，7]D．（﹣∞，5]∪[7，+∞）【答案】C【解析】利用绝对值不等式可得|2x﹣a|+2|3﹣x|≥|a﹣6|，依题意，解不等式|a﹣6|≤1即可．解：∵|2x﹣a|+2|3﹣x|=|2x﹣a|+|6﹣2x|≥|2x﹣a+6﹣2x|=|a﹣6|，∴|a﹣6|≤1，解得：5≤a≤7．∴实数a的取值范围是[5，7]．故选：C．点评：本题考查绝对值不等式的解法，求得|2x﹣a|+2|3﹣x|≥|a﹣6|是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．19. （2013•中山模拟）若集合M={x ∈N *|x ＜6}，N={x||x ﹣1|≤2}，则M∩∁R N=（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．[1，3） C ．（3，6） D ．{4，5}【答案】D【解析】用列举法求得集合M ，解绝对值不等式求得集合N ，可得C R N ，再根据交集的定义求得M∩C R N 的值．解：∵集合M={x ∈N *|x ＜6}={1，2，3，4，5}，N={x||x ﹣1|≤2}={x|﹣2≤x ﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，∴C R N={x|x ＜﹣1，或x ＞3}， ∴M∩C R N={4，5}， 故选D ．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．20. 解不等式组．【答案】【解析】由题可知，通过十字相乘法求得的解集为或；再由分式不等式的解法求得的解集为，两者取交集，即不等式组的解集为； 试题解析：由得，解得或；由得，解得；即不等式组的解集为；【考点】不等式的解法。
2020高考数学文科大一轮复习导学案《绝对值不等式》含答案
选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式知识点一绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．判断正误(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(×)(2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(×)(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(√)2．(选修4－5P19习题T9改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．解析：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a |≥3，则a ≥3或a ≤－3.3．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a . 证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a .故原不等式得证． 知识点二 含绝对值的不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解法2.|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．(选修4－5P20T7)不等式3≤|5－2x |<9的解集为( D ) A ．[－2,1)∪[4,7) B ．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7)D ．(－2,1]∪[4,7)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．5．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( A ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)解析：|x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．6．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝2.解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.1．|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |，|a |＋|b |之间的关系： (1)|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立．(2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立．2．能含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．考向一 绝对值不等式的性质应用【例1】 设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解】(1)证明：设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12.因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |<12，|b |<12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1 ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值、(2)证明不等式．(1)若a ≥2，x ∈R ，求证：|x －1＋a |＋|x －a |≥3. (2)若f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋1a ＋3|x －a |的最小值为4，求a 的值．解：(1)证明：因为|x －1＋a |＋|x －a |≥|(x －1＋a )－(x －a )|＝|2a －1|，又a ≥2，故|2a －1|≥3，所以|x －1＋a |＋|x －a |≥3成立．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋1a ＋3|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1a －(3x －3a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ＋3a ，所以由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ＋3a ＝4得a ＝1或a ＝13.考向二 含绝对值不等式的解法 方向1 “零点”讨论法解不等式 【例2】 解下列不等式． (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0； (2)|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.【解】 (1)法1：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|， 两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)， 解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >14.