第五届校园时代初赛(数学)
全国大学生数学竞赛初赛2013年第五届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
所求极限为
lim
r
I
a
(r
)
0,a ,a1, 2,a
1, 1.
1
1
1
第七题：(14 分)判断级数
2
n 的敛散性，若收敛，求其和。
(n 1)(n 2)
n 1
1
1
【参考解答】：(1) 记a 1 , u
a n
, n 1, 2, 。
n
2
n n (n 1)(n 2)
因为n 充分大时
x x 2y
【参考解答】：方程两边对x 求导，得 3x2 6xy 3x2y 6y2y 0 y 2y2 x2
令y(x) 0 x 0, x 2y 。将x 0, x 2y 代入所给方程，得 x 0, y 1; x 2 , y 1.
2y2 x2 2x 2xy 2y x2 2xy 4yy 2x
n
原式
lim
n
1
sin
1
4n 2
2n
exp
lim n
n
ln
1
sin
1
4n 2
2n
exp lim n sin n
n
exp lim
e4.
n 1 4n 2 2n
1 4n 2 2n
sin x
2．证明广义积分 0
d x 不是绝对收敛的。 x
(n1) | sin x |
【参考证明】：an n
d x . 只要证明
x
an 发散.
n 0
1
(n 1)
1
2
因为an (n 1) n
| sin x | d x
sin xdx
.
(n 1) 0
23983_《小学数学报》第05届数学竞赛初赛试题及答案
第五届数学竞赛初赛试题及答案（满分100分）一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（12分）2.1991×199219921992-1992+199119911991二、填空题（48分）1.有A、B两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有25个数。
A组数中前几个是这样排列的1，6，11，16，21……；B组数中最后几个是这样排列的……，105，110，115，120，125。
那么，A、B这两组数中所有数的和是__（3分）2.某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图1。
现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图1染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。
共有__种不同的染色方法。
（5分）3.如图2的数阵是由77个偶数排成的，其中20、22、24、36、38、40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180。
把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660，那么，它们当中位于平行四边形左上角的那个数是__。
（4分）4.在左边的乘法算式中，我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。
如果“乐”代表“9”，那么，“我”代表__，“数”代表__，“学”代表__。
（4分）5.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期__。
6.一个小数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原来的小数与4的乘积，得27.6。
原来这个小数是__。
（5分）7.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一个当了记者。
一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。
”张斌说：“我不是记者。
”王大为说：“李志明说了假话。
”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么__是记者。
（3分）9.在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整数，这个七位数最小是__。
（5分）的个位数字1992个“8”是__，十位数字是__，百位数字是__。
东北大学非数学专业第五届数学竞赛
冶金工程 机械工程及自动化 会计 环境科学 软件工程 环境科学 电子信息工程 采矿工程 自动化 土木工程 计算机科学与技术 计算机科学与技术 机械工程及自动化 环境科学 材料科学与工程 材料成型与控制工程 信息安全 材料科学与工程 软件工程 机械工程及自动化 机械工程及自动化 材料成型与控制工程 自动化 应用化学 冶金工程 新能源科学与工程 土木工程 软件工程 软件工程 软件工程 计算机科学与技术 工程力学 信息安全 生物医学工程 机械工程及自动化 会计 工商管理 自动化 应用化学 采矿工程 通信工程 计算机科学与技术 会计 电气工程及其自动化 测控技术与仪器 材料科学与工程 材料成型与控制工程
非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业
参赛类型 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业 非数学专业
第五届全国大学生数学竞赛 哈理工
我校学生在第五届全国大学生数学竞赛中取得优异成
绩
在日前结束的由中国数学会主办的第五届全国大学生数学竞赛中，我校参赛同学取得了历史上的最好成绩：共有21名同学获得全国(预赛)一等奖，41名同学获得全国(预赛)二等奖，45名同学获得全国(预赛)三等奖，19名同学获得省级（预赛）一等奖，22名同学获得省级（预赛）二等奖，获奖同学几乎涵盖了我校所有学习数学课程的各个专业。
在黑龙江赛区总成绩仅位于哈尔滨工业大学之后，获全省第二名。
其中电子信息工程专业10-3班的金军同学被推荐代表黑龙江赛区参加2014年3月在合肥中国科技大学举行的总决赛。
这次竞赛的所有成绩是在学校有关领导和教务处的大力支持下，在各学院的大力配合下，在应用数学系赵辉老师认真组织、安排、协调下，在赵辉、王树忠、于禄、巩英海、陈丽丽、班立群、孟桂芝等指导教师的精心辅导下，在全体参赛同学的共同努力下取得的。
应用数学系竞赛辅导组从2013年8月19日开始了第五届全国大学生数学竞赛的报名工作，我校学生报名积极、踊跃，有近900名同学在网上参加报名，分别于9月7日和9月13日举行了数学专业和非数学专业校内选拔赛（我校每年一次的校内大学生数学竞赛），经过认真的评阅试卷和综合评定，确定了参加第五届全国大学生数学竞赛的210名选手，其中非数学专业192人，数学专业18人。
从9月24日开始，全体指导教师利用一个月的时间对参赛选手进行了耐心细致和有针对性的实战训练和辅导，效果十分显著，共有148名同学获奖，获奖率高达70.48%。
