2017-2018学年安徽省宣城二中、郎溪中学、广德中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
安徽省宣城市高二上学期期中数学试卷(理科)
安徽省宣城市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 设F1 ， F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A . 0B . 1C . 2D . 42. （2分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A . 恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B . 恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C . 恒过点（2，0）且不垂直x轴D . 恒过点（2，0）且不垂直y轴3. （2分）命题“若α= ，则tanα=1”的逆否命题是（）A . 若α≠ ，则tanα≠1B . 若tanα≠1，则α≠C . 若α= ，则tanα≠1D . 若tanα≠1，则α=4. （2分）若抛物线C1:(p >0)的焦点F恰好是双曲线C2:(a>0,b >0)的右焦点，且它们的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）设、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐过线、两点，且满足，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二下·三门峡期中) 下列结论正确的是（）A . 命题p：∀x＞0，都有x2＞0，则¬p：∃x0≤0，使得x02≤0B . 若命题p和p∨q都是真命题，则命题q也是真命题C . 在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，则a＜b的充要条件是cosA＞cosBD . 命题“若x2+x﹣2=0，则x=﹣2或x=1”的逆否命题是“x≠﹣2或x≠1，则x2+x﹣2≠0”7. （2分）(2017·沈阳模拟) 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A . 36+6B . 36+3C . 54D . 278. （2分） (2017高二下·成都开学考) 设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）定义：若对定义域D内的任意两个x1 ， x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|成立，则称函数y=f（x）是D上的“平缓函数”．则以下说法正确的有（）①f（x）=﹣lnx+x为（0，+∞）上的“平缓函数”；②g（x）=sinx为R上的“平缓函数”③h（x）=x2﹣x是为R上的“平缓函数”；④已知函数y=k（x）为R上的“平缓函数”，若数列{xn}对∀n∈N*总有|xn+1﹣xn|≤则．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个10. （2分） (2015高一上·银川期末) 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）A . 8B . 9C . 10D . 1111. （2分）椭圆=1的焦点为F1 ，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M 的纵坐标是（）A .B .C .D .12. （2分）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (201920高三上·长宁期末) 若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为________.14. （1分） (2017高二上·江门月考) “1<x<2”是“x<2”成立的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．15. （1分） (2015高一上·西安期末) 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为________ cm3 ．16. （1分）双曲线 =1有动点P，F1 ， F2是曲线的两个焦点，则△PF1F2的重心M的轨迹方程为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2018·泉州模拟) 已知抛物线的焦点为，点在上， .（1）求的方程；（2）若直线与交于另一点，求的值.18. （10分） (2016高二上·右玉期中) 一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．19. （5分）如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD．BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．20. （10分） (2017高三上·唐山期末) 已知抛物线，圆 .（1）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.21. （5分）已知命题命题，若命题“ ”是真命题，求实数的取值范围．22. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（2，2）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，－1）的直线与椭圆C相交于M，N两点（与点P不重合），试判断点P与以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
安徽省宣城市2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
安徽省宣城市2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、下列说法正确的是（ ）A ．任意三点可确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面2、某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体 的俯视图不可能是（ ）第2题图A ．B ．C ．D ．3、已知水平放置的ΔABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中''''1,''B O C O A O === 那么原ΔABC 是一个（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．仅有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形4、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．35、在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A ．2π3B ．4π3C ．5π3 D ．2π6、对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线7、若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，α⊂m ，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，α⊄m ，则//m α'8、如图正方体中,o ,1o 为底面中心,以1oo 所在直线为旋转轴,线段1BC 形成的几何体的正视图为（ ）第8题图9、给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足l =⊥⊥βαγβγα ,,,则γ⊥l ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l③已知a,b 是异面直线，βα,为两个平面，若αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，则βα// ④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个 10、在棱长为2的正方体内有一四面体A －BCD ，其中 B ，C 分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示， 则四面体A －BCD 的体积为( )A.83 B ．2 C.43D ．1 11、设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ）A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个12、（理科）如图，正方体1111ABCD A BC D -，则下列四个命题：①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点必在直线11A D 上 其中真命题个数为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．4（文科）异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．1(A)(B)(C)(D)A ．]2,6[ππ B ．]2,3[ππ C ．]3,6[ππ D ．]32,6[ππ二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.） 13、（理科）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .（文科）已知球内接正方体的表面积为S ，那么球的半径是 .14、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标 出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 ．15、（理科）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一 个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R.设 两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则 tan(α＋β)的值是_____ _．（文科）已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且分别长为2、4、4，则顶点P 到面ABC 的距离为 ．16、（理科）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为64的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是（文科）棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为_______________.三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.） 17、（8分）如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图（2）（3）所示(单位：cm)。
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。
安徽省宣城二中2017-2018学年高二年级第一学期开学考试数学试题
宣城二中2019届高二年级第一学期开学考数学试题一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.集合，集合则P与Q的关系是( )A.P=QB.P⊋QC.P⊊QD.P∩Q=ϕ2.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是（）A.（，）B.[，）C.（，）D.[，）3.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C.- D.-4.若将函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A. B. C. D.5.设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB.m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC.m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD.m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β6.如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A.cm2B.cm2C.8cm2D.14cm27.过点P（2，4）作圆C：（x-1）2+（y-2）2=5的切线，则切线方程为（）A.x-y=0B.2x-y=0C.x+2y-10=0D.x-2y-8=8.过点P(0，-2)的直线L与以A(1，1)、B(-2，3)为端点的线段有公共点，则直线L的斜率k的取值范围是( )A. B. C. D.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a7=14，则S11=（）A.140B.70C.154D.7710.若f（x）=lg（x2-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A.[1，2）B.[1，2]C.[1，+∞）D.[2，+∞）11.等差数列{a n}的前n项之和为S n，已知a1＞0，S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，S4，…，S11，S12中最大的是（）A.S12B.S7C.S6D.S112.若关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是（ ） A.[2，+∞） B.（-∞，-6]C.[-6，2]D.（-∞，-6]∪[2，+∞）第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，共20分)13.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f （x ），若函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且 f （1）=0，则不等式0)(<xx f 的解集为 ______ ． 14.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x ，则x +y 的取值范围是 ______ ．15.如图，在四棱锥O-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点．则异面直线OB 与MD 所成角余弦值为 ______ ． 16.已知向量a =（3，-2），b =（x ，y -1），且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则yx 23+的最小值是 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.已知一次函数f （x ）是增函数且满足f （f （x ））=4x -3． （Ⅰ）求函数f （x ）的表达式；（Ⅱ）若不等式f （x ）＜m 对于一切x ∈[-2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．18.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csin B=3bcos C ，a 2-c 2=2b 2（Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积为213，求b 的值．19.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA⊥平面ABCD （Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC（Ⅱ）设AP=1，AD=3，∠CBA=60°，求A 到平面PBC 的距离．20.已知圆C 和x 轴相切，圆心在第三象限并在直线3x -y =0上，且被直线y =x 截得的弦长为72 （1）求圆C 的方程．（2）已知直线l ：ax +y +6=0与圆C 没有公共点，求a 的取值范围．21.已知函数f （x ）=21)122cos()122sin(3)122(sin 2-++++πππx x x （Ⅰ）求f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x ）（x ＞0）的图象与直线y =交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和．22.已知数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+…+a n =n -a n ，（n =1，2，3，…） （1）求证：数列{a n -1}是等比数列；（2）令b n =（2-n ）（a n -1）（n =1，2，3…），如果对任意n ∈N *，都有241t t b n ≤+，求实数t 的取值范围．宣城二中2019届高二年级第一学期开学考数学试题答案1.C2.A3.D4.C5.B6.C7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.D13.（-1，0）∪（0，1） 14.[1，3] 15. 16.817. （本小题满分10分）解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．由f（f（x））=4x-3，得：a（ax+b）+b=4x-3，即a2x+ab+b=4x-3，所以，，解得：或，因为a＞0，所以a=2，b=-1．所以f（x）=2x-1；（2）由f（x）＜m，得m＞2x-1．不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，即为m＞2x-1对于一切x∈[-2，2]恒成立，因为函数f（x）=2x-1在[-2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．所以m＞3．所以，实数m的取值范围（3，+∞）．18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵由已知及正弦定理可得，sin C sin B=sin B cos C，∵sin B≠0，∴tan C=，∴C=．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，cos C==，∴a2+b2-c2=ab，又∵a2-c2=2b2，∴a=3b，∴由题意可知，S△ABC=absin C=b2=21，∴b2=28，可得：b=2．…（12分）19. （本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．解：（Ⅱ）∵AP=1，AD=，∠CBA=60°，∴AC=，，∵PC=PB=，∴=，设A到平面PBC的距离为h，∵V A-PBC=V P-ABC，∴，解得h=．∴A到平面PBC的距离为．20. （本小题满分12分）解：（1）设圆心为（a，b），（a＜0，b＜0），半径为r，则b=3a，r=-3a，圆心到直线的距离d==-，∵圆被直线x-y=0截得的弦长为2，∴（-）2+（）2=（-3a）2，即a2=1，解得a=-1，则圆心为（-1，-3），半径为3，则圆C的标准方程（x+1）2+（y+3）2=9．（2）∵直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，∴圆心C（-1，-3）到直线l的距离d大于半径r，即d=＞3，由-．∴a的取值范围是（-，0）．21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）==sinx所以f（x）的值域为[-1，1]（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知，，∴x1+x2+…+x2n-1+x2n=π+5π+…（4n-3）π =（2n2-n）π22. （本小题满分12分）解：（I）由题可知：a1+a2+a3++a n-1+a n=n-a n①a1+a2+a3++a n+a n+1=n+1-a n+1②②-①可得2a n+1-a n=1..（5分）即：，又..（7分）所以数列{a n-1}是以为首项，以为公比的等比数列（5分）（II）由（I）可得，（9分）（7分）由可得n＜3由b n+1-b n＜0可得n＞3（11分）所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞＞b n＞故{b n}有最大值所以，对任意n∈N*，有（10分）如果对任意n∈N*，都有，即成立，则，故有：，（11分）解得或所以，实数t的取值范围是（12分）。
安徽省宣城市宣城中学、郎溪中学、广德中学高二上学期期中联考数学(理)试题
