2018届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试理科数学试题及答案 精品
2024年吉林省长春市吉林省实验中学等十校联考中考第二次模拟检测数学试题
2024年吉林省长春市吉林省实验中学等十校联考中考第二次模拟检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．小慧和小谷玩猜字游戏，规则为：胜一次记作“1+”分，平局记作“0”分，负一次记作“1-”分．猜字两次后，小慧得分为2+分，则小谷此时的得分为（ ）A ．2+B ．2-C ．1+D ．1-2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．菱形3．不等式组3230x x ->-⎧⎨->⎩的解集是（ ） A ．3x < B ．5x >- C ．53x -<< D ．13x << 4．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ） A ．同角的余角相等；B ．同角的补角相等；C ．等角的余角相等；D ．等角的补角相等．5．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几日追及之？根据题意，若设良马x 天可追上驽马，则下述所列方程正确的是（ ）A ．12240150x x +=B ．12240150x x =-C ．()24015012x x =+D ．()24012150x x -= 6．2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A 滑行到点B ．若600m AB =，则这名滑雪运动员下滑的垂直高度AC 为（ ）A ．600sin m αB ．600cos m αC ．600tan m αD ．600m7．如图，在ABC V 中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB 于M 、AC 于N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于D ，下列三个结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③:1:3ACD ACB S S =V V ．其中正确的有（ ）A ．只有①B ．只有①②C ．只有①③D ．①②③8．伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力1()F N 和阻力臂1(m)L 的函数图象如图，若小明想用不超过200N 的动力2F 撬动这块大石头，则动力臂2L （单位：m ）需满足（ ）A ．203L <≤B ．23L <C ．23L >D ．23L ≥二、填空题9= ．10．如图，“L”形图形的面积为7，如果3b =，那么=a ．11．如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角15BAC ∠=︒，那么这个正多边形的中心角是 度．12．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，为庆祝这个专属于数学的节日，某校开展主题为“浸润数学文化”的演讲比赛，七位评委为某位同学打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的统计量是 ．（填“平均数”、“中位数”、“众数”、“方差”中的一项）13．小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 ．14．在平面直角坐标系中，抛物线2()y x m m =--+（m 为常数，且0m >）与x 轴交于A 、B 两点，点C 为抛物线的顶点，当6090ACB ︒<∠<︒时，m 的取值范围是 ．三、解答题15．先化简，再求值：22142x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中2x ． 16．一贝不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意执出1个球．用画树状图或列表的方法，求两次摸到的小球编号差1的概率．17．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛，问大、小容器的容积各是多少斛?”18．如图，在ABC V 中，640AB AC BAC ==∠=︒，，以边AB 为直径的O e 与边AC BC 、分别交于点D 、E ．求»DE的长．19．如图①、图②、图③均是22⨯的正方形网格每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC V 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．(1)在图①中的线段AC 上找一点M ，连接BM ，使BMA BMC ∠=∠．(2)在图②中的线段AB 、BC 上分别找一点P 、Q （点P 、Q 不在格点上），连接QA 、PC ，使QA PC =．(3)在图③中，点D 在边AB 上，且22.5ACD ∠=︒，在线段CD 上找一点N ，连接AN ，使CAN BAN ∠=∠．20．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成锁（单位：m ）如下：甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67；乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75；【整理与分析】a______，b=______．(1)由上表填空：=(2)这两人中，_______的成绩更为稳定．【判断与决策】(3)经预测，跳高1.69m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请结合已测定的数据和统计量说明理由．21．小王和小丽在物理课学习了水在标准气压的沸点是100C︒，据此他两在老师指导下进行了有关食用油的沸点探究活动：活动主题：有关食用油沸点探究活动．活动过程：某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小王想用刻度不超过100C︒的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：如果你参与了这个探究学习活动，根据他们的探究情况，请你完成下列任务．任务一：在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温度y（单位：℃）与加热的时间t(单位：s) 符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是函数关系；任务二：请你根据以上判断，求出这种食用油达到沸点前y 关于t 的函数解析式； 任务三：当加热110s 时，油沸腾了，请推算沸点的温度．22．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，点F 在边BC 上，过点D 作DF 的垂线交直线AC 与点E ．【特例感知】如图①，当点E 与点C 重合时，DEF B ∠=∠，请说明理由；【提出问题】如图②，当点E 与点C 不重合时，DEF B ∠=∠还成立吗？【解决问题】答：图②中的DEF B ∠=∠依然成立；下面是针对点E 在线段AC 上的情形进行的一种证明，请你补充完整；如图③，取EF 中点M ，连结MD MC CD 、、．DE DF ⊥Q ，90EDF ∴∠=︒,Q 点M 是EF 的中点，12MD EF MF ME ∴===.（______________）（填依据） 90C ∠=︒Q ，M 是EF 的中点，12MC EF ∴=， MC ME MD MF ∴===．∴点C 、E 、D 、F 在以_______为直径的圆上，DEF ∠∠∴=________．由（1）可知，B DCB ∠=∠，DEF B ∴∠=∠．【拓展应用】若24AC BC ==，，当DEF V 的面积被ABC V 的一条边平分时，CF 的长为______．23．如图①，在ABCD Y 中，1356A AB ∠=︒=，，ABCD Y 的面积为12，点E 在边AB 上，且2AE =，动点P 从点E 出发，沿折线EA AD DC --以每秒1个单位长度的速度运动到点C 停止．将射线EP 绕点E 逆时针方向旋转45︒得到射线EQ ，点Q 在折线段B C D --上，连接PQ ．设点P 运动的时间为t （秒）（0t >）．(1)AD 的长为_______；(2)当EQ 将ABCD Y 的面积分为1:2时，求t 的取值范围；(3)如图②，当点Q 在边BC 上时，求PE EQ :的值；(4)如图③，作点Q 关于PE 的对称点Q '，在点P 从点E 出发运动到点C 的过程中，点Q '经过的路径长为_______．24．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)A 、(3,0)B ．点P 在该抛物线上，且横坐标为m ，当点P 与点A 、B 不重合时，以A 、B 、P 为顶点作PABQ Y ，过点Q 作PQ 的垂线交抛物线于点M ，连接PM ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当抛物线的对称轴将线段PM 分成3:2两部分时，求m 的值；(3)当点P 在点A 右侧，PQM V 的面积是PABQ Y 的面积2倍时，求MQ 的长；(4)当点M 在x 轴下方，线段MP MQ 、将PABQ Y 的面积分成1::1n 三部分时，直接出m n +的值．。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (8)
[考案8]第八章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2019·吉林长春实验中学期末)设△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( B )A.y ＝2x ＋5B.y ＝2x －5C.y ＝3x ＋5D.y ＝12x ＋52【试题解答】 A 关于y ＝x 的对称点为A 1(1，－3)，A 关于x ＝0的对称点为A 2(3,1)，又A 1、A 2都在BC 上，∴k BC ＝2.∴BC 的方程为y ＋3＝2(x －1)，即y ＝2x －5.2.(2019·安徽模拟)抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线y 2－x 23＝1的渐近线的距离为( B )A.12 B.32C.1D. 3【试题解答】 抛物线y ＝14x 2的焦点为(0,1)，双曲线y 2－x 23＝1的渐近线方程为x ±3y ＝0，则焦点到双曲线渐近线的距离为|0±3|1＋3＝32，故选B. 3.(2020·四川攀枝花统考)直线l 是圆x 2＋y 2＝4在(－1，3)处的切线，点P 是圆x 2－4x ＋y 2＋3＝0上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于( D )A.1B. 2C.3D.2【试题解答】 圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2，故选D.4.(2020·河南新乡模拟)P 为椭圆x 2100＋y 291＝1上的一个动点，M ，N 分别为圆C ：(x －3)2＋y 2＝1与圆D ：(x ＋3)2＋y 2＝r 2(0＜r ＜5)上的动点，若|PM |＋|PN |的最小值为17，则r ＝( B )A.1B.2C.3D.4【试题解答】 因为C (3,0)，D (－3,0)恰好为椭圆的两个焦点，所以|PM |＋|PN |≥|PC |＋|PD |－1－r ＝2a －1－r .因为a 2＝100，所以a ＝10，所以20－1－r ＝17，则r ＝2.故选B.5.(2020·陕西百校联盟联考)已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，且MA →＝AN →，若|OA |＝|AF 2|，则直线l 的斜率为( B )A.±1B.±12C.±13D.±14【试题解答】 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 218＋y 212＝1，x 228＋y222＝1两式相减可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2＝0，则k OA ·k MN ＝－14；因为|OA |＝|AF 2|，故k OA ＝－k MN ，解得是k MN ＝±12，故直线l 的斜率为±12.6.(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( D )A.2B. 3C.2D. 5【试题解答】 抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1， 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则有A (－1，b a )，B (－1，－ba )，∴|AB |＝2b a ，2ba＝4，b ＝2a ， ∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5.故选D.7.(2019·湖北省武汉市调研)已知A ，B 为抛物线y 2＝4x 上两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则|AB |的最小值为( C )A.42B.2 2C.8D.8 2【试题解答】 设OA 方程为y ＝kx (k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y 2＝4x ，得A (4k 2，4k )，用1－k 代换k 得B (4k 2，－4k )，∴|AB |＝4(k 2－1k 2)2＋(k ＋1k)2＝4(k 2＋1k 2＋12)2－94≥8.当且仅当k ＝1时取等号，故选C.秒杀法：由图形对称性可知|AB |最小时Δ方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y 2＝4x ，得A (4,4)，故此时|AB |＝8.8.(2019·高考北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( C ) A.① B.② C.①②D.①②③【试题解答】 从结论“不超过”“小于”入手，利用基本不等式进行放缩，再利用图形估算面积. ∵x 2＋y 2＝1＋|x |y ≤1＋|x ||y |≤1＋x 2＋y 22， ∴x 2＋y 2≤2.①x 可能取得的整数值为±1,0，代入曲线C 的方程得整点坐标为(1,1)，(1,0)，(－1,1)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，故①正确；②设曲线C 上任意一点到原点的距离为d ， 则d 2＝x 2＋y 2≤2， ∴d ≤2，故②正确；③由图知，图形在第一象限的面积S 1>1，图形在第四象限的面积S 4>12，由对称性得，“心形”区域面积S >(1＋12)×2＝3，故③错误，综上可知选C.二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的是( ABC )A.离心率为54B.双曲线过点(5，94)C.渐近线方程为3x ±4y ＝0D.实轴长为4【试题解答】 ∵c ＝5，由e ＝c a ＝54知a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9，A 正确；∵双曲线过点P (5，94)，∴2a＝|PF 1|－|PF 2|＝414－94＝8，∴a ＝4，B 正确；由渐近线方程为3x ±4y ＝0知b a ＝34，又c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a ＝4，b ＝3，C 正确；若2a ＝4，则a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝21，D 错，故选ABC.10.已知△ABC 为等腰直角三角形，若圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，该圆锥曲线E 的离心率可以是( ABD )A.2－1B.22C.2D.2＋1【试题解答】 因为△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心e ＝2c 2a ＝AB CA ＋CB ＝22，当C ＝π4时，离心率e＝AB CA ＋CB ＝12＋1＝2－1.(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有C ＝π4，此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB |CA －CB |＝12－1＝2＋1，故答案为ABD.11.(2020·山东青岛一中期末)如图，A (2,0)，B (1,1)，C (－1,1)，D (－2,0)，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆经，三段弧构成曲线W ，则下述正确的是( BCD )A.曲线W 与x 轴围成的面积等于2πB.曲线W 上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C.CB 所在圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1D.CB 与BA 的公切线方程为x ＋y ＝2＋1【试题解答】 作CM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，曲线W 与x 轴围成的面积为2＋π，A 错；W 上的整点D (－2,0)，C (－1,1)，H (0,2)，B (1,1)，A (2,0)，共5个，B 正确；显然C 正确；由图易知公切线l 平行直线MQ ：y ＝－x ＋1，且两直线间距离为1， 设l ：y ＝－x ＋b (b >0)，则|b －1|2＝－1，∴b ＝2＋1，∴l ：y ＝－x ＋2＋1，D 正确；故选BCD.12.(2020·山东日照联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ACD )A.以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－32相离B.以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C.当AF →＝2FB →时，|AB |＝92D.|AB |的最小值为4【试题解答】 对于选项A ，点M 到准线x ＝－1的距离为12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，于是以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－1一定相切，进而与直线x ＝－32一定相离；对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12|BM |不一定相等，因此命题错误；对于选项C ，D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为x ＝my ＋1，联立直线与抛物线方程可得，y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝1，若设A (4a 2,4a )，则B (14a 2，－1a )，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4a 2＋14a 2＋2，|AB |最小值为4；当AF →＝2FB →可得y 1＝－2y 2，即4a ＝－2(－1a )，所以a 2＝12，|AB |＝92，故答案为ACD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·3月份北京市高考适应性考试)抛物线y 2＝4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为__1__. 【试题解答】 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋y 2＝1y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0. ∴抛物线y 2＝4x 上到其焦点距离为1的点只有1个.14.(2019·江西师大附中模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为62. 【试题解答】 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，由题意可知圆心C (3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为3，即3b a 2＋b2＝3b c ＝3，∴b 2c 2＝1－a 2c 2＝13，∴e ＝c a ＝62.15.(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线，点P 在准线l 上，若PN →＝NM →，则p |MF |＝ 23.【试题解答】 分别过点M ，N 作准线的垂线，垂足分别为M 1，N 1，则|MM 1|＝|MF |·|NN 1|＝|NF |，∴|PN ||PM |＝|NN 1||MM 1|＝|NF ||MF |＝12设|NF |＝m ，则|MF |＝2m ，从而|PN |＝3m ， ∴m p ＝3m 4m ＝34，则m ＝34p ， ∴p |MF |＝p 2m ＝23. 16.(2020·山东日照联考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 3－1 ；双曲线N 的离心率为__2__.【试题解答】 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ＋3c ，再根据椭圆定义得c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率为c a ＝21＋3＝3－1.双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，∴n 2m 2＝tan 2π3＝3，∴c 2＝m 2＋n 2m 2＝m 2＋3m 2m 2＝4，∴e ＝2.