2直观图
高中数学必修2空间几何体的三视图和直观图
俯视图
圆锥的三视图
正视图 侧视图
俯视图
思考：下列两组三视图分别是什么几何体？
正视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
俯视图
圆台
三棱锥
一个几何体的三视图如下，则这个几 六棱锥 何体是______
正视图
主视图
左视图
俯视图
俯视图
画法说明
1、同一张图样中，同类图线的宽度应基本一致。 2、虚线、点划线相交时，应使两小段相交。
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
A
B
O
x
N
C
斜二测画法的步骤:(平面图形)
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴,两轴 相交于O点．画直观图时，把它画成对应的 x 轴、 轴,使 xOy=45 或135 ,它确定的平面表示水平 y 平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． (3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保 持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一 半．
y
F
M
E D
A
y
F M E
N
A
B
O
x
N
B
O
D
C
x
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
y
A
B
O
2高中数学必修2精品教案：1.2 直观图的画法 教案1
这时教师拿出三个模型．立方体模型；一块直角三角形和一根小棍过直角顶点并且与直角三角板所在平面垂直；一块矩形板和一根小棍过它的一个顶点并且垂直于矩形板所在的平面．然后画出下面的三个图，并且说这就是这三个模型的直观图．（如图1）
画法：（1）在已知矩形OABC中，取OA所在的直线为x轴，取OC所在的直线为y轴，画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45°．
（2）在x′轴上截取O′A′=4cm，在y′轴上截取O′C′=1.5cm，过A′点作A′B′ O′C′，连C′B′，则O′A′B′C′就是矩形OABC的直观图．
（说明，为了突出矩形OABC和它的直观图O′A′B′C′，辅助线要用细实线画出，而矩形和它的直观图的轮廓线可用粗实线画出）
过A′点作A′B′ O′C′，连C′B′．则O′A′B′C′就是正方形OABC的直观图．
（注意，为了看清学生动手画图的真实过程，图画好后，不一定要擦去辅助线）
师：下面，我们请一个同学来读课本第7页上所述的这种斜二测画法的规则．
生：“上面画直观图的方法叫做斜二测画法，这种画法的规则是：
（1）在已知图形中取互相垂直的轴Ox，Oy．画直观图时，把它画成对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′=45°（或135°）．它们确定的平面表示水平平面．
师：正方体的六个面都是正方形，为什么在直观图中只有两个面是正方形？；直角三角形中的直角为什么不能画出直角？；矩形中有四个角都是直角，为什么在直观图中都不能画出直角？
师：对，所以要画出空间图形的直观图，使它有立体感，它的基础就是要掌握“水平放置的平面图形的直观图的画法”．也就是说，当我们会看、会画出“水平放置的平面图形的直观图”后，才逐步会看、会画出空间图形的直观图．下面，我们就来研究几种平面图形的直观图的画法．并提出下面三点要求：
人教A版高中数学必修二课件1.2.3 空间几何体的直观图3
方法技能
在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键, 一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.原图 中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC. (3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截 取线段AA′,BB′,CC′,且AA′=BB′=CC′.(侧视图中矩形的高) (4)成图,顺次连接A′,B′,C′,并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线 表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图.
即时训练1-1:用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角 形的直观图.
解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在 的直线为y轴.建立平面直角坐标系.
解:(2)画对应的 x′轴、y′轴, 使∠x′O′y′=45°. 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=OB=OC=2 cm,
(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE. (3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别 截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′都等于正视图的高. (4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,去掉辅助线,改被挡部分为虚线,如图② 所示.
方法技能
(3)原图的面积 S 与直观图的面积 S′之间的关系为 S=2 2 S′.
