第六节 两个重要极限
合集下载
0106极限存在准则两个重要极限
n→ ∞
xn + 1 =
2
2 2 x lim 3 + xn , xn + 1 = 3 + xn , n +1 = lim ( 3 + xn ), n→ ∞ n→ ∞
1 + 13 1 − 13 A = 3 + A, 解得 A1 = , A2 = (舍去)， 2 2 1 + 13 ∴ lim xn = . 2 n→ ∞
◆ 进一步可证 :
1 x 1 x lim (1 + ) = e, lim (1 + ) = e, lim (1 + 1 ) x = e. x → +∞ x → −∞ x x x →∞ x
1 x ◆ lim (1 + ) = e x x →∞
1∞型
1 ⊗ 定理 若 lim ⊗ = ∞ , 则有 lim (1 + ) = e x →a x →a ⊗
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 单调增 加;
xn < 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 + ++ < 1 + 1 + + + n ⋅ ( n − 1) 2⋅1 3⋅ 2 2! 3! n!
1 = 3 − < 3, ∴ 数列{x } 有上界 ; n n
1 n ∴ lim xn 存在 , 即 lim (1 + ) 存在, n→ ∞ n→ ∞ n 1 n 记 lim (1 + ) = e, e = 2.71828. n→ ∞ n
x →0
∴ lim (1 − cos x ) = 0, ∴ lim cos x = 1,
x →0
xn + 1 =
2
2 2 x lim 3 + xn , xn + 1 = 3 + xn , n +1 = lim ( 3 + xn ), n→ ∞ n→ ∞
1 + 13 1 − 13 A = 3 + A, 解得 A1 = , A2 = (舍去)， 2 2 1 + 13 ∴ lim xn = . 2 n→ ∞
◆ 进一步可证 :
1 x 1 x lim (1 + ) = e, lim (1 + ) = e, lim (1 + 1 ) x = e. x → +∞ x → −∞ x x x →∞ x
1 x ◆ lim (1 + ) = e x x →∞
1∞型
1 ⊗ 定理 若 lim ⊗ = ∞ , 则有 lim (1 + ) = e x →a x →a ⊗
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 单调增 加;
xn < 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 + ++ < 1 + 1 + + + n ⋅ ( n − 1) 2⋅1 3⋅ 2 2! 3! n!
1 = 3 − < 3, ∴ 数列{x } 有上界 ; n n
1 n ∴ lim xn 存在 , 即 lim (1 + ) 存在, n→ ∞ n→ ∞ n 1 n 记 lim (1 + ) = e, e = 2.71828. n→ ∞ n
x →0
∴ lim (1 − cos x ) = 0, ∴ lim cos x = 1,
x →0
第六节极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
第6节两个重要极限
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,
上两式同时成立,
a z n a ,
城 市 学 院 数 学 教 研 室
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
于是有sin x BD,
x 弧 AB,
tan x AC,
高 等 数 学 电 子 教 案
sin x x tan x ,
上式对于 x 0也成立. 2
sin x 即 cos x 1, x
当 0 x 时, 2
2 x x x 0 cos x 1 1 cos x 2 sin2 2( ) 2 , 2 2 2
xn 是有界的;
城 市 学 院 数 学 教 研 室
lim x n 存在.
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
3x
城 市 学 院 数 学 教 研 室
x 1 例 lim x x 2
x
lim
x
1 1
1 x e 3 e x 2 2 e x
x
高 等 数 学 电 子 教 案
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
城 市 学 院 数 学 教 研 室
1-6 极限存在性定理与两个重要极限
g ( x) lim h( x) A 且有 lim g( x ) lim h( x ) A ， lim x x
x x0 x x0
则极限 lim f ( x ) （ lim f ( x) ）存在，
x x0
x
且也等于 A .
证略.
3
如果数列 un满足条件
n
证略.
