2019-2020学年广东省揭阳市高二下期末考试数学模拟试卷及答案解析
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说:“乙、丁都未获奖.”乙说：“是甲或丙获奖.”丙说：“是甲获奖.”丁说：“是乙获奖.”四人所说话中只有两位是真话，则获奖的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】【分析】本题利用假设法进行解答.先假设甲获奖，可以发现甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；然后依次假设乙、丙、丁获奖，结合已知，选出正确答案.【详解】解:若是甲获奖，则甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；若是乙获奖，则丁所说的话是真话，不合题意；若是丙获奖，则甲乙所说的话是真话，符合题意；若是丁获奖，则四人所说的话都是假话，不合题意.故选C.【点睛】本题考查了的数学推理论证能力，假设法是经常用到的方法. 2．二项式102x⎛+ ⎝的展开式中的常数项是 A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项 【答案】B【解析】展开式的通项公式T r ＋1＝5202102r r r C x -，令5202r -＝0，得r ＝8.展开式中常数项是第9项.选B. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.3．设函数y =的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= A ．（1,2）B ．（1,2]C ．（-2,1）D ．[-2,1)【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x ⋂-≤≤⋂<=-≤<，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 4．已知实数x ，y满足(21x y =，则x 与y 的关系是（ ） A ．0x y ==B ．0xy =C ．20x y +=D ．20x y +> 【答案】C【解析】【分析】设a x =，2b y =+1ab =，对2a x b y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩222141a axb by ⎧-=⎨-=⎩，代入1ab =得24a x b b y a -=⎧⎨-=⎩，两式相加即可. 【详解】设a x =，2b y =+则1ab =且,0a b ≠2a x b y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 等式两边同时平方展开得：222222214441a ax x x b by y y ⎧-+=+⎨-+=+⎩， 即222141a axb by ⎧-=⎨-=⎩ 令等式中1ab =，化简后可得：24a x b b y a-=⎧⎨-=⎩ 两式相加可得20x y +=故选：C【点睛】本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题5．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152B ．126C ．90D ．54【答案】B【解析】试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C 31×A 33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A 32×C 32×A 22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A 32×C 31×C 21×A 22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B ．考点：排列、组合的实际应用．6．在三棱锥S ABC -中，SA BC ==5SB AC ==，SC AB ==S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．100C ．50π D． 【答案】C【解析】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线）， 设长方体的长、宽、高分别是,,a b c ，则有222222412534a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三个式子相加整理可得22250a b c ++=，所以长方体的对角线长为所以其外接球的半径R =， 所以其外接球的表面积2450S R ππ==，故选C.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.7．若x，y满足约束条件103020x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y+的最大值是（）A．9 2B．32C．13 D．13【答案】C【解析】【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：22x y+表示可行域内的点(,)x y到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x yx+-=⎧⎨+=⎩解得32yx=⎧⎨=-⎩即()2,3A-点()2,3A-到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313maxx y+=-+=．故选：C．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．8．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分的含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算得8152iix==∑，81228iiy==∑，821478iix==∑，811849i iix y==∑，则y对x的回归方程是()A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11.47＋2.62xC．y＝2.62＋11.47x D．y＝11.47－2.62x【答案】A【解析】分析：根据公式计算ˆb≈2.62，ˆa≈11.47，即得结果.详解：由1221,()ˆˆˆni i i n i i x y nxy b a y bx xn x ==-==--∑∑，直接计算得ˆb ≈2.62，ˆa ≈11.47，所以ˆy＝2.62x ＋11.47.选A.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .9．若7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0127||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．73【答案】D【解析】分析：根据题意求各项系数和，直接赋值法令x=-1代入即可得到73.详解：已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是()172r r r T C r +=-，故当r 为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到73. 故答案为D.点睛：这个题目考查了二项式中系数和的问题，二项式主要考查两种题型，一是考查系数和问题；二是考查特定项系数问题；在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.10．现有下面三个命题1:p 常数数列既是等差数列也是等比数列；()22020:,log 10p x R x ∃∈+≤；3:p 直线y x =与曲线ln y x =相切.下列命题中为假命题的是（ ）A ．12p p ∨B ．()()12p p ⌝∨⌝C ．()13p p ⌝∧D ．()()23p p ⌝∨⌝【答案】C【解析】分析：首先确定,,p p p 123的真假，然后确定符合命题的真假即可.详解：考查所给命题的真假：对于1p ，当常数列为0,0,0,0时，该数列不是等比数列，命题1p 是假命题；对于2p ，当01x =时，()22010log x +≤，该命题为真命题； 对于3p ，由ln y x =可得1'y x=，令11x =可得1x =， 则函数ln y x =斜率为1k =的切线的切点坐标为()1,ln1，即()1,0，切线方程为()01y x -=-，即1y x =-，据此可知，直线y x =与曲线y lnx =不相切，该命题为假命题.考查所给的命题：A.12p p ∨为真命题；B.()()12p p ⌝∨⌝为真命题；C.()13p p ⌝∧为假命题；D.()()23p p ⌝∨⌝为真命题；本题选择C 选项.点睛：本题主要考查命题真假的判断，符合问题问题，且或非的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．i 是虚数单位，若12(,)1i a bi a b R i +=+∈+，则+a b 的值是 （ ） A ．12- B ．2- C ．2 D ．12【答案】C【解析】【分析】【详解】12331,,21222i i a bi a bi a b a b i ++=+⇒=+⇒==+=+ 12．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A ．1(0,)16B ．(1,0)C ．(0,1)D ．1(0,)8【答案】A【解析】分析：先把抛物线24y x =的方程化成标准方程，再求其焦点坐标.详解：由题得214x y =，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)研究圆锥曲线时，首先一般把曲线的方程化成标准方程再研究.二、填空题：本题共4小题13．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l 与C 交于,A B 两点，则AB =_______.【答案】8【解析】【分析】将曲线C 极坐标方程化为化为直角坐标方程，将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到韦达定理的形式；利用12AB t t =-可求得结果.【详解】曲线2:cos 4sin C ρθθ=的直角坐标方程为：24x y =，把直线,2:12x t l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24x y =得：280t --=，12t t ∴+=128t t =-，则128AB t t =-===.故答案为：8.【点睛】 本题考查极坐标与参数方程中的弦长问题的求解，涉及到极坐标化直角坐标，直线参数方程中参数的几何意义等知识的应用；关键是明确直线参数方程标准方程中参数t 的几何意义，利用几何意义知所求弦长为12AB t t =-.14．已知一个总体为：1、3、4、7、x ，且总体平均数是4，则这个总体的方差是______．【答案】4【解析】【分析】利用总体平均数为4求出实数x 的值，然后利用方差公式可求出总体的方差.【详解】由于该总体的平均数为4，则134745x ++++=，解得5x =. 因此，这个总体的方差为()()()()()22222143444745445-+-+-+-+-=.故答案为：4.【点睛】 本题考查方差的计算，利用平均数和方差公式进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.15．曲线ln y x =在点()10，处的切线方程为__________. 【答案】1y x =-【解析】【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【详解】∵y ＝lnx ，∴1'y x=， ∴函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线斜率为1，又∵切点坐标为（1，0），∴切线方程为y ＝x ﹣1．故答案为：y ＝x ﹣1．【点睛】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．16．如果不等式20x ax b ++<的解集为()1,3-，那么a b +=_______.【答案】5-【解析】【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可知，1-和3时方程20x ax b ++=的两个实数根，利用韦达定理求解.【详解】不等式20x ax b ++<的解集为()1,3-∴20x ax b ++=的两个实数根是11x =-，23x = ，根据韦达定理可知()1313a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得：2,3a b =-=- ，5a b ∴+=-.故答案为：5-【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系，意在考查计算能力，属于基础题型.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省揭阳市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
广东省揭阳市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.2．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128【解析】 【分析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.3．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm【答案】B 【解析】 【分析】»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解. 【详解】如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 4．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C 【解析】 【分析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%3%⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%⨯=<，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．7．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.9．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上（AQI指数>150）的天数占1 4C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI指数值，判断选项中的命题是否正确.【详解】对于A，由图可知20天的AQI指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A正确.对于B，由图可知20天的AQI指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B正确.对于C，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C错误.对于D，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D正确.故选：C【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.10．已知双曲线22122:1x yCa b-=与双曲线222:14yC x-=没有公共点，则双曲线1C的离心率的取值范围是( )A ．(B ．)+∞C ．(D ．)+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】双曲线222:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(e =.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题. 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=，()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.12．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+=55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯ ()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lglg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳市2020年高二第二学期数学期末综合测试试题含解析
广东省揭阳市2020年高二第二学期数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫++=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2+=+232k ππϕπ∴，12k πϕπ∴=+0ϕ>Q ，∴当0k =时，min 12πϕ=，故选C【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化2．已知命题:p 椭圆2241x y +=上存在点M 到直线:20l x y +-=的距离为1，命题:q 椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∧【答案】B 【解析】 对于命题p ，椭圆x 2+4y 2=1与直线l 平行的切线方程是：直线20x y +-=，而直线20x y +=,与直线20x y +-=的距离1d =>， 所以命题p 为假命题，于是￢p 为真命题； 对于命题q ，椭圆2x 2+27y 2=54与双曲线9x 2−16y 2=144有相同的焦点(±5,0)， 故q 为真命题，从而(￢p)∧q 为真命题。
