高中数学_2.1平面向量的实际背景和基本概念课件_新人教A版必修4
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数学：2.1.1《平面向量的实际背景及基本概念》PPT课件(新人教A版必修4)
b· b
＝a2－b2.
的夹角为 例 4、 已 知 | | 6 , | | 4 , 与
60 ,
o
a ba b
求 （ 2 ) ( 3 ) 。
ab ab
解:
例 5 . 已 知 | a | 3 , | b | 4 , 当 且 仅 当 k 为 何 值 时 ， 向 量 a k b 与 a k b 互 相 垂 直 ？
O
θ
B1 a
A
当 a 与 b 反向时 a b | a || b |;
2 a
2 特别地 a a |a |或 |a | a a
ab ( 4 )cos | a||b|
( 5 ) | a b | | a || b |
记为a⊥b.
O
B
b O a A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a· b
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 CC B 0 量A 。 C C B，即A
C
B
O
O a , O C b 解：设 A 则 A ， Ca b , C B a b 由此可得： A CC B ab ab
作业：
1 、若 | a| |b| 1 ,a b 且 2 a 3 b 与 k a 4 b 也 互相垂直，求 k 的值。 2 、设 a 是非零向量，且 bc ,求证： a ba c a ( b c )
2.1平面向量的实际背景及基本概念- 高中数学人教A版必修4课件(共19张PPT)
位移和距离
长度+方向
香港
上海 台北
物 理 背 景 引入
G
F
力 大小+方向
物 理 背 景 引入
速度 大小+方向
物 理 背 景 引入
物理
位移
矢力量
速度
大小+方向
数学 向量
概念理解
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素；
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能 比较大小的，因此向量不能比较大小。
概念辨析
判断题
1.身高是一个向量 ( ) 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量 ( )
几何表示
有向线段：如图，以 A 为起点、B 为终点的有向线段. 记作 AB
或 a ，一条有向线段由哪几个基本要素所确、方向
向量关系
2.相等向量的定义： 长度相等，方向相同的向量
D
A
uuur uuur
记作：AB DC
B
C
3.相反向量的定义：长度相等，方向相反的向量
r a
rr
r c
记作： a = -c
典型例题
例 1 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a 与b 同向，且| a || b | ，则a b ； (2)若向量| a || b | ，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量| a || b | ，若a 与b 的方向相同，则a b ； (4)由于0 方向不确定，故0 不与任意向量平行； (5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．
长度+方向
香港
上海 台北
物 理 背 景 引入
G
F
力 大小+方向
物 理 背 景 引入
速度 大小+方向
物 理 背 景 引入
物理
位移
矢力量
速度
大小+方向
数学 向量
概念理解
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素；
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能 比较大小的，因此向量不能比较大小。
概念辨析
判断题
1.身高是一个向量 ( ) 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量 ( )
几何表示
有向线段：如图，以 A 为起点、B 为终点的有向线段. 记作 AB
或 a ，一条有向线段由哪几个基本要素所确、方向
向量关系
2.相等向量的定义： 长度相等，方向相同的向量
D
A
uuur uuur
记作：AB DC
B
C
3.相反向量的定义：长度相等，方向相反的向量
r a
rr
r c
记作： a = -c
典型例题
例 1 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a 与b 同向，且| a || b | ，则a b ； (2)若向量| a || b | ，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量| a || b | ，若a 与b 的方向相同，则a b ； (4)由于0 方向不确定，故0 不与任意向量平行； (5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4[1]
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例1 下列结论中正确的是( )
A．向量A→B的长度和向量B→A的长度相等
栏
目
B．向量 a 与 b 平行，则 b 与 a 方向相同
链
接
C．两个有共同起点而长度相等的向量，它们的终点必
相同
D．若 a 与 b 平行同向，且|a|＞|b|，则 a＞b
第十九页，共33页。
解析：A 正确．
B 不正确．共线向量包括方向相同和相反．
栏
构成的图形是________．
目 链
接
解析：(1)单位向量不唯一，因为方向可以不同．有无数 个单位向量．
(2)圆
第十页，共33页。
基础 梳理
三、共线向量(xiàngliàng)与相等向量(xiàngliàng)
1．平行向量：方_向__(_fā_n_g_x_i_à_n_g_)相__同__或__相__反__的__非_叫零做向平量行向量，
栏
C．如果|a|＝|b|，则 a 与 b 长度相等
目
链
D．共线向量一定在同一条直线上
接
解析：向量的模也就是向量的长度，故 C 正确． 答案：C
第二十一页，共33页。
题型2 相等(xiāngděng)向量与平行向量的理解 例2 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 与向量O→A、O→B、O→C相等的向量．
接
么方向？D 点距 A 点多远？
第三十页，共33页。
跟踪
训练
解析：由|B→C|＝100 2，知 C 在 A 的正北方向，|A→C|＝100 2.
