2017北京市中考复习-数学第六单元 方程与方程组第二节 一元二次方程
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题02 一元二次方程
x
7 2
x1
7 2 , x2
7 2
（2） x2
3x
2
x2
3x
3 2
2
2
3 2
2
x
3
2
2
17 4
x
3 2
17 x 3
2
2
17 2
x1
3 2
17 2
,
x2
3 2
17 2
知识大全
考点三 用公式法求解一元二次方程
1.求根公式 一元二次方程
，当
时，
2.判别式
一元二次方程根的判别式：
．
①当
解：
如果关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0a 0 有一个根是 1，
（1） 3x2 4x 4 0
那么我们称这个方程为“方正方程”.
二次项系数化 1，得x2 4 x 4 0 ， 33
移项，得 x2 4 x 4 ， 33
配方，得
x2
4 3
x
4 9
4 3
4 9
，即
x
2 3
2
16 9
＞0 时，原方程有两个不等的实数根
；
②当
时，原方程有两个相等的实数根
；
③当
时，原方程没有实数根.
3.公式法步骤
用公式法解关于x的一元二次方程
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定 a、b、c的值（要注意符号）；
③求出
的值；
④若
，则利用公式
的步骤： 求出原方程的解；
若
，则原方程无实根.
知识大全
考点三 用公式法求解一元二次方程
知识大全
考点二 用配方法求解一元二次方程
北京中考一元二次方程全章复习
一元二次方程复习22.1 一元二次方程（1）一元二次方程的定义：请你举出几个一元二次方程的例子：一元二次方程的一般形式：。
其中叫二次项，叫一次项，叫常数项，叫二次项系数，叫一次项系数。
想一想：分别找出下列方程中的二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
⑴x2+10x-900=0 ⑵5x2+10x-2.2=0 ⑶x2-x-56=0⑷4x2=9 ⑸x2+3x=0 ⑹3y2-5y=7做一做：1、将方程3x（x-10)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
2、将导语中的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
拓展练习1、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，则梯子底端滑动多少米？2、有一群蜜蜂，其半数的平方根只飞向茉莉花丛， 留在家里，还有两只去寻找荷花瓣里嗡嗡叫的雄蜂，这两只雄蜂被荷花的香味吸引，傍晚时由于花瓣合拢，飞不出去了，请你告诉我蜂群中有多少只蜜蜂22.1 一元二次方程（2）1、下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．（1）x 2-64=0 （2）3x 2-6=0 （3）x 2-3x=0应用拓展1、要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，•这块铁片应该怎样剪？2、已知x=2是关于x 的方程1.5x 2-2a=0的解，求式子2a-1的值？22.1一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的一般形式： ，其中二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ， 常数项是 。
叫做一元二次方程的根。
1、判断下列关于x 的方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，请写出它的a 、b 、c① 3x 2=2x-1 ② x 2+x 2=0 ③ x 2=5④ ax 2+bx+c=0 ⑤ (x-2)(x+1)=(x+3)(x-1)2、已知关于x 的方程(m+2)x m +3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程。
中考数学专题复习分类练习 一元二次方程组综合解答题含答案解析
中考数学专题复习分类练习一元二次方程组综合解答题含答案解析一、一元二次方程1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1=1+3，x2=1﹣3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1=1+3，x2=1﹣3．2．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.7．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．8．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a ≤174；（2）x =1或x =2 【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174； （2）由（1）可知a ≤174， ∴a 的最大整数值为4，此时方程为x 2﹣3x +2=0，解得x =1或x =2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 米2， 根据题意得：4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（20﹣3x ）（8﹣2x ）=56 解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米．10．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．11．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n 个；（1）61；3n 2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．13．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边，∴2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，∴k ＝32或2． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
中考数学复习一元二次方程组专项易错题含答案解析
中考数学复习一元二次方程组专项易错题含答案解析一、一元二次方程1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】 试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得1（舍去）或x=1，∴点P（1，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=13．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.5．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -） =2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x+-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．7．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.8．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：9．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．10．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.11．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．12．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】【分析】 （1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-； （2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=，∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=.【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．13．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x +y ）2+（y +1）2=0∴x +y =0 y +1=0解得：x =1，y =﹣1∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0∴a ﹣3=0，b ﹣4=0解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．14．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.【解析】【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602?元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x +-=，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.（2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
最新北师大版初中九年级数学下册第6讲 一元二次方程中考知识点梳理
与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, 等.