法2：原不等式等价于⎩⎨⎧x <－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎨⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，(2x ＋1)－2(x －1)>0.解得x >14， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >14.(2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1， 解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x ≤12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1， 解得x <－25，∴－3≤x <－25. ③当x >12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x2＋1， 解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－25或x >2. 方向2 利用图象法解不等式【例3】 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集． 【解】 (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.含有绝对值的不等式的常见解法(1)对形如|x ＋a |±|x －b |≥c (≤c )这种不等式问题，常用“零点分段讨论法”去掉绝对值符号化为若干个不等式组问题求解，其一般步骤为：①求零点；②划分区间，去绝对值符号；③分别解去掉绝对值符号之后的不等式；④取每个结果的并集．(2)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．(方向1、2)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥0；(2)若方程f (x )＝2x 有三个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为|2x ＋1|－|x |－1≥0，∴⎩⎨⎧x <－12，－(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎨⎧－12≤x <0，(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，(2x ＋1)－x －1≥0，解得x ≤－2或x ≥0，∴不等式f (x )≥0的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )＝2x 得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|， 令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－12，－x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x <0，x －1(x ≥0)，作出函数y ＝g (x )的图象，如图所示，易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，B (0，－1)，结合图象知，当－1<a <－12时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 考向三 利用绝对值不等式求取值范围【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．本题的易错点有三处：一是零点分区间时，不注意端点值能否取到，导致结果出错；二是不会转化，如本题，不懂得利用x ∈(0，1)，把含双绝对值的不等式恒成立问题转化为含单绝对值的不等式恒成立问题，绕了一大圈，空手而归；三是混淆不等式恒成立问题与不等式有解问题，导致所求的结果出错.(2019·石家庄质量监测)已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x .(1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ，∴3x －1<－x 或3x －1>x ，即x <14或x >12，∴不等式f (x )>0的解集为{x |x <14或x >12}．(2)当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥1a ，2(1－a )x ＋1，x <1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点， 只需⎩⎨⎧ 2a－1>0，2(1－a )≤0，即1≤a <2；当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点，不合题意；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≤1a ，2(1－a )x ＋1，x >1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点， 只需⎩⎨⎧ 2a－1<0，2(1－a )≤0，此时无解．综上可知，若函数f (x )的图象与x 轴无交点，则实数a 的取值范围为[1,2)．。
高考数学一轮复习 课时作业63 绝对值不等式 文-人教版高三全册数学试题
课时作业63 绝对值不等式[基础达标]1．[2020·某某某某一中检测]已知不等式|2x ＋3|＋|2x －1|<a 的解集为M . (1)若a ＝6，求集合M ；(2)若M ≠∅，某某数a 的取值X 围．解析：(1)当a ＝6时，原不等式为|2x ＋3|＋|2x －1|<6， 当x ≤－32时，原不等式化为－2x －3＋1－2x <6，解得x >－2， ∴－2<x ≤－32；当－32<x <12时，原不等式化为2x ＋3＋1－2x <6，解得4<6，∴－32<x <12；当x ≥12时，原不等式化为2x ＋3＋2x －1<6，解得x <1，∴12≤x <1.综上所述，集合M ＝{x |－2<x <1}．(2)∵M ≠∅，∴不等式|2x ＋3|＋|2x －1|<a 恒有解． 令f (x )＝|2x ＋3|＋|2x －1|， 则f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋32|＋|x －12|≥4，∴a >4，即实数a 的取值X 围是(4，＋∞)．2．[2020·某某五校联盟质检]已知f (x )＝|x |＋2|x －1|. (1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，某某数a 的取值X 围． 解析：(1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜02－3x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12－x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞13x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2.故不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[)2，＋∞.