栏 目 链 接
又由|C→D|＝50 2，∠ACD＝60°知∠CDA＝90°. 即∠DAC＝30°，故D→A的方向为南偏西 30°， 长度为 50 6 km.
最新人教版高中数学必修四平面向量的实际背景及基本概念优质课件
例 3：求证： （1）(a＋b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
例4、 已知 | ar | 6,| br | 4,ar与br 的夹角为
60o ,
uur
CB
rr
a b
rr
a b
r2
a
r2
b
r
| a |2
r
| b |2
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
(1)a
b
b
a
(2)(a)
b
(a
b)
a
(b )
(3)(a
b)
c
a
c
b
c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a任(b意 c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
设a,b为任意向量，λ,μ为 任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
高中数学 必修四 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4
课堂篇02
合作探究
向量的有关概念
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相 反； (3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
方向相同)
【解】
(1)由共线向量满足的条件得与向量
→ FC
共线的
向量有：
C→F，B→C，C→B，B→F，F→B，E→D，D→E，A→E，E→A，A→D，
→ DA.
(2)证明：在▱ABCD中，AD綊BC.
又E、F分别为AD、BC的中点，∴ED綊BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE綊FD， ∴B→E＝F→D.
(5)正确．若m＝n，n＝k，则m，k都与n长度相等且方 向相同，所以m＝k.
(6)错误．若a∥b，b∥c，b＝0，则a与c不一定平行③.
【答案】 (4)(5)
给出下列五种叙述：
(1)向量
A→B 与
→ CD
是共线向量，则A，B，C，D四点必
在一直线上．
(2)单位向量都相等．
(3)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定．
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等 向量．
【解】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即 大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能 确定它们方向的关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的 条件，可得a＝b.
【错解】 填(1)(4)(5)或填(3)(4)(5)或填(4)(5)(6) 【错因分析】 对向量相等的概念理解不准或将向量 和有向线段混淆，会在①处判断错误；向量平行和直线平 行混淆，导致②处判断错误；忽视0与任意向量平行导致③ 处判断错误．
2.1平面向量的基本概念-人教A版高中数学必修四课件(共28张PPT)
解：(1)与
uuur AB
共线的向量有
uuur BA
，uDuCur
uuur
，CE
，CuuDur
，uEuCur
，uDuEur
和
uuur ED
.
(2)与
uuur AB
相等的向量有
uuur DC
和
uuur CE
.
4.如图，半圆的直径 AB＝6，C 是半圆上的一点，D，E 分别 是 AB，BC 上的点，且 AD＝1，BE＝4，DE＝3.
在物理学里，我们 将既有大小,又有方向的量称为矢量(vector)， 将只有大小,没有方向的量称为标量。
一、定 义： 在数学中，
我们将这种既有大小，又有方向的量 叫做向量 (vector)
只有大小的量，例如，年龄、身高、 长度、面积、体积等，称为数量。
数量与向量的区别：
数量只有大小，能比较大小； 向量有 方向 和 大小 ，不能比较大小。
是(
)D
A．O→C
B．O→D
C．O→B
D．C→O
[解析] O→A与C→O方向相同且长度相等，则O→A＝C→O.
3.如图，四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形，
在以 A，B，C，D，E 为起点或终点的向量中．
uuur (1)写出与向量 AB 共线的向量；
uuur (2)写出与向量 AB 相等的向量．
考点一：向量的有关概念
【例 1】给出下列命题：
①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线；
②若
uuur AB
＝
uuur DC
，则
A 、B、C、D
四点是平行四边形
的四个顶点；
③在平行四边形
高中数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
∴AC=2 000.又 ∠ACD=45° ,CD=1
000 2,
∴△ADC 为等腰直角三角形 . ∴AD=1 000 2,∠CAD=45° .