p ∧(￢q),(￢p)∧(￢q)，p ∧q 为假命题， 本题选择B 选项.3．下列函数中，既是奇函数又是()1,1-上的增函数的是（ ） A ．2x y = B ．tan y x =C ．1y x -=D ．cos y x =【答案】B 【解析】 【分析】分别画出各选项的函数图象,由图象即可判断. 【详解】由题,画出各选项函数的图象,则选项A 为选项B 为选项C 为选项D 为由图象可知,选项B 满足既是奇函数又是()1,1-上的增函数, 故选:B 【点睛】本题考查判断函数的单调性和奇偶性,考查基本初等函数的图象与性质.4．某高中举办了一场中学生作文竞赛活动，现决定从参赛选手中选出一等奖一名、二等奖二名、三等奖二名，通过评委会获悉在此次比赛中获奖的学生为3男2女，其中一等奖、二等奖的奖项中都有男生，请计算一下这5名学生不同的获奖可能种数为（ ） A ．12 B ．15 C ．18 D ．21【答案】B 【解析】 【分析】一等奖为男生，则从3个男生里选一个；二等奖有男生，可能是一男一女，可能是两男；剩下的即为三等奖的学生，依照分析求组合数即可 【详解】由题可知，一等奖为男生，故13C ；二等奖可能为2个男生或1个男生，1个女生，故11221C C +⋅ 故获奖可能种数为()111322115C C C ⋅+⋅=，即选B【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分类求满足条件的组合数 5．已知0.33a =，3log 0.3b =，30.3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系. 【详解】0.30331a =>=；33log 0.3log 10b =<=；300.30.31c =<=且30.30c =>a cb ∴>>本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.6．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．30种 D ．36种【答案】B 【解析】分析：先不考虑限制条件，则共有2343C A 种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有234336C A =种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有22326C A =种方法；甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有326A =种方法，则分配方法共有366624--=种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题7．正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,a a a a a u v u u v u u v u u v u u v ；以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,b b b b b u v u u v u v u u v u u v．若,P Q 分别为()()•i j k r s t a a a b b b ++++u v u u v u u v u u v u v u v的最小值、最大值，其中{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t 刎，则下列对,P Q 的描述正确的是（ ）A ．00P Q ＜，＜B ．00P Q ＝，＞C ．00P Q ＜，＞D ．00P Q ＜，＝【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r，其余数量积均小于等于0，从而得到结论． 【详解】由题意，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r， 以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,b b b b b u r u u r u r u u r u u r，则利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u ru u u r u u u r，其余数量积均小于等于0，又因为,P Q 分别为()()i j k r s t a a a b b b ++⋅++u r u u r u u r u u r u r u r的最小值、最大值，所以0,0P Q <<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．8．已知函数()(ln )xe f x k x x x=--，若()f x 只有一个极值点，则实数k 的取值范围是A ．(,)e -+∞B ．(,)e -∞C ．(,]e -∞D ．1(,]e-∞【答案】C 【解析】 【分析】由2()()(1),(0,)x kx e f x x x x -∈'=-+∞，令()0f x '=，解得1x =或x e k x =，令()xeg x x=，利用导数研究其单调性、极值，得出结论. 【详解】221(1)()()(1)(1),(0,)x x e x kx e f x k x x x x x--=--=-∈+∞'， 令()0f x '=，解得1x =或xek x=，令()x e g x x =，可得2(1)()x e x g x x'-=，当1x =时，函数()g x 取得极小值，(1)g e =，所以当k e <时，令()0f x '=，解得1x =，此时函数()f x 只有一个极值点， 当k e =时，此时函数()f x 只有一个极值点1，满足题意， 当k e >时不满足条件，舍去.综上可得实数k 的取值范围是(,]e -∞，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题. 9．已知抛物线22y px ＝（p 是正常数）上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点F ，甲：2124p x x =；乙：212y y p =-；丙：234OA OB p ⋅=-u u u v u u u v ； 丁：112FA FB p+=. 以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件有几个（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为x my t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t 的值，可以得出“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，则直线AB 交x 轴于点(),0T t ，且抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y px x my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得，2220y pmy pt --=，由韦达定理得122y y pm +=，122y y pt =-.对于甲条件，()()22222122121222224444y y pt y y p x x t p p p -=====，得2p t =±， 甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于乙条件，2122y y pt p =-=-，得2pt =，此时，直线AB 过抛物线的焦点F ， 乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件；对于丙条件，221212324OA OB x x y y t pt p ⋅=+=-=-uu r uu u r ，即223204t pt p -+=，解得2p t =或32pt =，所以，丙条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于丁条件，11121111112222p p p pFA FB x x my t my t +=+=+++++++()()()()()12122121212222222m y y t p m y y t p p p p p my t my t m y y m t y y t ++++++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222222222222222pm t ppm t p p p p p m pt m t pm t p m t ++++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⋅++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得224p t =，得2p t =±，所以，丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有1个，故选B. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.10．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或-4 D ．0或4【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可．【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．11．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A ．－3＜m ＜0B ．－3＜m ＜2C ．－3＜m ＜4D ．－1＜m ＜3【答案】A 【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A. 12．若复数z 满足()12z i i +=，则z 的值是（ ） A ．-1-i B ．-1i +C ．1-iD ．1i +【答案】C 【解析】 【分析】先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可. 【详解】因为()12z i i +=故：()()()()21211111i i i z i i i i i i -===-=+++- 故其共轭复数为：1i - 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是____________. 【答案】16【解析】分析：骰子连续抛掷2次共有36种结果，满足2m n >的有6种 详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n , 则共有6636⨯=种结果，满足2m n >共有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种 则2m n >”的概率是61P 366== 点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式()A P A 事件包含的基本事件个数试验的基本事件总数=求解.14．已知直线10x y -+=与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设切点00(,)P x y ，则,001|1x x y x aQ ===+'，0001,0,1,2x a y x a ∴+=∴==-∴=．考点：导数的几何意义．15．为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生2000人,则该校学生总人数是_______.. 【答案】5000 【解析】 【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生2000人，根据题意列出等式，即可求出该校学生总人数. 【详解】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生2000人， 则该校学生总人数为20005005000200⨯=人，故答案是：5000. 【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，属于简单题目.16．直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________．【解析】 【分析】将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法． 【详解】将直线2cos 1ρθ=化为普通方程为：21x =，∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，化为普通方程为：222x y x +=，即()2211x y -+=，联立得()222111x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，∴直线与圆相交的弦长为-2-=考点：简单曲线的极坐标方程．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．夏天喝冷饮料已成为年轻人的时尚. 某饮品店购进某种品牌冷饮料若干瓶，再保鲜.（Ⅰ）饮品成本由进价成本和可变成本（运输、保鲜等其它费用）组成.根据统计，“可变成本”y （元）与饮品数量x （瓶）有关系.y 与x 之间对应数据如下表：依据表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；如果该店购入20瓶该品牌冷饮料，估计“可变成本”约为多少元？（Ⅱ）该饮品店以每瓶10元的价格购入该品牌冷饮料若干瓶，再以每瓶15元的价格卖给顾客。
广东省揭阳市2020年高二(下)数学期末综合测试试题含解析
广东省揭阳市2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．2只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有( )种.A ．25B ．52C ．25CD ．25A 【答案】B【解析】分析：利用乘法分步计数原理解决即可.详解：由于每只猫捉老鼠的数目不限，因此每一只老鼠都可能被这2只猫中其中一只捉住，由分步乘法计数原理，得共有不同的捉法有52种.故选：B.点睛：(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 2．函数2()cos x f x e x x x =+++，则()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ）A ．220x y -+=B ．220x y ++=C ．220x y ++=D ．220x y -+=【答案】A【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为()21sin x f x e x x +-'=+，所以(0)112,(0)112k f f '==+==+= 所以切线方程为22220,y x x y -=∴-+=选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.3．下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B =； ②设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件；③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==． A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于①，4344443273()()464432A PB P AB ⨯====，，所以()2()()9P AB P A B P B ==，故①正确；对于②，当22log log a b >，有0a b >>，而由21a b ->有a b >，因为0,0a b a b a b a b >>⇒>>≠>>> ，所以22log log a b >是21a b ->的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线3ξ=对称，且27σ= 所以3,7D μξ==，故③正确．点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．4．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．【详解】A 中为奇函数，B 中非奇非偶函数，C 中为偶函数，D 中+1非奇非偶函数．故选A ．【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质． 5．执行如图所示的程序框图，则输出的A =（ ）A ．116B ．132C ．164D ．1128【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化即可得到答案.【详解】由题意，输入值1A =，1n =，第一次执行，112n =+=，12A =，5n >不成立； 第二次执行，213n =+=，111224A =⨯=，5n >不成立； 第三次执行，314n =+=，111428A =⨯=，5n >不成立； 第四次执行，415n =+=，1118216A =⨯=，5n >不成立； 第五次执行，516n =+=，11116232A =⨯=，5n >成立， 输出132A =. 故选：B【点睛】本题主要考查循环框图的应用，按照框图的程序运行即可得出正确答案，属于基础题.6．设变量x ，y 满足约束条件02220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】【分析】 先作出约束条件表示的平面区域，令13z x y =+，由图求出1z 的范围，进而求出z 的最大值.【详解】作出可行域如图：令13z x y =+，由222y x y =-⎧⎨+=⎩得，点()2,2A -；由2y y x =-⎧⎨=⎩得，点()2,2B --， 由图知当目标函数13z x y =+经过点()2,2A -时，1z 最大值为4，当经过点()2,2B --时，1z 最小值为8-，所以1z z =的最大值为8. 故选：C【点睛】 本题主要考查了简单线性规划问题，考查了学生的作图能力与数形结合的思想.7．定积分的值为A ．B ．3C ．D ．【答案】C【解析】【分析】直接利用微积分基本定理求解即可．【详解】由微积分基本定理可得，，故选C ．【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．8．设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()1n e +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），n m s =,若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ）A ．2eB ．1eC ．1e e -D ．2e e- 【答案】D【解析】分析：由已知求得m ，画出A 表示的平面区域和满足ab ＞1表示的平面区域，求出对应的面积比即可得答案．