即时训练 3-1:等腰梯形 ABCD 中,上底 CD=1,腰 AD=CB= 2 ,下底 AB=3,以下 底所在直线为 x 轴,则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积
第一部分 第一章 立体几何初步 § 2 直观图
1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是()A．正三角形的直观图是正三角形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．相等的线段在直观图中仍然相等D．全等三角形的直观图一定全等解析：斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图仍是平行四边形．答案：B2．(2012·德州高一检测)如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()解析：由图可知，直观图中梯形的一腰与y′轴平行，故此平面图形应为直角梯形．答案：C3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是()A．8a cm B．6a cmC．(2a＋22a) cm D．4a cm解析：如图，把直观图还原得平行四边形OABC其中OA＝a，OB＝22a，故AB＝a2＋(22a)2＝3a∴原图形OABC的周长为C＝6a＋2a＝8a.答案：A4．(2012·杭州高一检测)如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2 D ．4 2解析：由直观图可知，原平面图形是直角三角形为AOB ，其中OB ＝1，AO ＝2 2.∴S △AOB ＝12×1×2 2＝ 2. 答案：C5．如图，①②③所示的三个图中，可能是正△ABC 的直观图的是________．解析：根据斜二测画法规则，能够画出正△ABC 的直观图为③.答案：③6．如图，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，在直观图中梯形的高为________．解析：由原图形可知OA ＝6，BC ＝2，∠COD ＝45°，则CD＝2，则直观图中的高h ′＝C ′D ′sin 45°＝1×22＝22. 答案：22 7．如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，试将其恢复成原图形．解：(1)在水平放置的直观图中延长D ′A ′，交轴O ′x ′于E ′.(2)如图所示，画互相垂直的轴Ox ，Oy ，取OE ＝O ′E ′，过E 作EF ∥Oy ，在EF 上截取AE ＝2A ′E ′，AD ＝2A ′D ′，再过D 作DC ∥x 轴，过A 作AB ∥x 轴，并且截取DC ＝D ′C ′，AB ＝A ′B ′.(3)连接BC ，则梯形ABCD 即为原来的图形．8．用斜二测画法画上、下底边长分别为1.2 cm 、2 cm ，高为2 cm 的正四棱台的直观图．解：(1)画轴，如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画下底面．点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm，在y轴上取线段EF，使EF＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点E和F作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D.则四边形ABCD就是正四棱台的下底面．(3)画上底面．在z轴上取线段O′O＝2 cm.以O′为中点，过O′作M′N′平行于x轴，且M′N′＝1.2 cm，作E′F′平行于y轴且E′F′＝0.6 cm.再过点M′、N′分别作y轴的平行线，过点E′、F′作x轴的平行线，设它们的交点为A′、B′、C′、D′.则四边形A′B′C′D′就是正四棱台的上底面．(4)成图．顺次连接AA′、BB′、CC′、DD′，并加以整理，就得到正四棱台的直观图．如图②.。
高中数学 必修2(北师大)6.2直观图
题型二 画空间几何体的直观图——师生共研 例 1 用斜二测画法画出六棱锥 P -ABCDEF 的直观图，其中底面 ABCDEF 为正六边形，点 P 在底面上的投影是正六边形的中心 O(尺寸 自定)．
解析：步骤一：画出六棱锥 P -ABCDEF 的底面．①在正六边形 ABCDEF 中，取 AD 所在的直线为 x 轴，线段 AD 的中垂线为 y 轴，两轴 相交于点 O(如图(1))，画相应的 x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点 O′， 使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图(2))；②在图(2)中，以 O′
答案：28
易错警示
易错原因
纠错心得
忽略与 y 轴平行的线段(即 在斜二测画法中，与 y 轴平行的线段长度
A′D′)长度的变化而致 为原来的一半，且∠x′O′y′变为 45°，
误．错误答案：4.
做题时千万不要忽略这点.
题型三 直观图与原平面图形的面积——师生共研
例 2 如图所示，四边形 ABCD 是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO ＝1，三角形 AOD 为等腰直角三角形，O 为 AB 的中点，试求水平放 置的梯形 ABCD 的直观图的面积．
解析：
方法一 在梯形 ABCD 中，AB＝2，高 OD＝1，水平放置的梯形 ABCD 的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，作 D′E′⊥A′B′于 E′，如图所示，在直观图中，O′D′＝12OD＝12，梯形 A′B′C′D′ 的高 D′E′＝ 42，于是梯形 A′B′C′D′的面积为21×(1＋2)× 42＝ 32
步骤二：画正六棱锥 P -ABCDEF 的顶点．在 z′轴的正半轴上取点 P′，点 P′异于点 O′.
步骤三：成图．连接 P′A′、P′B′、P′C′、P′D′、P′E′、 P′F′，并擦去 x′轴、y′轴和 z′轴，将被遮挡的线改为虚线，便可得 到六棱锥 P -ABCDEF 的直观图 P′ -A′B′C′D′E′F′(如图(3))．
_1、2、3空间几何体的直观图的画法
思考1:把一个矩形水平放置，从适当的 角度观察，给人以平行四边形的感觉， 如图.比较两图，其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化？哪些没 有发生变化？
思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 观图如下，比较两图，其中哪些线段之 间的位置关系、数量关系发生了变化？ 哪些没有发生变化？
水平直观图
z y
o
x
思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点 在底面上的投影是底面中心的三棱锥？
z C C A y S
B
M
A
o S
B
x
C A B
思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分 几个步骤进行？ 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图 思考5:已知一个几何体的三视图如下， 这个几何体的结构特征如何？试用斜二 测画法画出它的直观图.