故向量 ������������ 的模为1 000 2 km,方向为东南方向 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例4】 下列语句: ①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ③两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :以 A 为原点 ,正东方向为 x 轴正方向 ,正北方向为 y 轴正方向 建立直角坐标系 . 根据题设 ,点 B 在第一象限 ,点 C 在 x 轴 正半轴上 ,点 D 在第四象限 ,向量 ������������ , ������������ , ������������ 如图所示. 由已知可得 ,△ABC 为正三角形,
反思在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再 确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 已知飞机从 A 地按北偏东 30° 方向飞行 2 000 km 到达 B 地 ,再从 B 地按南偏东 30° 方向飞行 2 000 km 到达 C 地 , 最后从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达������地 . 画图表示向量 ������������ , ������������ , ������������ , 并指出向量 ������������ 的模和方向.
【例 3】 一辆汽车从点 A 出发向西行驶了 100 千米到达点 B, 然后又改变方向向西偏北 50° 行驶了 200 千米到达点 C,最后又改变 方向,向东行驶了 100 千米到达点 D. (1)作出向量������������ , ������������ , ������������ ; (2)求|������������|. 分析:先根据行驶方向和距离作出向量,再求解 .
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4
精选ppt
12
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a 与 b 相等，记作a b.
C
D
A
BC
D A
B
注意： （1）两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别.
（2）零向量与零向量相等；
（3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动
的.因此任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并
-1 0 1 2 3
一个实数，可用数轴上的点表示； 一个二次函数，可用一条抛物线表示； 一个角的正弦、余弦和正切，可用三角函数线(有向线段) 表示… 数学中有许多量都可以用几何方式表示.
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5
B（终点）
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序， 假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有
方向，具有方向的线段叫做有向线段.
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6
（2）向量的几何表示 ——用有向线段表示.
画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度） 画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示 向量的方向.
B
a
A
（3）向量的表示方法：
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 AB,CD,
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体
且与有向线段的起点的选取无关；
精选ppt
13
向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素； 只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同， 尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
即向量和有向线段是两个不同的概念.由于有向线段具有 长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但 不能说向量就是有向线段，二者只是一种对应关系.
高中数学必修四2.1平面向量的实际背景及基本概念课件人教A版
-4-
2.1 平面向量的实际背景 及基本概念 1 2 3
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(3)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指 向终点.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作������������ (如图 ), 线段������������的长度也叫做有向线段 ������������ 的长度 , 记作 |������������ |. 书写有向线段时, 起点写在终点的前面 , 上面标上箭头 .
答案: ������������, ������������ , ������������
-10-
2.1 平面向量的实际背景 及基本概念
M 目标导航
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.向量和有向线段的区别与联系 剖析:向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和 终点的线段.它们的联系是向量可以用有向线段来表示,这条有向 线段的长度就是向量的长度,有向线段的方向就是向量的方向.它 们的区别是向量可以自由移动,故当用有向线段来表示向量时,有 向线段的起点是任意的.而有向线段是不能自由移动的,有向线段 平移后就不是原来的有向线段了.有向线段仅仅是向量的直观体现, 是向量的一种表现形式,不能等同于向量;有向线段有平行和共线 之分,而向量的平行和共线是相同的,是同一个概念.
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
新人教A版必修四课件：2.1.1-2平面向量的背景及其基本概念PPT课件
思考6：如果表示向量的有向线段没有标
注起点和终点字母，向量也可以用黑体
字母a，b，c，…，或 a,b,c,
表示，如图. 此时向量的模怎样表示？
a
思考7：向量的模可以为0吗？可以为1吗？ 可以为负数吗？
思考8：模为0的向量叫做零向量，记作
0 ；模为1个单位的向量叫做单位向量.
怎样理解零向量的方向？怎样理解向
量
|
a a
|
？
理论迁移
例1 已知飞机从A地按北偏东30°方
向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏
东30°方向飞行2000km到达C地，再从C
地按西南方向飞行1000 2 km到达D地.
（1）画图表示向量 A B , B C , C D ；
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应
的向量的模和方向.
个基本要素所确定？Leabharlann B（终点）A（起点）
起点、长度、方向
思考4：用有向线段 A B 表示向量，向量 A B 的大小和方向是如何反映出来的？
思考5：有向线段 A B 的长度就是指线段 AB的长度，也称为向量 A B 的长度或模，
它表示向量 的A大B 小，记作| |，A 两B 个 不同的向量可以比较大小吗？
2.由于有向线段具有长度和方向双重 特征，所以向量可以用有向线段表示， 但向量不是有向线段，二者只是一种对 应关系.
