辽宁省凌海市石山初级中学2017-2018学年高二数学(通用版)寒假作业：每日一题——第17题 Word版含答案

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2017-2018学年高二上学期数学(文)人教版寒假作业(含答案和解析)

训练01 正弦定理与余弦定理高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断ABC △的形状．【参考答案】（1）A ＝23π；（2）ABC △是等腰钝角三角形．（1）在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．（2）几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题．解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中．（3）研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题．解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．1．（2017新课标全国Ⅰ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2a =，c =C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π32．已知A ，B ，C 为ABC △的内角，tan A 、tan B 是关于x 的方程210()x p p +-+=∈R 的两个实根．（1）求C 的大小；（2）若3AB =p 的值．3．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin 0A A +=，a =2b =．（1）求c 的值；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练02 等差数列与等比数列的综合问题高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和3S =92．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】（1）1=2n n a +；（2）21nn T =-．解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．1．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5a = A ．0B ．2-C ．3D ．无法求解2．（2017新课标全国Ⅰ文）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且373,28a S ==，在等比数列{}n b 中，344,8b b ==．（1）求n a 及n b ；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练03 简单的线性规划问题高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆（1）已知x ，y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数1y z x m +=-的取值范围为[0，2)，则m 的取值范围为A ．[0，12] B ．(－∞，12] C ．(－∞，12)D ．(－∞，0]（2）若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，+∞)D ．[4，+∞)【参考答案】（1）C ；（2）D ．【试题解析】（1）作出10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示．目标函数1y z x m +=-的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，－1)连线的斜率．由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即B (2，－1)．由题意知2m =不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0．由1y =-与220x y --=得交点C (12，－1)，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，而目标函数的取值范围满足z ∈[0，2)，则12m <，故选C ．求解线性规划问题时需要注意以下几点：（1）在可行解中，只有一组(x ，y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个．如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值．（2）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个．如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解．（3）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解．（4）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式．（5）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围．1．设x ，y 满足211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若3M x y =+，N =(12)x 72-，则A ．M N >B ．M N =C ．M N <D ．M ，N 的大小关系不能确定2．设实数x ，y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数0),(0z ax by a b =+>>的最大值为10，则222a b a ++的最小值为A ．2113 B ．2213 C ．3613D ．2413_______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________训练04 基本不等式高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）函数1(0)4y x x x=+>取得最小值时，x 的值为 A ．12-B ．12C ．1D ．2（2）已知1x >，1y >，且2log x ，14，2log y 成等比数列，则xy 有A B ．最小值2CD ．最大值2（3）已知,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值为A ．5B ．45C ．2D ．23【参考答案】（1）B ；（2）A ；（3）C ．（3）由题意可得：222211,22x y z y +≥+≥，结合不等式的性质有2x z y ==时等号成立，即2222xy yz x y z +≤++222xy yz x y z +++的最大值为2．故选C ．利用基本不等式求最值的常用技巧如下：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有：①拆——裂项拆项，对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；②并——分组并项，目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值；③配——配式配系数，有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．注意：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般利用函数的单调性求解．1．若正实数a ，b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4BC ．ab 有最小值14D ．22a b +有最小值22．在区间[2,4]-上随机地取一个数x A ．13 B ．12C ．23D ．343．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房，经初步估计得知，如果将楼房建为1(2)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为3000()50Q x x =+（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为_____________层，每平方米的平均综合费用最少为_____________元（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练05 命题真假的判断高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）已知命题p ：2＋2＝5，命题q ：23≤，则下列判断错误的是A ．p q ∨为真，q ⌝为假B ．p q ∧为假，q ⌝为假C ．p q ∧为真，q ⌝为假D ．p q ∧为假，p q ∨为真（2）已知命题p ：∀x ∈[1，2]，230x a -≥，命题q ：∃x ∈R ，2220x ax a ++-=，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为_______________；（3）下列命题：①“54>或45>”；②命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题； ③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中真命题的个数为_______________．【参考答案】（1）C ；（2）(,2][,13]-∞-；（3）2．（3）①因为54>是真命题，所以“54>或45>”是真命题；②命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题为“若a b ≤，则a c b c +≤+”，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，故命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题为真命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题为“若两个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”，显然不正确，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，故命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题为假命题．所以正命题的个数为2．（1）四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．（2）给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可；②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．（3）辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假．（4）要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．1．给出下列两个命题，命题p ：函数[(ln 11)()]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数1ln 1xy x-=+是奇函数，则下列命题为假命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．p q ∨D ．()p q ∧⌝2．给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤-，则20x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数”．其中的假命题是_______________．（写出所有假命题的序号）3．若tan 1m x ≤+”为真命题，则实数m 的最大值为_______________．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练06 充分、必要条件的判断高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）（2017天津）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】（1）B ；（2）C ．（1）从定义来看，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．（2）设“若p ，则q ”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，则p 是q 的必要不充分条件； ③当原命题与逆命题都为真时，则p 是q 的充要条件；④当原命题与逆命题都为假时，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若条件:1p x ≤，且p ⌝是q 的充分不必要条件，则q 可以是 A ．1x > B ．0x > C ．2x ≤D ．10x -<<_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练07 全称量词与存在量词高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）命题“对任意的x ∈R ，都有2e ln(1)0x x ++≥”的否定为A ．对任意的x ∈R ，都有2e ln(1)0x x ++< B ．不存在x ∈R ，使得2e ln(1)0x x ++<C ．存在0x ∈R ，使得020e ln(1)0xx ++≥ D ．存在0x ∈R ，使得020e ln(1)0x x ++<（2）命题“有些实数的平方是0”的否定为A ．x ∀∈R ，20x ≠B ．0x ∃∈R ，200x ≠ C ．x ∀∈R ，20x =D ．0x ∃∈R ，200x =【参考答案】（1）D ；（2）A ．1．下列命题中，是真命题且是全称命题的是A ．对任意的a b ∈R 、，都有222220a b a b -+-<+B ．菱形的两条对角线相等C ．x ∃∈R x =D ．正比例函数在定义域上是单调函数 2．下列特称命题是假命题的是 A ．有些不相似的三角形面积相等B ．存在一实数0x ，使20010x x ++<C ．存在实数a ，使函数=y ax b +的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身3．若命题“0x ∃∈R ，使得200(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是__________________．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练08 椭圆的离心率高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59（2）已知椭圆的方程为222(3)0x y m m +=>，则此椭圆的离心率为A ．13BCD ．12（3）（2017新课标全国III 文）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．13【参考答案】（1）B ；（2）B ；（3）A ．（3）以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ．1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A．13B．12C．23D．342．直线y=与椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为A BC1D．4-_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练09 双曲线的离心率与渐近线方程高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆（1）已知F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使得1290F AF ∠=︒，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线的离心率e =ABCD（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．430x y ±=B ．350x y ±=C ．540x y ±=D ．340x y ±=【参考答案】（1）B ；（2）A ．【试题解析】（1）由121223AF AF a AF AF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩⇒123AF a AF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由1290F AF ∠=︒，得2221212AF AF F F +=，即222(()2)3a a c +=，得e =B ．（1）对于双曲线的渐近线方程，有以下两种考查方式：①已知双曲线的方程求其渐近线方程；②给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ，b 的关系，结合已知条件可解．1．（2017新课标全国II 文）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)2．如图，已知F 1、F 2分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为第一象限内一点，且满足|F 2P|=a ，(1F P +12F F )·2F P =0，线段F 2P 与双曲线C 交于点Q ，若|F 2P|=5|F 2Q|，则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±3．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(3,)4-，则此双曲线的离心率为．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练10 抛物线的定义的应用高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆（1）已知抛物线C ：20)2(x py p =>上一点4(),A m 到其焦点的距离为174，则p ，m 的值分别为 A ．1p =，2m = B ．1p =，2m =± C ．12p =，2m = D ．12p =，2m =± （2）过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点11(),A x y ，22(),B x y ，若7AB =，则AB 的中点M到抛物线准线的距离为_________________；（3）已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线22(0)y px p =>上，且AB CD ∥，2AB =，4CD =，60ADC ∠=︒，则点A 到抛物线的焦点的距离是_________________．【参考答案】（1）D ；（2）72；（3）12．（3）由题意可设(,1)A m，(2)D m +A到抛物线的焦点的距离是2p m +=+=1．如图，已知点()Q 及抛物线24x y =上的动点,()P x y ，则y PQ +的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．2．设F 为抛物线2:12C x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=A ．3B ．9C ．12D ．183．已知11(),A x y ，22(),B x y ，33(),C x y 是抛物线20)2(y px p =>上的三个点，且它们到焦点F 的距离AF ，BF ，CF 成等差数列，求证：2222132y y y =+．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练11 导数的几何意义高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）曲线2xy x =+在点(−1，−1)处的切线方程为 A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =--D ．22y x =--（2）已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()ln()2f x x x x =-++，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为 A ．23y x =+B ．23y x =-C ．23y x =-+D ．23y x =--（3）已知曲线1n y x+=在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ()n *∈N ，令lg n n a x =，则1299a a a ++⋅⋅⋅+=__________________．【参考答案】（1）A ；（2）B ；（3）2-．【试题解析】（1）因为22(2)(2)2(2)(2)x x x x y x x ''+-+'==++，所以切线的斜率122|2(12)x k y =-'===-+，所以切线方程为(11)2y x +=+，即21y x =+．故选A ．若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(),P x y 是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为000()()y y x f 'x x -=-；（2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标11()),(P x f x '；第二步：写出过11()),(P x f x '的切线方程为111()()()y f x x x 'x f -=-；第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x x x 'x f -=-，可得过点00(),P x y 的切线方程．1．曲线2e x y =在点2(1,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A B ．2e CD ．23e2．已知函数()e 1xf x mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线e y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围为A ．[e,)+∞B ．(e,)+∞CD 3．设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为__________________．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练12 函数的单调性问题高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆已知函数322()4361f x x tx t x t =+-+-，其中t ∈R ．（1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间．【参考答案】（1）60x y +=；（2）见试题解析．【试题解析】（1）当1t =时，32()436f x x x x =+-，(0)0f =，因为2()1266f x x x '=+-，(0)6f '=-，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-，即60x y +=．②若0t >，则tt >-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-，(,)2+∞；()f x 的单调递减区间是(,)2t t -．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数()f x 在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥．（3）函数()f x 在(),a b 内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ，b )内恒成立，且()f x '在(),a b 的任意子区间内都不恒等于0．这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=，不影响函数f (x )在区间内的单调性．1．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f 'x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是2．已知函数ln ()xf x x a=+在1x =处的切线方程为20x y b -+=．（1）求实数a ，b 的值；（2）若函数21()()2g x f x x kx =+-，且()g x 是其定义域上的增函数，求实数k 的取值范围．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练13 函数的极值与最值问题高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆已知函数n (l )f x x x =．（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若4()x m f k m≥+-对任意的[3,5]m ∈恒成立，求实数k 的取值范围．【参考答案】（1）见试题解析；（2）291[,)5e++∞．【试题解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x '=+，令0()f 'x >，得1e x >；令0()f 'x <，得10e x <<．故函数()f x 在(10,e )上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增．故当1e x =时，()f x 取得极小值，且1111()ln e e e e()f x f ===-极小值，无极大值．（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数()f x 极值的方法：①确定函数()f x 的定义域；②求导函数()f 'x ；③求方程0()f 'x =的根； ④检查()f 'x 在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f 'x 在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f 'x ，求方程0()f 'x =的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．（4）求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为：①求()f x 在(,)a b 内的极值；②将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．若32(),242()()3f x m n x mx m x n =∈++-+R 在R 上有两个极值点，则实数m 的取值范围为 A ．(1,1)-B ．(1,2)C ．(,1)(2,)-∞+∞UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U2．（2016江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练14 利用导数研究函数的零点或方程的根高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆设函数32()f x x ax bx c =+++．（1）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求实数c 的取值范围；（2）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．【参考答案】（1）32(0,)27；（2）证明见试题解析．（2）当24120a b =-<∆时，2()320f x x ax b '=++>，(,)x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．当24120a b =-=∆时，2()32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增．所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b =->∆．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件，因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．1．已知函数384()ln 33f x x x =--，则函数()f x 的零点个数为_______________． 2．已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点，求实数a 的取值范围．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练15 导数的综合应用高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆（2017新课标全国Ⅲ文）已知函数2ln )1(()2x ax f x a x =+++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ﹤0时，证明：3()24f x a≤--．【参考答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析．（2）由（1）可知，当0a <时，()f x 在12x a =-处取得最大值，最大值为111()ln()1224f a a a-=---．所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤．设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时()g x 取得最大值，最大值为0(1)g =，所以当0x >时，()0g x ≤．从而当0a <时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a≤--．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．1．已知点P 与2()ln 32(0)g x a x b a =+>图象的公共点，若以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为___________________． 2．已知函数2()f x x x =-，e (1)xg x ax =--，其中e 为自然对数的底数．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）当0x >时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的最大值．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________答案及解析训练01 正弦定理与余弦定理【参考答案】1．【答案】B【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．【答案】（1）60C =︒；（2）1-【解析】（1）由已知，方程210x p x p +-+=的判别式为22)4(1)3440p p p ∆=--+=-≥+，所以2p ≤-tan tan 1A B p =-，于是1tan tan 1(1)0A B p p -=--=≠60C =︒．3．【答案】（1）4c =；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =．在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=，解得4c =(负值舍去)．（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=．故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅．又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △．训练02 等差数列与等比数列的综合问题【参考答案】1．【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，所以312a a d =+，413a a d =+．因为134,,a a a 成等比数列，所以2111()(23)a d a a d +=+，解得14a d =-，所以5140a a d =+=．故选A ．2．【答案】（1）(2)nn a =-；（2）1122()33n n n S +-=-+，1n S +，n S ，2n S +成等差数列．【思路分析】（1）由等比数列的通项公式解得2q =-，12a =-即可求解；（2）利用等差中项即可证明1n S +，n S ，2n S +成等差数列．3．【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）(1)21n n T n =-⋅+．（2）由（1）知n a n =，12n n b -=，所以12n n n a b n -=⋅．所以23112232422n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⨯ ①，2312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②，②-12)n -++=故(1)21nn T n =-⋅+．训练03 简单的线性规划问题【参考答案】1．【答案】A【解析】作出不等式组211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线30x y M +-=经过点A (－1，2)时，目标函数3M x y =+取得最小值－1．又由平面区域知13x -≤≤，则当1x =-时，N =1()2x72-取得最大值32-．由此可知一定有M N >，故选A ． 2．【答案】C方法2：由题意知，不等式组3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为0a >，0b >，所以由可行域得当目标函数过点(4，6)时，z 取得最大值，所以4610a b +=，532b a -=，所以22225325()32b a b a b b -++=++-=2134b -212b +454，当2113b =时，222a b a ++取得最小值3613．训练04 基本不等式【参考答案】2．【答案】A2211y a a =++，则11=，当且仅当2211a a =++，即0a =时，等号成立，所以问题转化为||1x ≤，即11x -≤≤，所以在区间[2,4]-上随机地取一个数xA ．3．【答案】20 5000【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为()f x ，则8000100002000050400()()0f x Q x x x x ⨯=+=+3000(12,)x x +≥∈N 30005000≥=，当且仅当20x =时，等号取到．所以当20x =时，最小值为5000元．故该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最少为5000元．训练05 命题真假的判断【参考答案】1．【答案】D【解析】函数[(ln 11)()]y x x =-+]的定义域是()1,1-，且是偶函数，故命题p 为真命题；函数1ln1xy x-=+的定义域是()1,1-，且是奇函数，故命题q 是真命题，故命题p q ∧，()p q ∨⌝，p q ∨均为真命题，命题()p q ∧⌝为假命题．故选D ．3．【答案】1-【解析】根据正切函数的性质可知tan 1y x =+tan )113(y π=-+=，所以1m ≤m 的最大值为1训练06 充分、必要条件的判断【参考答案】1．【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件，故选A ．训练07 全称量词与存在量词【参考答案】1．【答案】D【解析】A 中含有全称量词“任意的”，因为2222222=(10+1a b a b a b --+-+-≥)（）；故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是特称命题，故选D ．故选B ． 3．【答案】[1,3]-【解析】由题设可知:“x ∀∈R ，都有01)1(2≥+-+x a x 恒成立”，所以2(1)40a ∆=--≤，即2|1|≤-a ，也即212≤-≤-a ，所以31≤≤-a ．故实数a 的取值范围是[1,3]-．【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与特称命题之间的关系．求解时要充分借助“全称命题的否定是特称命题”、“特称命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是特称命题，然后再依据上述结论加以判别求解写出答案．解答本题时，先将问题合理转化为：“x ∀∈R ，都有01)1(2≥+-+x a x 恒成立”是真命题，进而获解．常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从造成解答上的错误．训练08 椭圆的离心率【参考答案】1．【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-，||OE k a =．设OE 的中点为N ，则O B N F B M△∽△，则1||||2||||OE OB FM BF =，即2(c )k a a k a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ．【名师点睛】求解椭圆的离心率问题有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ca或转化为关于e 的等式求解；（3）通过特殊值或特殊位置，求出e ．训练09 双曲线的离心率与渐近线方程【参考答案】1．【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<C ．【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2．【答案】B3．【答案】53【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线bx y a =-过点(3,)4-，即34b a -=-，即34b a =，而222a b c +=，所以35c a =，即双曲线的离心率53c e a ==．训练10 抛物线的定义的应用【参考答案】1．【答案】A【解析】作PB x ⊥轴于A 点，并与准线相交于B 点.抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线为1y =-，由抛物线的几何意义可得PB PF =，所以11y PQ PA PQ PB PQ PF PQ +=+=+-=+-≥112FQ -=．故选A ．。