' '
'
'
'
'
E ' F ' x ' 轴，并等于 EF
y
F A
M
E D
y
A
x
B
O
F M E
N
O
D
C
x
B
N C
注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原 来的一半．
(3)连接 A' B' , C ' D' , E ' F ' , F ' A' , 并擦去辅助线x’轴和y’轴，便获得 ' ' ' ' ' ' 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A B C D E F
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应 轴和Y轴，两轴相交于点O,使xOy=45 的X
立体图形的直观图-高一数课件(人教A版2019必修第二册)
② 画底面。在轴正半轴上取线段，使 = ;在轴正
半轴上取线段 ，使 = 。过点 作 轴的平行线，
过点作轴的平行线，设它们的交点为，则□ABCD就是
长方体的底面的直观图。
③ 画侧棱。在轴正半轴上取线段’，使′ = . ，过
，，各点分别作轴的平行线，在这些平行线上分别截
′轴、′轴与′轴的线段(平行关系不变)。
④ 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平
行于 轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半
学习新知
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与轴、
轴都垂直的轴，并且使平行于轴的线段的平行性和长度都不变。
例2.已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画
(2)注意长度 ：根据“横不变、纵减半”的计算法则求出相应线段的长
度,再计算面积、周长等
直观图与原图形面积之间的关系
圆的直观图一般不用斜二测画法，因此它们的面积不一定满足此关系.
05
小结及随堂练习
随堂练习
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”．
(1)相等的角在直观图中仍然相等. (
取. 长的线段′，′，′。
④ 成图。顺次连接′，′，′，′，并加以整理 (去掉辅助线，
将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了。
Z
y
A
D
A
C
D
O
P
BQ
C
C
D
A
A
D
x
B
B
B
C
应用新知
例3. 已知圆柱的底面半径为1 ，侧面母线长3 ，画出它的直观图.
空间几何体的直观图—高中数学湘教版(2019)必修二
∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面的直观图.以O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线
段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行
线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.
(3)画上底面的直观图.在z轴上取一点O',使OO'=2,过点O'画直线a和直线b,使
直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正
方形的直观图A'B'C'D'.
(4)成图.被遮挡的线画成虚线,擦去
辅助线并整理就得到四棱台的直观
图(如图②).
反思感悟 画空间几何体的直观图的四个步骤
(1)画轴.通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面.根据水平放置的平面图形的直观图画法确定底面.
4.若用斜二测画法把一个高为20 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上,则该
圆柱的高应画成(
)
A.平行于z'轴且长度为20 cm
B.平行于z'轴且长度为10 cm
C.与z'轴成45°且长度为20 cm
D.与z'轴成45°且长度为10 cm
答案 A
解析 平行于z轴的线段,在直观图中平行关系和长度都不变,故选A.
1
O'E'= OE,分别过点G'和点H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上沿y轴正
2
1
1
方向取G'A'= GA,H'D'=
HD.
2
第1章 §2 直观图-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共55张PPT)
小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结
第一章 2 直观图
北师大版数学 ·必修2
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理] 一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
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二、立体图形直观图的画法 立体图形与平面图形相比多了一个 z 轴 ，其直观图中对应于 z 轴的是 z′轴 ，平 面 x′O′y′表示 水平 平面， 平面 y′O′z′和 x′O′z′表示 直立 平面． 平行 于 z 轴的线段，在直观图中 平行性 和 长度 都不变．
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(2)在图(2)中，以 O′为中点 x′轴上取 A′B′＝AB. 1 (3)在 y′轴上取 O′E′＝ OE，以 E′为中心画 C′D′∥x′轴，并使 C′D′ 2 ＝CD. (4)连接 B′C′，D′A′，去掉辅助线，所得的四边形 A′B′C′D′就是水平 放置的等腰梯形 ABCD 的直观图．如图(3)所示．
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1.画出如图所示的梯形 ABCD 的直观图．
解析：画法：(1)如图①所示，在梯形 ABCD 中，以边 AB 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点，建立平面直角坐标系 xOy.如图②所示，画出对应的 x′轴、y′轴，使∠ x′A′y′＝45° .(2)如图①所示， 过 D 点作 DE⊥x 轴， 垂足为 E.如图②所示， 在 x′ 1 轴上取 A′B′＝AB，A′E′＝AE；过 E′作 E′D′∥y′轴，使 E′D′＝ ED， 2 再过点 D′作 D′C′∥x′轴，且使 D′C′＝DC.