1
例
求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim
n
1 1 1 n
1,
由夹逼定理得
1 1 1 2 2! 3! n! 1 1 1 2 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
11
综上所述， { un } 单调增加且有上界,
1 n (1 ) 存在 , 记为 e. 因此 li m n n
x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
单调数列
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
定理
单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限
sin x 1. lim 1 x 0 x
y
1
x
5
sin x lim 1 x 0 x
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn
x x0 x x0
则极限 lim f ( x ) （ lim f ( x) ）存在，
x x0
x
且也等于 A .
证略.
3
如果数列 un满足条件
n
证略.
1
例
求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim
n
1 1 1 n
1,
由夹逼定理得
1 1 1 2 2! 3! n! 1 1 1 2 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
11
综上所述， { un } 单调增加且有上界,
1 n (1 ) 存在 , 记为 e. 因此 li m n n
x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
单调数列
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
定理
单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限
sin x 1. lim 1 x 0 x
y
1
x
5
sin x lim 1 x 0 x
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn
第六节两个重要极限
x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1
(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n
n
1
)n 1
lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e
高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
【几何解释】
单调减少
单调增加
广义单调数列
*
相应地，函数极限也有类似的准则
统称为单调有界准则
准则Ⅱ及
【准则 】
准则
*
【补例2】
【证】 (舍去) 递推公式 注意到
*
【说明】
该方法只有在证明了极限存在时，才能由递推公式，通过解方程的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论
如
①式两端取极限后 得
①
从而得
矛盾
*
【例4】
【解】 【例5】 【解】
*
【例6】
【解】 【例7】 【解】
*
三、小结
【两个准则】
【两个重要极限】 夹逼准则; 单调有界准则 .
*
【思考题】
求极限
*
【思考题解答】
抓大头
*
二、两个重要极限
三、小结 思考题
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则
一、极限存在准则
【证】
【夹逼准则】
*
上两式同时成立,
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
【注意】
02
利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放,得到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.
利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极限相等.
*
【补例1】
【解】 由夹逼准则得 抓大头
*
【练习】
［提示］ ［提示］ ［提示］单调有界准则
*
［提示］ ［提示］ 由夹逼定理得 【注】记住[x]的运算性质： 当 x > 0 时
2.【单调有界准则】
极限存在准则.两个重要极限
例13 求 lim x 1 2x x0 1
解 原式 lim(1 2x) x (1 型) x0
lim(1
2
x
)
1 2x
2
(lim(1
2
x)
1 2x
)2
e2.
x0
x0
例14 求 lim(1 sin x)csc x (1 型)
x0
1
解 原式 lim(1 sin x)sin x x0
x0 nx
x0
nx
lim sin mx / limcos x m lim sinmx /limcos x m 。
x0 nx
x0
n x0 mx x0
n
7/17
例7 求 解
lim arcsin x
x0
x
(0 型) 0
lim arcsin x yarcsin x
x0
x
lim y y0 sin y
例9 证明数列x1
3 , xn1
3 xn
的
极
限
存
在
并
求lim n
xn
.
证 易知 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3 xk1 3 xk 3 3 3
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
1.
第一个重要极限
lim sin x 1 x0 x
(0 型) 0
C B
证： 设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得AOC , 于是由
o
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限 ㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限 ㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。
现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。
又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。
上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。
准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。
两个重要极限公式
2013-7-19 9
例3 求 lim(
n
1 n2 1
1 n2 2
1 n2 n
).