凌海市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

凌海市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A ∩B=（）A ．{x|﹣1＜x ＜1}B ．{x|﹣2＜x ＜1}C ．{x|﹣2＜x ＜2}D ．{x|0＜x ＜1}2．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、、，则（）1S 2S 3S A ．B ．C ．D ．123S S S <<123S S S >>213S S S <<213S S S >>3． △的内角，，所对的边分别为，，，已知，则ABC A B C a =b =6A π∠=（）111]B ∠=A ．B ．或C ．或D ．4π4π34π3π23π3π4．设集合，，若，则的取值范围是（）{|12}A x x =<<{|}B x x a =<A B ⊆A ．B ．C ．D ．{|2}a a ≤{|1}a a ≤{|1}a a ≥{|2}a a ≥5．设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（0，2）6．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2.3）D ．（3，4）7．设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（）A ．{1，2}B ．{﹣1，4}C ．{﹣1，2}D ．{2，4}8．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离1111ABCD A B C D -P 11BB C C P BC 11C D 相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）PA 1 C A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.9．在△ABC 中，，则这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形10．集合,则A B = （）{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<A ．()1,3 B ．C ．[]1,+∞D ．[],3e [)1,311．若命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2+1＜0，则下列结论正确的是（）A ．￢p 为假命题B ．￢q 为假命题C ．p ∨q 为假命题D ．p ∧q 真命题12．下列各组函数为同一函数的是（）A ．f （x ）=1；g （x ）=B ．f （x ）=x ﹣2；g （x ）=C ．f （x ）=|x|；g （x ）=D ．f （x ）=•；g （x ）=二、填空题13．若复数是纯虚数，则的值为 .34sin (cos )i 55z αα=-+-tan α【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．14．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +），向量=（0，1），θn 是向量与i 的夹角，则++…+= ．15．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是．16．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点．17．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．　18．已知是函数两个相邻的两个极值点，且在1,3x x ==()()()sin 0f x x ωϕω=+>()f x 32x =处的导数，则___________．302f ⎛⎫'<⎪⎝⎭13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭三、解答题19．已知函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．（Ⅰ）若直线l ：y=k 1x 是函数y=f （﹣x ）的图象的切线，直线m ：y=k 2x 是函数y=g （x ）图象的切线，求证：l ⊥m ；（Ⅱ）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P=g （），Q=，R=，试比较P ，Q ，R 的大小，并说明理由．　20．如图所示，在正方体中．1111ABCD A B C D -（1）求与所成角的大小；11A C 1B C （2）若、分别为、的中点，求与所成角的大小．E F AB AD 11A C EF21．（本题12分）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p nq =+（*n N ∈，p ，为常数），且145x x x ，，成等差数列，求：（1）p q ，的值；（2）数列{}n x 前项和n S 的公式.22．（本小题满分12分）某校高二奥赛班名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生N 数有21人.（1）求总人数和分数在110-115分的人数；N （2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率；13（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩（满分150分），物理成绩进行分析，下面是该生7次考试的成绩.y 数学888311792108100112物理949110896104101106已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理y 成绩大约是多少？附：对于一组数据，……，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分11(,)u v 22(,)u v (,)n n u v v u αβ=+别为：，.^121()()()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑^^a v u β=-23．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .12（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －1＝0，求m 的值；（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．24．（本小题满分12分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，不等式x 2cos C ＋4x sin C ＋6≥0对一切实数x 恒成立.（1）求cos C 的取值范围；（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.凌海市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．2．【答案】A【解析】考点：棱锥的结构特征．3．【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理可得或，故选B.()sin0,,4B B Bππ=∴=∈∴=34π考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.4．【答案】D【解析】试题分析：∵，∴．故选D．A B⊆2a≥考点：集合的包含关系．5．【答案】A【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g ′（x ）=，∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是增函数，又∵g（﹣2）==0=g（2），∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：A．6．【答案】A【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．7．【答案】A【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．故选：A．【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．8．【答案】D.第Ⅱ卷（共110分）9．【答案】A【解析】解：∵，又∵cosC=，∴=，整理可得：b 2=c 2，∴解得：b=c ．即三角形一定为等腰三角形．故选：A ．　10．【答案】B 【解析】试题分析：因为,,所以A B ={}{}|ln 0|1A x x A x x =≥==≥{}{}2|9|33B x x B x x =<==-<<，故选B.{}|13x x ≤<考点：1、对数函数的性质及不等式的解法；2、集合交集的应用.11．【答案】A 【解析】解：时，sinx 0=1；∴∃x 0∈R ，sinx 0=1；∴命题p 是真命题；由x 2+1＜0得x 2＜﹣1，显然不成立；∴命题q 是假命题；∴￢p 为假命题，￢q 为真命题，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题；∴A 正确．故选A ．【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R 满足x 2≥0，命题￢p ，p ∨q ，p ∧q 的真假和命题p ，q 真假的关系．　12．【答案】C【解析】解：A 、函数f （x ）的定义域为R ，函数g （x ）的定义域为{x|x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；B 、函数f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x|x ≠﹣2}，定义域不同，故不是相同函数；C 、因为，故两函数相同；D 、函数f （x ）的定义域为{x|x ≥1}，函数g （x ）的定义域为{x|x ≤1或x ≥1}，定义域不同，故不是相同函数．综上可得，C 项正确．故选：C ．　二、填空题13．【答案】34-【解析】由题意知，且，所以，则.3sin 05α-=4cos 05α-≠4cos 5α=-3tan 4α=-14．【答案】．【解析】解：点An （n ，）（n ∈N +），向量=（0，1），θn 是向量与i 的夹角，=，=，…， =，∴++…+=+…+=1﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【答案】锐角三角形【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C 是最大角根据余弦定理，得cosC==＞0∵C ∈（0，π），∴角C 是锐角，由此可得A 、B 也是锐角，所以△ABC 是锐角三角形故答案为：锐角三角形【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．　16．【答案】　（3，1）　．【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0，得即（2x+y ﹣7）m+（x+y ﹣4）=0，∴2x+y ﹣7=0，①且x+y ﹣4=0，②∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0的图象就和m 无关，恒过一定点．由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；故答案为：（3，1）　17．【答案】【解析】解：由题意可得三棱锥B 1﹣AA 1D 1的体积是=，三角形AB 1D 1的面积为4，设点A 1到平面AB 1D 1的距离等于h ，则，则h=故点A 1到平面AB 1D 1的距离为．故答案为：．18．【答案】12【解析】考点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和，再结合极值点的导数等于零，ω可求出.在求的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用来验证.求出表达式后，ϕϕ302f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭()f x 就可以求出.113f ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．∴g （x ）=e x ．，f （﹣x ）=ln （﹣x ），则函数的导数g ′（x ）=e x ，f ′（x ）=，（x ＜0），设直线m与g（x）相切与点（x1，），则切线斜率k2==，则x1=1，k2=e，设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1==，则x2=﹣e，k1=﹣，故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m．（Ⅱ）不妨设a＞b，∵P﹣R=g（）﹣=﹣=﹣＜0，∴P＜R，∵P﹣Q=g（）﹣=﹣==，令φ（x）=2x﹣e x+e﹣x，则φ′（x）=2﹣e x﹣e﹣x＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，故φ（x）＜φ（0）=0，取x=，则a﹣b﹣+＜0，∴P＜Q，⇔==1﹣令t（x）=﹣1+，则t′（x）=﹣=≥0，则t（x）在（0，+∞）上单调递增，故t（x）＞t（0）=0，取x=a﹣b，则﹣1+＞0，∴R＞Q，综上，P＜Q＜R，【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．60︒90︒20．【答案】（1）；（2）．【解析】试题解析：（1）连接，，由是正方体，知为平行四边形，AC 1AB 1111ABCD A B C D -11AA C C 所以，从而与所成的角就是与所成的角．11//AC A C 1B C AC 11A C 1B C 由可知，11AB AC B C ==160B CA ∠=︒即与所成的角为．11A C BC 60︒考点：异面直线的所成的角．【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题．21．【答案】（1）1,1==q p ；（2）2)1(221++-=-n n S n n .考点：等差，等比数列通项公式，数列求和.22．【答案】（1），；（2）；（3）.60N =6n =815P =115【解析】试题解析：（1）分数在100-110内的学生的频率为，所以该班总人数为，1(0.040.03)50.35P =+⨯=21600.35N ==分数在110-115内的学生的频率为，分数在110-11521(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=内的人数.600.16n =⨯=（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为，女生为，从61234,,,A A A A 12,B B 名学生中选出3人的基本事件为：，，，，，，，12(,)A A 13(,)A A 14(,)A A 11(,)A B 12(,)A B 23(,)A A 24(,)A A ，，，，，，，共15个.21(,)A B 22(,)A B 34(,)A A 31(,)A B 32(,)A B 41(,)A B 42(,)A B 12(,)B B 其中恰好含有一名女生的基本事件为，，，，，，11(,)A B 12(,)A B 22(,)A B 21(,)A B 31(,)A B 32(,)A B，，共8个，所以所求的概率为.41(,)A B 42(,)A B 815P =（3）；12171788121001007x --+-++=+=；69844161001007y --+-+++=+=由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到y ，，^4970.5994b ==^1000.510050a =-⨯=∴线性回归方程为，0.550y x =+∴当时，.1130x =115y =考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,一定要将题目中所给数据与公式中的相对应,再进一步求解.在求解过程中,由 ,a b ,,a b c 于的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为 ,ab 常数项为这与一次函数的习惯表示不同.,b23．【答案】【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ，设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0），由h （x ）＝ln x 得h ′（x ）＝，（x ＞0），1x则有，{1x 0＝mmx 0－ln x 0－1＝0)解得x 0＝m ＝1.∴m 的值为1.（2）φ（x ）＝x 2＋x ＋a －e x ，12φ′（x ）＝x ＋1－e x ，令t （x ）＝x ＋1－e x ，∴t ′（x ）＝1－e x ，当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0，x ＝0时，t ′（x ）＝0.∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0，即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立，即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减，且当a ＝1有φ（0）＝0.∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0，当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0，即（a －1）（a －）＜0，2e －32∴1＜a ＜，即a 的取值范围为（1，）．2e －322e －3224．【答案】【解析】。