2015-2016学年宣、郎、广三校高二年级第一学期期中联考理科数学试卷分值：150分时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1．任何一个算法都离不开的基本结构为（）A．逻辑结构B．选择结构C．循环结构D．顺序结构2．2015年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A．92 B．94 C．116 D．1183．下列说法正确的是（）A．某厂一批产品的次品率为，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品B．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.54．“若x，y∈R 且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（）A．若x，y∈R 且x2+y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R 且x2+y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R 且x，y全为0，则x2+y2=0D．若x，y∈R 且xy≠0，则x2+y2≠05.程序框图如图：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入（）A．K＜10 B．K≤10C．K＜11 D．K≤116. 已知多项式f（x）=4x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8，用秦九韶算法算f（5）时的V1值为（）A．22 B．564.9 C．20 D．14130.27. 下列各数中，可能是六进制数的是（）A．66 B．108 C．732 D．20158. 李华和张明两位同学约定下午在宛陵湖沙滩处见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果李华是1：40分到达的,假设张明在1点到2点内到达,且张明在1点到2点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是（）A．B．C．D．9. 从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：）A．70.55 B．70.12 C．70.09 D．71.0510. 若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上都不对11. 已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（0，4）C．[0，4] D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）12. 当a＞0时，设命题P：函数错误！未找到引用源。
安徽省宣城市高二上学期期中数学试卷(理科)
安徽省宣城市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若sinx﹣2cosx=，则tanx=（）A . -B .C . 2D . -22. （2分）已知三角形中，，则三角形ABC的形状为（）．A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 等腰直角三角形3. （2分）(2017·运城模拟) 在等差数列{an}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前5项的和为（）A . 15B . 20C . 25D . 15或254. （2分） (2017高一下·中山期末) 函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .5. （2分）已知，且则的值为（）A .B .C .D .6. （2分）在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝（）A . 24B . 48C . 66D . 1327. （2分）已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝（）A .B . 0或C . -D . 0或－8. （2分）关于x的方程x2﹣x•cosA•cosB﹣cos2 =0有一个根为1，则△ABC一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形9. （2分） (2018高一下·广东期中) 已知平面向量＝（1，2），＝（－2，m），且∥ ，则 =（）A . （－2，－4）B . （－3，－6）C . （－4，－8）D . （－5，－10）10. （2分）(2017·河北模拟) 在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（）A . （﹣0.4，﹣0.3）B . （﹣0.2，﹣0.1）C . （﹣0.3，﹣0.2）D . （0.4，0.5）11. （2分） (2017高一上·鞍山期末) 在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD的交点为M，设 = ，= ，则下列向量中与﹣ + 相等的向量是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·柳州期末) 函数的部分图象如图所示，则的值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2016高一下·岳阳期中) 在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．14. （1分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足||=||，则•的取值范围是________15. （2分）(2017·嘉兴模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S6＞S7＞S5 ，则an＞0的最大n=________，满足SkSk+1＜0的正整数k=________．16. （1分）(2014·四川理) 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2020·贵州模拟) 记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和 .18. （10分） (2020高二上·吴起期末) 在△ 中,内角的对边分别为 ,且满足,（1）求角的大小;（2）若三边满足 , ,求△ 的面积.19. （5分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．（I）求a的值；（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．20. （10分）(2018·如皋模拟) 在中， .（1）求角的大小；（2）若，垂足为，且，求面积的最小值.21. （5分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．22. （10分） (2016高二下·洞口期末) 已知函数f（x）=2sinxcosx+2 cos2x﹣．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b= ，f（A﹣）= ，求角C．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
安徽省宣城市高二上学期期中数学试卷
安徽省宣城市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分）若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个为________．2. （1分） (2018高二上·衢州期中) 如图，在正方体中，点为线段的中点.设直线与平面成的角为，则________．3. （1分） (2016高一下·惠来期末) 如图，一个圆锥的侧面展开图是圆心角为90°面积为S1的扇形，若圆锥的全面积为S2 ，则等于________．4. （1分） (2019高二上·德州月考) 在平面直角坐标系中，P为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为________．5. （1分） (2015高一下·南阳开学考) 如图所示，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．6. （2分） (2018高一下·湖州期末) 已知两点，则直线AB的斜率k的值是________，直线AB在y轴的截距是________．7. （1分） (2019高三上·西城月考) 已知点，若点是圆＝0上的动点，的面积的最大值为________．8. （1分）(2019·长春模拟) 若侧面积为的圆柱有一外接球，当球的体积取得最小值时，圆柱的表面积为________.9. （1分）(2020·东海模拟) 已知等边三角形的边长为，D为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为________10. （1分） (2020高二上·长春开学考) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________.11. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知直线， .若，则的值为________；若直线与圆交于两点，则 ________.12. （1分）如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________13. （1分）已知是射线（）上的动点，是轴正半轴上的动点，若直线与圆相切，则的最小值是________.14. （1分）已知直线l过定点A（1，0），且与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4相切，则直线l的方程为________．二、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2018高一上·珠海期末) 在平面直角坐标系中，已知直线 .（1）若直线在轴上的截距为-2，求实数的值，并写出直线的截距式方程；（2）若过点且平行于直线的直线的方程为：，求实数的值，并求出两条平行直线之间的距离.16. （5分） (2018高二上·佛山期末) 如图，在四棱锥中，、、均为等边三角形， .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求点到平面的距离.17. （10分） (2017高一下·南通期中) 根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．18. （10分） (2017高二上·绍兴期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．19. （10分） (2019高一下·钦州期末) 已知圆C的半径是2，圆心在直线上，且圆与直线相切.（1）求圆C的方程；（2）若点P是圆C上的动点，点Q在x轴上，的最大值等于7，求点Q的坐标.20. （5分）已知圆C的圆心为原点O，且与直线x+y+4=0相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共50分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。
、绩溪、宣城二中等)高二数学上学期期中联考试题 理.doc
安徽省宣城市七校（郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中等）高二数学上学期期中联考试题理考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分100分，考试时间100分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：人教版必修3，选修2－1第一章～第二章第2节。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题p：x∈R，2x>0，则p为A.∀x∈R，2x≤0B.∀x∈R，2x <0C.∃x0∈R，02x≤0D.∃x0∈R，02x>02.2019年，云南省丽江市某高级中学高一年级有100名学生，高二年级有200名学生，高三年级有150名学生。
现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则应从高一年级抽取的学生人数为A.6人B.2人C.8人D.4人3.已知A是圆M的圆周上一定点，若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B，连接AB，则“线段AB的长度不大于圆M的半径”的概率约为A.12B.16C.13D.234.已知椭圆222116x ya+=的两个焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为20，则a的值为A.5B.－25C.25D.5或－55.已知a，b是非零实数，则“a>b”是“ln|a|>ln|b|”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M处可填入的条件为A.k ≥31B.k ≤31C.k<63D.k ≥157.已知在△ABC 中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan ∠CAB ·tan ∠CBA ＝2，则点C 的轨迹方程为 A. 22148x y += B. 221(2)48x y x +=≠± C. 221(22)84x y x +=≠± D. 221(2)84x y x +=≠± 8.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是 A.310 B.35 C.710 D.259.已知A ，B 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的左顶点和上顶点，线段AB 的垂直平分线过右顶点。
安徽省宣城市郎溪中学等四校联考2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置）1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P32．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差4．利用秦九韶算法求当x=2时，f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1的值时，进行的加法、乘法运算的次数分别为（）A．6，11 B．6，6 C．7，5 D．6，135．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定 7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ．恰有1个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球8．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则9．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”B ．“若实数x ，y 满足x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题为真命题C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2＞010．下列各数中最小的数是（ ）A ．85（9）B ．210（6）C ．1000（4）D ．111111（2）11．椭圆的离心率为e ，点（1，e ）是圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y +4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（ ）A ．3x +2y ﹣4=0B ．4x +6y ﹣7=0C ．3x ﹣2y ﹣2=0D ．4x ﹣6y ﹣1=012．若直线2ax ﹣by +2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1=0截得的弦长为4，则的最小值是（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置）13．已知x 1，x 2，x 3，…x n 的平均数为4，标准差为7，则3x 1+2，3x 2+2，…，3x n +2的平均数是 ；标准差是 ．49 266万元时销售额为 ．15．命题p ：实数x 满足3a ＜x ＜a ，其中a ＜0，q ：实数x 满足x 2﹣x ﹣6＜0，￢p 是￢q 的必要不充分条件，则a 的范围是 ．16．2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．分别求满足下列条件的椭圆方程（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1（，1），p2（﹣，﹣）；（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数中至少有一个奇数的概率；（2）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率．20．已知命题P：方程x2+kx+4=0有两个不相等的负实数根；命题q：过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，若p∨q”为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．21．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．22．已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置）1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．2．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【考点】变量间的相关关系；两个变量的线性相关．【分析】①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的；【解答】解：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的．故两个变量成正相关的是②⑤．故选C．3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【考点】极差、方差与标准差；分布的意义和作用；众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论．【解答】解：=×（4+5+6+7+8）=6，=×（5+5+5+6+9）=6，甲的成绩的方差为×（22×2+12×2）=2，以的成绩的方差为×（12×3+32×1）=2.4．故选：C．4．利用秦九韶算法求当x=2时，f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1的值时，进行的加法、乘法运算的次数分别为（）A．6，11 B．6，6 C．7，5 D．6，13【考点】秦九韶算法．【分析】利用“秦九韶算法”即可得出．【解答】解：f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1=（（（（（5x+4）x+1）x+3）x﹣81）x+9）x ﹣1，因此利用“秦九韶算法”计算多项式f（x）当x=2的值的时候需要做乘法和加法的次数分别是：6，6．故选：B．5．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A ．6．将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x 甲，x 乙，下列说法正确的是（ ）A ．x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定B ．x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定 【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图的性质和中位数定义求解． 【解答】解：∵x 甲=79，x 乙=82， 且在茎叶图中，乙的数据更集中， ∴x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定． 故选：A ． 7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ．恰有1个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球 【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．【解答】解：A 、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A 不对； B 、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B 不对；C 、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C 对；D 、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D 不对； 故选C ．8．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则5【考点】简单随机抽样．【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．9．下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”B．“若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为真命题C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，原命题的逆否命题命题是交换条件和结论，并同时否定，所以“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等“；B，若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为“若实数x，y满足x2+y2≠0，则x，y不全为0“，是真命题；C，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题；D，特称命题的否定要换量词，再否定结论；对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0．