n 1 1 n , 解： 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim lim n n 2 n n 1 1 1 n
1,
例4 求
tan x sin x 1 sin x 1 解: lim lim lim 1 lim x 0 x x 0 x cos x x 0 x x 0 cos x
例5 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 t 原式 lim 1 sin t t 0 sin t
1 1 n 1 n 1 n 1 1 n n 2 ＝ 1 xn 1 n 1 n 1 n 1 n 1 所以，数列 xn 1 是单调增加的． 2013-7-19 n
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
2013-7-19
lim
n n 1
2
n
lim
1
n
1,
由夹逼准则得
10
1 1 1 ？ 思考题： lim n 2 2 n n n 2 2 n n 解: 利用夹逼准则 . 由
n 1
1 lim 1 ? n n n
n
4
1 其次，证 xn 1 有界． 显然， n x1 2 x nn n 1 类似于 xn 1 单调性的证明可证得数列 yn 1 1 n n n 1 1 zn 1 ，则 是单调增加的．设数列
例3 求 lim(
n
1 n2 1
1 n2 2
1 n2 n
).
n 1 1 n , 解： 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim lim n n 2 n n 1 1 1 n
1,
例4 求
tan x sin x 1 sin x 1 解: lim lim lim 1 lim x 0 x x 0 x cos x x 0 x x 0 cos x
例5 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 t 原式 lim 1 sin t t 0 sin t
1 1 n 1 n 1 n 1 1 n n 2 ＝ 1 xn 1 n 1 n 1 n 1 n 1 所以，数列 xn 1 是单调增加的． 2013-7-19 n
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
2013-7-19
lim
n n 1
2
n
lim
1
n
1,
由夹逼准则得
10
1 1 1 ？ 思考题： lim n 2 2 n n n 2 2 n n 解: 利用夹逼准则 . 由
n 1
1 lim 1 ? n n n
n
4
1 其次，证 xn 1 有界． 显然， n x1 2 x nn n 1 类似于 xn 1 单调性的证明可证得数列 yn 1 1 n n n 1 1 zn 1 ，则 是单调增加的．设数列
高等数学 第六节 极限存在准则 两个重要极限
1 + 2 +⋯+ n < I n 2 2 2 n +n n +n n +n < 1 + 2 +⋯+ n , n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1
+ 即 1 + 22 ⋯ + n < In < 1 + 2 + ⋯ + n , n +n n2 + 1
n(n + 1) n(n + 1) < In < , 2 2 2(n + 1) 2(n + n)
n
或 lim(1+ x)
x→0
1 x
=e .
e = 2.7182818284 59045⋯ (无理数 ⋯ )
sin x =1 . 2) . lim x→0 x
弦长 AB = 2 sin x , 弧长 AB = 2 x , 切线长 CD = 2 tan x .
F
A C
x
B
E
D
7
sin x < x < tan x . ( x > 0)
∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 n > N1 时, A − ε < yn < A + ε ;
∃ N 2 , 当 n > N 2 时, A − ε < zn < A + ε , 从而 , 当 n > max{ N1 , N 2 } 时 ,
A − ε < yn ≤ xn ≤ z n < A + ε
n→∞
13
uk + uk uk −1 − uk −1 − uk −1uk uk uk−1 = − (1 + uk ) (1 + uk −1 ) 1+ uk 1+ uk−1 uk − uk −1 = > 0 ⇒ uk +1 > uk , { un } 单调增加 . (1 + uk ) (1 + uk −1 )
06两个重要极限
首页 上页 返回 下页 结束 铃
lim (1 1 ) x = e x x
例2
1 lim[1a (x)]a ( x)
= e (a(x)0)
1 2n lim(1 ) n n 1 2n = 1 ( 1 ) (1 ) n n
( n ) 1 2n n
x
3x 2 x 2 3x
3x 2 2 x 2 2 lim(1 ) = lim 1 = e3 x x 3x 3x
2 3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
lim (1 1 ) x = e x x
例4
1 lim[1a (x)]a ( x)
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a >>>
准则I
n
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
首页 上页 返回 下页 结束 铃
例1
求 lim(
n
1 n n
2
).