失分点警示
3.根的判别式
(1)当Δ＝ >0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝ =0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝ <0时，原方程没有实数根．
例：方程 的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程 的判别式等于－8，故该方程没有实数根.
*4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
例：方程 是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
北京市第四中学2017年中考数学冲刺复习专题训练6一元二次方程知识点和题型总结无答案201705253119
一元二次方程知识点和题型总结一、知识与技能的总结（一）概念 一元二次方程——“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高次数是2”．一元二次方程的一般形式——20(0)ax bx c a ++=≠，按未知数x降幂排列方程的根（解）——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法——把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法——适用于 的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；3．公式法——适用于 的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a 、b 、c ；（2）先求出24b ac ∆=-的值，若240b ac ∆=-≥，则代入公式 ．若240b ac ∆=-<，则 ；4．因式分解法用因式分解法解一元二次方程的依据是：0A B ⋅=⇔ ．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个 方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式：24b ac ∆=-，是解方程的 过程中产生的（1）若240b ac ∆=->，则方程有 解；（2）若240b ac ∆=-=，则方程有 解；（3）若240b ac ∆=-<，则方程有 解；2．换元法（1）2(21)3(21)40x x +-+-=；（2）1+x+x(1+x)=3（3） （4）222(1)3(1)(2)2(2)0x x x x +++---=1512x x x x -+=-3．可化为一元二次方程的分式方程 解方程631(1)(1)1x x x -=+--二、典型题型汇总（一） 一元二次方程的概念1．（一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：（1）2523x x -=（2）3(1)7(2)5y y y +=+-2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值）(1) 关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.(2)若分式27801x x x --=-，则x =3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1)关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a =(2)已知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1，一个根为1-，则a b c ++= ，a b c -+=(3)已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程230x x c -+=的一个根的相反数是方程230x x c +-=的一个根，则方程230x x c +-=的根为 ，c=（二）用适当的方法求解下列方程(217)x -=()222430y y --=()233p +=()24952n n =-()25450x x --=()23(32)(31)6323y y yy y +--=+ （三）一元二次方程的根的判别式（1）1．k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根（3）k 满足 时,方程无实数根2．已知关于x 的方程2340mx x -+=，如果0m <，那么此方程的根 的情况是（ ）．A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．没有实根D ．不能确定3．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取 值范围是（ ）．A ．2m ≠B ．6m ≤且2m ≠C ．6m <D ．6m ≤4．对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++= 无实数根.5．设m 为整数，且440m <<时，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个相异整数根，求m 的值及 方程的根.一元二次方程的根的判别式（2）在整式一章中学习二次三项式2ax bx c ++的因式分解时，曾经遇到过这样 的问题：三项式2ax bx c ++（其中a 、b 、c 为有理数），满足什么条件时， 它可以在有理数范围内因式分解？例如：下列多项式可在有理数范围内分解因式()()21111933664224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭一个多项式在给定数集内能否进行因式分解，是与当这个多项式的值为0时， 该方程在给定的数集内是否有解是密不可分的，例如上面举的例子中方程 ()()()()()222190=6411119=-36=-6+6=-6--64444x x x x x x x x -=±⎡⎤-⎣⎦的解结论：推论：1. 判断下列二次三项式能否在有理数范围内分解因式？如果不能，说明 理由；如果能，请将它分解因式()2181415x x +-()22231x x +-()23321x x -+2. 判断下列字母系数k 的二次三项式，能否分解因式？如果不能，说明 理由；如果能，请将它分解因式()()21526x k x k -+++()()22212x k x k k ++--结论：注意：3. 利用一元二次方程求根公式，在实数范围内分解因式()2152x x +-()22223x xy y --（四）根系关系若20(0)ax bx c a ++=≠中，有0∆≥，则有：1x = 2x =可推出：12x x += ； 12x x ⋅= ； 根据一元二次方程的根与系数关系解答下列问题：1．