2012年高考第一轮复习数学：13.3 导数的综合问题
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)导数的应用
§9.2 导数的应用考点核心整合1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数f(x)的定义区间.(2)求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f′(x)在各小开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.求函数的极值、最值(1)求出可疑点,即f(x)=0的解x0;(2)用极值的方法确定极值;(3)在［a,b］上的最值的求法:将(a,b)内的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当f(x)在(a,b)内有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以确定f(x)在该点处取到最大(小)值.3.函数最值与极值的区别与联系:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体的概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.(4)如果函数不在闭区间［a,b］上可导,则确定函数的最值时,不仅要比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.考题名师诠释【例1】(2006山东高考，17)已知f(x)=2x3-3(a-1)x2+1(a≥1)(Ⅰ)求其单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值.解析：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a＞1时，f′(x)=6x［x-(a-1)］.从表上可知函数f(x)在（-∞，0）上单调递增，在(0,a-1)上单调递减，在（a-1,+∞）上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知.当a=1时，函数f(x)没有极值.当a＞1时，函数f(x)在x=0处取得极大值1，在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.评述：正确求导，利用导数的正负与单调性的关系进行求解，主要考查利用导数求单调区间与极值，考查分类讨论的思想方法.【例2】(2006江西高考，17)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x=-32与x=1时都取得极值. (1)求a 、b 的值及函数f(x)的单调区间; (2)若对x ∈［-1,2］，不等式f(x)＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 解析：（1）f(x)=x 3+ax 2+bx+c, f ′(x)=3x 2+2ax+b, 由f ′(-32)=912-34a+b=0,f ′(1)=3+2a+b=0, 得a=-21,b=-2, 2所以函数f(x)的递增区间为（-∞，-3）与（1，+∞）；递减区间为（-3，1）. （2）f(x)=x 3-21x 2-2x+c, x ∈［-1,2］,且当x=-32时，f(x)=2722+c 为极大值.而f(2)=2+c,则f(2)=2+c 为最大值，要使f(x)＜c 2(x ∈［-1,2］)恒成立，只须c 2＞f(2)=2+c,解得c ＜-1或c ＞2.评述：本题借助于导数，重点考查了函数与不等式的综合应用，将不等式转化为函数的最值，利用导数求函数的最值，具有一定的综合性. 链接·思考f ′(x)=0,f(x)的单调性怎样? 答:不具有单调性.【例3】(2006湖北高考，19)设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,在x=1处取极值-2，试用b 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间.解析：依题意有f(1)=-2,f ′(1)=0,而f ′(x)=3x 2+3ax+b,故⎩⎨⎧=++-=-++,02321b a c b a 解得⎩⎨⎧--==.32,c b c a从而f ′(x)=3x 2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1)令f ′(x)=0,得x=1或x=-332+c . 由于f(x)在x=1处取得极值，故-332+c ≠1,即c ≠-3. (1)若-332+c ＜1,即c ＞-3,则当x ∈(-∞,-332+c )时，f ′(x)＞0;当x ∈(-332+c ,1)时，f ′(x)＜0;当x ∈(1,+∞)时，f ′(x)＞0.从而f(x)的单调区间为（-∞,-332+c],［1，+∞)；单调减区间为［-332+c,1］.(2)若-332+c＞1,即c＜-3，同上可得，f(x)的单调增区间为（-∞，1]，［-332+c,+∞)；单调减区间为［1，-332+c］.评述：本小题主要考查导数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.由导数公式和已知条件利用待定系数法求出a、b、c，然后分类讨论思想由f′(x)的符号判断单调区间，最后单调区间要分开写，不能使用并集符号.【例4】(2005重庆高考,19文)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.分析：在x=3处取极值,则x=3使导函数等于零;在(-∞,0)上为增函数,则f′(x)在(-∞,0)上恒正. 解：(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).因f(x)在x=3处取得极值,所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3.经检验知当a=3时,x=3为f(x)的极值点.(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x1=a,x2=1.当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数.从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数.综上所述,当a∈［0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.评述：本题考查了导数、极值、单调性等知识,考查了函数与方程的转化思想.。
高三数学一轮复习 第十二章导数导数的综合应用课件 文
数的最值恒大于0或者小于0的问题.
3.利用导数研究方程的根的个数,其具体步骤为:①将方程移项、整 理,转化为方程F(x)=0;②利用导数研究函数y=F(x)图象的变化情况; ③利用数形结合思想研究F(x)与x轴交点的个数,从而得到方程根的 个数.
1.已知函数f(x)的导函数f‘(x)的图象如图所示, 那么函数f(x)的图象最有可能的是 ( )
常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解 决.在复习过程中,要注意等价转化、分类讨论、数形结合等数学思 想方法的训练.在解决导数的综合应用题中,这些思想始终贯穿于其 中,是解决问题的关键,在研究函数的有关性质时,一定要注意优先考 虑定义域.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
(A)1.
(B) 1 . (C) 5 .
(D) 2 .
2
2
2
【解析】由题可知|MN|=x2-ln x(x>0),不妨令h(x)=x2-ln x,则h'(x)=2x- 1 ,
令h'(x)=0解得x= ,因x∈(0, )时,h'(x)<0,当x∈( ,+∞)时,h'(x)>0x,
2013届高考数学一轮复习教案3.3导数的综合应用
§3.3导数的综合应用1.利用导数研究函数单调性的步骤(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间.2.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值(1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；(2)求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值；(3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函数值f(a)，f(b)；(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：优化问题―→用函数表示数学问题↓优化问题答案用导数解决数学问题5.利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间.[难点正本疑点清源]1.实际问题常要求解出最大值或最小值，即探求问题的最优解(最优化方法)，一元函数问题的最值可用求导数的方法解决，而且在求导后，导数为零处常常只有一个(即方程f ′(x )＝0在定义域内只有唯一解)，这个解通常就是最值点.但在解答过程中，还需对这一点的左、右函数的单调性加以验证.2.实际问题中，建模时使用的自变量不一定是求导的最“优”变量，灵活地运用换元的方法是优化解答过程的有效手段.3.求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围转化为研究新函数的值域问题.4.判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性.1.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是__________.2.如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是__________ __ cm 2/s.3.若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________.4.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件5.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数 y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不 等式f (x 2－6)>1的解集为( )A.(－3，－2)∪(2,3)B.(－2，2)C.(2,3)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)题型一 利用导数研究函数的零点或方程根的方法 例1 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.探究提高 (1)对于该问题的求解，一般利用研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象的交点情况，建立含参数的方程组(或不等式)求之，实现形与数的和谐 统一.(2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图象交点联系起来，缺乏转化与化归、数形结合的意识.已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对∀x ∈R ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若函数f (x )有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围. 题型二 利用函数研究恒成立及参数求解问题 例2 已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.探究提高 (1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域.(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用.设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围. 题型三 利用导数研究生活中的优化问题例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.2.二审结论会转换试题：(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.审题路线图 求f (x )的极值↓(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域) 求f ′(x )＝0的解，即f (x )的极值点 ↓(转化为求函数值)将极值点代入f (x )求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求f (x )在[1，e]上的单调性 ↓(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值 ↓(构造函数进行转化) F (x )＝f (x )－g (x )↓(将图象的上、下关系转化为数量关系) 求证F (x )<0在(1，＋∞)上恒成立. ↓研究函数F (x )在(1，＋∞)上的单调性. 规范解答(1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，[1分]令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， [2分] 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，[3分]当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，[4分]所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.[5分] (2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数， [6分] ∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.[7分](3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x， [9分]当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，∴在区间(1，＋∞)上，F (x )<0恒成立.即F (x )<g (x )恒成立.[11分]因此，当a ＝1时，在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方.[12分] 点评 (1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用.(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题.方法与技巧1.极值与最值的区别与联系.区别：极值是局部概念，只对某个领域有效，最值是全局概念，对整个定义域都有效.联系：最值一般是极值点、不可导点和端点函数值(可取到的话)中的最大值或最小值.最值不一定是极值，极值也不一定是最值.2.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 失误与防范1.注意极大值未必大于极小值，极值仅仅体现在x 0处附近函数值的变化情况.2.要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究函数的极值与最值.答案基础自测1.(－∞，0)2.25 000π3.[－1,1]4.C5.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞). 当a >0时，由f ′(x )>0， 解得x <－a 或x >a .由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a ). (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 结合如图所示f (x )的图象可知： 实数m 的取值范围是(－3,1). 变式训练1 (1)－34 (2)a >52或a <2例2 解 (1)由题意f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax2.①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e. (3)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3， h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x .∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数. ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数. g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立. 变式训练2 (1)x ＋y －3＝0 (2)满足条件的最大整数M 为4 (3)a ≥1例3 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设， 每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5. 再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.又建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10). (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6. 解得x ＝5，x ＝－253(舍去).当0<x <5时，f ′(x )<0， 当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 变式训练3 (1)2(2)当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大高﹤考じ试!题`库。
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13节导数与函数的综合问题教学案含解析理
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13节导数与函数的综合问题教学案含解析理第十三节 导数与函数的综合问题导数与不等式►考法1 【例1】 已知函数f (x )＝x ＋a e x(a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ＜0，a ≤1时，证明：x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． [解] (1)由f (x )＝x ＋a e x可得f ′(x )＝1＋a e x.当a ≥0时，f ′(x )＞0，则函数f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．当a ＜0时，由f ′(x )＞0可得x ＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，由f ′(x )＜0可得x ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上为减函数．(2)证明：设F (x )＝x 2＋(a ＋1)x －xf ′(x )＝x 2＋ax －ax e x＝x (x ＋a －a e x)． 设H (x )＝x ＋a －a e x ，则H ′(x )＝1－a e x. ∵x ＜0，∴0＜e x ＜1，又a ≤1，∴1－a e x ≥1－e x＞0.∴H (x )在(－∞，0)上为增函数，则H (x )＜H (0)＝0，即x ＋a －a e x＜0. 由x ＜0可得F (x )＝x (x ＋a －a e x)＞0，所以x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． ►考法2 解决不等式恒成立(存在性)问题 【例2】 设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]m ax ≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.令g ′(x )＞0得x ＜0，或x ＞23，令g ′(x )＜0得0＜x ＜23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，又g (0)＝－3，g (2)＝1，所以g (x )m ax ＝g (2)＝1. 故[g (x 1)－g (x 2)]m ax ＝g (x )m ax －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )m ax ，由(1)可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1. 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令m (x )＝x ln x ，由m ′(x )＝ln x ＋1＞0 得x ＞1e.即m (x )＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上是增函数， 可知h ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， 又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0； 当12＜x ＜1时，h ′(x )＞0. 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )m ax ＝h (1)＝1， 所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[规律方法] 1.利用导数证明含“x ”不等式方法，证明：f x ＞g x .法一：移项，f x －g x ＞0，构造函数F x ＝f x －g x ，转化证明F xmin＞0，利用导数研究Fx 单调性，用上定义域的端点值.法二：转化证明：f x min＞g xmax.,法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略1首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.2也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f x ≥g a对于x ∈D恒成立，应求f x 的最小值；若存在x ∈D ，使得f x ≥g a 成立，应求f x 的最大值.应特别关注等号是否成立问题.(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1.证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.[解] 证明：当a ≥1e 时，f (x )≥exe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e xe －1x.当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.利用导数研究函数的零点问题【例3(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b.因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，－2)－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞ f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )↗c ↘c －3227↗所以，当c ＞0且c －3227＜0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．[规律方法] 利用导数研究方程根的方法1研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.2根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极最值的位置.3可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[解] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)，得x ＞0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k ) k(k ，＋∞)f ′(x ) － 0＋f (x )↘k 1－ln k2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k 1－ln k2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k 1－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k 1－ln k2≤0，从而k ≥e，当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0，所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(1)＝12＞0，f(e)＝e－k2＜0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．利用导数研究生活中的优化问题【例4】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路分别为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．[解](1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y＝ax2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设公路l 交x 轴，y 轴分别为A ，B 两点，如图所示， 又y ′＝－2 000x3，则直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈[5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20]时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 所以当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300， 此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为1 60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．1．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ax 2＋x －1ex.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥0. [解] (1)f ′(x )＝－ax 2＋2a －1x ＋2ex，f ′(0)＝2. 因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是2x －y －1＝0. (2)当a ≥1时，f (x )＋e≥(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x.令g (x )＝x 2＋x －1＋ex ＋1，则g ′(x )＝2x ＋1＋e x ＋1.当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝0.因此f (x )＋e≥0.2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
2012年高考复习名师指导《导数的应用综合》课件
• 4．(文)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的 顶点在第二象限，则函数f ′(x)的图像是 ( )
[解析]
b 4c－b2 由题意可知 － ， 2 在第二象限 4
b －2<0 ⇒ 2 4 c － b >0 4
⇒b>0，又 f ′(x)＝2x＋b，故选 C.
• [例2] 求下列函数的导数：
1 5 4 3 (1)y＝5x －3x ＋3x2＋ 2； (2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； x (3)y＝ ； 1－x＋x2 (4)y＝3xex－2x＋e； lnx (5)y＝ 2 ； x ＋1 (6)y＝xcosx－sinx.
