湖南省长沙市2019届高三上学期月考数学(文)试卷(一)有答案
2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(一)数学(文)试题含答案
2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（一）数学（文科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．已知集合{}{}2lg(4),2,0,1,2A x y x B ==-=-，则A B =A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,01,2-2．在复平面内，复数121i i-+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3执行如图所示的程序图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为A ．7B ．8C ．12D ．164．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．3C ．4D ．55．已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A ． 1.234y x ∧=+B ． 1.230.8y x ∧=+C ． 1.230.08y x ∧=+D ． 1.230.08y x ∧=-6．在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则20193log a 等于 A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．20207．设()s i n ()c o s ()5f x a x b x παπβ=++++，且(2018)2f =，则(2019)f 等于 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8-8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为A ．32π B．π．52π+．32π+9．将函数sin 2y x =的图象向右平移16π个单位后得到的函数为()f x ，则函数()f x 的图象 A ．关于点（12π，0）对称 B ．关于直线12x π=对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于点（5,012π）对称 10．若函数6,2()(03log ,2x a x x f x a x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1a ≠）的值域是［4，＋∞），则实数a 的取值范围是A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2,)+∞ D．(1 11．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是饨角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(1,2) C．[1,1 D ．(2,)+∞12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．32-B ．2-C ．43- D ．1- 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13．锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC 的面积为BC ＝_______。
湖南师大附中2019届高三上学期第一次月考数学(文)答案(PDF版)
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湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第二次月考数学(文)答案
三# 解答题
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2019届湖南省高三上学期月考六文科数学试卷【含答案及解析】
2019届湖南省高三上学期月考六文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在复平面内，复数对应的点分别为 ,若为线段的中点，则点对应的复数是（）A． B．C ．_________________________________D ．2. 设命题，命题函数没有零点，则是的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 点到直线的距离等于4，且在表示的平面区域内，则的值为（）A ． 3_________B ． 7_________C ． -3_________D ． -74. 如图所示的程序框图运行的结果是（）A ．___________B ．_________C ．___________D ．5. 一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A ．___________B ．______________C ．______________D ．6. 已知函数是偶函数，当时，，则在上，下列函数中与的单调性相同的是（）A ．______________B ．____________________C ．______________ D ．7. 已知中，，分别是的等差中项与等比中项，则的面积等于（）A ．B ．C ．或D ．或8. 从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D ．都相等，且为9. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线离心率等于（）A ．____________________B ．____________________C ．______________ D ．10. 为坐标平面内三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则满足的关系式为（）A． B．C ．______________D ．11. 已知直线与函数的图像恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围为（）A ．______________B ．______________C ．______________ D ．12. 已知方程的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A ．______________B ．______________C ．________________________ D ．二、填空题13. 设集合，则 ____________ _ ．14. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ____________ _ ．15. 如图，在矩形中，，过点向所在区域等可能任作一条射线，已知事件“射线与线段有公共点”发生的概率为，则边的长为 ____________ _ ．16. 对于定义域和值域都为的函数，设，，，（），若满足，则称为的阶周期点．（1）若，则的3价周期点的值为 __________ _ ；（2）若，则的2阶周期点的个数是 __________ _ ．三、解答题17. 去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估．将各连锁店的评估分数按分成4组，其频率分布直方图如下图所示．集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为四个等级，等级评定标准如下表所示．p18. ly:宋体; font-size:10.5pt">评估得分评定等级（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家等级的概率．