如果是α、β是方程2234x x +=的两个根，则22αβ+的值为（ ）．A ．1B ．17C ．6.25D ．0.25（五）一元二次方程的应用（一）数字问题1．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，求这三个数．（二）图形问题2．已知一个凸多边形共有对角线35条，求这个凸多边形的边数．（三）经济问题3. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少 库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x 元. 据此规律， 请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x 的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商 场日盈利可达到2100元？（四）记数问题4．某小组的同学毕业之前互赠像片，每个同学都得到其他同学每人一张 像片，经过组长统计，共需洗像片90张，问这个小组有多少同学？（五）匀变速运动问题5．一颗子弹射出枪口时的速度是800米/秒，这支枪的枪筒长0．64米， 若把子弹在枪筒中的运动看作均匀加速运动，（1）子弹经过枪筒的时间是多少？（2）在枪筒内子弹平均每秒速度增加多少？（3）子弹在枪筒内穿行一半路程时大约用多少时间（保留三位有效数字）？（六）综合问题粗心的小野和小静在一起做作业，小野做完作业后，出门来到楼下发现错拿了小静的橡皮，于是想将橡皮抛上去，要小静在楼上接，已知小 静的手距地面的高度为5.6米，小野上抛的橡皮的高度h 与时间t 的关系 为2512h t t =-+．试问小静有几次接橡皮的机会，证明你的结论．。
2017人教版中考数学第7讲《一元二次方程》
方法总结 要求关于 x1 和 x2 的某个代数式的值，先把这个代 数式变形为 x1＋x2 和 x1x2 表达的式子，再把 x1＋x2 和 x1x2 的值整体代入；若给出了关于 x1 和 x2 的某个代数 式的值或范围，要求系数中的未知字母的值或范围，先 把这个代数式变形为用 x1＋x2 和 x1x2 表达的式子， 然后 根据所给的值或取值范围，构造方程或不等式解决，若 二次项系数中有字母，要注意二次项系数不为 0.
x＋p 2＝－ q＋p 2. 2 2
p x1＝－ ＋ 2 p 2 p － q＋ 2 ， x2＝－ － 2 p 2 － q＋ 2 .
3 ．公式法：如果方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 且
2 － b ± b －4ac 2 b －4ac≥0，则 x1,2＝ . 2a
考点五
一元二次方程的应用
例 5 (2013· 广东 )雅安地震牵动着全国人民的心， 某单位 开展了“一方有难， 八方支援”的赈灾捐款活动． 第一天收 到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐 款的增长率； (2)按照 (1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收 到捐款多少元？
2 2 2 2 2 2
)
7．关于 x 的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0 的一个根是 0，则实数 a 的值为( A A．－1 C．1 B．0 D．－1 或 1 解 得 a ＝ － 1. )
a－1≠0， 解析：由题意，得 |a|－1＝0，
故选 A.
8．如果关于 x 的一元二次方程 kx － 2k＋ 1x＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ( D ) 1 B． k＜ 且 k≠ 0 2 1 1 D．－ ≤ k＜ 且 k≠ 0 2 2 1 A． k＜ 2 1 1 C．－ ≤k＜ 2 2
2017北京中考数学二模20一元二次方程专题
21.已知关于x 的一元二次方程24210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.5【2017丰台二模】20．已知关于x 的一元二次方程032)2(2=+++-m mx x m 有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．7【2017房山二模】22. 已知关于x 的一元二次方程()222330x k x k k +-+-=，（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为0，求k 的值．9【2017门头沟二模】10【2017昌平二模】20. 关于x 的一元二次方程0)12(2=++-m x m x（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）写出一个m 的值，并求此时方程的根.20．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，求该方程的整数根．13【2017怀柔二模】23. 小明遇到这样一个问题：已知：1b c a -=. 求证：240b ac -≥. 经过思考，小明的证明过程如下：∵1b c a -=，∴b c a -=.∴0a b c -+=.接下来，小明想：若把1x =-带人一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），恰好得到0a b c -+=.这说明一元二次方程20ax bx c ++=有根，且一个根是1x =-.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：240b ac -≥.根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：42a c b+=-. 求证：24b ac ≥.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.。
最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编
中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。
(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。
注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。
北京市中考数学总复习第二单元方程(组)与不等式(组)第06课时一元二次方程课件
[方法模型] (1)判断方程根的情况算Δ;(2)看到方程的根一 可直接代入,二可通过公式法将方程的根用参数表示出来 后根据条件求解.