3.零向量是一个特殊向量，其模为0， 方向是不确定的.引入零向量将为以后的 研究带来许多方便，但须注意： 0 .0
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人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
（× ）
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
人教版数学必修四平面向量的实际背景及基本概念课堂PPT精品课件
(×)
(3)不相等向量一定不平行；
(×)
(4)与零向量相等的向量是零向量；
(√)
(5)与任意向量都平行的向量是零向量； (√ )
(6)共线向量一定在一条直线上；
( ×)
(7)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反;
(× )
(8)相等向量一定是平行向量。
(√ )
(9) 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量(√ )
2.两个基本向量: 零向量: 长度为零的向量(方向任意).
表示为：0 , | 0 |= 0
单位向量:
长度为1个单位长度的向量。
3. 向量的关系： 相等向量:
长度相等且方向相同的向量.表示为： a = b
平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
表示为： a // b
a b
c
规定：零向量与任一向量平行; 记作: 0 // a
问题:
(1) O A 与 F E 相等吗?
D
(2) O B 与 AF 相等吗? (3)与 O A 长度相等的向量有几个?
(4)与 O A 共线的向量有哪几个?
F E
例 2： 在 45方 格 纸 中 有 一 个 向 量 AB,以 图 中 的 格 点 为 起 点 和 终 点 作 向 量 ， 其 中 与 AB 相 等 的 向 量 有 多 少 个 ？ 与 AB 长 度 相 等 的 共 线 向 量 有 多 少 个 ？ (AB除 外 ）
共线向量:
任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
a
b
C
O
A
c
B
思考：1.共线向量一定在一条直线上吗？ 2. 向量可以比较大小么？
若向 a,b满 量 |足 a||b， |,则向 ab? 量
2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念 课件(24张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
【典例】给出下列说法 ①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
②若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向 相同或相反；
③若a∥b，则a=b；
④若a≠b，则a与b不是共线向量；
⑤向量a与b不共线，则a与b都是非零向量. 其中错误的说法是________.
【互动探究】 判断下列说法是否正确，并简要说明理由： (1)零向量只有大小没有方向； (2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定 是相等向量； (3)若向量 a 与向量 b 同向，|a|＞|b|，则 a＞b； (4)若 a＝b，b＝c，则 a＝c.
思考:时间,路程,速度,加速 度是向量吗?为什么?
【即时训练】
下列不是向量的是（
① ④ ⑥⑦ ⑧
）
① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度;
⑤加速度; ⑥路程; ⑦ 密度;⑧功.
探究点2 向量的表示方法
B（终点）
A（起点）
方向、 长度 ） (1)几何表示法： 有向线段（起点、 (2)字母表示法： a,b,
（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量.
如：
a b c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
规定： 0 与任一向量平行.
C OA = a O A B
.
l
OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？ 各向量的终点与直线l之间有什么关系？
P
4.若点M是△ABC的外心，则向量 AM， BM， CM是(
A.有共同起点的向量 C.共线向量 B.相等向量 D.模相等的向量
)
【解析】选D.M是△ABC的外心，故有 AM BM CM .
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 秋学期高中数学必修4(人教A版)PPT课件
方向相同或相反的非零向量 a，b
平行，记作 a∥b 规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
温馨提示 共线向量不一定是相等向量，而相等向 量一定是共线向量．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝b，b＝c，则 a＝c.( ) (2)若 a∥b，则 a 与 b 的方向一定相同或相反．( ) (3)若非零向量A→B∥C→D，那么 AB∥CD.( ) (4)向量的模是一个正实数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线． 又|A→B|＝|C→D|， 所以在四边形 ABCD 中，AB CD. 所以四边形 ABCD 为平行四边形． 所以|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
归纳升华 1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确 定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 2．书写有向线段时要注意起点和终点的不同，用字 母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．
(3)A→B＝D→C，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上， 故①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且 方向相同，故A→B＝D→C，故②正确；a＝b 则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同，故 a＝c，故③正确；对于④， 当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故④不正确．
[变式训练] 中国象棋中规定：马走“日”字，象走 “田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8 的矩形中 每个小方格都是单位正方形)中，若马在 A 处，可跳到 A1 处，也可跳到 A2 处，用向量A→A1，A→A2表示马走了“一步”．通 过探究，你能在图中画出马在 B，C 处走了一步的所有情 况吗？
《平面向量的实际背景及基本概念》课件(人教A版必修4)
2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
2.
