轴向流动中粘弹性圆柱体的动力特性分析

图1 轴向流动流体中的简支 Kelvin 模型粘弹性圆柱体 Fig. 1 Simply supported viscoelastic cylinder co nstit uted by t he Kelvin’ s model in axial flow
轴向流动中 Kelvin 模型粘弹性圆柱体的运动 微分方程 [ 1 ] 如式 ( 2) 所示 。 2 54 y η 55 y 52 y 2 5 y EI T0 4 + I 4 + ma u 2 - γ 5x 5 t5 x 5x 5 x2
西安理工大学学报 Jo urnal of Xi’ an U niversity of Technology ( 2006) Vol. 22 No . 4 文章编号 : 100624710 ( 2006) 0420419204
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轴向流动中粘弹性圆柱体的动力特性分析
许 磊 , 王忠民
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西安理工大学学报 ( 2006) 第 22 卷第 4 期
式中 y 、 m、 ma 分别为圆柱体的挠度 、 单位长度质量 和单位长度附加质量 ; u 为流体流动速度 ; E I 为抗 弯刚度 ; l 为圆柱体长度 ; D 为圆柱体直径 ; CT 为圆 柱体纵向阻力系数 ; CN 为圆柱体横向阻力系数 ; Cv 为有效粘性阻力系数 ;γ为常数 ( 圆柱体下游受支承 时 γ= 1 , 下游端自由或弹性支承时 γ= 0 ) , C′ T 是自 由端的形状阻力系数 , T0 为初始轴向拉力 。 引入下列无量纲量 : ξ = x ; ε = l ; w = y ; l D l α= η I ; v = E ( m + ma ) l 2
4 5 2
∏( x
i
- xk)
A ij =
( i ≠ j )
( xj - xk) ( 9)
1 -
A ii =
k =1 k ≠j N
∏
1ε ( 1γ ξ 1 ( 52 w ) C′ CT 1 - ) 1 -γ T 2 + ξ 2 2 2 5
2 1 1ε 5 w β2 v 5 w + CN +2 ξ ξ τ 2 5 5 5
图2 无量纲流速与前三阶模态的无量纲复频率的实部及虚部的变化曲线 Fig. 2 The curve between t he dimensionless velocity and t he real and imaginary part s of t he first t hree order dimensio nless co mplex f requency
类似的 , 更高阶的导数在网点处的值可表示为 :
N
f f
( xi ) = ( xi ) =
j =1 N ( 3)
B ∑
ij
f ( xj) f ( xj) ( 8)
ma ul ; EI
j =1
∑C
N
ij
( i , j = 1 , 2 , …, N )
T0 l ma Γ ;β= ; 0 = EI m + ma
k =1 k ≠i
∏x
1
i
- xk
1ε β1 5 w δ5 w 52 w CN 2 v + + = 0 2 τ τ 5 τ 2 5 5
( 3)
设方程 ( 3) 的解为 : τ ξ,τ ) = W( ξ ) ejω w( 式中 j2 = - 1 ,ω为圆柱体无量纲复频率 。 模型粘弹性圆柱体的无量纲振型微分方程 ( 5) :
k =1
∑B
N- 1,k
Wk = 0, WN = 0
2 用微分求积法推导特征方程
微分求积法[ 5 ] 的本质是把函数在给定网点处的
从式 ( 11) 与 ( 12) 可得 : 2 ( 13) {ω [ I ] + ω [ G] + [ K]} { W k } = { 0} 矩阵 [ K] 、 [ G] 、 [ I ] ( [ I ] 为单位矩阵 ) 中含有无
( 西安理工大学 理学院 ,陕西 西安 710048)
摘要 : 采用微分求积法 ,推导了轴向流动中简支 Kelvin 模型粘弹性圆柱体的特征方程 , 给出了在 不同无量纲延滞时间和质量比下前三阶无量纲复频率的实部和虚部随无量纲流动速度变化的曲线 图 ,并得到了在不同无量纲延滞时间下 , 圆柱体发生发散失稳及耦合模态颤振的无量纲速度的 范围 。 关键词 : 轴向流动 ; 粘弹性圆柱体 ; 微分求积法 ; 延滞时间 中图分类号 : O353 文献标识码 : A
( Faculty of Sciences ,Xi’ an U niversity of Technology ,Xi’ an 710048 ,China)
XU Lei , WAN G Zho ng2min