(7)y＝(1＋sinx)2； (8)(理)y＝ln x2＋1； (9)(理)y＝cos32x＋ex； (10)(理)y＝lg 1－x2.
f′(u)·φ′(x)
• 基础自测 • 1．(2010· 新课标文)曲线y＝x3－2x＋1在 点(1,0)处的切线方程为( ) • A．y＝x－1 B．y＝－x－1
• C．y＝2x－2
• [答案] A
D．y＝－2x－2
• [解析] 本题考查了导数的几何意义，切 线方程的求法，在解题时应首先验证点是 否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜 率，题目定位于简单题．
• 导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几 年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空 题、解答题都曾出现过，而且近几年有加强的 趋势，预测2012年对本单元的考查为： • (1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的 形式出现． • (2)导数的运算是每年必考的，但不会对其进行 单纯考查，多与导数的应用综合，以考查函数 的单调性、极值、最值问题，以大题形式出 现．
• [答案] C • [解析] 解法1：令x0－Δx＝x′0，则当
2013届高考数学一轮复习讲义：3[1].3_导数的综合应用
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g(x)<g(1)＝－1， ∴当 a≥－1 时，f(x)<x 在(1，＋∞)上恒成立．
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2
a 3 2 3. 设 f(x)＝ ＋xln x，g(x)＝x －x －3. x (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程； 述条件的最大整数 M； (3)如果对任意的 取值范围．
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3 因此 Δ＝81－12(6－m)≤0，得 m≤－ . 4 3 ∴实数 m 的最大值为－ . 4
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(2)因为当 x<1 时，f′(x)>0，当 1<x<2 时，f′(x)<0， 当 x>2 时，f′(x)>0. 5 所以当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝ －a； 2
当 x＝2 时，f(x)取极小值 f(2)＝2－a. 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时，方程 f(x)＝0 仅有一个实根， 5 解得 a<2 或 a> . 2
因此函数 f ( x) 在 x 1 处取得极大值． 所以 f ( x) 在（0，1）上单调递增；在 (1, ) 上单调递减， 所以 f ( x) 在（0，1）上单调递增；在 (1, ) 上单调递减， 因此函数 f ( x) 在 x 1 处取得极大值． 因为函数( x)(在)x在区间 (a, a 1 ) （其中 a 0 ）上存在 因此函数 ff (fx) x 1 处取得极大值． a 0 ）上存在极值， 因为函数 在区间 (a, a 1 ) （其中 2 2 1 因此函数 ff((xx))在 xx 1 处取得极大值． 在 1 处取得极大值． 因此函数a f1, x) 在区间 (a, a ) （其中 a 0 ）上存在 因为函数 ( 1, a 1 f ( x) 在区间 (解得 1 ) a2 1．0 ）上存在极值， 所以 因为函数 1 解得 ,1a a （其中 a a 1 1． 所以 a 1, 1xx2在区间 ((a,,2a 12)（其中 a 0 ）上存在极值， 因为函数(1,) 在区间 a a 2) （其中 a 0 ）上存在极值， 因为函数 ff( ) 1, aa 2 2 2 a 所以 1, 1 解得 1 a 1．
高考第一轮复习数学：131导数的概念与运算-教案(含习题及答案).
*第十三章 导数●络体系总览●考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1 导数的概念与运算●知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率xy∆∆.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy∆∆.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s=s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t=t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N*）. 4.运算法则 如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）.●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy ∆∆等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2解析：Δy=2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy ∆∆=4+2Δx.答案：C2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为A.f （x ）=x 4－2B.f （x ）=x 4+2C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 4解析：筛选法. 答案：A3.如果质点A 按规律s=2t 3运动，则在t=3 s 时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t=3=54. 答案：C4.若抛物线y=x 2－x+c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x=－2=－5.又P （－2，6+c ），∴26-+c=－5.∴c=4. 答案：45.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b '+)(c f c'=________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a+b+c ）x 2+（ab+bc+ca ）x －abc ，∴f '（x ）=3x 2－2（a+b+c ）x+ab+bc+ca. 又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ）， f ' （c ）=（c －a ）（c －b ）. 代入原式中得值为0. 答案：0 ●典例剖析【例1】 （1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx+c ，曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y=f （x ）对称轴距离的取值范围为A.［0，a 1］B.［0，a 21］C.［0，|a b 2|］D.［0，|ab 21-|］（2）（2004年全国，3）曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为A.y=3x －4B.y=－3x+2C.y=－4x+3D.y=4x －5（3）（2004年重庆，15）已知曲线y=31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______.（4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2－4x+2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］，∴P 到曲线y=f （x ）对称轴x=－a b 2的距离d=x 0－（－a b 2）=x 0+ab2.又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］，∴x 0∈［a b 2-，a b 21-］.∴d=x 0+a b 2∈［0，a21］.（2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y+1=－3（x －1）.（3）∵P （2，4）在y=31x 3+34上，又y ′=x 2，∴斜率k=22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2. ∴所求直线方程为y －2=2（x+1），即2x －y+4=0. 答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0 （4）2x －y+4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】 曲线y=x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少? 剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y=27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=21×2×54=54.评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】 已知曲线C ：y=x 3－3x 2+2x ，直线l ：y=kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：∵直线过原点，则k=00x y（x 0≠1）.由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0， ∴00x y =x 02－3x 0+2. 又y ′=3x 2－6x+2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k=f '（x 0）=3x 02－6x 0+2.∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2.整理得2x 02－3x 0=0.解得x 0=23（∵x 0≠0）.这时，y 0=－83，k=－41.因此，直线l 的方程为y=－41x ，切点坐标是（23，－83）.评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识. 【例4】 证明：过抛物线y=a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可. 解：y ′=2ax －a （x 1+x 2）， y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）.设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|， tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β. 又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练 夯实基础1.函数f （x ）=（x+1）（x 2－x+1）的导数是 A.x 2－x+1 B.（x+1）（2x －1）C.3x 2D.3x 2+1解析：∵f （x ）=x 3+1，∴f '（x ）=3x 2. 答案：C2.曲线y=f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为3x+y+3=0，则 A. f '（x 0）>0 B. f '（x 0）<0 C. f '（x 0）=0 D. f '（x 0）不存在 解析：由题知f '（x 0）=－3. 答案：B3.函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f '（－1）=4，则a 的值等于________.解析： f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a=310.答案： 3104.曲线y=2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________. 解析：点P （－1，3）在曲线上，k=f '（－1）=－4，y －3=－4（x+1），4x+y+1=0. 答案：4x+y+1=05.已知曲线y=x 2－1与y=3－x 3在x=x 0处的切线互相垂直，求x 0.解：在x=x 0处曲线y=x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y=3－x 3的切线斜率为－3x 02.∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361.答案： 3616.点P 在曲线y=x 3－x+32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围.解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）；当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［43π，π）.培养能力7.曲线y=－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求： （1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）k AB =4204--=－2，∴y=－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x+y －8=0.（2）y '=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y －9=0. 8.有点难度哟！若直线y=3x+1是曲线y=x 3－a 的一条切线，求实数a 的值.解：设切点为P （x 0，y 0），对y=x 3－a 求导数是y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1. （1）当x=1时，∵P （x 0，y 0）在y=3x+1上， ∴y=3×1+1=4，即P （1，4）.又P （1，4）也在y=x 3－a 上，∴4=13－a.∴a=－3. （2）当x=－1时，∵P （x 0，y 0）在y=3x+1上，∴y=3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）.又P （－1，－2）也在y=x 3－a 上，∴－2=（－1）3－a.∴a=1.综上可知，实数a 的值为－3或1.9.确定抛物线方程y=x 2+bx+c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y=2x 在x=2处相切. 解：y '=2x+b ，k=y ′|x=2=4+b=2， ∴b=－2.又当x=2时，y=22+（－2）×2+c=c ， 代入y=2x ，得c=4. 探究创新10.有点难度哟！曲线y=x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：y '=3x 2+6x+6=3（x+1）2+3， ∴x=－1时，切线最小斜率为3，此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14. ∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x －y －11=0. ●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. ●教师下载中心 教学点睛1.f '（x 0）=0lim →x x x f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式：f '（x 0）=0lim x x →00)()(x x x f x f --=0lim→h hx f h x f )()(00-+=0lim →h hh x f x f )()(00-- 2.曲线C ：y=f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为 y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）. 3.若质点的运动规律为s=s （t ），则质点在t=t 0时的瞬时速度为v=s '（t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例【例题】 曲线y=x 2+1上过点P 的切线与曲线y=－2x 2－1相切，求点P 的坐标.解：设P （x 0，y 0），由题意知曲线y=x 2+1在P 点的切线斜率为k=2x 0，切线方程为y=2x 0x+1－x 02，而此直线与曲线y=－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x+2－x 02=0的判别式Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0.解得x 0=±332，y 0=37.∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。
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高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学习型教学案(有答案)
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案（有答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案15 导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．自主梳理．函数的最值函数f在[a，b]上必有最值的条件如果函数y＝f的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．求函数y＝f在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f在内的________；②将函数y＝f的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测．函数f＝x3－3ax－a在内有最小值，则a的取值范围为A．0≤a<1B．0<a<1c．－1<a<1D．0<a<122．设f′是函数f的导函数，将y＝f和y＝f′的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是3．对于R上可导的任意函数f，若满足f′≥0，则必有A．f＋f<2fB．f＋f≤2fc．f＋f≥2fD．f＋f>2f4．函数f＝12ex在区间0，π2上的值域为______________．5．f＝x2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．探究点一求含参数的函数的最值例1 已知函数f＝x2e－ax，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1 设a>0，函数f＝alnxx.讨论f的单调性；求f在区间[a,2a]上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2 已知f＝12x2－alnx，求函数f的单调区间；求证：当x>1时，12x2＋lnx<23x3.变式迁移2 设a为实数，函数f＝ex－2x＋2a，x∈R.求f的单调区间与极值；求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.探究点三实际生活中的优化问题例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为2万件．求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式；当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q．变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x与年产量t满足函数关系x＝XXt.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元．将乙方的年利润ω表示为年产量t的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想的应用例已知函数f＝lnx－x＋1.若xf′≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；证明：f≥0.【答题模板】解∵f′＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，x>0，∴xf′＝xlnx＋1.由xf′≤x2＋ax＋1，得a≥lnx－x，令g＝lnx－x，则g′＝1x－1，[2分] 当0<x<1时，g′>0；当x>1时，g′<0，[4分]∴x＝1是最大值点，gmax＝g＝－1，∴a≥－1，∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分]证明由知g＝lnx－x≤g＝－1，∴lnx－x＋1≤0.