课件2：1.1.4 投影与直观图
y
y'
O
x
y
O'
y'
x'
O
x O'
x'
变式2：用斜二测法画出水平放置的任意三角形直观图
y
y'
O
x
O'
x'
总结：
平行于 x 轴的线段，仍平行 x，轴，且长度不变 平行于 y 轴的线段，仍平行 y’ 轴，且长度变为原来的0.5
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是5cm、4cm、 3cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
1.1.4 投影与直观图
请看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
一、投影的概念 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做
投影．其中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕 叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角 度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影.
斜投影：投射线 倾斜于投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便， 在作图中应用最广泛．
斜投影在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比 较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种 辅助图样．
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
1.正投影：投影线与投影面垂直 2.斜投影：投影线与投影面斜交
中心投影后的图形与原图形相比，虽然 改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉 效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时， 经常使用这种方法，但在立体几何中很少用 中心投影原理来画图．
三、平行投影
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．
新教材高中数学第6章立体几何初步2直观图素养作业北师大版必修第二册
第六章 6.2A 组·素养自测一、选择题1．(多选)关于直观图画法的说法中,正确的是( ACD )A ．原图中平行于x 轴的线段,其对应线段平行于x ′轴,其长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段,其对应线段平行于y ′轴,其长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时,∠x ′O ′y ′可等于45°D ．作直观图时,由于选轴的不同,所画直观图可能不同[解析] 由直观图的画法知平行于y 轴的线段其对应线段平行于y ′轴,长度为原来的一半．只有B 错误．2. 下列说法正确的是( D )A ．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B ．两条相交直线的直观图可能是平行直线C ．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形[解析] 选项A 错,水平放置的正方形的直观图是平行四边形；选项B 错,两条相交直线的直观图是两条相交直线；选项C 错,互相垂直的两条直线的直观图夹角为45°或135°；选项D 正确．3．AB ＝2CD ,AB ∥x 轴,CD ∥y 轴,已知在直观图中,AB 的直观图是A ′B ′,CD 的直观图是C ′D ′,则( C )A ．A ′B ′＝2C ′D ′ B ．A ′B ′＝C ′D ′ C ．A ′B ′＝4C ′D ′D ．A ′B ′＝12C ′D ′[解析] ∵AB ∥x 轴,CD ∥y 轴,∴AB ＝A ′B ′,CD ＝2C ′D ′,∴A ′B ′＝AB ＝2CD ＝2(2C ′D ′)＝4C ′D ′.4．如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图,其中O ′A ′＝6 cm,O ′C ′＝2 cm,则原图形是( C )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形[解析] 将直观图还原得到平行四边形OABC ,如图所示．由题意知O ′D ′＝2O ′C ′＝2 2 cm,OD ＝2O ′D ′＝4 2 cm,C ′D ′＝O ′C ′＝2 cm,∴CD ＝2 cm, OC ＝CD 2＋OD 2＝6 cm,又OA ＝O ′A ′＝6 cm ＝OC ,∴原图形为菱形．5．如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则原来图形的形状是( A )[解析] 由斜二测画法可知,与y ′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A 正确．6.如图Rt △O ′A ′B ′是一个平面图形的直观图,若O ′B ′＝2,则这个平面图形的面积是( C )A ．1B ． 2C ．22D ．4 2[解析] 由直观图可知,原平面图形是Rt △OAB ,其中OA ⊥OB ,则OB ＝O ′B ′＝2,OA ＝2O ′A ′＝4,∴S △OAB ＝12OB ·OA ＝22,故选C ．二、填空题7．如图所示为一个平面图形的直观图,则它的原图形四边形ABCD 的形状为 正方形 .[解析] 因为∠D ′A ′B ′＝45°,由斜二测画法的规则知∠DAB ＝90°, 又因为四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形,且A ′B ′＝2B ′C ′,所以AB ＝BC ,所以原四边形ABCD 为正方形．8.如右图,水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′,已知A ′C ′＝6,B ′C ′＝4,则AB 边的实际长度是 10 .[解析] 由斜二测画法,可知△ABC 是直角三角形,且∠BCA ＝90°,AC ＝6,BC ＝4×2＝8,则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.9．如图,平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图,若O ′P ′＝3,O ′R ′＝1,则原四边形OPQR 的周长为 10 .