(2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|. f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x x ＜02－x 0≤x ≤13x －2x ＞1，故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1，解得a ≤－1或a ≥0， 故实数a 的取值X 围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 3．[2020·某某市质量检测]已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4；(2)当x ≠0，x ∈R 时，证明：f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4.解析：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4等价于|2x －1|＋|2x ＋1|≥4， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12－4x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤122≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞124x ≥4，解得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[)1，＋∞.(2)当x ≠0，x ∈R 时，f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝|－2x －1|＋|2x－1|，因为|－2x －1|＋|2x－1|≥|2x ＋2x|＝2|x |＋2|x |≥4；当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1≥02|x |＝2|x |，即x ＝±1时等号成立，所以f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≥4.4．[2020·某某省考试试题]已知f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋1＞f (2x )；(2)若f (m )≤1，f (2n )≤2，求|m －2n －1|的最大值，并求此时实数m ，n 的取值． 解析：(1)原不等式等价于|x －2|＋1＞2|x －1|，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12－x ＋1＞2－2x 或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤22－x ＋1＞2x －2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －2＋1＞2x －2，∴－1＜x ＜1或1≤x ＜53或∅，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. (2)由题意得f (m )＝|m －2|≤1，f (2n )＝|2n －2|≤2， ∴|n －1|≤1，∴|m －2n －1|＝|(m －2)－2(n －1)－1|≤|m －2|＋2|n －1|＋1≤4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝2时，|m －2n －1|取得最大值4.5．[2020·某某市统考]已知f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a . (1)当a ＝－1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求a 的取值X 围． 解析：(1)当a ＝－1时原不等式可化为|x ＋1|－2|x |≥－1，设φ(x )＝|x ＋1|－2|x |，则φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤－13x ＋1，－1＜x ＜0，－x ＋1，x ≥0则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1x －1≥－1，或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜03x ＋1≥－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0－x ＋1≥－1，即－23≤x ≤2.∴原不等式的解集为{x |－23≤x ≤2}．(2)存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立，等价于|x ＋1|≥2|x |＋a 有解， 即φ(x )≥a 有解，即a ≤φ(x )max ，由(1)可知，φ(x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减． ∴φ(x )max ＝φ(0)＝1， ∴a ≤1.6．[2020·某某市诊断测试]已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞1的解集；(2)若不等式f (x )＜x 2＋x ＋m 的解集为R ，某某数m 的取值X 围．解析：(1)原不等式等价于|2x ＋1|－|x －1|＞1， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12－x －3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜13x －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋1＞0，解得x ＜－3或13＜x ＜1或x ≥1.所以原不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞13}．(2)由f (x )＜x 2＋x ＋m 得m ＞－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|. 令g (x )＝－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|，则由题意知m ＞g (x )max .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x －2，x ＜－12－x 2＋2x ，－12≤x ≤1－x 2＋2，x ＞1，作出其图象如图所示，由图象知g (x )max ＝1.所以m ＞1，即m 的取值X 围为(1，＋∞)．[能力挑战]7．[2020·某某市调研测试]已知函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x 在x ∈R 时恒成立，某某数a 的取值X 围． 解析：(1)当a ＝1时，由f (x )＞0，得2|x ＋1|＞|x －1|， ∴4(x ＋1)2－(x －1)2＞0， ∴(3x ＋1)(x ＋3)＞0， ∴x ＞－13或x ＜－3，∴f (x )＞0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－13}．(2)f (x )＝2|x ＋1|－|x －a |≥x 对x ∈R 恒成立， 即|x －a |≤2|x ＋1|－x ，即－2|x ＋1|＋x ≤x －a ≤2|x ＋1|－x ， ∴2x －2|x ＋1|≤a ≤2|x ＋1|对x ∈R 恒成立． 显然2|x ＋1|min ＝0， 令g (x )＝2x －2|x ＋1|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2，x ≤－1－2，x ＞－1，g (x )在(－∞，－1]上单调递增，∴g (x )max ＝－2，∴－2≤a ≤0，即实数a 的取值X 围为[－2,0]．。