解
n 1 1 n 2 , 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 = lim n n n n
lim n n 1
2
1 1 1 n
首页 上页 返回 下页 结束 铃
二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限
1 )x = e lim (1 x x
注:
1 在极限 lim[1a (x)]a (x) 1 lim[1a (x)]a (x)
lim (1 1 ) x = e x x
例2
1 lim[1a (x)]a ( x)
= e (a(x)0)
1 2n lim(1 ) n n 1 2n = 1 ( 1 ) (1 ) n n
( n ) 1 2n n
x
3x 2 x 2 3x
3x 2 2 x 2 2 lim(1 ) = lim 1 = e3 x x 3x 3x
2 3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
lim (1 1 ) x = e x x
例4
1 lim[1a (x)]a ( x)
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a >>>
准则I
n
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
首页 上页 返回 下页 结束 铃
例1
求 lim(
n
1 n n
2
).
解
n 1 1 n 2 , 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 = lim n n n n
lim n n 1
2
1 1 1 n
首页 上页 返回 下页 结束 铃
二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限
1 )x = e lim (1 x x
注:
1 在极限 lim[1a (x)]a (x) 1 lim[1a (x)]a (x)
六节极限存在准则两个重要极限
证明：必要性
| xn xm |
充分性（不证） 见参照书《数学分析》。
柯西极限存在准则也称为柯西审敛原理。
三、小结
1.两个准则 2.两个主要极限
sin x lim 1 x0 x
lim(1 1 )n e
n
n
lim (1 1 )x e
x
x
lim (1 1 )x e
x
x
lim(1 1 )x e
2
x
1
sin lim(
2 x0 x
2
)2
1 2
12
1 2
2
例7 求 lim(1 1 )x
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
x
x
x
(1
1 1
) x
1 e
x
例8 求 lim( 3 x )2x x 2 x
解 原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4 e2
x
x
lim (1 1 )x e 令 t 1 ,做换元，得
x
x
x
1
lim(1 x) x
lim(1 1)t
e
x 0
t
1
t
lim(1 x) x e x0
tan x 例4 求 lim
x0 x
sin x
解
tan x lim x0 x
lim x 0
cos x x
sin x 1 lim( )
即 a yn a (1)
lim n
zn
a
0,
N 2
0 ,使得当 n
N
时
2
就有 zn a
极限存在的准则两个重要极限.
sin x lim 1 几何解释 x 0 x
两个重要极限
2sinx O
2x
第六节 极限存在准则
sin x lim 1 x 0 x
两个重要极限
第六节 极限存在准则
sin x lim 1 x 0 x
两个重要极限
sin u lim 1 u 0 u
第六节 极限存在准则
sin x lim 1 x 0 x
第六节 极限存在准则
两个重要极限
例3 利用极限存在的准则证明：
1 1 1 1 (1) lim ...... 2 2 2 n n 1 n 2 n n
(2) lim n 1 x 1
x 0
第六节 极限存在准则
两个重要极限
例3 利用极限存在的准则证明：
极限
魏尔斯特拉斯
卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯 Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm 德国数学家1815.10.31-1897.2.19
第六节 极限存在准则
两个重要极限
准则I 如果在 x0 的某一去心邻域内恒有
g ( x) f ( x) h( x)
且 lim g ( x) lim h( x) a ，那么 lim f ( x) a
n
第六节 极限存在准则
1 lim1 x x
x
两个重要极限
1 STEP I x取正整数n而趋于 时，研究 lim1 n n
STEP II x取实数而趋于