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分) (2020·3月份北京市高考适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0,1)，B (0，－1)，焦距为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上.【试题解答】 (1)由题意知c ＝3，b ＝1，且焦点在x 轴上， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4所以椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1＜m ＜1，则x 20＝4(1－m 2) ①因为点D 为直线AN 上一点，所以AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)， 所以OD →＝λAN →＋OA →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， 所以K BD ·K BM ＝λ(m －1)＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14，整理得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入整理得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0， ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0，即y D ＝0， 所以点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2019·天津高考卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率.【试题解答】 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4， c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2， 可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0). 设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)， 则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2， 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k .在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·(－k2)＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.19.(本小题满分12分)(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y －2＝0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过定点P (2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：∠PFM ＝∠PFB .【试题解答】 (1)依题意可设圆C 方程为x 2＋y 2＝b 2， ∵圆C 与直线x －y ＋2＝0相切， ∴b ＝|2|12＋12＝1，∴a 2－c 2＝1， 又c a ＝22，解得a ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意可知直线l 斜率存在， 设l 方程为y ＝k (x －2)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∵l 与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k 2－1＜0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∵F (1,0)，∴k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1－2)x 1－1＋k (x 2－2)x 2－1＝2k －k (1x 1－1＋1x 2－1) ＝2k －k (x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1)＝2k －k 8k 21＋2k 2－28k 2－21＋2k 2－8k 21＋2k 2＋1＝2k －k 4k 2－22k 2－1＝0，即∠PFM ＝∠PFB .20.(本小题满分12分)(2019·大连模拟)已知直线y ＝2x 与抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)交于O 和E 两点，且|OE |＝ 5.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点Q (2,0)的直线交抛物线Γ于A ，B 两点，P 为直线x ＝－2上一点，P A ，PB 分别与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积x M ·x N 是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【试题解答】 (1)由y 2＝2px 与y ＝2x ，解得交点O (0,0)，E (p2，p )，∴|OE |＝(p2)2＋p 2＝5，得p ＝2，∴抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋2，代入y 2＝4x 中， 则y 2－4ty －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，①y 1·y 2＝－8.②设P (－2，y 0)，则直线P A 的方程为y －y 0＝y 1－y 0x 1＋2(x ＋2)，令y ＝0，得(y 0－y 1)x M ＝y 0x 1＋2y 1，③ 同理可得(y 0－y 2)x N ＝y 0x 2＋2y 2，④由③×④得(y 0－y 1)(y 0－y 2)x M ·x N ＝(y 0x 1＋2y 1)(y 0x 2＋2y 2)，即[y 20－(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2]x M ·x N ＝y 20x 1x 2＋2y 0(y 1x 2＋y 2x 1)＋4y 1y 2＝y 20×y 21y 224×4＋2y 0(y 1×y 224＋y 2×y 214)＋4y 1y 2＝y 20×116y 21y 22＋y 0y 1y 2×y 1＋y 22＋4y 1y 2， 由①②可得(y 20－4ty 0－8)x M ·x N ＝4(y 20－4ty 0－8)，当点P 不在直线AB 上时，y 20－4ty 0－8≠0，∴x M ·x N ＝4； 当点P 在直线AB 上时，x M ＝x N ＝x Q ＝2，∴x M ·x N ＝4.综上，x M ·x N 为定值，且定值为4.21.(2020·湖北宜昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，P (1，22)为椭圆上一点，且|PF 1|＝322. (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l ：x ＝－2，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当∠MAN 最小时，求直线AB 的方程.【试题解答】 (1)设F 1(－c,0)(c >0)， 则|PF 1|＝(1＋c )2＋12＝322⇒c ＝1，∴|PF 2|＝22， 则由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， ∴a ＝2，b ＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线AB ：x ＝ty ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 22＋y 2＝1得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0，∵直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴Δ＝4t 2＋4(t 2＋2)＝8(t 2＋1)>0，由韦达定理y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2，则y N ＝－tt 2＋2，∴x N ＝ty N ＋1＝－t 2t 2＋2＋1＝2t 2＋2，∵MN ⊥AB ，∴k MN ＝－t ， ∴|MN |＝1＋t 2·|－2－2t 2＋2|＝1＋t 2·2t 2＋6t 2＋2又|AN |＝12|AB |＝121＋t 2·|y 1－y 2|＝1＋t 2·21＋t 2t 2＋2∴tan ∠MAN ＝|MN ||AN |＝2(t 2＋3)t 2＋1＝2(t 2＋1＋2t 2＋1)≥2·22＝4， 当且仅当t 2＋1＝2t 2＋1即t ＝±1时取等号. 此时直线AB 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.22.(本小题满分12分)(2020·宁夏银川一中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点P (6，－1)，且△PF 1F 2的面积为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且|CD |＝λ|AB |(λ∈R )，当λ取得最小值时，求直线l 的方程.【试题解答】 (1)由△PF 1F 2的面积可得12·2c ·1＝2，即c ＝2，∴a 2－b 2＝4.① 又椭圆C 过点P (6，－1)， ∴6a 2＋1b2＝1.② 由①②解得a ＝22，b ＝2， 由椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 则原点到直线l 的距离d ＝|m |2， 由弦长公式可得|AB |＝22－m 22＝8－2m 2，将y ＝x ＋m 代入椭圆方程x 28＋y 24＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，由判别式Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0， 解得－23＜m ＜23，由直线和圆相交的条件可得d ＜r ， 即|m |2＜2，也即－2＜m ＜2， 综上可得m 的取值范围是(－2,2)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－83， 由弦长公式，得|CD |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·16m 29－8m 2－323＝4312－m 2. 由|CD |＝λ|AB |，得λ＝|CD ||AB |＝4312－m 28－2m 2＝2231＋84－m 2. ∵－2＜m ＜2，∴0＜4－m 2≤4， 则当m ＝0时，λ取得最小值263， 此时直线l 的方程为y ＝x .。
吉林省长春市实验中学2022-2023学年高三下学期模拟考试(五)数学试题
绝密★启用前长春市实验中学2022-2023学年高三下学期模拟考试（五）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.第I 卷一､选择题：本题包括1至8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{}{lg 1},2A xx B x x =<=≤∣∣，则A B ⋃=（ ） A.{02}x x <≤∣ B.{}2x x ≤∣ C.{10}x x <∣ D.R 2.i 为虚数单位，复数2i 12iz +=-，复数z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为（ ） A.1- B.2- C.2i - D.i -3.已知{}n a 是无穷等差数列，其前项和为n S ，则“{}n a 为递增数列”是“存在*n ∈N 使得0n S >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在ABC 中，E 为AC 上一点，2AC AE =，P 为线段BE 上任一点，若AP xAB yAC =+，则21x y+的最小值是（ ）A.3+B.4+C.6D.85.声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素：音调，响度，音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.我们一般听到的声音的函数是()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =++++，对于函数()f x ，下列说法正确的是（ ） A.π是()f x 的一个周期 B.()f x 关于2x π=对称C.0是()f x 的一个极值点D.()f x 关于(),0π中心对称6.将甲､乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲､乙二人去不同社区的概率为（ ） A.310 B.35 C.910 D.147.在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将B C D △绕对角线BD 所在直线旋转至BPD ，使得AP P ABD -的外接球的表面积为（ ）A.8π3B.20π3C.27D.25π3 8.已知函数()()221sin 1x x f x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=（ ） A.2 B.2- C.3 D.3-二､多选题：本题包括9至12小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.9.某商店2022年1月至12月每月的收入､支出情况的统计如图所示，则下列说法中正确的有（ ）A.第二季度月平均利润为30万元B.收入的中位数和众数都是50C.下半年支出比上半年支出稳定D.利润最高的月份是2月份和11月份10.如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E .若圆柱底面圆半径为r ，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E 的描述中，正确的是（ ）A.短轴为2r ，且与θ大小无关B.离心率为cos θ，且与r 大小无关C.焦距为2tan r θD.面积为2cos r πθ11.如图所示，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点()1,0A ，以x 轴非负半轴为始边作锐角α，β，αβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点1P ，1A ，P ，则下列说法正确的是（ ）A.11A P AP =B.扇形11OA P 的面积为αβ-C.12sin2A P αβ=- D.当π3α=时，四边形11OAA P 的面积为1πsin 23β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，点P 在l 上的射影为1P ，则下列说法正确的是（ ）A.若125x x +=，则7PQ =B.以PQ 为直径的圆与准线l 相交C.设()0,1M ，则1PM PP +≥D.过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题13.53(2)()x x y +-的展开式中，42x y 的系数是__________.14.若曲线()()sin 1f x x a x =++在点0x =处的切线方程是20x y b -+=，则a b +=______.15.如图，单位向量OA ，OB 的夹角为π2，点C 在以O 为圆心，1为半径的弧AB 上运动，则CA CB ⋅的最小值为______.16.过曲线221x y -=与曲线23x y =+的交点的圆的方程为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：22n n S a =-，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s 2c o s c o s a C b A c A =-. （1）求A ；（2）若a =b c -的取值范围.19.新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知､突如其来､来势汹汹的疫情，习近平总书记亲自指挥､亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争､总体战､阻击战.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[]90,100内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，获得了如下频数分布表.（2）若该市所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()264,15N ，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望.20.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB 是ABC 外接圆的直径，PC 垂直于圆所在的平面，D ､E 分别是棱PB ､PC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAC ；（2）若二面角A DE C --为π3，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值. 21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，A ，B 是其左､右顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的动点，且34MA MB k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为直线4x =上一点，P A ，PB 分别与椭圆交于C ，D 两点.①证明：直线CD 过椭圆右焦点2F ；②椭圆的左焦点为1F ，求1CF D 的内切圆的最大面积.22.已知函数()()()212e 2x f x x ax ax a =--+∈R . （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；（3）当2x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.。
吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试
吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试理科综合试题第I卷（选择题，共21小题，每小题6分，共126分）可能用到的相对原子质量为：H-1 C-12 O-16 Na-23 Ba-137一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．研究发现，某些植物在秋冬受低温袭击时，呼吸速率先升高后降低；持续的冻害使根生长迟缓，吸收能力下降，但细胞内可溶性糖的含量有明显的提高。
下列推断不合理的是() A．冻害初期呼吸作用增强，放出的热量有利于抵御寒冷B．低温持续使淀粉合成酶活性减弱，影响可溶性糖合成淀粉C．持续低温使细胞内结合水含量降低，自由水含量增加，以适应低温环境D．低温使细胞呼吸减弱，限制根细胞吸收矿质营养，导致吸收能力下降2.下图曲线表示农田中，Ⅰ：昼夜温度变化；Ⅱ：光照强度；Ⅲ：植物吸收CO2的变化，请判断下列说法中不正确的是()A．在Ⅲ曲线与时间轴交点c和e时，光合作用吸收CO2和呼吸作用释放CO2量相等B．a点的形成是由夜间的低温造成的C．从时间轴上的c点开始合成有机物，到e点有机物的合成终止D．增大曲线Ⅲ与时间轴所围成的正面积措施包括提高光照强度，CO2浓度和充足的水分供应等3．下列为细胞分裂的几种模式图及其每条染色体的DNA含量在分裂过程中的变化。
则下列叙述正确的是()①甲图最可能为减数第二次分裂中期，每条染色体的DNA含量对应丁图的CD段②乙图是有丝分裂中期，乙图与丙图不可能来自同一种生物③丙图可能是雌配子，每条染色体的DNA含量对应丁图的BC段④乙图中含有2个染色体组，丙图所在的个体为单倍体A．①③B．②④C．①③④D．①②③4．人类的X基因前段存在CGG重复序列。
科学家对CGG重复次数、X基因表达和某遗传病症A．CGG重复次数不影响X基因的转录，但影响蛋白质的合成B．CGG重复次数与该遗传病是否发病及症状表现有关C．CGG重复次数可能影响mRNA与核糖体的结合D．遗传病症状的轻重与蛋白质中丙氨酸的多少有关5．如图所示是一对近亲结婚的青年夫妇的遗传分析图，其中白化病由基因a控制，色盲由基因b控制(图中与本题无关的染色体省略)，据图以下说法正确的是（）A．图中E细胞和F细胞的DNA数目都是23条，含有1个染色体组B．从理论分析，图中H为男性的概率是50%C．该对夫妇所生子女中，患病概率为7/16D．H个体和G个体的性别可以相同也可以不同。
高考数学模拟试卷(理科)(九)(解析版)
吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（九）一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|1＜x＜4}, 集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}, 则A∩（∁R B）=（）A．（1, 4）B．（3, 4）C．（1, 3）D．（1, 2）∪（3, 4）2．已知命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0, 则￢p是（）A．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）, 则z为（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i4．已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则（）A．a1d＞0, dS4＞0B．a1d＜0, dS4＜0C．a1d＞0, dS4＜0D．a1d＜0, dS4＞05．已知x, y满足约束条件, 若z=ax+y的最大值为4, 则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣36．阅读如图所示的程序图, 运行相应的程序输出的结果s=（）A．1B．4C．9D．167．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为n的样本, 其频率分布直方图如图所示, 其中支出在[50, 60）元的同学有30人, 则n的值为（）A．100B．1000C．90D．9008．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称, 这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称, 这个曲线只有当x∈（﹣3σ, 3σ）时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称, 因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；⑥σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．上述说法正确的是（）A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥9．节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示, 则此几何体的体积等于______cm2．（）A．16B．18C．24D．2612．函数f（x）=﹣cosx在[0, +∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点二、填空题：（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．已知向量夹角为45°, 且, 则=．14．（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是．15．sinxdx=．16．已知半球内有一内接正方体, 则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是．三、解答题：（本大题共5小题, 共70分．解答应写出说明文字, 证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中, 已知向量=（, ﹣）, =（sinx, cosx）, x∈（0, ）．（1）若⊥, 求tanx的值；（2）若与的夹角为, 求x的值．18．在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手（1至5号）登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望．19．如图, 在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, AB⊥AC, AB=AC=2, AA1=4, 点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．如图, 点P（0, ﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点, C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径, l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A、B两点, l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．21．设x1, x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1, x2=2, 求函数f（x）的解析式；（2）若, 求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2, 且x2=a, g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1）, 求证：．请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图, △ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE, 求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴）中, 圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B, 若点P的坐标为（3, ）, 求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．例3．设a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（九）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|1＜x＜4}, 集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}, 则A∩（∁R B）=（）A．（1, 4）B．（3, 4）C．（1, 3）D．（1, 2）∪（3, 4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意, 可先解一元二次不等式, 化简集合B, 再求出B的补集, 再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}, 故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3},又集合A={x|1＜x＜4},∴A∩（∁R B）=（3, 4）故选B2．已知命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0, 则￢p是（）A．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】命题的否定．【分析】由题意, 命题p是一个全称命题, 把条件中的全称量词改为存在量词, 结论的否定作结论即可得到它的否定, 由此规则写出其否定, 对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题, 其否定是一个特称命题,故¬p：∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．3．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）, 则z为（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i, 然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）,所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i）,即5z=15+25i,z=3+5i．故选A．4．已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则（）A．a1d＞0, dS4＞0B．a1d＜0, dS4＜0C．a1d＞0, dS4＜0D．a1d＜0, dS4＞0【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a3, a4, a8成等比数列, 得到首项和公差的关系, 即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1, 则a3=a1+2d, a4=a1+3d, a8=a1+7d,由a3, a4, a8成等比数列, 得, 整理得：．∵d≠0, ∴,∴,=＜0．故选：B．5．已知x, y满足约束条件, 若z=ax+y的最大值为4, 则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2, 0）, B（1, 1）,若z=ax+y过A时取得最大值为4, 则2a=4, 解得a=2,此时, 目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z, 当直线经过A（2, 0）时, 截距最大, 此时z最大为4, 满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4, 则a+1=4, 解得a=3,此时, 目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z, 当直线经过A（2, 0）时, 截距最大, 此时z最大为6, 不满足条件,故a=2,故选：B6．阅读如图所示的程序图, 运行相应的程序输出的结果s=（）A．1B．4C．9D．16【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序, 依次写出每次循环得到的n, s, a的值, 当n=3时, 不满足条件n＜3, 退出循环, 输出s的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图, 可得a=1, s=0, n=1s=1, a=3满足条件n＜3, n=2, s=4, a=5满足条件n＜3, n=3, s=9, a=7不满足条件n＜3, 退出循环, 输出s的值为9,故选：C．7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为n的样本, 其频率分布直方图如图所示, 其中支出在[50, 60）元的同学有30人, 则n的值为（）A．100B．1000C．90D．900【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率直方图的意义, 由前三个小组的频率可得样本在[50, 60）元的频率, 计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7,∴支出在[50, 60）元的频率为1﹣0.7=0.3,∴n的值=；故选A．8．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称, 这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称, 这个曲线只有当x∈（﹣3σ, 3σ）时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称, 因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；⑥σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．上述说法正确的是（）A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态曲线的性质, 分析选项, 即可得出结论．【解答】解：根据正态曲线的性质, 曲线关于直线x=μ对称, 当x∈（﹣∞, +∞）时, 正态曲线全在x轴上方, 故①正确, ②不正确；只有当μ=0时, 正态曲线才关于y轴对称, 故③不正确；曲线关于直线x=μ对称, 曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低, 故④正确；曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．故⑤⑥正确．故选：A．9．节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x, y, 由题意可得0≤x≤4, 0≤y≤4, 要满足条件须|x﹣y|≤2, 作出其对应的平面区域, 由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x, y,由题意可得0≤x≤4, 0≤y≤4,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒, 则|x﹣y|≤2,由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,由图可知所求的概率为：=故选C10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程, 算出抛物线的焦点F（1, 0）．由双曲线标准方程, 算出它的渐近线方程为y=±x, 化成一般式得：, 再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4, 可得=1, 抛物线的焦点F（1, 0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3, 可得a=1且b=,双曲线的渐近线方程为y=±, 即y=±x,化成一般式得：．因此, 抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示, 则此几何体的体积等于______cm2．（）A．16B．18C．24D．26【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是直三棱柱, 去掉一个底面相同的三棱锥, 求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是底面为直角三角形, 高为5的直三棱柱,去掉一个底面为相同的直角三角形, 高为3的三棱锥,∴该几何体的体积为：V几何体=V三棱柱﹣V三棱锥=×4×3×5﹣××4×3×3=24故选：C．12．函数f（x）=﹣cosx在[0, +∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据余弦函数的最大值为1, 可知函数在[π, +∞）上为正值, 在此区间上函数没有零点, 问题转化为讨论函数在区间[0, π）上的零点的求解, 利用导数讨论单调性即可．【解答】解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时, ＞0且sinx＞0, 故f′（x）＞0∴函数在[0, π）上为单调增取x=＜0, 而＞0可得函数在区间（0, π）有唯一零点②当x≥π时, ＞1且cosx≤1故函数在区间[π, +∞）上恒为正值, 没有零点综上所述, 函数在区间[0, +∞）上有唯一零点二、填空题：（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．已知向量夹角为45°, 且, 则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由已知可得, =, 代入|2|====可求【解答】解：∵, =1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是168．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得x2y2的系数．【解答】解：根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得, x2y2的系数为C82•C42=168, 故答案为：16815．sinxdx=0．【考点】定积分．【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=0,故答案为：016．已知半球内有一内接正方体, 则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是3π：4．【考点】球的体积和表面积．【分析】将半球补成整个的球, 同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体, 构成的长方体刚好是这个球的内接长方体, 那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．【解答】解：将半球补成整个的球, 同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体, 构成的长方体刚好是这个球的内接长方体, 那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a, 球的半径是R, 则根据长方体的对角线性质, 得（2R）2=a2+a2+（2a）2, 即4R2=6a2, ∴R=\frac{\sqrt{6}}{2}a从而S半球的表面积=3πR2=πa2, S正方体=6a2,因此S半球的表面积：S正方体=3π：4,故答案为：3π：4．三、解答题：（本大题共5小题, 共70分．解答应写出说明文字, 证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中, 已知向量=（, ﹣）, =（sinx, cosx）, x∈（0, ）．（1）若⊥, 求tanx的值；（2）若与的夹角为, 求x的值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）若⊥, 则•=0, 结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为, 利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥,则•=（, ﹣）•（sinx, cosx）=sinx﹣cosx=0,即sinx=cosxsinx=cosx, 即tanx=1；（2）∵||=, ||==1, •=（, ﹣）•（sinx, cosx）=sinx﹣cosx,∴若与的夹角为,则•=||•||cos=,即sinx﹣cosx=,则sin（x﹣）=,∵x∈（0, ）．∴x﹣∈（﹣, ）．则x﹣=即x=+=．18．在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手（1至5号）登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”, 观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=, 利用互斥事件的概率公式,即可求得结论；（II）由题意, X可取0, 1, 2, 3, 求出相应的概率, 即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=,∴P（A）=,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 则X可取0, 1, 2, 3．观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙选中3号歌手的概率为,当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时, 这时X=0, P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=,当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时, 这时X=1,P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=,当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时, 这时X=2,P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=,当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时, 这时X=3,P（X=3）=•（）2=,X的分布列如下：X 0 1 2 3P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．19．如图, 在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, AB⊥AC, AB=AC=2, AA1=4, 点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz, 利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量, 利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值, 再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,则由题意知A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）, C（0, 2, 0）,A1（0, 0, 4）, D（1, 1, 0）, C1（0, 2, 4）,∴, =（1, ﹣1, ﹣4）,∴cos＜＞===,∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量,设平面ADC1的法向量为,∵,∴, 取z=1, 得y=﹣2, x=2,∴平面ADC1的法向量为,设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ,∴cosθ=|cos＜＞|=||=,∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．如图, 点P（0, ﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点, C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径, l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A、B两点, l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得b=1, 2a=4, 即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1, y1）, B（x2, y2）, D（x0, y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在, 设为k, 则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|, 又l2⊥l1, 可得直线l2的方程为x+kx+k=0, 与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标, 即可得出|PD|, 即可得到三角形ABD的面积, 利用基本不等式的性质即可得出其最大值, 即得到k的值．