2020届高考数学(文)总复习课堂测试：绝对值不等式
课时跟踪检测(七十七)1.求不等式|2x — 1| + |2x + 1|w 6的解集.「XV -1解:原不等式可化为2' 或1 — 2x — 2x — 1 w 6或 x>1,2x — 1 + 2x + 1 w 6. 33解得-3 w x w 3,2 2 即原不等式的解集为2.已知函数f(x)=|x — 4|+ |x — a|(a € R )的最小值为 a. (1) 求实数a 的值； (2) 解不等式f(x) w 5.解：(1)f(x)=|x — 4|+ |x — a|> |a — 4|= a , 从而解得a = 2.—2x + 6, x w 2,(2)由(1)知,f(x)= |x — 4|+ |x — 2|= 2, 2V x w 4,〔2x - 6, x > 4. 1故当 x w 2 时，由一2x + 6w 5，得-w x w 2; 当2<x w 4时，显然不等式成立；11当 x>4 时，由 2x — 6w 5,得 4<x w y, 1 11故不等式f(x)w 5的解集为x 訂x w 寸，:3. (2018 全国卷 I )已知 f(x) = |x + 1|— |ax — 1|. (1) 当a = 1时，求不等式f(x)>1的解集；(2) 若x € (0,1)时不等式f(x)>x 成立，求a 的取值范围. 解: (1)当 a = 1 时,f(x)=|x + 1|— |x — 1|,—2, x w — 1,即 f(x) = 2x , — 1<x<1,2 x > 1.I 1故不等式f(x)>1的解集为‘X x>2⑵当 x € (0,1)时|x + 1| — |ax — 1|>x 成立等价于当 x € (0,1)时 |ax — 1|<1 成立.绝对值不等式--w x w1 — 2x + 2x + 1 w 6 3Y2•X3- 2 X若a w 0,则当x € (0,1)时，|ax—1|> 1;若a>0，则|ax —1|<1 的解集为,0<x<a >, 所以2> 1,故0<a w 2.a综上，a的取值范围为(0,2].4.设函数f(x) = |3x—1|+ ax + 3.(1)若a= 1，解不等式f(x) w 4;⑵若f(x)有最小值，求实数a的取值范围.解：(1)当a= 1 时，f(x)= |3x —1|+ x + 3W 4, 即|3x—1|w 1 —x,” e 1x—1 w 3x—1 w 1 —x,解得0w x w 2，所以f(x)w 4的解集为0, 1 .3+ a x + 2, x> 老⑵因为f(x)= ,a+ 3》0,所以f(x)有最小值的充要条件为乜解得—3w a w 3,a—3w 0,即实数a的取值范围是[—3,3].5. (2019贵阳适应性考试)已知函数f(x)= |x—2|—|x+ 1|.(1)解不等式f(x)> —x;⑵若关于x的不等式f(x)w a2—2a的解集为R,求实数a的取值范围.解：(1)原不等式等价于f(x) + x>0，不等式f(x) + x>0可化为|x —2|+ x>|x + 1|, 当x<—1 时，一(x —2) + x>—(x+ 1),解得x>—3,即一3<x< —1;当一1 w x w 2 时，一(x —2) + x>x + 1，解得x<1，即一1 w x<1;当x>2 时，x—2 + x>x+ 1,解得x>3, 即卩x>3,综上所述，不等式f(x) + x>0的解集为{x| —3<x<1或x>3}.⑵由不等式f(x) w a2—2a 可得|x—2|—|x+ 1|w a2—2a,•/ |x—2| —|x+ 1|w |x—2—x—1|= 3,当且仅当x€ (—I—1]时等号成立, a? —2a》3，即卩a?—2a —3》0，解得a w —1 或a》3.•••实数a的取值范围为(一R,—1] U [3, +I ).6. 已知函数f(x)=|x —a|+ |x+ 1|.(1)若a= 2，求不等式f(x) > x+ 2的解集；⑵如果关于x 的不等式f(x)v 2的解集不是空集，求实数 a 的取值范围.■— 2x + 1, x v — 1,解:(1)当 a = 2 时，f(x)= 3, — 1w x v 2, 2x — 1, x >2,|x v — 1,1w x v 2, 不等式f(x)> x + 2等价于 或I — 2x + 1 > x + 2 |3> x + 2解得x v 1或x >3,故原不等式的解集为{x|x v 1或x > 3}.(2) •/ f(x) = |x — a|+ |x +1|>|(x — a)— (x + 1)|= |a +1|,当(x — a)(x + 1)w 0 时取等号.•••若关于x 的不等式f(x)v 2的解集不是空集，只需|a + 1|v 2, 解得一3v a v 1,即实数a 的取值范围是(一3,1). 7.已知函数 f(x)=|2x — a|+ a.(1)当a = 2时，求不等式f(x) w 6的解集;(2)设函数 g(x)=|2x — 1|.当 x € R 时，f(x) + g(x) > 3, 求 解：(1)当 a = 2 时，f(x)= |2x — 2|+ 2.解不等式 |2x — 2|+ 2W 6，得—1w x w 3. 因此f(x)w 6的解集为{x|— 1 w x w 3}.(2)当 x € R 时，f(x) + g(x)= |2x — a|+ a + |1 — 2x|>3,所以a 的取值范围是［2,+^).8. (2018 福州质检)设函数 f(x)=|x — 1|, x € R (1)求不等式f(x) w 3— f(x — 1)的解集;⑵已知关于x 的不等式f(x)w f(x + 1) — |x — a|的解集为 取值范围.解：⑴因为 f(x) w 3— f(x — 1),x>2, 2x — 3w 3,解得 0w x<1 或 1 w x w 2 或 2<x w 3,x > 2, 或2x — 1 > x + 2a 的取值范围.所以 1 a2—2 3 — a > ，解得 a > 2. M ，若1, 2 ? M ，求实数a 的所以 |x — 1|w 3— |x — 2|? |x — 1|+ |x — 2|w3?x <1 2， 3— 2x w 3 1 w x w 2, 或£或1w 3L+xwewL ——Xs・L w _e■-L ——X -——I X -V E ——X -JOVE ——X-土・6^M_e ——x -——(L +x )4w (x )4・F (g <u x 汕公更s匸^Ks• K O ^M S ^L ——X )4—1 2—x。
2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(一)集合