∴取 m=4,可使原方程的两个根中只
有一个根小于 4. 注:只要 m≥4 均满足题意.
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明考向
1.[2015· 北京 14 题] 关于 x 的一元二次方程 ax +bx+ =0 有两
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探究二 根的判别式的应用
解:(1)依题意,得 Δ=[-(m+3)]2-4×1× 3m=(m-3)2.
例 2 [2018· 海淀二模] 关于 x 的一元二次方程 x2-(m+3)x+3m=0. (1)求证:方程总有实数根;
(2)请给出一个 m 的值,使方程的两个根中只有一个根小于 4.
∵(m-3)2≥0,∴方程总有实数根.
(2)若 m 为负数,判断方程根的个数情况.
∵m<0,∴-12m>0.∴Δ=-12m+5>0. ∴此方程有两个不相等的实数根.
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8.[2018· 西城期末] 已知关于 x 的方程 mx2+(3-m)x-3=0(m 为实 数,m≠0). (1)求证:此方程总有两个实数根;
解:(1)证明:∵m≠0,∴方程 mx2+(3-m)x-3=0 为一元二次方程.依题意,得 Δ=(3-m)2+12m= (m+3)2.∵无论 m 取何实数,总有(m+3)2≥0,
[答案] (100-x)(80-x)=7644
图 6-2
2
1 4
[答案] 答案不唯一,如 1;1 [解析] 满足 b2=a,a≠0 即可,答案不唯 一.故答案为 a=1,b=1 等.
北京中考中的一元二次方程与二次函数
（3）设二次函数的图象与 轴交于点 （点 在点 的左侧），将二次函数的图象在点 间的部分（含点 和点 ）向左平移 个单位后得到的图象记为 ，同时将（2）中得到的直线 向上平移 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 有公共点时， 的取值范围。
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：
即Y=0时方程有两个不等实数根。
1.已知关于x的方程
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程 的整数根（ 为正整数）．
2.已知：关于 的方程 .
8.已知关于 的方程 .
（1）求证：不论 为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线 与 轴交于两个不同的整数点，且 为正整数，试确定此抛物线的解析式；
（3）若点 ， 与点 ， 在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），若 ，求代数式 的值.
9.