详解: 由题意，s=0n n n C e e =，∴m=n s =n n e e =，则A={（x ，y ）|0＜x ＜m ，0＜y ＜1}={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}，画出A={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}表示的平面区域，任取（a ，b ）∈A ，则满足ab ＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为S 阴影=11(1)edx x -⎰=（x ﹣lnx ）1|e=e ﹣1﹣lne+ln1=e ﹣1．所求的概率为P=e-2=S S e阴影矩形， 故答案为：D ．点睛：（1）本题主要考查几何概型，考查定积分和二项式定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本题的关键是利用定积分求阴影部分的面积.9．已知定圆()22151C x y ++=:， ()2225225C x y -+=:，定点()4,1M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1CM CC +的最大值为（ ）A ．16+B ．16C ．16+D ．16【答案】A【解析】【分析】 将动圆C 的轨迹方程表示出来：2216439x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()22151C x y ++=:， ()2225225C x y -+=:，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切设动圆半径为r ，则12121,1516CC r CC r CC CC =+=-⇒+= 表示椭圆，轨迹方程为：2216439x y +=122161616CM CC CM CC C M -==+≤++故答案选A【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.10．已知定义在R 上的偶函数()1cos x k f x e x --=-（其中e 为自然对数的底数），记()20.3a f =，()0.32b f =，()3log 6c f k =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性，求出1k =-，得到()cos x f x e x =-，再由指数函数单调性，以及余弦函数单调性，得到()cos xf x e x =-在()0,π上单调递增，进而可得出结果. 【详解】因为()1cos x k f x e x --=-是定义在R 上的偶函数，所以()()1f x f -=，即2cos1cos(1)k k e e ----=--，即2k k e e +=， 所以2k k =+，解得：1k =-，所以()cos xf x e x =-， 当0x >时，()cos xf x e x =-，因为x y e =是单调递增函数，cos y x =在()0,π上单调递减， 所以()cos xf x e x =-在()0,π上单调递增，又20.33300.30.09log 61log 212π<=<-=<<<，所以()()()3230.0.3log 621f f f <-<，即a c b <<.故选：A.【点睛】 本题主要考查由函数单调比较大小，由函数奇偶性求参数，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型. 11．下列说法中正确的是 （ ）①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱；②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好.A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③【答案】D【解析】【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可【详解】①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，故错误②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心()x y ，，故正确③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度，故正确④相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，故错误综上，说法正确的是②③故选D【点睛】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题 12．双曲线2219y x -=的渐近线的斜率是( ) A ．19± B ．13± C ．3± D ．9±【答案】C【解析】【分析】直接利用渐近线公式得到答案. 【详解】双曲线2219yx-=渐近线方程为：33y x k=±⇒=±答案为C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知直线10x y-+=与曲线ln()y x a=+相切，则a的值为___________．【答案】2【解析】【分析】【详解】试题分析：设切点00(,)P x y，则,1|1x xyx aQ===+'，0001,0,1,2x a y x a∴+=∴==-∴=．考点：导数的几何意义．14．已知边长为1的正A BC'∆的顶点A'在平面a内，顶点B，C在平面a外的同一侧，点B'，C'分别为B，C在平面a内的投影，设BB CC'≤'，直线CB'与平面A CC''所成的角为φ.若A B C'''∆是以角A'为直角的直角三角形，则tanφ的最小值为__________．【答案】22【解析】分析：由题意找出线面角，设BB′=a，CC′=b，可得ab=1，然后由a的变化得到A′B′的变化范围，从而求得tanφ的范围．详解：如图，由CC′⊥α，A′B′⊂α，得A′B′⊥CC′，又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，设BB′=a，CC′=b，则A′B′1=4﹣a 1，A′C′1=4﹣b 1，设B′C′=c， 则有2222244()()322a b c c a b ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩，整理得：ab=1． ∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b ， tanφ=''2A B ， 在三角形BB′A′中，∵斜边A′B 为定值1，∴当a，tanφ的最小值为2． 当a 减小时，tanφ增大，若a ≤1，则b ≥1，在Rt △A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾，∴a ＞1，此时tanφ． ∴tanφ的范围为⎣⎭．即tan φ故答案为：2． 点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.15．已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的最大值是______．【答案】1【解析】【分析】分别在1x ≤-、10x -≤≤和0x >三种情况下求解()f x 在区间内的最大值，综合即可得到结果.【详解】当1x ≤-时，()()112f x x x =---+=+，此时：()()11f x f ≤-=当10x -≤≤时，()()11f x x x =-++=-，此时：()()11f x f ≤-=当0x >时，()12f x x =-，此时：()0f x < 综上所述：()max 1f x =本题正确结果：1【点睛】本题考查分段函数最值的求解，关键是能够通过函数每一段区间上的解析式分别求解出在每一段区间上的最值.16．将一根长为1米的木条锯成两段，分别作三角形ABC 的两边AB ，AC ，且3ABC π∠=.则当AC 最短时，第三边BC 的长为________米.【答案】12 【解析】【分析】设出边长，利用余弦定理可找出关系式，化为二次函数用配方法即可得到最小值.【详解】设AB x =，则1AC x =-，设BC l =，通过余弦定理可得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即()22212cos x x l xl ABC -=+-⋅∠，化简整理得22111115222228x l l l ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，要使AC 最短，则使AB 最长，故当12l =时，AB 最长，故答案为12. 【点睛】 本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． 如图，已知(5,0),N P 是圆22:(5)36M x y ++=(M 为圆心)上一动点，线段PN 的垂直平分线m 交PM 于Q 点．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若直线y x m =+与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB V 面积的最大值．【答案】（1）22194x y +=；（2）1. 【解析】【分析】（1）由题意得||||,||||||PQ QN QM QP MP =+=,即||||QM QN MP +=为定值，且||||QM QN MN +>，由椭圆的定义可知，点Q 在以M 、N 为焦点的椭圆上，即求点Q 的轨迹C 的方程；（2）直线y x m =+代入椭圆方程，消去y ，根据韦达定理求出AB .求出点O 到直线AB 的距离d ，则AOB V 面积1||2S AB d =，根据基本不等式求面积的最大值. 【详解】 （1）由题意得：||||,||||||PQ QN QM QP MP =+=,||||QM QN MP ∴+=.P Q 是圆22:(36M x y ++=（M 为圆心）上一动点，||6,||||6MP QM QN ∴=∴+=.(|6M N MN =<Q ，∴点Q 在以M 、N 为焦点的椭圆上，其中3c a ==，2224b a c ∴=-=，∴点Q 的轨迹方程为22194x y +=． （2）直线y x m =+代入椭圆方程，消去y 可得2213189360x mx m ++-=，由()22(18)4139360m m ∆=-⨯->，得m <<设()()1122,,,A x y B x y ，则2121218936,1313m m x x x x -+=-=，12AB x ∴=-=. 设点O 到直线AB 的距离为d ，则d =，AOB ∴V 面积116||2213S AB d ===226133132m m +-≤⨯=，当且仅当2213m m =-，即m =时，等号成立. ∴AOB V 面积的最大值为1．【点睛】本题考查椭圆的定义，考查与椭圆有关的面积问题，属于较难的题目.18．把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．【答案】 (2+3)R 【解析】【分析】四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（ ） A ．78B ．102C ．114D ．1202．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A ．60里 B ．48里C ．36里D ．24里3．函数sin ()ln xf x x=的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知：()2X N μ,δ～，且EX 5=，DX 4=，则P(3x 7)(<≤≈)A ．0.0456B ．0.50C ．0.6826D ．0.95445．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-6．若(2)(1)i z m m =-++为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2-B ．1-C ．1D ．27．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0B ．1C ．2D ．38．在ABC ∆中，0CA CB ⋅=，2BC BA ⋅=，则BC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．29．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10．下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”；④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”.A ．1B ．2C ．3D ．411． (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．8012．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设集合{}{}12310(,,,...,)1,0,1,1,2,3,...,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为_____.15．椭圆221 3xy+=的焦点坐标是__________.16．在25(2)xx-的展开式中的所有x的整数次幂项的系数之和为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率.18．已知函数()f x为定义在R上的奇函数，且当0x>时，()2f x x4x=-+（Ⅰ）求函数()f x的解析式；（Ⅱ）求函数()f x在区间[]2,(2)a a->-上的最小值．19．（6分）某仪器配件质量采用M值进行衡量，某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件，为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔30min分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其M值，下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件M值茎叶图.经计算得301140.530iix x===∑甲，()3021112.330iis x x==-=∑甲，301139.530iix y===∑乙，()3021112.530iis y y==-=∑乙，其中,(1,2,3,,30)i ix y i=⋯分别为甲，乙两生产线抽取的第i个配件的M 值.（1）若规定(3,3)M x s x s∈-+的产品质量等级为合格，否则为不合格.已知产品不合格率需低于5%，生产线才能通过验收，利用样本估计总体，分析甲，乙两条生产线是否可以通过验收；产品质量等级优等产品质量等级不优等 合计 甲生产线 乙生产线 合计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.01 0.0010k2.7063.841 6.635 10.82820．（6分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，1221a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T ． 21．（6分）已知函数3()=f x x x -．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值．22．（8分）如图，三棱柱ABC-111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，AB=AC=2，C 1C =4，D 为BC 的中点（I ）求证：AC ⊥平面AB 11B A ； （II ）求证：1A C ∥平面AD 1B ；（III ）求平面1ADB 与平面11ACC A 所成锐二面角的余弦值参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论. 详解：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有4424A =种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有233C =种取法，安排在四个位置中， 有2412A =种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236⨯=个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有246C =种情况， 剩余位置安排两个2，则可以排出616⨯=个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有133C =种取法，安排在四个位置中，有14C 4=种情况，剩余位置安排1，可以排出3412⨯=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 2．C 【解析】 【分析】每天行走的里程数{}n a 是公比为12的等比数列，且前6和为378，故可求出数列的通项n a 后可得45a a +.设每天行走的里程数为{}n a ，则{}n a 是公比为12的等比数列， 所以16126112378112a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-，故1192a =（里），所以4534111921923622a a +=⨯+⨯=（里），选C. 【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题. 3．A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可． 【详解】 解：f （﹣x ）()sin x sinxln xln x-==-=--f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，D ，函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}，由f （x ）＝0得 sinx ＝0，得距离原点最近的零点为π，则f （6π）16266sinln ln ＜πππ==0，排除C ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键． 4．C 【解析】分析：由题目条件，得随机变量x 的均值和方差的值，利用375252P x P x ≤=-≤+（＜）（＜）， 即可得出结论．．详解：由题意，52μδ==，，3752520.682?6P x P x （＜）（＜）．≤=-≤+≈ 故选：C ． 点睛：本题主要考查正态分布的参数问题，属于基础题，正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ．6．D 【解析】 【分析】由复数z 为纯虚数，得出实部为零，虚部不为零，可求出实数m 的值． 【详解】z 为纯虚数，所以2010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得=2m ，故选D ．【点睛】本题考查复数的概念，考查学生对纯虚数概念的理解，属于基础题． 7．D 【解析】对于命题1，取()()0f x g x ==，x ∈R ，满足题意； 对于命题2，取()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞，满足题意； 对于命题3，取2()()f x g x x ==-，x ∈R ，满足题意； 即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是3. 本题选择D 选项. 8．B 【解析】 【分析】由向量的数量积公式直接求解即可 【详解】因为0BC AC ⋅=，所以ABC ∆为直角三角形，所以2|cos |2BC BA AB BC ABC BC ⋅=⋅⋅∠==，所以2BC =故选B 【点睛】本题考查平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力.根据导数与函数单调性的关系，当()0f x '<时，函数()f x 单调递减，当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K 2＝4.236 P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，可得正确的结论是（ ）A ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” 2．参数方程22x cos sin y cos sin θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ∈R ）表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．34．若,27m N m *∈<，则(27)(28)(34)m m m ---等于（ ）A ．827m P -B ．2734mm P --C ．734m P -D ．834m P -5．已知函数()3sin cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫⎪⎝⎭6．如图，平行六面体中，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )C ．D ．7．已知m 是实数，函数()()2f x xx m =-，若()11f '-=-，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x ='的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是( )A ．B ．C ．D ．9．若函数()y f x =在x a =处的导数为()f'a ，则()()limf a x f a x x 0x+--→为( )A ．()f'aB ．()2f'aC ．()f'a 2D ．010．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8A ．一B ．二C ．三D ．四二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设1111()23A n N n+=++++∈，()B n n N +=∈则A 与B 的大小关系是__． 14．如图，在长方形OABC 内任取一点(,)P x y ，则点P 落在阴影部分BCD 内的概率为________.15．某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为______. 16．设随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(14)0.8P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值. 18．已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=.()1求a 与b 的夹角；()2若OA a =， OB b =， 12OC OA =， 23OD OB =，且AD 与BC 交于点P ，求||OP .19．（6分）证明：若a>0221122a a a a+≥+=. 20．（6分）已知复数212121(10),(25)(0),z a i z a i az z R ．（1）求实数a 的值； （2）若2,||2zzz C ，求||z 的取值范围．21．（6分）设函数2()e mx f x x mx =+-．（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 22．（8分）（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】根据题意知观测值2K ，对照临界值得出结论. 【详解】利用独立性检验的方法求得2 4.236 3.841K =>，对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”． 故选A 项． 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题． 2．A 【解析】 【分析】利用平方关系式消去参数θ可得225x y +=即可得到答案. 【详解】 由22x cos sin y cos sin θθθθ=-⎧⎨=+⎩可得5cos 25sin 2x yx yθθ=+⎧⎨-=-⎩，所以222225(cos sin )(2)(2)x y x y θθ+=++-， 化简得225x y +=.本题考查了参数方程化普通方程，考查了平方关系式，考查了圆的标准方程，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】可求出()21a b x -=--，，根据()a ab ⊥-即可得出()0a a b ⋅-=，进行数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】()21a b x -=--，；∵()a ab ⊥-；∴()()2230a a b x ⋅-=--=； 解得12x =． 故选B. 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】(27)(28)(34)m m m ---、、、中最大的数为()34m -，(27)(28)(34)m m m ---、、、包含()342718-+=个数据，且8个数据是连续的正整数，由此可得到(27)(28)(34)m m m ---的表示.【详解】因为(27)(28)(34)(34)(28)(27)m m m m m m ---=---，所以表示从()34m -连乘到()27m -，一共是8个正整数连乘， 所以834(27)(28)(34)m m m m P ----=.故选：D. 【点睛】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：()()!!!n mn nP n P n m n m ==--的运用.5．B 【解析】的应用求出结果． 【详解】由题意，函数()3sin cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，令6x t πω+=，所以()2sin f x t =，在区间上,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恰有一个最大值点和最小值点， 则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[436]6πωππωπ+-+，则3246232362ππωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，故选B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 6．D 【解析】 【分析】 由题意可得,化简得到结果．【详解】 由题意可得,故选D.【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题． 7．A 【解析】分析：根据函数f （x ）=x 2（x ﹣m ），求导，把f′（﹣1）=﹣1代入导数f′（x ）求得m 的值，再令f′（x ）>0，解不等式即得函数f （x ）的单调增区间．∴﹣2（﹣1﹣m ）+1=﹣1 解得m=﹣2，∴令2x （x +2）+x 2>0，解得4x 3<-,或x>0， ∴函数f （x ）的单调减区间是()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的方法 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x)；(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 8．C 【解析】 【分析】根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论. 【详解】根据()y f x ='的图象可知， 当0x <或2x >时，()0f x '>，所以函数()y f x =在区间(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，所以函数()y f x =在区间()0,2上单调递减， 由此可知函数()y f x =在0x =和2x =处取得极值， 并且在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值， 所以()y f x =的图象最有可能的是C. 故选：C. 【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反. 9．B根据函数的导数的极限定义进行转化求解即可． 【详解】()()()()()()()()()()limlimlimlimf a x f a x f a x f a f a f a x f a x f a f a x f a x 0x 0x 0x 0xxxx+--+-+--+---→=→=→+→-()()()f'a f'a 2f'a =+=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键． 10．D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π⎛⎫⎪⎝⎭的符号进行排除即可． 【详解】()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A Ccos sin 102222f ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除B ，故选：D ．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.11．D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 12．D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限，即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．A≥B. 【解析】 【分析】，将A 放大，即可证明出A 、B 关系. 【详解】由题意：1A B =+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅+==， 所以A B ≥. 【点睛】本题考查放缩法，根据常见的放缩方式，变换分母即可证得结果. 14．1e【解析】 【分析】利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积，根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率，即可计算出概率值. 【详解】由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形OABC 的面积之比等于所求概率，所以()1110111x xS e e dx e e e e =⨯-=-=--=⎰，21S e e =⨯=，所以所求概率为121S P S e==. 故答案为：1e. 【点睛】本题考查几何概型中的面积模型以及利用微积分基本定理求解定积分的值，属于综合型问题，难度一般.几何概型中的面积模型的计算公式：()A A P =构成事件的区域面积全部试验结果所构成的区域面积.15．120 【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n 详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人 所以女学生占的比例为10005240012= 女学生中抽取的人数为50人 所以5n 5012⨯= 所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数. 16．0.8 【解析】分析：根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴2x =，根据正态曲线的特点，得到()()1045P P ξξ-<<=<<，从而可得结果. 详解：随机变量X 服从正态分布()22,N σ，2μ∴=，得对称轴是2x =，所以()()1045P P ξξ-<<=<<，可得(05)P ξ<<= ()04(45)P ξξ<<+<<= ()04(10)(14)0.8P P ξξξ<<+-<<=-<<=，故答案为0.8.相交，因此说明曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）1a =，2m =或20227m =-；（2）min ()1F x =-，max ()1F x =. 【解析】【分析】（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出a 的值，再设出直线与函数32()3f x x x x m =+-+图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出m 的值；（2）对函数()()()F x f x g x =-求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值.【详解】（1）联立2223y x a y x x =-⎧⎨=-+⎩可得2430x x a -++=，164(3)0a ∆=-+=，1a设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2000()3232f x x x '=+-=，01x ∴=或05=3x -当01x =时，01y =，11312m m ∴+-+=⇒= 当05=3x -时，0133y =-，12525132025279327m m ∴-+++=-⇒=- 2m ∴=或20227m =-（2）由（1）2m =，3()1F x x x ∴=--，2()31F x x '∴=-令()0F x '≥则x -≤≤11x ≤≤；令()0F x '<则x <<()F x ∴在1,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎡⎢⎣⎦上单调递减又(1)(1)1F F -==-，(139F -－＝，139⎛ ⎝⎭＝-min ()139F x F ∴==--，max ()(139F x F =-=- 【点睛】 此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题.18．()123πθ=；()272OP =. 【解析】【分析】 ()1化简(23)(2)61a b a b -⋅+=得到6a b ⋅=-，再利用夹角公式得到答案.()22(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+，根据向量关系化简得到1142OP a b =+，再平方得到27||4OP =得到答案. 【详解】()1(23)(2)61a b a b -⋅+=，∴224||43||61a a b b -⋅-=.又||4a =，||3b =，∴6442761a b -⋅-=，∴6a b ⋅=-.∴61cos 432a b a b θ⋅-===-⨯. 又0θπ≤≤，∴23πθ=. ()2 2(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+1(1)2y OP yOB y OC yb a -=+-=+∴11,22y x y -==，∴12,(1)43x y x ==-， ∴1142OP a b =+， ∴2221117||16444OP a a b b =+⋅+=， ∴7OP =. 【点睛】本题考查了向量的计算，将1142OP a b =+表示出来是解题的关键，意在考查学生对于向量公式的灵活运用和计算能力.19．见解析【解析】试题分析:用分析法证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,12a a ≥+即只要证2212a a ⎫⎛≥++⎪ ⎪⎝⎭，进而展开化简,可得只要证明210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故得证.试题解析:12a a≥+-12a a≥++因为0a >，所以不等式两边均大于零因此只需证2212a a ⎫⎛≥+⎪ ⎪⎝⎭，即证222211144a a a a a a ⎫+++≥++++⎪⎭12a a ⎫≥+⎪⎝⎭ 只需证222211122a a a a ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭，即证2212a a +≥ 只需证210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，而210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭显然成立，所以原不等式成立. 点睛: 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．综合法是利用已知条件和某些数学定义，公理，定理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法． 20．（1）3a =；（2）[1,3]．【解析】【分析】（1）根据题意，先计算出12z z +，再由12z z R +∈即可求出结果；（2）先由（1）知2z i =，再由复数的几何意义即可求出结果.【详解】（1）因为()21110z ai =+-，()225(0)z a i a =->， 所以()()()2212=110251215z z a i a i a a i +--+-=++-， 因为12z z R +∈，所以2215=0a a +-，解得5a =-或3a =，因为0a >，所以3a =．（2）由（1）知2z i =， 因为22z z -=，所以z 在复平面内对应点的轨迹为以（0,1）为圆心，以2为半径的圆．故||z 在复平面内表示z 对应的点到坐标原点的距离，所以||z 的取值范围即：以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离，所以21||21z -≤≤+，即1||3z ≤≤．故||z 的取值范围为[]1,3．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记概念和几何意义即可求解，属于基础题型. 21．（1）()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）[1,1]-.【解析】（Ⅰ）()(1)2mx f x m e x -'=+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，()0f x '>． 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，()0f x '>． 所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-即1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-①，设函数()1t g t e t e =--+，则()1t g t e =-'．当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．考点：导数的综合应用．22．（1）56；（2）840种，计算过程见解析【解析】【分析】（1）利用隔板法求结果；（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序.【详解】（1）若定义()()12341234:,,,,,,f x x x x y y y y →，其中()11,2,3,4i i y x i =+=，则f 是从方程12345x x x x +++=的非负整数解集到方程12349y y y y +++=的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程12349y y y y +++=正整数解得个数是38C 56=从而方程12345x x x x +++=的非负整数解得个数也是56；（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