【解答】对于A，原命题的逆否命题命题是交换条件和结论，并同时否定，所以“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等“，故A正确；对于B，若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为“若实数x，y满足x2+y2≠0，则x，y不全为0“，是真命题，故B正确；C，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，故C错；D，特称命题的否定要换量词，再否定结论；对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0，故D正确；故答案为C．10．下列各数中最小的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．111111（2）【考点】进位制．【分析】将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小．【解答】解：85（9）=8×9+5=77，210=2×62+1×6=78，（6）=1×43=64，1000（4）111111=1×26﹣1=63，（2）故最小的数是111111（2）故选：D11．椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）A．3x+2y﹣4=0 B．4x+6y﹣7=0 C．3x﹣2y﹣2=0 D．4x﹣6y﹣1=0【考点】直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆的离心率，然后求出（1，e）圆心的斜率，即可得到弦的斜率，求出直线方程．【解答】解：椭圆的离心率为：，圆的圆心坐标（2，2），所以弦的斜率为：=，所以过点（1，）的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是y﹣=（x﹣1）即：4x+6y﹣7=0．故选B．12．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．﹣C．﹣2 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得a+b=1，则=+=2++，再利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0，即（x+1）2+（y﹣2）2 =4，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，求得a+b=1，则=+=2++≥4，当且仅当a=b=时，取等号，故则的最小值为4，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置）13．已知x1，x2，x3，…x n的平均数为4，标准差为7，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是14；标准差是21．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据x1，x2，x3，…，x n的平均数与标准差，把这组数据做相同的变化，数据的倍数影响平均数与方差、标准差，从而得出答案．【解答】解：∵样本x1，x2，…，x n的平均数为4，标准差为7，∴方差是72=49；∴3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均数是3×4+2=14，方差是32×72，标准差是3×7=21．故答案为：14，21．49 266万元时销售额为65.5万元．【考点】回归分析的初步应用．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故答案为：65.5万元．15．命题p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6＜0，￢p是￢q的必要不充分条件，则a的范围是[﹣，0）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解关于q的不等式，根据若￢p是￢q的必要不充分条件，得到（3a，a）⊊（﹣2，3），从而求出a的范围即可．【解答】解：p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6＜0，解得：﹣2＜x＜3，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，故（3a，a）⊊（﹣2，3），故，解得：﹣≤a＜0，故答案为：．16．2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．【考点】几何概型．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：；故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．分别求满足下列条件的椭圆方程（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1（，1），p2（﹣，﹣）；（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0且m≠n），把P1，P2代入椭圆方程求得m，n的值，则椭圆方程可求；（2）分焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，结合已知条件列式求得a，b 的值，则椭圆方程可求．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0且m≠n）．∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．则，解得．∴所求椭圆方程为；（2）若焦点在x轴上，设方程为（a＞b＞0），∵椭圆过P（3，0），∴，即a=3，又2a=3×2b，∴b=1，则椭圆方程为+y2=1．若焦点在y轴上，设方程为（a＞b＞0）．∵椭圆过点P（3，0）．∴，即b=3．又2a=3×2b，∴a=9，则椭圆方程为．∴所求椭圆的方程为+y2=1或．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户19．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数中至少有一个奇数的概率；（2）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由题意，先后抛掷2次，向上的点（x，y）共有n=6×6=36种等可能结果，为古典概型，利用对立事件概率计算公式能求出两数中至少有一个奇数的概率．（2）点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则表示“点（x，y）在圆x2+y2=15上或圆的外部”，由此利用对立事件概率计算公式能求出点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率．【解答】解：（1）由题意，先后抛掷2次，向上的点（x，y）共有n=6×6=36种等可能结果，为古典概型．记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为．∵事件包含的基本事件数m=3×3=9．∴P（）==，则P（B）=1﹣P（）=，因此，两数中至少有一个奇数的概率为．（2）点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则表示“点（x，y）在圆x2+y2=15上或圆的外部”．又事件C包含基本事件：（11），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8种．∴P（C）==，从而P（）=1﹣P（C）=1﹣=．∴点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率为．20．已知命题P：方程x2+kx+4=0有两个不相等的负实数根；命题q：过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，若p∨q”为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若p∨q”为真，p∧q为假，则p，q一真一假，进而答案．【解答】解：对于P：，则得k＞4对于q：把圆的方程化为标准方程得（x+）2+（y+1）2=16﹣所以16﹣＞0，解得﹣＜k＜．由题意知点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，解得k＞2或k＜﹣3，则实数k的取值范围是﹣＜k＜﹣3，或2＜k＜．若p∨q”为真，p∧q为假，则p，q一真一假（1）p为真，q为假时，易得k∈（4，+∞）．（2）p为假，q为真时，易得所以所求实数m的取值范围是21．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．22．已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用．【分析】（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围．（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．【解答】解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=﹣y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．2016年12月18日。
安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中试卷（理科数学）一、选择题（每小题5分，计60分）：1．设非空集合M 、N 满足：M={x|f （x ）=0}，N={x|g （x ）=0}，P={x|f （x ）g （x ）=0}，则集合P 恒满足的关系为（ ） A ．P=M ∪N B ．P ⊆（M ∪N ）C ．P ≠∅D ．P=∅2．已知命题p ：∃x ∈（﹣∞，0），3x ＜4x ；命题，则下列命题中真命题是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q3．已知定义在R 上的单调连续函数f （x ）在区间（0，2）上存在零点的一个必要不充分条件是（ ）A ．f （0）f （2）＜0B ．f （1）f （2）＜0C ．f （0）f （3）＜0D ．f （0）f （1）＜04．已知复数z=，是z 的共轭复数，则z•=（ ）A ．B ．C ．+i D ．﹣i5．已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5．若存在两项a m ，a n 使得，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知△ABC 中，AB=2，AC=4，O 为△ABC 的外心，则•等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108．函数f （x ）=k ﹣（k ＞0）有且仅有两个不同的零点θ，φ（θ＞φ），则以下有关两零点关系的结论正确的是（ ） A ．sin φ=φcos θ B ．sin φ=﹣φcos θ C ．sin θ=θcos φ D ．sin θ=﹣θcos φ9．已知f （x ）=（a ＜0），定义域为D ，任意m ，n ∈D ，点P （m ，f （n ））组成的图形为正方形，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．﹣3 D ．﹣410．设数列{a n }的通项公式为a n =（﹣1）n （2n ﹣1）•cos ，其前n 项和为S n ，则S 120=（ ） A ．﹣60B ．﹣120C ．180D ．24011．在平面四边形ABCD 中，AD=AB=，CD=CB=，且AD ⊥AB ，现将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A′BD，则在△A′BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A′C 与平面BCD 所成的最大角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．已知 f （x ）、g （x ）都是定义在 R 上的函数，g （x ）≠0，f′（x ）g （x ）＜f （x ）g ′（x ），f （x ）=a x g （x ），+=，则关于x 的方程abx 2+x+2=0（b ∈（0，1））有两个不同实根的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，计20分）：13．dx= ．14．已知正四面体ABCD 的棱长为1，M 为AC 的中点，P 在线段DM 上，则（AP+BP ）2的最小值为 ．15．阅读如图的程序框图，输出的结果为 ．16．已知x，y满足约束条件：，则x+4y的最小值为．三、解答题（共6大题计70分）：17．已知命题p：f（x）=在x∈（﹣∞，0]上有意义，命题q：函数 y=lg（ax2﹣x+a ）的定义域为R．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．19．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=，将（图1）沿直线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C为60°（如图2）（1）求证：AE⊥平面BDC；（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值．20．对x ∈R ，定义函数sgn （x ）=（1）求方程x 2﹣3x+1=sgn （x ）的根；（2）设函数f （x ）=[sgn （x ﹣2）]•（x 2﹣2|x|），若关于x 的方程f （x ）=x+a 有3个互异的实根，求实数a 的取值范围．21．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4=﹣，且对于任意的n ∈N *有S n ，S n+2，S n+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知b n =n （n ∈N +），记，若（n ﹣1）2≤m （T n ﹣n ﹣1）对于n ≥2恒成立，求实数m 的范围．22．已知函数f （x ）=lnx ﹣bx ﹣（a 、b 为常数），在x=1时取得极值． （Ⅰ）求实数a ﹣b 的值；（Ⅱ）当a=﹣2时，求函数f （x ）的最小值；（Ⅲ）当n ∈N *时，试比较（）n （n+1）与（）n+2的大小并证明．安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，计60分）：1．设非空集合M、N满足：M={x|f（x）=0}，N={x|g（x）=0}，P={x|f（x）g（x）=0}，则集合P恒满足的关系为（）A．P=M∪N B．P⊆（M∪N）C．P≠∅D．P=∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合的定义和集合间的并集定义，推出P集合的情况，求出M∪N，然后判断选项．【解答】解：∵P={x|f（x）g（x）=0}，∴P有三种可能即：P={x|f（x）=0}，或P={x|g（x）=0}或P={x|f（x）=0或g（x）=0}，∵M={x|f（x）=0}，N={x|g（x）=0}，∵M∪N={x|f（x）=0或g（x）=0}，∴P⊆（M∪N），故选B．2．已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），3x＜4x；命题，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．p∧（￢q） D．（￢p）∧q【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵命题p：∃x∈（﹣∞，0），3x＜4x，∵对于x∈（﹣∞，0），3x＜4x∴命题P是假命题又∵命题q：tanx＞x，x∈（0，）∴命题q是真命题根据复合命题真假判定，（￢p）∧q是真命题，故D正确p∧q，p∨（￢q）、p∧（￢q）是假命题，故A、B、C错误故选D3．已知定义在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点的一个必要不充分条件是（）A．f（0）f（2）＜0 B．f（1）f（2）＜0 C．f（0）f（3）＜0 D．f（0）f（1）＜0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）f（3）＜0，反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：∵在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）f（3）＜0，反之不成立，零点可能∈[2，3），因此定义在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点的一个必要不充分条件是f （0）f（3）＜0．故选：C．4．已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=（）A．B．C． +i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，代入z•计算得答案．【解答】解：∵z===，∴．则z•=．故选：A．5．已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5．若存在两项a m ，a n 使得，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等比数列的性质．【分析】根据a 7=a 6+2a 5，求出公比的值，利用存在两项a m ，a n 使得，写出m ，n 之间的关系，结合基本不等式得到最小值． 【解答】解：设等比数列的公比为q （q ＞0），则 ∵a 7=a 6+2a 5， ∴a 5q 2=a 5q+2a 5， ∴q 2﹣q ﹣2=0， ∴q=2，∵存在两项a m ，a n 使得，∴a m a n =16a 12， ∴q m+n ﹣2=16， ∴m+n=6∴=（m+n ）（）=（10+）m=1，n=5时， =；m=2，n=4时， =．∴的最小值为，故选B ．6．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，故选C．7．已知△ABC中，AB=2，AC=4，O为△ABC的外心，则•等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出．【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，可得，∴，故选：B，8．函数f（x）=k﹣（k＞0）有且仅有两个不同的零点θ，φ（θ＞φ），则以下有关两零点关系的结论正确的是（）A．sinφ=φcosθB．sinφ=﹣φcosθC．sinθ=θcosφD．sinθ=﹣θcosφ【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意构造函数y1=sin|x|，y2=kx，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项．【解答】解：依题意可知x不能等于0．令y1=sin|x|，y2=kx，显然函数y1为偶函数，y2=kx为奇函数，故θ，φ为绝对值最小的两个非零零点．然后分别做出两个函数的图象．由题意可得y2与y1仅有两个交点，且φ是y1和y2相切的点的横坐标，即点（φ，sin|φ|）为切点，φ∈（﹣，﹣π），故sin|φ|=﹣sinφ．因为（﹣sinφ）′=﹣cosφ，所以切线的斜率k=﹣cosφ．再根据切线的斜率为 k==，∴﹣cosφ=，即 sinθ=﹣θcosφ，故选：D．9．已知f（x）=（a＜0），定义域为D，任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，则实数a的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【考点】函数的定义域及其求法．【分析】求出函数的定义域，根据任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，得到函数的最大值为2，解方程即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则a（x﹣1）（x﹣3）≥0，∵a＜0，∴不等式等价为（x﹣1）（x﹣3）≤0，即1≤x≤3，∴定义域D=[1，3]，∵任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，∵f（1）=f（3）=0，∴函数的最大值为2，即a （x ﹣1）（x ﹣3）的最大值为4， 设f （x ）=a （x ﹣1）（x ﹣3）=ax 2﹣4ax+3a ， ∴当x=2时，f （2）=﹣a=4， 即a=﹣4， 故选：D ．10．设数列{a n }的通项公式为a n =（﹣1）n （2n ﹣1）•cos ，其前n 项和为S n ，则S 120=（ ） A ．﹣60B ．﹣120C ．180D ．240【考点】数列的求和．【分析】由数列的通项公式求出数列前几项，得到数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此可以求得S 120的值．【解答】解：由a n =（﹣1）n （2n ﹣1）cos +1，得a 1=﹣cos +1=1，a 2=3cos π+1=﹣2，a 3=﹣5cos +1=1，a 4=7cos2π+1=8，a 5=﹣9cos +1=1，a 6=11cos3π+1=﹣10，a 7=﹣13cos +1=1，a 8=15cos4π+1=16，…由上可知，数列{a n }的奇数项为1，每两个偶数项的和为6， ∴S 120=（a 1+a 3+…+a 119）+（a 2+a 4+…+a 58+a 120）=60+30×6=240． 故选：D ．11．在平面四边形ABCD 中，AD=AB=，CD=CB=，且AD ⊥AB ，现将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A′BD，则在△A′BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A′C 与平面BCD 所成的最大角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【考点】直线与平面所成的角．【分析】连结AC，BD，交于点O，由题设条件推导出OA=1，OC=2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线A′C与平面BCD所成角最大，由此能求出结果．