19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）在底边上是否存在一点，使平面？证明你的结论．20. 在等差数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和．21. 在平面直角坐标系中，已知．若实数使得成立（其中为坐标原点）．（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点（在之间），试求与面积之比的取值范围．22. 已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，求的单调区间；（3）方程的根的个数能否达到3，若能，请求出此时的范围，若不能，请说明理由．23. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线过点的直线（为参数）与曲线相交于点两点．（1）求曲线的平面直角坐标系方程和直线的普通方程；（2）若成等比数列，求实数的值．24. 已知．（1）求不等式的解集；（2）设为正实数，且，求证：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第二次月考数学(文)试题
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湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测(文科)数学试题及答案
b 2 ，则 ABC 面积的最大值是__________．
文科数学试卷 第 2 页（共 7 页）
三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根 据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17． （本小题满分 12 分） 已知数列 an
e x e x 2
e x e x 2
4．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时 间不多于 5 分钟的概率为 A．
1 20
B．
1 12
C．
1 6
D．
1 5
5．设 a, b, c 表示不同直线， , 表示不同平面，下列命题： ①若 a / / c，b / / c ，则 a / /b ； ②若 a / /b，b / / ，则 a / / ； ③若 a / /，b / / ，则 a / /b ；④若 a , b , / / ，则 a / /b ． 真命题的个数是 A．1 B．2 C ．3 D．4
uur uuu r 10．在 ABC 中， AB 10 ， BC 6 ， CA 8 ，且 O 是 ABC 的外心，则 CA AO
1 2
A． 16
B． 32
C． 16
D． 32
11．已知抛物线 C : y 2 8 x 的焦点为 F ，点 A(1, a)( a 0) 在 C 上， AF 3 ．若直线
1 2
3 ) ，则 sin 2 ________． 2
15．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，点 P 在线段 A1 B 上运动，则异面直线 DP 与 CB1 所 成角的取值范围是________．
【精品】湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(一)(教师版) 数学(文) Word版含解析
【精品】湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝16－x －x 2的定义域是(A) A.()－3，2 B.()－∞，－3∪()2，＋∞C.[]－3，2D.(]－∞，－3∪[)2，＋∞【解析】解不等式6－x －x 2>0得(x －2)(x ＋3)<0x ∈()－3，2.选A.2．已知复数z ＝21－i，给出下列四个结论：①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数z －＝－1＋i ；④z 的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z |＝2，z 2＝2i ，z －＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，选B.3．已知命题p ：若a >||b ，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是(A)A ．“p ∨q ”为真命题B ．“p ∧q ”为真命题C ．“綈p ”为真命题D ．“綈q ”为假命题【解析】由条件可知命题p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选择A.4．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，CA →＝3CE →，则DE →＝(D)A.34b －13a,B.512a －34b ， C.34a －13b, D.512b －34a ， 【解析】DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋13CA →＝34(AC →－AB ）→－13AC →＝512b －34a .选D. 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.6．与直线2x －y ＋4＝0的平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是(D)A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0【解析】设P (x 0，y 0)为切点，则切点的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2，∴x 0＝1.由此得到切点(1，1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.7．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D)A.25B.110C.910D.15【解析】记其中被污损的数字为x .依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，故选D. 8．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数(A) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得函数变为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，令k ＝0，π12≤x ≤7π12.故函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选A. 9．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为(C) A ．(1，2)∪(3，＋∞) B ．(10，＋∞)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(1，2)【解析】令2e x －1>2()x <2，解得1<x <2.令log 3()x 2－1>2()x ≥2，解得x 为()10，＋∞，不等式f (x )>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)，故选C.10.执行如图所示的程序框图，若输入a ，b ，c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为(D)A ．1.125B ．1.25C ．1.3125D ．