2017-2018学年辽宁省大连市高二下学期期末考试理科数学试题(word版)

大连市2017～2018学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科）第I卷选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数A.2+iB.1-iC.1+iD.2-i2．设x为随机变量，x～B（n，），若随机变量x的数学期望E(x)=2，则P(X=2)=( )A．B．C． D3．某单位为了解办公楼用电量y（度）与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为-4℃时，预测用电量为( )A. 68度B．52度C．12度D．28度4．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有( )A. 60种B．120种C．240种D．480种5．设a，b，c都为正数，那么，用反证法证明“三个数至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是( )A.这三个数都不大于2 B．这三个数都不小于2C．这三个数至少有一个不大于2 D．这三个数都小于26．将两枚骰子各掷一次，设事件A={两个点数都不相同），B={至少出现一个3点}，则P(B|A)= ( )A．B．C．D．7．若展开式中各项系数之和为32，则展开式中含x3项的系数为( ) A． 5 B．5 C．405 D．4058．(x-1)3 =a o+a1x+a2x2+a3x3，则(a o+a2)2- (a1+a3)2的值为( )A．2 B． 2 C．8 D．89．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N (102，42)，则114分以上的成绩所占的百分比为( )A.0.3%B.0.23%C.0.13%D.1.3%10．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法总数为( )A. 240种B．480种C．720种D．960种11.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题．甲说：“丙会证明．”乙说：“我不会证明．”丙说：“丁会证明．”丁说：“我不会证明．”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁12.如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A．56 B．72 C．64 D．84第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现从98件正品和2件次品共100件产品中，任选3件检查，恰有一件次品的抽法有种．14.若复数z= (x2—2x-3)+(x+1)i为纯虚数，则实数x的值为15．观察以下各等式：，分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式为．16.某一部件由四个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）求证：mn m n m n C C C 11+-=+18.（本小题满分12分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出三个不同的数字． (I)求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；(Ⅱ)记取出的这三个数字中奇数的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 19．（本小题满分12分）某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，采用A ， B 两种不同的学习方式分别在甲、乙两个班进行实验，为了解实验效果，期末考试后，对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；(Ⅱ)判断能否在犯错误的概率不超过0. 05的前提下认为：“成绩优秀”与学习方式有关？20.（本小题满分12分）数列{a n}满足S n=2n-a n(n∈N*)．(I)计算a1，a2，a3，并由此猜想通项公式a n；(Ⅱ)用数学归纳法证明（I）中的猜想．21.（本小题满分12分）甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，乙每次投篮命中的概率均为，甲投篮3次均未命中的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．(I)若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；(Ⅱ)若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望，请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程直角坐标系中，以原点为极点，z轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2(sinθ＋cosθ)，直线Z的参数方程为．（t为参数）．(I)写出圆C和直线l的普通方程；(Ⅱ)点P为圆C上动点，求点P到直线Z的距离的最小值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知关于x的不等式|x-3|+|x-2|<a.(I)当a=3时，解不等式；(Ⅱ)如果不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．2017～2018学年第二学期期末考试答案高二数学（理）一．选择题1.C . 2．A 3．A. 4．C.5．D. 6．A 7．C 8.D 9. C 10．B 11.B 12．D 二．填空题 13.9506 . 14.315.()()223sin cos 30cos 304n n sinn n ︒+︒+︒+︒︒+︒=16.169 . 三．解答题17．.(本小题满分12分)（法一）)!1()!1(!)!(!!1+--+-=+-m n m n m n m n C C m n m n ----------（4分）=)!1(!!)1(!+-++-m n m mn m n n ---------（6分）=)!1(!)1(!+-+m n m n n ------------------（8分）=]!)1[(!)!1(m n m n -++------------------（10分）=mn C 1+ ------------------（12分）（法二）一般地，从（n+1)个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第一类取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个，有mn C 个；-----------------（5分）第二类取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取（m-1）个后再取出元素a,有1-m nC 个-----------------（10分）根据分类加法计数原理可得mn m n m n C C C 11+-=+-----------------（12分）18.(本小题满分12分)27391.4C P C ==Ⅰ取出的这三个数字中最大数字是8的概率解（）； ------------------（6分）（Ⅱ）随机变量ξ的分布列ξ1 2 3P121514 1021542---------------------------------------------------------------------（10分）ξ的数学期望53E ξ=. ------------------------------- （12分）19(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46. 甲班(A 方式) 乙班(B 方式) 总计成绩优秀 12 4 16 成绩不优秀 38 46 84 总计5050100---------（6分）（Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，计算()221001246438 4.76216845050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯---（10分）由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．---------（12分） 20.(本小题满分12分)解：（1）123371,,.24a a a ===，由此猜想1212n n n a --=； ------------------------------- （5分）（2）证明：当1n =时，11a =，结论成立； ------------------------------- （6分）假设n k =（1k ≥，且k N +∈），结论成立，即1212k k k a --= -------------------- （7分）当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以111(+1)12122212222k k k k k k a a +-+--++-===，这就是说,当1n k =+时，结论成立，------------------------------- （11分）根据(1)和(2)可知对任意正整数结论都成立，即1212n n n a --=()n N +∈-------------------------------（12分）21.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意，()31127p -=，解得23p =.----- （2分）设“甲投篮3次，至少2次命中”为事件A ，则()22322133P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333220327C ⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭.------------------ （6分）（Ⅱ）由题意X 的取值为0，1，2，3，4.()22211013236P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()1112221133P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦220212123C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2121126C ⎡⎤⎛⎫⨯⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；()2211122122213233P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221212123C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222113236C ⎡⎤⎛⎫⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；()221221332P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11212221113323C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()222114329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故X 的分布列为---------------- （10分）()111301236636E X =⨯+⨯+⨯11734393+⨯+⨯=.---------------- （12分）（22）（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由已知ρ＝2(sin θ＋cos θ)得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，所以x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即圆C 的普通方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2.由得y ＝－1＋(x －2)，所以直线l 的普通方程为x －y －3＝0.---------5分(Ⅱ)由圆的几何性质知点P 到直线l 的距离的最小值为圆心C 到直线l 的距离减去圆的半径，令圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝＝>，所以点p 到直线l 的距离的最小值为－＝22.-----------------10分 23. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）原不等式变为233x x -+-<.当2x <时，原不等式化为523x -<，解得1x >，∴12x << 当23x ≤≤时，原不等式化为13<，∴23x ≤≤.当3x >时，原不等式化为253x -<，解得4x <，∴34x <<. 综上，原不等式解集为}{|14 x x <<.--------------------5分（Ⅱ）解法一：作出23y x x =-+-与y a =的图象-----------------7分若使23x x a -+-<解集为空集，只须23y x x =-+-的图象在y a =的图象的上方，或y a =与1y =重合，∴1a ≤，所以a 的范围为(],1-∞.-----------------10分解法二：23y x x =-+-=()()()253123522x x x x x -≥⎧⎪≤≤⎨⎪-<⎩-----------------7分当3x ≥时，1y ≥，当23x ≤<时，1y =，当2x <时，1y >，综上1y ≥，原问题等价于()min23a x x ≤-+-，∴1a ≤.-----------------10分解法三：∵23231x x x x -+-≥--+=-----------------7分，当且仅当()()230x x --≤时，上式取等号，∴1a ≤.-----------------10分。