是快速解决的关键．)[8分]当0<x<1时，x－1<0，f＝lnx－x＋1＝xlnx ＋lnx－x＋1≤0，∴f≥0.当x≥1时，x－1>0，f＝lnx－x＋1＝lnx＋xlnx－x＋1＝lnx－xln1x－1x＋1≥0，∴f≥0.[11分]综上，f≥0.[12分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f；求函数的导数f′，解方程f′＝0；比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；回到实际问题，作出解答．一、选择题．已知曲线c：y＝2x2－x3，点P，直线l过点P且与曲线c相切于点Q，则点Q的横坐标为A．－1B．1c．－2D．22．已知函数y＝f，y＝g的导函数的图象如图所示，那么y＝f，y＝g的图象可能是3．设f′是函数f的导函数，y＝f′的图象如图所示，则y＝f的图象最有可能是4．函数f＝－x3＋x2＋tx＋t在上是增函数，则t的取值范围是A．t>5B．t<5c．t≥5D．t≤55．若函数f＝sinxx，且0<x1<x2<1，设a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，则a，b的大小关系是A．a>bB．a<bc．a＝bD．a、b的大小不能确定题号2345答案二、填空题6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为_____________________________________________________________m3.8．若函数f＝4xx2＋1在区间上是单调递增函数，则实数m的取值范围为________．三、解答题9．已知函数f＝122－ln．求f的单调区间；若x∈[1e－1，e－1]时，f<m恒成立，求m的取值范围．0．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用c与隔热层厚度x满足关系：c＝k3x ＋5，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．求k的值及f的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f达到最小，并求最小值．1．设函数f＝lnx，g＝ax＋bx，函数f的图象与x轴的交点也在函数g的图象上，且在此点有公共切线．求a、b的值；对任意x>0，试比较f与g的大小．答案自主梳理．连续①极值②端点值自我检测．B 2.D 3.c4.12，12eπ25.6课堂活动区例1 解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′＝0，求出x 值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．解∵f＝x2e－ax，∴f′＝2xe－ax＋x2•e－ax＝e－ax．令f′>0，即e－ax>0，得0<x<2a.∴f在，2a，＋∞上是减函数，在0，2a上是增函数．①当0<2a<1，即a>2时，f在[1,2]上是减函数，∴fmax＝f＝e－a.②当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，∴fmax＝f2a＝4a－2e－2.③当2a>2，即0<a<1时，f在[1,2]上是增函数，∴fmax＝f＝4e－2a.综上所述，当0<a<1时，f的最大值为4e－2a；当1≤a≤2时，f的最大值为4a－2e－2；当a>2时，f的最大值为e－a.变式迁移1 解函数f的定义域为，f′＝a•1－lnxx2，由f′＝a•1－lnxx2>0，得0<x<e；由f′<0，得x>e.故f在上单调递增，在上单调递减．∵f在上单调递增，在上单调递减，∴f在[a,2a]上的最小值[f]min＝min{f，f}．∵f－f ＝12lna2，∴当0<a≤2时，[f]min＝lna；当a>2时，[f]min＝ln2a2.例2 解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．解f′＝x－ax＝x2－ax，若a≤0时，f′>0恒成立，∴函数f的单调增区间为．若a>0时，令f′>0，得x>a，∴函数f的单调增区间为，减区间为．证明设F＝23x3－，故F′＝2x2－x－1x.∴F′＝x－12x2＋x＋1x.∵x>1，∴F′>0.∴F在上为增函数．又F在上连续，F＝16>0，∴F>16在上恒成立．∴F>0.∴当x>1时，12x2＋lnx<23x3.变式迁移2 解由f＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′＝ex－2，x∈R.令f′＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′，f的变化情况如下表：xln2f′－＋f极小值故f的单调递减区间是，单调递增区间是，f在x＝ln2处取得极小值，极小值为f＝eln2－2ln2＋2a＝2．证明设g＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′＝ex－2x＋2a，x∈R.由知当a>ln2－1时，g′最小值为g′＝2>0.于是对任意x∈R，都有g′>0，所以g在R内单调递增，于是当a>ln2－1时，对任意x∈，都有g>g．而g＝0，从而对任意x∈，都有g>0，即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.例3 解分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为L＝2，x∈[9,11]．L′＝2－2＝．令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12．∵3≤a≤5，∴8≤6＋23a≤283.在x＝6＋23a两侧L′的值由正变负．∴①当8≤6＋23a<9，即3≤a<92时，Lmax＝L＝2＝9．②当9≤6＋23a≤283，即92≤a≤5时，Lmax＝L＝[12－]2＝43.所以Q＝96－a，3≤a<92，43－13a3，92≤a≤5.综上，若3≤a<92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q＝9；若92≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q＝43．变式迁移3 解因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝XXt－St.由ω′＝1000t－S＝1000－Stt，令ω′＝0，得t＝t0＝2.当t<t0时，ω′>0；当t>t0时，ω′<0.所以当t＝t0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量为2吨．设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2.将t＝2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v＝10002S－2×10003S4.又v′＝－10002S2＋8×10003S5＝10002×8000－S3S5，令v′＝0，得S＝20.当S<20时，v′>0；当S>20时，v′<0，所以S＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20元/吨时，可获得最大净收入．课后练习区．A 2.D 3.c 4.c 5.A6.63d解析如图所示，为圆木的横截面，由b2＋h2＝d2，∴bh2＝b．设f＝b，∴f′＝－3b2＋d2.令f′＝0，由b>0，∴b＝33d，且在上f′>0，在[33d，d]上f′<0.∴函数f在b＝33d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝63d.7．300解析设长为xm，则宽为m，仓库的容积为V，则V＝x•3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，令V′＝0得x＝10.当0<x<10时，V′>0；当x>10时，V′<0，∴x＝10时，V最大＝300．8．＝41－x2x2＋12≥0，解得－1≤x≤1.由已知得⊆[－1,1]，即m≥－12m＋1≤1m<2m ＋1，解得－1<m≤0.9．解∵f＝122－ln，∴f′＝－11＋x＝x2＋x1＋x．……………………………………………………………………………………………∴f在上单调递增，在上单调递减．…………………………………………………………………令f′＝0，即x＝0，则xf′－＋f极小值……………………………………………………………………………………………又∵f＝12e2＋1，f＝12e2－1>12e2＋1，又f<m在x∈[1e－1，e－1]上恒成立，∴m>12e2－1.………………………………………………………………………………0．解设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为c＝k3x＋5，再由c＝8，得k＝40，因此c＝403x＋5，…………………………………………而建造费用为c1＝6x.…………………………………………………………………最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f＝20c＋c1＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x．………………………………………………………………f′＝6－24003x＋52，令f′＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253．…………………………………………当0<x<5时，f′<0，当5<x<10时，f′>0，………………………………………………………………故x＝5是f的最小值点，对应的最小值为f＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．……………………………………………………………………………………………1．解f＝lnx的图象与x轴的交点坐标是，依题意，得g＝a＋b＝0.①……………………………………………………………又f′＝1x，g′＝a－bx2，且f与g在点处有公共切线，∴g′＝f′＝1，即a－b＝ 1.②……………………………………………………由①②得a＝12，b＝－12.…………………………………………………………………令F＝f－g，则F＝lnx－＝lnx－12x＋12x，∴F′＝1x－12－12x2＝－122≤0.∴F在上为减函数．………………………………………………………当0<x<1时，F>F＝0，即f>g；当x＝1时，F＝0，即f＝g；当x>1时，F<F＝0，即f<g．综上，0<x<1时，f>g；x＝1时，f＝g；x>1时f<g．…………………………………………………………………………。
大纲版-2012年高考数学文科第一轮复习13章第二节-导数的应用
(3)函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值 在闭区间[a， 上连续的函数 在闭区间 ，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上 在 ， 上 必有最大值与最小值，但在开区间 ， 内连 必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连 续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值， 不一定有最大值与最小值， 不一定有最大值与最小值 例如 1 f(x)＝ ，x∈(0，＋ ． ，＋∞)． ＝ ∈ ，＋ x
例3
已知a为实数， 已知 为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)． 为实数 ＝ － ．
(1)求f(x)的导数； 求 的导数； 的导数 (2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最 若 － ＝ ， 在－ 上的最大值和最 小值． 小值． 【思路分析】 思路分析】 (1)第一问先展开，后对x求导， 第一问先展开，后对 求导 求导， 第一问先展开
思维总结】 【 思维总结 】
此题省去了讨论单调性的过
＝－1是极值点 程，因x＝或x＝－ 是极值点．若f′(x)＝0的点 ＝ ＝－ 是极值点． ＝ 的点 不是极值点时， 必须要讨论单调性 ， 确定极 不是极值点时 ， 必须要讨论单调性， 值．
互动探究2 若 f′(－ 1)＝ 0， 求 f(x)在 [0,1]上 互动探究 － ＝ ， 在 上 的值域． 的值域． 解：∵f′(x)＝3x2－2ax－4， ＝ － ， 1 由 f′(－1)＝0，得 a＝ . － ＝ ， ＝ 2 1 2 ∴f(x)＝(x －4)(x－ )． ＝ － ． 2 4 ∴f′(x)＝3(x－ )(x＋1)． ＝ － ＋ ． 3 4 ，－1<x< ， 当 f′(x)<0 时，－ 3 4 故减区间为(－ ， ． 故减区间为 －1， )． 3
综上所述： 没有极值； 综上所述：当a＝1时，f(x)没有极值； ＝ 时 没有极值 的极大值为f(0)＝1. 当a>1时，f(x)的极大值为 时 的极大值为 ＝ 【思维总结】 思维总结】 f′(x0)＝0只是 0为极值的必要 只是x ＝ 只是
高考数学一轮总复习解答大题专项训练六大专题
高考大题专项(一) 导数的综合应用突破1导数与函数的单调性1.已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)略.2.已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)略.3.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)略.4.(2019山东潍坊三模,21)已知函数f(x)=x2+a ln x-2x(a∈R).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)略.5.设函数f(x)=(x-1)e x-x2(其中k∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)略.6.(2019河北衡水同卷联考,21)已知函数f(x)=x2e ax-1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)略.突破2利用导数研究函数的极值、最值1.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值;(2)略.2.(2019河北衡水深州中学测试)讨论函数f(x)=ln x-ax(a∈R)在定义域内的极值点的个数.3.设函数f(x)=2ln x-x2+ax+2.(1)当a=3时,求f(x)的单调区间和极值;(2)略.4.已知函数f(x)=.(1)当a=1时,判断f(x)有没有极值点?若有,求出它的极值点;若没有,请说明理由;(2)略.5.(2019湖北八校联考二,21)已知函数f(x)=ln x+ax2+bx.(1)函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为2x+y=0,求a,b的值,并求函数f(x)的最大值;(2)略.6.(2019广东广雅中学模拟)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.突破3导数在不等式中的应用1.(2019湖南三湘名校大联考一,21)已知函数f(x)=x ln x.(1)略;(2)当x≥时,f(x)≤ax2-x+a-1,求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)=a e x-ln x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.3.已知函数f(x)=e x+ax+ln(x+1)-1.(1)若x≥0,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.(2)略.4.函数f(x)=(x-2)e x+ax2-ax.(1)略;(2)设a=1,当x≥0时,f(x)≥kx-2,求k的取值范围.5.已知函数f(x)=.(1)略;(2)若f(x)<x+1在定义域上恒成立,求a的取值范围.6.已知x1,x2(x1<x2)是函数f(x)=e x+ln(x+1)-ax(a∈R)的两个极值点.(1)求a的取值范围;(2)求证:f(x2)-f(x1)<2ln a.突破4导数与函数的零点1.已知函数f(x)=x2-m ln x.若m≥1,令F(x)=f(x)-x2+(m+1)x,试讨论函数F(x)的零点个数.2.(2019河北唐山三模,21)已知函数f(x)=x ln x-a(x2-x)+1,函数g(x)=f'(x).(1)若a=1,求f(x)的极大值;(2)当0<x<1时,g(x)有两个零点,求a的取值范围.3.(2019河南开封一模,21)已知函数f(x)=.(1)略;(2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在区间(0,1)内有解,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)=ln x,g(x)=x3+2(1-a)x2-8x+8a+7.(1)若曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线方程是y=ax-1,求函数g(x)在[0,3]上的值域;(2)当x>0时,记函数h(x)=若函数y=h(x)有三个零点,求实数a的取值范围.5.已知f(x)=x ln x.(1)求f(x)的极值;(2)若f(x)-ax x=0有两个不同解,求实数a的取值范围.6.(2019河北唐山三模,21)已知函数f(x)=x ln x-x2-ax+1,a>0,函数g(x)=f'(x).(1)若a=ln 2,求g(x)的最大值;(2)证明:f(x)有且仅有一个零点.参考答案高考大题专项(一) 导数的综合应用突破1导数与函数的单调性1.解(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.令f'(x)=0,解得x=3-2或x=3+2当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.2.证明(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.3.解(1)由题意知f'(x)=(x-k+1)e x.令f'(x)=0,得x=k-1.当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)<0,当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).4.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+-2=,令2x2-2x+a=0,Δ=4-8a=4(1-2a),若a,则Δ≤0,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a<,则Δ>0,方程2x2-2x+a=0,两根为x1=,x2=,当a≤0时,x2>0,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增;当0<a<时,x1>0,x2>0,x∈(0,x1),f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a时,函数f(x)单调递增区间为(0,+∞),当a≤0时,函数f(x)单调递增区间为,+∞,当0<a<时,函数f(x)单调递增区间为0,,,+∞.5.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=e x+(x-1)e x-kx=x e x-kx=x(e x-k),①当k≤0时,令f'(x)>0,解得x>0,∴f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).②∵当0<k<1时,令f'(x)>0,解得x<ln k或x>0,∴f(x)在(-∞,ln k)和(0,+∞)上单调递增,在(ln k,0)上单调递减.③当k=1时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.④当k>1时,令f'(x)>0,解得x<0或x>ln k,所以f(x)在(-∞,0)和(ln k,+∞)上单调递增,在(0,ln k)上单调递减.6.解(1)函数f(x)的定义域为R.f'(x)=2x e ax+x2·a e ax=x(ax+2)e ax.当a=0时,f(x)=x2-1,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减;当a>0时,f'(x)=ax x+e ax,令f'(x)>0得x<-或x>0,令f'(x)<0得-<x<0,所以f(x)在区间-∞,-内单调递增,在区间-,0内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增;当a<0时,f'(x)=ax x+e ax,令f'(x)>0得0<x<-,令f'(x)<0得x>-或x<0,所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间0,-内单调递增,在区间-,+∞内单调递减.突破2利用导数研究函数的极值、最值1.解(1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,2) 2 (2,+∞)f'(x) +0 -lnf(x) ↗↘2-1故f(x)的极大值为ln2-1,无极小值.2.解函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=(x>0).