1. 平
1面
向 量
及向
的 基量
物 本的
理 背 景
概实 念际
与背
概 念
景
2.1.1 向量的物理背景与概念
一．时间,路程,功等物理量有什 么特点？称为什么量？ 二．力,位移,速度等物理量有什 么特点？称为什么量？ 三．什么是向量？数量？ 阅读课本P74页,并思考下列问题:
2.1.3 相等向量与共线向量
概念：长度相等且方向相 同的两个向量叫做相等向 量，记作
推论：1、任意两个相等 移动。
a =b
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向 量。平行向量又叫做共线向量
记作 a ∥b ∥c
a
如：
规定：0与任一向量平行。
注:向量不能比较大小
2.1.3 相等向量与共线向量
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。
OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？
11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？
存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
2、3向、量什温（度么判含断是零题上）零和零向下量温度？，单所以位温度向是量？
4、向量的模是一个正实数（判断题）
2.1.3 相等向量与共线向量
01 探究:1、什么是向量？
02 依据向量定义，要定义向量相等，应从哪几个方面考察？
03
向量平行呢？ 问题:向量既有“数”的特点,又有“形”的特征,实数有相等,图形有平行, 那么,如何描述“向量的相等”和“向量的平行”呢?
探究：
2.
1. 平
1面
向 量
及向
的 基量
物 本的
理 背 景
概实 念际
与背
概 念
景
2.1.1 向量的物理背景与概念
一．时间,路程,功等物理量有什 么特点？称为什么量？ 二．力,位移,速度等物理量有什 么特点？称为什么量？ 三．什么是向量？数量？ 阅读课本P74页,并思考下列问题:
2.1.3 相等向量与共线向量
概念：长度相等且方向相 同的两个向量叫做相等向 量，记作
推论：1、任意两个相等 移动。
a =b
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向 量。平行向量又叫做共线向量
记作 a ∥b ∥c
a
如：
规定：0与任一向量平行。
注:向量不能比较大小
2.1.3 相等向量与共线向量
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。
OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？
11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？
存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
2、3向、量什温（度么判含断是零题上）零和零向下量温度？，单所以位温度向是量？
4、向量的模是一个正实数（判断题）
2.1.3 相等向量与共线向量
01 探究:1、什么是向量？
02 依据向量定义，要定义向量相等，应从哪几个方面考察？
03
向量平行呢？ 问题:向量既有“数”的特点,又有“形”的特征,实数有相等,图形有平行, 那么,如何描述“向量的相等”和“向量的平行”呢?
探究：
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4
分析先确定起点,再根据大小和方向确定出终点,即可画出向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:如图中的������������, ������������和������������.
反思感悟 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向 量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点. 2.注意事项:书写有向线段时,要注意起点和终点的不同;在书写 字母表示时不要忘了字母上的箭头.
解析:有向线段 ������������和有向线段������������ 的起点与终点互换,其方向 相反,长度相等,故D项正确. 答案:D
一
二
三
四
二、向量的表示 【问题思考】 1.对于一个实数,可以用数轴上的点表示;对于一个角的正弦、余 弦和正切,可以用三角函数线表示;对于一个二次函数,可以用一条 抛物线表示…….数学中有许多量都可以用几何方式表示,你认为 如何用几何方式表示向量最合适? 提示:由于向量既有大小又有方向,因此可用有向线段来表示.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)错误,平行向量也叫做共线向量,所以两个共线向量不一定 在同一条直线上; (2)正确,当 ABCD 是平行四边形时,向量������������, ������������的方向相同,模相
等,因此有������������ = ������������ ; (3)错误,共线向量的长度不一定相等,当它们起点不同时,终点可 以相同; (4)错误,零向量的方向是任意的,而零向量与任意向量都平行; (5)正确,由相等向量的定义可知; (6)错误,任意两个向量的终点都可以是相同的,当它们起点不同 时,可以不是共线向量.
一
二
三
四
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:如图中的������������, ������������和������������.
反思感悟 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向 量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点. 2.注意事项:书写有向线段时,要注意起点和终点的不同;在书写 字母表示时不要忘了字母上的箭头.