2017-2018学年辽宁省锦州市高二(下)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={1，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，N={1，3}，M∩N={1，3}，则实数m的值为（）A．4 B．﹣1 C．4或﹣1 D．1或63．（2x+5y）n展开式中第k项的二项式系数为（）A．B．2n﹣k5kC．D．2n+1﹣k5k﹣14．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（3）=（）A．B．C．1 D．25．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx6．“因为对数函数y=log a x是增函数（大前提），而y=是对数函数（小前提），所以y=是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错7．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B． C．D．附：Χ2=．9．下列命题中，正确的命题个数是（）①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变；③某厂生产的零件外直径x～N（3，1），且p（2≤x≤4）=0.68，则p（x＜4）=0.84④用数学归纳法证明不等式++…+＜（n≥2，n∈{N*）的过程中，由n=k 递推到n=k+1时不等式的左边增加项为﹣．A．1个B．2个C．3个D．4个10．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P（A|B）等于（）A．B．C．D．11．从1，2，3，4，9，18六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有（）A．21 B．20 C．19 D．1712．已知函数f（x）=lnx+tanα（0＜α＜）的导函数为f'（x），若方程f'（x）=f（x）的根x0小于1，则α的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分.）13．如果质点M按规律s=3+t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是．14．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为．15．设a∈Z，且0≤a＜13，若512016+a能被13整除，则a=．16．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（）﹣1，则f（x）=．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知i是虚数单位，z1=x+yi（x，y∈R），且x2+y2=1，z2=（3+4i）z1+（3﹣4i）．（I）求证：z2∈R；（II）求z2的最大值和最小值．18．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？19．已知a＞b＞0，求证：．20．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（I）求进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率；（II）求进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率；（III）用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲，乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．21．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．22．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g （x2），求a的取值范围．2017-2018学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．【解答】解：复数z====在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．2．已知集合M={1，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，N={1，3}，M∩N={1，3}，则实数m的值为（）A．4 B．﹣1 C．4或﹣1 D．1或6【考点】复数相等的充要条件；交集及其运算．【分析】根据题意，由交集的定义可得3∈M，结合集合M，可得（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i=3，进而由复数相等的意义，可得（m2﹣3m﹣1）=3且（m2﹣5m﹣6）=0，解可得m的值．【解答】解：根据题意，若M∩N={1，3}，则3∈M，而M={1，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，则有（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i=3，即（m2﹣3m﹣1）=3且（m2﹣5m﹣6）=0，解可得m=﹣1，故选：B．3．（2x+5y）n展开式中第k项的二项式系数为（）A．B．2n﹣k5kC．D．2n+1﹣k5k﹣1【考点】二项式系数的性质．【分析】直接根据二项式的性质即可求出．【解答】解：（2x+5y）n展开式中第k项的二项式系数为C n k﹣1，故选：C．4．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（3）=（）A．B．C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由条件利用函数的奇偶性的性质求得f（1）的值，再根据f（1）=f（﹣1+2）=﹣f （1）+f（2），求得f（2）的值，从而求得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）的值．【解答】解：函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），∴f（0）=0，∴且f（1）=f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（2）=﹣f（1）+f（2），∴f（2）=2f（1）=1，则f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=+1=，故选：B．5．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【考点】定积分的简单应用．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．6．“因为对数函数y=log a x是增函数（大前提），而y=是对数函数（小前提），所以y=是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【考点】进行简单的演绎推理．【分析】当a＞1时，对数函数y=log a x是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=log a x是减函数，故可得结论．【解答】解：当a＞1时，对数函数y=log a x是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=log a x是减函数，故推理的大前提是错误的故选A．7．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．则推断学生的性别与认为作业量大有关的把握大约为（）附：Χ2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】根据表中所给的数据，代入求观测值的算式，求出观测值，把所求的观测值同临界值进行比较，得到“学生的性别与认为作业量大有关”的把握．【解答】解：∵根据表中数据得到K2=≈5.059＞3.841，∴推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握大约为95%故选：B9．下列命题中，正确的命题个数是（）①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变；③某厂生产的零件外直径x～N（3，1），且p（2≤x≤4）=0.68，则p（x＜4）=0.84④用数学归纳法证明不等式++…+＜（n≥2，n∈{N*）的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式的左边增加项为﹣．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关系数r的性质进行判断，②根据期望和方差的定义和性质进行判断，③根据正态分布的性质进行求解．④比较当n=k和n=k+1时，左边项的变化进行判断．【解答】解：①两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故①不正确；②将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变，正确，故②正确，③某厂生产的零件外直径x～N（3，1），且p（2≤x≤4）=0.68，则p（3≤x≤4）=0.34，则p（x＜4）=0.34+0.5=0.84，故③正确，④用数学归纳法证明不等式++…+＜（n≥2，n∈{N*）的过程中，当n=k时，左边为++…+，当n=k+1时，左边为+…+++=++…++（+﹣），故左边增加的项是+﹣，故④错误，故正确的是②③，故选：B10．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P（A|B）等于（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．【解答】解：甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为2×2=4所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12因为三个人去的景点不同的可能性为3×2×1=6，所以P（A|B）==．故选：C．11．从1，2，3，4，9，18六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有（）A．21 B．20 C．19 D．17【考点】排列、组合及简单计数问题；对数的运算性质．【分析】分构成的对数式含1，不含1两种情况讨论，注意重复情况．【解答】解：当构成的对数式含有1时，得到的对数值为0；当构成的对数式不含1时，有=20种，其中log23=log49，log24=log39，log32=log94，log42=log93，重复4个，有20﹣4=16个；综上，可以得到1+16=17种不同的对数值，故选：D．12．已知函数f（x）=lnx+tanα（0＜α＜）的导函数为f'（x），若方程f'（x）=f（x）的根x0小于1，则α的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=ln x0+tan α，即tan α=﹣ln x0，由0＜x0＜1，可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，即可得出．【解答】解：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），∴=ln x0+tan α，∴tan α=﹣ln x0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，∴α∈（，）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分.）13．如果质点M按规律s=3+t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是 4.1．【考点】定积分．【分析】根据平均速度的计算公式进行计算即可．【解答】解：∵质点M按规律s=s（t）=3+t2运动，∴在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度v====4.1，故答案为：4.114．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为a，b不全为0．【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，所以用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为a，b不全为0，故答案为：a，b不全为0．15．设a∈Z，且0≤a＜13，若512016+a能被13整除，则a=12．【考点】整除的定义．【分析】由于512016+a=（52﹣1）2016+a，按二项式定理展开，根据题意可得•（﹣1）2016+a 能被13整除，再由0≤a＜13，确定出a的值．【解答】解：512016+a=（52﹣1）2016+a=•522016+•522015•（﹣1）1+•522014•（﹣1）2+…+•（﹣1）2016+a，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得•（﹣1）2016+a能被13整除，∵0≤a＜13，∴a=12，故答案为：1216．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（）﹣1，则f（x）=+．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f （x）=2f （）﹣1，考虑到所给式子中含有f（x）和f（），用代替x代入f （x）=2f （）﹣1，解关于入f （x）与f （）的方程组，即可求得f（x）．【解答】解：考虑到所给式子中含有f（x）和f（），故可考虑利用换元法进行求解．在f（x）=2f（）﹣1，用代替x，得f（）=2f（x）﹣1，将f（）=﹣1代入f（x）=2f（）﹣1中，可求得f（x）=+．故答案为：+三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知i是虚数单位，z1=x+yi（x，y∈R），且x2+y2=1，z2=（3+4i）z1+（3﹣4i）．（I）求证：z2∈R；（II）求z2的最大值和最小值．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】（Ⅰ）求出z1的共轭复数，再代入计算即可证明，（Ⅱ）设u=6x﹣8y，代入x2+y2=1消去y得，根据判别式法即可求出．【解答】解：（Ⅰ）证明∵z1=x+yi，1=x﹣yi（x，y∈R），∴z1+1=2x，z1﹣1=2yi．∴z2=（3+4i）z1+（3﹣4i）1，=3（z1+）+4i（z1﹣1）．=6x+8yi2=（6x﹣8y）∈R（Ⅱ）解∵x2+y2=1，设u=6x﹣8y，代入x2+y2=1消去y得64x2+（6x﹣u）2=64．∴100x2﹣12ux+u2﹣64=0．∵x∈R，∴△≥0．∴144u2﹣4×100（u2﹣64）≥0．∴u2﹣100≤0．∴﹣10≤u≤10．∴z2的最大值是10，最小值是﹣1018．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润y的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．【解答】解：设甲地销售x辆，则乙地销售15﹣x辆，0≤x≤15，则该公司能获得的最大利润y=5.06x﹣0.15x2+2（15﹣x）=﹣0.15x2+3.06x+30，当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时S max=45.6（万元）．即甲地销售10辆，则乙地销售5辆时，该公司能获得的最大利润为45.6万元19．已知a＞b＞0，求证：．【考点】基本不等式．【分析】可以看出中间项为＞0，可采用做商比较法或做差比较法．【解答】解：∵又==∵a＞b＞0，∴，所以上式大于1，故成立，同理可证20．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（I）求进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率；（II）求进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率；（III）用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲，乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．C=A•+•B．由此能求出进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率．（Ⅱ）=•，由此利用对立事件概率计算公式能求出进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率P（D）．（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），由此能求出ξ的分布列．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．C=A•+•B．进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率：P（C）=P（A•+•B）=P（A•）+P（•B）=P（A）•P（）+P（）•P（B）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5…（Ⅱ）=•，P（）=P（•）=P（）•P（）=0.5×0.4=0.2，进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率P（D）=1﹣P（）=0.8…（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），P（ξ=0）=0.23=0.008，P（ξ=1）=×0.8×0.22=0.096，P（ξ=2）=×0.82×0.2=0.384，P（ξ=3）=0.83=0.512．21．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；函数与方程的综合运用．【分析】（1）转化为直接解方程x2﹣x﹣3=x即可．（2）转化为ax2+bx+b﹣1=0有两个不等实根，转化为b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，再利用二次函数大于0恒成立须满足的条件来求解即可．（3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直．找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得．【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣2时，f（x）=x2﹣x﹣3，f（x）=x⇒x2﹣2x﹣3=0⇒x=﹣1，x=3∴函数f（x）的不动点为﹣1和3；（2）即f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1=x有两个不等实根，转化为ax2+bx+b﹣1=0有两个不等实根，须有判别式大于0恒成立即b2﹣4a（b﹣1）＞0⇒△=（﹣4a）2﹣4×4a＜0⇒0＜a＜1，∴a的取值范围为0＜a＜1；（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2=﹣，A，B的中点M的坐标为（，），即M（﹣，﹣）∵A、B两点关于直线y=kx+对称，又因为A，B在直线y=x上，∴k=﹣1，A，B的中点M在直线y=kx+上．∴﹣=⇒b=﹣=﹣利用基本不等式可得当且仅当a=时，b的最小值为﹣．22．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g （x2），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由函数，知（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．。