当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点;当a>0时,若x∈0,,则f'(x)>0,若x∈,+∞,则f'(x)<0,故函数f(x)在x=处取极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,当a>0时,函数f(x)有一个极大值点.3.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=3时,f(x)=2ln x-x2+3x+2,所以f'(x)=-2x+3=,令f'(x)==0,得-2x2+3x+2=0,因为x>0,所以x=2.f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下:x(0,2) 2 (2,+∞)f'(x) +0 -2lnf(x) ↗↘2+4所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).f(x)的极大值为2ln2+4,无极小值.4.解(1)函数f(x)=,则x>0且x≠1,即函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞).当a=1时,f(x)=,则f'(x)=,令g(x)=x-ln x-1,则g'(x)=1-,①当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,g(x)>g(1)=0,∴f'(x)>0,f(x)在区间(0,1)上单调递增,所以无极值点;②当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,∴f'(x)>0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以无极值点.综上,当a=1时,f(x)无极值点.5.解(1)因为f(x)=ln x+ax2+bx,所以f'(x)=+2ax+b,则在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+2a+b,由题意可得,1+2a+b=-2,且a+b=-2,解得a=b=-1.所以f'(x)=-2x-1==-,由f'(x)=0,可得x=(x=-1舍去),当0<x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故当x=时,f(x)取得极大值,且为最大值,f=-ln2-故f(x)的最大值为-ln2-6.解(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+,令f'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.∴f(x)max=f(1)=-1.∴当a=-1时,函数f(x)的最大值为-1.(2)f'(x)=a+,x∈(0,e],则,+∞.①若a≥-,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上单调递增,∴f(x)max=f(e)=a e+1≥0,不合题意.②若a<-,令f'(x)>0得,a+>0,又x∈(0,e],解得0<x<-;令f'(x)<0得,a+<0,又x∈(0,e],解得-<x≤e.从而f(x)在0,-上单调递增,在-,e上单调递减,∴f(x)max=f-=-1+ln-.令-1+ln-=-3,得ln-=-2,即a=-e2.∵-e2<-,∴a=-e2符合题意.故实数a的值为-e2.突破3导数在不等式中的应用1.解(2)由已知得a,设h(x)=,则h'(x)=∵y=x ln x+ln x+2是增函数,且x,∴y≥--1+2>0,∴当x∈,1时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,∴h(x)在x=1处取得最大值,h(1)=1,∴a≥1.故a的取值范围为[1,+∞).2.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-由题设知,f'(2)=0,所以a=从而f(x)=e x-ln x-1,f'(x)=e x-当0<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)证明当a时,f(x)-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g'(x)=当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a时,f(x)≥0.3.解(1)若x≥0,则f'(x)=e x++a,令g(x)=e x++a,则g'(x)=e x-,g'(x)在[0,+∞)上单调递增,则g'(x)≥g'(0)=0,则f'(x)在[0,+∞)上单调递增,f'(x)≥f'(0)=a+2.①当a+2≥0,即a≥-2时,f'(x)≥0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,此时f(x)≥f(0)=0,满足题意.②当a<-2时,因为f'(x)在[0,+∞)上单调递增,f'(0)=2+a<0,当x→+∞时,f'(x)>0.所以∃x0∈(0,+∞),使得f'(x0)=0.则当0<x<x0时,f'(x)<f'(x0)=0,∴函数f(x)在(0,x0)上单调递减.∴f(x0)<f(0)=0,不合题意,舍去.综上所述,实数a的取值范围是[-2,+∞).4.解(2)令g(x)=f(x)-kx+2=(x-2)e x+x2-x-kx+2,则g'(x)=(x-1)e x+x-1-k,令h(x)=(x-1)e x+x-1-k,则h'(x)=x e x+1,当x≥0时,h'(x)=x e x+1>0,h(x)单调递增.∴h(x)≥h(0)=-2-k,即g'(x)≥-2-k.当-2-k≥0,即k≤-2时,g'(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)≥g(0)=0,不等式f(x)≥kx-2恒成立.当-2-k<0,即k>-2时,g'(x)=0有一个解,设为x0,∴当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)为单调递减;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,则g(x0)<g(0)=0,∴当x≥0时,f(x)≥kx-2不恒成立.综上所述,k的取值范围是(-∞,-2].5.解(2)由f(x)<x+1,得<x+1(x>0且x≠1),即a ln x-x+<0.令h(x)=a ln x-x+,则h'(x)=-1-令g(x)=x2-ax+1.①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0.∴当x∈(0,1)时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,h(x)>h(1)=0,a ln x-x+<0成立.当x∈(1,+∞)时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,h(x)<h(1)=0,a ln x-x+<0成立.故-2≤a≤2符合题意.②当Δ=a2-4>0,即a<-2或a>2时,设g(x)=x2-ax+1=0的两根为x1,x2(x1<x2).当a>2时,x1+x2=a>0,x1x2=1,∴0<x1<1<x2.由h'(x)>0,得x2-ax+1<0,解集为(x1,1)∪(1,x2),∴h(x)在(x1,1)上单调递增,h(x1)<h(1)=0,a ln x1-x1+>0,∴a>2不合题意.当a<-2时,g(x)的图象的对称轴x=<-1,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=1>0, ∴当x∈(0,1)时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,h(x)>h(1)=0,a ln x-x+<0成立.当x∈(1,+∞)时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,h(x)<h(1)=0,a ln x-x+<0成立.综上,a的取值范围是(-∞,2].6.(1)解由题意得f'(x)=e x+-a,x>-1,令g(x)=e x+-a,x>-1,则g'(x)=e x-,令h(x)=e x-,x>-1,则h'(x)=e x+>0,∴h(x)在(-1,+∞)上单调递增,且h(0)=0.当x∈(-1,0)时,g'(x)=h(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,g'(x)=h(x)>0,g(x)单调递增.∴g(x)≥g(0)=2-a.①当a≤2时,f'(x)=g(x)>g(0)=2-a≥0.f(x)在(-1,+∞)上单调递增,此时无极值;②当a>2时,∵g-1=>0,g(0)=2-a<0,∴∃x1∈-1,0,g(x1)=0,当x∈(-1,x1)时,f'(x)=g(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(x1,0)时,f'(x)=g(x)<0,f(x)单调递减,∴x=x1是f(x)的极大值点.∵g(ln a)=>0,g(0)=2-a<0,∴∃x2∈(0,ln a),g(x2)=0,当x∈(0,x2)时,f'(x)=g(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,f'(x)=g(x)>0,f(x)单调递增,∴x=x2是f(x)的极小值点.综上所述,a的取值范围为(2,+∞).(2)证明由(1)得a∈(2,+∞),-1<x1<0<x2<ln a,且g(x1)=g(x2)=0,∴x2-x1>0,<x1+1<1,1<x2+1<1+ln a,,-a<0,1<<a(1+ln a)<a2,∴f(x2)-f(x1)=+ln-a(x2-x1)=(x2-x1)-a+ln<ln a2=2ln a.突破4导数与函数的零点1.解F(x)=f(x)-x2+(m+1)x=-x2+(m+1)x-m ln x(x>0).易得F'(x)=-x+m+1-=-①若m=1,则F'(x)≤0,函数F(x)为减函数,∵F(1)=>0,F(4)=-ln4<0,∴F(x)有唯一零点;②若m>1,则当0<x<1或x>m时,F'(x)<0,当1<x<m时,F'(x)>0,所以函数F(x)在(0,1)和(m,+∞)上单调递减,在(1,m)上单调递增, ∵F(1)=m+>0,F(2m+2)=-m ln(2m+2)<0,所以F(x)有唯一零点.综上,当m≥1时,函数F(x)有唯一零点.2.解(1)f(x)=x ln x-x2+x+1(x>0),g(x)=f'(x)=ln x-2x+2,g'(x)=-2=,当x∈0,时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈,+∞时,g'(x)<0,g(x)单调递减.又g(1)=f'(1)=0,则当x∈,1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.故当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=1.(2)g(x)=f'(x)=ln x+1-2ax+a,g'(x)=-2a=,①若a≤0,则g'(x)>0,g(x)单调递增,至多有一个零点,不合题意.②若a>0,则当x∈0,时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈,+∞时,g'(x)<0,g(x)单调递减.则g≥g=ln+1=ln>0.不妨设g(x1)=g(x2),x1<x2,则0<x1<<x2<1.一方面,需要g(1)<0,得a>1.另一方面,由(1)得,当x>1时,ln x<x-1<x,则x<e x,进而,有2a<e2a,则e-2a<,且g(e-2a)=-2a e-2a+1-a<0,故存在x1,使得0<e-2a<x1<综上,a的取值范围是(1,+∞).3.解(2)由f(1)=1得b=e-1-a,由f(x)=1得e x=ax2+bx+1,设g(x)=e x-ax2-bx-1,则g(x)在(0,1)内有零点,设x0为g(x)在(0,1)内的一个零点, 由g(0)=g(1)=0知g(x)在(0,x0)和(x0,1)上不单调.设h(x)=g'(x),则h(x)在(0,x0)和(x0,1)上均存在零点,即h(x)在(0,1)上至少有两个零点.g'(x)=e x-2ax-b,h'(x)=e x-2a,当a时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增,h(x)不可能有两个及以上零点,当a时,h'(x)<0,h(x)在(0,1)上单调递减,h(x)不可能有两个及以上零点,当<a<时,令h'(x)=0得x=ln(2a)∈(0,1),∴h(x)在(0,ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),1)上单调递增,h(x)在(0,1)上存在最小值h(ln(2a)),若h(x)有两个零点,则有h(ln(2a))<0,h(0)>0,h(1)>0,h(ln(2a))=3a-2a ln(2a)+1-e<a<,设φ(x)=x-x ln x+1-e(1<x<e),则φ'(x)=-ln x,令φ'(x)=0,得x=,当1<x<时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增;当<x<e时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减.∴φmax(x)=φ()=+1-e<0,∴h(ln(2a))<0恒成立.由h(0)=1-b=a-e+2>0,h(1)=e-2a-b>0,得e-2<a<1.综上,a的取值范围为(e-2,1).4.解(1)因为g(x)=x3+2(1-a)x2-8x+8a+7,所以g'(x)=2ax2+4(1-a)x-8,所以g'(2)=0.所以a=0,即g(x)=2x2-8x+7.g(0)=7,g(3)=1,g(2)=-1.所以g(x)在[0,3]上的值域为[-1,7].(2)当a=0时,g(x)=2x2-8x+7,由g(x)=0,得x=2±(1,+∞),此时函数y=h(x)有三个零点,符合题意.当a>0时,g'(x)=2ax2+4(1-a)x-8=2a(x-2)x+.由g'(x)=0,得x=2.当x∈(0,2)时,g'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0.若函数y=h(x)有三个零点,则需满足g(1)>0且g(2)<0,解得0<a<当a<0时,g'(x)=2ax2+4(1-a)x-8=2a(x-2)x+.由g'(x)=0,得x1=2,x2=-①当-<2,即a<-1时,因为g(x)极大值=g(2)=a-1<0,此时函数y=h(x)至多有一个零点,不符合题意;②当-=2,即a=-1时,因为g'(x)≤0,此时函数y=h(x)至多有两个零点,不符合题意;③当->2,即-1<a<0时.若g(1)<0,则函数y=h(x)至多有两个零点,不符合题意;若g(1)=0,则a=-,因为g-=8a3+7a2+8a+,所以g->0,此时函数y=h(x)有三个零点,符合题意;若g(1)>0,则-<a<0,由g-=8a3+7a2+8a+.记φ(a)=8a3+7a2+8a+,则φ'(a)>0,所以φ(α)>φ->0,此时函数y=h(x)有四个零点,不符合题意.综上所述,满足条件的实数a∈-∪0,.5.解(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0<x<,故f(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,故x=时,f(x)极小值=f=-(2)记t=x ln x,t≥-,则e t=e x ln x=(e ln x)x=x x,故f(x)-ax x=0,即t-a e t=0,a=,令g(t)=,g'(t)=,令g'(t)>0,解得-t<1,令g'(t)<0,解得t>1,故g(t)在-,1上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(t)max=g(1)=,由t=x ln x,t≥-,a=g(t)=的图象和性质有:①0<a<,y=a和g(t)有两个不同交点(t1,a),(t2,a),且0<t1<1<t2,t1=x ln x,t2=x ln x各有一解,即f(x)-ax x=0有2个不同解.②-<a<0,y=a和g(t)=仅有1个交点(t3,a),且-<t3<0,t3=x ln x有2个不同的解,即f(x)-ax x=0有两个不同解.③a取其他值时,f(x)-ax x=0最多1个解.综上,a的范围是-,0∪0,.6.(1)解g(x)=f'(x)=ln x+1-x-a,g'(x)=,当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.故当x=2时,g(x)的最大值为g(2)=ln2-a.若a=ln2,g(x)取得最大值g(2)=0.(2)证明①若a=ln2,由(1)知,当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,且仅当x=2时,f'(x)=0.此时f(x)单调递减,且f(2)=0,故f(x)只有一个零点x0=2.②若a>ln2,由(1)知,当x∈(0,+∞)时,f'(x)=g(x)<0,f(x)单调递减.此时,f(2)=2(ln2-a)<0,注意到x1=<1,(x ln x)'=ln x+1,故x ln x≥-,f(x1)=x1ln x1->->0,故f(x)仅存在一个零点x0∈(x1,2).③若0<a<ln2,则g(x)的最大值g(2)=ln2-a>0,即f'(2)>0,注意到f'=--a<0,f'(8)=ln8-3-a<0,故存在x2∈,2,x3∈(2,8),使得f'(x2)=f'(x3)=0.则当x∈(0,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,x3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(x3,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.故f(x)有极小值f(x2),有极大值f(x3).由f'(x2)=0得ln x2+1-x2-a=0,故f(x2)=x2-12>0,则f(x3)>0.存在实数t∈(4,16),使得ln t-t=0,且当x>t时,ln x-x<0,记x4=max,则f(x4)=x4ln x4-x4-ax4+1≤0,故f(x)仅存在一个零点x0∈(x3,x4].综上,f(x)有且仅有一个零点.高考大题专项(二) 三角函数与解三角形1.(2019浙江杭州检测)如图是f(x)=2sin(ωx+φ)0<ω<2π,-<φ<的图象,A,B,D为函数图象与坐标轴的交点,直线AB与f(x)交于C,|AO|=1,2|AD|2+2|CD|2=4+|AC|2.(1)求φ的值;(2)求tan∠DAC的值.2.(2019天津和平区二模)已知函数f(x)=cos x(sin x-cos x),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.3.(2019湖南株洲二模)如图,在四边形ABCD中,∠ADC=,AD=3,sin∠BCD=,连接BD,3BD=4BC.(1)求∠BDC的值;(2)若BD=,∠AEB=,求△ABE面积的最大值.4.在△ABC中,AB=6,AC=4.(1)若sin B=,求△ABC的面积;(2)若点D在BC边上且BD=2DC,AD=BD,求BC的长.5.(2019河北石家庄三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若10cos B cos C=-1,a=,求△ABC的周长.6.(2019上海杨浦区二模)已知函数f(x)=(1+tan x)·sin 2x.(1)求f(x)的定义域;(2)求函数F(x)=f(x)-2在区间(0,π)内的零点.参考答案高考大题专项(二) 三角函数与解三角形1.解(1)由f(x)=2sin(ωx+φ)0<ω<2π,-<φ<的图象,A,B,D为函数图象与坐标轴的交点,直线AB与f(x)交于C,|AO|=1,可得1=2sinφ,所以φ=(2)如图,由三角函数图形的性质,可知四边形AECD是平行四边形,可得2|AD|2+2|CD|2=4+|AC|2=|ED|2+|AC|2,解得|ED|=2,所以T=2,则ω=π,所以f(x)=2sinπx+,所以B,0,D,0,k AC=-,k AD=-,所以tan∠DAC=2.解(1)由题意,得f(x)=cos x sin x-cos2x=sin2x-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin2x--所以f(x)的最小正周期T==π,其最大值为1-(2)令z=2x-,则函数y=2sin z的单调递增区间是-+2kπ,+2kπ,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=x-+kπ≤x+kπ,k∈Z,易知A∩B=.所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增;在区间上单调递减.3.解(1)在△BCD中,由正弦定理得,∴sin∠BDC=∵3BD=4BC,∴BD>BC,∴∠BDC为锐角,∴∠BDC=(2)在△ABD中,AD=3,BD=,∠ADB=,∴AB==2在△ABE中,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AE·BE·cos,∴12=AE2+BE2-AE·BE≥2AE·BE-AE·BE=AE·BE,当且仅当AE=BE时等号成立, ∴AE·BE≤12,∴S△ABE=AE·BE·sin12=3,即△ABE面积的最大值为34.