通过每年一次的全国大学生数学竞赛和我校学生稳定的优异表现，提高了我校在黑龙江省及全国高校中的知名度，为学校赢得了声誉！（教务处/应用科学学院）。
2012年陕西科技大学第五届大学生高等数学竞赛(初赛试题)
陕西科技大学第六届大学生《高等数学》竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1． =-+∞→xx x x 1sin 1312lim2.（ ）. （A ）0； （B ）1； （C ）13； （D ）23. 2. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令1()d ,b a S f x x =⎰ 2()(),S f b b a =- 31[()()](),2S f a f b b a =+- 则（ ）.(A) 123;S S S << (B) 312;S S S << (C) 213;S S S << (D) 231S S S << . 3．由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的有限图形的面积S=（ ）.（A ）2712； （B ）3712； （C ）3312； （D ）3112. 4．考虑二元函数()x,y f 在点()00,y x 处的下面四条性质：①连续； ②可微；③()00,y x f x '与()00,y x f y '存在； ④()x,y f x '与()x,y f y '连续。
若用“P ⇒Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ ）（A ）②⇒③⇒①； （B ）④⇒②⇒①； （C ）②⇒④⇒①； （D ）④⇒③⇒②。
5．已知a ，b 为向量，且13a =，19b =，22a b -=，则a b +=（ ）.（A ）24； （B ）23； （C ）22； （D ）21.二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）1. 设()f x 是连续函数，且满足1201()3lim ()()x f x x f x f x dx →=+-⎰，则()f x =（ ）. 2. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 3. 1e ln d xx x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎰. 4. 已知()x f 的一个原函数为x xsin ，则()='⎰ππx x f x 2d . 5. 设22y xy x z +-=在点(－1,1)处沿方向}2,1l →=的方向导数=∂∂l z.三、（本题7分）、设二元函数),(y x u 在有界闭区域D 上可微，在闭区域D 的边界曲线上0),(=y x u ，并满足),(y x u yux u =∂∂+∂∂，求),(y x u 的表达式。
第五届全国大学生数学竞赛《非数学专业》获奖名单
黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区
张 利 赵 阳 赵岩岩 周 前 孙浩 王欣玉 夏振新 郑成功 朱同宇 沈 鑫 杨 振 李天宇 陈雅欣 何 芳 戴龙鹏 马振凯 聂建平 温海涛 黄勇贵 徐良政 胡 浩 邓兆森 李会兰 孟彩敏 张雄鑫 邹 威 陈渠 楚翔宇 戴雅兰 谷蔷薇 郭少攀 刘飞鹏 刘瑜琳 王铭 谢松柏 梁河川
男 男 女 男 男 女 男 男 男 男 男 男 女 女 男 男 男 男 男 男 男 男 女 女 男 男 男 男 女 女 男 男 女 男 男 男
谢 浩 张雅奎 陈 坤 贾二平 刘海龙 张艳涛 贾媛媛 李伟涛 刘晨阳 卢昊 马富梓 陶然 夏龙光 郑晓雯 佟艳明 龙柄菘 王小明 吕慧如 白赫 崔一鸣 李钰航 孙正翔 田敏杰 王乐乐 李保磊 刘鑫旺 谭 滔 王 琪 刘沅明 许剑清 赵翔 杨 康 贾俊鹤 王建华 段鑫泽 宋东辉
男 男 男 女 男 男 女 男 男 男 男 男 男 女 男 男 男 女 男 男 男 男 男 男 男 男 男 女 男 男 男 男 女 男 男 男
哈工大（威海） 黑龙江大学 黑龙江科技大学 黑龙江科技大学 齐齐哈尔大学 东北林业大学 东北林业大学 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 哈尔滨理工大学 哈尔滨理工大学 哈尔滨理工大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈工大（威海） 黑龙江工程学院 黑龙江科技大学 齐齐哈尔大学 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 哈尔滨理工大学 哈尔滨理工大学 哈尔滨理工大学 哈尔滨理工大学 哈尔滨理工大学 哈尔滨学院 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学
第五届全国中学生数理化学科能力展示活动八年级初赛试题答案.doc
第五届全国中学生数理化学科能力展示活动初赛八年级答案7、151559 ； 8、68； 9、0.233 , 181.2610⨯； 10、82 ； 11、18 ； 12、164三、解答题13、解析：（1）把点（1,0）代入直线方程可得，k=-b,联立y=kx-k 与y=2/x,得：022=--kx kx …………………………………… 2分若直线与曲线相切，则8-0082或即==+=∆k k k （当k=0时，显然不符）…………4分 画图可知，直线在两临界状态中间时，符合题意，即)0,(),0(-∞⋃+∞∈k …………6分（2）因为112121=⨯⨯==∆B B OAB y y OA S ，所以2=B y ………………………………8分 将2=B y 代入y=2/x 得1=B x ，……………………………………10分即此时直线过点A （1,0）、B （1,2），故所求方程为x=1……………………………………12分 14、注：其他方案思路清晰，言之成理，计算严谨亦可。
【方案一】当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站。
设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为 x km ，根据题意，有6015155x x -+=， 解得1330=x .因此这8个人全部到火车站所需时间为 （分钟）（分钟）（小时）＝＋4213540523560)133015(51330<=÷-÷。
故此方案可行。
…………………………………6分【方案二】当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人先下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站。