【解答】解：如图，平面四边形ABCD中，连结AC，BD，交于点O，∵AD=AB=，CD=CB=，且AD⊥AB，∴BD==2，AC⊥BD，∴BO=OD=1，∴OA==1，OC==2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线A′C与平面BCD所成角最大，此时，Rt△OA′C中，OA′=OA=1，OC=2，∴∠OCA′=30°，∴A′C与平面BCD所成的最大角为30°．故选：A．12．已知 f（x）、g（x）都是定义在 R 上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a x g（x），+=，则关于x的方程abx2+x+2=0（b∈（0，1））有两个不同实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】f（x）=a x•g（x），g（x）≠0，构造h（x）=a x=，又f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），利用导数可得：函数h（x）单调递减，0＜a＜1．利用+=，解得a，再求概率．【解答】解：∵f（x）=a x•g（x），g（x）≠0，∴h（x）=a x=，又f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），∴h′（x）=＜0，∴函数h（x）单调递减，∴0＜a＜1．+=，∴a+a﹣1=，解得a=．关于x的方程abx2+x+2=0，即bx2+x+2=0，，∴，∴关于x的方程abx2+x+2=0（b∈（0，1））有两个不同实根的概率为=，故选B．二、填空题（每小题5分，计20分）：13．dx= 1 ．【考点】定积分．【分析】dx=，由此能求出结果．【解答】解：dx===（lnx）2=1．故答案为：1．14．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为AC的中点，P在线段DM上，则（AP+BP）2的最小值为．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】把平面BMD及平面AMD以DM为折线展平，三角形DAM是正三角形的一半，故在平面BMAD中，连接BA，与MD相交于P点，则AP+BP为最短距离，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：由于各棱长均为1的四面体是正四面体把平面BMD及平面AMD以DM为折线展平，三角形DAM是正三角形的一半DM=，AM=，AD=1，BM=，BD=1故在平面BMAD中，连接BA，与MD相交于P点，则AP+BP为最短距离，在三角形BMD中，根据余弦定理，cos∠BMD==，∴sin∠BMD=，cos∠DMB=cos（90°+∠BMC）=﹣sin∠BMC=﹣，∴BA2=BM2+AM2﹣2BM•AM•cos∠AMB=+﹣2•••（﹣）=．故答案为：．15．阅读如图的程序框图，输出的结果为65 ．【考点】程序框图．【分析】首先判断程序框图的功能，根据退出循环的条件即可求得n 的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算S=1+2+3+…=的值，且当S ＞2016时，输出n 的值，由于，当n=64时，S==2080＜2016，当n=65时，S==2145＞2016，故输出n 的值为65． 故答案为：65．16．已知x ，y 满足约束条件：，则x+4y 的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可得到结论．．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+4y 得y=﹣x+z ，平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点A （1，0）时， 直线的截距最小，此时z 最小．此时z=1+4×0=1，min故答案为：1．三、解答题（共6大题计70分）：17．已知命题p：f（x）=在x∈（﹣∞，0]上有意义，命题q：函数 y=lg（ax2﹣x+a ）的定义域为R．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出命题p真、命题q真时a的取值范围，由命题p和q有且仅有一个正确，求a 的取值范围．【解答】解：对于命题p：由1﹣a•3x≥0知，，x∈（﹣∞，0]，∴a≤1…对于命题q：ax2﹣x+a＞0在R上恒成立①若a=0，则﹣x＞0在R上恒成立，显然不可能，舍去．②若a≠0，则，解得：…∵命题p和q有且仅有一个正确，∴p真q假或者p假q真，而由p真q假，可得；由p假q真，可得a＞1…综上可得，所求a的取值范围为…18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，=absinC=a••a×==3，∵S△ABC∴a2=5，a=．19．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=，将（图1）沿直线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C为60°（如图2）（1）求证：AE⊥平面BDC；（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先根据条件得到BD⊥平面AEM；进而通过求边长得到AE⊥ME；即可得到结论；（2）先建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．【解答】（1）证明：如图1取BD中点M，连接AM，ME．∵AB=AD=，∴AM⊥BD∵DB=2，DC=1，BC=，DB2+DC2=BC2，∴△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线∴ME∥CD，ME=CD，∴ME⊥BD，ME=，∴∠AME是二面角A﹣BD﹣C的平面角，∴∠AME=60°…∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，∴BD⊥平面AEM∵AE⊂平面AEM，∴BD⊥AE∵AB=AD=，DB=2，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AM=BD=1，∴AAE2=AM2+ME2﹣2AM•ME•cos∠AME=，∴AE=，∴AE2+ME2=1=AM2，∴AE⊥ME=M，∴BD∩ME，BD⊂平面BDC，ME⊂面BDC，∴AE⊥平面BDC …（2）解：如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz，则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E（0，，0），A（0，，），D（﹣1，0，0），C （﹣1，1，0），∴=（1，，），=（0，1，0），=（0，0，﹣），…设平面ACD的法向量为=（x，y，z）则，∴=（，0，﹣2），设直线AE与平面ADC所成角为α，则sinα==…∴直线AE与平面ADC所成角的正弦值为…20．对x∈R，定义函数sgn（x）=（1）求方程x2﹣3x+1=sgn（x）的根；（2）设函数f（x）=[sgn（x﹣2）]•（x2﹣2|x|），若关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根，求实数a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用已知条件，列出方程，逐一求解即可．（2）求出函数的解析式，得到a的表达式，画出图象，通过a的范围讨论函数零点个数即可．【解答】解：（1）当x＞0时，sgn（x）=1，解方程x2﹣3x+1=1，得x=3（x=0不合题意舍去）；当x=0时，sgn（x）=0，0不是方程x2﹣3x+1=0的解；当x＜0时，sgn（x）=﹣1，解方程x2﹣3x+1=﹣1，得x=1或x=2（均不合题意舍去）．综上所述，x=3是方程x2﹣3x+1=sgn（x）的根．…（2）由于函数，则原方程转化为：．数形结合可知：①当a＜﹣2时，原方程有1个实根；②当a=﹣2时，原方程有2个实根；③当﹣2＜a＜0时，原方程有3个实根；④当a=0时，原方程有4个实根；⑤当时，原方程有5个实根；⑥当时，原方程有4个实根；⑦当时，原方程有3个实根；⑧当时，原方程有2个实根；⑨当时，原方程有1个实根．故当时，关于x 的方程f （x ）=x+a 有3个互异的实根．…21．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4=﹣，且对于任意的n ∈N *有S n ，S n+2，S n+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知b n =n （n ∈N +），记，若（n ﹣1）2≤m （T n ﹣n ﹣1）对于n ≥2恒成立，求实数m 的范围．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于任意的n ∈N +有S n ，S n+2，S n+1成等差得2S 3=S 1+S 2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{a n }的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n 和已知b n =n 代入整理，然后利用错位相减法求T n ，把T n 代入（n ﹣1）2≤m （T n ﹣n ﹣1）后分离变量m ，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的公比为q ， ∵对于任意的n ∈N +有S n ，S n+2，S n+1成等差，∴2．整理得：．∵a 1≠0，∴，2+2q+2q 2=2+q ．∴2q 2+q=0，又q ≠0，∴q=．又，把q=代入后可得．所以，；=n，，∴，（Ⅱ）∵bn∴．．∴=∴．﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，若（n﹣1）2≤m（Tn则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）•（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，∴m≥对于n≥2恒成立，令，∵=∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．∴m．﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．所以，（n﹣1）2≤m（Tn22．已知函数f（x）=lnx﹣bx﹣（a、b为常数），在x=1时取得极值．（Ⅰ）求实数a﹣b的值；（Ⅱ）当a=﹣2时，求函数f（x）的最小值；（Ⅲ）当n∈N*时，试比较（）n（n+1）与（）n+2的大小并证明．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数在x=1时取得极值，可求实数a﹣b的值；（Ⅱ）确定f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，可得f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值；=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减，证明ln+﹣（Ⅲ）由（II）知f（x）min＞0，可得结论．【解答】解：（I）∵f（x）=lnx﹣bx﹣，∴f′（x）=，∵在x=1时取得极值，∴f′（1）=﹣b+1+a=0∴a﹣b=﹣1 …4分（II）a=﹣2，b=﹣1，∴，∴，∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值，=f（1）=3…8分∴f（x）min（III）由（II）知f（x）=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减．min∵，∴∴ln+﹣＞0，∴n（n+1）ln＞0﹣（n+2），∴（）n（n+1）与（）n+2…。
安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中考查数学试卷 Word版含答案
安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中考查数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A.2 B ．3 C ．5 D ． 52．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件3．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y x =C.13y x =±D.3y x =±4．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ）A ．18B ． 24C ．60D ． 905．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．22C ．24D ．86． 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ )A ． 错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
7.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0,043y x ayx ，若132+++=x y x z 的最小值为23，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记222.02.0222.0)2.0(2)2(,5lo g )5(lo g f c f b f a ===，，则 （ ） A.c b a << B.b a c << C. c a b << D.a b c <<9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=（ ）A ．4B ．49 C ．49- D ．0 10．（文科做）从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是（ ）A.51 B. 52 C.53 D.5410．（理科做）用6种颜色给右图四面体BCD A -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种A ．4080 B.3360 C. 1920 D. 720 11．（文科做）将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图像向左平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.12π B.6π C.3π D.65π 11．（理科做）设当θ=x 时，函数x x y cos 2sin -=取得最大值，则θcos = ( )A.55-B.55 C.552-D.55212.（文科做）若函数,0()ln ,0ax a x f x x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)eB ．1(0,)(1,)e eC ．(1,)+∞D ．(0,1)(1,)+∞12．（理科做）已知正方体1111ABCD A BC D -，则下列说法不正确．．．的是（ ） A.若点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变B.若点P 是平面1111A BC D 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是过1D 点的直线 C.若点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变D.若点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变 二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．） 13.设)(x f 是周期为2的偶函数，当10≤≤x 时, )1(2)(x x x f -=,则=-)25(f .14.（文科做）已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为 .14.（理科做）2321(2)x x+-展开式中的常数项为 ． 15.（文科做）正方体1111ABCD A BC D -中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1//A F 平面1D AE ,若正方体1111ABCD A BC D -的棱长是2,则F 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段长是________.15.（理科做）如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于 ．16.（文科做）设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为 ． 16.（理科做）用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a a a a _____________.三、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22，23为二选一题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. (本小题满分12分)已知函数)0,0(12sin 2)sin(3)(2πϕωϕωϕω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π. （Ⅰ）当)4,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间； （Ⅱ）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象.当]6,12[ππ-∈x 时，求函数)(x g 的值域. 18.（文科做）(本小题满分12分)已知,,a b c 分别是ABC ∆角,,A B C 的对边，满足sin 4sin 4sin ac A C c A +=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）ABC ∆的外接圆为圆O （O 在ABC ∆内部）, 4OBC S b c ∆=+=,判断ABC ∆的形状, 并说明理由.18.（理科做）(本小题满分12分)22266cos A cos B cos(A )cos(A )ππ-=-+在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足.（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若a b ≤=3，求c a -2的取值范围．19. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）（文科做）求数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .（理科做）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.20. (本小题满分12分)已知函数),(22)(R a R x ax e x f x∈∈--=. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程；（Ⅱ）当0≥x 时，若不等式0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.21.（文科做）(本小题满分12分)已知函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在区间()3,a 上有最值，求实数m 的取值范围.21.（理科做）(本小题满分12分)设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性；[KS5UKS5U]（Ⅱ）当),1(+∞∈x 时，1)(1>+-x xe x xf 恒成立，求a 的取值范围. (其中，e=2.718…为自然对数的底数).选做题(两题任选一题，如果都做，按第22题得分计算) 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标与参数方程已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中考查数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．） 13.2114.（文科）： 11{|}32x x x <->或 ； （理科）： -2015.（文科）：； （理科）： 3π（或60°） 16.（文科）：15； （理科）： 2015 四、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）由题意得：())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， ————————2分 又因为函数()f x 为奇函数，所以,66k k ππϕπϕπ-==+，且0ϕπ<<，所以6πϕ=，故函数为()2sin 2f x x =. ————————4分 要使()f x 单调减，需满足2,224x x ππππ-≤≤--≤≤-，所以函数的减区间为[,]24ππ--.————————6分（2）由题意可得：)34sin(2)(π-=x x g ， ————————9分————————12分18.（文科做）（1）由正弦定理可知,sin ,sin 22a c A C R R==, 则2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=, ————————3分()2220,444420c a c c ac a a a ≠∴+=⇔+=⇔-= ,可得2a =. ————————5分（2）记BC中点为1,23OBC D S BC OD OD ∆=⋅⋅==，故120BOC ∠= ,圆O的半径为r =, ————————7分由正弦公式可知sin 2a A r ==,故60A = , ————————9分 由余弦定理可知,2222cos a b c bc A =+-, 由上可得224b c bc =+-,又4b c +=,则2b c ==,故ABC ∆为等边三角形. ————————12分18.