n
时，利用STEP I的结果
第六节 极限存在准则
1 lim1 x x
x
两个重要极限
1 STEP I x取正整数n而趋于 时，研究 lim1 n n
两个重要极限
2sinx O
2x
第六节 极限存在准则
sin x lim 1 x 0 x
两个重要极限
第六节 极限存在准则
sin x lim 1 x 0 x
两个重要极限
sin u lim 1 u 0 u
第六节 极限存在准则
sin x lim 1 x 0 x
第六节 极限存在准则
两个重要极限
例3 利用极限存在的准则证明：
1 1 1 1 (1) lim ...... 2 2 2 n n 1 n 2 n n
(2) lim n 1 x 1
x 0
第六节 极限存在准则
两个重要极限
例3 利用极限存在的准则证明：
极限
魏尔斯特拉斯
卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯 Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm 德国数学家1815.10.31-1897.2.19
第六节 极限存在准则
两个重要极限
准则I 如果在 x0 的某一去心邻域内恒有
g ( x) f ( x) h( x)
且 lim g ( x) lim h( x) a ，那么 lim f ( x) a
n
第六节 极限存在准则
1 lim1 x x
x
两个重要极限
1 STEP I x取正整数n而趋于 时，研究 lim1 n n
STEP II x取实数而趋于
n
时，利用STEP I的结果
第六节 极限存在准则
1 lim1 x x
x
两个重要极限
1 STEP I x取正整数n而趋于 时，研究 lim1 n n
高数两个重要极限公式
高数两个重要极限公式
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1；特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）＾x的极限等于e；或当x →0时，（1+x）＾（1/x）的极限等于e。
相关性质：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。
3、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y− A <ε , z− A <ε
即 恒成立，
4/28/2012 3:14 PM
A−ε < y < A+ε , A−ε < z < A+ε
第二章
极限与连续
又由 y ≤ x ≤ z , 得 A − ε < y ≤ x ≤ z < A + ε 所以 A − ε < x < A + ε , 即 x − A < ε , 也就是
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
【定义】有界数列 定义】 使对任 若存在两个常数 m 和 M ( m < M ) ， 恒有 m ≤ yn = f ( n) ≤ M , 则称数列 意正整数 n ， yn = f ( n) 为有界数列。 【定理 2.12】（准则 ）单调有界数列必 】 准则2） 有极限。（证明略） 有极限
极限与连续
例3
1 1 1 + +L+ 求 lim 2 2 2 n→∞ n +2 n +n n +1
解 利用夹逼准则
n n +n
2
≤
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
≤
n n +1
2
n→∞ n +1 n +n 1 1 1 + +L+ 所以 lim 2 =1 2 2 n→∞ n +2 n +n n +1 2 2
1 n 1 x 1 x 1 x (1 + ) < (1 + ) < (1 + ) < (1 + ) n+1 n+1 n x 1 n +1 < (1 + ) n
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
1 n +1 (1 + ) 1 n n+1 ) = lim 而 lim(1 + n→∞ n→∞ 1 n+1 1+ n+1
x →0
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
sin kx ( k ≠ 0) 例5 计算 lim x x→0 sin t sin kx sin kx t = kx k lim =k = k lim 解 lim t →0 x →0 x →0 t x kx 1 − cos x 例6 计算 lim 2 x →0 x 2 x 2 x 2sin 2sin 1 − cos x 2 = lim 2 = lim 解 lim x →0 x →0 x →0 x 2 x2 x2 4( ) 2 x 2 sin 2 1 1 = lim =2 2 x →0 x 2
第二章
极限与连续
