2015-2016年河南省洛阳市高三(上)数学期中试卷和答案(理科)
河南省洛阳市2015—2016学年高三年级第二次统一考试——数学(理)剖析
洛阳市2015——2016学年高三年级第二次统一考试数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足（z －1）（1＋i ）＝2（i 为虚数单位），则｜z ｜＝A ．1B ．5CD 2．若命题p ：x ∀∈（0，＋∞），21log ()x x＋≥1，命题q ：0x ∃∈R ，20x －0x ＋1≤0，则下列命题为真命题的是A ．p ∨qB ．p ∧qC ．（p ⌝）∨qD ．（p ⌝）∧（q ⌝） 3．若f （x ）＝xae－－xe 为奇函数，则f （x －1）＜e －1e的解集为 A ．（－∞，0） B ．（－∞，2）C ．（2，＋∞）D ．（0，＋∞）4．执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．555．已知f （x ）sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0，｜ϕ｜＜2π） 满足f （x ）＝－f （x ＋2π），f （0）＝12，则g （x ）＝2cos （ωx ＋ϕ）在区间[0，2π]上的最大值为A ．2BC ．1D ．－26．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BCBE ＝2EC ，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝3，则AE uu u r ·BF uu u r的值为A ．4 BC ．0D ．－4 7．设D 为不等式组0,0,230,x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤＋－≤表示的平面区域，圆C ：22(5)x y －＋＝1上的点与区域D 上的点之间的距离的取值范围是 A ．11） B ．－11] C ．D ．－11] 8．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．57＋24πB ．57＋15πC ．48＋15πD ．48＋24π9．已知双曲线C ：2218y x －＝的左右焦点分别为 F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左右两支分别交于 A ，B 两点，且｜AF 1｜＝｜BF 1｜，则｜AB ｜＝A ．B ．3C ．4D ．110．设等比数列{n a }的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：a 1＞1，a 2015a 2016＞1，2015201611a a --＜0．给出下列结论：（1）0＜q ＜1；（2）a 20l5a 2017－1＞0；（3）T 2016的值是n T 中最大的；（4）使n T ＞1成立的最大自然数n 等于4030．其中正确的结论为 A ．（1），（3） B ．（2），（3） C ．（1），（4） D ．（2），（4）11．已知正四面体S －ABC 的外接球O 过AB 中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为A ．4πB ．6πC ．163π D ．43π12．若函数f （x ）＝xe ·（2x ＋ax ＋b ）有极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且f （x 1）＝x 1，则关于x 的方程2()f x ＋（2＋a ）f （x ）＋a ＋b ＝0的不同实根个数为 A ．0 B ．3 C ．4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题。
河南省洛阳市高三数学上学期期中试题 理(含解析)
洛阳市2014-2015学年高中三年级期中考试数学试卷（理A）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、、复数、导数、圆锥曲线、函数的性质、立体几何，三选一等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷.第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【题文】1.则M N=A.[)1,0-B.(]21--，C.(]01，D.(0,2)【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C x2-2x＜0⇔0＜x＜2，则集合M={x|0＜x＜2}，|x|≤1⇔-1≤x≤1，则集合N={x|-1≤x≤1}，则M∩N={x|0＜x≤1}=(0,1]故答案为C【思路点拨】解x2-2x＜0可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＜1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【题文】2.则a b+=A.7B.-7C.1D.-1【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】B：∵，且（2=a+bi，∴34ab=-⎧⎨=-⎩．则a+b=-7．故答案为：B．【思路点拨】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后利用复数相等的条件求得a，b的值，则a+b可求．【题文】3.设等差数列{}na的前n项和为nS，若6718a a=-，则12=SA.18B.54C.72D.108 【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】D ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a6=18-a7，∴a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．【思路点拨】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解．【题文】4.为【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案解析】A∴（2b ）2=（2a ）•（2c ）∴b2=ac 又∵b2=c2-a2∴c2-a2=ac ∴e2-e-1=0∴e ＞1∴A ．【思路点拨】由实轴长、虚轴长、焦距成等比数列可得b2=ac 再结合b2=c2-a2可得c2-a2=ac 即e2-e-1=0则可求出e 【题文】5.已知向量()20OB =，,向量()22OC =，,(2CA =cos 量OA与向量OB 的夹角的取值范围是【知识点】单元综合F4【答案解析】B 由题知点A 在以C （2，2∴如图示，OD ，OE为圆的切线，在△COD 中，，所以∠A 在D 处时，则OA OB与夹角最小为当A 在E 处时，则OA OB与夹角最大为∴OA OB 与夹角的取值范围是∴故答案为B【思路点拨】由题知点A 在以C （2，2）为圆心，结合来解题，由图来分析其夹角的最大最小值点.【题文】6.执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则判断框内应该是A.5n ≤B.6n ≤C.7n ≤D.8n ≤【知识点】算法与程序框图L1【答案解析】B 第一次循环，S=1+2=3，n=2，满足条件， 第二次循环，S=3+22=7，n=3，满足条件， 第三次循环，S=7+23=15，n=4，满足条件， 第四次循环，S=15+24=31，n=5，满足条件， 第五次循环，S=31+25=63，n=6，此时满足条件，第六次循环，S=63+26=127，n=7，此时不满足条件输出S ，所以判断框的条件为n≤6？ 故选B ．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图，可得该程序的作用是计算S=1+2+22+…+2n 的值，利用S=127，求出满足条件的n ，并确定循环的条件，据此即可得到答案．【题文】7.p 是q 的A.充分不必要 条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】AP ：-2≤x≤-1，-2≤x≤p 是q 的充分不必要条件，故选A ．【思路点拨】由题设知：命题p ：-2≤x≤-1，命题q ：-2≤x≤由此得到p 是q 的充分不必要条件，【题文】8.已知x,y 都是区间内任取的一个实数 ，则使得sin y x ≤的概率是【知识点】几何概型K3【答案解析】C 此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为A【思路点拨】根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．【题文】9.2，则该展开式中常数项为A.-40B.40C.-20D.20 【知识点】二项式定理J3【答案解析】B 令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为故其常数项为-22×C53+23C52=40故答案为B【思路点拨】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项.【题文】10.若()2cos()(0)f x x mωϕω=++>对任意实数tm的值等于A.-3或1B.-1或3C.3±D.1±【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】A 因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有，所以函数的对称轴是，所以-1=±2+m，所以m=1或-3．故答案为：A．【思路点拨】通过，判断函数的对称轴，就是函数取得最值的x值，结合，即可求出m的值．【题文】11.过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O则AOB的面积为【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案解析】C 设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=-1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθm=2+mcos（π-θ）∴AOB的面积为θ【思路点拨】设∠AFx=θ（0＜θ＜π，利用AF|=3，可得点A到准线l：x=-1的距离为3，从而cosθ|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【题文】12.