（理科做）（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得sin B =故233B ππ=或． ————————4分 （2）因为b a ≤，所以3B π=， ————————6分由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，得a=2sinA,c=2sinC ， ————————8分————————10分因为b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<， 所以)32,3[2∈-c a ． ————————12分 19. （1）1n =时，11a = ————————1分2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，又24(1)n n S a =+，两式相减得111()(2)0,0,2,{}n n n n n n n n a a a a a a a a ---+--=>∴-= 为是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. ————————6分（2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n -==--+-+ 111111(1)()()1335212121n T n n n ∴=-+-++-=--++ ，——————1,n T ∴< 又111230,n n n T a a T -≥=>∴， 综上213n T ≤<成立. ————————12分 20.（1）当1a =时，''()22,()21,(1)21xxf x e x f x e f e =--=-=-， 即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又(1)23f e =-，所以所求切线方程为(21)2y e x =--. ————————4分 （2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立min [()]0f x ⇔≥ 易知'()2xf x e a =-○1若0a ≤，则'()0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增；又(0)0f =，所以当[0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ≥=，符合题意. —————6分○2若0a >，由'()0f x =，解得ln 2a x =，则当(,ln )2ax ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(ln,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. 所以ln 2ax =时，函数()f x 取得最小值. ————————8分则当02ln≤a ，即20≤<a 时，则当),0[+∞∈x 时，0)0()(=≥f x f ，符合题意.————————10分当02ln>a ，即2>a 时，则当)2ln ,0(a x ∈时，)(x f 单调递增，0)0()(=<f x f ，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是].2,(-∞ ————————12分（没有综上扣一分） 21.（文科做）（1）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且 1()f x a x'=-， 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间； ————————5分（2）23'32()[2()]()22x m g x x m f x x a x x =+-=++-，'2()3(2)1,g x x m a x ∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又'''()0(0)1,,(3)0g a g g ⎧<⎪=-∴⎨>⎪⎩ ————————7分 由题意知：对任意[1,2]a ∈，'22()3(2)1510g a a m a a a ma =++⋅-=+-<恒成立，21515a m a a a-∴<=-，因为[1,2]a ∈，192m ∴<- ————————9分对任意[1,2]a ∈，'(3)26360g m a =++>恒成立62626233a m a --∴>=--，[1,2]a ∈ ，323m ∴>- ————————11分 综上，321932m -<<-. ————————12分21.（理科做）（1）由题意得：2'121()2,0ax f x ax x x x-=-=>当0a ≤时，2'210,()0,ax f x -≤≤()f x 上(0,)+∞单调递减.当0a >时，'()f x =x ∈时，'()0f x <，当)x ∈+∞时'()0f x >，故()f x在x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增. ————————5分（2）原不等式等价于11()0xf x e x --+>在(1,)+∞上恒成立， 一方面，令12111()()ln x x g x f x e ax x e a x x--=-+=--+-只需()g x 在(1,)+∞上恒大于0即可，又(1)0g = ，故'()g x 在处1x =必大于等于0. 令'1'211()()2,(1)0,x F x g x ax e g x x -==-+-≥可得12a ≥. ————————8分 另一方面，当12a ≥时， 3'1112323312122()21x xx x x F x a e e e x x x x x---+-=+-+≥+-+=+ 又(1,)x ∈+∞ ，320x x ∴+->，10xe->，故'()F x 在(1,)+∞时恒大于0，当(1,)x ∈+∞时，()F x 在(1,)x ∈+∞单调递增()(1)210F x F a ∴>=-≥. 故()g x 也(1,)x ∈+∞在单调递增()(1)0g x g ∴>=. 即()g x 在(1,)x ∈+∞上恒大于0. 12a ∴≥. 综上，12a ≥. ————————12分（没有综上扣一分）选做题22.解:（1）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=． 所以，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ————————5分（2） 直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)， 所以弦长22=OA ． ————————10分23. (1)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集 (][),31,-∞-⋃+∞ ————————5分 (2)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322a a -≤+⇒≥- ————————10分。
安徽省宣城市宣城中学、郎溪中学、广德中学高二上学期
2015-2016学年宣、郎、广三校高二年级第一学期期中联考高二文科数学试卷分值150分 时间：120分钟一．选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)1. 总体有编号为的个个体组成.利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为（ ）A. B. C. D.2. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如：表示二进制的数，将它转换成二进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数转换成十进制的结果是（ ）A. B. C. D.3. 对变量，观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图.由这两个散点图可以判断．（ ）A. 变量与正相关，与正相关B. 变量与正相关，与负相关C. 变量与负相关，与正相关D. 变量与负相关，与负相关4. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内的取值范围是（ ） A. B. C. D.5. 若样本数据的标准差为，则数据121021,21,,21x x x ---的标准差为A. B. C. D.6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．①、③都可能为分层抽样 B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样 D．②、③都不能为系统抽样7.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。
2017年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二上学期数学期中试卷与解析(文科)
2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣ D．﹣22．（5分）“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x：y为（）A．3：2 B．2：3 C．3：1或5：3 D．3：2或7：54．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．015．（5分）某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”6．（5分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P（m，n）落在直线x+y=4下方的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q8．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．9．（5分）已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，5） C．[1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）10．（5分）“0≤m≤1”是“函数f（x）=cosx+m﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），，且，则的最小值是（）A．B．C．2 D．312．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2外B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2内D．以上三种情形都有可能二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为．14．（5分）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是．15．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．16．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．18．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：==，）19．（12分）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”．由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：（Ⅱ）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率参考数据如下：参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．20．（10分）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．21．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心在第二象限，半径为，且圆C 与直线3x+4y=0及y轴都相切．（1）求D、E、F；（2）若直线x﹣y+2=0与圆C交于A、B两点，求|AB|．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P（1，），直线PF1交y轴于Q，且=2，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣ D．﹣2【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，i=1满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=2满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=3满足条件i＜2016，执行循环体，a=2，i=4满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=5…观察规律可知，a的取值周期为3，又2016=672×3，可得：满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=2015满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=2016此时，不满足条件i＜2016，退出循环，输出a的值为﹣．2．（5分）“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为“序数”是指在一个数中，每一位数字比其左边的一位数字大，利用二位数的特点可知所有的二位数共：9×10=90，而二位数中“序数”的个数为：8+7+6+5+4+3+2+1=36个，对于所有二位“序数”中比56大的有：57，58，59，67，68，69，78，79，89总共9个，所以比56大的二位“序数“的概率为：=，故选：A．3．（5分）甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x：y为（）A．3：2 B．2：3 C．3：1或5：3 D．3：2或7：5【解答】解：∵甲乙两人的平均数相等，∴=，又∵甲乙两人的中位数相等，∴，（1≤x≤5，y≤3）或=y，（x＞5，y≤3）或，（1≤x≤5，y＞3）或=3，（x＞5，y＞3）解得：x=3，y=2，或x=7，y=5，故x：y=3：2，或x：y=7：5，4．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．5．（5分）某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”【解答】解：A中的两个事件是包含关系，故不符合要求．B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥；C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；D中的两个事件是对立事件，故不符合要求故选：C．6．（5分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P（m，n）落在直线x+y=4下方的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，共可得到6×6=36个点，点P在直线x+y=4下方的情况有（1，1），（1，2），（2，1），共3种，故点P在直线x+y=4下方的概率为=．故选：C．7．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p 假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x ﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．8．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选：A．9．（5分）已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，5） C．[1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）【解答】解：直线y﹣kx﹣1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，1）在y轴上，所以，≤1且m＞0，得m≥1，而根据椭圆的方程中有m≠5，故m的范围是[1，5）∪（5，+∞），故选：C．10．（5分）“0≤m≤1”是“函数f（x）=cosx+m﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）=cosx+m﹣1有零点⇒方程1﹣m=cox有解⇒﹣1≤1﹣m ≤1⇒0≤m≤2，即[0，1]⊆[0，2]，∴“0≤m≤1”是“函数f（x）=cosx+m﹣1有零点”的充分不必要条件．故选：A．11．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），，且，则的最小值是（）A．B．C．2 D．3【解答】解：由可知点M的轨迹为以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则|PA|2=|PM|2+|AM|2，得|PM|2=|PA|2﹣1，∴要使得的值最小，则要的值最小，而的最小值为a﹣c=2，此时，故选：B．12．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2外B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2内D．以上三种情形都有可能【解答】解：∵e==，∴=，∵x1，x2是方程ax2+bx﹣c=0的两个实根，∴由韦达定理：x1+x2=﹣=﹣，x1x2==﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=＜2，∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为15．【解答】解：该校共有学生450+750+600=1800，∵每个学生被抽到的概率为0.02，∴抽取的样本容量n=1800×0.02=36人，则应从高二年级抽取的学生人数为=15人，故答案为：1514．（5分）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是．【解答】解：三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有9×10=90个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…其有4×10=40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率p=．故答案为：．15．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．16．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为．【解答】解：联立，得x=，y=，∴直线y=﹣x+1与x﹣2y=0的交点为，∴线段AB的中点为（），设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，=，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆，得：，两式相减，得，a2=2b2，∴a=，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b 1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．18．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：==，）【解答】解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P （A ）=1﹣0.4=0.6．故选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率是0.6；（2）由数据，求得=（11+13+12）=12，=（25+30+26）=27，由公式求得===，=﹣3．所以关于x 的线性回归方程为y=x ﹣3． （3）当x=10时，y=x ﹣3=22，|22﹣23|＜2， 同样，当x=8时，y=x ﹣3=17，|17﹣16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．19．（12分）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”．由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：（Ⅱ）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率参考数据如下：参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表K2=≈6.35＜6.635所以，没有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，则2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为1﹣=0.7．20．（10分）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a；x2﹣2x的最小值为：﹣1；∴﹣1＞a，即a＜﹣1；命题q：存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假；∴若p真q假：，解得﹣2＜a＜﹣1；若p假q真：，解得a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．21．