【解答】解：（1）由题意可得b=1, 2a=4, 即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1, y1）, B（x2, y2）, D（x0, y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在, 设为k, 则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0, 0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1, 故直线l2的方程为x+ky+k=0, 联立, 消去y得到（4+k2）x2+8kx=0, 解得,∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==,令4+k2=t＞4, 则k2=t﹣4,f（t）===,∴S△=, 当且仅, 即, 当时取等号,故所求直线l1的方程为．21．设x1, x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1, x2=2, 求函数f（x）的解析式；（2）若, 求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2, 且x2=a, g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1）, 求证：．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）求导函数, 根据x1=﹣1, x2=2是函数f（x）的两个极值点, 即可求得函数f（x）的解析式；（2）根据x1, x2是函数f（x）的两个极值点, 可知x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 从而, 利用, 可得b2=3a2（6﹣a）, 令h（a）=3a2（6﹣a）, 利用导数, 即可求得b的最大值；（3）根据x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 可得f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2）, 根据, 可得, 进而有=, 利用配方法即可得出结论．【解答】解：（1）求导函数, 可得f′（x）=3ax2+2bx﹣a2,∵x1=﹣1, x2=2是函数f（x）的两个极值点,∴f'（﹣1）=0, f'（2）=0,∴3a﹣2b﹣a2=0, 12a+4b﹣a2=0,解得a=6, b=﹣9．∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵x1, x2是函数f（x）的两个极值点, ∴f'（x1）=f'（x2）=0．∴x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 故有△=4b2+12a3＞0对一切a＞0, b∈R恒成立．∴,∵a＞0, ∴x1•x2＜0,∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由得,∴b2=3a2（6﹣a）．∵b2≥0, ∴3a2（6﹣a）≥0, ∴0＜a≤6．令h（a）=3a2（6﹣a）, 则h′（a）=36a﹣9a2．当0＜a＜4时, h′（a）＞0, ∴h（a）在（0, 4）内是增函数；当4＜a＜6时, h′（a）＜0, ∴h（a）在（0, 4）内是减函数；∴当a=4时, h（a）是极大值为96,∴h （a）在（0, 6）上的最大值是96, ∴b的最大值是．…（3）∵x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根．∴f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2）∵, ∴∴…∵x1＜x＜x2,∴═=﹣3a请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图, △ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE, 求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）要判断两个三角形相似, 可以根据三角形相似判定定理进行证明, 但注意观察已知条件中给出的是角的关系, 故采用判定定理1更合适, 故需要再找到一组对应角相等, 由圆周角定理, 易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论, 我们可得三角形对应对成比例, 由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC, 再结合三角形面积公式, 不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD,可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC,所以,即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC,且S=AD•AE,故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．例3．设a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．【考点】绝对值不等式．【分析】首先分析题目由a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx, 去绝对值号得到ax﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx, 对于不等式ax﹣2≤﹣bx, 可直接解得．对于不等式ax﹣2≥bx, 需要分别讨论当a＞b＞0时, 当a=b＞0时, 当0＜a＜b时的解集, 然后取它们的并集即得到答案．【解答】解：原不等式|ax﹣2|≥bx可化为ax﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx,（1）对于不等式ax﹣2≤﹣bx, 即（a+b）x≤2 因为a＞0, b＞0即：．（2）对于不等式ax﹣2≥bx, 即（a﹣b）x≥2①当a＞b＞0时, 由①得, ∴此时, 原不等式解为：或；当a=b＞0时, 由①得x∈ϕ, ∴此时, 原不等式解为：；当0＜a＜b时, 由①得, ∴此时, 原不等式解为：．综上可得, 当a＞b＞0时, 原不等式解集为,当0＜a≤b时, 原不等式解集为．23．在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴）中, 圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B, 若点P的坐标为（3, ）, 求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由⊙C的方程可得：, 利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ, y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程, 即可得到根与系数的关系, 根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：, 化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0, 化为．∴．（t1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．[选修4-5：不等式选讲]。
2022年吉林省长春市第二实验中学高考数学模拟试卷(理科)(5月份)+答案解析(附后)
2022年吉林省长春市第二实验中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( )A. B.C. D.3. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为( )A. 米B. 米C. 米D. 米4. 已知实数x、y满足，则的最大值为( )A. B. C. 2 D. 35. 已知函数的部分图象如图所示，则( )A.B.C.D.6. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了甲、乙、丙、丁四名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，若每个村至少去1人，则甲单独被分到A村的概率为( )A. B. C. D.7. 下列不等式中一定成立的是( )A. B.C. D.8. 已知函数为奇函数，为偶函数，且，则( )A. B. C. D.9.设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.10. 从区间中任取两个实数x，y，记事件A：，事件B：，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为( )A. B. C. D.11. 在直三棱柱中，，则三棱柱，外接球体积等于( )A. B. C. 16 D.12.已知实数x，y，z满足且，若，则( )A. B. C. D.13. 已知向量、满足，，，则______.14. 设M，N是双曲线实轴的两个端点，Q是双曲线上的一点异于M，N两点，且，则双曲线的渐近线方程为______. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则______.16. 取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示．则此多面体有______条棱，表面积为______.17. 已知等差数列的公差，其前n项和为，若，且、、成等比数列．求数列的通项公式；求数列的前n项和18.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点.求证：；求二面角的余弦值；19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且求角B的大小；若，D为AC边上的一点，，且____，求的面积．①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．20. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与x轴交于N，与C交于M，且求抛物线C的方程；设A、B是C上两点，其横坐标之和为，且M在以AB为直径的圆上，求直线AB的方程．21. 已知函数若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；当时，证明：22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为：以过原点的直线的倾角为参数，求曲线C的参数方程；设曲线C上任一点为，求的取值范围．23. 已知函数解不等式；若正数a，b，c满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，，则故选：求出集合A，B，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：对于A，定义域为且不关于原点对称，不为偶函数，故A错误；对于B，，为偶函数，且时，单调递增，故B正确；对于C，为偶函数，但在上单调递减，故C错误；对于D，，为偶函数，当时，单调递减，故D错误．故选：求得的定义域不关于原点对称可判断A；由含绝对值的函数的奇偶性和单调性可判断B；由二次函数的单调性和奇偶性可判断C；由指数函数的单调性和奇偶性的定义可判断本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：设乌龟每次爬行的距离为等比数列，公比为q且，，所以乌龟爬行的总距离为故选：根据题意是一个等比数列模型，本题主要考查了等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力．4.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，由图可知，z的最大值为故选：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由图象得：，故，，故，将点代入的解析式得：，解得：，故，故，故选：由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：甲单独被分到A村的事件数为：，四人分配到三个村的事件数为：，所以甲单独分到A村的概率为：，故选：根据概率古典概率计算公式，即可解出．本题考查了古典概型的概率计算，学生的数学运算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质及基本不等式的成立条件的判断，属于基础试题．结合不等式的性质及基本不等式的成立条件对各选项进行检验即可判断．【解答】解：因为，所以，A不成立；当时，，B不一定成立；因为，所以，故，当时等号成立，C 不一定成立；因为，所以，即，D一定成立．故选8.【答案】C【解析】解：根据题意，，则，①，，变形可得，②联立①②可得：，，则有，故选：根据题意，运用特殊值法以及函数奇偶性的性质可得关于、的关系式，解可得、的值，计算可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：设等边的边长为m，则其周长为3m，由椭圆的定义知，，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，，即，化简得，所以离心率故选：设等边的边长为m，通过的周长，结合椭圆的定义，推出，进而知，再在中，利用余弦定理，即可得解．本题考查椭圆的定义与几何性质，还涉及余弦定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则在事件A发生的条件下，事件B发生对应区域为圆在内部部分，圆的半径为2，则和的面积相等，都等于，对应圆弧面积，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，故选：作出不等式组对应的平面区域，求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域的面积，利用面积关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．11.【答案】A【解析】解：如图，直三棱柱中，，可得，则为等腰直角三角形，分别取BC、的中点D、，连接，则的中点O为三棱柱的外接球的球心，可得外接球的半径，三棱柱的外接球体积等于故选：由题意画出图形，分别取BC、的中点D、，连接，则的中点O为三棱柱的外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的体积公式得答案．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】D【解析】解：因为可，，，，，，，，，，；下面比较x，y的大小令，，当时，，在上单调递增，时，，即，一定有，，①，又，①式可化为，令，则，当时，，在上单调递增，，，，，综上：故选：由选项确定比较x，y，z三个字母的大小，题干中只有两个等式及，所以先考虑到将等式变形，确定除，；在比较x与y的大小，构造出x，y的一个不等式，然后利用函数的单调性求解．本题利用函数的单调性比大小，对于等式特定形式可根据相同字母放在同侧进行构造函数，对于和是常见形式．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的模的运算，属于基础题．根据向量的模的公式列式计算即可．【解答】解：故答案为：14.【答案】【解析】解：设M，N是双曲线实轴的两个端点，设，则，，所以，又Q在双曲线上，可得，所以，可得所以，双曲线的渐近线方程为：故答案为：设出Q坐标，求出、的正切函数值，然后结合点在双曲线上，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】【解析】解：，由正弦定理得，，，解得，，由余弦定理得，故答案为：由正弦定理得，，再由余弦定理求解即可．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，每个正方形4条边，每个三角形3条边，，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有条棱．三角形和四边形的边长都是，所以正方形总面积为，三角形总面积为，表面积，故答案为：24，由每个正方形4条边，每个三角形3条边，再考虑到每条边对应两个面，由此可得多面体的棱．分别由三角形和四边形的面积公式求得多面体的表面积．本题主要考查几何体的表面积，属于中档题．17.【答案】解：由题意，可知，，，，整理，得，①又，，、、成等比数列，，即，整理，得，，，②联立①②，可得，解得，，由，可得，则，故【解析】先根据题意写出、、、的表达式，再根据题干已知条件列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可计算出等差数列的通项公式；先根据第题的结果计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前n项和本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】证明：，，为棱的中点，平面ABC，，平面ABC，即平面，又平面，平面平面，又平面平面，平面，平面，平面，；解：以C为原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，平面ABC，，，，、平面，平面，平面的一个法向量为，，由图可知，平面与平面所成角为锐角，故二面角的余弦值为【解析】由平面ABC，可推出平面，进而得平面平面，易知，再由面面垂直的性质定理可证得平面，故；以C为原点，以CA、CB、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出A、B、D、、E的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量；可证得平面，故平面的一个法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的性质定理，以及利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：由正弦定理知，，，代入上式得，，，，，若选①：由BD平分得，，，即在中，由余弦定理得，又，，联立得，解得舍去，若选②：由题意可得，两边平方可得，可得，可得，在中，由余弦定理得，即，联立可得，【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可求，结合范围，可求B的值．若选①：利用角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可求，利用余弦定理可得，联立方程解得ac的值，利用三角形的面积公式即可求解；若选②：由三角形中线的性质可得，两边平方化简可求，在中，由余弦定理得，联立方程可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，角平分线的性质，三角形的面积公式，余弦定理，三角形中线的性质在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：设，因为点M在抛物线上，所以，所以，所以，，由，所以，所以，所以，因为，所以，所以抛物线的方程为由可得，设，，则，所以，设直线AB的方程为，联立，得，所以，即，，，所以，因为点M在以AB为直径的圆上，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或舍所以直线AB的方程为【解析】设，代入抛物线的方程，解得，由，得，解得p，即可得出答案．由可得，设，，则，进而可得，设直线AB的方程为，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，，由点M在以AB为直径的圆上，得，解得m，即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：当时，，则可化为，设，则，函数在上递减，在上递增，，实数a的取值范围为；证明：令，则，①当时，，此时；②当时，由知，当时，，即；③当时，；综上所述，当时，，即得证．【解析】依题意，在上恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可得出答案；令，然后分及讨论即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的证明及不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的方程为：，，以为圆心，为半径，且过原点的圆，设过原点的直线交曲线C的另一点于N，设，则，由已知条件可知，以过原点的直线的倾角为参数，则，且，故圆的参数方程为为参数，且为曲线上任一点，，，，，，故的取值范围为【解析】根据已知条件，结合参数方程和普通方程之间的关系，即可求解．将转化为参数形式，再结合三角函数的恒等变换公式，以及有界性，即可求解．本题主要考查圆的参数方程，需要学生较强的转化能力，属于中档题．23.【答案】解：，，或或，或或，，原不等式的解集为；，且a，b，c为正数，，当且仅当，，，即时，取得等号，故的最小值为【解析】分段去掉绝对值，再解不等式组求并即可得解；由，将被开方数里面的等式乘以，再打开利用均值不等式即可证明；本题考查绝对值不等式的解法，均值不等式的应用，属中档题．。
吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题
吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题一、单选题1．已知复数(12i)(1i)=+-z ，则||z =（ ）A B ．10C D ．22．下列命题为真命题的是（ ）A ．命题“21,230x x x ∃>++=”的否定是“21,230x x x ∀≤++≠”B ．若a b >，则22ac bc >C ．()1f x x=的单调减区间为()(),00-∞+∞U D ．220x x +->是1x >的必要不充分条件3．已知向量a r ，b r的夹角为150°，且2a =r ，2b =r ，则a b =r （ ）A．1B ．2C ．2D ．4．如图，在圆222x y r +=（0r >）上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（ ）A B C ．12D ．235．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱14AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的四等分点处，14CE CA =，当底面ABC 水平放置时，液面高为（ ）A ．3B ．154 C ．52D ．1586．平均数､中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是（ ） A ．如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多 B ．与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息C ．对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数D ．如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数 7．已知()124(1)x f x x a -=+-+有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-8．设函数()()sin f x x a ax =-，若存在0x 使得0x 既是()f x 的零点，也是()f x 的极值点，则a 的可能取值为（ ）A ．0BC ．πD ．2π二、多选题9．（多选）下列四种变换，其中能使sin y x =的图象变为πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的是（ ）A ．向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的12B ．向左平移π8个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的12C ．各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π4个单位长度D ．各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8个单位长度10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，C 上一点P 到F 和到y 轴的距离分别为12和10，且点P 位于第一象限，以线段PF 为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是（ ）A ．4p =B ．C 的准线方程为=2y -C ．圆Ω的标准方程为22(6)(36x y -+-=D ．若过点，且与直线(OP O 为坐标原点）平行的直线l 与圆Ω相交于A ，B 两点，则||AB =11．已知1x 是函数 ()()30f x x mx n m =++<的极值点，若()()()2112f x f x x x =≠，则下列结论 正确的是（ ）A ．()f x 的对称中心为()0,nB ．()()11f x f x ->C ．1220x x +=D ．120x x +>三、填空题12．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则15S =． 13．在ABC V 中，若tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos C 的值是．14．给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X ，则()3P X ==.四、解答题15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B ；（2）若b =ABC V 的面积为ABC V 的周长.16．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点.(1)求证：平面PAC ⊥平面BDE ；(2)当E 为PC 的一个三等分点，即3PC PE =时，求四面体PBDE 的体积； (3)当E 为PC 中点时，求平面ABE 与平面BDE 夹角的大小. 17．已知函数()()()11ln R f x ax a x a x=--+∈.(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程； (2)若()f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围.18．在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p ，乙发球时甲得分的概率为25，各球的结果相互独立．已知在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束，且()122P X ==． (1)求p 的值；(2)求再打2个球甲新增的得分Y 的分布列和均值；(3)记事件“2X n =，*n ∈N 且甲获胜”的概率为()n P A ，求()n P A ．19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为12l y x =：和22l y x =-：，右焦点坐标为，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设M ，N 是双曲线C 上不同的两点，Q 是MN 的中点，直线MN 、OQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(3)直线y =4x -6与双曲线的右支交于点11,A B （1A 在1B 的上方），过点11,A B 分别作21,l l 的平行线，交于点P 1，过点P 1且斜率为4的直线与双曲线交于点22,A B （2A 在2B 的上方），再过点22,A B 分别作21,l l 的平行线，交于点2P ，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点12,,,,3,N*n P P P n n ≥∈L ．证明：12,,,n P P P L 共线．。
吉林省实验中学2015届高三上学期第二次模拟考试物理试题 Word版缺答案
吉林省实验中学2015届高三上学期第二次模拟考试理科综合试题二、选择题:本题共8小题，每小题6分.在每小题给出的四个选项中，第14-18题只有一项符合题目要求，第19、20、21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14. 两人的拔河比赛正在进行中，两人均保持恒定拉力且不松手，而脚下开始移动。
下列说法正确的是（）A.两人对绳的拉力大小相等，方向相反。
是一对作用力和反作用力B .两人对绳的拉力是一对平衡力C.拔河的胜利取决于谁的力量大D.拔河的胜利取决于地面对人的摩擦力大小15. 将一个小球斜向上抛出，小球在空中依次飞过三个完全相同的窗户1、2、3.图中曲线为小球在空中运动的轨迹．若不计空气阻力的影响，以下说法正确的是（）A．小球通过第1个窗户所用的时间最长B．小球通过第1个窗户重力做的功最大C．小球通过第3个窗户重力的平均功率最小D．小球通过第3个窗户的平均速度最大16. 如图所示, 固定在水平地面上的倾角为θ的粗糙斜面上, 有一根水平放在斜面上的导体棒,通有垂直纸面向外的电流，导体棒保持静止.现在空间中加上竖直向下的匀强磁场,导体棒仍静止不动, 则（）A.导体棒受到的合力一定增大B.导体棒一定受4个力的作用C.导体棒对斜面的压力一定增大D.导体棒所受的摩擦力一定增大17.如图所示，质量为10kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为5N时，物体A和小车均处于静止状态．若小车以1m/s2的加速度向右运动后，则（g=10m/s2）A．物体A相对小车向左运动B．物体A受到的摩擦力减小C．物体A受到的摩擦力大小不变D ．物体A 受到的弹簧拉力增大18.如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在水平升降台上，升降平台以速度v 匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为θ时，棒的角速度为（ ）A.L v θsinB. θcos L vC.L v θcosD. θsin L v19.如图甲所示，在x 轴上有一个点电荷Q （图中未画出），O 、A 、B 为轴上三点。
【解析】吉林省实验中学2014届高三第一次模拟考试数学(理)试题
【解析】吉林省实验中学2014届高三第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{1,2},{,},a A B a b ==若⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋂21B A ,则AB 为.( )A ．1{,1,}2bB ．1{1,}2-C ．1{1,}2D ．1{1,,1}2- 【答案】D【 解析】因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋂21B A ，所以12,12aa ==-即，所以12b =，所以111,,,122A B ⎧⎫⎧⎫==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以A B =1{1,,1}2-。
2．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ． 1- C ．1D ．3【答案】D 【 解析】()()()103103333i a a a i i i i +-=-=----+，因为其为纯虚数，所以a 的值为3. 3. 设γβα,,为平面，n m ,为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ） A ．n m n ⊥=⋂⊥,,βαβα Ｂ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,m Ｃ．αγββα⊥⊥⊥m ,, Ｄ．αβα⊥⊥⊥m n n ,, 【答案】D【 解析】对于选项D ：因为,n m αα⊥⊥，所以//m n ，又因为,n β⊥所以β⊥m 。
4．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【 解析】第一次循环：11,cos32n n S S π==+=，满足条件，继续循环；第二次循环：112,cos0322n n S S π==+=-=，满足条件，继续循环； 第三次循环：113,cos11322n n S S π==+=--=-，满足条件，继续循环； 第四次循环：34,cos32n n S S π==+=-，满足条件，继续循环；第五次循环：5,cos13n n S S π==+=-，满足条件，继续循环； 第六次循环：6,cos03n n S S π==+=，满足条件，继续循环； 第七次循环：17,cos32n n S S π==+=，满足条件，继续循环； 第八次循环：8,cos03n n S S π==+=，满足条件，继续循环；……由此看出输出的S 的值以6为周期进行循环，所以当n=2013时，输出的S 的值为-1.5．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【 解析】因为sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，所以sin()sin A B C -=，因为A,B,C 为三角形的内角，所以A-B=C,所以A=900，所以三角形ABC 为直角三角形。
2013届吉林省实验中学高三下学期二模理综卷(2013.04)
吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试理科综合能力试题命题人：刘宗海、段红星、高聆本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂；非选择题答案使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持答题卡清洁，不折叠，不破损。
第I卷（选择题，共21小题，每小题6分，共126分）可能用到的相对原子质量：N－14 O－16 Na－23 Cl－35.5一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．免疫性不孕(存在抗精子抗体、抗子宫内膜抗体等)是临床上常见的不孕类型。
医学研究表明，人的角膜、大脑、软骨、妊娠的子宫等都能容忍外来的抗原蛋白而不产生排斥反应，这种现象在医学上称为“免疫赦免”，这些部位称为“免疫赦免区”。
据此判断下列说法正确的是A．移植心脏对于受者来说相当于抗原B．“免疫赦免”现象说明人体的免疫系统存在一定的缺陷C．妊娠子宫的这种“免疫赦免”特性不利于胚胎的正常发育D．可以使用药物提高人体免疫系统的敏感性而获得“免疫赦免”36.鱼被宰杀后，鱼体内的A TP会生成具有鲜味的肌苷酸，但酸性磷酸酶(ACP)会催化肌苷酸分解导致鱼肉鲜味下降。
为了研究鱼类的保鲜方法，研究者从草鱼、鮰鱼和鳝鱼中分离得到ACP，并对该酶活性进行了系列研究，相关实验结果如下。
下列有关叙述正确的是ACP在不同浓度金属离子中的相对酶活性A．不同鱼类的ACP活性都会随着温度的上升而增大B．将宰杀后的鮰鱼放到37℃左右的环境中一段时间能保持其鲜味C．将宰杀后的草鱼放到适宜浓度的Ca2+溶液中鲜味下降的速度会减慢D．Zn2+能使这三种鱼的鲜味下降速度都减慢进食后时间血液中某激素的含量自交代数某矿质元素的浓度a b c植物生长速率甲乙丙丁3．下列有关细胞和生物体的描述，正确的是A．醋酸洋红染液能将洋葱根尖细胞染色体染色，体现了细胞膜的选择透过性B．细胞膜的组成成分膜磷脂、膜蛋白都与突触兴奋的传递有关C．同种鸟类间可通过鸣叫传递信息，说明鸟类高级神经中枢具有语言功能D．在失重状态下，因生长素不能进行极性运输，水平放置的幼苗根尖失去了向地性4．下列关于甲乙丙丁四图所表达的生物学含义的描述，正确的是A．甲图曲线可表示杂合子植物Aa连续自交若干代，后代中显性纯合子所占比例B．乙图中，土壤中的某矿质元素浓度分别为a、b、c时，在b浓度时施用该元素的肥料最有利于植物生长C．丙图表示的某激素很可能是胰高血糖素D．丁图横轴为氧分压，纵轴为水稻根细胞对硅的吸收速率，在c点时中耕松土，k值将不改变5．由于基因中一个碱基对的改变，细胞中有一种蛋白质在赖氨酸残基（位置）上发生了变化。
吉林省实验中学2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
吉林省试验中学2021届高三班级其次次模拟考试 数学学科(理科)【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面对量、立体几何、导数的应用、直线与圆、圆锥曲线、复数、集合、几何证明、参数方程极坐标、确定值不等式等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1.已知全集U=R ，{}20M x x x =->，1N 0x x x ⎧-⎫=<⎨⎬⎩⎭，则有( ) A.M N R = B.MN =∅ C.U C N M = D.U C N N ⊆【学问点】集合的运算A1 【答案】【解析】B解析：由于{}{}200M x x x x x =->=<>1或x ，{}1N=001x x x x x -⎧⎫<=<<⎨⎬⎩⎭，所以MN =∅,则选B.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行运算. 【题文】2.若复数z 满足(3-4i)z=43i+，则z 的虚部为( )A.-4 C.45-B.4 D.45【学问点】复数的运算L4 【答案】【解析】D解析：由于(3-4i)z=43i+=5，所以5343455z ii ==+-，则z 的虚部为45，所以选D.【思路点拨】可利用复数的运算法则直接计算出复数z ，再推断其虚部即可. 【题文】3． "等式sin()sin 2αγβ+=成立"是",,αβγ成等差数列 "的( )条件 A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分必要D.既不充分又不必要 【学问点】等差数列 充分、必要条件A2 D2 【答案】【解析】B解析： 明显当α＋γ=6π，2β=56π时，等式sin()sin 2αγβ+=成立，但α，β，γ不成等差数列，所以充分性不满足，若α，β，γ成等差数列，则α＋γ=2β，明显等式sin()sin 2αγβ+=成立，所以必要性满足，则选B.【思路点拨】推断充分必要条件时，应先分清命题的条件与结论，由条件能推出结论，则充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】4 函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()(),66f x f x ππ+=-则()6f π等于( ) A 2或0 B 2-或2 C 0 D 2-或0【学问点】三角函数的图象C3 【答案】【解析】B解析：由于函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()(),66f x f x ππ+=-所以该函数图象关于直线6x π=对称，由于在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.【思路点拨】抓住正弦曲线在对称轴位置对应的函数值是函数的最大值或最小值是本题的关键. 【题文】5．若当R x ∈时，函数()xa x f =始终满足()10<<x f ，则函数xy a1log =的图象大致为（ ）【学问点】指数函数与对数函数的图象B6 B7【答案】【解析】B解析： 由于当R x ∈时，函数()xa x f =始终满足()10<<x f .，所以0＜a ＜1，则当x ＞0时，函数1log log aa y x x ==-,明显此时单调函数单调递增，则选B.【思路点拨】推断函数的图象，通常结合函数的单调性、奇偶性、定义域、值域等特征进行推断.【题文】6．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则( )A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b << 【学问点】奇函数 对数函数的性质B4 B7 【答案】【解析】D解析：由于6445311lg ,lg 25554222a f f fb f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-===-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51lg 222c f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以c ＜a ＜b ，则选D.【思路点拨】利用函数的周期性及奇偶性把所给的函数值转化到已知区间代入已知函数解析式，即可比较大小. 【题文】7．一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( )A ．3a B ．33aC ．36a D ．356a【学问点】三视图G2 【答案】【解析】D解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为3331566a a a -=，则选D. 【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是推断原几何体外形，可在生疏的几何体的三视图基础上进行解答.【题文】8.已知a ，b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c 的最大值是 ( )A.1B.2C.2D.22【学问点】向量的数量积F3 【答案】【解析】C 解析：由于1,0a b a b ==•=，()()()22cos 0a cbc c a b c c a b c θ-•-=-•++=-++=，所以cos 2cos 2c a b θθ=+=≤，所以c 的最大值是2，则选C.【思路点拨】利用向量的数量积的运算，把所求向量转化为夹角的三角函数再求最值，本题还可以建立直角坐标系，利用坐标运算进行解答. 【题文】9.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A. 1-B.13- C.13D.1 【学问点】定积分B13 【答案】【解析】B解析：由于()10f x dx⎰为常数，且()()()()111310112233f x dx x f x dx x f x dx⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，解得()113f x dx =-⎰，所以选B.【思路点拨】理解()1f x dx ⎰是常数是本题的关键，即可利用公式求定积分并进行解答.【题文】10．数列{}n a 是正项等比数列，{}n b 是等差数列，且67a b =，则有 ( ) A ．39410a a b b +≤+ B ．39410a a b b +≥+ C ．39410a a b b +≠+ D ．39a a +与410b b +大小不确定【学问点】等差数列 等比数列D2 D3 【答案】【解析】B解析：∵a n =a 1q n-1，b n =b 1+（n-1）d ，a 6=b 7 ，∴a 1q 5=b 1+6d ，a 3+a 9=a 1q 2+a 1q 8 ，b 4+b 10=2（b 1+6d ）=2b 7=2a 6，a 3+a 9-2a 6=a 1q 2+a 1q 8－2a 1q 5=a 1q 8－a 1q 5－（a 1q 5－a 1q 2）=a 1q 2（q 3-1）2≥0，所以 a 3+a 9≥b 4+b 10，故选B.【思路点拨】先依据等比数列、等差数列的通项公式表示出a 6、b 7，然后表示出a 3+a 9和b 4+b 10，然后二者作差比较即可.【题文】11.设()32f x x bx cx d =+++，又K 是一个常数。
吉林省长春实验中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