设()f x是定义在R上的函数，其导函数为()f x'，若()()1f x f x'+>，(0)=2015f，则不等式()2014x xe f x e>+（其中e为自然对数的底数）的解集为A.()2014+∞，B.()()02014-∞+∞，，C.()()00-∞+∞，，D.()0+∞，【知识点】导数的应用B12【答案解析】D 设g（x）=exf（x）-ex，（x∈R），则g（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）-e0=2015-1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．【思路点拨】构造函数g（x）=exf（x）-ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．第II卷（非选择题，共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.【题文】13.若等比数列{}na满足243520,40a a a a+=+=，则57a a+=_________. 【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】160 设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴an=a1qn-1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．【思路点拨】设出等比数列的首项和公比，由已知列方程组求出首项和公比，即可求出a5+a7．【题文】14.已知实数x,y满足1,21,.yy xx y m≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y=-的最小值是-1，则实数m等于____.【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】3 作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x-y的最小值是-1，得y=x-z，即当z=-1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由121y xy x=+⎧⎨=-⎩，解得23xy=⎧⎨=⎩，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，即直线方程为x+y=5，平移直线y=x-z，当直线y=x-z经过点B时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大．由51x yy+=⎧⎨=⎩，解得41xy=⎧⎨=⎩，即B（4，1），此时zmax=x-y=4-1=3，故答案为：3．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x-y的最小值是-1，确定m 的取值，然后利用数形结合即可得到目标函数的最大值．【题文】15.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的表面积为_____________.【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．【题文】16._________.【知识点】基本不等式E6【答案解析】分子分母同除2x 得到【思路点拨】利用基本不等式，求出函数f（x）的最大值与最小值，即可得出结论．【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】17.（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且角A满足（1，求ABC的面积；（2【知识点】单元综合C9【答案解析】（1（1Aπ<<…………2分在ABC 中，由余弦定理得解得：b=4，（b=-2舍去）. ………4分ABCS=………6分(2)原式22sin cos()sin cos()sin cos()333R CA C A C A C πππ==+++……9分33cos()cos()323C C ππ++ (12)分【思路点拨】利用余弦定理求出边进而求面积，用三角形边角之间关系求出最后结果。
洛阳市——高三年级第二次统一考试.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作洛阳市2015——2016学年高三年级第二次统一考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－2i ，则z 1·z 2的虚部为A ．iB ．－iC ．1D ．－1 2．已知集合A ＝{x ｜x ＜－2}，B ＝{x ｜2x ＞4}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知数列{n a }满足1n a ＋＝2n a ，n ∈N ﹡，a 3＝4，则数列{n a }的前5项和为A ．32B ．31C ．64D ．63 4．设P （x ，y ）满足约束条件4,3.x y x ⎧⎨⎩＋2≤＋y ≤则点P 对应的区域与坐标轴围成的封闭图形面积为 A ．32 B ．52 C ．72 D ．1125．已知离心率为2的双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，则该双曲线的渐近线方程为 A ．y ＝±3x B ．y ＝±2xC ．y ＝±33x D ．y ＝±22x 6．将函数y ＝cos （2x ＋3π）的图象向左平移6π个单位，得到函数y ＝f （x ）的图象，则下列 说法正确的是A ．f （x ）是偶函数B ．f （x ）周期为2πC ．f （x ）图象关于x ＝6π对称 D ．f （x ）图象关于（－6π，0）对称 7．如图所示的程序框图所表示的算法功能是A ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最小整数nB ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最大整数nC ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最大整数n ＋2D ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最小整数n ＋2 8．函数f （x ）＝ln 2xx的图象大致为9．已知定义在R 上的奇函数f （x ）都有f （x ＋52）＋f （x ）＝0，当－54≤x ≤0时，f （x ） ＝2x＋a ，则f （16）的值为A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－3210．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，AC ＝12，BC ＝5，若一个球和它的各个面都 相切，则该三棱柱的表面积为A ．60B ．180C ．240D ．360 11．已知P （a ，b ）为圆22x y ＋＝4上任意一点，则2214a b＋最小时，2a 的值为 A ．45 B ．2 C ．43D ．3 12．设f （x ）＝324(0),2(0).ax x x x e x ⎧⎪⎨⎪⎩＋6＋2≤＞在区间[－2，2]上最大值为4，则实数a 的取值范围为A ．[12ln2，＋∞）B ．[0，12ln2] C ．（－∞，0] D ．（－∞，12ln2] 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题。
洛阳市高三期中考试数学理
洛阳市2016—2017学年高中三年级期中考试数 学 试 卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，，则（ ） {}Z x x x A ∈=，＜＜3log 12{}95＜x x B ≤==⋂B A A ． B. C ． D ．),5[2e ]7,5[}7,6,5{}8,7,6,5{2．复数的共扼复数是（ ） ii++12 A ． B ． C. D ．i 2123+-i 2123--i 2123-i 2123+3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） n m ,βα, A ．若,，则 B ．若，，则 α//m β//m βα//α//m βα//β//m C ．若，，则 D ．若，，则 α⊂m β⊥m βα⊥α⊂m βα⊥β⊥m 4．函数的一个单调递减区间是（ ）)42cos(ln π+=x y A ． B ． C ． D ． 8,85(ππ--8,83(ππ--8,8(ππ--)83,8(ππ-5．为△ABC 内一点，且，，若三点共线，则O 02=++OC OB OA AC t AD =D O B ,,t 的值为（ ） A ．B ．C ． D. 413121326．一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（） A ．B ．C ． D. 1213142217.由及轴所围成的平面图形的面积是（ ） 2,1,===x xy x y x A ． B ． C ． D.12ln +2ln 2-212ln -212ln +8．直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 在BC 上，CD ＝2DB ，tan ∠BAD ＝，则＝51BAC ∠sin （ ）A ．B ．C ． D.或22231313322 131339．已知函数是上的奇函数，且满足，当时，)(x f R )()2(x f x f -=+]1,0[∈x x x f =)(，则方程在182)(+-=x x x f 解的个数是（ ）),0(+∞ A ．3 B ．4 C ．5 D.6 10．已知数列为等比数列的前项和，，则（ ） n S {}n a n 14,2248==S S =2016S A ． B ． C ． D.22252-22253-221008-222016-11．已知三棱锥中，，面，∠BAC ＝，则三ABC P -1===AC PB PA ⊥PA ABC 32π棱锥的外接球的表ABC P -面积为（ ）A ．B ．C ． D. π3π4π5π812．定义在上的函数满足：，且，则的最R )(x f xe x xf x f ∙=-')()(21)0(=f )()(x f x f '大值为（ ）A ．0B ．C ．1 D.2 21第Ⅱ卷(非选择题，共90分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域内作答。