1.375【解析】模拟程序的运行，可得a ＝1，b ＝2，c ＝0.3执行循环体，m ＝32，不满足条件f (m )＝0， 满足条件f (a )f (m )＜0，b ＝1.5，不满足条件|a －b |＜c ，m ＝1.25，不满足条件f (m )＝0，不满足条件f (a )f (m )＜0，a ＝1.25，满足条件|a －b |＜c ，退出循环，输出a ＋b 2的值为1.375.故选D. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，则下列结论正确的是(A)A ．S 2 018＝2 018，a 2 011<a 8B ．S 2 018＝2 018，a 2 011>a 8C ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≤a 8D ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≥a 8【解析】设f (x )＝x 3＋2 018x ，则由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )是奇函数．由f ′(x )＝3x 2＋2 018>0知函数f (x )＝x 3＋2 018x 在R 上单调递增．因为(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，所以f (a 8－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1，得a 8－1＝－(a 2 011－1)，即a 8＋a 2 011＝2，且a 2 011<a 8，所以在等差数列{a n }中，S 2 018＝2 018·a 1＋a 2 0182＝2 018·a 8＋a 2 0112＝2 018.故选A.12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )<0成立的x 的取值范围是A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2. 当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如右图所示．当x >0时，由f (x )<0，得g (x )<0，由图知x >1，当x <0时，由f (x )<0，得g (x )>0，由图知－1<x <0，∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．故答案选B.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知α为锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为__15°或75°__． 【解析】因为a ∥b ，34×13－cos α×sin α＝0sin 2α＝12，故α为15°或75°. 14．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ、μ∈R }所表示的区域的面积是．。
炎德英才大联考2019届长沙一中高三月考文数(答案)
甲的中位数小于乙的中位数)错误甲得分较分散些乙得分更集中些
1甲的方差大于乙的方差2错误'正确!故选 '.
-!)!解析该三棱锥的四个面中三个面为等腰直角三角形直角边长为
"故
每个直角三角形的面积
为
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有一个面为等边三角形边长为槡#故这个等边三角形的面积为槡#(故表面积为(3
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炎德英才大联考2019届长沙一中高三月考文数(答案)
所以 槡%!"#2"04$
又动圆* 与& 轴相切所以00%
由消去0化简得�'%%4$
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湖南省顶级名校2019届高三第一次月考数学(文)试题含答案
湖南省顶级名校2019届高三月考试卷(一)数 学(文科)试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则A ∩∁U B 表示的集合为(D)A ．{x |x ≥1} B. {x |x ≤1} C ．{x |0＜x ≤1} D. {x |1≤x ＜2}【解析】∵2x (x －2)＜1，∴x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2；∴A ＝{x |2x (x－2)＜1}＝(0，2)；又∵B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝(－∞，1)，∴A ∩∁U B 表示的集合为[1，2)，故选D.2．已知复数z ＝21－i，给出下列四个结论：①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数z －＝－1＋i ；④z 的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z |＝2，z 2＝2i ，z －＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，选B. 3．已知命题p ：若a >||b ，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是(A) A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．“綈q ”为假命题【解析】由条件可知命题p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选择A.4．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，CA →＝3CE →，则DE →＝(D) A.34b －13a, B.512a －34b ， C.34a －13b, D.512b －34a ，【解析】DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋13CA →＝34(AC →－AB ）→－13AC →＝512b －34a .选D.5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.6．与直线2x －y ＋4＝0的平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是(D) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0【解析】设P (x 0，y 0)为切点，则切点的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2，∴x 0＝1.由此得到切点(1，1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.7．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D)A.25B.110C.910D.15【解析】记其中被污损的数字为x .依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，故选D.8．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数(A) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得函数变为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，令k ＝0，π12≤x ≤7π12.故函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选A.9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为(C) A ．