2019-2020学年广东省揭阳市数学高二第二学期期末经典试题含解析
2019-2020学年广东省揭阳市数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知随机变量()2~0,X N σ，若()10.2P X>=，则()01P X <<的值为( )A ．0.1B ．0.3C ．0.6D ．0.4【答案】D 【解析】 【分析】根据题意随机变量()2~0,X N σ可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案． 【详解】根据正态分布可知()()20|111P X P X >+<<=，故()010.4P X <<=．故答案选D ． 【点睛】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．2．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （ ） A ．0.6 B ．0.7C ．0.8D ．0.9【答案】D 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()3P X ≤． 详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜） ， ∵随机变量()2~1,X N σ，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜）， 故选：D ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．3．4名同学分别从6所大学中选择一所参观，则不同选法有（ ） A ．64种 B ．46种C ．46A 种D ．46C 种【答案】B 【解析】 【分析】每名同学从6个大学点中选择一个参观，每个同学都有6种选择，根据乘法原理，计算即可得答案． 【详解】因为每名同学都有6种选择，相互不影响， 所以有466666⨯⨯⨯=种选法． 故选：B. 【点睛】本题考查分步计数原理的运用，注意学生选择的景区可以重复．属于基础题.4．已知函数())0,||2f x x π⎛⎫=ω+ϕω>ϕ< ⎪⎝⎭，的图象过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 在37,1717ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，()f x 的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数127,24,42x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A ．32-B ．CD ．32【答案】A 【解析】 【分析】 由图像过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭可得3πϕ=-，由()f x 的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合，可知2kT π=，结合()f x 在37,1717ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，从而得到4ω=，由此得到()f x 的解析式，结合()f x 图像，即可得到答案。
2020年广东省揭阳市数学高二(下)期末调研试题含解析
2020年广东省揭阳市数学高二(下)期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ） A ．12种 B ．15种 C ．17种 D ．19种【答案】D 【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有132212C ⨯⨯=取法；第二类，有两次取到3号球，共有2326C ⨯=取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.2．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．2-D ．2 【答案】D 【解析】 试题分析：由11x y x +=-的导数为()()221(1)211x x y x x --+-'==--，则在点()2,3处的切线斜率为()22221-=--，由切线与直线10ax y ++=平行，所以22a a -=-⇒=，故选D ．考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程．3．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．()15,+∞B ．[)15,+∞C ．(),6-∞D ．[)6,+∞【答案】B 【解析】 分析：首先，由()()11f p f q p q+-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x ）=21ax x -+＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a 的取值范围．详解：∵()()11f p f q p q+-+-的几何意义为：表示点（p +1，f （p+1）） 与点（q +1，f （q+1））连线的斜率， ∵实数p ，q 在区间（0，1）内，故p +1 和q +1在区间（1，2）内． 不等式()()11f p f q p q+-+-＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1， 故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立． 由函数的定义域知，x ＞﹣1， ∴f′（x ）=21ax x -+＞1 在（1，2）内恒成立． 即 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x 2+3x+1在[1，2]上是单调增函数， 故 x=2时，y=2x 2+3x+1在[1，2]上取最大值为15， ∴a≥15∴a ∈[15，+∞）． 故选A ．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.4．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】 由()()1221f x f x x x <变形可得()()1122x fx x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x ∈+∞Q()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.则()20xg x e ax '=-≥恒成立.2xe a x∴≤.令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x -'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2ea m x m e a ∴≤==∴≤故选:D. 【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.5．已知集合{A x y ==，{}B x x a =≥，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞【答案】A 【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A =I ，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.6．已知一列数按如下规律排列：1,3.?2,5,7,12,?19,31,...---,则第9个数是( ) A ．-50 B ．50 C ．42 D ．—42【答案】A 【解析】分析：根据规律从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第9个数.详解：因为从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，所以第9个数是193150--=-， 选A.点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.7．已知定圆()22151C x y ++=:， ()2225225C x y -+=:，定点()4,1M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1CM CC +的最大值为（ ）A．16+B．16C．16+D．16【答案】A 【解析】 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：2216439x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【详解】定圆()22151C x y ++=:， ()2225225C x y -+=:，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切 设动圆半径为r ，则12121,1516CC r CC r CC CC =+=-⇒+=表示椭圆，轨迹方程为：2216439x y +=122161616CM CC CM CC C M -==+≤++故答案选A 【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.8．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（ ）. A ．直线 B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】D 【解析】 【详解】设m 在平面α上的投影'm ，'m 与直线l 交于点O.在平面α上，以O 为原点、直线l 为y 轴建立直角坐标系.则设'm 的方程为y kx =. 又设点P （x ， y ）.则点P 到直线l 的距离x ，点P 到直线'm.从而，点P 到直线m 的距离平方等于()2221y kx a k -++，其中，a 为直线m 到平面α的距离.因此，点P 的轨迹方程为()22221y kx a x k-+=+，即为双曲线.9．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ）A ．3B ．18C ．12D ．6【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地. 【详解】大学生小红与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数32233212m A C A =+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．设5nx⎛⎝的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M N -=240，则展开式中x的系数为（ ） A ．300 B ．150C ．－150D ．－300【答案】B 【解析】 【分析】分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入240M N -=，解出n 的值，进而求得展开式中x 的系数. 【详解】令1x =，得4n M =，故42240n n M N -=-=，解得4n =.二项式为45x⎛⎝，展开式的通项公式为()()134442244515rr rr rr rC x x C x ----⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3412r -=，解得2r =，故x 的系数为()2422415150C --⋅⋅=.故选B.【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.11．PQ 是异面直线,a b 的公垂线，,, , a b A a B b C ⊥∈∈在线段PQ 上(异于,P Q )，则ABC V 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三角形不定【答案】C 【解析】 【分析】用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ，结合余弦定理可得ACB ∠为钝角． 【详解】如图，由,a b PQ b ⊥⊥可得b ⊥平面APQ ，从而b AQ ⊥，线段长如图所示，由题意22x m p =+22y n t =+，222()z p m n t =+++显然222x y z +<，∴222cos 02x y zACB xy+-∠=<，ACB ∠为钝角，即ABC ∆为钝角三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查异面直线垂直的性质，考查三角形形状的判断．解题关键是用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ．12．已知P 是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为1，则P 到这个四面体各面的距离之和为（ ） A 6B 6C 3D 3【答案】A 【解析】 【分析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离. 【详解】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和， 设它到四个面的距离分别为,,,a b c d ，由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是13 11sin602︒⨯⨯⨯=；又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为31sin602︒⨯=，所以底面中心到底面顶点的距离都是3；由此知顶点到底面的距离是2236133⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭；此正四面体的体积是1362 3⨯⨯=.所以：213() 1234a b c d=⨯+++，解得63 a b c d+++=.故选：A.【点睛】本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图是一个算法流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为_______. .【答案】5【解析】【分析】直接模拟程序即可得结论.【详解】输入x 的值为2，不满足1x ≤，所以3325y x =+=+=， 故答案是：5. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有程序框图的输出结果的求解，属于简单题目. 14．若平面α的一个法向量为11,,022⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的方向向量为()1,0,1，则l 与α所成角的大小为__________. 【答案】6π. 【解析】 【分析】利用向量法求出直线l 与平面α所成角的正弦值，即可得出直线l 与平面α所成角的大小. 【详解】设11,,022n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()1,0,1a =r，设直线l 与平面α所成的角为θ，则11sin cos ,2n a n a n aθ⋅====⋅r r r rr r ，02πθ≤≤Q ，6πθ∴=. 因此，直线l 与平面α所成角的大小为6π，故答案为6π. 【点睛】本题考查利用空间向量法求直线与平面所成的角，解题的关键就是利用空间向量进行转化，考查计算能力，属于中等题.15．在复数集，方程24x =-的解为________. 【答案】2i ± 【解析】 【分析】设复数(,)=+∈x a bi a b R 是方程24x =-的解，根据题意列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】设复数(,)=+∈x a bi a b R 是方程24x =-的解， 则2()4-+=a bi ，即2224=-+-b abi a ，所以22420a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2i =±x .