物体绕流问题是流体力学的经典研究课题 , 在 实际工程中有着非常重要的意义 。1988 年 Chen [ 1 ] 在其专著中总结了在此之前许多学者对于流动流体 中圆柱体及圆柱体系的动态特性和稳定性的研究成 果 。近年来 ,国内外的众多学者又对此问题进行了 深入研究 ,取得了重大进展并发表了大量的研究成 果 [ 2 ,3 ] 。本文在上述研究的基础上 , 采用微分求积 法 ,研究了轴向流动中简支 Kelvin 模型粘弹性圆柱 体的动力特性 ,具体分析了无量纲延滞时间和质量 比对圆柱体前三阶模态的无量纲复频率的实部和虚 部与无量纲流速变化曲线的影响 。
( 5)
图 1 所示简支圆柱体的边界条件为 :
2 ξ= 0: W = 0, d W = 0 2 ξ d 2 ξ= 1: W = 0, d W = 0 2 ξ d
k =1
∑D
ik
2 δ Wk +j Wk ω- ωWk = 0
N
W1 = 0 , ( 6)
N
k =1
B ∑
2k
Wk = 0 ( 12)
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1 ) 若令式 ( 5 ) 中无量纲延滞时间 α= 0 , 则此方 程退化为轴向流动中弹性圆柱体的振动微分方程 。 再令无量纲流速为零 , 则式 ( 3) 退化为均质等直梁的 运动微分方程 [ 6 ] 。从图 2a 、 c 可以看出 , 在无量纲延 α 滞时间 → 0 时其动力特性与弹性圆柱体几乎相同 。
式中 B ij = ∑A ik A kj , Cij = ∑A ik B kj 。
k=1 k =1
N
δ=
Cv l ;τ= EI ( m + ma )
2
EI t m + ma l 2
依次类推 , 可得到更高阶导数的表达式 。 在式 ( 7) 中 , 取 :
N k =1 k ≠i , j N
其中β为质量比 ,τ为无量纲时间 , v 为无量纲流动 速度 , α为材料的无量纲延滞时间 。 将方程 ( 2) 化为无量纲方程 : 5 w α5 w γ 2 Γ0 5 w 4 + 4 2 + v ξ τ ξ ξ 5 5 5 5
2
导数值近似用域上全部网点处函数值的加权和表 示 。此种方法计算原理简单 、 计算量较小且精度高 。 设一维函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , 1 ] 上连续可微 , 则 有 f ( x ) 的一阶导数 :
N
( xi) = f′
j =1
∑A
( 2)
ij
f ( x j ) ( i , j = 1 , 2 , …, N ) ( 7)
N k =1 N
( 4)
将式 ( 4) 代入方程 ( 3 ) , 得到轴向流动中 Kelvin
4 1 1γ ξ 2 ( 1 + jω α ) d W 1 - ε CT 1 4 + v ξ 2 2 d
∑D ∑
N
ik
Wk + v
2
1 -
1ε 1γ ξ CT 1 2 2
N k =1
×
1 ( d2 W γ d2 W ) C′ 1 -γ - Γ0 + T 2 2 ξ ξ 2 d d
Dynamic Behavior of Viscoelastic Cylinder in Axial Flo w
Abstract : Differential quadrat ure met hod is used to deduce t he eigen2equatio n of simply supported viscoelastic cylinder co nstit uted by Kelvin ’ s model in axial flow. Al so , t his paper suggest s t he curves of t he real and imaginary part s of t he fir st t hree order dimensio nless co mplex f requencies varying wit h dimensio nless flow speed in t he case of different dimensio nless delay times and mass ratio and o btain t he range of dimensio nless speed of t he occurrence of divergence instabilit y and co upled2mode flut ter of t he cylinder in t he case of different dimensio nless delay times. Key words : axial flow ; viscoelastic cylinder ; Differential Quadrat ure Met hod ; delay time