分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，如图所示，D 为无故障汽车人员下车地点，C 为有故障汽车人员再次上车地点。
因此，设y DB AC ＝＝，根据题意，有60y 215155－＋y y -=， 解得 2=y 。
全国中小学生数学王大赛决赛五级初赛试题答案【推荐下载】
全国中小学生数学王大赛决赛五级初赛试题答案2012全国中小学生数学王大赛决赛初赛试题五年级初试试题参考答案1.答案：30分析：整数分数混合计算，较简单，先通分，算出括号内数值即可。
2.分析：假设经过N次变换，有200-6N=11（20-N），得N=4。
3.答案：20分析：用长方形面积剪掉周围三个三角形面积即可，得20。
（或用梯形AECD剪掉三角形CEF和FDA即可）。
4.答案：1分析：只能考虑个位数字9的乘方规律，9,1,9,1，……循环，为1。
5.答案：402分析：A（3）=14，A（18）=23，A（18）=A(3)+15D，得d=，故每五个数中有一个为整数，20105=402。
6.答案：1507.分析：59895，从大数开始尝试即可，首位两个数必须为5才能被45 整除。
8.答案：69.分析：如下图，从“8”处入手，尝试。
4个10.分析：9种。
如图表上字母，共9种。
(1)A—H—C—D—E—B(2)A—H—G—F—E—B(3)A—H—C—D—E—H—G—F—E—B(4)A—H—G—F—E—H—C—D—E—B(5)A—H—C—D—E—F—G—H—E—B(6)A—H—G—F—E—D—C—H—E—B(7)A—H—E—D—C—H—G—F—E—B(8)A—H—E—F—C—H—C—D—E—B(9)A—H—E—B11.分析：如图标注应用燕尾定理，得S，S，再由蝴蝶定理，BDE的面积=ADE的面积，所以BDM的面积=，同理CDM的面积=，而MD：DA=：2=1:5，所以三角形ABD的面积=5BDM的面积，同理三角形ACD=5CDM的面积，所以三角形ABC的面积=6BDC的面积=6（+）=3612.答案：16分析：此题考查比例行程问题。
要求会图形分析。
乙从8点12分到8点30分共18分钟走了3格（AC长度为一格）。
所以乙6分钟走一格，甲，乙相遇，可判断出在8:24分，然后甲丙相遇花了30-24=6分钟。
甲24分走一格，即走了格，所以丙6分钟走了格，丙6=8分钟走一格。
第五届全国大学生数学竞赛预赛(福建赛区)获奖名单公示
第五届全国大学生数学竞赛预赛（福建赛区）获奖名单公示各参赛院校：根据第五届全国大学生数学竞赛组委会的要求并参考其它省市的做法，由厦门大学、福州大学和福建师范大学三所学校派出教师参加福建赛区赛的阅卷工作。
本次福建赛区赛共有省内22所本科院校的505名学生报名参赛，其中实际参加考试的学生数为：数学专业组205人，非数学专业组243人。
根据第五届全国大学生数学竞赛组委会的规定，按照专业组与非专业组分别评奖，福建赛区赛的获奖总名额占总参赛人数的25%，其中一等奖、二等奖、三等奖分别占总获奖人数的20%、30%、50%，获奖证书冠名为“第五届全国大学生数学竞赛预赛*等奖”。
根据第五届全国大学生数学竞赛组委会的通知，福建赛区参加全国总决赛的人数为8名，其中数学专业3名，非数学专业5名，由第五届全国大学生数学竞赛福建赛区竞赛组织委员会在本次预赛的一等奖获得者中推选，由第五届全国大学生数学竞赛组织委员会批准。
福建赛区赛和全国总决赛的获奖证书均加盖“中国数学会普及工作委员会”的公章，每份获奖证书由承办单位中国科技大学收取工本费5元。
经第五届全国大学生数学竞赛福建赛区竞赛组织委员会组织专家评定，本次预赛评出数学专业一等奖10人，二等奖15人，三等奖26人，合计51人；非数学专业一等奖12人，二等奖18人，三等奖31人，合计61人。
具体名单公示如下，若有疑义者，请在2013年11月15日前提出具体明确理由，提交给第五届全国大学生数学竞赛福建赛区竞赛组织委员会予以裁定和回复。
第五届全国大学生数学竞赛预赛（福建赛区）获奖学生名单一、数学专业（一等奖10人，二等奖15人，三等奖26人，合计51人）二、非数学专业（一等奖12人，二等奖18人，三等奖31人，合计61人）第五届全国大学生数学竞赛福建赛区推荐参加全国决赛名单二、非数学专业 5人第五届全国大学生数学竞赛福建赛区竞赛组织委员会2013年11月11日。
第五届全国大学生数学竞赛(非数学类大纲)完整总结
一、1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型8．连续函数的性质和初等函数的连续性9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘8. 函数最大值和最小值及其简单应用9. 弧微分、曲率、曲率半径三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念2.不定积分的基本性质、基本积分公式3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分6.广义积分7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全\微分方程3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：4.线性微分方程解的性质及解的结构定理5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 4.多元复合函数、隐函数的求导法5.二阶偏导数、方向导数和梯度6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线7.二元函数的二阶泰勒公式8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz) 判别法3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛4.函数项级数的收敛域与和函数的概念5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法7.初等函数的幂级数展开式8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,1]上的正弦级数和余弦级数。
五届全国大学生数学竞赛《数学专业》黑龙江省获奖名单
数学类 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学类 数学与应用数学 数学与应用数学 数学 信息与计算科学 数学与应用数学 数学与应用数学 信息与计算科学 数学类 统计10-1 数学与应用数学 数学与应用数学 数学类 数学与应用数学 信息与计算科学 数学与应用数学
黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区 黑龙江赛区