辽宁省锦州市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

辽宁省锦州市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、单项选择题，每题5分，共计60分.1．若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则（）A．“p∨q”为假B．p假C．p真D．不能判断q的真假2．把2进制数101101化成10进制数是多少（）A．45 B．48 C．25 D．283．掷一次均匀的正六面体骰子，则出现奇数点的概率是（）A．B．C．D．4．若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为8，则点P到其准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．85．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）A．m∥β且l∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l26．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和928．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．169．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．710．已知回归直线=x+的估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．y=1.2x﹣0.2 B．y=1.2x+0.2 C．y=0.2x+1.2 D．y=0.2x﹣0.211．已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（）A．B．C．﹣3，2 D．2，212．若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或﹣二、填空题：（每题5分，共计20分）13．已知=（1，0，﹣1），=（1，﹣1，0），单位向量满足⊥，⊥，则= ．14．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是．15．袋中装有大小和形状相同的2个红球和2个黄球，随机摸出两个球，则两球颜色相同的概率是．16．抛物线焦点在y轴上，且y=x+1被抛物线截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为．三、解答题，17题10分，18-22题每题12分，共计70分．17．求与双曲线﹣=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．18．已知命题p：x2﹣x≥6，命题q：|x﹣2|≤3；若p∧q与¬q同时为假命题，求实数x的取值范围．19．随意安排甲、乙、丙3人在元旦假期3天中值班，每人值班1天，（1）这3人的值班顺序有多少种不同的安排方法？（2）甲排在乙之前的概率是多少？（3）乙不在第1天值班的概率是多少？20．如图，从参加历史知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）补全直方图中80～90这一小组的图形；（2）若不低于80分为优秀，求样本中优秀人数；（3）利用频率直方图求60名学生的平均成绩是多少？21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的方程，并写出焦点坐标；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．辽宁省锦州市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题，每题5分，共计60分.1．若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则（）A．“p∨q”为假B．p假C．p真D．不能判断q的真假【考点】复合命题的真假．【分析】由命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，可知q为真，p为假；从而判断四个选项即可．【解答】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，∴q为真，p为假；则p∨q为真，故选B．2．把2进制数101101化成10进制数是多少（）A．45 B．48 C．25 D．28【考点】进位制．=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25计算出结果即可选出正确【分析】由题意知101 101（2）选项．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．故选：A．3．掷一次均匀的正六面体骰子，则出现奇数点的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出出现点数的基本事件个数，再求出其中出现奇数点的基本事件个数，由此能求出出现奇数点的概率．【解答】解：掷一次均匀的正六面体骰子，出现点数的基本事件个数n=6，其中出现奇数点的基本事件个数m=3，∴出现奇数点的概率是p===．故选：A．4．若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为8，则点P到其准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义可得点P到焦点的距离转化为点P到其准线的距离，即点P到抛物线准线的距离．【解答】解：由抛物线的定义可得，点P到焦点的距离等于点P到其准线的距离，依题意点P与焦点的距离为8，则P到准线的距离为8．故选D．5．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）A．m∥β且l∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们根据面面平行的判断及性质定理，对四个答案进行逐一的分析，即可得到答案．【解答】解：若m∥l1，n∥l2，m．n⊂α，l1．l2⊂β，l1，l2相交，则可得α∥β．即B答案是α∥β的充分条件，若α∥β则m∥l1，n∥l2不一定成立，即B答案是α∥β的不必要条件，故m∥l1，n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件，故选B6．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】分层抽样方法．【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．7．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选A．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】循环结构．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．S与n对应变化如下表：故选C9．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．10．已知回归直线=x+的估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．y=1.2x﹣0.2 B．y=1.2x+0.2 C．y=0.2x+1.2 D．y=0.2x﹣0.2【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本中心点，代入样本中心点的坐标求得回归系数值，可得回归直线方程．【解答】解：∵回归直线=x+的估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），∴5=4+0.2，∴=1.2∴回归直线方程为y=1.2x+0.2．故选：B．11．已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（）A．B．C．﹣3，2 D．2，2【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．【解答】解：因为，，∥，所以2μ﹣1=0，解得μ=，，解得λ=2或λ=﹣3．所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；故选A．12．若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或﹣【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】用向量的内积公式建立方程，本题中知道了夹角的余弦值为，故应用内积公式的变形来建立关于参数λ的方程求λ．【解答】解：由题意向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，故有cos＜，＞===，解得：λ=﹣2或．故应选C．二、填空题：（每题5分，共计20分）13．已知=（1，0，﹣1），=（1，﹣1，0），单位向量满足⊥，⊥，则= （）或（﹣，﹣，﹣）．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】设=（x，y，z），由单位向量的性质、向量与向量垂直的性质列出方程组，能求出．【解答】解：∵=（1，0，﹣1），=（1，﹣1，0），单位向量满足⊥，⊥，设=（x，y，z），∴，解得x=y=z=或x=y=z=﹣．∴=（）或=（﹣，﹣，﹣）．故答案为：（）或（﹣，﹣，﹣）．14．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是120°．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】先分别求出与的坐标，再根据空间两向量夹角的坐标公式求出它们的夹角的余弦值，从而求出与的夹角θ．【解答】解： =（﹣2，﹣1，3），=（﹣1，3，﹣2），cos＜，＞===﹣，∴θ=＜，＞=120°．故答案为120°15．袋中装有大小和形状相同的2个红球和2个黄球，随机摸出两个球，则两球颜色相同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】法一：列表是找出所有等可能的结果数，进而得出两次颜色不同的情况数，即可求出所求的概率；法二：根据组合公式计算即可．则概率P═=，法二：4个球中随机摸出2球共=6种，两球颜色相同共2种情况，故两球颜色相同的概率是： =，故答案为：．16．抛物线焦点在y轴上，且y=x+1被抛物线截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为或．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】由题意设抛物线方程为x2=my（m≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到弦的两个端点的横坐标的和与积，代入弦长公式求得m 值，则答案可求．【解答】解：由题意设抛物线方程为x2=my（m≠0），联立，得x2﹣mx﹣m=0．设弦的两个端点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=m，x1x2=﹣m，∴|AB|===，解得：．当m=时，抛物线方程为；当m=时，抛物线方程为．故答案为：或．三、解答题，17题10分，18-22题每题12分，共计70分．17．求与双曲线﹣=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．【考点】椭圆的标准方程．【分析】求出双曲线的焦点即为椭圆的焦点，设出椭圆方程，代入点M的坐标，得到方程及a，b，c的关系，解方程，即可得答案．【解答】解：双曲线﹣=1的焦点为：（﹣，0），（，0），则椭圆的焦点为：（﹣，0），（，0），且c=，设椭圆方程为（a＞b＞0），则，解得：a2=8，b2=2．则所求椭圆方程为：．18．已知命题p：x2﹣x≥6，命题q：|x﹣2|≤3；若p∧q与¬q同时为假命题，求实数x的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出关于p，q的不等式的解集，判断出p，q的真假，从而求出x的范围即可．【解答】解：∵x2﹣x≥6，∴x≥3或x≤﹣2，∴p：（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；∵|x﹣2|≤3，∴﹣1≤x≤5，∴q：[﹣1，5]；若p∧q与￢q同时为假命题，则p假q真，∴，解得：﹣1≤x＜3．19．随意安排甲、乙、丙3人在元旦假期3天中值班，每人值班1天，（1）这3人的值班顺序有多少种不同的安排方法？（2）甲排在乙之前的概率是多少？（3）乙不在第1天值班的概率是多少？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）随意安排三人，每人一天，排法为三人的全排列数；（2）利用古典概型的概率计算公式可得答案；（3）根据排列组合公式计算即可．【解答】解：（1）由题意可知，这三人值班顺序共有=6种；（2）甲排在乙前面有①甲、乙、丙；②甲、丙、乙；③丙、甲、乙共3种，故甲排在乙前面的概率为： =；（3）乙不在第1天值班的方法有=4种方法，故乙不在第1天值班的概率是=．20．如图，从参加历史知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）补全直方图中80～90这一小组的图形；（2）若不低于80分为优秀，求样本中优秀人数；（3）利用频率直方图求60名学生的平均成绩是多少？【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出成绩在80～90这一小组的频率与，得出该组矩形的高即可；（2）计算不低于80分的频率，求出样本中优秀人数；（3）根据频率直方图，求出数据的平均数．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；成绩在80～90这一小组的频率是1﹣（0.01+0.015+0.015+0.03+0.005）×10=0.25，在频率分布直方图中该组矩形的高是=0.025，补全该组图形即可；（2）不低于80分的频率是（0.025+0.005）×10=0.3，∴样本中优秀人数为60×0.3=18；（3）根据频率直方图得，60名学生的平均成绩是=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．【考点】异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件．（3）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D （0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．（1）易得=（0，，1），=（0，2，﹣4）．于是cos＜，＞==．所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（﹣1，，4），=（﹣1，，0），于是=0， =0．因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则即不妨令x=1，可得u=（1，2，﹣1）．由（2）可知，为平面AED的一个法向量．1于是cos＜u，＞==，从而sin＜u，＞=．﹣ED﹣F的正弦值是二面角A122．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的方程，并写出焦点坐标；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），解得p即可得出．（2）直线OA的方程为：y=﹣2x．假设存在平行于OA的直线l满足条件，其方程为y=﹣2x+t，联立化为y2+2y﹣2t=0，由于直线l与抛物线C有公共点，可得△≥0，解得t．直线OA与直线l的距离：d==，解得t，并进行验证即可．【解答】解：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x，焦点坐标为F（1，0）．（2）直线OA的方程为：y=﹣2x．假设存在平行于OA的直线l满足条件，其方程为y=﹣2x+t，联立，化为y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线C有公共点，∴△≥0，∴4+8t≥0，解得t．直线OA与直线l的距离：d==，解得t=±2．∵﹣2∉，2∈．因此符合条件的方程存在为：y=﹣2x+2．。

2017-2018学年高二上学期数学(理)人教版寒假作业(含答案和解析)