故答案为2i ± 【点睛】本题主要考查在复数集上求解方程，熟记复数运算法则即可，属于常考题型.16．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++= ______.【答案】2- 【解析】 【分析】求出椭圆方程，设出,,A B C 的坐标，利用椭圆中的结论：22AB ODb k k a ⋅=-，22BC OE b k k a⋅=-，22AC OFb k k a⋅=-，结合直线,,OD OE OF 的斜率之和为1进行运算.【详解】因为椭圆的离心率为2，所以2222222c c a a b a =⇒=⇒=，又22AB ODb k k a ⋅=-，22BC OE b k k a ⋅=-，22AC OF b k k a⋅=-，所以221OD AB a k k b =-⋅，221OE BC a k k b =-⋅，221OF AC a k k b =-⋅， 所以22123(121)1OD OE OF a k k k bk k k -+++==-+. 故答案为：-2 【点睛】解析几何小题若能灵活利用一些二级结论，能使问题的求解更简便，计算量更小，本题22AB OD b k k a⋅=-等三个结论均可利用设而不求点差法证出. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）[)1,+∞. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得()()f x g x +的最小值为12a a ++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，分类讨论，求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤； 当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅； 当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -≤<； 当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤， 即21-≤，解得1x ≥； 综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅； 若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥. 综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想. 18．已知抛物线2:4y x Γ=，F 为其焦点，过F 的直线l 与抛物线Γ交于A 、B 两点． （1）若2AF FB =u u u v u u u v，求B 点的坐标；（2）若线段AB 的中垂线l '交x 轴于M 点，求证：ABFM为定值； （3）设()1,2P ，直线PA 、PB 分别与抛物线的准线交于点S 、T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）12⎛ ⎝或1,2⎛ ⎝；（2）证明见解析；（3）以线段ST 为直径的圆过定点,定点的坐标()3,0-或()1,0. 【解析】 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，将直线l 的方程与抛物线Γ的方程联立，列出韦达定理，由2AF FB =u u u r u u u r，可得出122y y =-，代入韦达定理可求出2y 的值，由此可得出点B 的坐标； （2）求出线段AB 的中垂线l '的方程，求出点M 的坐标，求出AB 、FM 的表达式，即可证明出ABFM为定值；（3）根据对称性知，以线段ST 为直径的圆过x 轴上的定点，设定点为(),0Qq ，求出点S 、T 的坐标，由题意得出0TQ SQ ⋅=u u r u u r，利用平面向量数量积的坐标运算并代入韦达定理，可求出q 的值，从而得出定点的坐标. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，易知点()1,0F ，()111,AF x y =--uu u r ，()221,FB x y =-u u u r ，由2AF FB =u u u r u u u r可得122y y -=，得122y y =-. 将直线l 的方程与抛物线Γ的方程联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得，2440y my --=，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，122y y =-Q ，212224y y y ∴=-=-，得2y =此时，222142y x ==，因此，点B的坐标为12⎛ ⎝或1,2⎛ ⎝；（2）易知0m ≠，1222y y m +=，()1221212122m y y x xm ++=+=+， 所以，线段AB 的中点坐标为()221,2m m +，则直线l '的方程为()2221y m m x m -=---，即223y mx m m =-++，在该直线方程中，令0y =，得223x m =+，则点()223,0M m +.()21241AB x x m =-==+，()2223121FM m m =+-=+，因此，()()2241221m AB FMm +==+（定值）；（3）如下图所示：抛物线Γ的准线方程为1x =-，设点()1,S s -、()1,T t -.()211111,21,24y PA x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭uu r ，()2,2PS s =--uu r，P Q 、A 、S 三点共线，则//PA PS uu r uu r，则()()21121224y s y ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，得11242y s y -=+， 则点11241,2y S y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，同理可知点22241,2y T y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.由对称性可知，以线段ST 为直径的圆过x 轴上的定点(),0Q q ，则0TQ SQ ⋅=u u r u u r. 11241,2y TQ q y ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭uu r ，22241,2y SQ q y ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭uu r .()()()()()()()()2212121212121224244816112224y y y y y y TQ SQ q q y y y y y y ---++⋅=++=+++++++uu r uu r ()()()2244841611404244m q q m ⨯--⨯+=++=+-=-+⨯+，解得3q =-或1.因此，以线段ST 为直径的圆过定点()3,0-和()1,0. 【点睛】本题考查抛物线中的向量成比例问题、线段长度的比值问题以及圆过定点问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于难题.19．2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表： 收看时间 （单位：小时）[)0,1 [)1,2 [)2,3 [)3,4 [)4,5 [)5,6收看人数 14 30 16 28 20 12(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全22⨯列联表： 男 女 合计 球迷 40非球迷 30合计并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关；(2)在全校“球迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“球迷”中选取2名世界杯知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：20()P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.02520()P K k ≥2.072 2.7063.841 5.024()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）有（2）见解析 【解析】分析：（1）根据题中数据填写列联表，由此计算观测值2K ，对照临界值得出结论；（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2，求出相对应的概率值，即可求得答案. 详解：（1）由题意得下表：2k 的观测值为()2120120060070506060-⨯⨯⨯ 242.7067=>. 所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工， 所以ξ的可能取值为0，1，2.且()24260C P C ξ== 62155==， ()1142261C C P C ξ== 815=， ()22262C P C ξ== 115=， 所以ξ的分布列为()2801515E ξ=⨯+⨯ 1102215153+⨯==.点睛：解决独立性检验应用问题的方法解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a ，b ，c ，d ，n 的值，然后根据统计量2K 的计算公式确定2K 的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联． 20．已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240ωω++=. （1）求复数ω；（2）设复数(,)z x yi x y R =+∈满足：z ω⋅为纯虚数，2z =，求x y ⋅的值.【答案】（1）13i ω=-；（2）3x y ⋅=【解析】分析：（1）解一元二次方程，得到13i ω=-±，根据ω在复平面内对应的点位于第二象限，即可判断ω的取值。
2019-2020学年广东省揭阳市高二下学期期末考试数学试题及答案
xi2 nx 2
i 1
2454 8 105 41 2 8
23256 8 (105) 2 2
1
；
4
aˆ y bˆx 41 1 105 8 ；
84 2
所以 y 关于 x 的线性回归方程是 yˆ 1 x 8 ，
4
计算
x
76
时，
yˆ
1 4
76
8
11
，
可以预测该医院 76 岁确诊患者中的重症比例为11% ．
（1）证明：平面 PBF 平面 ABCD ； （2）求 BF 与平面 PBC 所成的角.
20．某游戏策划者策划了一个抽奖游戏，规则如下：一个口袋中装有完全一样的 5 张牌，分别写有数字 “1”“2”“3”“4”“5”，每次从口袋中摸出 3 张牌，若摸出 3 张牌的和为奇数，则获胜，否则为失败. （1）求抽奖者每次摸牌获胜的概率；
i 1
K
2
a
n ad bc 2 bc d a c b
d
，其中
n
a
b
c
d
.
PK2 k
…
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
…
k
…
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828 …
19．已知四棱锥 P ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD 60 ，PA PD ，APD 90 ， F 为 AD 中点， BP AD .
10.5
7.5
7.5
5.5
4.5
3.5
1.5
0.5
若 y 与 x 之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 $y $bx $a ，并预测该医
广东省揭阳市2019-2020学年高二下学期期末2份数学经典试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．求二项式()712x -展开式中第三项的系数是（ ）A ．-672B ．-280C ．84D ．42 2．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ） A ．21y x =- B ．2log ||y x = C ．1y x =- D ．31y x =-3．函数()cos f x x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ）A ．0y =B ．20x y -=C ．0x y +=D ．0x y -=4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A ．24B ．30C ．10D ．605．已知直线:50l x y +-=与圆222:(2)(1)(0)-+-=>C x y r r 相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r =（ ）A ．2B ．2C ．22D ．46．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是A （1,2），B （3,4），C （5,6）D （7,8），则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．ˆ1yx =- 7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ）A ．5B ．17C ．1755D ．51717 8．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是 A ．82 B ．83 C ．813或 D ．812或9．集合{}{}21,3,5,7,|40A B x x x ==-≤，则A B =（ ）A ．()1,3B ．{}1,3C ．()5,7D ．{}5,7 10．已知函数21,1()|ln(1),1x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，则方程(())1f f x =的根的个数为（ ） A ．7B ．5C ．3D ．2 11．设函数()34sin f x x x x =--，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．()131x -的展开式中，系数最小的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 二、填空题：本题共4小题13．如图，矩形ABCD 中曲线的方程分别为sin y x =，cos y x =，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.14．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________. 15．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．16．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷A卷
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·丰台模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（）A . =sinB . =2sinC . =cosD . =2cos2. （2分）将点p（﹣2，2）变换为p′（﹣4，1）的伸缩变换公式为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·太原月考) 曲线 : ( 为参数)上的点到曲线 :(t为参数)上的点的最短距离为（）A . 1B . 2C . 34. （2分）已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·中山期末) 将5件不同奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（）A . 150B . 210C . 240D . 3006. （2分）分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A . 种B . A33A31种C . C41C31种D . C42A33种7. （2分）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A . 243B . 252D . 2798. （2分）(2017·山东模拟) 若实数a，b均不为零，且x2a= （x＞0），则（xa﹣2xb）9展开式中的常数项等于（）A . 672B . ﹣672C . ﹣762D . 7629. （2分） (2016高二下·三门峡期中) 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ， yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A . y与x具有正的线性相关关系B . 回归直线过样本点的中心（，）C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg10. （2分）如图是根据变量x，y的观测数据（xi ， yi）（i=1，2，…10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（）A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④11. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：广告费x23456销售额y2941505971由表可得到回归方程为 =10.2x+ ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A . 101.2B . 108.8C . 111.2D . 118.212. （2分） (2017·河西模拟) 已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A . 6038B . 6587C . 7028D . 7539二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·合肥模拟) 已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞0）=0.8，则P（X≥2）=________．14. （1分） (2016高二下·汕头期中) 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）．15. （1分） (2016高二下·南安期中) 一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=________．16. （1分） (2016高三上·杭州期中) 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知（a2+1）n展开式中各项系数之和等于（x2+）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．18. （10分）盒子中装着标有数字1，2，3，4，5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布．19. （10分） (2016高二下·福建期末) 某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A商品当天能够处理完）．该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量，制成如表格．前8小时的销售量t（单位：件）567频数403525（1）若某天该商场共购入7件A商品，在前8个小时售出5件．若这些产品被7名不同的顾客购买，现从这7名顾客中随机选3人进行回访，记X表示这3人中以每件200元的价格购买的人数，求X的分布列；（2）将频率视为概率，要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A商品，并说明理由．20. （10分） (2017高二下·长春期末) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：男女需要4030不需要160270附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关？21. （10分）在极坐标系中，圆C是以点为圆心，2为半径的圆．（1）求圆C的极坐标方程；（2）求圆C被直线所截得的弦长．22. （5分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点E，求 + 的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2019年揭阳市高中必修二数学下期末一模试题(带答案)