课时跟踪练(一)A组基础巩固1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 解析：因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2}．故选C.答案：C2．(2019·天门三地联考)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M ＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为() A．3 B．4 C．5 D．6解析：因为A＝{1，2，3}，b＝{4，5}，又M＝{x|a＋b，a∈A，b∈B}，所以M＝{5，6，7，8}，即M中有4个元素．答案：B3．(2018·天津卷)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝()A．{－1，1} B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{2，3，4}解析：因为A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，所以A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，所以(A∪B)∩C＝{－1，0，1}．故选C.答案：C4．设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析：易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．所以∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}．答案：B5.(2019·延安模拟)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1，0，1} B．{－1，0}C．{－1，1} D．{0}解析：B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分表示的集合为∁U(A ∪B)．A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}．答案：D6．(2019·百校联盟TOP20联考)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x ≥3}，所以A∩B＝{3，4}，所以集合A∩B的子集个数为22＝4.答案：D7．(2019·德州二模)设集合A＝{x|x(4－x)>3}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．a≤1 B．a<1 C．a≤3 D．a<3解析：由x(4－x)>3解得1<x<3，即集合A＝{x|1<x<3}．因A∩B＝A，则A⊆B，而B＝{x|x≥a}，所以a≤1.答案：A8．(2019·豫北名校联考)已知集合M＝{x|y＝x－1}，N＝{x|y＝log 2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝()A．[1，2) B．(－∞，1)∪[2，＋∞)C．[0，1] D．(－∞，0)∪[2，＋∞)解析：由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，所以M∩N＝{x|1≤x<2}，所以∁R(M∩N)＝{x|x<1或x≥2}．答案：B9．(2017·江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B ＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为A∩B＝{1}，A＝{1，2}，所以1∈B且2∉B.若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.答案：110．集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x ∈A，且x∉B}，则A－B＝________．解析：由x(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞0，所以B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以A－B＝[－1，0)．答案：[－1，0)11．(2019·上海黄浦模拟)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________．解析：若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 中的元素不满足互异性，故m ≠1；若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意．故答案为2.答案：212．(2019·安徽皖南八校联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0，0)，(4，4)}，所以A ∩B 的真子集个数为22－1＝3.答案：3B 组 素养提升13．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝R解析：因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}． 故选A.答案：A14．(2019·南昌二中月考)已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a≤x ≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)解析：集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 答案：C15.集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是________．解析：易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，所以∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．答案：[1，2)16．(2019·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．解析：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝{x |0<x <c }．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.答案：[1，＋∞)。
2020高考数学(文科)专题复习课标通用版(跟踪检测)：不等式、函数与导数专题1第2讲含答案
1．函数f(x)＝ ＋ 的定义域为( )
A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]
C．(－1，＋∞)D．[－1，＋∞)
C解析由题意得 解得x>－1.故选C项．
2．(20xx·陕西汉中联考)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上递减的函数是( )
A．y＝tanxB．y＝x－3
5．(2020·河南名师联盟调研)设函数f(x)＝ (a∈R，a≠0)，若f(－2 019)＝2，f(2 019)＝( )
A．2B．－2
C．2 019D．－2 019
B解析因为f(x)＝ ，
所以f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)，因此函数f(x)为奇函数，又f(－2 019)＝2，
所以f(2 019)＝－f(－2 019)＝－2.故选B项．
15．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FM＝x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是( )