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心在第二象限，半径为，且圆C 与直线3x+4y=0及y轴都相切．（1）求D、E、F；（2）若直线x﹣y+2=0与圆C交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）圆C的标准式为：（x+）2+（y+）2=，圆心为（﹣，﹣），因为圆C与y轴相切，即﹣=﹣⇒D=2；圆C与3x+4y=0相切，即d==⇒E=﹣4，即圆心为（﹣，2），=2⇒F=8，综上：D=2，E=﹣4，F=8；（2）由（1）知圆心（﹣，2），R=，由点到直线距离知d==1，所以==1，故|AB|=2．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P（1，），直线PF1交y轴于Q，且=2，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．【解答】解：（1）∵椭圆C过点，∴①，∵=2，∴PF2⊥F1F2，则c=1，∴a2﹣b2=1，②由①②得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），由k1+k2=2得，得x 0=﹣1．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），，得，∴，即，由m≠1，（1﹣k）（m+1）=﹣km⇒k=m+1，即y=kx+m=（m+1）x+m⇒m（x+1）=y﹣x，故直线AB过定点（﹣1，﹣1）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（x∈R）在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，则x的值为（）A．2 B．1+3i C．±2 D．2．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]3．在等差数列{an }中，a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，则此数列前30项和等于（）A．810 B．840 C．870 D．9004．已知M=，N=，由如右程序框图输出的S为（）A．1 B．ln2 C．D．05．若函数，且f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（）A． B．C．D．6．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+fA．333 B．336 C．1678 D．20157．已知0＜x ＜，则﹣＜0是﹣x ＞0成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．，，若A∩B={（cos θ1，sin θ1），（cos θ2，sin θ2）}，则m 的取值范围为（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣2，2）C ．D ．9．若a ＞0，，，，则x ，y ，z 的大小顺序为（ ）A ．x ＞z ＞yB ．x ＞y ＞zC ．z ＞x ＞yD ．z ＞y ＞x 10．下列命题中正确的个数是（ ）①过异面直线a ，b 外一点P 有且只有一个平面与a ，b 都平行； ②异面直线a ，b 在平面α内的射影相互垂直，则a ⊥b ；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线a ，b 分别在平面α，β内，且a ⊥b ，则α⊥β． A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．三角形ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ；若A=，则=（ ）A ．a+bB ．a+cC ．b+cD ．a+b+c12．已知f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+；g （x ）=1﹣x+﹣+﹣…﹣；设函数F （x ）=[f （x+3）]•[g （x ﹣4）]，且函数F （x ）的零点均在区间[a ，b]（a ＜b ，a ，b ∈Z ）内，则b ﹣a 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为______．14．已知a ＞b ＞0，且a+b=2，则的最小值为______．15．已知α，β为锐角，cos α=，则cos β=______．16．已知函数f （x ）=e ax ﹣x ﹣1，其中a ≠0．若对一切x ∈R ，f （x ）≥0恒成立，则a 的取值集合______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S ，满足=2S n +n+4，且a 2﹣1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =﹣，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．已知向量=（cos ωx ﹣sin ωx ，sin ωx ），=（﹣cos ωx ﹣sin ωx ，2cos ωx ），设函数f （x ）=•+λ（x ∈R ）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1） （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若y=f （x ）的图象经过点（，0）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别是a ，b ，c ，c=2，sin 2A+sin 2B ﹣sin 2C=sinAsinB ． （1）若sinC+sin （B ﹣A ）=2sin2A ，求△ABC 面积； （2）求AB 边上的中线长的取值范围．20．已知a 为常数，函数，（1）当a=0时，求函数f （x ）的最小值； （2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2） ①求实数a 的取值范围；②求证：且x 1x 2＞1（其中e 为自然对数的底）21．已知函数f （x ）=e x （2x ﹣1），g （x ）=ax ﹣a （a ∈R ）． （1）若y=g （x ）为曲线y=f （x ）的一条切线，求a 的值； （2）已知a ＜1，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）＜g （x 0），求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos θ．（1）把直线l 的参数方程化为极坐标方程，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程； （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【选修4-5：不等式选讲】23．设函数f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+1|（a ＞0），g （x ）=x+2． （1）当a=1时，求不等式f （x ）≤g （x ）的解集；（2）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．安徽省宣城市2017-2018学年高三上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（x∈R）在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，则x的值为（）A．2 B．1+3i C．±2 D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数所对应点到原点的距离为列式求得x的值．【解答】解： =，∵复数在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，∴，解得：x=±2．故选：C．2．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，目标函数z=几何意义为区域内的点与D （2，0）的斜率，过（﹣1，2）与（2，0）时斜率最小， 过（﹣1，﹣2）与（2，0）时斜率最大，∴Z 最小值==﹣，Z 最大值==，故选：D ．3．在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165，则此数列前30项和等于（ ） A ．810 B ．840 C ．870 D ．900 【考点】等差数列的性质．【分析】在等差数列{a n }中，由a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165，知a 1+a 30=56，再由S 30=15（a 1+a 30），能求出此数列前30项和．【解答】解：在等差数列{a n }中， ∵a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165， ∴3（a 1+a 30）=168， ∴a 1+a 30=56，∴此数列前30项和为S 30=15（a 1+a 30）=15×56=840． 故选：B ．4．已知M=，N=，由如右程序框图输出的S 为（ ）A．1 B．ln2 C．D．0【考点】微积分基本定理；选择结构．【分析】根据积分的定义，分别解出M和N，再判断M与N的大小，代入程序图进行求解；【解答】解：∵M====ln2，N===1，ln2＜1∴M＜N，由程序图可知求两个数的最小值，输出的是最小的一个数，∴S=ln2，故选B；5．若函数，且f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（）A． B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：由题意可得=•=，∴ω=1，f（x）=2sin（x+）．令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，故函数的增区间为2[kπ﹣，2kπ+]，k∈z，故选：D．6．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+fA．333 B．336 C．1678 D．2015【考点】函数的周期性；函数的值．【分析】由已知得到函数的周期为6，找到与2015函数值相等的（﹣3，3）的自变量，按照周期求值．【解答】解：由已知函数周期为6，并且2015=6×335+5，并且f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3+6）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2+6）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1+6）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，所以f（1）+f（2）+…+f（6）=1，所以f（1）+f（2）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=335+1=336；故选B．7．已知0＜x＜，则﹣＜0是﹣x＞0成立的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质，将不等式进行等价转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当0＜x＜，0＜sinx＜1，则不等式﹣＜0等价为＜，即sinx＜1，即x•s in2x＜1，不等式﹣x＞0等价为＞x，即x•sinx＜1，∵0＜sinx＜1，∴若x•sinx＜1，则x•sin2x＜x•sinx＜1，即x•sin2x＜1成立．若xsin2x＜1，不能推出xsinx＜1成立，故充分性不成立．则﹣＜0是﹣x＞0成立的必要不充分条件．故选：C．8．，，若A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}，则m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．（﹣2，2）C．D．【考点】交集及其运算．【分析】由题意得到直线y=x+m与圆x2+y2=1（x≠1）交于两点，根据圆心到直线的距离小于半径且+m≠0，即可得到答案．【解答】解：根据题意，直线y=x+m与圆x2+y2=1（x≠1）交于两点，∴＜1且+m≠0，∴﹣2＜m＜2且m≠，故选：D．9．若a＞0，，，，则x，y，z的大小顺序为（）A．x＞z＞y B．x＞y＞z C．z＞x＞y D．z＞y＞x【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】令a=2，将x，y，z分别化简，比较大小，利用排除法选出答案．【解答】解：令a=2，则x=sin1+cos1，y=1，z=2sin21cos21=≤，∴y＞z，排除A，C，D．故选：B．10．下列命题中正确的个数是（）①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】列举反例，即可得出结论．【解答】解：①P是异面直线a、b外一点，则过P有一个平面与a、b都平行；此命题不正确，当过点P与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时，此时找不到一个过P的平面与两条异面直线都平行，不正确；②本命题用图形说明，如图：三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直，不正确；③四边相等的四边形也可以是空间四边形，不正确；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α、β不一定垂直，不正确．故选：A．11．三角形ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c；若A=，则=（）A．a+b B．a+c C．b+c D．a+b+c【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理可得：a=2RsinA代入已知式子，由三角函数恒等变换的应用化简即可得解．【解答】解：∵由正弦定理可得：a=2RsinA，∴a（cosC+sinC）=2RsinAcosC+2RsinAsinC=2RsinAcosC+3RsinC=2R（sinAcosC+sinC+sinC）=2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R[sin（A+C）+sinC]=2R（sinB+sinC）=b+c．故选：C．12．已知f（x）=1+x﹣+﹣+…+；g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣；设函数F（x）=[f（x+3）]•[g（x﹣4）]，且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】二分法求方程的近似解．【分析】利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x﹣4）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=（1﹣1）+（﹣）+…+（﹣）＞0，g（2）=（1﹣2）+（2﹣）+…+（﹣）＜0，当x∈（1，2）时g′（x）=﹣1+x﹣x2+…﹣x2014=﹣＜0∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递减，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）•g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，∴b﹣a的最小值为10．故选C：．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为 2 ．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据||=1，||=2，与的夹角为60°，算出|+|=且（+）•=2．再设+与的夹角为θ，结合数量积公式和向量投影的定义，算出|+|cosθ的值，即可得到向量+在方向上的投影值．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为60°，∴•=|×||×cos60°=1由此可得（+）2=||2+2•+||2=1+2+4=7∴|+|=．设+与的夹角为θ，则∵（+）•=||2+•=2∴cosθ==，可得向量+在方向上的投影为|+|cosθ=×=2故答案为：214．已知a＞b＞0，且a+b=2，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵（a+3b）+（a﹣b）=2（a+b）=4，∴ [（a+3b）+（a﹣b）]=1，∴=（）[（a+3b）+（a﹣b）]= [2+++1]≥ [3+2]=，故答案为：．15．已知α，β为锐角，cosα=，则cosβ= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cos（α+β）的值，再利用两角差的三角公式求得cosβ=cos[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：∵α，β为锐角，cosα=＜，∴α＞，sinα=．又 sin（α+β）=，∴α+β为钝角，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣•+•=，故答案为：．16．已知函数f（x）=e ax﹣x﹣1，其中a≠0．若对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，则a的取值集合{1} ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】首先对a考虑，说明a＜0不成立，只有a＞0，求出导数，并求出f（x）的单调区间，从而求得最小值，令它不小于0，然后构造函数g（t）=t﹣tlnt﹣1，运用导数求出它的最大值，运用两边夹法则即可求出a的值．【解答】解：若a＜0，则对一切x＞0，∵e ax＜1，∴f（x）=e ax﹣x﹣1＜0，这与题设矛盾．又a≠0，故a＞0．而f′（x）=ae ax﹣1，令f′（x）=0得x=ln，当x＜ln时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴当x=ln，f（x）取最小值f（ln）=﹣ln﹣1．于是对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，当且仅当﹣ln﹣1≥0．①令g（t）=t﹣tlnt﹣1，（t=）则g′（t）=﹣lnt，当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，∴当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1﹣1=0．∴当且仅当=1，即a=1时，①式等号成立．综上所述，a的取值集合为{1}．故答案为：{1}．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为S，满足=2Sn+n+4，且a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=﹣，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由=2S n +n+4，得到2S n =﹣n ﹣4，当n ≥2时，，两式相减并化简，得数列{a n }为等差数列，再由题目中其他条件结合等差数列和等比数列的性质能计算出{a n }、{b n }的通项公式．（2）由c n =﹣==，利用分组求和法、错位相减法和裂项求和法能求出数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）∵各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S ，满足=2S n +n+4，∴2S n =﹣n ﹣4，①当n ≥2时，，②①﹣②，得：2a n =﹣1，∴，∵a n ＞0，∴a n+1=a n +1，∵a 2﹣1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项，∴，即（a 1+2）2=（a 1+1﹣1）×（a 1+6），解得a 1=2，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2+（n ﹣1）×1=n+1． b 1=a 2﹣1=（2+1）﹣1=2， b 2=a 3=3+1=4，∴等比数列{b n }的公比q===2，∴b n ==2×2n ﹣1=2n ．（2）∵c n =﹣==，∴数列{c n }的前n 项和：T n =（+…+）﹣（）=（+…+）﹣（），设S n =+…+，③则=，④③﹣④，得==﹣=1﹣﹣．∴T n ==．18．已知向量=（cos ωx ﹣sin ωx ，sin ωx ），=（﹣cos ωx ﹣sin ωx ，2cos ωx ），设函数f （x ）=•+λ（x ∈R ）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1） （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若y=f （x ）的图象经过点（，0）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；正弦函数的定义域和值域． 【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f （x ）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f （x ）化为y=Asin （ωx+φ）+k 型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的值域．