河南省洛阳市高三数学上学期期中试题 文(含解析)
洛阳市2014-2015学年高中三年级期中考试数学试卷（文A ）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，科核心知识的同时，突出考查考纲的基本能力兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、程序框图，向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、统计，概率等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第I 卷（选择题，共60分） 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【题文】1.设集合{}{}01,102A B m ==--，，，,若A B ⊆，则实数m=A.0B.1C.2D.3【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】D ∵集合A={0，1}，∴1∈A ．∵A ⊆B ，∴1∈B ．∵B={-1，0，m-2}，∴1=m-2．∴m=3．故选：D ．【思路点拨】本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值． 【题文】2.已知，其中i 为虚数单位,121,2z i z bi =+=+,若12z z 为实数，则实数b =A.-2B.-1C.1D.2 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】A ∵z1=1+i ，z2=2+bi ，∴z1•z2=（1+i ）（2+bi ）=2-b+（2+b ）i ， ∵z1•z 2为实数，∴2+b=0，解得b=-2故选：A【思路点拨】由题意可得z1•z2=2-b+（2+b ）i ，由实数的定义可得2+b=0，解方程可得． 【题文】3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8=32S ，则27=a a +A.1B.4C.8D.9 【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2【答案解析】C ∵等差数列{an}的前n 项和为Sn，S8=32，∴a2+a7=8．故选：C ．【思路点拨】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解． 【题文】4.在长方体1111ABCD A B C D -中，BD 与B1C1所成的角为A.30°B.60°C.90°D.不能确定，与h 有关【知识点】单元综合G12 【答案解析】B∵B1C1∥BC，∴∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角（或所成的角的平面角），∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AA1=h，∴tan∠∴异面直线BD与B1C1所成的角为60°．故选：B．【思路点拨】由B1C1∥BC，知∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角（或所成的角的平面角），由此能求出异面直线BD与B1C1所成的角为60°．【题文】5.某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y的值是A.-1B.0.5C.2D.10【知识点】算法与程序框图L1【答案解析】A 当x=0.1时，满足第一个判断框中的条件，执行“是”，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，将x=0.1代入y=lgx得y=-1故选A．【思路点拨】按照程序框图的流程，判断输入的值是否满足判断框中的条件，“是”按y=lgx 求出y．【题文】6.抛物线24y x=的焦点到双曲线A.1【知识点】双曲线及其几何性质抛物线及其几何性质H6 H7【答案解析】B ∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且双曲线的渐近线方程为，即，y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为B【思路点拨】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F （1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为即可算出所求距离．【题文】7.已知()f x 为R 上的奇函数，且满足(4)=()f x f x +，当()0,2x ∈时，2()=2f x x ，则(2015)=fA.2B.-2C.8D.-8 【知识点】函数的奇偶性与周期性B4【答案解析】B ∵奇函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）=f （x+4），∴y=f （x ）是周期为4的奇函数，又当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x2，∴f （2015）=f （503×4+3）=f （3）=f （-1）=-f （1）=-2．故答案为：B ．【思路点拨】由已知得f （2015）=f （503×4+3）=f （3）=f （-1）=-f （1）=-2．【题文】8.已知向量()cos sin a θθ=，,),(0,1)b =-，则a 与b 的夹角等于D.θ【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】C a b ⋅=cos θ×0+sin θ×（-1）=-sin θ，|a |=1，|b |=1，∴cos ＜,a b ＞a ba b⋅θ= cos ），∵θπ），＜,a b ＞∈[0，π]， ∴，y=cox 在[0，π]上单调递减，∴＜,a b ＞C ．【思路点拨】由向量夹角公式可得cos ＜,a b ＞a ba b ⋅θ=cos）， ∈（π），＜,a b ＞∈[0，π]，y=cox 在[0，π]上单调递减，可得结论．【题文】9.已知直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，则“1k =”是“△OABA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案解析】A若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离若k=1，则OABOABk=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OABA．【思路点拨】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【题文】10.已知实数x、y满足约束条件1,1,2 2.x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为7A.3B.4C. 7D.12【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】C作出不等式组1,1,2 2.x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴zmax=F（3，4）=7，即3a+4b=7．3a+4b）]，∵a＞0，b＞0，(25+12⨯2)=7，当且仅当a=b=17．故答案为：7【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时7．【题文】11.y轴的切线，则实数a的取值范围是A.(,2][2,)-∞-+∞ B.(,2(2,)-∞-+∞) C.[2,)+∞ D.(2,)+∞【知识点】导数的应用B12【答案解析】D ∵f（x），∴f'（x）由题意可知存在实数x＞0，使得f'（x），即∴x=1时等号取到），∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．【思路点拨】求出原函数的导函数，由导函数等于0得到，利用基本不等式求得的范围得答案．【题文】12.已知定义在实数集R上的函数()f x满足(1)=3f，且()f x的导函数为()f x'在R上恒有()1f x'>，则不等式()2f x x>+的解集为A.()1-∞-，B.()1+∞，C.()11-，D.()()11-∞-+∞，，【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 令F（x）=f(x)-x-2,因为F（1）=0，()f x'在R上恒有()1f x'>，为增函数，所以()2f x x>+的解集为()1+∞，，故答案为B【思路点拨】构造新函数求大于0的解，利用单调性求出。
河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含解析