(1，2)∪(3，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(1，2)∪(10，＋∞) D ．(1，2)【解析】令2e x －1>2()x <2，解得1<x <2.令log 3()x 2－1>2()x ≥2，解得x 为()10，＋∞，不等式f (x )>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)，故选C.10.执行如图所示的程序框图，若输入a ，b ，c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为(D)A ．1.125B ．1.25C ．1.3125D ．1.375【解析】模拟程序的运行，可得a ＝1，b ＝2，c ＝0.3 执行循环体，m ＝32，不满足条件f (m )＝0，满足条件f (a )f (m )＜0，b ＝1.5，不满足条件|a －b |＜c ，m ＝1.25，不满足条件f (m )＝0，不满足条件f (a )f (m )＜0，a ＝1.25，满足条件|a －b |＜c ，退出循环，输出a ＋b2的值为1.375.故选D.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，则下列结论正确的是(A)A ．S 2 018＝2 018，a 2 011<a 8B ．S 2 018＝2 018，a 2 011>a 8C ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≤a 8D ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≥a 8【解析】设f (x )＝x 3＋2 018x ，则由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )是奇函数．由f ′(x )＝3x 2＋2 018>0知函数f (x )＝x 3＋2 018x 在R 上单调递增．因为(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，所以f (a 8－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1，得a 8－1＝－(a 2 011－1)，即a 8＋a 2 011＝2，且a 2 011<a 8，所以在等差数列{a n }中，S 2 018＝2 018·a 1＋a 2 0182＝2 018·a 8＋a 2 0112＝2 018.故选A.12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )<0成立的x 的取值范围是A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2.当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数， 且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如右图所示． 当x >0时，由f (x )<0，得g (x )<0，由图知x >1， 当x <0时，由f (x )<0，得g (x )>0，由图知－1<x <0，∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．故答案选B.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案ABADADDACDAB本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知α为锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为__15°或75°__． 【解析】因为a ∥b ，34×13－cos α×sin α＝0?sin 2α＝12，故α为15°或75°.14．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ、μ∈R }所表示的区域的面积是．【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知，〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2，0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1，得|3x －y |＋|2y |≤2 3.作出可行域，如右图阴影部分所示． 则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.15．在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__．【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.16．在平面几何里，已知直角△SAB 的两边SA ，SB 互相垂直，且SA ＝a ，SB ＝b 则AB 边上的高h ＝aba 2＋b 2；拓展到空间，如图，三棱锥S －ABC 的三条侧棱SB 、SB 、SC 两两相互垂直，且SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则点S 到面ABC 的距离h ′＝__abca 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2__．【解析】把结论类比到空间：三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两相互垂直，SH ⊥平面ABC ，且SA＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则点S 到平面ABC 的距离h ′＝abca 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝mc (m >0)． (1)当m ＝3时，若B ＝π6，求sin (A －C )的值；(2)当m ＝2时，若c ＝2，求△ABC 面积最大值． 【解析】(1)∵a ＋b ＝3c ，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ， ∴sin A ＋12＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝3⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ，4分 化简得12sin A ＋32cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝12， ∴A ＋π3＝5π6，即A ＝π2，∴C ＝π3，∴sin (A －C )＝sin π6＝12.6分(2)∵c ＝2，∴a ＋b ＝22，∴b ＝22－a ， ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12ab ，8分∴S △ABC ≤12ab ＝12a (22－a )＝－12a 2＋2a ，10分∴当a ＝2时，－12a 2＋2a 取最大值1，此时a ＝b ＝2，c ＝2满足C ＝π2，∴△ABC 面积最大值为1.12分18.(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)设∠PDA ＝30°，∠BAD ＝60°，求直线BF 与平面P AC 所成的角的大小．【解析】(1)证明：设AC ∩BE ＝O ，连接OF 、EC . ∵E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， ∴四边形ABCE 为菱形.2分 ∴O 为AC 的中点.3分又F 为PC 的中点，在△P AC 中，可得AP ∥OF .4分 又OF ?平面BEF ，AP ?