1 x 1 若在极限 lim(1 + ) = e 中， t = 令 x →∞ x x
得极限的另一种形式
lim(1 + t ) = e
t →0
1 t
这种数学模型在实际中非常有用，例如 利率为 r ， 设本金为 A0， “银行计算复利问题”。 则本利和 A为 如果每期结算一次， 期数为 t ，
x → x0
lim f ( x ) = f ( x0 )
微积分讲义
4/28/2012 3:14 PM
设计制作
王新心
§2.6 两个重要极限
（一）极限存在的准则 （二）两个重要极限
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
（一）极限存在的准则 准则１ 夹逼定理） 【定理 2.11】（准则１又称夹逼定理） 】 准则 又称夹逼定理 若在某一变化过程中， 三个变量 x , y , z 总有关 系 y ≤ x ≤ z ，且 lim y = lim z = A ，则 lim x = A 证 因为 lim y = lim z = A 所以 ∀ε > 0 , 从某一时刻以后， 下列两个不等式
lim x = A
证毕。
π
例1 证明 limsin x = 0 x→0 证 当 x<
2
时，0 ≤ sin x ≤ x
由 lim x = 0 , 再根据准则1，得 x →0
limsin x = 0
x →0
4/28/2012 3:14 PM
证毕。
第二章
极限与连续
例2 证明 limcos x = 1 x →0 证
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
比较可知
xn < xn+1 ( n = 1, 2,L)
1 n 1 1 1 又 xn = (1 + n ) < 1 + 1 + 2! + 3! + L + n ! 1 1 1 < 1 + 1 + + 2 + L + n−1 2 2 2− 1 1− n 2 = 3− 1 < 3 = 1+ 1 2 n −1 1− 2 根据准则 2 可知数列 xn有极限。
1 例 数列 yn = 1 − , 是单调增加的数列， n 1 则此数列有极限，lim(1 − n ) = 1 且 0 ≤ yn < 1 ， n→∞
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
几何解释
0
1 yn = 1 − n
1 2
2 3
3 4
→ 1
x
说明 在准则2中 对单调增加数列，只要求有上界即可； 对单调增加数列，只要求有上界即可； 对单调减少数列，只要求有下界即可。 对单调减少数列，只要求有下界即可。
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
1 x (2) lim(1 + ) = e x →∞ x
利用二项式定理 证 先证数列的情况，
1 n n 1 n( n − 1) 1 n( n − 1)( n − 2) 1 xn = (1 + ) = 1 + + + 2 n 1! n 2! n 3! n3 n( n − 1)L( n − n + 1) 1 +L + n! nn 1 1 1 1 2 = 1 + 1 + (1 − ) + (1 − )(1 − ) + L 2! n 3! n n 1 1 2 n−1 ) + (1 − )(1 − )L(1 − n! n n n
2 2 2 x 1 1< < sin x cos x
4/28/2012 3:14 PM
(0 < x <
π
2
)
第二章
极限与连续
sin x 是偶函数 x
x 1 π 1< (0 < x < ) < sin x cos x 2
得到
sin x cos x < <1 x
(0 < x <
π
2
)
sin x Q limcos x = 1 , ∴ lim =1 证毕。 x →0 x →0 x tan x 例4 计算 lim x →0 x sin x lim tan x sin x x →0 x =1 = lim = 解 lim x →0 x → 0 x cos x x limcos x
x x 2 x2 0 ≤ 1 − cos x = 2sin 2 ≤ 2( ) = 2 2 2
x2 由 lim = 0 和准则1， 得 x→0 2 →
lim(1 − cos x ) = 0
x→0
即 limcos x = 1 x →0
4/28/2012 3:14 PM
证毕。
第二章
极限与连续
【定义】单调数列 设数列 yn = f ( n) 定义】 单 单 若对如何正整数 n ，恒有 调 调 减 增 yn = f ( n) < yn+1 = f ( n + 1) 少 加 数 数 称数列 yn 为单调增加数列 单调增加数列； 单调增加数列 列 列 若对如何正整数 n ， 恒有 数 单 yn = f ( n) > yn+1 = f ( n + 1) 列 调 称数列 yn 为单调 单调 数列
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
2.填空题