黑龙江科技大学 黑河学院 黑河学院 东北林业大学 大庆师范学院 哈尔滨师范大学 哈工大（威海） 哈尔滨工业大学 黑龙江大学 黑龙江科技大学 哈尔滨师范大学 黑龙江科技大学 哈尔滨工业大学 黑龙江科技大学 哈尔滨工业大学 东北林业大学 佳木斯大学 哈尔滨师范大学 大庆师范学院 黑龙江科技大学 黑龙江科技大学 哈尔滨师范大学 黑龙江科技大学
数学与应用数学 数学系 数学与应用数学 数学与应用数学 信息与计算科学 数学与应用数学 信息与计算科学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学与应用数学 数学系 信息与计算科学 数学与应用数学 数学与应用数学
哈工大（威海） 哈尔滨师范大学 大庆师范学院 哈尔滨师范大学 哈尔滨师范大学 黑龙江大学 哈尔滨师范大学 哈工大（威海） 哈尔滨师范大学 哈尔滨师范大学 哈尔滨学院 黑龙江工程学院 哈尔滨师范大学 黑龙江科技大学 黑龙江八一农垦大学 哈工大（威海） 哈尔滨理工大学 黑龙江科技大学 哈尔滨师范大学 哈工大（威海） 大庆师范学院 黑龙江八一农垦大学 哈尔滨师范大学
第五届数学竞赛初赛答案
第五届数学竞赛初赛答案详解与说明一、计算题说明：本题的算式看上去挺繁，但细心观察不难发现括号内的三个乘（除）式都含有因数“3”，把“3”作为公因数提取后计算就简便多了。
《数学之友》（7）第63页上有一道十分类似的计算题。
2.解：1991×199219921992-1992×199119911991=1991×1992（100010001-100010001）=1991×1992×0=0说明：解本题的关键是迅速观察到被减数和减数含有公因数1991×1992，这个乘积可以暂时保留在式中，看括号内的计算结果是不是便于立即能口算出答案。
本题同《数学之友》（7）综合练习十的第2题也很相似。
数列的各项依次对应相加所得到的。
看出这一层关系，就容易想到把式中每”栏目内专门作了介绍。
二、填空题1.（1＋125）×25=3150说明：首先通过观察容易发现A、B两组数的排列规律。
这两组数都排成等差数列，并且每组数都有25个数。
用等差数列的求和公式可以算出结果，但必须先推算出A组数的第25个及B组数的第1个。
如果选手们能从“两组数个数相等”与“两组数都是公差为5的等差数列”这两个条件入手，用“首尾配对，变加为乘”（见本报1991年9月25日“教你思考”栏）的技巧来解，那么计算简便多了。
2.解：把该沿海城市地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G（如图5）。
为了便于观察，可以把图5改画成图6（相邻关系不改变）。
我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860（种）不同的染色方法。
说明：“加法原理与乘法原理”是本报223期“奥林匹克学校”栏所介绍的内容，但应用乘法原理来解本题，要谨防遗漏。
为了避免遗漏，就应适当选择染色的顺序。
第五届全国大学生数学竞赛预赛获奖名单
第五届全国大学生数学竞赛预赛获奖名单湖北省数学学会文件鄂数学会字 [2013] 4号关于公布第五届全国大学生数学竞赛获奖名单的通知湖北省数学学会各高校会员单位：第五届全国大学生数学竞赛的竞赛工作、评卷工作以及评奖工作均已顺利结束。
全国大学生数学竞赛湖北省赛区竞赛委员会根据竞赛成绩，并考虑各参赛单位的获奖分布情况，确定了获奖学生名单，现将获奖名单予以公布，其中：数学组一等奖2 6名，二等奖31名，三等奖56名；非数学组一等奖78名，二等奖115名，三等奖202名（详细名单见附件）。
特此通知。
附件：第五届全国大学生数学竞赛获奖名单湖北省数学学会二○一三年十二月二十日主题词：第五届全国大学生数学竞赛获奖名单湖北省数学学会秘书处 2013年12月20日印制打印：龙莎燕校对：胡元明印数：60份第五届全国大学生数学竞赛获奖名单一、数学类获奖名单一等奖（26人）袁航(武汉大学) 陈诚(武汉大学)武承达(武汉大学) 邓路(武汉大学)张仕俊(武汉大学) 罗思(武汉大学)龚圆(武汉大学) 王好武(武汉大学)刘平(武汉大学) 张鹤(武汉大学)赵麒(武汉大学) 黄恩惠(武汉大学)鲍恒涛(武汉大学) 张宇谦(武汉大学)张帅(武汉大学) 梁熙宁(武汉大学)毕宇晨(武汉大学) 詹昊(湖北大学)杨风平(武汉理工大学) 方晓磊(湖北师范学院)余立婷(湖北师范学院) 朱宝兵(湖北师范学院)高峰(湖北工程学院) 杨丽媛(湖北工程学院)刘琼(湖北文理学院) 高洁(长江大学)二等奖（31人）张浩楠(武汉大学）陶爽(武汉大学)张怡烽(武汉大学) 何智琦(武汉大学)邓文(武汉大学) 梁瑛(武汉大学)李思远(武汉大学) 钱立龙(武汉大学)杨凯(华中师范大学) 吕学武(湖北大学)肖艳(湖北大学) 吴康(湖北大学)王天(华中农业大学) 韩嫣(华中农业大学)杜宏伟(中国地质大学) 王博(中国地质大学)赵状(中国地质大学) 金佳(武汉科技大学)刘星(武汉科技大学) 侯明伟(武汉科技大学)叶东恒(武汉理工大学) 董超(湖北师范学院)韩雪梅(湖北师范学院) 赵胜军(湖北工程学院)彭巧(湖北工程学院) 郭亚男(湖北理工学院)何凯(湖北第二师范学院) 吴燚林(长江大学)刘超(湖北民族学院) 吴琪琪(湖北民族学院) 陈卓(湖北文理学院)三等奖（56人）陈褀频(武汉大学) 刘晨茹(武汉大学)于毅(武汉大学) 李畅(武汉大学)孙青(武汉大学) 罗永石武汉大学陈昊阳(武汉大学) 陈明洁(武汉大学)关泽昊(武汉大学) 楼苏旸(武汉大学)郑立奇(武汉大学) 张百正(武汉大学)刘小翠(华中师范大学) 张新雨(华中师范大学) 范道瀛(湖北大学) 艾清(湖北大学)邱靖(湖北大学) 李思辰(湖北大学)宋健(湖北大学) 冯昊翔(湖北大学)张宇(湖北大学) 曾诚(湖北大学)张颖(湖北大学) 余冲(湖北大学)陈丽红(中南民族大学) 徐国栋(中南民族大学) 白雪冰(中南民族大学) 叶皓(中南民族大学) 徐承蒙(华中农业大学) 张小丽(华中农业大学) 陶林(华中农业大学) 李晓云(华中农业大学) 聂晨光(中国地质大学) 金茹月(中国地质大学) 彭兰婷(武汉科技大学) 李子豪(武汉科技大学) 王小康(武汉科技大学) 尹凯凯(武汉科技大学) 阳晓慧(武汉理工大学) 舒浩浩(武汉理工大学) 石高丽(湖北师范学院) 尹婷(湖北师范学院) 陈正应(湖北师范学院) 袁大坤(湖北工程学院) 周唯(湖北工程学院) 张焰(湖北工程学院) 黄浩(湖北工程学院) 谭树心(荆楚理工学院) 李少华(武汉工程大学) 乔巍(湖北理工学院) 何凯(湖北第二师范学院) 冯成奎(湖北民族学院) 曾珍(湖北民族学院) 蒙建国(湖北民族学院) 程强(湖北文理学院) 曾双(湖北科技学院)二、非数学类获奖名单一等奖（78人）陈哲(华中科技大学) 龚永全(华中科技大学) 刘闯(华中科技大学) 岳子涵(华中科技大学) 邓鹤龄(武汉大学) 孙伟召(华中科技大学) 熊昆(华中科技大学) 尹畅(华中科技大学)何建宏(武汉大学) 张伟浩(华中科技大学)黄俊兴(武汉大学) 彭旭(武汉大学)熊磊(武汉大学) 胡泉(华中科技大学)汪洋(华中科技大学) 何传奇(武汉大学)吴映(华中科技大学) 