平面BEF .5分 ∴AP ∥平面BEF .6分(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC .∴四边形BCDE 为平行四边形，∴BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，∴AP ⊥CD ，∴AP ⊥BE . ∵四边形ABCE 为菱形，∴BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP 、AC ?平面P AC ，∴BE ⊥平面P AC . ∴直线BF 与平面P AC 所成的角为∠BFO .8分 不妨设AP ＝2，∵∠PDA ＝30°，∴AE ＝12AD ＝2，又∵四边形ABCE 为菱形，∠BAD ＝60°，∴OB ＝1， ∵Rt △BOF 中，OF ＝12AP ＝1，OB ＝1，∴∠BFO ＝45°.11分故直线BF 与平面P AC 所成的角的大小为45°.12分 19．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 1≠a 2，当n ∈N ＋时，恒有S n ＝pna n (p 为常数)． (1)求常数p 的值；(2)当a 2＝2时，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝4（a n ＋2）a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <74.【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，∴a 1＝pa 1，p ＝1或a 1＝0，当p ＝1时，S n ＝na n 则有S 2＝2a 2?a 1＋a 2＝2a 2?a 1＝a 2与已知矛盾， ∴p ≠1，只有a 1＝0.2分当n ＝2时，由S 2＝2pa 2?a 1＋a 2＝2pa 2，∵a 1＝0又a 1≠a 2，∴a 2≠0， ∴p ＝12.4分(2)∵a 2＝2，S n ＝12na n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，6分(n －2)a n ＝(n －1)a n －1?a nn －1＝a n －1n －2，∴a n n －1＝a 21?a n ＝2n －2.8分 当n ＝1时，a 1＝2×1－2＝0也适合，∴a n ＝2n －2.9分 (3)b n ＝4（a n ＋2）a n ＋1＝1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n .10分当n ＝1，2时，显然成立，当n ≥3时有∴T n <1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝74－1n <74.12分 20．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，设点F 1、F 2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 、P 为椭圆C 上三点，满足OP →＝35OA →＋45OB →，记线段AB 中点Q 的轨迹为E ，若直线l ：y ＝x ＋1与轨迹E 交于M 、N 两点，求|MN |.【解析】(1)由已知得2c ＝4，b ＝2，故c ＝2，a ＝2 2. ∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OP →＝35OA →＋45OB →，∴OP →＝⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2， ∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.5分∵点P 在椭圆C 上，∴18⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 22＋14⎝⎛⎭⎫35y 1＋45y 22＝1， ∴925⎝⎛⎭⎫x 218＋y 214＋1625⎝⎛⎭⎫x 228＋y 224＋2425⎝⎛⎭⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1， 即925＋1625＋2425⎝⎛⎭⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1，即x 1x 28＋y 1y 24＝0.6分 令线段AB 的中点坐标为Q (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y 22.7分∵A 、B 在椭圆C 上，∴⎩⎨⎧x 218＋y 214＝1，x 228＋y 224＝1，8分?x 21＋x 228＋y 21＋y 224＝2， ∴（x 1＋x 2）2－2x 1x 28＋（y 1＋y 2）2－2y 1y 24＝2.∵x 1x 28＋y 1y 24＝0， ∴（2x ）28＋（2y ）24＝2，即Q 点的轨迹E 的方程为x 24＋y 22＝1.9分联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋1，得3x 2＋4x －2＝0.设M (x 3，y 3)、N (x 4，y 4)， 则x 3＋x 4＝－43，x 3·x 4＝－23.10分故|MN |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝453.12分 第(2)问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分． 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝2x ＋ax 3，a 为实常数．(1)求g (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：?x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行．【解析】(1)g ′(x )＝3ax 2＋2，1分当a ≥0时，g ′(x )>0故g (x )的单调增区间为(－∞，＋∞).3分当a <0时，令g ′(x )≥0得－－23a ≤x ≤－23a ，g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－－23a ，－23a ， g (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－∞，－－23a ，⎣⎡⎦⎤－23a ，＋∞.5分 (2)当a ＝－1时，f ′(x )＝e x －e －x ，g ′(x )＝2－3x 2， ?x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行．即?x 0∈(0，1)使得f ′(x 0)＝g ′(x 0)，且f (x 0)≠g (x 0)，6分令h (x )＝f ′(x )－g ′(x )＝e x －e －x －2＋3x 2， h (0)＝－2<0，h (1)＝e －1e－2＋3>0， ∴?x 0∈(0，1)使得f ′(x 0)＝g ′(x 0).7分∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，63时g ′(x )>0，当x ∈(63，1)时g ′(x )<0， ∴所以g (x )在区间(0，1)的最大值为g ⎝⎛⎭⎫63，g ⎝⎛⎭⎫63＝469<2.9分 而f (x )＝e x ＋e －x ≥2e x e －x ＝2，10分 ∴x ∈(0，1)时f (x )>g (x )恒成立，∴f (x 0)≠g (x 0)．从而当a ＝－1时，x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行．12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin αy ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 和N 的直角坐标方程；(2)若曲线N 和曲线M 有公共点，求t 的取值范围．