10.已知二次函数
在 和 时的函数值相等。
（1）求二次函数的解析式；
6.．已知： 、 分别为关于 的一元二次方程
的两个实数根．
（1）设 、 均为两个不相等的非零整数根，求 的整数值；
（2）利用图象求关于 的方程 的解．
7.已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若抛物线y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．
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最新整理初三数学教案北师大版九年级数学上册《一
元二次方程》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》知识点归纳
第二章一元二次方程
1.定义：方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2用配方法求解一元二次方程
思路：将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
3.用公式法求解一元二次方程
对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是：
初中数学北师大版九年级上册《第二章一元二次方程》知识点归纳
上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
对于ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，当b2-4ac》0时，方程有两个不相等的实数根。
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
当b2-4ac《0时，方程没有实数根。
4、用因式分解法求解一元二次方程
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是一元
二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
5、一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)有两个实数根x1x2,那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
北师大版-数学-九年级上册-中考中的一元二次方程
中考中的一元二次方程一元二次方程的有关知识是初中代数中的重点内容，以一元二次方程为背景的中考题更是推陈出新．本文以近年中考试题，将其考点作简要分析，供同学们学习参考．考点一、有关概念定义问题例1 已知()222110k x k x -++=是关于x 的一元二次方程，则有（ ）A ．0k >B ．0k <C ． 0k ≠D ．k 为任意实数解：由一元二次方程的定义知20k ≠，即0k ≠．选C ．例2 已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根是2，则另一个根是 ，m = ．简解：将2x =代入求得1m =，从而求得另一个根为3x =-．评注： 一元二次方程有关概念定义问题通常有两种情形：一是考查一元二次方程的定义，此时要注意二次项系数0a ≠这一条件；二是考查一元二次方程根的定义，一般有正用、逆用两种题型．考点二、有关方程的解法问题例3 方程250x x -=的根是 ．解：(因式分解法)原方程得()50x x -=．1205x x ==∴，例4 方程240x -=的解为 ( )A ．2x =B ．2x =-C ．1222x x ==-，D ．12x x =解：(直接开平法)，由原方程得24x =， 1222x x ==-∴，．选C ．评注：有关方程的解法要求根据方程的特点灵活选用具体方法，讲究解法技巧，讲究准确、迅速．考点三、有关根的的判别式问题例5 下列方程有实数根的是 ( )A ．2210x x ++=B ．210x x --=C ．26100x x -+=D ．210x +=简解：通过计算各方程“24b ac -”的值，选B ．例6 已知关于x 的方程2410x x k -+-=有两个相等的实数根，求k 的值． 简解：由题意，得()()2244410b ac k -=---=．解得 5k = ．评注： 一元二次方程的根的判别式主要有两个用途：一是不解方程，判断方程的根的情况（如例5）；二是利用方程的根的情况，确定方程中某一待定系数的取值范围（如例6）．考点四、有关根与系数的关系问题例7 已知方程(210x x +-=的两根为12x x ，，求2212x x +的值．解：12121x x x x +==∵，，∴())2222121212213x x x x x x +=+-=+=．例8 以1为根的一元二次方程是 ．解：∵))11+= )112=．∴所求作的方程为220x -+=．评注：此类考题主要考查根与系数关系的定理及逆定理，并综合运用代数式恒等变形及配方等到数学思想方法的能力．考点五、综合应用问题例9 某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%，作为新产品开发的研究资金，该集团公司2002年投入新产品开发的研究资金是4000万元，2004年销售总额是7.2亿元，求该集团公司2002年和2004年的年销售总额的平均增长率．解：设该公司2002年和2004年的年销售总额的平均增加率为x ．该公司2002年销售总额为4000÷8%=50000(万元)=5(亿元)．根据题意得5(1+x )2=7.2解得120.2 2.2x x ==-，，因为2 2.2x =-不合题意，所以只取0.220%x ==．答：略．评注：本题主要考查列方程解应用题的一般步骤及方法，是典型的增长率问题且十分贴近生活．。
_北京中考一元二次方程知识点及典型题
一元二次方程题型讲义模块一、一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆一元二次方程根的判别式（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.模块二、一元二次方程的根与系数的关系的应用为根的一元二次方程是模块三、有理数根问题模块四、整数根问题整数解问题先保证跟为有理数根，∆一定为平方数处理思想从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=k 2),通过穷举,逼近求解从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解处理方法从判别式入手，∆为平方数，设根的判别式为2t （t 为整数），然后利用整数×整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k 的值，然后再利用整数根进一步验证筛选整数×整数=整数利用的知识有：①若a 、b 为整数，a b ⋅为整数k ，如果1122k m n m n === ，那么11a m b n =⎧⎨=⎩或11a n b m =⎧⎨=⎩或22a m b n =⎧⎨=⎩或22a n b m =⎧⎨=⎩ （1m 、2m 、1n 、2n 为整数）②两个整数的和、差、积仍为整数，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +、a b -、ab 都为整数．③两个整数的和与这两个整数的差奇偶性相同，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +与a b -同奇同偶．要点一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。
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第二节 一元二次方程
课标解读
知识要点
1.等号的两边都是 ，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是 ，其中 叫做二次项， 叫做二次项系数; 叫做一次项， 叫做一次项系数;
叫做常数项. 3.利用一元二次方程的求根公式x = ，求出一元二次方程+bx +c =0(
a ≠0)的解
的方法，叫做公式法.
