傅里叶变换的性质及其揭示的时域和频域间的关系

CFT
cos(0t) [ ( 0 ) ( 0 )]
CFT
sin(0t) j[ ( 0 ) ( 0 )]
CFT
e jΩ0t 2 (Ω - Ω0 )
2. 卷积性质
卷积性质包括时域卷积性质和频域卷积性质。先考察时域卷积
性质。以 CFT 为例：
第五章 傅里叶变换（级数）的性质及其 揭示的时域和频域间的关系
1. 线性性质 2. 卷积性质 3. 时移和频移性质 4. 微分与差分性质、积分与累加性质 5. 对称性质 6. 尺度比例变换性质 7. 抽样和抽样定理 8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理 9. 能量谱与功率谱
1. 线性性质
以 CFT 为例：


x1(
)x2 (t

)d
e jt dt


x1
(
)e

j
d

x2
(t

)e

j
(t

)
dt
X1( j ) X 2 ( j )
2. 卷积性质
上述性质表明，时域中两个函数的卷积，对应在频域上则是它
们的傅里叶变换相乘。DTFT 与此类似：
CFT
CFT
x1(t) X1( j ) x2 (t) X 2 ( j )
CFT
x1(t) x2 (t) X1( j ) X 2 ( j )
证明：
令

y(t) x1(t) x2 (t) x1( )x2 (t )d
则 y(t) 的 CFT 为
Y ( j )
而
rτ(t)
的傅里叶变换为
R
(
j
)

Sa(

2
)
直接利用时域卷积性质求得 x(t) 的频谱为
X(
j )

R2 (
j ) /
Sa2 (
2
)
2. 卷积性质
CFS 和 DFS 的时域周期卷积性质：若有两个周期为 T 的周期
信号~x1(t) 与~x2 (t) ，和周期为 N 的周期序列 ~x1(n)与~x2 (n) ，X1(k0 ) 与X 2 (k0 ) 和 X~1(k0) 与 X~2(k0) 分别是它们的 CFS 和 DFS系数。
x(n)
DTFT

X~1 (
j)
x2 (n)
DTFT

X~2 (
j)
x1(n)

x2 (n)
DTFT

X~1(
j)
X~2
(
j)
2. 卷积性质
习题：试求下图所示的三角脉冲 x(t) 的频谱。
x(t) 1
-τ 0 τ t
解答：三角脉冲 x(t) 是矩形脉冲与本身卷积的结果，即
x(t) r (t) r (t) /
离散 非周期
DFT
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
离散 有限长
频域
非周期 离散 周期 离散
非周期 连续
周期 连续
离散 有限长
引言
在介绍和讨论各种变换的性质时，将不局限于它们的数学表示， 而是着重它们所体现的物理含义及应用，即把重点放在如下两个 方面： 每个变换的性质揭示的时域与频域之间的关系，即信号的频谱 和LSI系统的频率响应与它们时域特性之间的关系及物理解释。 利用变换性质导出新的变换和反变换的有效方法和技巧。常用 的变换对，都可以由很少几个熟知的变换对，通过变换的性质方 便地求得。
CFT
(t) 1
CFT
1 2 ()
CFT
sgn(t)
2
j
CFT
u(t) ( )
1
j
CFT
e jΩ0t 2 (Ω-Ω0 )
CFT
(k) (t) ( j )k

CFT

(t - nT ) 0 ( k0 )
n
k
DFT
x1(n) x2 (n) X1(k) X 2 (k)
1. 线性性质
习题：求正弦信号 cos(Ω0t) 和 sin(Ω0t) 的傅里叶变换。 解答：利用欧拉公式，分别有
cos(Ω0t)=(ejΩ0t + e-jΩ0t )/2 和 sin(Ω0t)=(ejΩ0t - e-jΩ0t )/2j 再利用傅里叶变换的线性性质，则有
T

~x1(
)~x2
(t

)d
kN
CFT
X ( jΩ) x(t)e jΩtdt
x(t) 1 X ( jΩ)e jΩtdΩ
2
时域
连续 周期 离散 周期
连续 非周期
DTFT
X~( j)

x(n)e jn
n
x(n) 1
X~(e j )e jnd
2 2
电器信息工程学院 蔡超峰
引言
正变换
反变换
CFS
X
(kΩ0
)

1 T
~x (t)e jkΩ0t dt
T
~x (t)

X (kΩ0 )e jkΩ0t
k
DFS
X~(k0)
~x (n)e jk0n
nN
~x (n)

1 N
X~ (k0 )e jk0n
CFT
x1(t) X1( j )
CFT
x2 (t) X 2 ( j )
CFT
x1(t) x2 (t) X1( j ) X 2 ( j )
DTFT、CFS 和 DFS 具有完全类似的性质。
对于DFT，若长度为 M1 和 M2 的序列 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT （注意：N ≥ M1， N ≥ M2）分别为 X1(k) 和 X2(k) ，对于任意 复常数 α 和 β，则有
则有
T

~x1(
)~x2
(t

)d
CFS
பைடு நூலகம்X1(k0
)
X
2
(k0
)
~x1
(m)
~x2
(n

m)
DFS

X~1
(k0
)
X~
2
(k0
)
mN
2. 卷积性质
证明（以 CFS 为例）：
令
~y (t) T ~x1( )~x2 (t )d （周期卷积）
则 y(t) 的 CFS 为
1
Y (k0 ) T
T

T
~x1( )~x2 (t
)d
e j0t dt

T
1 T
T

~x1
(
)e

j0
d


1 T
T

~x2
(t

)e
j0
(t
)
dt

TX1(k0 ) X 2 (k0 )