【解析】(1)由x ＝3cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3得x ∈[－2，2]， 又∵x 2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1，所以曲线M 的普通方程为y ＝x 2－1，x ∈[－2，2]．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ， 即ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 的直角坐标方程为x ＋y ＝t .4分(2)若曲线M 、N 有公共点，则当曲线N 过点(2，3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t y ＝x 2－1得x 2＋x －t －1＝0，Δ＝1＋4(1＋t )＝0?t ＝－54. 综上所述，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－54，5.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝||3x ＋2.(1)解不等式f (x )<4－||x －1；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若||x －a －f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)不等式f (x )<4－||x －1即为||3x ＋2<4－||x －1.当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4?－54<x <－23； 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4?－23≤x <12； 当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4无解．综上所述，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12.5分 (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋m n ＋n m≥4， 令g (x )＝||x －a －f (x )＝||x －a －||3x ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a ，所以当x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4?0<a ≤103. 10分。
湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测文科数学(解析版)
真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】解：由 a，b，c 表示不同直线，������，������表示不同平面，知： 在①中，若������//������，������//������，则由平行公理得������//������，故①正确； 在②中，若������//������，������//������，则������//������或������ ⊂ ������，故②错误； 在③中，若������//������，������//������，则 a 与 b 相交、平行或异面，故③错误； 在④中，若������ ⊂ ������，������ ⊂ ������，������//������，则 a 与 b 平行或异面，故④错误． 故选：A． 在①中，由平行公理得������//������；在②中，则������//������或������ ⊂ ������；在③中，a 与 b 相交、平行或异面；在④中，a 与 b 平行
，������������2
，
∵ 以������1������2为直径的圆经过点 P，
∴⃗⊥⃗ ������������1 ������������2，
∴ ⃗ ⋅ ⃗ = ������2 + ������2 ‒ 2 = 2������2 ‒ 2 = 0
������������1 ������������2
则������(������)在其定义域上为减函数，不符合题意；
对于 B，������(������) = ������������(������ ‒ 1) ‒ ������������(������ + 1)，其定义域为(1, + ∞)，不是奇函数，不符合题意；
湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题(精品解析)
长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.【详解】,则故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后根据复数对应点位于第二象限，即可得到m 范围.【详解】,复数对应的点为（），若点位于第二象限，只需m>0,故选：C.【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案. 【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数， 选项B ，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项C ，因为f(x)=f （-x ）,函数为偶函数，故排除； 选项A ，函数为奇函数且f’(x)=cosx -1可知函数在定义域上单调递减，故排除；选项D ，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增， 故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法，属于基础题.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，根据几何概型的概率公式可求．【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x ， 由题意可得，0≤x ≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P ＝＝， 故选：B ．【点睛】本题考查几何概型，先要判断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】对于①,由平行公理4,可知正确；对于②，若a⊂α，显然结论不成立，故②错误；对于③，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故③错误；对于④，a∥β，a⊂α，b⊂β，a与b平行或异面，故④错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,由图得当z＝2x﹣y过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0．当z＝2x﹣y过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3．故所求z＝2x﹣y的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，根据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，，【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可直接得到所求最小值.【详解】，于是或（舍），当时取等号，则a+b的最小值为4，故选.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，，即是图象的对称中心.【详解】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属于基础题.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算能力.12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。