吉林省长春实验中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+2．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．183．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） AB ．35C ．79D5．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A．BC． D6．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eBCD ．21e8．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A ．3B ．22C ．32 D ．349．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（ ）A ．0B ．5C ．7D ．1310．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e11．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ） A ．1B ．-1C ．2D ．-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省实验中学2013届高三上学期一模数学理试题_Word版含答案
吉林省实验中学2013届高三一模数学（理）试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ＝{}x |－1≤2x ＋1≤3，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x －2x ≤0，则A B ＝ （ ）A ．{}x |－1≤x ＜0B ．{}x |0＜x ≤1C ．{}x |0≤x ≤2D ．{}x |0≤x ≤12．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知命题p ：∀x ∈R ，x ＞sin x ，则 （ ） A ．┐p ：∃x ∈R ，x ＜sin x B ．┐p ：∀x ∈R ，x ≤sin x C ．┐p ：∂x ∈R ，x ≤sin x D ．┐p ：∀x ∈R ，x ＜sin x 4．已知log 7[log 3（log 2x ）]＝0，那么12-x 等于 （ ）A ．13B ．36 C ．24 D ．335．给定函数①12=y x ，②12log 1=()y x +，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 6．下列函数中，值域为（0，＋∞）的是 （ ）A ．y ＝x 2－x ＋1 B ．y ＝x ＋1x（x ＞0） C ．y ＝e sin xD ．y ＝231-()x +7．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 （ ）A ．112B ．14C ．13D ．7128．设曲线y ＝x 2＋1在其任一点（x ，y ）处切线斜率为g （x ），则函数y ＝g （x ）cos x 的部分图象可以为 （ ）9．已知函数122()2()log ()log x f x x g x x x h x x =+=-=，，123,,x x x ，则123,,x x x 的大小关系为 （ ）A ．123x x x >>B ．213x x x >>C ．132x x x >>D ．321x x x >>10．函数()f x 在定义域R 上不是常数函数，且()f x 满足条件：对任意的x ∈R ，都有(2)(2)(1)()f x f x f x f x +=-+=-，，则()f x 是 （ ） A ．奇函数但非偶函数 B ．偶函数但非奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 11．设函数f （x ）的定义域是R ，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时， f （x ）＝ln x －x ，则有 （ ） A ．132323()()()f f f <<B ．231323()()()f f f <<C ．213332()()()f f f <<D ．321233()()()f f f <<12．已知函数f （x ）是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝x 2，如果直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝f （x ）恰有两个不同的交点，则实数a 的值为 （ ） A ．2k （k ∈Z ） B ．2k 或2k ＋14 （k ∈Z ）C ．0D ．2k 或2k －14（k ∈Z ）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
吉林省实验中学高三数学模拟试卷(理科)
吉林省实验中学高三数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2008•天津）把函数y=sinx （x ∈R ）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函．，，C，，的图象向左平行移动个单位得到）再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2x+3．（5分）命题甲：p 是q 的充分条件；命题乙：p 是q 的充分必要条件，则命题甲是命题4．（5分）（2012•增城市模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则5．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且，若f（x）在[﹣上的单调性，再由可得出函数的由题意故有2t﹣27．（5分）已知数列{a n}中，且{a n}单调递增，则k的取值范围是8．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，．．．cosC=9．（5分）（2011•江西）已知数列{a n}的前n项和s n满足：s n+s m=s n+m，且a1=1，那么a10=10．（5分）如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（））和）=ln+1+a）的零点所在的区间是（，11．（5分）（2013•锦州二模）已知正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）．．．使得，由此能求出∴，使得∴，∴∴∴（[（+）（5+2，所以，．）时，x=＞＞二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2008•徐汇区二模）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=﹣6．14．（5分）（2012•荆州模拟）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=﹣5x+sinx，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为（1，）．解得：故答案为：15．（5分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n）．则m=﹣1，n=1．16．（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→P（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．（，（（OX=线长度为故答案为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=，（1）求A+B的值；（2）若a﹣b=，求a、b、c的值．sinA=sinB=，利用余弦定理sinA=sinB=cosA=cosB=sinAsinB=•=．sinA=sinB==得：=b=a=﹣=×（﹣，18．（12分）已知函数，．（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．）[，]﹣[ ]（﹣cos2x﹣[，]∴≤≤，）[，]19．（12分）（2007•陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣D的大小．，．∴，∴得，∴的大小为20．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和S n，求使得S n＞21﹣2n成立的最小整数n．）证明：时，也满足从而可得21．（12分）（2012•怀化二模）设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2，且x2=a，g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1），求证：．从而，可得，利用配方法即可∴∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得∵，∴∴∴═3a22．（12分）已知S n=1+++…+，（n∈N*），设f （n）=S2n+1﹣S n+1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式恒成立．恒成立．所以只要++（恒成立．所以只要＞，得＞高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。
吉林省实验中学2015届高三上学期第二次模拟考试生物试题 Word版含答案
吉林省实验中学2015届高三上学期第二次模拟考试理科综合试题1.下列关于生物进化的叙述，错误的是（）A．生物的种间竞争是一种选择过程B．化石是研究生物进化的重要依据C．外来物种入侵能改变生物进化的速度和方向D．突变的可遗传性阻碍生物进化2.下列与变异有关的叙述，正确的是( )A．三倍体西瓜不能形成正常的配子，是因为秋水仙素抑制纺锤体的形成B．子代的性状分离是基因突变的结果C．DNA连接酶和限制性核酸内切酶是构建重组DNA必需的工具酶D．改良缺乏某种抗病性的水稻品种常采用单倍体育种3.下列关于物质X跨膜运输的描述，不正确的是（）A．如果X跨膜运输的方式是自由扩散，则在一定范围内，其运输速率与物质浓度成正比B．如果X是葡萄糖，则在顺浓度梯度的情况下可通过协助扩散进入细胞C．如果X（氧气除外）跨膜运输的方式是被动运输，则其运输速率与氧气浓度无关D．如果X是脂溶性的物质，其跨膜运输的方式一般均为主动运输4.为探究物质P抑制癌细胞增殖的效应，研究人员使用不同浓度的物质P处理人的离体肝癌细胞，实验结果如图所示。
理论上分析，下列相关叙述正确的是（）A．随着物质P浓度增加，促进肿瘤细胞凋亡的作用越明显，但与处理时间无关B．随着物质P处理时间的延长，抑制癌细胞增殖的作用越明显，但与浓度无关C．物质P对肿瘤细胞的作用机制，可能与调控细胞凋亡相关基因的表达有关D．通过本实验可以得出结论，物质P抑制癌细胞增殖的最适浓度为1．00g/L5.下列关于对“以32P标记T2噬菌体侵染大肠杆菌”实验的分析中，正确的是（）A．本实验使用的生物材料还应该有不含32P的大肠杆菌B．噬菌体培养时间、温度等是本实验的自变量C．本实验预期的最可能结果是上清液的放射性强，而沉淀物中放射性弱D．该实验可以证明DNA是噬菌体的遗传物质第II卷三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。
第22—32题为必考题，每个试题考生都做答；第33题—39题为选考题，考生根据要求作答。
东北三省三校(哈师大附中)2018-2019学年高三第二次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案
东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018-2019学年高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，则复数ii437++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合}02|{2<--=x x x A ，集合}41|{<<=x x B ，则=B A Y （ ） A ．}21|{<<x x B ．}41|{<<-x x C ．}11|{<<-x x D ．}42|{<<x x3．等比数列}{n a 中，23-=a ，811-=a ，则=7a （ ） A ．4- B ．4 C ．4± D ．5- 4．已知向量)1,1(=a ，)2,1(-=b ，若)2//()(b t a b a +-，则=t （ ）A ．0B ．21C ．2-D ．3- 5．执行如下的程序框图，若输出T 的值为1225，则“？”处可填（ ）A ．6<nB ．5<nC ．4<nD ．3<n6．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A ．240 B ．480 C ．720 D ．960 7．函数11)(+-+=x x e x f x的部分图象大致是（ ）8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A ．338π B ．π8 C ．π6 D ．334π9．21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过1F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于B A ,两点，若12=，则双曲线的离心率为（ ） A.25B. 5C.310D. 10 10．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若βα⊥，α⊥m ，则β//m B ．若α//m ,α⊂n ,则n m // C ．若m =βαI ，α//n ,β//n ，则n m //D ．若βα⊥，且m =βαI ，点α∈A ，直线m AB ⊥，则β⊥AB11．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（ ）A ．甲和乙不可能同时获奖B ．丙和丁不可能同时获奖C ．乙和丁不可能同时获奖D ．丁和甲不可能同时获奖 12．已知当),1(+∞∈x 时，关于x 的方程1)2(ln -=-+kxk x x 有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A ．)4,3(B ．)5,4(C ．)6,5(D ．)7,6( 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设随机变量)21,6(~B X ，则==)3(X P .14．已知递增的等差数列}{n a 的前三项和为6-，前三项积为10，则前10项和=10S .15．函数43cos 3)3sin(cos )(2+-+=x x x x f π在闭区间]4,4[ππ-上的最小值是 .16．设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点)0,3(M 的直线与抛物线相交于B A ,两点，与抛物线的准线相交于点C ，2||=BF ，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比=∆∆ACFBCFS S . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若)sin (sin )sin )(sin (B A b C A c a -=+-.（1）求角C ；（2）若ABC ∆的外接圆半径为2，求ABC ∆周长的最大值.18．经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：xb y a xn x yx n yx bn i i ni ii ˆˆ,ˆ1221-=⋅-⋅⋅-=∑∑==，∑==81217232i i x ，∑==8147384i ii y x（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=；（b aˆ,ˆ的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？19．如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面为菱形，0120=∠BAD ，2=AB ，F E ,为1,AA CD 中点.（1）求证：//DF 平面AE B 1；（2）若⊥1AA 底面ABCD ，且直线1AD 与平面AE B 1所成线面角的正弦值为43，求1AA 的长.20．椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，若椭圆过点)23,1(. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B A ,为椭圆的左、右顶点，),(00y x P （00≠y ）为椭圆上一动点，设直线BP AP ,分别交直线l ：6=x 于点N M ,，判断线段MN 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.21．已知函数1ln )(--=x a x x f ，曲线)(x f y =在)0,1(处的切线经过点)0,(e . （1）证明：0)(≥x f ；（2）若当),1[+∞∈x 时，xp x x f ln )(ln )1(2+≥，求p 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （θ为参数），曲线2C ：1222=+y x .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系.（1）求曲线21,C C 的极坐标方程；（2）射线3πθ=（0>ρ）与曲线1C 的异于极点的交点为A ，与曲线2C 的交点为B ，求||AB .23．选修4-5：不等式选讲 设函数|12|)(-=x x f .（1）设5)1()(<++x f x f 的解集为集合A ，求集合A ；（2）已知m 为集合A 中的最大自然数，且m c b a =++（其中c b a ,,为正实数），设ccb b a a M -⋅-⋅-=111.求证：8≥M .理科数学答案一、选择题二、填空题 13.165 14. 85 15.21- 16. 54 三、解答题17．（1）由正弦定理得)())((b a b c a c a -=+-，∴222b abc a -=-，∴212222=-+ab c b a ，即21cos =C 因为π<<C 0，则3π=C .（2）由正弦定理4sin sin sin 2====AaB bC c r ∴A a sin 4=，B b sin 4=，32sin 4==C c ， ∴周长c b a l ++=32sin 4sin 4++=B A32)32sin(4sin 4+-+=A A π32sin 214cos 234sin 4+⨯+⨯+=A A A 32cos 32sin 6++=A A32)6sin(34++=πA∵)32,0(π∈A ，∴)65,6(6πππ∈+A ∴当26ππ=+A 即3π=A 时363234max =+=l∴当3π==B A 时，ABC ∆周长的最大值为36.18. (1)（2）4586258524842383228=+++++++=x1298147140135129127122118114=+++++++=y∴91.012911845817232129458473848ˆ2812281≈=⨯-⨯⨯-=⋅-⋅⋅-=∑∑==i ii ii xxy x n yx b05.884591.0129ˆˆ=⨯-=-=x b y a∴回归直线方程为05.8891.0ˆ+=x y. （3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为75.15105.887091.0=+⨯（mmHg ）∵19.175.151180≈∴收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群. 19.（1）证明：设G 为1AB 的中点，连GF EG , 因为FG1121B A ，又DE 1121B A ，所以FG DE ，所以四边形DEGF 是平行四边形， 所以EG DF //又⊄DF 平面AE B 1，⊂EG 平面AE B 1， 所以//DF 平面AE B 1.（2）因为ABCD 是菱形，且060=∠ABD ， 所以ABC ∆是等边三角形 取BC 中点G ，则AD AG ⊥，因为⊥1AA 平面ABCD ， 所以AG AA ⊥1，AD AA ⊥1建立如图的空间直角坐标系，令)0(1>=t t AA ，则)0,0,0(A ，)0,23,23(E ，),1,3(t B -，),2,0(1t D ， )0,23,23(=AE ，),1,3(1t AB -=，),2,0(1t AD =， 设平面AE B 1的一个法向量为),,(z y x n =， 则0)3(23=+=⋅y x AE n 且031=+-=⋅tz y x ， 取)4,,3(t t n -=，设直线1AD 与平面AE B 1所成角为θ， 则43)4(26||||sin 211=+=⋅=t t AD n θ，解得2=t ，故线段1AA 的长为2. 20.(1)由已知1=c ， ∴122+=b a ① ∵椭圆过点)23,1(，∴149122=+b a ② 联立①②得42=a ，32=b∴椭圆方程为13422=+y x（2）设),(00y x P ，已知)0,2(),0,2(B A - ∵00≠y ，∴20±≠x ∴BP AP ,都有斜率 ∴2,20000-=+=x y k x y k BP AP ∴4202-=⋅x y k k BPAP ③ ∵1342020=+y x ∴)41(3220x y -=④ 将④代入③得434)41(32020-=--=⋅x x k k BPAP设AP 方程)2(-=x k y ∴BP 方程)2(43--=x k y ∴)3,6(),8,6(kN k M -由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x 轴上，设该定点为)0,(t T 则TM ⊥ ∴0)24()6()3,6()8,6(2=-+-=--⋅-=⋅t k t k t∴24)6(2=-t ，∴626±=t ∴存在定点)0,626(+或)0,626(-以线段MN 为直径的圆恒过该定点.21. （1）曲线)(x f y =在)0,1(处的切线为)1)(1('-=x f y ，即)1)(1(--=x a y 由题意得)1)(1(0--=e a ，解得1=a所以1ln )(--=x x x f 从而xx x x f 111)('-=-= 因为当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，当),1(+∞∈x 时，0)('>x f .所以)(x f 在区间)1,0(上是减函数，区间),1(+∞上是增函数，从而0)1()(=≥f x f .（2）由题意知，当),1[+∞∈x 时，0ln ≠+x p ，所以0>p从而当),1[+∞∈x 时，0ln >+x p ， 由题意知xp x x x ln )(ln 1ln 12+≥-+，即0ln ]1)1[(≥+-+-p px x x p ，其中),1[+∞∈x 设p px x x p x g +-+-=ln ]1)1[()(，其中),1[+∞∈x设)(')(x g x h =，即11)1()(-+-=x x p x h ，其中),1[+∞∈x 则21)1()('xx p x h --=，其中),1[+∞∈x （1）当2≥p 时，因为),1(+∞∈x 时，0)('>x h ，所以)(x h 是增函数从而当),1(+∞∈x 时，0)1()(=>h x h ，所以)(x g 是增函数，从而0)1()(=≥g x g .故当2≥p 时符合题意.（2）当21<<p 时，因为)11,1(-∈p x 时，0)('<x h ， 所以)(x h 在区间)11,1(-p 上是减函数 从而当)11,1(-∈p x 时，0)1()(=<h x h 所以)(x g 在)11,1(-p 上是减函数，从而0)1()11(=<-g p g 故当21<<p 时不符合题意.（3）当10≤<p 时，因为),1(+∞∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 是减函数 从而当),1(+∞∈x 时，0)1()(=<h x h所以)(x g 是减函数，从而0)1()2(=<g g故当10≤<p 时不符合题意综上p 的取值范围是),2[+∞.22. （1）曲线1C 的参数方程⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （θ为参数） 可化为普通方程1)1(22=-+y x ，由⎩⎨⎧==θρθρcos sin x y ，可得曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=， 曲线2C 的极坐标方程为2)cos 1(22=+θρ.（2）射线3πθ=（0>ρ）与曲线1C 的交点A 的极径为33sin21==πρ， 射线3πθ=（0>ρ）与曲线2C 的交点B 的极径满足2)3cos 1(222=+πρ，解得51022=ρ， 所以51023||||21-=-=ρρAB . 23．（1）5)1()(<++x f x f 即5|12||12|<++-x x当21-<x 时，不等式化为51221<---x x ，∴2145-<<-x ； 当2121≤≤-x 时，不等式化为51221<++-x x ，不等式恒成立； 当21>x 时，不等式化为51212<++-x x ，∴4521<<x . 综上，集合}4545|{<<-=x x A . （2）由（1）知1=m ，则1=++c b a . 则a bc a c b a a 21≥+=-，同理c ab c c b ac b b 21,21≥-≥-，则 8222111=⋅⋅≥-⋅-⋅-a bc b ac c ab c c b b a a ，即8≥M .。