2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由一元二次不等式的解法可得集合M，由绝对值不等式的解法可得集合N，进而有交集的意义可得答案．解答：解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选B．点评：本题考查集合的交集运算，关键是求出集合M、N．2．已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4C．﹣7 D．7考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等，求出a，b的值，然后利用复数的几何意义即可得到结论．解答：解：由（1+）2=a+bi得1+﹣4=a+bi，即﹣3﹣4i=a+bi，则a=﹣3，b=﹣4，解得a=1，b=2，则a+b=﹣3﹣4=﹣7，故选：C点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数相等求出a，b是解决本题的关键，比较基础．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．点评：本题考查等差数列的前12项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由实轴长、虚轴长、焦距成等比数列可得b2=ac再结合b2=c2﹣a2可得c2﹣a2=ac即e2﹣e﹣1=0则可求出e解答：解：∵双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=又在双曲线中e＞1∴e=故选A．点评：此题主要考查了求双曲线的离心率．关键是要利用题中的条件建立a，b，c的关系式再结合c2=a2+b2和两边同除ab即得到关于e的方程求解即可，但要注意双曲线中e＞1，椭圆中0＜e＜1这一隐含条件！5．已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，]考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；数形结合．分析：利用CA是常数，判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．解答：解：||=，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置OC与x轴所成的角为；与切线所成的为所以两个向量所成的最小值为；最大值为故选D点评：本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．6．执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n的值到S并输出S．解答：解：循环前，S=1，n=1第一次循环：S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；第五次循环：S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；第六次循环：S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．故选B．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：首先对p，q两个命题进行整理，得到关于x的范围，把两个条件对应的范围进行比较，得到前者的范围小于后者的范围，即属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，得到结论．解答：解：p：≤2x≤，即为﹣2≤x≤﹣1，q：﹣≤x+≤﹣2，即为﹣2≤x≤﹣∴属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对于所给的条件进行整理，得到两个条件对应的集合的范围的大小，本题是一个基础题8．已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；定积分．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．解答：解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选A点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法．9．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．解答：解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选D点评：本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．10．若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过f（t+）=f（﹣t），判断函数的对称轴，就是函数取得最值的x值，结合f（）=﹣1，即可求出m的值．解答：解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选B．点评：本题是基础题，考查三角函数的对称轴的应用，不求解析式，直接判断字母的值的方法，考查学生灵活解答问题的能力．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（）A．B．C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．解答：解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=160．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由已知列方程组求出首项和公比，即可求出a5+a7．解答：解：设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴a n=a1q n﹣1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．点评：本题考查的知识点是等比数列的前n项和，等比数列的通项公式，其中根据已知构造关于首项和公比的方程组，是解答的关键．14．（2014•嘉定区三模）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：5点评：如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：分类讨论，利用基本不等式，求出函数f（x）=的最大值与最小值，即可得出结论．解答：解：f（x）==，x=0时，f（0）=0，x≠0时，f（x）=，x＞0时，x+≥2，∴0＜f（x）≤，x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣≤f（x）＜0，综上，∴﹣≤f（x）≤，∴函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得到sinA的值，再由a 与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积；（Ⅱ）原式分子分母利用正弦定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，约分即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）∵2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1，∴1+cos2A﹣sin2A=1﹣2（sin2A﹣cos2A）=1﹣2sin（2A﹣）=﹣1，即sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，即0＜A＜π，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，即A=，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，解得：b=4或b=﹣2（舍去），∴S△ABC=bcsinA=×4×2×=2；（Ⅱ）已知等式，利用正弦定理===2R，变形得：=====2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路没有被选择的概率．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD•k BD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．解答：解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数判断函数的单调性，求出单调区间；（2）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证．解答：（1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+e x（x﹣1）+e x=x（e x+1﹣ex），令y=e x+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即e x+1﹣ex＞0恒成立，则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，h′（x）=+2ex﹣1﹣e x x﹣e x，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．点评：本题考查导数的应用：求单调区间、求极值，求最值，考查构造函数证明不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，应用导数求解，本题属于中档题．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：几何证明．分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答：（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评：本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。