[解析] 由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形,且OP ＝3,OR ＝2,所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.三、解答题10.如图所示,四边形ABCD 是一个梯形,CD ∥AB ,CD ＝AO ＝1,三角形AOD 为等腰直角三角形,O 为AB 的中点,试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中,AB ＝2,高OD ＝1,由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD 和下底AB 的长度都不变,在直观图中,O ′D ′＝12OD ,梯形的高D ′E ′＝24,于是梯形A ′B ′C ′D 的面积为12×(1＋2)×24＝328. B 组·素养提升一、选择题1．给出以下关于斜二测直观图的结论,其中正确的个数是( C ) ①角的水平放置的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由斜二测画法规则可知,直观图保持线段的平行性,∴④对,①对；而线段的长度,角的大小在直观图中都可能会发生改变,∴②③错．2．下图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的( C )[解析] 按斜二测画法规则,平行于x 轴或x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y 轴或在y 轴上的线段在新坐标系中变为原来的12,并注意到∠xOy ＝90°,∠x ′O ′y ′＝45°,将图形还原成原图形知选C ．3．已知正三角形ABC 的边长为2,那么用斜二测画法得到的△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为(D )A ．3B ．32 C ．62D ．64[解析] 根据题意,建立如图1所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出其直观图,如图2中△A ′B ′C ′所示．易知,A ′B ′＝AB ＝2,O ′C ′＝12OC ＝32.过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′,则C ′D ′＝22O ′C ′＝64.所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64. 4．(多选)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知B ′C ′＝4,A ′C ′＝3,B ′C ′∥y ′轴,则△ABC 中以下说法正确的是( ACD )A．△ABC是直角三角形B．AC长为6C．BC长为8D．AB边上的中线长为73 2[解析]由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直角三角形,其中AC＝3,BC＝8,所以AB＝73,AB边上的中线长度为732.故选ACD．二、填空题5.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是AC .[解析]画出原图形如图所示,△ABC为直角三角形,显然,AC边最长．6．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是 8 cm,面积是 2 2 cm2.[解析]如图,OA＝1 cm,在Rt△OAB中OB＝2 2 cm,所以AB＝OA2＋OB2＝3(cm)．所以四边形OABC 的周长为8 cm.面积是2 2 cm 2. 三、解答题7．如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．[解析] (1)如图a 所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图a 中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在图b 中,在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝332 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ；再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图c 所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．8．已知水平放置的三角形ABC 是正三角形,其直观图的面积为64a 2,求△ABC 的周长． [解析] 图△ABC 是△A ′B ′C ′的原图形,设△ABC 的边长为x ,由斜二测画法知：A ′B ′＝AB ＝x ,O ′C ′＝12OC ＝34x ,作C ′D ′⊥A ′B ′,垂足为D ′,∵∠C ′O ′D ′＝45°, ∴C ′D ′＝22O ′C ′＝22×34x ＝68x , ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12x ×68x ＝616x 2.∴616x2＝64a2,∴x＝2a,∴△ABC周长为3×2a＝6a.。
直观图
投射线交于称 一中为 点 心投的 影 如 投1 图 影 120 所示 .
投影面 投射线 视点
投射线 投影
• 投射中心 投影面
投影 图1120 中心投影
中 心 投 影 形 成 的 直能观非图常 逼 真 地 反 映的原物来体, 因 此 主 要 运 用 于 绘域画, 也邻常 用 来 概 括 地 描个绘结一 构 或 一 个 产 品 的.由 外于 貌中 心 投 影 的 投心影、中投 影 面 和 物 体 的 相 对 位变置时改 ,直 观 图 的 大 小 和 形将状 也 改 变,因 此 工 程 制 图 或 技样术一图般 不 采 用 中 心,而投 影 采用平行投影方 , 法
第三步 连结 A`C`,B`C`,所得 的三角 形A`B`C`就是正三 AB角 的 C形 直观 . 图
例2 画 棱 长2c为 m正 方 体 的 直. 观 图
z`
D`
C`
B` A`
y`
解 画法按如下步骤完成 . 第一步作水平放置的正直 方观 形图 的 ABC,D使BAD450, AB2cm, AD1
例3、画水平放置的圆的直观图。
Y Y’
O
X
0
X’
例4、如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，哪一条 线段最长。
练习2：
如图，一个平面图形的水平放置的
斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底
角为45°，两腰和上底边长均为1，求
这个平面图形的面积.