解析:有向线段 ������������和有向线段������������ 的起点与终点互换,其方向 相反,长度相等,故D项正确. 答案:D
一
二
三
四
二、向量的表示 【问题思考】 1.对于一个实数,可以用数轴上的点表示;对于一个角的正弦、余 弦和正切,可以用三角函数线表示;对于一个二次函数,可以用一条 抛物线表示…….数学中有许多量都可以用几何方式表示,你认为 如何用几何方式表示向量最合适? 提示:由于向量既有大小又有方向,因此可用有向线段来表示.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)错误,平行向量也叫做共线向量,所以两个共线向量不一定 在同一条直线上; (2)正确,当 ABCD 是平行四边形时,向量������������, ������������的方向相同,模相
等,因此有������������ = ������������ ; (3)错误,共线向量的长度不一定相等,当它们起点不同时,终点可 以相同; (4)错误,零向量的方向是任意的,而零向量与任意向量都平行; (5)正确,由相等向量的定义可知; (6)错误,任意两个向量的终点都可以是相同的,当它们起点不同 时,可以不是共线向量.
一
二
三
四
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知识建构
30 1 分钟后你将接受挑 秒后你将接受挑 你准备好了吗？！ 战！
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量
向量
向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
概念辨析
一、判断
温馨提示：
1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别 2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定
带着问题奔向课堂
Questioning
向量与数量的区别 向量与数量的区别
向量用什么来表示？
相等向量相反向量
认真听讲
仔细思考 积极发言
知识 方法 技能
向
量
授课人： 欧修祝
(第一课时)
新华网东京3月30日电：
日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境 内的朝鲜发射物。
பைடு நூலகம்
作业：
教材习题5.1 1， 2 ， 3 题
(1) 几何表示： 用有向线段表示； 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 (2) 代数表示：
A（起点） B（终点）
i)用有向线段的起点与终点字母来表示； 如：上述向量可表示为 AB ii)用小写字母来表示；
思考：向量 AB 或 a 的长度（即大小）如何用符号来
规定：零向量与任一向量平行。 a 记 做： a// b // c
a
b
c
知识建构
2.相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量。记作：a d
a 3.相等向量： 长度相等且方向相反的向量叫做 C B 思考：单位向量和单位向量一定相等吗？ 相反向量。记作： b a c d c AB DC a b d c
请结合向量的两个要素： 大小、方向及平行（共线 ）向量、相等向量、相反 向量、模相等的向量等相 关概念提出新的问题！
例2.在如图所示的向量 a ,b , c ,d ,e
正方形的边长为1),是否存在: (1)共线向量? (3)相等向量?
中( 小
(2)相反向量? (4)模相等的向量?
不考虑其他因素，导弹击中 拦截目标取决于导弹运行的 路程还是位移？
目标
位移是有大小和方向的量
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
力、速度也是有大小和方向的量
知识建构
一.向量的概念及表示 既有大小又有方向的量称为向量 1.定义： １）几何方法——如何画 2.表示方法： ２）代数方法——如何写
A（起点）
。
注意：起点一定要写在终点的前面！
两个特殊向量： 1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0
规定： 0方向任意。
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点构成的集合是什么图形？
3.向量的长度：即向量的大小(或称为模)
记作 | AB | 或 | a |
4.两个特殊向量： 1）零向量 讨论：已知 1. | a || b | ，是否有 a b? 2）单位向量 2.有两个大小非常特殊的向量，你能想到吗？
知识建构
二.向量的关系 b 1.平行向量： d c 一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。
表示？
如： a, b, c……
有向线段的概念
一般地，在线段AB的两个端点
中，规定一个顺序，假设A为起 点，B为终点，我们就说线段 AB具有方向。
B（终点）
具有方向的线段叫做有向线段，记作有向线段 AB
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
辨析：能把有向线段 AB写成 BA吗？
（1）若AB / /CD，则AB / /CD ；
（2）若AB / /CD，则AB / /CD； （ 3 ） a与 b共线， b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
√ × × ×
C
（5）平行的向量，若起点不同，则终点一定不同
若存在,分别写出这些向量.
b
a
c
d
e
小结：
知识要点
向量
向量的概念 向量的关系 单 位 向 量 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
向 量 的 定 义
表 零 示 向 方 量 法
思考题.如图,以1 3方格中的格点为起点 和终点的所有向量中,有多少种大小不同的 模?有多少种不同的方向?
D 规定：零向量和零向量相等。 A
知识建构
4.共线向量与平行向量的关系
a,b,c为 共 线 向量
a// b// c
b c bc a
a
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小 和方向有关，与有向线段的起点位置无关，有向线 段只是向量的一种几何表示！
（6）共线向量一定在同一直线上；
A
B
× ×
二、选择 下列命题中正确的是
(D)
（A）向量的模是一个正实数；
（B）若 a b，则 a b 或a b
（C）共线的向量，若起点不同，则终点一定 不同； (D)不平行的向量一定不相等；
知识应用
例1、如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。