河南省洛阳市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}24120x x x A =--<，{}2x x B =<，则()RAB =ð（ ）A ．{}6x x <B ．{}22x x -<<C ．{}2x x >-D ．{}26x x ≤< 2、设i 为虚数单位，复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i - C ．i D ．i - 3、已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为10，点()2,1P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -=4、若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75、已知命题:p 0R x ∃∈，使0sin x =:q R x ∀∈，都有210x x ++>．给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题；②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题；④命题“()()p q ⌝∨⌝是假命题． 其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③6、已知角α的终边经过点()a A ，若点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ）A ．BC ．12-D ．127、在平面直角坐标系内，若曲线C :22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞ 8、已知直线:m 230x y +-=，函数3cos y x x =+的图象与直线l 相切于P 点，若l m ⊥，则P 点的坐标可能是（ ）A ．3,22ππ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭9、把函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．4x π=10、在平面直角坐标系x y O 中，点A 与B 关于y 轴对称．若向量()1,a k =，则满足不等式20a OA +⋅AB ≤的点(),x y A 的集合为（ ）A ．()(){}22,11x y x y ++≤ B ．(){}222,x y x y k +≤C ．()(){}22,11x y x y -+≤ D ．()(){}222,1x y x y k ++≤11、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π 12、设二次函数()2f x ax bx c =++的导函数为()f x '．对R x ∀∈，不等式()()f x f x '≥恒成立，则2222b a c +的最大值为（ ）A 2B 2C ．2D ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是 ．14、函数()1,10,01x x x f x e x +-≤<⎧=⎨≤≤⎩的图象与直线1x =及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15、将5名实习老师分配到4个班级任课，每班至少1人，则不同的分配方法数是 （用数字作答）． 16、如图，在C ∆AB中，C sin2∠AB =，2AB =，点D 在线段C A 上，且D 2DC A =，D B =，则cosC = ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设12log n n b a =，求22212111111n n b b b T =++⋅⋅⋅+---．18、（本小题满分12分）在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；()2已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ），且规定82.7分是复试线，那么在这200012.7≈，若()2,z μσN ，则()0.6826z μσμσP -<<+=，()220.9544z μσμσP -<<+=）()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD =． ()1求证：平面Q PB ⊥平面D PA ；()2在棱C P 上是否存在一点M ，使二面角Q C M -B -为30？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点． ()1求椭圆C 的标准方程；()2设O 为坐标原点，22b k k aOA OB⋅=-，判断∆AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 21、（本小题满分12分）设函数()()2ln 12f x x ax a x =---（0a >）．()1若0x ∃>，使得不等式()264f x a a >-成立，求实数a 的取值范围；()2设函数()y f x =图象上任意不同的两点为()11,x y A 、()22,x y B ，线段AB 的中点为()00C ,x y ，记直线AB 的斜率为k ，证明：()0k f x '>．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的切线，B 为切点，D A E 是O 的割线，C 是O 外一点，且C AB =A ，连接D B ，BE ，CD ，C E ，CD 交O 于F ，C E 交O 于G ． ()1求证：CD D C BE⋅=B ⋅E ；()2求证：FG//C A ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，过点()2,0P 的直线l 的参数方程为2x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为229x y +=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．()1求直线l 和圆C 的极坐标方程；()2设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA ⋅PB 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()1设函数()52f x x x a =-+-，R x ∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；()2已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）参考答案一、选择题：13、60 14、12e 15、24016、79三、解答题。
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第一部分·专题一 基本概念 第一部分·专题一 基本概念 第一部分·专题一 基本概念 第八章 认识跨省区域第二节 以河流为生命线的地区 ——长江沿江地带 一、地理位置和自然条件 1、位置（纬度、海陆）： 范围及区域形状 2、自然条件： 地势和地形 气候和干湿地区 河湖和地表水 3、沿江地带东西部的差异 东西部地形差异利用方式的差异 资源种类和数量上的差异 二、交通： 水运和铁路运输1 2 B A 长 宽 一、地理位置和自然条件 1、位置（纬度、海陆）： 范围 (起至点、区域形状)：（图8.17） 东起________， 西至________， 东西绵延_______千米， 南北宽度_______千米。
呈“_______”区域. 上海 四川的攀枝花 3000 100～200 带状 一、地理位置和自然条件 1、位置、范围： 2、自然条件： 地势和地形 气候和干湿地区 河湖和地表水 （图8.17） （图8.18） （地图册34页）云贵高原 四川盆地 长江中下游平原 东南丘陵 横断山脉 A B C D E F 1、长江流域主要的地形区是什么？ 2、从长江沿江地带地形图的色彩上可以判断 出它的地势特点是什么？地形以什么为主？ (1)主要地形及地势特点 青藏高原上海 重庆 武汉 1、从气温变化曲线上判断这里四季变化是否明显？ 冬夏气温特点是什么？ 2、根据降水量超过100mm的月份多少，判断雨季 长短。
估算这里年降水量大约在多少mm以上？ ３、这里所属的气候类型及干湿地区是什么？ (2)气候及干湿地区 气候特征：夏季炎热多雨，冬季温和少雨。
岷 江 宜宾 乌 江 嘉 陵 江重庆 洞庭湖 武 汉 宜昌 汉 江 湖口 鄱阳湖 赣 江 上 海 湘 江 (3)河湖和地表水 由图可以看出这里的河湖和地表水有什么特点？ 1、范围： 东起_____、西至四川______。
东西绵长______千米；南北宽度 大致在长江两岸_________千米的 范围内。
洛阳市——高三年级第二次统一考试.docx
洛阳市2015——2016学年高三年级第二次统一考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－2i ，则z 1·z 2的虚部为A ．iB ．－iC ．1D ．－1 2．已知集合A ＝{x ｜x ＜－2}，B ＝{x ｜2x ＞4}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知数列{n a }满足1n a ＋＝2n a ，n ∈N ﹡，a 3＝4，则数列{n a }的前5项和为 A ．32 B ．31 C ．64 D ．63 4．设P （x ，y ）满足约束条件4,3.x y x ⎧⎨⎩＋2≤＋y ≤则点P 对应的区域与坐标轴围成的封闭图形面积为 A ．32 B ．52 C ．72 D ．1125．已知离心率为2的双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，则该双曲线的渐近线方程为 A ．y 3．y 2xC ．y 3．y 26．将函数y ＝cos （2x ＋3π）的图象向左平移6π个单位，得到函数y ＝f （x ）的图象，则下列说法正确的是A ．f （x ）是偶函数B ．f （x ）周期为2πC ．f （x ）图象关于x ＝6π对称 D ．f （x ）图象关于（－6π，0）对称 7．如图所示的程序框图所表示的算法功能是A ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最小整数nB ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最大整数nC ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最大整数n ＋2D ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最小整数n ＋2 8．函数f （x ）＝ln 2xx的图象大致为9．已知定义在R 上的奇函数f （x ）都有f （x ＋52）＋f （x ）＝0，当－54≤x ≤0时，f （x ） ＝2x＋a ，则f （16）的值为 A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－3210．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，AC ＝12，BC ＝5，若一个球和它的各个面都 相切，则该三棱柱的表面积为A ．60B ．180C ．240D ．360 11．已知P （a ，b ）为圆22x y ＋＝4上任意一点，则2214a b＋最小时，2a 的值为 A ．45 B ．2 C ．43D ．3 12．设f （x ）＝324(0),2(0).ax x x x e x ⎧⎪⎨⎪⎩＋6＋2≤＞在区间[－2，2]上最大值为4，则实数a 的取值范围为A ．[12ln2，＋∞）B ．[0，12ln2] C ．（－∞，0] D ．（－∞，12ln2] 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题。