2019年揭阳市高中必修二数学下期末一模试题(带答案)一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165 D ．1582．已知向量()cos ,sin a θθ=v ，(2b =v ，若a v 与b v 的夹角为6π，则a b +=v v （ ）A ．2B 7C 2D ．13．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为34．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）7．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．432⎛ ⎝⎭，B ．432⎡⎢⎣⎦，C ．432⎡⎢⎣⎭，D ．43⎛ ⎝⎦8．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4510．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上11．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）A ．7a =，3b =，30B =o B ．6b =，52c =，45B =oC ．10a =，15b =，120A =oD ．6b =，63c =，60C =o二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．15．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v 在BC uuuv 方向上的投影为________．17．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.18．设向量(12)(23)a b ==r r ，，，，若向量a b λ+r r 与向量(47)c =--r ，共线，则λ= 19．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 20．若a 10=12，a m =2，则m =______． 三、解答题21．某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数； （2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．22．已知关于x 的不等式2320,08kx kx k +-<≠ （1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值．（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．23．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.25．已知x ，y ，()0,z ∈+∞，3x y z ++=． （1）求111x y z++的最小值 （2）证明：2223x y z ≤++．26．在ABC V 中，a ， b ，c 分别是角A ， B ，C 的对边，3cos 5B =，21AB BC ⋅=-u u u v u u u v.（1）求ABC V 的面积； （2）若7a = ，求角C .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构2．B解析：B 【解析】 【分析】先计算a r 与b r的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r r r r 即可计算求值.【详解】因为()cos ,sin a θθ=r，(b =r ，所以||1a =r ，||b =r又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r1372=++=，所以a b +=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.3．D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 8．B 解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．C解析：C 【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.10．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a-=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解； 对于B 选项，2sin 5252c B =⨯=，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =o Q ，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =o Q ，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D. 【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．14．36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半解析：36π 【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径， 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则解析：2 【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 16．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuur 方向上的投影即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，(3C ，则：()2,0AB =uu u r ，(3BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r且2AB =u u u r ，10BC =u u u v 据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-u u u v u u u vu u uv .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围.【详解】令2x t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t+->- 若满足题意，则只需221min t m m t +⎛⎫->-⎪⎝⎭， 令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈ 则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<，解得m ∈()4,5-.故答案为：()4,5-.【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.18．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学 解析：2【解析】【分析】由题意首先求得向量a b λ+r r ，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值.【详解】a bλ+r r =(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=.故答案为2．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.20．5【解析】解析：5【解析】5,52a m ==== 三、解答题21．（1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67；（2）0.1,0.16；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的平均数即为甲部门评分的中位数．同理可得乙部门评分的中位数．（2）甲部门的评分高于90的共有5个，所以所求概率为550；乙部门的评分高于90的共8个，所以所求概率为850．（3）市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，且甲部门的评分较集中，乙部门的评分相对分散，即甲部门的评分的方差比乙部门的评分的方差小．试题解析：解：（1）由所给茎叶图知，将50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故甲样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数估计值是75．50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为6668672+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67． （2）由所给茎叶图知，50位市民对甲，乙部门的评分高于90的比率为580.1,0.165050==，故该市的市民对甲，乙部门的评分高于90的概率的估计分别为0.1,0.16；（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低，评价差异较大．（注：考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分）．考点：1平均数，古典概型概率；2统计．22．（1）18k =；（2）(3,0)- 【解析】【分析】（1）根据关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到32-和1是方程23208kx kx +-=的两个实数根，再利用韦达定理求解. （2）根据关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ．又因为0k ≠ ，利用判别式法求解.【详解】（1）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以32-和1是方程23208kx kx +-=的两个实数根， 由韦达定理可得338122k--⨯=，得18k =． （2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ． 因为0k ≠所以220,30k k k <⎧⎨=+<⎩V ，解得30k -<<， 故k 的取值范围为(3,0)-．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)453. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，. 又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点， 所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，. 由得到的距离为，故145252BCM S =⨯⨯=V . 所以四面体的体积14532N BCM BCM PA V S -=⨯⨯=V . 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．24．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ；（Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.【详解】（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A .因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面P AD .因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==， 由题意可得2AB BD BC ==， 所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A =I ，所以BD ⊥平面P AB .（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，因为M 是PD 的中点，所以12MN AD P. 因为12BC AD P ，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .因为CM ⊄平面P AB , BN ⊂平面P AB .所以//CM 平面P AB .【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.25．（1）3（2）见解析【解析】【分析】（1）根据基本不等式即可求出，（2）利用x 2+y 2+z 213=（x 2+y 2+z 2+x 2+y 2+y 2+z 2+x 2+z 2），再根据基本不等式即可证明【详解】 （1）因为330x y z xyz ++≥>，31110x y z xyz++≥>， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭,即1113x y z ++≥， 当且仅当1x y z ===时等号成立，此时111x y z++取得最小值3． （2）()()()2222222222223x y z x y y z z x x y z ++++++++++=()22223x y z xy yz zx +++++≥ ()233x y z ++==．当且仅当1x y z ===时等号成立，【点睛】 本题考查了基本不等式求最值和不等式的证明，属于中档题．26．(1)14;(2) 45C =︒.【解析】试题分析：（1）先求出ac 的值，再由同角三角函数基本关系式求出sinB ，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理即正弦定理计算即可． 试题解析：（1）∵21AB BC u u u v u u u v ⋅=- ，21BA BC ⋅=u u u v u u u v ，cos arccos 21BA BC BA BC B B ⋅=⋅⋅==u u u v u u u v u u u v u u u v∴35ac = ，∵3cos 5B = ，∴4sin 5B = ，∴114sin 3514225ABC S ac B ==⨯⨯=V （2）35ac = ，7a = ，∴5c =由余弦定理得，2222cos 32b a c ac B =+-=∴b =，由正弦定理：sin sin c b C B = ，∴4sin sin 52c C B b === ∵c b < 且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒。
广东省揭阳市2019-2020学年高二下学期期末数学试题
所以 即为 与平面 所成的角，
在 中， ，
所以 为直角三角形，且 ，
所以 与平面 所成的角为 .
【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定以及线面角的求法，属于基础题.
20．（1） ；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）用列举法写出所有基本事件，并得出和为奇数的事件，从而可得概率；
首先根据等比数列的性质得到 ，从而得到 ，利用等差数列的求和公式得到 ，再利用裂项法求 的值即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 或 .
又因为数列 为递增数列，所以 .
所以 ， .
因为 ， ，
所以 .
故
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的求和公式，同时考查裂项法求和，属于中档题.
16．
6．D
【解析】
【分析】
根据 即可得出 ，进而求出 ，然后即可求出 与 的夹角的余弦值．
【详解】
， ，
， ，且 ，
．
故选： ．
【点睛】
本题考查了向量夹角的余弦公式，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
7．A
【解析】
【分析】
作差，分解因式可得．
【详解】
， 时等号成立．
∴ ．
故选：A，
【点睛】
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先求出 ，令虚部为0，即可求出 .