贾东强(武汉大学)李科敏(华中科技大学) 张国务(华中科技大学)史彧铭(武汉大学) 王栋(武汉大学)徐亮(武汉大学) 宋清华(华中科技大学)张昂(华中科技大学) 胡蝶(武汉大学)严汉钊(华中科技大学) 周远哲(武汉大学)熊超(湖北工业大学) 陈天佑(华中科技大学)文俊(华中科技大学) 张艺镨(华中科技大学)景奇(武汉大学) 刘邓清(华中科技大学)王光华(华中科技大学) 黄彪(武汉大学)马宇哲(华中科技大学) 冀诸超(武汉大学)张佳奇(三峡大学) 杨名浩(湖北工业大学)洪文强(武汉大学) 谭资昌(华中科技大学)严康(华中科技大学) 佃仁伟(武汉科技大学)吕荣俊(武汉大学) 周俊力(湖北工业大学)陈磊(华中科技大学) 石文杰(华中科技大学)王阿琪(华中科技大学) 李德龙(武汉科技大学)周凯(武汉大学) 余拥军(华中科技大学)唐宪(华中科技大学) 陈杰涛(华中科技大学)刘一鸣(湖北理工学院) 王进(长江大学)袁密(华中科技大学) 张创(华中科技大学)杨远哲(华中科技大学) 赵超(中南民族大学)魏聪颖(武汉大学) 陈祥磊(华中科技大学)黄炎(华中科技大学) 杨思慧(华中科技大学)姚信(华中科技大学) 张鹏(湖北工业大学)熊文登(武汉理工大学) 周旸(长江大学)俞光(湖北汽车工业学院) 杨龙(长江大学)易婷(武汉纺织大学) 刘傲洋(湖北工业大学)向超(武汉纺织大学) 杨德清(长江大学)彭永子(湖北汽车工业学院) 江霜艳(湖北工业大学)李冬芝(湖北工业大学) 杨志(湖北汽车工业学院) 二等奖（115）曹紫葳(华中科技大学) 时胜磊(华中科技大学)杨金(华中科技大学) 孙智博(华中科技大学)李林(武汉科技大学) 王强(武汉大学)许泽华(武汉大学) 左岩(华中科技大学)陈越(华中科技大学) 文湘辉(华中科技大学)肖静(武汉大学) 成天亮(华中科技大学)胡哲(华中科技大学) 詹家豪(华中科技大学)刘宇(华中科技大学) 许愿(华中科技大学)陈东东(华中科技大学) 王豪(华中科技大学)汪昌明(中国地质大学) 徐永浩(武汉大学)曹建洲(华中科技大学) 姜进(华中科技大学)许安安(武汉大学) 王震(华中科技大学)李航(华中科技大学) 徐一凡(华中科技大学)郑剑(华中科技大学) 于安斌(武汉理工大学)黄宇(华中科技大学) 张青(华中科技大学)程巧云(中南民族大学) 李航(华中科技大学)胡中正(武汉科技大学) 桂腾(武汉科技大学)肖珂(武汉大学) 邓凡(华中科技大学)罗琳(华中农业大学) 刘海江(武汉科技大学)范志华(华中科技大学) 黄海林(武汉科技大学)朱蜀(武汉大学) 陈星(华中科技大学)李佳(武汉纺织大学) 汪昌港(湖北工业大学)兰天(武汉大学) 栗法(武汉大学)孟春宇(武汉大学) 邢海峰(武汉大学)言茂成(武汉大学) 夏阳(华中科技大学)杜胜(中国地质大学) 卢曰海(湖北工业大学)刘勇军(武汉大学) 万欣(武汉大学)方深(华中科技大学) 汪钰堃(华中科技大学)王福(湖北汽车工业学院) 罗显(华中科技大学)侯庆春(华中科技大学) 贺军(湖北汽车工业学院) 高帆(华中科技大学) 闻嵩(华中科技大学)蔡易(中国地质大学) 李柏依(武汉科技大学)曾鑫(武汉大学) 刘尚(武汉大学)吴迪(武汉大学) 肖洋(华中科技大学)王平德(长江大学) 王关政(湖北工业大学)臧毅(华中科技大学) 吴靖(湖北工业大学)李翔泉(武汉大学) 赵宏伟(华中农业大学)刘连华(武汉科技大学) 唐昌顺(长江大学)程凌(湖北工业大学) 郑高兴(华中农业大学)史义文(长江大学) 袁伟(湖北工业大学)潘俨文(武汉科技大学) 冯亚楠(湖北汽车工业学院) 李阳琳(华中科技大学) 袁茂(华中科技大学)祝立松(华中农业大学) 沈亮(华中科技大学)何鹏飞(武汉科技大学) 李兵(长江大学)李波(长江大学) 周鹏(武汉大学)陈鑫(华中科技大学) 刘柯柯(华中科技大学)马承浩(华中科技大学) 曾学盛(华中农业大学)蔡伟(中国地质大学) 陈浩(武汉科技大学)孙潮旭(武汉理工大学) 汤小奇(武汉理工大学)刘文涛(长江大学) 黄柱安(湖北汽车工业学院) 程忠坤(武汉大学) 陈阳振(湖北理工学院)彭豪(湖北理工学院) 吴智深(武汉理工大学) 汪锋(湖北工业大学) 周志(长江大学)刘强(三峡大学) 吴成铭(湖北经济学院) 黄友亮(长江大学) 马文通(长江大学)彭胜(长江大学) 王义武(长江大学)何之颂(武汉工程大学) 操子晨(湖北理工学院) 张正强(湖北工业大学)三等奖（202人）陈耘(华中科技大学) 丁傲霜(华中科技大学) 邱越(华中科技大学) 杨帆(华中科技大学) 陈凡(武汉科技大学) 舒高峰(武汉大学)刘佳毅(华中科技大学) 孟岩(华中科技大学) 吴智深(武汉理工大学) 王锦耀(华中科技大学) 李舒燕(中国地质大学) 甘宇飞(武汉大学)姜志滨(华中科技大学) 左炎(华中科技大学) 陈兴怖(武汉理工大学) 龙力(武汉大学)孙文斌(武汉大学) 田保未(武汉大学)黄煜(华中科技大学) 孙志斌(华中科技大学) 韦俊琳(华中科技大学) 鲁强兵(武汉理工大学) 吴雷晔(武汉大学) 许磊(武汉大学)杨得志(武汉大学) 陈博(华中科技大学) 孔思聪(华中科技大学) 李小龙(华中科技大学) 罗真(华中科技大学) 洪侠(华中农业大学) 冯茂源(武汉大学) 刘金鑫(武汉大学)姚彤彤(武汉大学) 李寿航(华中科技大学) 何松(武汉科技大学) 刘子政(武汉大学)蔡一凡(华中科技大学) 胡杰(华中科技大学) 杨康(华中科技大学) 张鹏飞(华中科技大学) 程佳(武汉科技大学) 姜霁芙(武汉理工大学) 佘肖伟(湖北理工学院) 侍从超(三峡大学)黄诗(中国地质大学江城学院) 郑瞩(华中科技大学) 黄超(武汉科技大学) 王静(武汉理工大学) 季俊杰(湖北工程学院) 杨光(湖北理工学院) 方欣(长江大学) 周赛虎(长江大学)孙世博(武汉大学) 银文文(武汉大学)刘瑜琛(华中科技大学) 韦瑞新(华中科技大学) 程正喜(中国地质大学) 慕宏罡(武汉科技大学) 文凤(武汉科技大学) 余烨(湖北师范学院) 田小东(湖北工程学院) 李阳(长江大学)王成(长江大学) 陈子萍(华中科技大学) 罗强(华中科技大学) 李永甲(武汉理工大学) 李鹏清(湖北师范学院) 张微(湖北工业大学) 张振东(三峡大学) 陆健男(武汉大学)陈鑫(华中科技大学) 张弘慧(华中科技大学)张焱磊(华中农业大学) 马万伟(中国地质大学)任新星(武汉科技大学) 赵周星(武汉科技大学)刘洋(湖北理工学院) 舒康(长江大学)徐静(武汉大学) 林俊(武汉科技大学)刘为(武汉科技大学) 李念念(武汉理工大学)刘圣源(武汉理工大学) 肖从斌(武汉理工大学)李烈强(湖北工程学院) 刘津旭(武汉大学)樊晓伟(华中农业大学) 关长阁(华中农业大学)吕宏根(武汉科技大学) 冯荷花(武汉纺织大学)岑胜(湖北理工学院) 黄林伟(湖北工业大学)孙鹏昌(武汉大学) 方金霞(华中科技大学)钱春桥(华中科技大学) 王晶(华中科技大学)常依(中国地质大学) 黄从亮(武汉理工大学)倪亚飞(长江大学) 田丹(三峡大学)毕杨(武汉大学) 林川(武汉大学)刘振英(武汉大学) 唐雷(华中科技大学)上官星辰(中国地质大学) 敖黎明(武汉科技大学)喻光宝(武汉科技大学) 