解(1)由正弦定理得,所以sin C=1,∠C=,所以BC==2,所以S=2×4=4(2)设DC=x,则BD=2x,由余弦定理可得=-,解得x=,所以BD=3DC=55.解(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=ac sin B=,∴2c sin B sin A=a,由正弦定理可得2sin C sin B sin A=sin A,∵sin A≠0,∴sin B sin C=;(2)∵10cos B cos C=-1,∴cos B cos C=-,∴cos(B+C)=cos B cos C-sin B sin C=-,∴cos A=,sin A=,则由bc sin A=,可得bc=,由b2+c2-a2=2bc cos A,可得b2+c2=,∴(b+c)2==7,可得b+c=,经检验符合题意,∴三角形的周长a+b+c=6.解(1)由正切函数的性质可求f(x)的定义域为(2)∵f(x)=1+·2sin x cos x=sin2x+2sin2x=sin2x-cos2x+1=sin2x-+1,∴F(x)=f(x)-2=sin2x--1=0,解得2x-=2kπ+,或2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,或x=kπ+,k∈Z,又x∈(0,π),∴k=0时,x=,或x=,故F(x)在(0,π)内的零点为x=,或x=高考大题专项(三) 数列1.(2019河南新乡三模,17)在数列{a n}中,a1=1,且a n,2n,a n+1成等比数列.(1)求a2,a3,a4;(2)求数列{a2n}的前n项和S n.2.在等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记S n为数列{a n}的前n项和,若S m=63,求m.3.若数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a2=2.(S n+1)·(S n+2+1)=(S n+1+1)2.(1)求S n;(2)记数列的前n项和为T n,证明:1≤T n≤2.4.设数列{a n}满足a1=2,-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.5.已知数列{a n}中,a1=5且a n=2a n-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.6.(2019天津,文18)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c n=求a1c1+a2c2+…+a2n c2n(n∈N*).参考答案高考大题专项(三) 数列1.解(1)∵a n,2n,a n+1成等比数列,∴a n a n+1=(2n)2=4n.∵a1=1,∴a2==4,同理得a3=4,a4=16.(2)∵a n a n+1=(2n)2=4n,=4,则数列{a2n}是首项为4,公比为4的等比数列.故S n=2.解(1)设数列{a n}的公比为q,由题设得a n=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.(2)若a n=(-2)n-1,则S n=由S m=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若a n=2n-1,则S n=2n-1.由S m=63得2m=64,解得m=6.综上可得m=6.3.(1)解由题意有=…=,所以数列{S n+1}是等比数列.又S1+1=a1+1=2,S2+1=a1+a2+1=4,所以=2,数列{S n+1}是首项为2,公比为2的等比数列.所以S n+1=2×2n-1=2n,所以S n=2n-1.(2)证明由(1)知,n≥2时,S n=2n-1,S n-1=2n-1-1,两式相减得a n=2n-1.n=1时,a1=1也满足a n=2n-1,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*).所以(n∈N*).所以T n=+…+=1++…+=2-因为n∈N*,所以0<1, 所以-1≤-<0.所以1≤2-<2.4.解(1)由已知a n+1-a n=3·22n-1,所以a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.当n=1时,a1=2也满足上式,所以数列{a n}的通项公式a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知,S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1. ①22·S n=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1. ②①-②得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1.即S n=[(3n-1)22n+1+2].5.解(1)∵a1=5,∴a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.(2)假设存在实数λ,使得数列为等差数列.设b n=,由{b n}为等差数列,则有2b n+1=b n+b n+2(n∈N*).∴2∴λ=4a n+1-4a n-a n+2=2(a n+1-2a n)-(a n+2-2a n+1)=2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1.综上可知,当λ=-1时,数列为首项是2,公差是1的等差数列.6.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.依题意,得解得故a n=3+3(n-1)=3n,b n=3×3n-1=3n.所以{a n}的通项公式为a n=3n,{b n}的通项公式为b n=3n.(2)a1c1+a2c2+…+a2n c2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2n b n)=n×3+6+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)=3n2+6(1×31+2×32+…+n×3n).记T n=1×31+2×32+…+n×3n,①则3T n=1×32+2×33+…+n×3n+1,②②-①得,2T n=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=-+n×3n+1=所以a1c1+a2c2+…+a2n c2n=3n2+6T n=3n2+3(n∈N*).高考大题专项(四) 立体几何突破1空间中的平行与空间角1.(2019山东潍坊三模,18)如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G、H分别是AE、BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.(1)证明:GH∥平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2019湖北八校联考一,18)如图所示,四棱锥P-ABCD中,面PAD⊥面ABCD,PA=PD=,四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,BC=CD=AD=1,E为PA的中点.(1)求证:EB∥平面PCD.(2)求面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值.3.(2019安徽“江南十校”二模,18)已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,△ADE与△BCF为边长为2的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)证明:平面ADE∥平面BCF.(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.4.(2019四川宜宾二模,19)如图,四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,G是AB中点.(1)求证:EG∥平面BCF;(2)若AE=AB,∠BAD=60°,求二面角A-BE-D的余弦值.5.(2017全国2,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.6.(2014课标全国Ⅱ,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.突破2空间中的垂直与空间角1.(2018全国卷3,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.2.(2019河北唐山一模,18)如图,△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:BC⊥平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.3.(2019河北武邑中学调研二,19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.4.(2019山西太原二模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,△PCD是正三角形,PC⊥AC,E是PA的中点.(1)证明:AC⊥BE;(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.5.(2019山东实验等四校联考,18)如图,在直角△ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC 的中点,将△AEF沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.(1)证明:MF⊥面BCD;(2)若DE⊥BE,求二面角E-MF-C的余弦值.。
高中一轮复习 12 导数的综合应用
第12讲 导数的综合应用一、教学目标1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2．会利用导数解决某些简单的实际问题.二、知识点梳理1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究． 辨析感悟1．函数最值与不等式(方程)的关系(1)对任意x >0，ax 2＋(3a －1)x ＋a ≥0恒成立的充要条件是a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.( ) (2)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．( )感悟·提升1．两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)．2．两点注意 一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)． 二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)．若在开区间内有极值，则一定有最优解.三、典型例题讲解考点一 导数在方程(函数零点)中的应用【例1】 已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．审题路线 (1)由导数的几何意义，知f ′(a )＝0且f (a )＝b ，解方程得a ，b 的值．(2)两曲线的交点问题，转化为方程x2＋x sin x＋cos x－b＝0.通过判定零点个数来求解．解由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋x sin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)1－b所以函数g(x)在区间g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2b sin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y＝g(x)在R上有两个零点，则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．规律方法(1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)＝b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数y＝f(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.【训练1】已知函数f(x)＝13x3＋1－a2x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．考点二导数在不等式中的应用【例2】已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.审题路线(1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间；(2)当m≤2时，转化为求f(x)min，证明f(x)min>0.解(1)易知f′(x)＝e x－1x＋m.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1. 于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，∴f′(x)＝e x－1x＋1在(－1，＋∞)上是增函数，且f′(0)＝0.当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.故f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)当m≤2，x>－m时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)．故只需证明当m＝2时，f(x)>0.当m＝2时，f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)＝1e－1<0，f′(0)＝1－12>0.所以f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且－1<x0<0. 于是y＝f(x)在x＝x0处，取到最小值．又f′(x0)＝0，得＝1x0＋2，两边取对数得ln(x0＋2)＝－x0.故f(x)≥f(x0)＝－ln(x0＋2)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2>0.综上可知，当m≤2时，f(x)>0成立．规律方法(1)第(2)问证明抓住两点：一是转化为证明当m＝2时，f(x)>0；二是依据f′(x0)＝0，准确求f(x)＝e x－ln(x＋2)的最小值．(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．【训练2】已知函数f(x)＝a(x2＋1)＋ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，求实数m的取值范围．课堂小结：1．理解极值与最值的区别，极值是局部概念，最值是整体概念．2．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．四、课后作业基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)2．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )．A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]3．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )．A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值4.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)二、填空题5．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．6．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f (2)的大小关系为________． 7．设函数f (x )＝6ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4，则方程f (x )－g (x )＝0有________个实根．三、解答题8．已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围；(2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a＝30.3f (30.3)，b ＝(log π3)f (log π3)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 间的大小关系是( )． A ．a >b >c B ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋6x ＋e 2－5e －2，x ≤e ，x －2ln x ，x >e(其中e 为自然对数的底数，且e ≈2.718)．若f (6－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(2,3)B ．(2，e)C ．(－3,2)D ．(－2，e)二、填空题3．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是________． 三、解答题4．已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)．(1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.。
高考第一轮复习数学：13.3 导数的综合问题 高考数学第一轮复习教案集 新课标 人教版 高考数学第
13.3 导数的综合问题●知识梳理f（x）有导数，它的极值可在方程f'（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：（1）求导数f'（x）；（2）求方程f'（x）=0的根；（3）检查f'（x）在方程f'（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值.y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f（a）和f （b），最大者为最大值，最小者为最小值.●点击双基1.（2004年某某，10）函数f（x）=x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－19解析：f'（x）=3x2－3=0，x=±1，f（－3）=－17，f（0）=1，f（1）=－1，f（－1）=3.答案：Cf（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则A.0<b<1B.b<11C.b>0D.b<2解析：f'（x）=3x2－3b，当b>0，0<b<1时，适合题意.答案：A3.已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是A.－37B.－29C.－5解析：f '（x ）=6x （x －2），f （x ）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x =0时，f （x ）=m 最大.∴m =3，f （－2）=－37，f （2）=－5. 答案：Ay =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值，在x =3处有极小值，则a +b =________. 解析：y ′=3x 2+2ax +b ，－1、3是3x 2+2ax +b =0的两根，∴a =－3，b =－9. 答案：－12f （x ）=x 3－22x －2xx ∈［－1，2］，都有f （x ）>m ，则实数m 的取值X 围是________. 解析：f '（x ）=3x 2－x －2=0，x =1，－32，f （－1）=521，f （－32）=52722，f （1）=321，f （2）=7. ∴m <321. 答案：m ∈（－∞，27） ●典例剖析【例1】 （2004年某某，20）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值. （1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值； （2）过点A （0，16）作曲线y =f （x ）的切线，求此切线方程.剖析：（1）分析x =±1处的极值情况，关键是分析x =±1左右f '（x ）的符号. （2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.解：（1）f '（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得a =1，b =0.∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令f '（x ）=0，得x =－1，x =1.若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数.