训练01 求函数的平均变化率高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★☆☆☆☆.【名师点睛】1．对于函数()y f x=，我们把式子2121()()f x f xx x--称为函数()y f x=从1x到2x的平均变化率.习惯上用x∆表示21x x-，即21x x x∆=-.函数()y f x=的变化量是21()()y f x f x∆=-，于是，平均变化率可以表示为yx∆∆.注意：（1）x∆是一个整体符号，而不是∆与x相乘.（2）1x，2x是定义域内不同的两点，因此0x∆≠，但x∆可正也可负；21()()y f x f x∆=-是21x x x∆=-相应的改变量，y∆的值可正可负，也可为零.因此，平均变化率可正可负，也可为零.2．求函数()y f x=从1x到2x的平均变化率的三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量：21x x x∆=-；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：21()()y f x f x∆=-；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即2121()()f x f xyx x x-∆=∆-.1．如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是-A．1 B．1-C．2 D．22．求函数f(x)=x2+2x+3从1到1+Δx的平均变化率._______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练02 平均变化率的应用高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★☆☆☆☆，其中m，的单位为s.（1（2）求第1s内高度的平均变化率.【名师点睛】平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度及膨胀率、经济效益等.找准自变量、因变量和相应增量是解题的关键.1．水经过虹吸管从容器甲流向容器乙中,t s后容器甲中水的体积(单位:cm3)V(t)=5×2-0.1t,则第一个10 s内V的平均变化率为A．0.25 cm3/s B．0.5 cm3/sC．-0.5 cm3/s D．-0.25 cm3/s2．如图，已知一个倒置的正四棱锥形容器的底面边长为10 cm，高为10 cm，现用一根水管以9 ml/s的速度向容器里注水．（1）将容器中水的高度h表示为时间t的函数；（2）求第二个1 s内水面高度的平均变化率．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练03 求函数在定点处的导数高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆求下列函数的导数：（1）求函数y =3在x =2处的导数; （2）求函数1y x=在x =1处的导数; （3）求函数y =在x =x 0(x 0>0)处的导数.【参考答案】（1）0；（2）1-；（3.（3）记()y f x =,由y =,得ΔΔy x =()()00ΔΔf x x f x x +-==,∴函数y=x =x 0处的导数0'x x y ==Δlim x →.【名师点睛】1．一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即00()limx yf x x ∆→∆'==∆000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆. 2．求函数()f x 在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限． 3．利用定义求函数()y f x =在0x x =处的导数的两个注意点：（1）0()f x '与x ∆的具体取值无关，x ∆不可以是0.1．设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且()()0003lim 1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则f′(x 0)等于A ．1B ．-1C ．13-D ．132．若3()f x x =，0()6f x '=，则0x 的值是___________．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练04 瞬时速度的应用高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆一物体做初速度为0的自由落体运动,运动方程为s 2(g =10 m/s 2,位移单位:m,时间单位:s),求物体在t =2 s时的瞬时速度. 【参考答案】20 m/s.【名师点睛】做变速运动的物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 设物体的运动规律为()s s t =，则该物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数. 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s =s (t ),则求物体在t =t 0时刻的瞬时速度的步骤如下: （1）写出时间改变量Δt ,位移改变量Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0); （2）求平均速度:ΔΔs v t=;（3）求瞬时速度v :当Δt →0→v (常数).注意：（1）t ∆无限趋近于0是指时间间隔t ∆越来越短，能超过任意小的时间间隔，但始终不能为0. （2）,t s ∆∆在变化中都趋近于0，其比值st∆∆趋近于一个确定的常数，这时，此常数才称为0t 时刻的瞬时速度.（3）瞬时速度与平均速度的区别与联系：平均速度与路程和时间都有关系，它反映的是物体在一段时间内的平均运动状态；瞬时速度是物体在某一时刻的速度，是在这一时刻附近时间差t ∆趋近于0时平均速度的极限值.1．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系式是s =-4t 2+16t ,若此物体在某一时刻的速度为零,则相应时刻为 .2．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s).若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值._______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练05 导数的实际意义高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★☆☆☆☆某河流在x min 内流过的水量为y m 3,且()y f x ==（1）当x 从1变到4时,y 关于x 的平均变化率是多少? （2）求()16f ',并解释它的实际意义. 【参考答案】（1）13m 3/min ；（2）见试题解析.实际意义为当时间为16 min 时,水流速度为18m 3/min. 【名师点睛】函数在某点处的导数反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．1．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为()()271508y f x x x x ==-+≤≤，求函数()y f x =在x =2和x =6处的导数，并解释它们的实际意义.2．已知某工人上班后开始连续工作,其生产的产品重量y (单位:g)是工作时间x (单位:h)的函数,且该函数表达式为y =f (x )=220x +. （1）求当x 从1 h 变到4 h 时,y 关于时间x 的平均变化率,并解释它的实际意义; （2）求()()1,4f f '',并解释它们的实际意义._______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练06 导数的几何意义高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆已知点P 在曲线21y x =+上,若曲线21y x =+在点P 处的切线与曲线221y x =--相切,求点P 的坐标.【参考答案】73)或(,73).令Δ=420x -8(2-20x )=0,解得x 0此时y 0=73, 所以点P 的坐标为73)或(,73). 【名师点睛】1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数，就是曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率，即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.2．求曲线的切线方程的步骤：（1）如果所给点00()P x y ，就是切点，一般叙述为“在点P 处的切线”，此时只要求函数()f x 在点0x x =处的导数0()f x '，即得切线的斜率0()k f x ='，再根据点斜式写出切线方程. （2）已知切线过点(),a b 求切线方程(点(),a b 可以在曲线上，也可以不在曲线上). ①设切点坐标为00(,())x f x ； ②利用斜率000()()f x bk f x x a-'==-求出切点坐标及斜率；③写切线方程:000()()()y f x f x x x '-=-. 注意：曲线在点P 处的切线垂直于x 轴时的情况.1．求过点P (－1，2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线平行的直线.2．已知函数y=ax+1x图象上各点处的切线斜率均小于1,求实数a的取值范围._______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练07 导数几何意义的实际应用高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h (单位:m)与时间t (单位:s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+14.7t，求烟花在t=2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况.【参考答案】见试题解析.画出二次函数h (t )=-4.9t 2+14.7t (t ≥0,h ≥0)的函数图象,如图,结合导数的几何意义,我们可以看出:在t =1.5 s 附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂;在0~1.5 s 之间,曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空;在1.5~3 s,曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地.【名师点睛】1．若函数()y f x =在0x x =处的导数存在且0()0f x '>（即切线的斜率大于零），则函数()y f x =在0x x =附近的图象是上升的；若0()0f x '<（即切线的斜率小于零），则函数()y f x =在0x x =附近的图象是下降的. 导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.2．导数的几何意义是曲线的切线的斜率.反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度.3．函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其图象的切线来了解函数的性质.1．如图，点A (2,1),B (3,0),E (x ,0)(x ≥0),过点E 作OB 的垂线l .记AOB △在直线l 左侧部分的面积为S ,则函数S=f(x)的图象为下图中的2．某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y=-x2+4x x≤2)来刻画,试分析该段斜坡坡度的变化情况._______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练08 利用导数公式及运算法则求函数导数高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）sincos 22x x y x =-；（3）y =．【参考答案】见试题解析.（2）∵sin cos 22x x y x =-， ∴111(sin )()(sin )1cos 222y x x '=x 'x 'x '=--=-．（3）∵3122359y x x x-=-+-，∴31223)()(5)((9)y x 'x ''x '-'=-+-1322313109()22x x -=⨯-+-⨯-⋅21)1x=+-．【名师点睛】1．基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =，则()0f x '=；（2）若()()f x x Q αα*=∈，则1()f x x αα-'=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；（5）若()x f x a =，则()ln (01)xf x a a a a '=>≠且；（6）若()e x f x =，则()e xf x '=；（7）若()log a f x x =，则1()(01)ln f x a a x a'=>≠且；（8）若()ln f x x =，则1()f x x'=. 2．导数运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+；（3）2()()()()()[](()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ''-'=≠. 3．求函数导数的一般原则：①遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； ②遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； ③遇到复杂分式，先将分式化简，再求导． 4．熟记如下结论： ①21()'x x 1=-； ②奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数； ③(ln ||)x 'x1=； ④21[]()[()()0()]()x 'x x x f 'f f f -≠=； ⑤[]()()()()a x x 'a x f bg f 'x bg'=++．1A BC D．2．f(x)=x(2015+ln x),若f'(x0)=2016,则x0=A．e2B．1C．ln 2 D．e_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练09 导数的几何意义的应用高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆设函数f(x)=a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.（1）求f(x)的解析式;（2）证明：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.【参考答案】（1）f (x )=（2）见试题解析.【试题解析】（1）求导可得f '(x )=由题意,可得2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩,因为a ,b ∈Z ,故f (x )=（2）在曲线上任取一点(x 0,x 0由f '(x 0)=1-()2000200[1111(]1)x x y x x x x -+-=----.令x =1,得y所以切线与直线x =1的交点为(1,令y =x ,得y =2x 0-1,所以切线与直线y =x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1). 显然直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1).1||2x 0-1-1|2x 0-2|=2,所以所围成的三角形的面积为定值2.【名师点睛】（1）求曲线在某点处的切线时，要注意切点既是曲线上的点也是切线上的点，即切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程，利用这个方法可以确定一些未知的常数．（2）函数()y f x =在某点处的导数、曲线()y f x =在某点处切线的斜率和倾斜角，这三者是可以相互转化的．（3）当曲线()y f x =在点00((),)x f x 处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是0x x =．（4）注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线()y f x =在点00((),)x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x -='-；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．1与曲线A BC D2．已知曲线及曲线上一点P (1，－2)．（1）求曲线在P 点处的切线方程；（2）求曲线过P 点的切线方程．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练10 函数与导数图象之间的关系高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆如图中有一个图象是函数f (x )=13x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R ,且a ≠0)的导函数的图象,则f (-1)=A ．13B ．13- C ．73D ．13- 或53【参考答案】B【名师点睛】已知一个具体函数，我们可以用导数公式和运算法则求函数的导数；对于含有参数的函数，我们可以通过已知的某一个（或多个）点的导数值或函数值反过来确定参数或参数间的关系，此即逆向思维的体现．1．函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象过原点,它的导函数y =f '(x )的图象是如图所示的一条直线,则A ．2b a ->0,244ac b a ->0B ．2b a -<0,244ac b a ->0C ．2b a ->0,244ac b a-<0D ．2b a -<0,244ac b a-<02．已知函数32()f x ax bx cx =++过点(1,5)，其导函数()y f x ='的图象如图所示，求()f x 的解析式．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练11 复合函数的导数高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆求下列函数的导数：（1）y =；（2）()sin e ax b y +=；（3）2πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（4）()25log 21y x =+. 【参考答案】见试题解析.（3）设y ＝u 2，sin u v =，π23v x =+，则2π2cos 24sin cos 2sin 22sin 43x u v x y y u v u v v v v x ⎛⎫''⋅'⋅'⋅⋅===+ ⎪⎝⎭＝＝. （4）设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则()()()210105log 21ln221ln 2x y u x u x '''=+==+. 【名师点睛】1．一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.2．当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏． 3．复合函数的求导，关键在于分清函数的复合关系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导.一般地,如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量.1．已知函数()ln(1)f x ax =-的导函数是()f 'x ，且()22f '=，则实数a 的值为 A ．12 B ．23C ．34D ．12．已知()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<,其导函数()f x '的图象如图所示,则()πf 的值为AB ．C D ．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练12 函数的单调性与导数高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆求下列函数的单调区间：（1）()3f x x x =-；（2）()232ln f x x x =-.【参考答案】（1）单调递增区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝.（2）单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝.（2）函数的定义域为(0，＋∞)，()223162x f x x x x -=-=⋅'.令f′(x )＞0，即23120x x -⋅>，解得0x ＜或x又∵x ＞0，∴x ；令f′(x )＜0，即23120x x -⋅<，解得x <或0x ＜，又∵x ＞0，∴0x ＜∴f (x )的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝. 【名师点睛】1．在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.注意：在某个区间内，()0f x '>（()0f x '<）是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减）的充要条件是()0f x '≥（()0f x '≤）在(,)a b 内恒成立，且()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0. 2．求可导函数单调区间的基本步骤：（1）确定定义域；（2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.4．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．1．函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是 A ．(-∞,2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2,+∞)2．已知()()ln 0a xf x a x=≠，（1）写出()f x 的定义域. （2）求()f x 的单调区间._______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练13 函数与导函数图象之间的关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★☆☆☆☆设函数f(x)是其定义域内的可导函数,其图象如图所示,则其导函数f '(x)的图象可能是【参考答案】B【名师点睛】1．一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2．导函数为正的区间是函数的单调递增区间，导函数为负的区间是函数的单调递减区间．f x，要注3．研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于函数()f'x，则应注意其函数值在哪意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数()f x的单调区间是否一致．个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与函数()4．常见的函数值变化快慢与导数的关系为：对于①，函数值增加得越来越快，()0f x '>且越来越大；对于②，函数值增加得越来越慢，()0f x '>且越来越小；对于③，函数值减少得越来越快，()0f x '<且越来越小，绝对值越来越大；对于④，函数值减少得越来越慢，()0f x '<且越来越大，绝对值越来越小.1,A B C D2．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如下图所示，则下列叙述正确的是A ．()()()f f c b f d >>B ．()()()f b f a f e >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f e f d >>_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练14 讨论含参函数的单调性高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R .（1）若函数在1x =处的切线与直线420x y --=垂直,求实数a 的值; （2）当0a >时,讨论函数的单调性.(i)当0∆≤即12a ≥时,()0f x '≥,函数()f x 在()0,+∞上单调递增;(ii)当0∆>即12a <时,令()0f x '=,又0a >,故210x x >>.当()()120,,x x x ∈+∞ 时,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 当()12,x x x ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减. 综上所述,当12a ≥时,函数()f x 在()0,+∞上单调递增; 当12a <时,函数()f x 在()()120,,,x x +∞上单调递增,在()12,x x 上单调递减. 【名师点睛】讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.1．已知函数f (x )=2x 3-6ax+1,a ≠0,则函数f (x )的单调递减区间为A ．(-∞,+∞)B ．+∞)C ．(-∞,)∪+∞)D ．(2．已知函数()()21e 2xf x x a x x a ⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭R （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()1,e 处的切线方程；（2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性._______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________训练15 已知函数的单调性求参数的取值范围高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆已知函数()32143f x x ax x =-+.（1）若曲线()()()11y f x f =在点，a 的值；（2）若函数()102y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间，上单调递增，求实数a 的取值范围. 【参考答案】（1）2a =；（2）174a ≤. 【试题解析】（1()224f x x ax =-+'，又π(1)tan14f '==，则可得1241a -+=，则2a =.【名师点睛】已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将()0f x '≥或()0f x '≤的参数分离，转化为求函数的最值问题.1．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减,则实数a 的取值范围是 A ．(]1,2 B ．()1,3 C ．()1,2D ．(]1,32．已知()2e 1xf x ax=+, 其中a 为正实数. 若()f x 为实数集R 上的单调函数, 求实数a 的取值范围._______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________答案及解析训练01 求函数的平均变化率【参考答案】训练02 平均变化率的应用【参考答案】1．【答案】D【解析】第一个10 s 内V 的平均变化率为()()0.1100.1055100Δ52522Δ1001010V V V t -⨯-⨯--⨯-⨯===-30.25 cm /s =-,选D ．训练03 求函数在定点处的导数【参考答案】【易错辨析】在导数的定义()()()0000'limx f x x f x f x x∆→+∆-∆＝中，x ∆是()0f x x +∆与()0f x 中的两个自变量的差，即()00x x x +∆-.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号的一致性. 2．【答案】【解析】∵33223000000()3Δ3(Δ)(Δ()())y f x x f x x x x x x x x x +-+-=++∆=∆=∆，∴2200Δ33Δ(Δ)Δy x x x x x++=， ∴2220000Δ0lim[3()3Δ(Δ)3]x f 'x x x x x x →+=+=．由0()6f 'x =得2036x =，则0x =训练04 瞬时速度的应用【参考答案】1．【答案】t =2【解析】Δs =-4(t+Δt )2+16(t+Δt )-(-4t 2+16t )=16Δt-8t ·Δt-4(Δt )2, 因为某时刻瞬时速度为零,所以当Δt 趋于0时-8t-4Δt =0,即16-8t =0,解得t =2.训练05 导数的实际意义【参考答案】2．【解析】（1）当x 从1 h 变到4 h 时,生产的产品的重量y 从f (1)=8120变到f (4)=445, 故所求平均变化率为()()4481411952041312f f --==-(g/h),它表示从第1 h 到第4 h 这段时间内,该工人平均每小时生产1912g 产品. （2）因为()()00Δ0Δlimlimx x f x x f x x→→+∆-=∆=Δ0lim x →(110x 0+Δ20x110x 0所以f '(1)=110×12110=(g/h),它表示该工人上班后工作1 h 的时候,其生产速度为2110g/h. f '(4) =110×475= (g/h), 它表示该工人上班后工作4 h 的时候,其生产速度为75g/h.训练06 导数的几何意义【参考答案】2．【解析】()()()Δ0Δ011ΔΔΔlim lim ΔΔx x a x x ax ax x x x x x x x y x x x x x →→⎡⎤⎛⎫+∆+-+ ⎪⎢⎥⋅⋅+-+∆⎣⎦⎝⎭'==∆⋅⋅+ =()()Δ0·Δ1lim ·Δx ax x x x x x →+-+=221ax x-=a -21x . ∵函数y =ax +1x 图象上各点处的切线斜率均小于1,∴a -21x<1, 即a <1+21x 对于非零实数x 恒成立. ∵对于非零实数x ,都有1+21x >1,∴a ≤1, 故实数a 的取值范围是(-∞,1].训练07 导数几何意义的实际应用【参考答案】1．【答案】D【解析】函数的定义域为[0,+∞),当x∈[0,2]时,在单位长度改变量Δx内面积改变量ΔS越来越大,即斜率f'(x)在[0,2]内越来越大,因此,函数S=f(x)的图象是上升的,且图象是下凸的;当x∈(2,3)时,在单位长度改变量Δx内面积改变量ΔS越来越小,即斜率f'(x)在(2,3)内越来越小,因此,函数S=f(x)的图象是上升的,且图象是上凸的;当x∈[3,+∞)时,在单位长度改变量Δx内面积改变量ΔS为0,即斜率f'(x)在[3,+∞)内为常数0,此时,函数图象为平行于x轴的射线.训练08 利用导数公式及运算法则求函数导数【参考答案】训练09 导数的几何意义的应用【参考答案】1．【答案】C【解析】设切点为（,则011x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩2．【解析】（1）由f (x )＝x 3－3x 得，f ′(x )＝3x 2－3. 过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求切线方程为y ＝－2.训练10 函数与导数图象之间的关系【参考答案】2．【解析】∵22(3)f x ax bx c =+'+，且 )0(1f '=，)0(2f '=，5(1)f =，∴32012405a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得2912a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ∴322912()f x x x x =-+．训练11 复合函数的导数【参考答案】且1ππ·222ϕ+=,则π4ϕ=, 则()1ππ4sin π24f ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故选B ．训练12 函数的单调性与导数【参考答案】②当0a <时，在()0,e 上()0f x '<；在()e,+∞上()0f x '>，()f x ∴的单调递增区间为()e,+∞；单调递减区间为()0,e .训练13 函数与导函数图象之间的关系【参考答案】训练14 讨论含参函数的单调性【参考答案】1．【答案】D【解析】f '(x )=6x 2-6a =6(x 2-a ),当a <0时,对x ∈R ,有f '(x )>0;当a >0时,由f '(x )<0解得x所以当a >0时,f (x )的单调递减区间为().故选D ．（2）()()()1e xf x x a =+-'，令()0f x '=，得1x =-或ln x a =，①当1e a =时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增； ②当10ea <<时，ln 1a <-，由()0f x '>，得ln x a <或1x >-；由()0f x '<，得ln 1a x <<-，所以单调递增区间为()(),ln ,1,a -∞-+∞，单调递减区间为()ln ,1a -； ③当1ea >时，ln 1a >-，由()0f x '>，得1x <-或ln x a >；由()0f x '<，得1ln x a -<<，所以单调递增区间为()(),1,ln ,a -∞-+∞，单调递减区间为()1,ln a -. 综上所述，当1ea =时，()f x 在R 上单调递增；当10ea <<时，单调递增区间为()(),ln ,1,a -∞-+∞，单调递减区间为()ln ,1a -；当1ea >时，单调递增区间为()(),1,ln ,a -∞-+∞，单调递减区间为()1,ln a -.训练15 已知函数的单调性求参数的取值范围【参考答案】2．【解析】()22221()e 1xax ax f x ax -+'=⋅+,若()f x 为R 上的单调函数, 则()f x '在R 上不变号，又0a >,2210ax ax ∴-+≥在R 上恒成立,即()2044410a a a a a ∆>⎧⎪⎨=-=-≤⎪⎩01a ⇒<≤. 则实数a 的取值范围是(0,1].。