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2019届高三月考试卷（一）数学（文科）第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．【详解】，∴故选：A【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z，求出其共轭复数，从而得到答案.【详解】∵复数===﹣1﹣3i，∴，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，3），故对应的点位于在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.执行如图所示的程序图，如果输入，，则输出的的值为A. 7B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a＞6，则a=2，第二次不满足条件a＞6，则a=2×2=4，第三次不满足条件a＞6，则a=4×2=8，此时满足条件a＞6，输出a=8，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础．4.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z 的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C【点睛】求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．6.在数列中，，数列是以3为公比的等比数列，则等于A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果.【详解】∵，数列是以3为公比的等比数列，∴∴故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.7.设，且，则等于A. 2B.C. 8D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f（2019）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题．8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为，由三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，则该几何体的表面积为．选D考点：几何体的表面积，三视图9.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，则函数的图象A. 关于点（，0）对称B. 关于直线对称C. 关于直线对称D. 关于点（）对称【答案】C【解析】【分析】利用平移变换得到，然后研究函数的对称性.【详解】将的图象右移个单位后得到图象的对应函数为，令得，，取知为其一条对称轴，故选：C.【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.10.若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．11.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.点睛：求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标系，则,设，所以，所以，，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13.锐角中，，△ABC的面积为，则＝_______。
【答案】【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【详解】因为锐角△ABC的面积为3，且AB=4，AC=3，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．【点睛】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，属于基础题.14.函数且）的图象必过点A，则过点A且与直线2x＋y－3＝0平行的直线方程是____________________。
【答案】【解析】【分析】由题意可得函数且）的图象必过点A，结合点斜式得到所求直线的方程.【详解】由题意可得：A，又与直线2x＋y－3＝0平行，∴直线斜率为，∴所求直线方程为：故答案为：【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查了对数函数的图象与性质，属于基础题.15.已知正三棱锥的侧面是直角三角形，的顶点都在球O的球面上，正三棱锥的体积为36，则球O的表面积为__________。
【答案】108【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，设球O的半径为R，则正方体的边长为，∵正三棱锥的体积为36，∴V=∴R=∴球O的表面积为S=4πR2=108故答案为：108．【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题．16.已知函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数；②存在使得在上的值域为那么就称为“成功函数”。
若函数是“成功函数”，则的取值范围为_____________。
【答案】【解析】【分析】根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解．【详解】依题意，函数g（x）=log a（a2x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，而t=0时，g（x）=2x不满足条件②，∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，∴，即，∴m，n是方程（a x）2﹣a x+t=0的两个不等的实根，设y=a x，则y＞0，∴方程等价为y2﹣y+t=0的有两个不等的正实根，即，∴，解得0，故答案为：.【点睛】本题主要考查对数的基本运算，准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．综合性较强．三、解答題：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知公差不为0的等差数列，满足：成等比数列（1）求数列的通项公式及其前n项和。
（2）令，求数列的前项和。
【答案】⑴⑵【解析】【分析】（1）通过将已知各项用首项和公差表示，利用已知条件计算即得结果；（2）通过裂项可知b n=，利用裂项相消求和即可．【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由于，又成等比数列，即，所以解得由于，所以（2）因为，所以，因此故，.所以数列的前项和【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在四棱锥中，，且（1）证明：平面平面．（2）若，四棱锥的体积为9，求四棱锥的侧面积【答案】⑴证明略；⑵【解析】【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面;（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点E，连结P E，则P E⊥底面ABCD，由四棱锥P﹣ABCD的体积为9，求出a=3，由此能求出该四棱锥的侧面积．【详解】（1）又又（2）设，则.过作,为垂足，为中点....四棱锥P-ABCD的侧面积为：,。