若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数. 所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.（2）曲线y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 0=x 03－3x . ∵f '（x 0）=3x 02－3，∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）.代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）. 解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【例2】 （2004年某某，21）已知函数f （x ）=ax 3+cx +d （a ≠0）是R 上的奇函数，当x =1时，f （x ）取得极值－2.（1）求f （x ）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x 1、x 2∈（－1，1），不等式|f （x 1）－f （x 2）|＜4恒成立. 剖析：∵x ∈R 且f （x ）是奇函数， ∴f （0）=0.又x =1是极值点，∴f '（1）=0，由此可得函数的解析式. （1）解：由奇函数定义，应有f （－x ）=－f （x ），x ∈R ，－ax 3－cx +d =－ax 3－cx －d ，∴d =0. 因此f （x ）=ax 3+cx ，f '（x ）=3ax 2+c . 由题意知⎩⎨⎧=+-=+.03,2c a c a解得a =1，c =－3.∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 3－3=3（x －1）（x +1），f '（－1）=f '（1）=0. 当x ∈（－∞，－1）时，f '（x ）＞0，故f （x ）在单调区间（－∞，－1）上是增函数， 当x ∈（－1，1）时，f '（x ）＜0，故f （x ）在单调区间（－1，1）上是减函数， 当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＞0，故f （x ）在单调区间（1，+∞）上是增函数. ∴（－∞，－1）和（1，+∞）为增区间；（－1，1）为减区间，x =－1时，f （－1）=2为极大值，x =－1时，f （1）=－2为极小值. （2）f （－1）=2，f （1）=－2. ∵f （x ）在（－1，1）上是减函数，∴对任意x 1、x 2∈（－1，1），有－2<f （x 1）<2，－2<f （x 2）<2， －4<f （x 1）－f （x 2）<4，即|f （x 1）－f （x 2）|<4.评述：由奇函数定义可知当x =0时，则有f （0）=0，即函数过原点.对于本题的第（2）问，用数形结合法较为直观.【例3】 设函数f （x ）=x 3+mx 2+nx +p 在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x =2是方程f （x ）=0的一个根.（1）求n 的值； （2）求证：f （1）≥2.剖析：由题知x =0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是xx =2的哪一侧呢? 解：（1）f '（x ）=3x 2+2mx +n .∵f （x ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数， ∴当x =0时，f （x ）取到极大值. ∴f '（0）=0.∴n =0.（2）∵f （2）=0，∴p =－4（m +2），f '（x ）=3x 2+2mx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=－32m， ∵函数f （x ）在［0，2］上是减函数， ∴x 2=－32m≥2.∴m ≤－3. ∴f （1）=m +p +1=m －4（m +2）+1=－7－3m ≥2.评述：此题学生往往错误地认为xf （1）≥2时，首先将f （1）化成关于m 的式子，知道m 的X 围，便可证之.【例4】 对于函数y =f （x ）（x ∈D ）若同时满足下列两个条件，则称f （x ）为D 上的闭函数.①f （x ）在D 上为单调函数；②存在闭区间［a ，b ］⊆D ，使f （x ）在［a ，b ］上的值域也是［a ，b ］. （1）求闭函数y =－x 3符合上述条件的区间［a ，b ］； （2）若f （x ）=x 3－3x 2－9x +4，判断f （x ）是否为闭函数.剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力. 解：（1）∵y =－x 3，∴y ′=－3x 2≤0. ∴函数y =－x 3为减函数.故⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.3,333a b b a∴⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 所求闭区间为［－1，1］.（2）f '（x ）=3x 2－6x －9. 由f '（x ）≥0，得x ≥3或x ≤－1. 由f '（x ）≤0，得－1≤x ≤3. ∴f （xf （x ）不是闭函数.评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.●闯关训练 夯实基础y =x 4－8x 2+2在［－1，3］上的最大值为A.11B.2C.12 解析：y ′=4x 3－16x =4x （x 2－4）. 由y ′=0及x ∈［－1，3］知x =0或x =2. 根据单调性知f （x ）max =f （3）=11. 答案：Af （x ）=x 3+ax 2+bx +c ，其中a 、b 、c 为实数，当a 2－3b <0时，f （x ）是解析：f '（x ）=3x 2+2ax +b ，Δ=4a 2－12b <0， ∴f '（x ）>0，f （x ）是增函数. 答案：A3.y =3x －x 3的极大值是________，极小值是________.解析：f （x ）在（－∞，－1）和（1，+∞）上递减，在（－1，1）上递增，f （－1）=－2为极小值，f （1）=2为极大值.答案：2 －24.（2005年西城区模拟题）如果函数y =f （x ）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：y①函数y =f （x ）在区间（－3，－2）内单调递增； ②函数y =f （x ）在区间（－21，3）内单调递减； ③函数y =f （x ）在区间（4，5）内单调递增； ④当x =2时，函数y =f （x ）有极小值； ⑤当x =－21时，函数y =f （x ）有极大值. 则上述判断中正确的是________. 答案：③5.如图所示，曲线段OMB 是函数f （x ）=x 2（0<x <6）的图象，BA ⊥x 轴于A ，曲线段OMB 上一点M （t ，f （t ））处的切线P Q 交x 轴于P ，交线段AB 于Q ，（1）试用t 表示切线PQ 的方程；（2）试用t 表示△QAP 的面积g （t ），若函数g （t ）在［m ，n ］上单调递减，试求出m 的最小值.解：（1）f '（x ）=2x ， ∴k =2t ，切线PQ 的方程为 y －t 2=2t （x －t ），即2tx －y －t 2=0. （2）由（1）可求得P （2t，0），Q （6，12t －t 2）， ∴g （t ）=S △QAP =21（6－21t ）（12t －t 2）=41t 3－6t 2+36t （0<t <6），g ′（t ）=43t 2－12tg ′（t ）<0，得4<t <12.考虑到0<t <6，∴4<t <6，即g （t ）的单调减区间为（4，6）. ∴m 的最小值为4.y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点，求a 的取值X 围.解：先求函数f （x ）的单调区间，由f '（x ）=3x 2－3=0，得x =±x <－1或x >1时，f '（x ）>0；当－1<x <1时，f '（x ）<0.∴在（－∞，－1）和（1，+∞）上，f （x ）=x 3－3x 是增函数；在（－1，1）上，f （x ）=x 3－3x 是减函数，由此可以作出f （x ）=x 3－3x 的草图（如图）.由图可知，当且仅当－2<a <2时，直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点.培养能力f （x ）=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =－12x . （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在［－3，1］上的最值.解：（1）f '（x ）=12x 2+2ax +b ，f '（1）=12+2a +b =－12.① 又x =1，y =－12在f （x ）的图象上， ∴4+a +b +5=－12.② 由①②得a =－3，b =－18，∴f （x ）=4x 3－3x 2－18x +5.（2）f '（x ）=12x 2－6x －18=0，得x =－1，23，f （－1）=16，f （23）=－461，f （－3）=－76，f （1）=－13.∴f （x ）的最大值为16，最小值为－76.a >0，函数f （x ）=ax （x －2）2（x ∈R ）有极大值32. （1）某某数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间.解：（1）∵f （x ）=ax （x －2）2=ax 3－4ax 2+4ax ， ∴f '（x ）=3ax 2－8ax +4a . 由f '（x ）=0，得3ax 2－8ax +4a =0. ∵a ≠0，∴3x 2－8x +4=0. 解得x =2或x =32. ∵a >0，∴x <32或x >2时，f '（x ）>0； 32<x <2时，f '（x ）<0. ∴当x =32时，f （x ）有极大值32，即 278a －916a +38a =32，∴a =27. （2）f （x ）在（－∞，32）和（2，+∞）上是增函数，在（32，2）上是减函数.f （x ）=ax 5－bx 3+c （a >0）在x =±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a 、b 、c 的值.解：已知f （x ）=ax 5－bx 3+c ，所以f '（x ）=5ax 4－3bx 2=x 2（5ax 2－3b ）. 根据题意f '（x ）=0应有根x =±1， 故5a =3b .所以f '（x ）=5ax 2（x 2－1）. 因a >0时，列表：x （－∞，－1）－1 （－1，1）1 （1，+∞）f '（x ）+ 0 －0 + f （x ）极大值极小值由上表可见⎩⎨⎧+-==++-=-=.)1(0,)1(4c b a f c b a f①+②得c =2， ①－②得b =a +2.又5a =3b ，所以a =3，b =5，c =2. 探究创新 10.有点难度哟！（2000年全国）用总长14.8 m 的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为（x +0.5） m ，高为4)5.0(448.14+--x x =3.2－2x （m ）.由3.2－2x >0和x >0得0<x <1.6. 设容器的容积为y m 3，则有y =x （x +0.5）（3.2－2x ）（0<x <1.6）， 整理，得y =－2x 3x 2x . ∴y ′=－6x 2x +1.6.令y ′=0，有－6x 2x +1.6=0，即15x 2－11x －4=0. 解得x 1=1或x 2=－154（不合题意，舍去）. 从而在定义域（0，1.6）内只有在x =1处使得y ′=0.因此，当x =1时，y 取得最大值且y max =－2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2－2×1=1.2. ●思悟小结1.f '（x 0）=0是x 0为可导函数f （x ）的极值点的必要不充分条件，如函数y =x 3在x =0处. f （x ）在极值点不一定可导，如函数y =|x |在x =0处.①3.注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值.4.体会数形结合、函数、方程思想在本章的运用.●教师下载中心教学点睛1.导数的基本应用如下表：实际问题2.，如果函数在区间内只有一个点使f'（x）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.拓展题例【例1】函数y=2x3+3x2－12x+14在［－3，4］上的最大值为________，最小值为________.解析：y′=6x2+6x－12=0.x=1，－2，f（－3）=20，f（－2）=34，f（1）=7，f（4）=142.答案：142 7【例2】设x=－2与x=4是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.（1）求常数a、b；（2）判断x=－2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由.解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b.由极值点的必要条件可知x=－2和x=4是方程f'（x）=0的两根，则a=－3，b=－24.（2）f'（x）=3（x+2）（x－4），得当x<－2时，f'（x）>0；当－2<x<4时，f'（x）<0.∴x=－2是f（x）的极大值点.当x>4时，f'（x）>0，则x=4是f（x）的极小值点.。
2012年高考第一轮复习数学：13.2 导数的应用
13.2 导数的应用●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）确定f'（x）在（a，b）内符号.（3）若f'（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f'（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）f'（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f'（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基1.函数y=x2（x－3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2）解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2.答案：C2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足A.a<0且b=0B.a>0且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析：f'（x）=2ax，x<0且f'（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：B3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，F'（x）=4x3－8x，令F'（x）>0，得－2<x<0或x>2，∴F（x）在（－2，0）上递增.答案：C4.在（a，b）内f'（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分●典例剖析【例1】设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.解：f'（x）=3x2－6ax+2b，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31，b =－21. 此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +31）（x －1）. 当f '（x ）>0时，x >1或x <－31， 当f '（x ）<0时，－31<x <1. ∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）. 评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】 （2004年全国，19）已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.剖析：在R 上为减函数，则导函数在R 上恒负.解：f '（x ）=3ax 2+6x －1.（1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数.3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3.∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数.（2）当a =－3时，f （x ）=－3（x －31）3+98. 由y =x 3在R 上的单调性知：a =－3时，f （x ）在R 上是减函数，综上，a ≤－3.评述：f （x ）在R 上为减函数⇒f '（x ）≤0（x ∈R ）.【例3】 （2004年全国，21）若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解： f '（x ）=x 2－ax +a －1=0得x =1或x =a －1，当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.当a －1>1，即a >2时，函数f （x ）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a －1）上为减函数，在（a －1，+∞）上为增函数.依题意，当x ∈（1，4）时，f '（x ）<0，当x ∈（6，+∞）时，f '（x ）>0，∴4≤a －1≤6.∴5≤a ≤7.∴a 的取值范围为［5，7］.评述：若本题是“函数f （x ）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x =4两侧使函数f '（x ）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.●闯关训练夯实基础1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是A.0B.1C.2D.3解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞)上，f '（x ）≥0恒成立，即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3.答案：D2.已知函数f （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有A.3个B.2个C.1个D.0个解析：f '（x ）=4x （x 2－3x +5）在［1，2］上，f '（x ）>0，∴f （x ）在［1，2］上单调递增.∴f （x ）≥f （1）=7.∴f （x ）=0在［1，2］上无根.答案：D3.函数f （x ）的导函数y =f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________.-解析：在［－1，0］和［2，+∞)答案：［－1，0］和［2，+∞)4.若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________. 解析：y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0.答案：b >0 5.设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间. 解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3，判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）. 1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立.∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增.3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a . f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a . ∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减.6.设f （x ）=x 3－22x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间； （2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）f '（x ）=3x 2－x －2=0，得x =1，－32.在（－∞，－32）和［1，+∞)上f '（x ）>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］. （2）当x ∈［1，2］时，显然f '（x ）>0，f （x ）为增函数，f （x ）≤f （2）=7. ∴m >7.培养能力7.已知函数f （x ）=x 3－ax －1.（1）若f （x ）在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f （x ）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f （x ）=x 3－ax －1的图象不可能总在直线y =a 的上方.