吉林省实验中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题含答案
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
切线 与圆切于点 ，圆内有一点 满足 ， 的平分线 交圆于 ， ，延长 交圆于 ，延长 交圆于 ，连接 ．
（1）证明： // ；
（2）求证： ．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，已知点 的直角坐标
为（1，－5），点 的极坐标为（4， ），若直线 过点 ，且倾斜角为 ，
圆 以 为圆心，4为半径.
（1）求直线 的参数方程和圆 的极坐标方程；
（2）试判定直线 与圆 的位置关系.
吉林省实验中学2015届高三上学期第二次模拟考试
数学（文）试题
2. 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点到原点的距离为（）
A. B. C. 1D.
3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
4.若实数 ， 满足线性约束条件 ，则 的最大值为（）
A.0 B.4 C.5 D.7
，则 _______
16.给出下列四个命题：
①若 ，且 则 ；
②设 ，命题“若 ”的否命题是真命题；
③函数 的一条对称轴是直线 ；
④若定义在 上的函数 是奇函数，则对定义域内的任意 必有 .
其中，所有正确命题的序号是
三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
当x＋＝，即x＝π时，sin＝ ，g(x)取得最小值 1
19.（本小题满分12分）
吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试理综试题
吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试理科综合试题命题人：刘宗海段宏星高聆审题人：王海全白晓明林闯本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共16页。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂；非选择题答案使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持答题卡清洁，不折叠，不破损。
第I卷（选择题，共21小题，每小题6分，共126分）可能用到的相对原子质量为：H-1 C-12 O-16 Na-23 Ba-137一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．研究发现，某些植物在秋冬受低温袭击时，呼吸速率先升高后降低；持续的冻害使根生长迟缓，吸收能力下降，但细胞内可溶性糖的含量有明显的提高。
下列推断不合理的是() A．冻害初期呼吸作用增强，放出的热量有利于抵御寒冷B．低温持续使淀粉合成酶活性减弱，影响可溶性糖合成淀粉C．持续低温使细胞内结合水含量降低，自由水含量增加，以适应低温环境D．低温使细胞呼吸减弱，限制根细胞吸收矿质营养，导致吸收能力下降2.下图曲线表示农田中，Ⅰ：昼夜温度变化；Ⅱ：光照强度；Ⅲ：植物吸收CO2的变化，请判断下列说法中不正确的是()A．在Ⅲ曲线与时间轴交点c和e时，光合作用吸收CO2和呼吸作用释放CO2量相等B．a点的形成是由夜间的低温造成的C．从时间轴上的c点开始合成有机物，到e点有机物的合成终止D．增大曲线Ⅲ与时间轴所围成的正面积措施包括提高光照强度，CO2浓度和充足的水分供应等3．下列为细胞分裂的几种模式图及其每条染色体的DNA含量在分裂过程中的变化。
则下列叙述正确的是()①甲图最可能为减数第二次分裂中期，每条染色体的DNA含量对应丁图的CD段②乙图是有丝分裂中期，乙图与丙图不可能来自同一种生物③丙图可能是雌配子，每条染色体的DNA含量对应丁图的BC段④乙图中含有2个染色体组，丙图所在的个体为单倍体A．①③B．②④C．①③④D．①②③4．人类的X基因前段存在CGG重复序列。
2022-2023学年吉林省实验中学高三上学期期末数学试题(解析版)
2022－2023学年高三上期末模拟数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344AB AC + B ．2133AB AC +C ．1233AB AC + D ．1233AB AC - 2．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种3．已知a ，b ∈R ，()3i 21i a b a +=--，则3i a b +=（ ）A B ．C ．3D ．44．已知直线()220,0mx ny m n +=>>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若123PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A B ．3 C ．2 D 6．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．BC ．6D ．8．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的．则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．13B ．12C ．1D ．29．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =的所有三个元素的子集记为1B ，2B ，3B ，…，n B ，*n ∈N ，记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b ++++=（ ）A ．45B ．105C ．150D ．21010．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞ 11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要12．已知复数2i1iz =+，则z =（ ） A ．1＋iB ．1－iCD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．（用数字作答）14．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第______天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．15．若x 、y 满足约束条件3236y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z ＝x ＋2y 的最小值为______．16．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O ．若AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝4，则球2O 的表面积为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数()()21f x x a x a =-+-∈R ． （Ⅰ）当a ＝1时，求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若存在x ∈R 满足不等式()4f x <，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知函数()cos xf x x=，()sin cos g x x x x =+． （1）判断函数()g x 在区间()0,2π上的零点的个数；（2）记函数()f x 在区间()0,2π上的两个极值点分别为1x 、2x ，求证：()()120f x f x +<．19．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且22233b a c =-． （1）证明：3cos b c A =⋅； （2）若△ABC 的面积S ＝2，b =C ．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l：1212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB +的值． 21．（12分）已知函数()()2cos f x ax x a =+∈R ． （1）当12a =时，证明()0f x '≥，在[)0,+∞恒成立； （2）若()f x 在x ＝0处取得极大值，求a 的取值范围．22．（10分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，2QF 交于点M ．（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =△△，求点P 的坐标．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 【解析】在AB ，AC 上分别取点E 、F ，使得2AE EB =，12AF FC =， 可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC =+=+，即可得到答案． 【详解】如下图，12BD DC =，在AB ，AC 上分别取点E 、F ，使得2AE EB =，12AF FC =，则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC =+=+，故答案为B ．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．2．B 【解析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数．【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种．如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种．故总的方法数有6＋6＝12种．故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题．3．A 【解析】根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果． 【详解】因为()3i 21i a b a +=--，所以()3,21,b a a =⎧⎨--=⎩解得3,31,b a =⎧⎨=⎩则3i 13i a b +=+==A ．【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题．4．D 【解析】圆心坐标为（1，2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆()()22125x y -+-=的圆心为（1，2）， 由题意可得2m ＋2n ＝2，即m ＋n ＝1，m ，0n >， 则()111124n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n =且m ＋n ＝1即12m n ==时取等号， 故选：D ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．5．D 【解析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO ＝MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合260MF N ∠=︒，故1260F MF ∠=︒对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121121222cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠而结合123PF PF =，可得1MF a =，23MF a =，122FF c =，代入上式子中，得到2222943a a c a +-=，结合离心率满足ce a=，即可得出c e a ==，故选D ．【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 6．B 【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可．【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法； 第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种．选B ．【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题．7．D 【解析】先根据向量坐标运算求出()3,3u v +=和cos ,u u v +，进而求出sin ,u u v +，代入题中给的定义即可求解．【详解】由题意()(1,3v u u v =--=，则()3,3u v +=，3cos ,2u u v +=，得1sin ,2u u v +=，由定义知()1sin ,222u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯= 故选：D ．【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目． 8．C【解析】每一次成功的概率为2163p ==，X 服从二项分布，计算得到答案． 【详解】每一次成功的概率为2163p ==，X 服从二项分布，故()1313E X =⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力．9．B 【解析】分类讨论，分别求出最大元素为3，4，5，6的三个元素子集的个数，即可得解．【详解】集合M 含有3个元素的子集共有3620C =，所以k ＝20． 在集合i B （i ＝1，2，3，…，k ）中：最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5的集合有246C =；最大元素为6的集合有2510C =；所以12345314356610105b b b b b ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解． 10．C 【解析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围． 【详解】∵{}12M x x =<≤，{}N x x a =<且M N M ⋂=，∴M N ⊆，∴2a >． 因此，实数a 的取值范围是()2,+∞．故选：C ．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题．11．A 【解析】首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案．【详解】{}n a 为等比数列，若1322a a a +<成立，有()21210a q q -+<， 因为2210q q -+≥恒成立，故可以推出10a <且1q ≠， 若210n S -<成立，当q ＝1时，有10a <，当1q ≠时，有()211101n a q q--<-，因为21101n q q-->-恒成立，所以有10a <， 故可以推出10a <，q ∈R ，所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题． 12．C 【解析】根据复数模的性质即可求解．【详解】∵2i1i z =+，∴2i 1i z ===+ C【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．20【解析】61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6216r rr T C x -+=，取r ＝3计算得到答案．【详解】61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取r ＝3得到常数项3620C =． 故答案为：20．【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力．14．16 1【解析】由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果． 【详解】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院． 且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为451216a =⨯=，()11212712n n S ⨯-==-，解得n ＝7，∴第7＋15－1＝21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院． 故答案为：16，1．【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．15．1【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数z ＝x ＋2y 取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可．【详解】作出不等式组3236y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立236x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，即点A （3，－1），平移直线z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过可行域的顶点A （3，－1）时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z取最小值，即()min 3211z =+⨯-=．故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题． 16．29π【解析】先求出球1O 的半径，再求出球2O 的半径，即得球2O 的表面积． 【详解】解：∵AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝4 ∴222AC AB BC =+，∴AC ＝5， 设球1O 的半径为r ，由题得()113453422r r r ++=⨯⨯，∴r ＝1 所以棱柱的侧棱为2r ＝2．所以球2O的表面积为2429ππ⋅=．故答案为：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（Ⅰ）113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或．（Ⅱ）610a -<< 【解析】（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案．（Ⅱ）讨论2a ≤和2a >两种情况，得到函数单调性，得到只需42a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，代入计算得到答案． 