【详解】
， ， ,
,
是实数， ，即 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算以及相关概念，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
广东省揭阳市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末经典试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（ ） A ．平行直线的斜二测图仍是平行直线B ．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C ．正三角形的直观图一定为等腰三角形D ．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同 2．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b >>，则11a b> C ．若，则a b b a < D ．若a b >，11a b>，则4．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且满足13PF a =.若满足条件的点P 只在C 的左支上，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．(2,)+∞C ．(2,4]D ．(4,)+∞5．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2CD ．7．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元 B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元8．已知tan(x π-=）则cos2x = ( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．189．ABC∆中，90C =∠，且2,3CA CB==，点M满足BM AB=，则CM CA⋅=A．18B．8C ．2D．4-10．执行如图所示的程序框图，若0.9p=，则输出的n为（）A．6B．5C．4D．311．6(2)x y-的展开式中，42x y的系数为（）A．15 B．-15 C．60 D．-6012．已知曲线()y f x=在点()5(5),f处的切线方程是80x y+-=，且()f x的导函数为()f x'，那么()5f'等于A．3B．1C．8-D．1-二、填空题：本题共4小题13．若"2x>"是"x m>"的必要不充分条件,则m的取值范围是____．14．随机变量ξ服从二项分布ξ(,)B n p~，且()300Eξ=，()200Dξ=，则n等于__________．15．已知函数()y f x=是R上奇函数，且当0x>时()2logf x x=，则()2f-=__________．16．设随机变量X的概率分布列如下图，则()21P X-==_____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设随机变量，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用二项分布概率计算公式结合条件计算出，然后再利用二项分布概率公式计算出.【详解】由于，则，，所以，，因此，，故选：A.【点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A ．43π+ B ．23π+ C ．43π+ D ．423π+ 【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为21122ππ⨯⨯⨯=，四棱锥体积为144133⨯⨯=，所以该几何体体积为43π+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.3．若集合2{|20}A x x x =-<，函数()f x =B ，则A ∩B 等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2） 【答案】D 【解析】试题分析：{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，所以{}12A B x x =≤<。
考点：1.函数的定义域；2.集合的运算。
4．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或-4 D ．0或4【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可．【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．5．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出x 与销售额y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出x 与年销售额y 满足线性回归方程 6.517.5y x =+，则m 的值为（ ） A ．45 B ．50C ．55D ．60【答案】D 【解析】分析：求出x ,代入回归方程计算y ，利用平均数公式可得出m 的值. 详解：2456855x ++++==,6.5517.550y ∴=⨯+=,30405070505m ++++∴=,解得60m =，故选D.点睛：本题主要考查平均数公式的应用，线性回归方程经过样本中心的性质，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于基础题. 6．下列说法正确的个数有（ ）①用22121()1()niii nii y y R y y ∧==-=--∑∑刻画回归效果，当2R 越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；②命题“x R ∃∈，210x x +-<”的否定是“x R ∀∈，210x x +-≥”；③若回归直线的斜率估计值是2.25，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是 2.254y x ∧=-； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。
广东省揭阳市2020年高二第二学期数学期末综合测试试题含解析
广东省揭阳市2020年高二第二学期数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设21,[0,1] ()1,[1,0)x xf xx x⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩，则11()f x dx-⎰等于（）A．12π+B．122π+C．124π+D．14π+2．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为1212,(0)k k k k⋅≠，若12k k的最小值为2，则双曲线的离心率为( ) A．2B．5C．32D．323．已知函数()(ln)xef x k x xx=--，若()f x只有一个极值点，则实数k的取值范围是A．(,)e-+∞B．(,)e-∞C．(,]e-∞D．1(,]e-∞4．函数()321212f x x x x=+-+的极大值为（）A．3B．52C．2D．25．如图，平行六面体1111ABCD A B C D-中，11AB AD AA===，1120BAD BAA∠=∠=︒，160DAA∠=︒，则1AC=（）A．1B．2C3D26．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）A．43cm B．316cm C．34cm D．13cm7．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1B．2C．3D．48．设123log2,ln2,5a b c-===则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为（ ） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)10．已知函数2()2aln f x x x x=--在12x =处取得极值，则()f x 的图象在(1,0)处的切线方程为（ ）A ．10x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y -+=D ．10x y --=11．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：221x y +＝经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩后得到线C 2，则曲线C 2的方程为（ ） A ．4x 2+y 2＝1B ．x 2+4y 2＝1C ．224+=x y 1D ．x 224+=y 1二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()3xx1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________。
2020年广东省揭阳市数学高二第二学期期末调研试题含解析
2020年广东省揭阳市数学高二第二学期期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设曲线2y x =及直线1y =所围成的封闭图形为区域D ，不等式组1101x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，则该点恰好在区域D 内的概率为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．34【答案】C 【解析】分析：求出两个区域的面积，由几何概型概率公式计算可得.详解：由题意1231114(1)()133D S x dx x x -=-=-=-⎰，122E S =⨯=，∴42323D E S P S ===，故选C.点睛：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．预计对此类问题的考查会加大力度． 2．若0(21)2ax dx +=⎰，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．-2C ．2D ．-2或1【答案】A 【解析】分析：据积分的定义计算即可． 详解：()022212,0a a x dx x xa a ⎰+=+=+=Q解得1a =或2a =-（舍）. 故选A点睛：本题考查的知识点是定积分，根据已知确定原函数是解答的关键． 3．已知01a <<，则方程log xa a x =的实根个数为n ，且()()()()()()11210110121011112222n x x a a x a x a x a x +++=+++++⋅⋅⋅++++，则1a =（ ）A ．9B ．10-C ．11D ．12-【答案】A【解析】 【分析】由xy a =与log a y x =的图象交点个数可确定2n =；利用二项式定理可分别求得()()1111121x x +=+-和()()22121x x +=+-的展开式中()2x +项的系数，加和得到结果.【详解】当01a <<时，xy a =与log a y x =的图象如下图所示：可知xy a =与log a y x =有且仅有2个交点，即log xa a x =的根的个数为22n ∴= ()()()()()()1121121111112121n x x x x x x ∴+++=+++=+-++-()1121x +-的展开式通项为：()11112rrC x -+∴当111r -=，即10r =时，展开式的项为：()112x +又()()()22212221x x x +-=+-++11129a ∴=-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，涉及到函数交点个数的求解；解题关键是能够将二项式配凑为展开项的形式，从而分别求解对应的系数，考查学生对于二项式定理的综合应用能力.4．设,x y 满足约束条件 2360200x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．-3B ．2C ．4D ．6【答案】D 【解析】 【分析】先由约束条件画出可行域，再利用线性规划求解. 【详解】如图即为x ，y 满足约束条件2360200x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………的可行域，由236020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得(0,2)A ， 由3z x y =+得133z y x =-+， 由图易得：当3z x y =+经过可行域的A 时，直线的纵截距最大，z 取得最大值， 所以3z x y =+的最大值为6， 故选D ．【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5．某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布2(85,)N σ，已知(122)0.96P X ≤=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩小于48分的样本个数大约为（ ） A ．4 B ．6C ．94D ．96【答案】A 【解析】分析：根据正态分布的意义可得(122)0.04,(48)0.04P X P X >=<=即可得出结论.详解：由题可得：(122)0.04,P X >=又对称轴为85，故(48)0.04P X <=，故成绩小于48分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道(48)0.04P X <=.6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为.考点：三视图.7．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果. 【详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误； （2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误. 本题正确选项：B 【点睛】本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 8．已知集合{}250M x x x =-，{2,3,4,5,6,7,8}N =,则M N ⋂等于( )A ．{}3,4B ．{}5,6C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,5【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出M 中不等式的解集确定出M ，然后利用交集的定义求解即可. 详解：由M 中不等式变形得()50x x -<， 解得05x <<，即{}|05M x x =<<，因为{}2,3,4,5,6,7,8N =，{}2,3,4M N ∴⋂=，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.9．在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，二面角S BC A --的大小为60o ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．143πB ．163πC ．409πD ．529π【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点为D ，由二面角平面角的定义可知60SDA ∠=o ；根据球的性质可知若ABC ∆和SBC ∆中心分别为,E F ，则OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SBC ，根据已知的长度关系可求得,OD BD ，在直角三角形OBD 中利用勾股定理可求得球的半径，代入球的表面积公式可得结果. 【详解】取BC 的中点为D由SBC ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD BC ⊥，AD BC ⊥ 则SDA ∠是二面角S BC A --的平面角，即60SDA ∠=o 设球心为O ，ABC ∆和SBC ∆中心分别为,E F 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SBC又3DE =，tan tan 30OE ODE DE ∠==o 13OE ∴=，23OD ==∴外接球半径：R ===∴外接球的表面积为：22524439S R πππ⎛===⎝⎭本题正确选项：D 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，关键是能够利用球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理求解出球的半径.10．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B 【解析】 【分析】易知函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数,(1)(2)0f f ⋅<,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间. 【详解】函数ln y x =是()0,∞+上的增函数,23y x =-是R 上的增函数, 故函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数.(1)ln12310f =+-=-<,(2)ln 2223ln 210f =+⨯-=+>,则()0,1x ∈时,()0f x <;()2,x ∈+∞时,()0f x >,因为(1)(2)0f f ⋅<,所以函数()ln 23f x x x =+-在区间()1,2上存在零点. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题. 11．设函数()f x 定义如下表：执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据流程图执行循环，确定周期，即得结果 【详解】 执行循环得：(5)3,1;(3)2,2;(2)4,3;(4)5,4;x f t x f t x f t x f t ============L所以周期为4，因此5,2020,x t ==结束循环，输出5x =，选B. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.12．设1311ln ,log 22a b ==，则 （ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较ab a b +和的大小关系得解. 详解：由题得1ln2a =＜ln1=0,131log 2b =>13log 10=. 所以ab<0. 1311ln 211ln 3lnlog ln 2ln 2(1)ln 2022ln 3ln 3ln 3a b -+=+=-+=-=⋅<. 所以11331111ln 2ln 2()ln log ln log ln 2ln 22222ln 3ln 3ab a b ab a b -+=--=⋅--=-⋅+-3lnln 21ln 3ln 212ln 2(1)ln 2ln 20ln 3ln 3ln 3ln 3e ---+-=⋅=⋅<，所以ab a b <+. 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知(,)2παπ∈，2sin2α=cos2α+1，则cosα=__________【答案】 【解析】 【分析】化简2sin2α=cos2α+1即可得出sinα与cosα之间的关系式，再计算即可 【详解】因为(,)2παπ∈，2sin2α=cos2α+1所以24sin cos 2cos a a a = ，(,)2παπ∈cos 0a ≠化简得2sin cos a a =解得cos a =【点睛】本题考查倍角的相关计算，属于基础题．14．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值_____．【答案】4 【解析】 【分析】求出圆1C 关于x 轴对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到PM PN +的最小值. 【详解】如图所示，圆1C 关于x 轴对称圆的圆心坐标3(2,)A -，以及半径1， 圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，所以PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即22(32)(43)(13)524-++-+=-.【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把PM PN +的最小值转化为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15．已知函数2()ln(32)f x x x =+-，则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为_____ 【答案】540x y --= 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程。
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2019-2020学年广东省揭阳市高二下期末考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣8≥0}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣4，2]D．（﹣4，3）2．（5分）复数等于（）
A．7+i B．7﹣i C．7+7i D．﹣7+7i
3．（5分）已知α、β均为锐角，满足sinα＝，cosβ＝，则α+β＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（5分）记{S n}为等差数列{a n}前n 项和，若数列的第六项与第八项之和为4，则a4等于（）
A．2B．4C．6D．8
5．（5分）利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）
P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
6．（5分）若函数在（1，3）上是增函数，则关于x的不等式a x﹣1＞1的解集为（）
A．{x|x＞1}B．{x|x＜1}C．{x|x＞0}D．{x|x＜0}
7．（5分）在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（）A．异面直线AB与CD所成的角为90°
B．直线AB与平面BCD垂直
C．直线EF∥平面ACD
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