【解答】解：（1）∵f （x ）=•+λ=（cos ωx ﹣sin ωx ）×（﹣cos ωx ﹣sin ωx ）+sin ωx ×2cos ωx+λ=﹣（cos 2ωx ﹣sin 2ωx ）+sin2ωx+λ=sin2ωx ﹣cos2ωx+λ=2sin （2ωx ﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+k π，k ∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f （x ）的最小正周期为=（2）∵f （）=0∴2sin （2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f （x ）=2sin （x ﹣）﹣由x ∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]19．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．【解答】解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，即C=，∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，=；当cosA=0，即A=，此时S△ABC当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S=；△ABC（2）∵=，∴|CD|2==，∵cosC=，c=2，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，则|CD|的范围为（1，]．20．已知a为常数，函数，（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2） ①求实数a 的取值范围；②求证：且x 1x 2＞1（其中e 为自然对数的底）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）把a=0代入函数解析式，求得导函数，由导函数的零点得到函数的单调性，由此求得函数的最小值；（2）①由f （x ）有两个极值点，可得导函数有两个不同的零点，进一步转化为有两个不同解，令φ（x ）=，利用导数求其最大值，再结合φ（）=0，可得a ∈（0，1），且x 1∈（）；②由①可得，1+lnx 1=ax 1，f （x 1）=，消去a 可得（x 1lnx 1﹣x 1），x 1∈，构造函数g （x ）=xlnx ﹣x ，x ∈（），利用导数求得g （x ）的单调性，即可证得；由①可得lnx 1=ax 1﹣1，lnx 2=ax 2﹣1，联立两式可得=，令t=，构造函数，经过三次求导得答案．【解答】解：（1）当a=0时，f （x ）=xlnx ，f′（x ）=1+lnx ，当x ∈（0，）时，f′（x ）＜0，当x ∈（）时，f′（x ）＞0，∴；（2）①f′（x ）=1+lnx ﹣ax ，由于f （x ）有两个极值点，可得1+lnx ﹣ax=0有两个不同解，即有两个不同解，令φ（x ）=，则φ′（x ）=，φ′（1）=0，当x ∈（0，1）时，φ′（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，φ′（x ）＜0，∴φ（x ）max =φ（1）=1，且φ（）=0，由数形结合可得a ∈（0，1），且x 1∈（），②由①可得，1+lnx 1=ax 1，f （x 1）=，消去a 可得（x 1lnx 1﹣x 1），x 1∈，构造函数g （x ）=xlnx ﹣x ，x ∈（），g′（x ）=lnx ＜0，∴g （x ）在（）上单调递减，则，再证x 1x 2＞1：由①可得lnx 1=ax 1﹣1，lnx 2=ax 2﹣1，将两式相加可得lnx 1x 2=a （x 1+x 2）﹣2，两式相减可得lnx 1﹣lnx 2=a （x 1﹣x 2），即，代入lnx 1x 2=a （x 1+x 2）﹣2，可得=，令t=，构造函数，h′（t ）=，再令k （t ）=t 2﹣1﹣2tlnt ，t ∈（0，1），k′（t ）=2（t ﹣1﹣lnt ），再令g （t ）=t ﹣1﹣lnt ，g′（t ）=1﹣，可得g （t ）＞g （1）=0，进而k （t ）单调递增，可得k （t ）＜k （1）=0，∴h （t ）单调递增，由洛必达法则，，∴h （t ）＞0，lnx 1x 2＞0，则x 1x 2＞1．21．已知函数f （x ）=e x （2x ﹣1），g （x ）=ax ﹣a （a ∈R ）． （1）若y=g （x ）为曲线y=f （x ）的一条切线，求a 的值； （2）已知a ＜1，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）＜g （x 0），求a 的取值范围． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出导数，设出切点（m ，n ），求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=e m （2m+1），又n=am ﹣a=e m （2m ﹣1），解方程可得a 的值； （2）函数f （x ）=e x （2x ﹣1），g （x ）=kx ﹣k ，问题转化为存在唯一的整数x 0使得f （x 0）在直线y=kx ﹣k 的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣k ＞f （0）=﹣1且f （﹣1）=﹣3e ﹣1≥﹣k ﹣k ，解关于k 的不等式组可得． 【解答】解：（1）f′（x ）=e x （2x ﹣1）+2e x =e x （2x+1）， 设切点为（m ，n ），由题意可得a=e m （2m+1）， 又n=am ﹣a=e m （2m ﹣1），解方程可得，a=1或4；（2）函数f （x ）=e x （2x ﹣1），g （x ）=ax ﹣a由题意知存在唯一的整数x 0使得f （x 0）在直线y=ax ﹣a 的下方， ∵f′（x ）=e x （2x ﹣1）+2e x =e x （2x+1），∴当x ＜﹣时，f′（x ）＜0，当x＞﹣时，f′（x）＞0，∴当x=﹣时，f（x）取最小值﹣2，当x=0时，f（0）=﹣1，当x=1时，f（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1．请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为=0，把代入即可得出，由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ2=4ρcosθ，代入化为直角坐标方程．（2）联立，解出再化为极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为．【解答】解；（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为=0，把代入可得： =0，由曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos θ，变为ρ2=4ρcos θ，化为x 2+y 2﹣4x=0．（2）联立，解得或，∴直线l 与曲线C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为，．【选修4-5：不等式选讲】23．设函数f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+1|（a ＞0），g （x ）=x+2． （1）当a=1时，求不等式f （x ）≤g （x ）的解集；（2）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题． 【分析】（1）当a=1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． （2）由题意可得，|2x ﹣a|+|2x+1|﹣x ﹣2≥0 恒成立．令h （x ）=|2x ﹣a|+|2x+1|﹣x ﹣2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a 的范围． 【解答】解：（1）当a=1时，不等式f （x ）≤g （x ）即|2x ﹣1|+|2x+1|≤x+2，等价于①，或②，或③．解①求得 x 无解，解②求得0≤x ＜，解③求得≤x ≤，综上，不等式的解集为{x|0≤x ≤}．（2）由题意可得|2x ﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x ﹣a|+|2x+1|﹣x ﹣2≥0 恒成立．令h （x ）=|2x ﹣a|+|2x+1|﹣x ﹣2= （a ＞0），易得h （x ）的最小值为﹣1，令﹣1≥0，求得a ≥2．。
安徽省2017_2018学年高二数学上学期期中试题文
安徽省2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文时间120分钟，满分100分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真的是( )A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m2．设P 是异面直线a ，b 外的一点，则过点P 与a ，b 都平行的平面( )A ．有且只有一个B ．恰有两个C ．不存在或只有一个D ．有无数个 3．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝05．如图所示的是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为 DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在原正四面体中，给出下列结论： ① GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 所成角为60°；④DE 与MN 垂直．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．一个四面体的所有棱长为( )A ．3πB ．4πC ．D ．6π7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为( )A ．45 B ．35 C ．5 D ．58．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A ．3x －2y ＋2＝0B ．2x ＋3y ＋7＝0C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝09．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，PC 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．当AE ⊥PB 时，AEF ∆一定为直角三角形 B ．当AF ⊥PC 时，AEF ∆一定为直角三角形 C ．当EF ∥平面ABC 时，AEF ∆一定为直角三角形D ．当PC ⊥平面AEF 时，AEF ∆一定为直角三角形10．如果直线l 将圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0平分，且不通过第三象限，则l 的斜率的取值范围是( )A.12-,⎛⎫∞ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.12,-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.12,+⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．1 12．已知点()1,0A -，()1,0B ，()0,1C ，直线()0y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )A ．()0,1B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上)13．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，若圆C的面积最小，则圆C 的方程为________．14．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值为________．15．在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于A ，B 两点，O为坐标原点，若圆上有一个C 满足5344OC OA OB →→→=+，则r = ．16．在三棱锥S ABC -中，090SAB SAC ACB ∠=∠=∠=，2AC =，BC =，SB =则直线SC 与AB 所成角的余弦值是 ．三、解答题(本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分9分) 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0，l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是10.(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 318．(本题满分9分)如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1AA 1＝3，点E 在棱B 1B 上运动． (1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)当三棱锥B 1A 1D 1E 的体积为23时，求异面直线AD ，D 1E 所成的角．19．(本小题满分10分)已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．20．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，2AB =，EB =1EF =，BC =M是BD的中点．（1）求证：EM ∥平面ADF ； （2）求多面体EFABCD 的体积．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1C ：()()22454x y -+-=和圆2C ：()()22314x y ++-=．（1）若直线1l 过点()2,0A ，且与圆1C 相切，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点()4,0B ，且被圆2C 截得的弦长为2l 的方程； （3）直线3l 的方程是52x =，证明：直线3l 上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线4l 和5l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线4l 被圆1C 截得的弦长与直线5l 被圆2C 截得的弦长相等．高二上学期期中考试数学文试卷答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中13．[答案] (x －2)2＋(y －1)2＝5[解析] 由题易知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，能覆盖它且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径为|PQ |2＝5，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.14．[答案]6 415．[答案] r16．（文）[答案（理）[答案三、解答题(本大题共6个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．解：(1)将直线l 2的方程化为2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 由a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.由于点P 在第一象限，所以排除3x 0＋2＝0.联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)；联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P （19，3718）同时满足三个条件．18．[解析](1)证明：连接BD ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， 因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以B 1B ⊥AC .又因为B 1B ∩BD ＝B ， 所以AC ⊥平面B 1BDD 1. 因为D 1E ⊂平面B 1BDD 1， 所以AC ⊥D 1E .(2)因为V 三棱锥B 1A 1D 1E ＝V 三棱锥E A 1B 1D 1，EB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1.所以V 三棱锥E A 1B 1D 1＝13S △A 1B 1D 1·EB 1.又因为S △A 1B 1D 1＝12A 1B 1·A 1D 1＝1，所以V 三棱锥E A 1B 1D 1＝13EB 1＝23，所以EB 1＝2.因为AD ∥A 1D 1，所以∠A 1D 1B 1为异面直线AD ，D 1E 所成的角． 在Rt △EB 1D 1中，可求得ED 1＝2 2. 因为D 1A 1⊥平面A 1ABB 1，所以D 1A 1⊥A 1E .在Rt △EA 1D 1中，cos ∠A 1D 1E ＝222＝12，所以∠A 1D 1E ＝60°，所以异面直线AD ，D 1E 所成的角为60°.19．[解析] (1)方程即(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝－7t 2＋6t ＋1，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0.∴－17<t <1.(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∴t ＝37时，r max ＝477，此时圆面积最大，所对应的圆的方程得⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 在圆内． ∴8t 2－6t <0，即0<t <34.20．解析：（2）221．解析：。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
安徽省郎溪中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理
安徽省郎溪中学2018-2019学年第一学期高二年级期中考试数学学科
试题(理)
考试时间：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2．某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，
则x ＋y ＝( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
3．下列各数中，最小的是( )
A ．101010(2)
B ．111(5)
C ．32(8)
D ．54(6)
4. 有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A.至多有1次中靶
B.2次都中靶
C.2次都不中靶
D.只有1次中靶
5. 从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．23
6. 已知x 与y 之间的一组数据：。
【配套K12】安徽省宣城市三校(郎溪中学、宣城二中、广德中学)2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题
安徽省宣城市三校（郎溪中学、宣城二中、广德中学）2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题理（含解析）一、选择题1. 某高中生共有2400人，其中高一年级800人，高二年级700人，高三年级900人，现采用分层抽样抽取一个容量为48的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（）A. 15，21，12 B. 16，14，18 C. 15，19，14 D. 16，18，14【答案】B【解析】由分层抽样在各层中的抽样比为,则在高一年级抽取的人数是人, 在高二年级抽取的人数是人, 在高三年级抽取的人数是人,故选B.2. 把45化为二进制数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以,故选A.3. 如图所示的程序框图中,若输入的值分别为.则输出的值为（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】B【解析】输入故,第一次循环: ;第二次循环: ;第三次循环: ;输出故选B.4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则的值分别为（）A. 8，6B. 8，5C. 5，8D. 8，8【答案】A【解析】由茎叶图知,甲的数据为: ,则,解得;乙的数据为,则,解得,故选A.5. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加个单位；③老师在某班学号为1～50的50名学生中依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是系统抽样；其中正确的个数是( )A. B. 2 C. D. 0【答案】B【解析】对于①,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，数据的稳定性不变,即方差恒不变,正确;对于②,回归直线的一次项系数为-5，则当变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位,命题错误;对于③,抽取的学号间隔相等,故为系统抽样,命题正确;综上可得,正确的命题个数是2个,选B.6. 四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：( )①与负相关且. ②与负相关且③与正相关且④与正相关且其中正确的结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④【答案】C【解析】由回归直线方程可知, ①③与负相关, ②④与正相关, ①④正确,故选C.点睛: 两个变量的线性相关:(1)正相关:在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域．对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关:在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系为负相关．(3)线性相关关系、回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．7. 连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是( )A. 事件“”的概率为B. 事件“是奇数”与“”互为对立事件C. 事件“”与“”互为互斥事件D. 事件“”的概率为【答案】D【解析】对于A,,则概率为,选项错误;对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;综上可得,选D.点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.8. 下列选项中，的一个充分不必要条件的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选项A中，当时，成立，但不成立，故A不正确；选项B中，由可得，故一定成立，反之不成立，故B正确；选项C中，当时，成立，但不成立，故C不正确；选项D中，由得，但不一定成立，故D不正确。