胡双清(华中科技大学文华学院)戴济顺(湖北工业大学) 秦大双(中国地质大学江城学院)陈文生(武汉大学) 杜定益(华中科技大学)王洪阳(华中科技大学) 丁仕斑(中国地质大学)曾科南(武汉工程大学) 林凯(湖北工业大学)刘强强(华中科技大学) 王雨晴(华中科技大学)熊丰(华中科技大学) 王凌霄(中国地质大学)张远(武汉科技大学) 何锐(武汉理工大学)兰总金(武汉理工大学) 薛前(武汉理工大学)胡杰(湖北工程学院) 宋中喆(荆楚理工学院)徐期树(长江大学) 左胜胜(湖北汽车工业学院)段先宇(湖北工业大学) 罗智文(武汉大学)聂浩(武汉大学) 尚云飞(华中科技大学)徐江桥(武汉理工大学) 赵庆海(湖北师范学院)胡江涛(湖北工业大学) 屈非(武汉大学)杨润强(武汉大学) 段汝婷(华中科技大学)张梦颖(中南民族大学) 林小燕(中国地质大学)刘涛(武汉理工大学) 彭灿(武汉理工大学)徐周亮(长江大学) 王美娟(湖北工业大学)陈才咏(武汉大学) 陈紫珍(武汉大学)王曹(武汉大学) 王治芳(华中科技大学)陶忠诚(中南民族大学) 黄涛(武汉理工大学)孙健华(湖北工程学院) 李庭轩(武汉工程大学)雷奇红(湖北理工学院) 李子昂(中国地质大学)方文兵(武汉科技大学) 汪继(武汉科技大学)杨华实(武汉科技大学) 王帆(湖北工程学院)孔阳(三峡大学) 罗旭袆(武汉大学)唐科(武汉大学) 王玉珏(武汉大学)刘陈义(华中科技大学) 施朦(华中科技大学)周靖钧(华中科技大学) 程潇(中国地质大学)董泽照(武汉理工大学) 漆小舟(武汉理工大学)周颖(湖北师范学院) 喻争(长江大学工程技术学院)罗晨燕(武汉大学) 唐烈峥(武汉大学)王烔(武汉大学) 吴宇迪(武汉大学)苏海磊(华中科技大学) 杨航(华中科技大学)陈燕波(华中农业大学) 李茜(武汉理工大学)马栋梁(武汉理工大学) 高霄(武汉大学)谭雪飞(华中科技大学) 温成成(华中农业大学)范高华(中国地质大学) 黄卢杏(武汉科技大学)刘浩轩(武汉科技大学) 舒淦(武汉科技大学)朱凡(武汉理工大学) 黄光亮(湖北工程学院)周豪(武汉工程大学) 明敏(湖北理工学院)涂一航(湖北工业大学) 李壮(武汉大学)王智华(武汉大学) 奚鹏飞(武汉大学)张颂来(武汉大学) 杨丰阁(武汉大学)袁啟成(武汉大学) 周俊松(武汉大学)汪永乐(湖北经济学院) 杨锐(湖北科技学院)熊小菁(湖北第二师范学院) 汪茂春(湖北文理学院。
关于公布市南区小学生第五届数学竞赛成绩的通知
关于公布市南区小学生第五届数学竞赛成绩的通知
局属各小学：
为挖掘学生的数学潜能，为丰富学生的课外生活，为培养合格加特长的学生，我区于2007年11月17日举行了市南区小学生第五届数学竞赛。
在全区324名学生的积极参与中,在各校的大力支持下, 本次数学竞赛已圆满结束。
现将本次数学竞赛学生获奖情况及团体成绩公布如下：
市南区小学第五届数学竞赛成绩
一等奖：（60名）
二等奖：（69名）
三等奖：（82名）
第五届数学竞赛团体获奖名单
通过对各校参赛学生成绩的统计，以下九所学校获一、二等奖人数占参赛总人数的50%以上，这九所学校获得市南区第五届数学竞赛“团体优胜奖”。
这九所学校分别是：
市实验小学、南京路小学、榉园学校、嘉峪关学校、基隆路小学、文登路小学、新世纪学校、新昌路小学、福林小学。
教育中心将对其进行表彰奖励。
友情提示：
1．我区将组织在本次市南区第五届小学生数学竞赛中获得一等奖的60名学生参加青岛市举行的“2007年义务教育阶段数学能力竞赛”。
希望各校能重视此项工作，在这段时间里组织这些学生做好参加青岛市数学竞赛的
准备。
2．请各校认真核对学生姓名与辅导教师的姓名（每名学生只能填写一位辅导教师），并务必于本周三（12月5日）将核对情况反馈到教育中心数学组。
逾期不反馈将做没有问题处理，后期出现问题后果自负。
市南区教育中心
2007年12月3日。
2021年03月-数学类一、二年级参考解答-第五届全国决赛试卷
2014 年第五届全国大学生数学竞赛决赛（数学类一、二年级）参考答案一、【参考证明】：设l 是过P 点的抛物面S 的一条切线，它的方向向量为V 示为= (u , v , w )，则切点可以表 Q = P + t V = (a + tu ,b + tv ,c + tw ),2 2其中t 是二次方程2(c + tw ) = (a + tu) + (b + tv ) , 也就是的唯一重根.(u 2 + v 2)t 2 + 2(au + bv - w )t + (a 2 + b 2 - 2c ) = 022 2 2 2w - au - bv a 2 + b 2 - 2c 这时，(au + bv - w ) 是切点= (u+ v)(a + b - 2c ), 得t ==u 2 + v 2. 于w - a u - b vQ = (X ,Y , Z ) = (a + tu ,b + tv ,c + tw )满足aX + bY - Z = (a 2 + b 2 - c )+ t (au + bv - w ) = c .于是所有切点Q 落在平面ax + by - z = c 上.二、【参考证明】：(1) 由于tr (A ) 是A 的特征值之和，得λ1 的代数重数也是 3，而A 的另一特征值λ2 = 0 ，且λ2 = 0 的代数重数为 1. 结果A 有四个线性无关的特征向量. 故A 可对角化. (2) 由于λ1 = 2 的重数为 3，故有⎛ 0 2 2 -2⎪⎫ ⎪rank (A - 2E ) = rank a -2 b c ⎪. ⎪ d e -2 f ⎪⎝g h k2 ⎪⎭ 进而a / 0 = -2 / 2 = b / 2 = c / -2 ，得a = 0,b = -2,c = 2;d / 0 =e / 2 = -2 / 2 =f / -2 ，得d = 0,e = -2, f = 2;g / 0 =h / 2 = k / 2 = 2 / -2 ，得g = 0,h = -2, k = -2 ，⎛ 2 2 2 -2⎪⎫ ⎪ 于是A = 0 0 -2 2 ⎪. 注意到f (x , x , x , x ) = x T Ax = x T Bx , 其中 1 2 3 4 0 -2 0 2 ⎪ ⎝0 -2 -2 4 ⎪⎭1 2 3 4⎛ 2 1 1 -1⎪⎫ T1 0 -2 0 ⎪ B = A + A , B = ⎪.21 -2 0 0 ⎪ ⎪ -1 0 0 4 ⎪ ⎝⎪⎭ B 的特征值为λ1 = 2 （二重），λ1,2 = 1 ± 2 为2y 2 + 2y 2 + (1 + 2 3)y 2 + (1 - 2 3)y 2. （一重）. 故 f (x 1, x 2, x 3, x 4 )在正交变换下的标准型三、【参考证明】：(1) A 有n 各线性无关的特征向量，故A 可对角化. 设λ0 是A 的一个特征值，考察A - λ0I ，它有一个n - 1 阶子式不为 0，结果rand ( A - λ0I ) = n - 1. 故λ0 的重数为 1，从而A 有 n 个各不相同的特征值：λ1,λ2,, λn .(2) ∀X 1, X 2 ∈W , ∀μ ∈ R ， 显 然 X 1 + μX 2 ∈W ,故 W 为 R 上 的 向 量 空 间 . 