2016-2017学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(理科)及解析
2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题2x ＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（ ） A.[5，e 2） B.[5，7] C.{5，6，7} D.{5，6，7，8}2.复数 2+i1+i 的共扼复数是（ ） A.﹣ 32 + 32 i B.﹣ 32 ﹣ 32 i C.32 ﹣ 32 i D.32 + 32 i3.函数y=lncos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间是（ ） A.（﹣ 5π8 ，﹣ π8 ） B.（﹣ 3π8 ，﹣ π8 ） C.（﹣ π8 ， π8 ） D.（﹣ π8 ， 3π8 ）4.O 为△ABC 内一点，且2 OA →+OB →+OC →=0→ ， AD → =t AC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ） A.14 B.13 C.12 D.235.一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（ ）A.112B.13C.√24D.126.由y=x ，y= 1x ，x=2及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ） A.ln2+1 B.2﹣ln2C.ln2﹣ 12 D.ln2+ 127.直角△ABC 中，∠C=90°，D 在BC 上，CD=2DB ，tan∠BAD= 15 ，则sin∠BAC=（ ） A.√22 B.√32 C.3√1313D.√22 或 3√13138.已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC ，∠BAC= 2π3 ，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.5π D.8π9.定义在R 上的函数f （x ）满足：f′（x ）﹣f （x ）=x•e x， 且f （0）= 12 ，则 f ′(x)f(x) 的最大值为（）A.0B.12C.1D.2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题n 1，a n ﹣a n+1=a n a n+1 ， n∈N * ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）S n 为{a n }的前n 项和，b n =S 2n ﹣S n ， 求b n 的最小值．11.函数y=﹣sin （ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣ π2 ， π2 ））的一条对称轴为x= π3 ，一个对称中心为（ 7π12 ，0），在区间[0， π3 ]上单调． （1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin （ωx+φ）在[0，π]上的图象． 12.函数f （x ）=x•e x ． （1）求f （x ）的极值；（2）k×f（x ）≥ 12 x 2+x 在[﹣1，+∞）上恒成立，求k 值的集合． 13.已知函数f （x ）=lnx ﹣ kx 有两个零点x 1、x 2 ． （1）求k 的取值范围；（2）求证：x 1+x 2＞ 2e ．三、填空题14.等腰△ABC 中，底边BC=2 √3 ，| BA →﹣t BC →|的最小值为 12 | AC →|，则△ABC 的面积为 ．参考答案1.C【解析】1.解：集合A={x|1＜log 2x ＜3，x∈Z} ={x|2＜x ＜8，x∈Z} ={3，4，5，6，7}， B={x|5≤x＜9}， ∴A∩B={5，6，7}． 故选：C ．【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B ，反之也成立． 2.D【解析】2.解：复数 2+i1+i = (2+i)(1−i)(1+i)(1−i) =3−i 2 的共扼复数是 32 + 32i ． 故选：D ．【考点精析】认真审题，首先需要了解复数的乘法与除法(设则；)．3.C【解析】3.解：设t=cos （2x+ π4 ），则lnt 在定义域上为增函数， 要求函数y=lncos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间，即求函数函数t=cos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间，同时t=cos （2x+ π4 ）＞0，即2kπ≤2x+ π4 ＜2kπ+ π2 ，k∈Z， 即kπ﹣ π8 ≤x＜kπ+ π8 ，k∈Z，当k=0时，﹣ π8 ≤x＜ π8 ，即函数的一个单调递减区间为（﹣ π8 ， π8 ），故选：C【考点精析】通过灵活运用复合函数单调性的判断方法，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”即可以解答此题． 4.B【解析】4.解：以OB ，OC 为邻边作平行四边形OBFC ，连接OF 与 BC 相交于点E ，E 为BC 的中点．∵2 OA →+OB →+OC →=0→，∴ OB →+OC →=﹣2 OA →+OF →=2OE →， ∴点O 是直线AE 的中点．∵B，O ，D 三点共线， AD →=t AC →，∴点D 是BO 与AC 的交点． 过点O 作OM∥BC 交AC 于点M ，则点M 为AC 的中点．则OM= 12 EC= 14BC，∴ DMDC = 14，∴ DM=13MC，∴AD= 23 AM= 13AC，AD→=t AC→，∴t= 13．故选：B．5.B【解析】5.解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．∴V=1﹣4×13×12×1×1 = 13．故选：B．【考点精析】通过灵活运用由三视图求面积、体积，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积即可以解答此题．6.D【解析】6.解：由题意，由y=x，y= 1x，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是12×1×1+∫121xdx=12+ln2；故选：D ．7.D【解析】7.解：设DE=k ，BD=x ，CD=2x ，BC=3x ． ∵在Rt△ADE 中，∠AED=90°，tan∠BAD= 15 = DEAE ， ∴AE=5DE=5k，∴AD= √AE 2+ED 2 = √26 k ．∵在Rt△BDE 中，∠BED=90°，∴BE= √BD 2+DE 2 = √x 2−k 2，∴AB=AE+BE=5k+ √x 2−k 2． ∵∠C=90°，∴AD 2﹣CD 2=AB 2﹣BC 2 ，即26k 2﹣4x 2=（5k+ √x 2−k 2）2﹣9x 2 ，解得k 2= 12 x 2 ， 或 413 x 2 ， 即x= √2 k ，或x=√132k ，经检验，x= √2 k ，或x= √132k 是原方程的解，∴BC=3 √2 k ，或3√132k ， AB=AE+BE=5k+ √x 2−k 2 =6k ，或 13k2 ，∴sin∠BAC= BC AB= √22，或3√1313．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．8.C【解析】8.解：△ABC 中，BC= √1+1−2×1×1×(−12) = √3 ． 设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r= √3sin1200 ，∴r=1，∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径为 12√1+4 = √52 ， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 4π⋅54 =5π．故选：C ．【考点精析】本题主要考查了球内接多面体的相关知识点，需要掌握球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长才能正确解答此题． 9.D【解析】9.解：令F （x ）= f(x)e x ，则F′（x ）= e x [f ′(x)−f(x)]e 2x= f ′(x)−f(x)e x =x ，则F （x ）= 12 x 2+c ， ∴f（x ）=e x （ 12 x 2+c ）， ∵f（0）= 12， ∴c= 12 ，∴f（x ）=e x （ 12 x 2+ 12 ），∴f′（x ）=e x （ 12 x 2+ 12 ）+x•e x ，∴ f ′(x)f(x) = x 2+2x+1x 2+1 ，设y= x 2+2x+1x 2+1 ，则yx 2+y=x 2+2x+1，∴（1﹣y ）x 2+2x+（1﹣y ）=0， 当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解， 则△=4﹣4（1﹣y ）2≥0， 解得0≤y≤2，故y 的最大值为2，故 f ′(x)f(x) 的最大值为2，故选：D ．