n 1 （2006） n→∞ n ( −1)n n + 1 ( −1)n 1 n n 0 lim( ) = lim[(1 + ) ] =e =1 解 n→∞ n→∞ n n
2x (2) lim x sin 2 = 2 x →∞ x +1
=e
1 n 1 1 n+1 n+ lim(1 + ) = lim(1 + ) (1 + ) = e n→∞ n→∞ n n n
故
1 x lim (1 + ) = e x →+∞ x
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
当 x → −∞ 时， x = −( t + 1) , 则 t → +∞ 令
A = A0 (1 + r )
4/28/2012 3:14 PM
t
第二章
极限与连续
如果每期结算 m 次，t 期本利和 Am为
r mt Am = A0 (1 + ) m
即 若立即产生立即结算， m → ∞ 。
2 x 例7 计算 lim(1 + ) x →∞ x x 2 2 x 2 2 解 lim(1 + ) = lim (1 + ) x →∞ x →∞ x x x x 2 2 2 2 = lim(1 + ) lim(1 + ) = e 2 x x x →∞ x →∞
即 恒成立，
4/28/2012 3:14 PM
A−ε < y < A+ε , A−ε < z < A+ε
第二章
极限与连续
又由 y ≤ x ≤ z , 得 A − ε < y ≤ x ≤ z < A + ε 所以 A − ε < x < A + ε , 即 x − A < ε , 也就是
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
【定义】有界数列 定义】 使对任 若存在两个常数 m 和 M ( m < M ) ， 恒有 m ≤ yn = f ( n) ≤ M , 则称数列 意正整数 n ， yn = f ( n) 为有界数列。 【定理 2.12】（准则 ）单调有界数列必 】 准则2） 有极限。（证明略） 有极限
极限与连续
例3
1 1 1 + +L+ 求 lim 2 2 2 n→∞ n +2 n +n n +1
解 利用夹逼准则
n n +n
2
≤
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
≤
n n +1
2
n→∞ n +1 n +n 1 1 1 + +L+ 所以 lim 2 =1 2 2 n→∞ n +2 n +n n +1 2 2
1 n 1 x 1 x 1 x (1 + ) < (1 + ) < (1 + ) < (1 + ) n+1 n+1 n x 1 n +1 < (1 + ) n
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
1 n +1 (1 + ) 1 n n+1 ) = lim 而 lim(1 + n→∞ n→∞ 1 n+1 1+ n+1
x →0
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
sin kx ( k ≠ 0) 例5 计算 lim x x→0 sin t sin kx sin kx t = kx k lim =k = k lim 解 lim t →0 x →0 x →0 t x kx 1 − cos x 例6 计算 lim 2 x →0 x 2 x 2 x 2sin 2sin 1 − cos x 2 = lim 2 = lim 解 lim x →0 x →0 x →0 x 2 x2 x2 4( ) 2 x 2 sin 2 1 1 = lim =2 2 x →0 x 2
第二章
极限与连续
1 x 1 若在极限 lim(1 + ) = e 中， t = 令 x →∞ x x
得极限的另一种形式
lim(1 + t ) = e
t →0
1 t
这种数学模型在实际中非常有用，例如 利率为 r ， 设本金为 A0， “银行计算复利问题”。 则本利和 A为 如果每期结算一次， 期数为 t ，
x → x0
lim f ( x ) = f ( x0 )
微积分讲义
4/28/2012 3:14 PM
设计制作
王新心
§2.6 两个重要极限
（一）极限存在的准则 （二）两个重要极限
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
（一）极限存在的准则 准则１ 夹逼定理） 【定理 2.11】（准则１又称夹逼定理） 】 准则 又称夹逼定理 若在某一变化过程中， 三个变量 x , y , z 总有关 系 y ≤ x ≤ z ，且 lim y = lim z = A ，则 lim x = A 证 因为 lim y = lim z = A 所以 ∀ε > 0 , 从某一时刻以后， 下列两个不等式
lim x = A
证毕。
π
例1 证明 limsin x = 0 x→0 证 当 x<
2
时，0 ≤ sin x ≤ x