解：f '（x ）=3x 2－a ，（1）3x 2－a >0在R 上恒成立，∴a <0.又a =0时，f （x ）=x 3－1在R 上单调递增，∴a ≤0.（2）3x 2－a <0在（－1，1）上恒成立，即a >3x 2在（－1，1）上恒成立，即a >3. 又a =3，f （x ）=x 3－3x －1，f '（x ）=3（x 2－1）在（－1，1）上，f '（x ）<0恒成立，即f （x ）在（－1，1）上单调递减，∴a ≥3.（3）当x =－1时，f （－1）=a －2<a ，因此f （x ）的图象不可能总在直线y =a 的上方.8.已知函数f （x ）=ax 4+bx 2+c 的图象经过点（0，1），且在x =1处的切线方程是y =x －2.（1）求y =f （x ）的解析式；（2）求y =f （x ）的单调递增区间.解：（1）由题意知f （0）=1，f '（1）=1，f （1）=－1.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=.1,124,1c b a b a c∴c =1，a =25，b =－29， f （x ）=25x 4－29x 2+1. （2）∵f '（x ）=10x 3－9x ，由10x 3－9x >0，得x ∈（－10103，0）∪（10103，+∞）， 则f （x ）的单调递增区间为（－10103，0）和（10103，+∞）. 9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a >0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值范围.解：f '（x ）=2a －3x 2在（0，1]上恒为正，∴2a >3x 2，即a >23x 2. ∵x ∈（0，1]， ∴23x 2∈（0，23]. ∴a >23.当a =23时也成立.∴a ≥23. 探究创新10.有点难度哟！证明方程x 3－3x +c =0在［0，1］上至多有一实根.证明：设f （x ）=x 3－3x +c ，则f '（x ）=3x 2－3=3（x 2－1）.当x ∈（0，1）时，f '（x ）<0恒成立. ∴f （x ）在（0，1）上单调递减.∴f （x ）的图象与x 轴最多有一个交点.因此方程x 3－3x +c =0在［0，1）上至多有一实根.●思悟小结1.f '（x ）>0⇒f （x ）为增函数（f '（x ）<0⇒f （x ）为减函数）.2.f （x ）是增函数⇒f '（x ）≥0（f （x ）为减函数⇒f '（x ）≤0）.●教师下载中心教学点睛1.可导函数f （x ）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f （x ）在x 0处连续，在x 0两侧的导数异号，那么点x 0是函数f （x ）的极值点.2.求可导函数f （x ）的极值的步骤如下：（1）求f （x ）的定义域，求f '（x ）；（2）由f '（x ）=0，求其稳定点；（3）检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f （x ）在这个根处不取极值.3.求可导函数f （x ）的最值的方法：（1）求f （x ）在给定区间内的极值；（2）将f （x ）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.拓展题例【例1】 若函数f （x ）=ax 3－x 2+x －5在（－∞，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解： f '（x ）=3ax 2－2x +1>0恒成立.∴⎩⎨⎧<>,0,0Δa 即⎩⎨⎧<->.0124,0a a ∴a >31. 当a =31时，f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增. ∴a ≥31.【例2】求证：x>1时，2x3>x2+1.证明：令f（x）=2x3－x2－1，则f'（x）=6x2－2x=2x（3x－1）. 当x>1时，f'（x）>0恒成立.∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.又∵f（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.。
2012届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案
2012届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案第三导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义2导数的运算(1)能根据导数定义，求函数＝(为常数)，＝x，＝x2，＝x3，＝，＝的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数3导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条和充分条；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义本重点：1导数的概念；2利用导数求切线的斜率；3利用导数判断函数单调性或求单调区间；4利用导数求极值或最值；利用导数求实际问题最优解本难点：导数的综合应用导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法因此，本知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力考题可能以选择题或填空题的形式考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式综合考查学生的分析问题和解决问题的能力知识网络3 1导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x，求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值【解析】由导数的定义知：f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2 f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时，平均变化率ΔΔx的极限【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量()与时间t(in)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t＝10 in的降雨强度为()A1 /inB14 /in12 /inD1 /in【解析】选A题型二求导函数【例2】求下列函数的导数(1)＝ln(x＋1＋x2)；(2)＝(x2－2x＋3)e2x；(3)＝3x1－x【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则(1)′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2(2)′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x＝2(x2－x＋2)e2x(3)′＝13(x1－x 1－x＋x(1－x)2＝13(x1－x 1(1－x)2＝13x (1－x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段AB，其中A、B、的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(用数字作答)【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线：＝x3－3x2＋2x，直线l：＝x，且l与切于点P(x0，0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标【解析】由l过原点，知＝0x0 (x0≠0)，又点P(x0，0) 在曲线上，0＝x30－3x20＋2x0，所以0x0＝x20－3x0＋2而′＝3x2－6x＋2，＝3x20－6x0＋2又＝0x0，所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，解得x0＝32所以0＝－38，所以＝0x0＝－14，所以直线l的方程为＝－14x，切点坐标为(32，－38)【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数列方程，即可求得切点的坐标【变式训练3】若函数＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程【解析】设切点为P(x0，0)，则由′＝3x2－3得切线的斜率为＝3x20－3所以函数＝x3－3x＋4在P(x0，0)处的切线方程为－0＝(3x20－3)(x－x0)又切线经过点(－2,2)，得2－0＝(3x20－3)(－2－x0)，①而切点在曲线上，得0＝x30－3x0＋4，②由①②解得x0＝1或x0＝－2则切线方程为＝2 或9x－＋20＝0总结提高1函数＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求ΔΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值2求＝f(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式；(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法3导数的几何意义：函数＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数＝f(x)的曲线在点P(x0，0)处的切线的斜率导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞)f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，①若a≤0，则a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)②若a＞0，则a＋22＞1，故当x∈(1，a＋22]时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；当x∈[a＋22，＋∞)时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22]，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞)【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数a＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围【解析】因为f′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，即a≤2x＋1x恒成立又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号)所以a≤22，故a的取值范围为(－∞，22]【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时ͤf′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时ͤf′(x)≤0在(a，b)上恒成立然后就要根据不等式恒成立的条求参数的取值范围了题型二求函数的极值【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1(1)试求常数a，b，的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋因为x＝±1是函数f(x)的极值点，所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋＝0的两根由根与系数的关系，得又f(1)＝－1，所以a＋b＋＝－1 ③由①②③解得a＝12，b＝0，＝－32(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，所以当f′(x)＝32x2－32＞0时，有x＜－1或x＞1；当f′(x)＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1所以函数f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1【点拨】求函数的极值应先求导数对于多项式函数f(x)讲，f(x)在点x＝x0处取极值的必要条是f′(x)＝0但是，当x0满足f′(x0)＝0时，f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值【变式训练2】定义在R上的函数＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有()A f(x1)＜f(x2)B f(x1)＞f(x2)f(x1)＝f(x2)D不确定【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函数f(x)的图象关于x＝32对称又因为(x－32)f′(x)＜0，所以当x＞32时，函数f(x)单调递减，当x＜32时，函数f(x)单调递增当x1＋x22＝32时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2)故选B题型三求函数的最值【例3】求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14为函数f(x)的极大值又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3(1－2x)x4，x∈(0，12)时，g′(x)＞0，x∈(12，1]时，g′(x)＜0因此g(x)ax＝g(12)＝4，所以a≥4当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为a≤3x2－1x3，此时g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，g(x)in＝g(－1)＝4，所以a≤4综上可知，a＝4总结提高1求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D；(2)求导数f′(x)；(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间2求函数极值的步骤是：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值3求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值33导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)＝12x2＋ln x(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x＞1时，f(x)＜23x3【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此f(x)在[1，e]上为增函数故f(x)ax＝f(e)＝e22＋1，f(x)in＝f(1)＝12，因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22＋1](2)证明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋ln x，则F′(x)＝x＋1x －2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，因为x＞1，所以F′(x)＜0，故F(x)在(1，＋∞)上为减函数又F(1)＝－16＜0，故x＞1时，F(x)＜0恒成立，即f(x)＜23x3【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()Af′(x)＞0，g′(x)＞0Bf′(x)＞0，g′(x)＜0f′(x)＜0，g′(x)＞0Df′(x)＜0，g′(x)＜0【解析】选B题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为26万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为万元(1)试写出关于x的函数关系式；(2)当＝640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝，即n＝x－1所以＝f(x)＝26n＋(n＋1)(2＋x)x＝26(x－1)＋x(2＋x)x＝26x＋x＋2－26(2)由(1)知f′(x)＝－26x2＋12x ＝2x2(x －12)令f′(x)＝0，得x ＝12所以x＝64当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x＝64处取得最小值此时n＝x－1＝64064－1＝9故需新建9个桥墩才能使最小【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用96米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到001平方米)【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r＋2h)＝96，所以2r＋h＝12S＝24πr－3πr2，h＝12－2r＞0，所以r＜06所以S＝24πr－3πr2(0＜r＜06)令f(r)＝24πr－3πr2，则f′(r)＝2 4π－6πr令f′(r)＝0得r＝04所以当0＜r＜04，f′(r)＞0；当04＜r＜06，f′(r)＜0所以r＝04时S最大，Sax＝11题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)＝13x3－x2＋(2－4)x，x∈R(1)当＝3时，求曲线＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)当＝3时，f(x)＝13x3－3x2＋x，f′(x)＝x2－6x＋因为f(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为－23＝－3(x－2)，即9x＋3－20＝0(2)f′(x)＝x2－2x＋(2－4)令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝＋2当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－2)上是增函数；当x∈(－2，＋2)时，f′(x)＜0，f(x)在(－2，＋2)上是减函数；当x∈(＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋2，＋∞)上是增函数因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3x ＋3(2－4)]，所以解得∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4)当∈(－4，－2)时，－2＜＋2＜0，所以α＜－2＜β＜＋2＜0此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去当∈(－2,2)时，－2＜0＜＋2，所以α＜－2＜0＜＋2＜β因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值因为当x＝＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以＋2＝1，即＝－1当∈(2,4)时，0＜－2＜＋2，所以0＜－2＜α＜＋2＜β因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值因为当x＝＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以＋2＝1，即＝－1(舍去)综上可知，的取值范围是{－1}【变式训练3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围【解析】(1)当a＞0时，F(x)的递增区间为(1a，＋∞)，递减区间为(0，1a)；当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，＋∞)(2)[12ln 2，1e)总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值34定积分与微积分基本定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】计算下列定积分的值(1) (x－1)dx；(2) (x＋sin x)dx【解析】(1)因为[16(x－1)6]′＝(x－1)，所以(x－1)dx＝＝16(2)因为(x22－s x)′＝x＋sin x，所以(x＋sin x)dx＝＝π28＋1【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2 f(x)dx；②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0【变式训练1】求(3x3＋4sin x)dx【解析】(3x3＋4sin