【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．10.（1）解：∵a 1=1，a n ﹣a n+1=a n a n+1，n∈N *．∴ 1an+1−1a n=1，∴数列 {1a n} 是等差数列，公差为1，首项为1． ∴ 1a n=1+（n ﹣1）=n ，可得a n = 1n（2）解：由（1）可得：S n =1+ 12+13 +…+ 1n ． ∴b n =S 2n ﹣S n = 1n+1+1n+2 +…+ 12n ．∴b n+1﹣b n = 1n+2+1n+3 +…+ 12n + 12n+1 + 12n+2 ﹣（ 1n+1+1n+2 +…+ 12n ） = 12n+1 + 12n+2 ﹣ 1n+1 = 12n+1 ﹣ 12n+2 ＞0， ∴数列{b n }单调递增，∴b n 的最小值为b 1= 12【解析】10.（1）由a 1=1，a n ﹣a n+1=a n a n+1 ， n∈N * ． 可得1an+1−1a n=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：b n =S 2n ﹣S n = 1n+1+1n+2 +…+12n．再利用数列的单调性即可得出． 【考点精析】本题主要考查了数列的前n 项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系；如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题． 11.（1）解：由题意得： {12T ≥π32k+14⋅T =7π12−π3，即 {πω≥π32k+14×πω=π4，解得 {ω≤3ω=4k +2又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x= 2π3 为对称轴，2× π3 +φ=kπ+ π2 ，所以φ=kπ﹣ π6 ， 又φ∈（﹣ π2 ， π2 ）， ∴φ=﹣ π6（2）解：由（1）可知f （x ）=sin （2x ﹣ π6 ）， 由x∈[0，π]，所以2x ﹣ π6 ∈[﹣ π6 ， 11π6]，【解析】11.（1）由条件利用三角形函数的周期，对称轴，对称中心，即可ω，φ．（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期[0，π]上的图象．【考点精析】解答此题的关键在于理解五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象的相关知识，掌握描点法及其特例—五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）．12.（1）解：f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣1e，无极大值（2）解：x＞0时，k≥ x+22e x，令φ（x）= x+22e x ，则φ′（x）= 12(−x−1)e xe2x＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；﹣1≤x＜0时，k≤ x+22e x，φ′（x）= −x+1e x ＜0，故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}【解析】12.（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）分离参数，令φ（x）= x+22e x ，根据函数的单调性求出k的值即可．【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．13.（1）解：函数f（x）=lnx﹣kx 有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞1e ，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1e，∴g（x）在（0，1e ）递减，在（1e，+∞）递增，x= 1e 是极小值点，g（1e）=﹣1e，又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，g（x）的大致图象如图示：；由图象得：﹣1e＜k＜0（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜1e＜x2＜1，令h（x）=g（x）﹣g（2e ﹣x）=xlnx﹣（2e﹣x）ln（2e﹣x），h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）2+1]，当0＜x＜1e 时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1e）递减，h（1e）=0，∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（2e﹣x1），g（x2）＞g（2e﹣x1），x 2，2e﹣x1∈（1e，+∞），g（x）在（1e，+∞）递增，∴x2＞2e﹣x1，故x 1+x 2＞ 2e【解析】13.（1）问题转化为函数g （x ）=xlnx 的图象与直线y=k 有2个交点，求出g （x ）的单调性，画出函数图象，从而求出k 的范围即可；（2）设x 1＜x 2 ， 根据函数的单调性得到x 2 ， 2e ﹣x 1∈（ 1e ，+∞），g （x ）在（ 1e ，+∞）递增，从而证出结论即可．【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．14.√3【解析】14.解：等腰△ABC 中，底边BC=2 √3 ，| BA → ﹣t BC → |的最小值为 12| AC → |，则△ABC 的面积 故BC 边上的高为 12 | AC → |，故有sin∠C= 12|AC →||AC →| = 12 ，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC ，∴ (2√3)2 =AB 2+AC 2﹣2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC 的面积为 12•AB•AC•sin120°= √3 ，所以答案是： √3 ．。
20河南省洛阳市2015届高三上学期第一次统一考试 数学(
洛阳市2014——2015学年高中三年级统一考试数学试卷（理A ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟，第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．8 D ．12 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈ 的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．B ．C ．D ．4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均 为2，则该几何体的体积为 A ． 38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-6．已知 ()f x 是定义涵在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950B ．200101C ．14950D ． 150508．在△ABC 中，D 为AC 的中点， 3BC BD =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数A 的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 459．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．210.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ． 若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+B.C.2D. 5+11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平面区域有公共点，则实数A 的取值范围是A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．5 B ．5C ． 72 D. 52第Ⅱ卷（非选择题，共90分），二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.设随机变量2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(10)P ξ-<<=_____________．14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______． 15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移号个单位，所得图象关于y 轴对称，则正数 ω的最小值为_________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(理科)