【详解】（Ⅰ）当a ＝1时，不等式为2111x x -+-≥，变形为12231x x ⎧<⎪⎨⎪-≥⎩或1121x x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩或1321x x >⎧⎨-≥⎩，解集为113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或． （Ⅱ）当2a ≤时，()31,2211,1231,1a x a x a f x x a x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+-=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，由此可知()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，当2a >时，同样得到()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，所以()2a f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭，存在x ∈R 满足不等式()4f x <，只需42a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即142a -<，解得610a -<<．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力． 18．（1）2；（2）见解析．【解析】（1）利用导数分析函数()y f x =在区间()0,2π上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论； （2）设函数()y f x =的极大值点和极小值点分别为1x 、2x ，由（1）知1,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足()sin cos 01,2i i i x x x i +==，1tan i i x x =-，于是得出()()1212sin sin f x f x x x +=--，由1211x x >得12tan tan x x ->-，利用正切函数的单调性推导出122x x πππ<<-<，再利用正弦函数的单调性可得出结论．【详解】（1）∵()sin cos g x x x x =+，∴()cos g x x x '=， ∵02x π<<，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，cos 0x x >，()0g x '>，则函数()y g x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x <，cos 0x x <，()0g x '<，则函数()y g x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，cos 0x x >，()0g x '>，则函数()y g x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． ∵()010g =>，022g ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()10g π=-<，33022g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()210g π=>． 所以，函数()y g x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭与3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在零点，在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各存在一个零点． 综上所述，函数()y g x =在区间()0,2π上的零点的个数为2；（2）∵()cos xf x x=，∴()()22sin cos g x x x x f x x x +'=-=-． 由（1）得，()sin cos g x x x x =+在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭与3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点， 所以，函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭与3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各存在一个极值点1x 、2x ，且1,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足()0i g x =即()sin cos 01,2i i i x x x i +==，1tan i i x x =-，∴()()12121212cos cos sin sin x x f x f x x x x x +=+=--， 又∵123222x x ππππ<<<<<，∴1211x x >即12tan tan x x ->-，()122tan tan tan x x x π<=-，∵1,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,2x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，由tan y x =在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递增，得122x x πππ<<-<，再由sin y x =在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，得()122sin sin sin x x x π>-=- ∴12sin sin 0x x +>，即()()120f x f x +<．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题． 19．（1）见解析；（2）45°【解析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得3cos b c A =⋅（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到tan 2tan A C =，利用三角形的面积公式列方程，由此求得tan A ，进而求得tan C 的值，从而求得角C ． 【详解】（1）由已知得22213c a b -=-，由余弦定理得222222122cos 33bc A b c a b b b =+-=-=，∴3cos b c A =⋅． （2）由（1）及正弦定理得sin 3sin cos B C A =，即()sin 3sin cos A C C A +=， ∴sin cos cos sin 3sin cos A C A C C A +=，∴sin cos 2sin cos A C C A =， ∴tan 2tan A C =．21112sin sin tan 223cos 6b S bc A b A b A A ===⋅⋅=． ∴tan 2A =，tan 1C =，45C =︒．【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题．20．（1）()2211x y -+= （21【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解．【详解】解：（1）C ：2cos ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+= （2）点1,2M π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为M （0，1），易知M l ∈，设A ，B 对应参数分别为1t ，2t 将l：121x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与C ：2220x y x +-=联立得)2110t t ++=，∴121t t +=，121t t ⋅=，∴10t <，20t <12121MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．21．（1）证明见解析 （2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）根据()21cos 2f x x x =+，求导()sin f x x x '=-，令()sin h x x x =-，用导数法求其最小值． （2）设()()2sin g x f x ax x '==-，研究在x ＝0处左正右负，求()2cos g x a x '=-，分12a ≥，12a ≤-，1122a -<<，三种情况讨论求解． 【详解】（1）因为()21cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 是[)0,+∞的增函数，故()()00h x h ≥=，即()0f x '≥．（2）因为()()2sin g x f x ax x '==-，所以()2cos g x a x '=-， ①当12a ≥时，()1cos 0g x x '≥-≥， 所以函数()f x '在R 上单调递增．若0x >，则()()00f x f ''>=；若0x <，则()()00f x f ''<=．所以函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞，单调递减区间是(),0-∞，所以()f x 在x ＝0处取得极小值，不符合题意， ②当12a ≤-时，()1cos 0g x x '≤--≤， 所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()()00f x f ''<=；若0x <，则()()00f x f ''>=．所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，单调递增区间是(),0-∞，所以()f x 在x ＝0处取得极大值，符合题意． ③当1122a -<<时，()00,x π∃∈，使得0cos 2x a =， 即()00g x '=，但当()00,x x ∈时，cos 2x a >即()0g x '<，所以函数()f x '在()00,x 上单调递减，所以()()00f x f ''<=，即函数()f x 在()00,x 上单调递减，不符合题意综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题．22．（1）22143x y +=；（2）1,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,24⎛- ⎝⎭【解析】（1）根据12PF F △的周长为2a ＋2c ，结合离心率，求出a ，c ，即可求出方程；（2）设P （m ，n ），则Q （－m ，－n ），求出直线AM 方程，若2QF 斜率不存在，求出M ，P ，N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF 斜率存在，求出其方程，与直线AM 方程联立，求出点M 坐标，根据224AF M AF NS S =△△和P ，2F ，N 三点共线，将点N 坐标用m ，n 表示，P ，N 坐标代入椭圆方程，即可求解．【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F △的周长为6， 设椭圆的焦距为2c ，则222226,1,2,a c c ab c a +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得a ＝2，c ＝1，b =22143x y +=． （2）设P （m ，n ），则22143m n +=，且Q （－m ，－n ）， 所以AP 的方程为()22n y x m =++①． 若m ＝－1，则2QF 的方程为x ＝1②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方， 则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即91,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 2PF 的方程为()314y x =--，代入椭圆方程得()22931124x x +-=，整理得276130x x --=， 1x =-或137x =，∴139,714N ⎛⎫- ⎪⎝⎭．222219227419214AF M AF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件． 若1m ≠-，则2QF 的方程为()11n y x m -=---，即()11n y x m =-+③． 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩，所以()34,3M m n +． 因为224AF M AF N S S =△△，设(),N N N x y 所以2211422M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =． 又因为M ，N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-． 因为P ，2F ，N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，()21,F P m n =-，231,4N n F N x ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 所以()()3114N n n x m -=--，即734N m x -=，所以2273344143m n-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n+=，所以2272839m m⎛⎫--=⎪⎝⎭，解得12m=，所以4n=±，所以点P的坐标为12⎛⎝⎭或1,2⎛⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题．。
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吉林省实验中学2018届高三年级第二次模拟考试数学（理科）学科试卷考试时间：120分钟试卷满分： 150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，复数3＋i1－i＝( )A．2＋4i B． 1＋2i C．－1－2i D．2－i2．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－210 B. 210 C ．－7210 D.72103．下列说法中，正确的是( )A ．数据5,4,4,3,5,2的众数是4B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数4．在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S =（ ）A.7B.15C.20D.255．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )6．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则此物体在时间内的位移为( )A. 143B.176C.136D.11 67．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：①f(5)＝0；②f(x)在上是减函数；③f(x)的图象关于直线x＝1对称；④f(x)在x＝0处取得最大值；⑤f(x)没有最小值．其中正确判断的序号是________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.18．（本小题满分12分）某地宫有三个通道，进入地宫的每个人都要经过一扇智能门。
首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出地宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完地宫为止。
令ξ表示走出地宫所需的时间。
(1)求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望。
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.20．（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.(I) 求椭圆C 的离心率；(II) 如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.21．（本小题满分12分） 设1ln )()(++=x x a x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++y x 垂直. （1）求a 的值；（2）若[))1()(,,1-≤+∞∈∀x m x f x 恒成立，求m 的取值范围； （3）求证：∑=∈-<+ni N n i i n 1*24)(1412ln .请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB 垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x a x=++-（1）当3a=-时，求不等式()3f x≥的解集；（2）若()4≤-的解集包含[1,2]，求a的取值范围.f x x数学（理科）学科答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13． 3 14． (0,1]15．201116．①②④三．解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2=+++2(2)(2)a b c b c b c即 222a b c bc =++由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-故1cos 2A =-，A=120° ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-1sin 2sin(60)B BB =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1。
……12分18．（本小题满分12分）（1） 必须要走到1号门才能走出，ξ可能的取值为1，3，4，61(1)3P ξ==，111(3)326P ξ==⨯=，111(4)326P ξ==⨯=，22111(6)()1323P A ξ==⨯⨯=……8分分布列为：……10分（2）11117134636632E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=小时 ……12分19．（本小题满分12分）解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥ (6)分,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PBPB∠=∠=所以.PA BF =由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故 3.GD BC ==于是 2.AG = 在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以2AB BG BF BG =====于是5PA BF ==又梯形ABCD的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为111633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE是平面PAE内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面 (6)分(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP 分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PBPA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅,即由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故=解得h =.……8分又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=. (12)分20．（本小题满分12分）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为)y x c =-，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得22122222(2)(2),33c a c a y y a b a b+-==++ 因为2AF FB =，所以122y y -=.即222222(2)(2)233c a c a a b a b+-=∙++ 得离心率 23c e a==. ……6分（Ⅱ）因为21AB y y =-154=.由23c a=得3b =.所以51544a =，得a=3，b =椭圆C 的方程为22195x y +=. ……12分21．（本小题满分12分） 答案：（1）0=a ……3分 （2）[))1()(,,1,1ln )(-≤+∞∈∀+=x m x f x x x x x f即[))1(ln ,,1xx m x x -≤+∞∈∀， ……5分设)1(ln )(xx m x x g --=，即[)0)(,,1≤+∞∈∀x g x222)11(1)(x m x mx x m x x g -+-=+-='①若0≤m ，0)1()(,0)(=≥>'g x g x g ，这与题设[)0)(,,1≤+∞∈∀x g x 矛盾（舍）；②若0>m ，方程02=-+-m x mx 的判别式241m -=∆，当0≤∆，即21≥m 时，0)(≤'x g ，)(x g ∴在()+∞,0单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立；当210<<m 时，方程02=-+-m x mx 的根,1241121<--=m m x ,1241122>-+=mm x当)(,0)(),,1(2x g x g x x >'∈单调递增，0)1()(=≥g x g ，与题设矛盾（舍）；综上所述，21≥m . ……8分（3）证明：由（2）知，当21,1=>m x 时，)1(21ln xx x -<成立，不妨令*,1212N k k k x ∈-+=，所以144)12121212(211212ln2-=+---+<-+k kk k k k k k 故()[]*2,14)12ln(12ln 41N k k k k k ∈-<--+ 令 3,2,1=k累加即得结论。