让⎛ λ1 0 0 ⎫⎪ ⎪ -1A = P 00 ⎪P ，于是 ⎝ 0 0 λn ⎪⎪⎛ λ10 ⎫⎪⎛ λ10 0 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1 XA = AX ⇔ XP 0 0 ⎪P = P 0 0 ⎪P X 0 0 λ ⎪ 0 0 λ ⎪ ⎛ λ1 ⎝ 0 0 ⎫⎪ n ⎪⎭ ⎛ λ1 ⎝ 0 0 ⎫⎪ n ⎪⎭-1⎪ ⎪ -1⇔ P XP 0 0 ⎪ = 0 0 ⎪P XP . 00 λ 0 0 λ ⎪故若记⎝n ⎪⎭ ⎝⎧⎪ ⎛ λ n ⎪⎭0 ⎫⎪ ⎛ λ 0 0 ⎫⎪ ⎫⎪ ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪V = ⎪⎨Y ∈ R n ⨯n |Y 0 0 = 0 0 Y ⎪⎬, ⎪0 0 λ ⎪ 0 0 λ ⎪ ⎪⎪⎝ n ⎪⎭ ⎝ n ⎪⎭ ⎪⎩⎭ 则W 与V 有线性同构σ : X → P -1XP . 从而⎧⎪⎛d 0 0 ⎫dim V ⎫⎪ = dim W .⎪ 1 ⎪ ⎪ 注意到V = ⎪ 0 0 ⎪ | d ,,d ∈ R ， 故 ⎨⎪ ⎪ 1 n ⎬⎪⎪ 00 d n ⎪ ⎪ ⎪⎩⎝ ⎭⎪⎭ dim V= dim W = n .(3) 显然， I , A ,, A n -1 ∈W . 下面证I , A ,, A n -1 线性无关. 事实上，若x I + x A + + x A n -1 = 0 ，1n -1则得3 ⎭λ = 0 1 2 n ⎦ ⎝ ⎰ 则有h '(t ) = f (t ) ββ-1 - 2f '(t ) . k m m k m k m 1 2 n i i 1 ⎰ ⎰ ⎢ ⎥ ( ) t x 0 + x 1λ1 ++ x n -1 n -1 1x + x λ ++ xλ n -1 = 0 01 nn -1 n其系数行列式为范德蒙行列式，由λ ,λ ,,λ 各不相同，故I , A ,, A n -1 线性无关，即I , A ,, A n -1为其一组基.四、【参考证明】：用反证法. 设存在x 0 ∈ ⎡⎢⎣a ,b ⎤⎥ 使得z (x 0 ) > y (x 0 ). 令M = {x ∈ ⎡⎢⎣a ,b ⎤⎥⎦ | z (x ) > y (x )},则M 为⎡⎢⎣a ,b ⎤⎥⎦ 的非空开子集. 故存在开区间(α, β)⊂ M 满足 y (α) = z (α), z (x ) > y (x ), x ∈ (α, β).这推出z (x )- y (x )单调不增，故z (x )- y (x ) ≤ z (a )- y (a ) = 0. 矛盾.五、【参考证明】：令g (t ) = ⎛ t 0 ⎫β f (x )d x ⎪ ⎭ - t f α 0 (x )d x , 则g (t ) 可导， ⎡ ⎛ t ⎫β-1⎤ g '(t ) = f (t )⎢β f (x )d x ⎪- f α-1(t )⎥ . ⎢ ⎝⎰0 ⎪⎭ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦1 ⎡ 1 ⎤令h (t ) = ββ-1 t f (x )d x - f 2(t ), 0⎢ ⎥ 由于β > 1, f ' x ≤ 1 ， ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢⎥⎦ 我们有h '(t ) ≥ 0 . 这说明h (t ) 单调递增，从h (0) = 0 ，得h (t )≥ 0 . 因而g '(t ) ≥ 0 . 从g (0) = 0 ， 得g (t )≥ 0 ，即⎰f α(x ) d x ≤ ⎛⎰ t ⎫β f (x )d x ⎪ .令t → +∞ ，即得所证.⎝ 0⎪⎭六、【参考证明】：C max = 1 - 2. 不妨设f (x ) 的最小实根为 0，最大实根为a . 设nf (x ) = (x - x 1 )(x - x 2 )(x - x n ),先证以下引理：0 = x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x n = a .引理：若存在2 ≤ k , m ≤ n - 1 使得x k < x m ，令x k < x ' ≤ x ' < x 满足x + x = x ' + x' , 令 f 1 (x ) = (x - x ')(x - x ' )(x - x ' ), x ' = x , i ≠ k , m . 则d (f ') ≤ d (f ').证明：注意到f (x ) = f 1 (x )- δF (x ), 其中1k m k m-F (x ) =f 1 (x ), δ = x 'x '- x x> 0.(x - x ' )(x - x ' )设α, β 分别为f '(x ) 的最大最小实根，则有 k mk mn由罗尔定理α ≥ x m , β ≤ x k ，并且 f 1 (α) ≤ 0, f 1 (β)(-1)(2α - x ' - x ' ≤ 0.)f '(α) = δkm(α - x ' )2(α - x ' )2 f 1(α). 则 f '(α)f 1(α) ≥ 0 ，故 f '(α) ≤ 0 . 这表明 f '(x ) = 0 的最大实根大于或等于α. 同理， f '(x ) = 0 最 小实根小于或等于β. 引理证毕. 令g (x ) = x (x -a )(x -b )n -2,b =x 2 + x 3 ++ x n -1.n 2由引理得到d (f ')≥ d (g '). 由于g '(x ) = (x - b )n -3(nx 2 -((n - 1)a + 2b )x + a b ),2 d (g ') =≥ 1 - a . n⎛ a ⎫n -2于是C 的最大值C max ≥ , 且当f (x ) = x (x -a ) x - ⎪ 时， d (f ') = (f ).⎝2 ⎪⎭a 2 -2a 2⎛a - 2b ⎫2n + ⎝ n ⎪ ⎪⎭ 1 - 2 n 1 - 2 n。
一道定积分数学竞赛题的解法研究
一道定积分数学竞赛题的解法研究
徐伟孺
【期刊名称】《遵义师范学院学报》
【年(卷),期】2023(25)1
【摘要】第五届全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)试题中有一道关于求定积分的计算题,基于定积分的性质,并使用一个反正切函数的恒等式,将该题进行推广和延伸,并归纳了两个结论,给出了所构造新题的简洁解法。
【总页数】2页(P120-121)
【作者】徐伟孺
【作者单位】四川师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
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2.由一道数学竞赛题的多种解法反思数学教学
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4.对一道不定积分竞赛题的解法探究与拓展