辽宁省大连市2017-2018学年高二下学期期末考试理科数学试题(word版)

大连市2017～2018学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科）命题人：赵文莲安玉德徐雪莲校对人：赵文莲第I卷选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数A.2+iB.1-iC.1+iD.2-i2．设x为随机变量，x～B（n，），若随机变量x的数学期望E(x)=2，则P(X=2)=( ) A．B．C． D3．某单位为了解办公楼用电量y（度）与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为-4℃时，预测用电量为( )A. 68度B．52度C．12度D．28度4．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有( )A. 60种B．120种C．240种D．480种5．设a，b，c都为正数，那么，用反证法证明“三个数至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是( )A.这三个数都不大于2 B．这三个数都不小于2C．这三个数至少有一个不大于2 D．这三个数都小于26．将两枚骰子各掷一次，设事件A={两个点数都不相同），B={至少出现一个3点}，则P(B|A)= ( )A．B．C．D．7．若展开式中各项系数之和为32，则展开式中含x3项的系数为( ) A． 5 B．5 C．405 D．4058．(x-1)3 =a o+a1x+a2x2+a3x3，则(a o+a2)2- (a1+a3)2的值为( )A．2 B． 2 C．8 D．89．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N (102，42)，则114分以上的成绩所占的百分比为( )A.0.3%B.0.23%C.0.13%D.1.3%10．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法总数为( )A. 240种B．480种C．720种D．960种11.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题．甲说：“丙会证明．”乙说：“我不会证明．”丙说：“丁会证明．”丁说：“我不会证明．”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁12.如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A．56 B．72 C．64 D．84第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现从98件正品和2件次品共100件产品中，任选3件检查，恰有一件次品的抽法有种．14.若复数z= (x2—2x-3)+(x+1)i为纯虚数，则实数x的值为15．观察以下各等式：，分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式为．16.某一部件由四个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）求证：mn m n m n C C C 11+-=+18.（本小题满分12分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出三个不同的数字． (I)求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；(Ⅱ)记取出的这三个数字中奇数的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 19．（本小题满分12分）某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，采用A ， B 两种不同的学习方式分别在甲、乙两个班进行实验，为了解实验效果，期末考试后，对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；(Ⅱ)判断能否在犯错误的概率不超过0. 05的前提下认为：“成绩优秀”与学习方式有关？20.（本小题满分12分）数列{a n}满足S n=2n-a n(n∈N*)．(I)计算a1，a2，a3，并由此猜想通项公式a n；(Ⅱ)用数学归纳法证明（I）中的猜想．21.（本小题满分12分）甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，乙每次投篮命中的概率均为，甲投篮3次均未命中的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．(I)若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；(Ⅱ)若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望，请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程直角坐标系中，以原点为极点，z轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2(sinθ＋cosθ)，直线Z的参数方程为．（t为参数）．(I)写出圆C和直线l的普通方程；(Ⅱ)点P为圆C上动点，求点P到直线Z的距离的最小值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知关于x的不等式|x-3|+|x-2|<a.(I)当a=3时，解不等式；(Ⅱ)如果不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．2017～2018学年第二学期期末考试答案高二数学（理）一．选择题1.C . 2．A 3．A. 4．C.5．D. 6．A 7．C 8.D 9. C 10．B 11.B 12．D 二．填空题 13.9506 . 14.3 15.()()223sin cos 30cos 304n n sinn n ︒+︒+︒+︒︒+︒=16.169. 三．解答题17．.(本小题满分12分)（法一）)!1()!1(!)!(!!1+--+-=+-m n m n m n m n C C m n m n ----------（4分）=)!1(!!)1(!+-++-m n m mn m n n ---------（6分）=)!1(!)1(!+-+m n m n n ------------------（8分）=]!)1[(!)!1(m n m n -++------------------（10分）=mn C 1+ ------------------（12分）（法二）一般地，从（n+1)个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第一类取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个，有mn C 个；-----------------（5分）第二类取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取（m-1）个后再取出元素a,有1-m nC 个-----------------（10分）根据分类加法计数原理可得mn m n m n C C C 11+-=+-----------------（12分）18.(本小题满分12分)27391.4C P C ==Ⅰ取出的这三个数字中最大数字是8的概率解（）； ------------------（6分）（Ⅱ）随机变量ξ的分布列---------------------------------------------------------------------（10分）ξ的数学期望53E ξ=. ------------------------------- （12分）19(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46.---------（6分）（Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，计算()221001246438 4.76216845050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯---（10分）由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．---------（12分） 20.(本小题满分12分)解：（1）123371,,.24a a a ===，由此猜想1212n n n a --=； ------------------------------- （5分）（2）证明：当1n =时，11a =，结论成立； ------------------------------- （6分）假设n k =（1k ≥，且k N +∈），结论成立，即1212k k k a --= -------------------- （7分）当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以111(+1)12122212222k k k k k k a a +-+--++-===，这就是说,当1n k =+时，结论成立， ------------------------------- （11分）根据(1)和(2)可知对任意正整数结论都成立，即1212n n n a --=()n N +∈-------------------------------（12分）21.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意，()31127p -=，解得23p =.----- （2分）设“甲投篮3次，至少2次命中”为事件A ，则()22322133P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333220327C ⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭.------------------ （6分）（Ⅱ）由题意X 的取值为0，1，2，3，4.()22211013236P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()1112221133P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦220212123C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2121126C ⎡⎤⎛⎫⨯⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；()2211122122213233P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221212123C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222113236C ⎡⎤⎛⎫⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；()221221332P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11212221113323C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()222114329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故X 的分布列为---------------- （10分）()111301236636E X =⨯+⨯+⨯11734393+⨯+⨯=.---------------- （12分）（22）（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由已知ρ＝2(sin θ＋cos θ)得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，所以x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即圆C 的普通方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 由得y ＝－1＋(x －2)，所以直线l 的普通方程为x －y －3＝0.---------5分(Ⅱ)由圆的几何性质知点P 到直线l 的距离的最小值为圆心C 到直线l 的距离减去圆的半径，令圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝＝>，所以点p 到直线l 的距离的最小值为－＝22.-----------------10分 23. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）原不等式变为233x x -+-<.当2x <时，原不等式化为523x -<，解得1x >，∴12x << 当23x ≤≤时，原不等式化为13<，∴23x ≤≤.当3x >时，原不等式化为253x -<，解得4x <，∴34x <<. 综上，原不等式解集为}{|14 x x <<.--------------------5分（Ⅱ）解法一：作出23y x x =-+-与y a =的图象-----------------7分若使23x x a -+-<解集为空集，只须23y x x =-+-的图象在y a =的图象的上方，或y a =与1y =重合，∴1a ≤，所以a 的范围为(],1-∞.-----------------10分解法二：23y x x =-+-=()()()253123522x x x x x -≥⎧⎪≤≤⎨⎪-<⎩-----------------7分当3x ≥时，1y ≥，当23x ≤<时，1y =，当2x <时，1y >，综上1y ≥，原问题等价于()min23a x x ≤-+-，∴1a ≤.-----------------10分解法三：∵23231x x x x -+-≥--+=-----------------7分，当且仅当()()230x x --≤时，上式取等号，∴1a ≤.-----------------10分。