由 lim x = 0 , 再根据准则1，得 x →0
limsin x = 0
x →0
4/28/2012 3:14 PM
证毕。
第二章
极限与连续
例2 证明 limcos x = 1 x →0 证
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
比较可知
xn < xn+1 ( n = 1, 2,L)
1 n 1 1 1 又 xn = (1 + n ) < 1 + 1 + 2! + 3! + L + n ! 1 1 1 < 1 + 1 + + 2 + L + n−1 2 2 2− 1 1− n 2 = 3− 1 < 3 = 1+ 1 2 n −1 1− 2 根据准则 2 可知数列 xn有极限。
1 例 数列 yn = 1 − , 是单调增加的数列， n 1 则此数列有极限，lim(1 − n ) = 1 且 0 ≤ yn < 1 ， n→∞
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
几何解释
0
1 yn = 1 − n
1 2
2 3
3 4
→ 1
x
说明 在准则2中 对单调增加数列，只要求有上界即可； 对单调增加数列，只要求有上界即可； 对单调减少数列，只要求有下界即可。 对单调减少数列，只要求有下界即可。
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
1 x (2) lim(1 + ) = e x →∞ x
利用二项式定理 证 先证数列的情况，
1 n n 1 n( n − 1) 1 n( n − 1)( n − 2) 1 xn = (1 + ) = 1 + + + 2 n 1! n 2! n 3! n3 n( n − 1)L( n − n + 1) 1 +L + n! nn 1 1 1 1 2 = 1 + 1 + (1 − ) + (1 − )(1 − ) + L 2! n 3! n n 1 1 2 n−1 ) + (1 − )(1 − )L(1 − n! n n n
2 2 2 x 1 1< < sin x cos x
4/28/2012 3:14 PM
(0 < x <
π
2
)
第二章
极限与连续
sin x 是偶函数 x
x 1 π 1< (0 < x < ) < sin x cos x 2
得到
sin x cos x < <1 x
(0 < x <
π
2
)
sin x Q limcos x = 1 , ∴ lim =1 证毕。 x →0 x →0 x tan x 例4 计算 lim x →0 x sin x lim tan x sin x x →0 x =1 = lim = 解 lim x →0 x → 0 x cos x x limcos x
x x 2 x2 0 ≤ 1 − cos x = 2sin 2 ≤ 2( ) = 2 2 2
x2 由 lim = 0 和准则1， 得 x→0 2 →
lim(1 − cos x ) = 0
x→0
即 limcos x = 1 x →0
4/28/2012 3:14 PM
证毕。
第二章
极限与连续
【定义】单调数列 设数列 yn = f ( n) 定义】 单 单 若对如何正整数 n ，恒有 调 调 减 增 yn = f ( n) < yn+1 = f ( n + 1) 少 加 数 数 称数列 yn 为单调增加数列 单调增加数列； 单调增加数列 列 列 若对如何正整数 n ， 恒有 数 单 yn = f ( n) > yn+1 = f ( n + 1) 列 调 称数列 yn 为单调 单调 数列
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
2.填空题
n 1 （2006） n→∞ n ( −1)n n + 1 ( −1)n 1 n n 0 lim( ) = lim[(1 + ) ] =e =1 解 n→∞ n→∞ n n
2x (2) lim x sin 2 = 2 x →∞ x +1
=e
1 n 1 1 n+1 n+ lim(1 + ) = lim(1 + ) (1 + ) = e n→∞ n→∞ n n n
故
1 x lim (1 + ) = e x →+∞ x
4/28/2012 3:14 PM
第二章
极限与连续
当 x → −∞ 时， x = −( t + 1) , 则 t → +∞ 令
A = A0 (1 + r )
4/28/2012 3:14 PM
t
第二章
极限与连续
如果每期结算 m 次，t 期本利和 Am为
r mt Am = A0 (1 + ) m
即 若立即产生立即结算， m → ∞ 。
2 x 例7 计算 lim(1 + ) x →∞ x x 2 2 x 2 2 解 lim(1 + ) = lim (1 + ) x →∞ x →∞ x x x x 2 2 2 2 = lim(1 + ) lim(1 + ) = e 2 x x x →∞ x →∞