D
C
D
C
S 2 2
长度;平 不行 变 y轴 于 的,长 线度 段为原 . 来的一
练习1：
画水平放置的正六边形的直观图
高一数学投影与直观图2
[单选,A2型题,A1/A2型题]导致声音嘶哑的原因不正确的是（）A.用嗓过度B.肺癌纵隔淋巴结转移C.气管内异物D.贲门癌E.声带小结 [单选]晚间护理的内容包括()A.经常巡视病房，了解患者睡眠情况B.协助患者排便，收集标本C.整理病室，开窗通风D.协助患者进食E.发放口服药物 [单选]跳汰选煤是依据煤和矸石（）差别来实现煤和矸石分选的方法。A、粒度B、密度C、形状 [单选,A1型题]小儿活动期间佝偻病6个月内出现的颅骨体征是()A.颅骨软化B.方颅C.前囟迟闭D.肋骨串珠E.鸡胸或漏斗胸 [单选]关于胚层的形成，正确的是（）.A.近滋养层细胞者形成内胚层B.近中央者形成外胚层C.外胚层的腔形成卵黄囊D.囊胚植入后，中心囊腔内的细胞团发育为两层E.内胚层的囊形成羊膜腔 [单选,A型题]能抑制敏感细胞蛋白质合成的细菌毒素为（）A.白喉毒素B.肉毒毒素C.霍乱毒素D.表皮剥脱毒素E.红疹毒素 [判断题]一个醇和一个酸结合，脱水而生成酯。（）A.正确B.错误 [单选,A1型题]小儿化脓性脑炎的脑脊液变化为（）A.细胞数增高，蛋白正常，糖降低B.细胞数增高，蛋白增高，糖降低C.细胞数正常，蛋白正常，糖降低D.细胞数增高，蛋白升高，糖升高E.细胞数升高，蛋白正常，糖正常 [填空题]顺磁性气体的体积磁化率与气体的压力成（）。 [单选]每次押运出车必须登记的情况不包括（）。A.起至地点B.油耗情况C.公里数D.用车单位 [名词解释]单级水泵 [单选]在资产负债表上，资产项目是按其流动性进行排列的，流动性强的项目排在前面，流动性差的项目排在后面，下列资产项目中，排在应收账款前面的是（）。A.固定资产B.长期投资C.存货D.货币资金 [单选]色彩的画面效果需要依靠色彩要素的对比协调处理来体现，那么，色彩的要素包括（）。A、色相、纯度、冷暖、光感B、色相、对比度、冷暖、纯度C、色相、冷暖、纯度、明度D、对比度、光感强度、冷暖、纯度 [单选,B型题]按内容划分的冲突包括（）A.认知冲突B.建设性冲突C.群体冲突D.组织间冲突E.人际冲突 [名词解释]（水泥的）抗压强度 [单选]血小板的作用是（）.A、止血、凝血B、造血C、防御 [单选]对不能再上部刷方减重的滑坡体，为了防止滑坡常用的措施是（）。A.在滑坡体上方筑挡土墙B.在滑坡体坡脚筑抗滑桩C.在滑坡体上部筑抗滑桩D.在滑坡体坡脚挖截水沟 [单选]下列哪一项不构成商业秘密侵权（）A.以盗窃、利诱、胁迫或者其他不正当手段获取权利人的商业秘密B.违反约定或者违反权利人保守秘密的要求、披露、使用或者允许他人使用所掌握的商业秘密的行为C.披露、使用或者许可他人使用以上述手段获取的商业秘密的行为D.第三人不知或不应 [单选,A1型题]具有辛味中药的主要作用是（）A.收敛B.燥湿C.滋补D.泄下E.发散 [单选]（）负担指农民依照法律法规和政策规定向国家提供的经济和劳务负担。A.国家B.隐性C.社会D.显性 [单选]建设项目财务管理的目标和中心任务是（）。A.提高建设项目投资效益B.落实经济责任制C.强化建设项目财务预算管理D.坚持客观真实、诚实守信原则 [单选]《国务院关于进一步深化城镇住房制度改革加快住房建设的通知》决定，从（）开始，全国城镇停止住房实物分配，实行住房分配货币化。A、1997年下半年B、1998年下半年C、1998年D、1999年 [单选]风湿性心脏瓣膜病主动脉瓣关闭不全和主动脉瓣狭窄不具有以下哪项表现（）.A.左心室大B.左心室负荷量增加C.S1亢进D.心绞痛E.A2减弱 [单选]区别行政违法与行政不当时，行政违法对应的行为是裁量行为和（）。A.意志行为B.羁束行为C.客观行为D.主观行为 [单选]三叉神经周围支切除撕脱术主要适用于（）A.下牙槽神经和舌神经B.三叉神经第Ⅰ、Ⅱ支C.三叉神经第Ⅱ、Ⅲ支D.眶下神经和下牙槽神经E.眶下神经和腭大神经 [判断题]根据企业生产经营特点和管理要求，单步骤、大量生产的产品一般采用品种法计算产品成本。()A.正确B.错误 [单选]污染物在环境自净中发生的化学反应，不包括A．氧化B．还原C．分解D．电解E．中和 [单选]生产、使用易燃易爆化学物品场所的电气设备，必须符合国家（）标准。A、安全设计B、防火措施C、防静电导除D、电气防爆 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列错误的是（）。A.