2017-2018学年辽宁葫芦岛市普通高中高二上学期期末考试数学文图片版

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4-t2 即 t2+1- 4 =0,解得：t=0 ，于是直线 l 过点 M 不符合题意；
从而可设 l：y=kx+m,(m≠1)，将其代入 (4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0 由题设可知△=16(4k2-m2+1)>0 8km 4m2-4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-4k2+1, x1x2=4k2+1 . MA MB 又向量 → =（ x1,y1-1）， → =（x2,y2-1）
q2-2q-3=0 q=-1 或 3
所以 bn=(-1)n 或 bn=-3n-1……………………………………………………………………（6） (2)由题意得，T3=-1+(-q)+(-q2)=-13 即 q2+q-12=0，于是 q=-4 或 3 又
d+q=1，d=5 或-2
当 d=5 时， an=1+(n-1)d=5n-4，S5=55 当 d=-2 时，an=-2n+3，S5=-15……………………………………………………………（12） 4 19．(1)解方程 4x－3y－6＝0 可化为 y＝3x－2. n 当 x＝3 时，y＝2.又 f ′(x)＝m＋x2， 4 m＝1，于是，解得 n＝3. 3 故 f(x)＝x－x.………………………………………………………………………………（6） 3 (2)证明设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋x2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 2 y－y0＝0(x－x0)， 3 2 即 y－(x0－x0)＝(1＋0)(x－x0)． 6 令 x＝0 得 y＝－x0， 6 6 从而得切线与 y 轴的交点坐标为(0，－x0)．所以|OA|=|－x0| 令 y＝x 解得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 x-y＝0 的交点坐标为(2x0,2x0)．所以|OB|=2|x0| 6 所以|OA||OB|=|－x0|2|x0|=12……………………………………………………（12） 20．解：（1）由题意可知，m<- x2+4x+1 在[1,4]上恒成立，即 m<（- x2+4x+1）min

辽宁省凌海市石山初级中学2017-2018学年高二数学：每

高二数学寒假每日一题-第12题
12．如图，球O内接四面体ABCD，AB为球O的直径，平面BCD截球得圆O′，BD为圆O′的直径，C为圆O′上一点，AD⊥平面BCD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM 的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
(1)证明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．
【答案】
12．(1)连接PO′，由中位线易知PO′∥AD，从而PO′⊥平面BCD．
如图，以O′为原点，O′D，O′P所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O′－xyz．
由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0，0)，
因为＝3，所以Q(x0，＋y0，) ．
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，
故P，
所以＝．
又平面BCD的一个法向量为u＝(0，0，1)，·u＝0，PQ⊄平面BCD，
所以PQ∥平面BCD．
(2)解：设m＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．
由＝(－x0，－y0，1)，＝(0，2，1)，
可知取y＝－1，得m＝．又平面BDM的一个法向量为n＝(1，0，0)，
于是|cos<m，n>|＝＝＝，即＝3．①
又BC⊥CD，所以·＝0，
故(－x0，－－y0，0)·(－x0，－y0，0)＝0，即x＋y＝2．②
联立①②，结合点C在圆O′上(|y0|≤) 解得
所以＝，＝，
||＝，||＝，
所以tan∠BDC＝＝．
又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°．。

凌海市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

凌海市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m 的值等于（）A ．12B ．20C ．D ．2． “”是“圆关于直线成轴对称图形”的（）3<-b a 056222=++-+a y x y x b x y 2+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．3．已知向量||=， •=10，|+|=5，则||=（）A ．B ．C ．5D ．254．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为时，则输入的值为（）21A ．B ．C ．或D ．或21-1-21-105．在△ABC 中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（）A ．60°B ．120°C ．120°或60°D ．45°6．已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数()cos()3f x x π=+'()y f x =()y f x =的图象（）A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位2π2πC. 向右平移个单位D ．左平移个单位23π23π7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则++…+=（）A ．B ．C ．D ．8．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2.3）D ．（3，4）9．已知双曲线：（，），以双曲线的一个顶点为圆心，为半径的圆C 22221x y a b-=0a >0b >C 被双曲线截得劣弧长为，则双曲线的离心率为（）C 23a πCA ．BCD 6510．若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A ．2B ．C ．D ．412．已知为的三个角所对的边，若，则,,a b c ABC ∆,,A B C 3cos (13cos )b C c B =-sin :sin C A =（）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．13．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日　14．（﹣6≤a ≤3）的最大值为（）A ．9B ．C ．3D ．15．过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条二、填空题16．函数f（x）=（x＞3）的最小值为．17．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），+=．若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为．18．函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P，则P点坐标是．19．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为．三、解答题20．证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．21．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．22．如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

[推荐学习]2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理4

辽宁省辽河油田第二高级中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理时间：120分钟分值：150分一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为（） A ．25 B ．45 C ．50 D ．90 2．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（） A ．624- B ．624+ C ．187 D ．32 3．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（） A ．6π B ．3π C ．4π D ．32π 4．已知向量()()2110=-=,,,a b ，则向量a 在向量b 上的投影是（） A ．2 B ．1 C ．−1 D ．−25．若函数()()f x x ω=π-5sin 2x ωπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（） A ．22,233k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．52,266k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D ．,36k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z6．若不等式(a-a 2)(x 2+1)+x ≤0对一切x ∈(0,2 恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A.B.C.∪D.7．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为（）A. 100-B. 100C. 110-D. 1108．设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋116)(x ∈R )那么M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定9. 已知sin φφπ），函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象的相f ）A B C D 10．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC △面积的最大值为（）A ．B ．34C ．32 D11．下列命题中正确的是 ( ) A.函数y=x+的最小值为2B.函数y=的最小值为2C.函数y=2-3x-(x>0)的最小值为2-4D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-412．若集合A={x|ax 2-ax+1<0}=∅,则实数a 的取值范围是 ( )A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a ≤4}D.{a|0≤a ≤4}二、填空题(每小题５分，每题５分共２０分)13. 已知等比数列{}n a 为递增数列.若10a >，且4652()5a a a +=，则数列{}n a 的公比q =___. 14. 已知向量()1,x a=，()1,x -b =，若2-a b 与b 垂直，则a的值为_______．15. 已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数()f x 的一个零点是________ 16．在平面上，12OB OB ⊥，12MB MB ==，12OP OB OB =+．若1MP <，则OM的取值范围是_______．三、解答题：(17 -21题均为12分，选做题10分) 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=．（1）求角A ；（2）若3a =，ABC △11b c +的值．18. （本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足()*41,3n n S a n =-∈N ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和为n T ．证明：1132n T <≤．19．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sinA )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．20．若a ＜1，解关于x 的不等式axx －2＜1 .21．（本小题满分12分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，)1()2(1+++=+n n S n na n n ，*n ∈N ．（1）证明：数列}1{+nS n为等比数列；（2）求n n S S S T +++= 21．考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线2C 的直角坐标方程及曲线1C 上的动点P 到坐标原点O 的距离OP 的最大值；（2）若曲线2C 与曲线1C 相交于A ，B 两点，且与x 轴相交于点E ，求EA EB +的值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|27|1f x x =-+。

凌海市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

凌海市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样2．若⎩⎨⎧≥<+=-)2(,2)2(),2()(x x x f x f x则)1(f 的值为（） A ．8 B ．81 C ．2 D ．213．已知函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+，则下列结论正确的是（）A ．f （x ）在（0，1）上恰有一个零点B ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有一个零点C ．f （x ）在（0，1）上恰有两个零点D ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有两个零点4．执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（）A ．2B ．3C ．4D ．55．一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A ．i ≤5？B ．i ≤4？C ．i ≥4？D ．i ≥5？6．设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l 7．在区域内任意取一点P （x ，y ），则x 2+y 2＜1的概率是（）A ．0B ．C ．D ．8． “1＜m ＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f ′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（）A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件10．设曲线y=ax 2在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a=（）A ．1B ．C ．D ．﹣111．在等差数列中，已知，则（）A ．12B ．24C ．36D ．48 12．下列推断错误的是（）A ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1则x 2﹣3x+2≠0”B ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0，则非p ：任意x ∈R ，都有x 2+x+1≥0C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“x ＜1”是“x 2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件二、填空题13．已知a=（cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是．14．已知函数()f x 23(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系是．15．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是．16．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x ，y ），且∥，则x ﹣y= ．17．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有种．18．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin2，则该数列的前16项和为．三、解答题19．（1）直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）已知A （﹣2，4），B （4，0），且AB 是圆C 的直径，求圆C 的标准方程．20．设函数f （x ）=1+（1+a ）x ﹣x 2﹣x 3，其中a ＞0．（Ⅰ）讨论f （x ）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x ∈时，求f （x ）取得最大值和最小值时的x 的值．21．（本小题满分10分）已知函数()2f x x a x =++-．（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．22．在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为：A （0，4）；B （﹣3，0），C （1，1）（1）求点C 到直线AB 的距离；（2）求AB 边的高所在直线的方程．23．已知在△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证：AB⊥AC；（2）求向量．24．已知函数f（x）=sin2x•sinφ+cos2x•cosφ+sin（π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，．）（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若x0∈（，π），sinx0=，求f（x0）的值．凌海市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样， ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样， ③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选A ．2．【答案】B 【解析】试题分析：()()311328f f -===，故选B 。

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