C解析当x∈ 时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x∈ 时，V(x)增长的速度越来专题复习课标通用版（跟踪检测）：不等式、函数与导数专题1第2讲含答案
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一部分专题一 第2讲
题型
对应题号
1.函数的图象
3,7,9,15
2.函数的性质
1,2,4,5,6,8,10,11,12,13,14
3．(2020·河南南阳一中开学考试)函数f(x)＝ex－e－x－ 的部分图象大致为( )
2020高考数学(文科)专题复习课标通用版(跟踪检测)：不等式、函数与导数专题1第3讲含答案
C．(1，e)D．(e，＋∞)
A解析函数f(x)＝lnx＋ex在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点．当x→0＋时，f(x)→－∞；又f ＝ln ＋e ＝e －1>0，所以函数f(x)＝lnx＋ex的零点所在的区间是 .故选A项．
7．(20xx·四川泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利B．无法判断盈亏情况
C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损
D解析设买入股票时的价格为m(m>0)元，先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m<m，所以该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D项．
9．(2020·贵州凯里一中开学考试)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝ x在 上根的个数为( )
A．4B．3
C．2D．1
B解析由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x－1＋1)＝f(x＋1＋1)，即f(x)＝f(x＋2)，则f(x)的周期T＝2，又x∈[0,1]时，f(x)＝x2，且f(x)为偶函数，则可作出f(x)与g(x)＝ x在 上的图象，如图所示，则关于x的方程f(x)＝ x在 上根的个数为3.故选B项．
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如表所示.
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五绝对值不等式含解析
课时跟踪检测（五） 绝对值不等式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ，则使不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |一定成立的条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a ＋b ＜0 C ．ab ＞0D ．ab ＜0解析：选D 当ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当ab ＜0时，|a ＋b |＜|a |＋|b |，故选D.2．设集合A ＝{x ||4x －1|＜9，x ∈R}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx ＋3≥0，x ∈R ，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞B ．(－3，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，52C ．(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D ．(－3，－2]解析：选A 由题意得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，52，B ＝(－∞，－3)∪[0，＋∞)，∴(∁R A )∩B ＝(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.3．不等式|x ＋2|＞3x ＋145的解集是( )A ．(－3，－2)B ．(－2,0)C ．(0,2)D ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)解析：选D 不等式即为5(x ＋2)＞3x ＋14或5(x ＋2)＜－(3x ＋14)，解得x ＞2或x ＜－3，故选D.4．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集为____________． 解析：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1，－x －＋x －＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞5，x －1－x －＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－4＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，2x ＜8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，4＜2，故原不等式的解集为{x |x ＜1}∪{x |1≤x ＜4}∪∅＝{x |x ＜4}． 答案：{x |x ＜4}5．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集为________．解析：不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2. 答案：{x |0＜x ＜2}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·台州联考)不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：选D 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x 2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，＋x2＞0，解得0≤x ＜1或x ＜0且x ≠－1.故选D.2．已知a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 令a ＝0，b ＝2，则|a |＋|b |＞1成立，但推不出b ＜－1；反之，若b ＜－1，则|b |＞1，又|a |≥0，所以|a |＋|b |＞1.所以“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的必要不充分条件．3．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7]B ．[－4,6] C. (－∞，－5]∪[7，＋∞)D. (－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：选D 当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4，∴x ≤－4.