发绀见于缺氧，缺氧一定有发绀B.发绀是皮肤、黏膜呈青紫色C.发绀常见的部位为口唇、指（趾）、甲床D.血液中存在异常血红蛋白的绝对量也可出现发绀E.发绀是血液中还原血红蛋白增多所致 [单选]以下哪项是左心室扩大的X线征象()A．正位上右心缘双边或双房影B．正位上左心缘第三弓突出C．右前斜位食管压迹加深D．右前斜位胸骨后间隙缩小E．左前斜位心后下缘膨隆突出 [问答题,论述题]试述制动轮温度过高，制动带冒烟的原因及解决方法。 [单选,A1型题]有尿意即迫不及待地要排尿且难以自控，是（）A.尿失禁B.尿潴留C.尿频D.尿急E.尿痛 [单选]以下跳汰机是按入选煤的粒度加以区分的（）。A、块煤跳汰机B、单段跳汰机C、主选跳汰机D、单槽跳汰机 [填空题]按照电流方向的不同，电可分为（）和（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]阴离子隙不会升高的是（）.A.尿毒症B.低氧所致乳酸堆积C.呼吸性酸中毒D.酮症酸中毒E.肾功能不全所致氮质血症 [单选]患者感颈部肿胀1年余。根据超声声像图，诊断为()A．多发腺瘤B．结节性甲状腺肿并囊变C．甲状腺囊肿D．甲状腺癌E．甲状腺炎 [单选,A1型题]六淫致病的共同特点不包括（）A.外感性B.兼挟性C.转化性D.相侮性E.季节性 [单选,A1型题]每张应用到麻醉药品片剂、酊剂、糖浆剂的处方，连续使用不得超过（）A.1日B.2日C.3日D.5日E.7日 [单选]甲公司将项目发包给乙公司，乙公司将项目转包给包工头某丙。工程竣工验收合格后，甲公司拖欠乙公司500万元，乙公司拖欠某丙600万工程款。现某丙打算直接起诉甲公司，则以下说法正确的是（）。A．某丙不得起诉甲公司，法院不宜受理。B．法院应当受理，并应当将乙公司追加为本 [单选,A2型题,A1/A2型题]急救复苏时心外按压次数与人工呼吸次数比（）A.30：2B.25：2C.20：2D.15：2E.10：2
直观图知识点总结
直观图知识点总结直观图是一种通过图形和图像直观展示数据和信息的工具，可以帮助人们更好地理解和分析复杂的信息。
直观图可以是各种形式，包括柱状图、折线图、饼状图、散点图等。
在不同的领域和行业中，直观图被广泛应用于数据分析、决策支持、沟通交流等方面。
本文将对直观图的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用直观图。
1. 直观图的类型1.1 柱状图柱状图是一种通过柱形的高度或长度来表示数据大小的图表。
柱状图通常用于比较不同组之间的数据，可以展示数据的趋势和变化。
柱状图的横轴通常表示类别或时间，纵轴表示数值。
在制作柱状图时，要注意选择合适的颜色、标签和比例，以便清晰地传达信息。
1.2 折线图折线图是一种以折线来表示数据变化趋势的图表。
折线图通常用于展示数值随时间变化的趋势，可以帮助人们分析数据的周期性、趋势和关联性。
制作折线图时，要注意选择合适的线型、标记和坐标轴刻度，以便准确地传达信息。
1.3 饼状图饼状图是一种以扇形的大小来表示数据占比的图表。
饼状图通常用于展示类别在总体中的比例，可以帮助人们直观地理解各个类别之间的比较关系。
制作饼状图时，要注意选择合适的颜色、标签和比例，以便清晰地传达信息。
1.4 散点图散点图是一种通过点的位置来表示两个变量之间关系的图表。
散点图通常用于展示变量之间的相关性和分布规律，可以帮助人们找出变量之间的关联性和趋势。
制作散点图时，要注意选择合适的标记形状、颜色和坐标轴范围，以便准确地传达信息。
2. 直观图的应用2.1 数据分析直观图可以帮助人们更直观地理解和分析复杂的数据信息。
通过直观图，人们可以快速发现数据的规律、趋势和异常，为决策提供依据。
柱状图和折线图适用于展示数据的变化趋势和比较关系，饼状图适用于展示数据的占比关系，散点图适用于展示变量之间的相关性和分布规律。
2.2 决策支持直观图可以帮助决策者更清晰地了解问题的本质和影响，为决策提供可视化的参考。
通过直观图，决策者可以更直观地比较各种选择之间的差异和优劣，更快速地找出最优方案。
北师大版数学必修二课件：1.2直观图
)
(2)菱形的直观图可能为长方形. (
)
(3)空间几何体的直观图是唯一的. (
)
(4)如果一个水平放置的△ABC的面积为S,用斜二测画法画出的
直观图的面积为S',那么S与S'的关系是S'= √2 S. (
)
4
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
探究一
∠x'O'y'=45°.