4.先 使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于 的形式，再使这两个一次式分别等于 ，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
5.当 时，一元二次方程+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根;当 时，
一元二次方程
+bx +c =0(a ≠0)有两个相等的实数根;当 时，一元二次方程
+bx +c =0(a ≠0)没有实数根.
典例诠释
考点一 解一元二次方程 例1 (2016·扬州)已知M =a －1，a (a 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为
( ) A ．M ＜N B ．M =N
C ．M ＞N
D ．不能确定
【答案】 A
【名师点评】 此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将
M与N代入N－M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．
考点二根的判别式
例2 (2016·自贡)已知关于x的一元二次方程+2x－(m－2)=0有实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【答案】 C
【名师点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，Δ≥0．由关于x的一元二次方程+2x－(m－2)=0有实数根，可知Δ≥0，从而可以求得m的取值范围．
例3 (2016·衡阳)关于x的一元二次方程+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为( )
A．k=－4 B．k=4 C．k≥－4 D．k≥4
【答案】 B
【名师点评】本题考查了一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的根的判别式－4ac：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．根据判别式的意义得到－4k=0，然后解一次方程即可．考点三根与系数的关系
例4 (2016·枣庄)已知关于x的方程+3x+a=0有一个根为－2，则另一个根为( ) A．5 B．－1 C．2 D．－5
【答案】 B
【名师点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．根据关于x的方程+3x+a=0有一个根为－2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值．
考点四一元二次方程的应用
例5 (2016·台州)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )
A ．x(x－1)=45
B ．x(x+1)=45 C．x(x－1)=45 D．x(x+1)=45
【答案】 A
【名师点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x(x－1)场，再根据题意列出方程为x(x－1)=45．
基础精练
1.(2016·朝阳一模)关于x 的方程+2x+2k－4=0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k= ．
【答案】k =1
2.(2016·丰台一模)关于x 的一元二次方程－1=0有实数根，则实数m的取值范围是.
【答案】m≥－1
3.(2016·丰台一模)小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程+bx+c=0的求根公式时，对于－4ac>0的情况，他是这样做的：
，方程+可变形为+x－，
+x+=－+，
，
小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是.
【答案】四；平方根的定义
4.(2015·朝阳一模)已知关于x的一元二次方程－6x+k+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【解】－4(k+3)=36－4k－12=－4k+24.
∵原方程有两个不相等的实数根，∴－4k+24＞0，解得k＜6.
(2)∵k＜6且k为大于3的整数，∴k=4或5.
①当k=4时，方程为－6x+7=0其根不是整数.∴k=4不符合题意.
②当k=5时，方程为－6x+8=0其根为=2，=4，均为整数.∴k=5符合题意.
综上所述，k的值是5.
真题演练
1.(2015·北京)关于x的一元二次方程+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．
【答案】(满足=a，a≠0即可，答案不唯一)
2.(2015·四川宜宾)某楼盘2013年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7 600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为.
【答案】8 =7 600
3.(2015·广东)若关于x的方程+x－a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A.a≥2
B.a≤2
C.a＞2
D.a＜2
【答案】 C
4.(2016·兰州)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图
1-6-3)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 ，求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为( )
图1-6-3
A.(x+1)(x+2)=18
B.－3x+16=0
C.(x－1)(x－2)=18
D.+3x+16=0
【答案】 C
5.(2015·湖南益阳)沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为( )
A．20(1+2x)=80 B．2×20(1+x)=80
C．=80 D．=80
【答案】 D
6.(2016·北京)关于x的一元二次方程－1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.
【解】(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴－4=4m+5>0，解得m＞－.
(2)取m=1，原方程为+3x=0，即x(x+3)=0，
∴=0,=－3.(m取其他值也可以)。