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2017-2018学年安徽省宣城二中、郎溪中学、广德中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）某高中生共有2400人，其中高一年级800人，高二年级700人，高三年级900人，现采用分层抽样抽取一个容量为48的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（）A．15，21，12 B．16，14，18 C．15，19，14 D．16，18，142．（3分）把45化为二进制数为（）A．101101（2）B．101111（2）C．111101（2）D．110101（2）3．（3分）如图所示的程序框图中，若输入n，x的值分别为3，2．则输出v的值为（）A．9 B．18 C．35 D．以上都不对4．（3分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（）A．8，6 B．8，5 C．5，8 D．8，85．（3分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③老师在某班学号为1～50的50名学生中依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是系统抽样；其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．06．（3分）四位同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下结论：①y与x负相关且=﹣2.756x+7.325；②y与x负相关且=3.476x+5.648；③y与x正相关且=﹣1.226x﹣6.578；④y与x正相关且=8.967x+8.163．其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①②7．（3分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t=m+n，则下列说法正确的是（）A．事件“t=12”的概率为B．事件“t是奇数”与“m=n”互为对立事件C．事件“t=2”与“t≠3”互为互斥事件D．事件“t＞8且mn＜32”的概率为8．（3分）下列选项中，＞的一个充分不必要条件的是（）A．＞B．lga＞lgb C．a2＞b2D．e a＞e b9．（3分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x10．（3分）点P是双曲线=1（（a＞0，b＞0）上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且=0，若△F1PF2的面积是18，则a+b的值等于（）A．7 B．9 C．D．11．（3分）已知双曲线=l（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．12．（3分）已知椭圆的标准方程为，F1，F2为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（）A． B．C．（0，1） D．二、填空题13．（3分）把“五进制”数转化为“七进制”数：321（5）=（7）．14．（3分）命题p：“∃x0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为．15．（3分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x 2＞y 2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是．16．（3分）已知椭圆和双曲线有共同焦点F1F2是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是．三、解答题17．在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入，已知研发投入x（十万元）与利润y（百万元）之间有如下对应数据：若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：（1）线性回归方程y=bx+a；（2）估计x=10时，利润是多少？附：利用“最小二乘法”计算a，b的值时，可根据以下公式：．18．已知命题p：方程表示椭圆，命题q：∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0，．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真，¬q为真，求实数m的取值范围．19．为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是：[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600]，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在[0，600]元的区间内）．（1）若在消费金额为[400，600]元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自[400，500）元和[500，600）元区间（两区间都有）的概率；（2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案．方案一：全场商品打八五折．方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由．20．已知点C在圆（x+1）2+y2=16上，A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），线段BC的垂直平分线交线段AC于点M（1）求点M的轨迹E的方程；（2）设圆x2+y2=r2与点M的轨迹E交于不同的四个点D，E，F，G，求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标．21．已知椭圆C1：，曲线C2上的动点M（x，y）满足：．（1）求曲线C2的方程；（2）设O为坐标原点，第一象限的点A，B分别在C1和C2上，=2，求线段|AB|的长．22．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C（0，1），离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．2017-2018学年安徽省宣城二中、郎溪中学、广德中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）某高中生共有2400人，其中高一年级800人，高二年级700人，高三年级900人，现采用分层抽样抽取一个容量为48的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（）A．15，21，12 B．16，14，18 C．15，19，14 D．16，18，14【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是800×=16人，高二年级抽取的人数是700×=14人，高三年级抽取的人数是900×=18人，故选：B．2．（3分）把45化为二进制数为（）A．101101（2）B．101111（2）C．111101（2）D．110101（2）【解答】解：45÷2=22 (1)22÷2=11 011÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)故45（10）=101101（2）故选：A．3．（3分）如图所示的程序框图中，若输入n，x的值分别为3，2．则输出v的值为（）A．9 B．18 C．35 D．以上都不对【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下；v=1，i=2，v=1×2+2=4；i=1，v=4×2+1=9；i=0，v=9×2+0=18；i=﹣1，跳出循环，输出v的值为18．故选：B．4．（3分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（）A．8，6 B．8，5 C．5，8 D．8，8【解答】解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+x，24，27，甲组数据的平均数为18，∴5（9+12+10+x+24+27）=90，解得x=8；乙组数据为：9，15，10+y，18，24，中位数为16，∴10+y=16，解得y=6；∴x，y的值分别为8，6．故选：A．5．（3分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③老师在某班学号为1～50的50名学生中依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是系统抽样；其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；②设有一个回归方程=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，错误；③老师在某班学号为1～50的50名学生中依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法间隔相等，故是系统抽样，正确；故选：B．6．（3分）四位同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下结论：①y与x负相关且=﹣2.756x+7.325；②y与x负相关且=3.476x+5.648；③y与x正相关且=﹣1.226x﹣6.578；④y与x正相关且=8.967x+8.163．其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①②【解答】解：根据题意，依次分析4个结论：对于①、y与x负相关且=﹣2.756x+7.325，此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；对于②、y与x负相关且=3.476x+5.648，此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；对于③、y与x正相关且=﹣1.226x﹣6.578，此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是负相关；对于④、y与x正相关且=8.967x+8.163，此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；故②③一定错误；故选：B．7．（3分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t=m+n，则下列说法正确的是（）A．事件“t=12”的概率为B．事件“t是奇数”与“m=n”互为对立事件C．事件“t=2”与“t≠3”互为互斥事件D．事件“t＞8且mn＜32”的概率为【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记t=a+b，则事件“t=12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m=n”为互斥不对立事件，故B错误；事件“t=2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”共有9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D．8．（3分）下列选项中，＞的一个充分不必要条件的是（）A．＞B．lga＞lgb C．a2＞b2D．e a＞e b【解答】解：由lga＞lgb，可得a＞b＞0，可得，反之不成立，例如取a=2，b=0．因此的一个充分不必要条件的是lga＞lgb．故选：B．9．（3分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由题意可得，双曲线的b=1，c=，则a==，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选：A．10．（3分）点P是双曲线=1（（a＞0，b＞0）上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且=0，若△F1PF2的面积是18，则a+b的值等于（）A．7 B．9 C．D．【解答】解：如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m﹣n=2a，mn=18，m2+n2=4c2，消去m，n可得：b=3，∵=，c2=a2+b2．∴a2=a2+b2，解得a2=b2=32，a=4．∴a+b=7．故选：C．11．（3分）已知双曲线=l（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=4，圆（x﹣2）2+y2=6的半径为，∴圆心（2，0）到渐近线的距离为，即=，解得b=a∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：D．12．（3分）已知椭圆的标准方程为，F1，F2为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（）A． B．C．（0，1） D．【解答】解：设P（x0，y0），（0＜x0＜2），e=则|PF1|=a+ex0，|PF1|=a﹣ex0，|PO|=．∴==．∵0＜x0＜2，∴，∴的取值范围为（0，1）．故选：C．二、填空题13．（3分）把“五进制”数转化为“七进制”数：321（5）=152（7）．=3×52+2×51+1×50=86，【解答】解：321（5）把十进制的86化为七进制：86÷7=12…2，12÷7=1…5，1÷7=0…1，所以结果是152（7）故答案为：152．14．（3分）命题p：“∃x0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为∀x∈R，x2﹣1＞0．【解答】解：命题p：“∃x0∈R“，x0﹣1≤0为特称命题，其否定为全称命题，∴￢p为∀x∈R，x2﹣1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣1＞015．（3分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x 2＞y 2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是②③．【解答】解：显然命题p为真，命题q为假，则￢q为真，￢p为假．所以命题①为假；命题②为真；命题③为真；命题④为假．故正确的命题是②③．故答案为②③16．（3分）已知椭圆和双曲线有共同焦点F1F2是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos，即a12+3a22=4c2，变形可得：+=4，又由+≥2，即2≤4，变形可得：≤，即的最大值是；故答案为：三、解答题17．在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入，已知研发投入x（十万元）与利润y（百万元）之间有如下对应数据：若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：（1）线性回归方程y=bx+a；（2）估计x=10时，利润是多少？附：利用“最小二乘法”计算a，b的值时，可根据以下公式：．【解答】解：（1）根据表中数据，计算=×（2+3+4+5+6）=4，=×（2+4+5+6+7）=4.8；…（2分），，，，∴，∴=﹣=4.8﹣1.2×4=0，∴线性回归方程为y=1.2x；…（7分）（2）当x=10时，y=1.2×10=12，所以估计利润为1200万元．…（10分）18．已知命题p：方程表示椭圆，命题q：∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0，．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真，¬q为真，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当命题q为真时，即∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0，则m≤0，或，∴解得，m≤1，（2）∵命题p：方程表示椭圆∴当命题p为真时，则∴解得，﹣6＜m＜7，且m≠，若p∨q为真，￢q为真，则p真q假；即1＜m＜7．19．为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是：[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600]，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在[0，600]元的区间内）．（1）若在消费金额为[400，600]元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自[400，500）元和[500，600）元区间（两区间都有）的概率；（2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案．方案一：全场商品打八五折．方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由．【解答】解：（1）由直方图可知，按分层抽样在[400，600]内抽6张，则[400，500）内抽4张，记为a，b，c，d，在[500，600]内抽2张，记为E、F，设两张小票来自[400，500）和[500，600）为事件A，从中任选2张，有以下选法：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种．其中，满足条件的有aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF，共8种，∴这2张小票来自[400，500）元和[500，600）元区间（两区间都有）的概率．…（5分）（2）由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05．方案一购物的平均费用为：0.85×（50×0.1+150×0.2+250×0.25+350×0.3+450×0.1+550×0.05）=0.85×275=233.75（元）…（9分）方案二购物的平均费用为：50×0.1+130×0.2+230×0.25+270×0.3+370×0.1+430×0.05=228（元）．∴方案二的优惠力度更大．…（12分）20．已知点C在圆（x+1）2+y2=16上，A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），线段BC的垂直平分线交线段AC于点M（1）求点M的轨迹E的方程；（2）设圆x2+y2=r2与点M的轨迹E交于不同的四个点D，E，F，G，求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标．【解答】解：（1）由已知得：|MA|+|MB|=|AC|=4，而|AB|=2＜4，所以点M的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a=4的椭圆，设M（x，y），所以点M的轨迹E的方程：．（2）由对称性可知，四边形DEFG为矩形，不妨设D（x1，y1）为椭圆E上第一象限的点，=4x1y1，则S矩形DEFG而x1＞0，y1＞0，且，所以，当且仅当，即，时，取“=”，所以矩形DEFG的面积的最大值为，此时，四个点的坐标为：，，，．21．已知椭圆C1：，曲线C2上的动点M（x，y）满足：．（1）求曲线C2的方程；（2）设O为坐标原点，第一象限的点A，B分别在C1和C2上，=2，求线段|AB|的长．【解答】解：（1）由已知，动点M到点，的距离之和为8，且|PQ|＜8，所以动点M的轨迹为椭圆，而a=4，，所以b=2，故椭圆C2的方程为．…（3分）（2）解：A，B两点的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），由=2，及（1）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx．将y=kx代入中，得（1+4k2）x2=4，所以，将y=kx代入中，得（4+k2）x2=16，所以，又由=2，得，即，解得，故…（12分）22．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C（0，1），离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为：，由已知：得：，所以，椭圆E的方程为：．（2）由已知直线l过左焦点F（﹣1，0）．当直线l与x轴垂直时，，此时，则，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1）由得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，所以，而，由已知得，而==，所以，则k4+k2﹣2=0，所以k=±1，所以直线l的方程为：x﹣y+1=0或x+y+1=0．。