如图所示,作D'H'⊥x'轴于点H',
√2
则 A'B'=4 cm,A'D'=1 cm,D'H'=
√2
2
cm,
所以 S 四边形 A'B'C'D'=4× =2√2(cm2).
2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究二画空间几何体的直观图
【例2】画出底面边长为1.2 cm的正方形,侧棱均相等且高为1.5
易错辨析
探究三由直观图还原平面图
【例3】 导学号91134004(1)在如图所示的直观图中,A'B'∥y'
轴,B'C'∥A'D'∥x'轴,且B'C'≠A'D',则其对应的平面图形ABCD是(
A.任意梯形
B.直角梯形
C.任意四边形
D.平行四边形
(2)已知等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积为 ,则等边三
A,B,C,D,即四边形ABCD为底面正方形的直观图.
(3)画高.在z'轴上截取OP,使OP=1.5 cm.
直观图练习
【解题探究】1.题(1)中棱AA1与棱AD在直观图中将会怎样变化？ 2.题(2)中画直观图时应分几步去画？ 【探究提示】1.棱AA1的长度不变，AD的长度变为原来的一半. 2.分两步画，第一步画底面正六边形的直观图，第二步画直观 图的高，确定顶点.
【自主解答】(1)在x轴上的线段长度不变，故A′A′1=8cm， 在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′=4cm. 答案：4 8 (2)(ⅰ)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如 图①所示.
【解题探究】1.用斜二测画法得到的直观图和原图形比较，长 度，角度，平行性是否改变？ 2.题(2)中画正三角形的直观图时怎样建系简单？ 【探究提示】1.直观图和原图形比较，长度，角度可能会改变， 但线段的平行性不变. 2.以正三角形的任意一条边所在的直线为 x轴，以该边上的高 所在直线为y轴建系较简单.
【解析】(1)在直观图中，y′轴与x′轴的角度为45°. 答案：45° (2)边长为2的等边三角形的高为 3 ，在直观图中对应的 长度为 3 .
2 答案： 3 2
(3)由斜二测画法规则可知，两条线段的平行关系不变， 长度仍然相等. 答案：平行且相等
【要点探究】 知识点1 平面图形的直观图
对平面图形的直观图的三点说明 (1)画出平面的一部分来表示平面. (2)用平行四边形表示平面图形的直观图. (3)用希腊字母α ，β ，γ 等来表示平面.
【补偿训练】用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD-
A′B′C′D′的直观图.
【解析】画法：(1)画轴.如图①，画x轴、
y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，
∠xOz=90°.
(2)画底面，以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=2cm；在y
2直观图课件
一看 就懂 一做 就错
看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
高中同步新课标·数学
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
高中同步新课标·数学
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
x′轴，y′轴平行线变换确定其在 xOy 中的位置． (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积
间的关系是S直观图＝ S原图
2 4.
练一练
3．已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边
长为 a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )
A. 23a2
B. 43a2
C. 26a2
D. 6a2
如何利用规律实现更好记忆呢？
高中同步新课标·数学
超级记忆法-记忆
规律 记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
高中同步新课标·数学
超级记忆法-记忆 规律 TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！
TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期 是30分钟 第三 个记忆周期是 12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
如何利用规律实现更好记忆呢？
高中同步新课标·数学
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量 魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
高中同步新课标·数学
超级记忆法-记忆 规律 TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！
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§2直观图
主备人：徐恩战审核人：高一数学组使用时间：2015---11 【学习目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．
用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
一、选择题
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有()A．①②B．①④C．③④D．①③④
2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是()
A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()
A．8 cm B．6 cm C．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()
5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()
6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于()
A ．12＋22
B ．1＋22
C ．1＋ 2
D ．2＋ 2 二、填空题
7．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是______________．
8．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则
AB 边上的中线的实际长度为____________．
9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．
三、解答题
10．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．
11．已知正三角形ABC 的边长为a ，求△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积．
能力提升
12．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，如图，其中的对角线A ′C ′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
直观图与原图形的关系
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系：(1)在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；(2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法
画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24
倍． 2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
参考答案：1,B 2,B 3,A 4,C 5,C 6,D 7,①② 8,2.5 9,22 11,2166a 12,22。