当－3＜x ＜5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．4．不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为( ) A ．{x |－2≤x ≤1} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤1}解析：选A 当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1.∴x ＝1； 当x －1＜0时，原不等式化为x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. 综上，－2≤x ≤1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}，故选A.5．(2018·长沙六校联考)设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )＜0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围为( )A ．(－3,1)B ．(－3,3)C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B ∵f (x )＜0的解集是(－1,3)， ∴a ＞0，f (x )的对称轴是x ＝1，且ab ＝2. ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增． 又∵7＋|t |≥7,1＋t 2≥1，∴由f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，得7＋|t |＞1＋t 2. ∴|t |2－|t |－6＜0，解得－3＜t ＜3. 故选B.6．已知函数f (x )＝|x ＋6|－|m －x |(m ∈R)，若不等式f (x )≤7对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围为________．解析：由绝对值三角不等式得f (x )＝|x ＋6|－|m －x |≤|x ＋6＋m －x |＝|m ＋6|，由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m ＋6≤7，解得－13≤m ≤1，故m 的取值范围为[－13,1]．答案：[－13,1]7．设|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围为____________． 解析：由|x －2|＜a 得2－a ＜x ＜a ＋2， 由|x 2－4|＜1，得3＜x 2＜5， 所以－5＜x ＜－3或3＜x ＜ 5.因为a ＞0，所以由题意得⎩⎨⎧3≤2－a ，a ＋2≤ 5.解得 0＜a ≤5－2，故正数a 的取值范围为(0，5－2]． 答案：(0，5－2]8．(2018·杭州五校联考)已知不等式|x 2－4x ＋a |＋|x －3|≤5的x 的最大值为3，则实数a 的值是____________．解析：∵x ≤3，∴|x －3|＝3－x .若x 2－4x ＋a ＜0，则原不等式化为x 2－3x ＋a ＋2≥0. 此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集， ∴x 2－4x ＋a ＜0不成立． 于是，x 2－4x ＋a ≥0，则原不等式化为x 2－5x ＋a －2≤0.∵x ≤3，令x 2－5x ＋a －2＝(x －3)(x －m )＝x 2－(m ＋3)x ＋3m ，比较系数，得m ＝2，∴a ＝8.答案：89．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.即|x |＜|a |＋1. 10．(2018·杭州质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2＜x ≤4时，显然不等式成立， 当x ＞4时，令2x －6≤5，得4＜x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·金丽衢十二校联考)设a ，b 为实数，则“|a －b 2|＋|b －a 2|≤1”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32⇔a 2－a ＋14＋b 2－b ＋14≤32⇔a 2－a ＋b 2－b ≤1⇔b 2－a＋a 2－b ≤1，令b 2－a ＝x ，a 2－b ＝y ，则|x |＋|y |≥|x ＋y |≥x ＋y ，所以|x |＋|y |≤1⇒x ＋y ≤1，故充分性成立，必要性不成立，故选A.2．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ＞1)．(1)若不等式f (x )≥2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥52，求a 的值； (2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －1，x ≥a ，a －1，1≤x ＜a ，－2x ＋a ＋1，x ＜1，当x ≥a 时，由2x －a －1≥2，解得x ≥a ＋32＝52；当x ＜1时，由－2x ＋a ＋1≥2，解得x ≤a －12＝12. 综上得a ＝2.(2)由x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，可得2|x －1|＋|x －a |≥1.当x ≥a 时，只需3x －2－a ≥1恒成立即可，此时只需3a －2－a ≥1⇒a ≥32；当1≤x ＜a 时，只需x －2＋a ≥1恒成立即可，此时只需1－2＋a ≥1⇒a ≥2；当x ＜1时，只需－3x ＋2＋a ≥1恒成立即可，此时只需－3＋2＋a ≥1⇒a ≥2.综上可得，a 的取值范围为[2，＋∞)．。
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课时跟踪练(六十七)
A 组 基础巩固
1．(2019·郑州调研)设函数f (x )＝|x ＋a |＋2a .
(1)若不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≥k 2－k －4恒成立，求实数k 的取值范围．
解：(1)因为|x ＋a |＋2a ≤1，所以|x ＋a |≤1－2a ，
所以2a －1≤x ＋a ≤1－2a ，所以a －1≤x ≤1－3a . 因为不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，
所以⎩⎨⎧a －1＝－2，1－3a ＝4，
解得a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝|x －1|－2.
不等式f (x )≥k 2－k －4恒成立，
只需f (x )min ≥k 2－k －4，
所以－2≥k 2－k －4，即k 2－k －2≤0，
解得－1≤k ≤2，
所以实数k 的取值范围是[－1，2]．
2．(2019·太原质检)已知函数f (x )＝|x －1|－a (a ∈R)．
(1)若f (x )的最小值不小于3，求a 的最大值；
(2)若g (x )＝f (x )＋2|x ＋a |＋a 的最小值为3，求a 的值．
解：(1)因为f (x )min ＝f (1)＝－a ，所以－a ≥3，
解得a ≤－3，即a max ＝－3.
(2)g (x )＝f (x )＋2|x ＋a |＋a ＝|x －1|＋2|x ＋a |.