x)dx表示直线x＝－，x＝，＝0和曲线＝3x3＋4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x)所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－,]上是奇函数，所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx，所以(3x3＋4sin x)dx＝(3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0题型二利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线2＝2x与直线＝4－x所围成的平面图形的面积【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，－4)，则S＝[2x－(－2x)]dx＋[4－x－(－2x)]dx＝＋＝163＋383＝18方法二：S＝[(4－)－22]d＝＝18【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ()的形式，同时，积分上、下限必须对应的取值【变式训练2】设是一个正整数，(1＋x)的展开式中x3的系数为116，则函数＝x2与＝x－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为【解析】Tr＋1＝r(x)r，令r＝3，得x3的系数为313＝116，解得＝4由得函数＝x2与＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝43题型三定积分在物理中的应用【例3】(1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为s＝v(t)dt＋(－v(t))dt＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt= ＋＝22秒末所在的位置为x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝13所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13 (2) 物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2媒质阻力F阻＝v2＝(3bt2)2＝9b2t4，其中为比例常数，且＞0当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝t1＝(ab) ，又ds＝vdt，故阻力所做的功为阻＝ds ＝v2•vdt＝v3dt＝(3bt 2)3dt＝277b3t71 ＝2773a7b2【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt 和＝F(x)dx这三个公式【变式训练3】定义F(x，)＝(1＋x)，x，∈(0，＋∞)令函数f(x)＝F[1，lg2(x2－4x＋9)]的图象为曲线1，曲线1与轴交于点A(0，)，过坐标原点向曲线1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线1在点A，B之间的曲线段与线段A，B所围成图形的面积为S，求S的值【解析】因为F(x，)＝(1＋x)，所以f(x)＝F(1，lg2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点向曲线1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4所以解得B(3,6)，所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x) =9总结提高1定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数2定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理3利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案。
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13.3 导数的综合问题●知识梳理1.若函数f （x ）有导数，它的极值可在方程f '（x ）=0的根处来考查，求函数y =f （x ）的极值方法如下：（1）求导数f '（x ）；（2）求方程f '（x ）=0的根；（3）检查f '（x ）在方程f '（x ）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y =f （x ）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y =f （x ）在这个根处取得极大值.2.设y =f （x ）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a ，b ］内所有的极值，以及f （a ）和f （b ），最大者为最大值，最小者为最小值.●点击双基1.（2004年江苏，10）函数f （x ）=x 3－3x +1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－19解析：f '（x ）=3x 2－3=0，x =±1，f （－3）=－17，f （0）=1，f （1）=－1，f （－1）=3.答案：C2.函数f （x ）=x 3－3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则 A.0<b <1 B.b <1 C.b >0D.b <21解析： f '（x ）=3x 2－3b ，当b >0，0<b <1时，适合题意.答案：A3.已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是A.－37B.－29C.－5D.以上都不对 解析：f '（x ）=6x （x －2），f （x ）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x =0时，f （x ）=m 最大.∴m =3，f （－2）=－37，f （2）=－5. 答案：A4.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值，在x =3处有极小值，则a +b =________. 解析：y ′=3x 2+2ax +b ，－1、3是3x 2+2ax +b =0的两根，∴a =－3，b =－9. 答案：－125.设函数f （x ）=x 3－22x－2x +5.若对任意x ∈［－1，2］，都有f （x ）>m ，则实数m 的取值范围是________.解析：f '（x ）=3x 2－x －2=0，x =1，－32，f （－1）=521，f （－32）=52722，f （1）=321，f （2）=7.∴m <321.答案：m ∈（－∞，27）●典例剖析【例1】 （2004年天津，20）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值. （1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值； （2）过点A （0，16）作曲线y =f （x ）的切线，求此切线方程. 剖析：（1）分析x =±1处的极值情况，关键是分析x =±1左右f '（x ）的符号. （2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.解：（1）f '（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得a =1，b =0.∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令f '（x ）=0，得x =－1，x =1. 若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数. 若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数.所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.（2）曲线y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 0=x 03－3x . ∵f '（x 0）=3x 02－3，∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）. 代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）. 解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【例2】 （2004年天津，21）已知函数f （x ）=ax 3+cx +d （a ≠0）是R 上的奇函数，当x =1时，f （x ）取得极值－2.（1）求f （x ）的单调区间和极大值； （2）证明：对任意x 1、x 2∈（－1，1），不等式|f （x 1）－f （x 2）|＜4恒成立. 剖析：∵x ∈R 且f （x ）是奇函数， ∴f （0）=0.又x =1是极值点，∴f '（1）=0，由此可得函数的解析式.（1）解：由奇函数定义， 应有f （－x ）=－f （x ），x ∈R ，－ax 3－cx +d =－ax 3－cx －d ，∴d =0. 因此f （x ）=ax 3+cx ，f '（x ）=3ax 2+c . 由题意知⎩⎨⎧=+-=+.03,2c a c a解得a =1，c =－3.∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 3－3=3（x －1）（x +1），f '（－1）=f '（1）=0.当x ∈（－∞，－1）时，f '（x ）＞0，故f （x ）在单调区间（－∞，－1）上是增函数，当x ∈（－1，1）时，f '（x ）＜0，故f （x ）在单调区间（－1，1）上是减函数， 当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＞0，故f （x ）在单调区间（1，+∞）上是增函数. ∴（－∞，－1）和（1，+∞）为增区间；（－1，1）为减区间，x =－1时，f （－1）=2为极大值， x =－1时，f （1）=－2为极小值. （2）f （－1）=2，f （1）=－2.∵f （x ）在（－1，1）上是减函数， ∴对任意x 1、x 2∈（－1，1），有－2<f （x 1）<2，－2<f （x 2）<2， －4<f （x 1）－f （x 2）<4，即|f （x 1）－f （x 2）|<4.评述：由奇函数定义可知当x =0时，则有f （0）=0，即函数过原点.对于本题的第（2）问，用数形结合法较为直观.【例3】 设函数f （x ）=x 3+mx 2+nx +p 在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x =2是方程f （x ）=0的一个根.（1）求n 的值；（2）求证：f （1）≥2.剖析：由题知x =0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x =2吗?不一定.会在x =2的哪一侧呢?解：（1）f '（x ）=3x 2+2mx +n .∵f （x ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数， ∴当x =0时，f （x ）取到极大值. ∴f '（0）=0.∴n =0.（2）∵f （2）=0，∴p =－4（m +2），f '（x ）=3x2+2mx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=－32m ，∵函数f （x ）在［0，2］上是减函数， ∴x 2=－32m ≥2.∴m ≤－3.∴f （1）=m +p +1=m －4（m +2）+1=－7－3m ≥2.评述：此题学生往往错误地认为x =2是另一个极值点.再证f （1）≥2时，首先将f （1）化成关于m 的式子，知道m 的范围，便可证之.【例4】 对于函数y =f （x ）（x ∈D ）若同时满足下列两个条件，则称f （x ）为D 上的闭函数.①f （x ）在D 上为单调函数；②存在闭区间［a ，b ］⊆D ，使f （x ）在［a ，b ］上的值域也是［a ，b ］.（1）求闭函数y =－x 3符合上述条件的区间［a ，b ］；（2）若f （x ）=x 3－3x 2－9x +4，判断f （x ）是否为闭函数. 剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力.解：（1）∵y =－x 3，∴y ′=－3x 2≤0. ∴函数y =－x 3为减函数.故⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.3,333a b b a∴⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 所求闭区间为［－1，1］.（2）f '（x ）=3x 2－6x －9.由f '（x ）≥0，得x ≥3或x ≤－1. 由f '（x ）≤0，得－1≤x ≤3.∴f （x ）在定义域内不是单调函数.故f （x ）不是闭函数.评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.●闯关训练 夯实基础1.函数y =x 4－8x 2+2在［－1，3］上的最大值为 A.11 B.2 C.12 D.10 解析：y ′=4x 3－16x =4x （x 2－4）.由y ′=0及x ∈［－1，3］知x =0或x =2. 根据单调性知f （x ）max =f （3）=11. 答案：A2.函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +c ，其中a 、b 、c 为实数，当a 2－3b <0时，f （x ）是 A.增函数 B.减函数 C.常数 D.既不是增函数也不是减函数 解析：f '（x ）=3x 2+2ax +b ，Δ=4a 2－12b <0， ∴f '（x ）>0，f （x ）是增函数. 答案：A3.y =3x －x 3的极大值是________，极小值是________.解析：f （x ）在（－∞，－1）和（1，+∞）上递减，在（－1，1）上递增，f （－1）=－2为极小值，f （1）=2为极大值.答案：2 －24.（2005年北京西城区模拟题）如果函数y =f （x ）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y =f （x ）在区间（－3，－21）内单调递增；②函数y =f （x ）在区间（－21，3）内单调递减；③函数y =f （x ）在区间（4，5）内单调递增；④当x =2时，函数y =f （x ）有极小值； ⑤当x =－21时，函数y =f （x ）有极大值.则上述判断中正确的是________. 答案：③5.如图所示，曲线段OMB 是函数f （x ）=x 2（0<x <6）的图象，BA ⊥x 轴于A ，曲线段OMB 上一点M （t ，f （t ））处的切线P Q 交x 轴于P ，交线段AB 于Q ，（1）试用t 表示切线PQ 的方程； （2）试用t 表示△QAP 的面积g （t ），若函数g （t ）在［m ，n ］上单调递减，试求出m 的最小值.解：（1）f '（x ）=2x ，∴k =2t ，切线PQ 的方程为 y －t 2=2t （x －t ），即2tx －y －t 2=0. （2）由（1）可求得P （2t ，0），Q （6，12t －t 2），∴g （t ）=S △QAP =21（6－21t ）（12t －t 2）=41t 3－6t 2+36t （0<t <6），g ′（t ）=43t 2－12t +36.令g ′（t ）<0，得4<t <12.考虑到0<t <6，∴4<t <6，即g （t ）的单调减区间为（4，6）. ∴m 的最小值为4.6.直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点，求a 的取值范围. 解：先求函数f （x ）的单调区间，由f '（x ）=3x 2－3=0，得x =±1.当x <－1或x >1时，f '（x ）>0；当－1<x <1时，f '（x ）<0.∴在（－∞，－1）和（1，+∞）上，f （x ）=x 3－3x 是增函数；在（－1，1）上，f （x ）=x 3－3x 是减函数，由此可以作出f （x ）=x 3－3x 的草图（如图）.由图可知，当且仅当－2<a <2时，直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点.培养能力7.已知函数f （x ）=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =－12x . （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在［－3，1］上的最值. 解：（1）f '（x ）=12x 2+2ax +b ，f '（1）=12+2a +b =－12. ①又x =1，y =－12在f （x ）的图象上， ∴4+a +b +5=－12.②由①②得a =－3，b =－18， ∴f （x ）=4x 3－3x 2－18x +5.（2）f '（x ）=12x 2－6x －18=0，得x =－1， 23，f （－1）=16，f （23）=－461，f （－3）=－76，f （1）=－13.∴f （x ）的最大值为16，最小值为－76.8.已知实数a >0，函数f （x ）=ax （x －2）2（x ∈R ）有极大值32. （1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间. 解：（1）∵f （x ）=ax （x －2）2=ax 3－4ax 2+4ax ， ∴f '（x ）=3ax 2－8ax +4a .由f '（x ）=0，得3ax 2－8ax +4a =0. ∵a ≠0，∴3x 2－8x +4=0. 解得x =2或x =32.∵a >0，∴x <32或x >2时，f '（x ）>0；32<x <2时，f '（x ）<0.∴当x =32时，f （x ）有极大值32，即 278a －916a +38a =32，∴a =27.（2）f （x ）在（－∞，32）和（2，+∞）上是增函数，在（32，2）上是减函数.9.已知f （x ）=ax 5－bx 3+c （a >0）在x =±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a 、b 、c 的值.解：已知f （x ）=ax 5－bx 3+c ，所以f '（x ）=5ax 4－3bx 2=x 2（5ax 2－3b ）. 根据题意f '（x ）=0应有根x =±1，故5a =3b .所以f '（x ）=5ax 2（x 2－1）. 因a >0时，列表：由上表可见⎩⎨⎧+-==++-=-=.)1(0,)1(4c b a f c b a f①+②得c =2， ①－②得b =a +2.又5a =3b ，所以a =3，b =5，c =2. 探究创新10.有点难度哟！（2000年全国）用总长14.8 m 的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为（x +0.5） m ，高为① ②4)5.0(448.14+--x x =3.2－2x （m ）.由3.2－2x >0和x >0得0<x <1.6. 设容器的容积为y m 3， 则有y =x （x +0.5）（3.2－2x ）（0<x <1.6）， 整理，得y =－2x 3+2.2x 2+1.6x . ∴y ′=－6x 2+4.4x +1.6.令y ′=0，有－6x 2+4.4x +1.6=0，即15x 2－11x －4=0. 解得x 1=1或x 2=－154（不合题意，舍去）.从而在定义域（0，1.6）内只有在x =1处使得y ′=0.因此，当x =1时，y 取得最大值且y max =－2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2－2×1=1.2. ●思悟小结1.f '（x 0）=0是x 0为可导函数f （x ）的极值点的必要不充分条件，如函数y =x 3在x =0处.2.函数f （x ）在极值点不一定可导，如函数y =|x |在x =0处.3.注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值.4.体会数形结合、函数、方程思想在本章的运用. ●教师下载中心 教学点睛1.导数的基本应用如下表：2.应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个点使f '（x ）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.拓展题例 【例1】 函数y =2x 3+3x 2－12x +14在［－3，4］上的最大值为________，最小值为________. 解析：y ′=6x 2+6x －12=0.x =1，－2，f （－3）=20，f （－2）=34，f （1）=7，f （4）=142. 答案：142 7【例2】 设x =－2与x =4是函数f （x ）=x 3+ax 2+bx 的两个极值点. （1）求常数a 、b ；（2）判断x =－2，x =4是函数f （x ）的极大值点还是极小值点，并说明理由. 解：（1）f '（x ）=3x 2+2ax +b .由极值点的必要条件可知x =－2和x =4是方程f '（x ）=0的两根，则a =－3，b =－24. （2）f '（x ）=3（x +2）（x －4），得 当x <－2时，f '（x ）>0； 当－2<x <4时，f '（x ）<0. ∴x =－2是f （x ）的极大值点.当x >4时，f '（x ）>0，则x =4是f （x ）的极小值点.。