5.一道不定积分竞赛题的解法及其拓展
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陕西省第五次大学生高等数学竞赛
陕西省第五次大学生高等数学竞赛
佚名
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2004(7)6
【总页数】3页(P57-59)
【关键词】大学生;高等数学竞赛;参考答案;解题思路
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.一个非线性微分方程的多种解法——陕西省大学生高等数学竞赛题系列分析之五[J], 龚冬保;叶正麟;褚维盘
2.数学应用问题求解实例分析--陕西省大学生高等数学竞赛题系列分析之二 [J], 叶正麟;龚冬保;褚维盘
3.略说多项式的应用方法——陕西省大学生高等数学竞赛题系列分析之三 [J], 龚冬保;褚维盘;叶正麟
4.陕西省高校今年九、十月举行第五次大学生数学竞赛 [J],
5.陕西省高校第十一次大学生高等数学竞赛试卷分析 [J], 孙中奎;陆全;叶正麟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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“校园时代”第五届数学素质竞赛初赛试卷
（满分：120分 时间：90分钟）
注意事项：1、本卷共三个大题，请你用钢笔或圆珠笔认真地书写出答案。
一、填空。
（3×11=33）
1、两个连续自然数的和乘以它们的差，积是99，这两个自然数中较大的数是 。
2、24可以分为几对不同质数的和，这几对质数是 。
3、一个两位数，个位上和十位上数字都是合数，并且是互质数，这个数最大是 。
4、有甲乙两个家店：如果甲店的利润增加20%，乙店的利润减少20%，那么两店的利润相等。
原来甲店利润是乙店利润的 %。
5、如果规定a*b=5×a-1/2×b ，，其中a 、b 是自然数，那么10*6= 。
6、一个最简分数，它的分子除以2，分母乘以3，化简后得3/29，这个最简分数是 。
7、一项工程，甲单独做需14天完成，乙队单独做需7天完成，丙队单独做需要6天完成。
现在乙、丙两队合做3天后，剩下的由甲单独做，还要 天才能完成任务。
8、在1至2000这些整数里，是3的倍数但不是5的倍数的数有 个。
9、一串珠子按照8个红色2个黑色一次穿成一圈共40粒，一只蟋蟀至少要跳 次，才能又落在黑珠子上。
10、自然数N 有很多个因数，把它的这些因数两两球和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N 有 个因数。
11、密封的瓶中，如果放进一个细菌，60秒钟后充满了细菌，已知每个细菌每秒分裂成2个，两秒钟分裂成4个，如果开始放8个细菌。
要使瓶中充满细菌最少需要 秒。
二、判断题。
（1.5×4=6）
1、已知自然数a 只有两个约数，那么5a 最多有3个约数。
（ ）
2、张师傅加工了103个零件，有3个不合格，合格率是100%。
（ ）
3、1996年是闰年，奥运会在美国举行，因此每4个一次的奥运会都将在闰年举行。
4、根据比例的基本性质，x:y=5:1可以写成y=5
1
x 。
（ ）
三、选择题。
（2×4=8）
1、100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（ ） A 、75 B 、85 C 、90 D 、95
2、有两根同样长的钢管，第一根用103米，第二根用去10
3
米，比较两根钢管
剩下的长度（ ）
A 、第一根长
B 、第二根长
C 、两根一样长
D 、不能确定 3、下列说法正确的是（ ）
A 、1条射线长12厘米；
B 、角的大小与边的长短有关系；
C 、等腰三角形一定是锐角三角形；
D 、圆的周长和它的直径成正比例。
4、一个高30厘米的圆锥容口袋，盛满水倒入和它等底等高的圆柱体容器内，容器口到水面距离是（ ）
A 、10厘米
B 、15厘米
C 、30厘米
D 、90厘米 四、能简算的要简算。
（4×4=16） 1、5.1264.25
4
3617.64
11⨯=÷+⨯ 2、99972752532312⨯++⨯+⨯+⨯ 3、901972175615421330112091276
51+-+-+-+-
4、⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⨯⨯⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛-1099433322211
五、在三角形ABC 中，， 90C =∠AC+BC=10厘米，A 为扇形AEF 的圆心，
六、应用题。
（6×8=49）
1、在一个边长为1米的正文形木框ABCD 的两个顶点A 、B 分别有两只蚂蚁甲、乙，沿着木框逆时针爬行，如图。
10秒钟后甲、乙距离B 点的距离相同。
30秒钟后甲、乙距B 点的距离又一次相同。
甲蚂蚁沿木框爬行一圈需多少秒，乙蚂蚁沿木框爬行一圈需多少秒？
2、一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达。
但汽车行驶到3/5路程时，出了故障。
用5分钟修理完毕。
如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？
3、新新商贸服务公司，为客户出售货物收取3%的服务费，代客户购物品收取2%的服务费，今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代为购置新设备。
已知该公司扣取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡，问所购置的新设备花费（价钱）是多少元？
4、一项工程，甲、乙两人合做8天可完成。
甲单独做需12天完成。
现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1:3。
这个工程实际工期为多少天？
5、王佳期中考试语文、数学、英语、物理、化学五门功能总分是448分，已知前三门平均91分，后三门平均88分，王佳英语考了多少分。
6、学校卫生室把四年级学生平均分成四批检查视力，第一批和第三批学生视力全部正常，第二批学生中90%视力正常，第四批学生中有
12
1
视力不正常。
已知四年级学生中视力正常的共229人，视力不正常的有多少人？
7、操场上有108名同学的锻炼身体，其中女生占9
2，后来又来了几名女生，使女生人数和男生人数的比是3:7，后来来了几名女生？
8、甲乙两班人数相等，各有一些同学参加数学课外小组。
甲班参加的人数恰好是乙班没有参加的4
1
，乙班参加的人数恰好是甲班没参加人数的5
1，甲班没参加人数是乙班没参加人数的几分之几？（先画线段图分析2分，后列式解答4分。
）。