当a ＝－1时，g (x )＝3|x －1|≥0，0≠3，所以a ＝－1不符合题意；
当a <－1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）＋2（x ＋a ），x ≥－a ，（x －1）－2（x ＋a ），1≤x <－a ，－（x －1）－2（x ＋a ），x <1，
即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＋2a ，x ≥－a ，－x －1－2a ，1≤x <－a ，－3x ＋1－2a ，x <1，
所以g (x )min ＝g (－a )＝－a －1＝3，
解得a ＝－4.
当a >－1时，同理可知g (x )min ＝g (－a )＝a ＋1＝3，解得a ＝2. 综上，a ＝2或a ＝－4.
3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.
(1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－
12
，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.
y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.
4．(2019·衡水中学质检)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|.
(1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；
(2)若不等式f (x )>1x
＋a 的解集包含[2，3]，求实数a 的取值范围． 解：(1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，
当x <－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2，
解得x ≤－12
，故x <－3； 当－3≤x ≤1时，原不等式可化为2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2，
解得x ≤34，故－3≤x ≤34
；
当x >1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解．
综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，34. (2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|>1x
＋a 在[2，3]上恒成立， 则3x ＋1－1x
>a 在[2，3]上恒成立． 又因为g (x )＝3x ＋1－1x
在[2，3]上为增函数， 所以有3×2＋1－12>a ，解得a <132
. 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，132. B 组 素养提升
5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；
(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n
的最小值． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32
x －1，x ＜－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32
x ＋1，x ＞0.
当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；
当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增；
所以当x ＝0时，f (x )取最小值a ＝1.
(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2
≥2mn ，得1mn ≥2， 由于m ＞0，n ＞0，
则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22
时取等号． 所以1m ＋1n 的最小值为2 2. 6．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3.
(1)求不等式f (x )≤2的解集；
(2)若直线y ＝kx －2与函数f (x )的图象有公共点，求k 的取值范围．
解：(1)由f (x )≤2，得⎩⎨⎧x ≤1，2－2x ≤2，或⎩⎨⎧1<x <4，0≤2，
或⎩⎨⎧x ≥4，2x －8≤2，
解得0≤x ≤5，
故不等式f (x )≤2的解集为[0，5]．
(2)f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤1，0，1<x <4，2x －8，x ≥4，
作出函数f (x )的图象，如图所示．
直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)，
当此直线经过点B (4，0)时，k ＝12
； 当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2.
故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 7．(2019·唐山模拟)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m .
(1)求m 的值；
(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2b ＋1＋b 2
a ＋1
的最小值． 解：(1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1，
所以f (x )的最大值为1，所以m ＝1.
(2)由(1)可知，a ＋b ＝1，
所以a 2b ＋1＋b 2
a ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2
b ＋1＋b 2a ＋1[(a ＋1)＋(b ＋1)] ＝13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 2（a ＋1）b ＋1＋b 2（b ＋1）a ＋1＋a 2＋b 2 ≥13(2ab ＋a 2＋b 2)＝13(a ＋b )2＝13
， 当且仅当a ＝b ＝12
时取等号，
所以a 2b ＋1＋b 2
a ＋1
的最小值为13. 8．(2019·青岛模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|2x －1|.
(1)解不等式f (x )>3－4x ；
(2)若f (x )＋|1－x |≥6m 2－5m 对一切实数x 都成立，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≥1，x ，12<x <1，－3x ＋2，x ≤12
，
所以由不等式f (x )>3－4x ，得
⎩⎨⎧x ≥1，3x －2>3－4x ，或⎩⎪⎨⎪⎧12<x <1，x >3－4x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－3x ＋2>3－4x ，
解得x >35
， 所以原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x >35. (2)f (x )＋|1－x |＝|x －1|＋|2x －1|＋|1－x |
＝2|x －1|＋|2x －1|＝|2x －2|＋|2x －1|≥|2x －2－(2x －1)|＝1， 当且仅当(2x －2)(2x －1)≤0时取等号，
故f (x )＋|1－x |的最小值为1，
又f (x )＋|1－x |≥6m 2－5m 对一切实数x 都成立，
所以1≥6m 2
－5m ，解得－16≤m ≤1， 所以m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－16，1.
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