2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b32．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣37．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．3910．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}中，b n=a1•a2•a3•…•a n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜2．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b3【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】根据幂函数的单调性即可判断．【解答】解：∵b＜a＜0，且y=x2在（﹣∞，0）上单调递增减，故a2＞b2，C错误；故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意幂函数单调性的合理运用．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A，考虑0＜x＜1即可判断；对于B，考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx∈（0，1]，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0＜x≤2时，x﹣递增，当x=2时，取得最大值．综合可得C正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinA==，利用大边对大角可得范围A∈（0，45°），从而解得A的值．【解答】解：∵a=1，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a=1＜b=，由大边对大角可得：A∈（0，45°），∴解得：A=30°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用对数的定义、性质能求出不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集．【解答】解：∵lg（x2﹣3x）＜1，∴，解得﹣2＜x＜0或3＜x＜5，∴不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（﹣2，0）∪（3，5）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列【考点】等比数列；等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】在A中，由，得到{a n}不为的等差数列；在B中，由a1=S1=2﹣2=0，得到{a n}不为等比数列；在C中，若，，构成等差数列，能推导出a=c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，从而，，不可能构成等差数列；在在D中，若a，b，c成等比数列，则=，，，一定成等比数列．【解答】解：在A中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，∴a1=S1=1+1+1=3，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n+1）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，n=1时，a n=2≠a1，故{a n}不为的等差数列，故A错误；在B中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，∴a1=S1=2﹣2=0，∴{a n}不为等比数列，故B错误；在C中，若，，构成等差数列，则==，∴b2=ac，∴ac=（）2=，∴a=c，继而a=c=b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，∴，，不可能构成等差数列，故C错误；在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴=，∴，，一定成等比数列，故D正确．故选：D．【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质，公式的合理运用．6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．7．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】因为B⊆A，所以不等式x2﹣ax﹣4≤0的解集是集合A的子集，即函数f（x）=x2﹣ax ﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间，结合二次函数的图象性质只需f（﹣2）≥0，f（4）＞0，列不等式组即可得a的取值范围．【解答】解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B⊆A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，解得：0≤a＜3，故选：C．【点评】本题考查了集合之间的关系，一元二次不等式的解法，二次函数的图象和性质，函数方程不等式的思想．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为1+cosA=+1，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．39【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质a m﹣1+a m+1=2a m，根据已知中a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列则a m﹣1+a m+1=2a m则a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0可化为2a m﹣a m2﹣1=0解得：a m=1，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=39则m=20故选C．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，是解答本题的关键．10．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，由数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），知，故2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，由此能求出通项公式．【解答】解：设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，∵数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），∴，∴2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，∴=，经验证，n=1时也成立，故．故选C．【点评】本题主要考查了数列递推式以及数列的求和，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题．11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．12．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的求值．【分析】利用“放缩法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：a m﹣a n=++…+≤+…+=．故选：A．【点评】本题考查了“放缩法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】足约束条件的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知：当x=1，y=2时，2x+y取最大值4故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=n2﹣2n+2．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣3）+（2n﹣5）+…+1+1=+1=n2﹣2n+2．故答案为：n2﹣2n+2．【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．【考点】解三角形．【专题】解三角形．【分析】由题意和两角和的正切公式易得tanC，可得c=1，b为最短边，由正弦定理可得．【解答】解：由题意可得tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∴C=135°，c为最长边，故c=1，又∵0＜tanB=＜=tanA，∴B为最小角，b为最短边，∵tanB=，∴sinB=，由正弦定理可得b==，故答案为：．【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和两角和的正切公式，属中档题．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把要求的式子化为，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：∵x2+≥xy，y2+z2≥yz，∴=≤=，当且仅当x=z=时，等号成立，故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）运用乘1法，可得+=（a+4b）（+）=（5++），再由基本不等式即可得到最小值；（2）令t=（t≥），则g（t）==，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（1）由a，b＞0，且a+4b=4，即有+=（a+4b）（+）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当a=2b=时取得最小值，则+的最小值为；（2）令t=（t≥），则g（t）==≤=，当且仅当t=2，即k=时，取得等号，即有f（k）的最大值为．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和换元法的运用，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【专题】解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：c=2a，根据a2+c2=b2+ac．b=，即可解得a，c的值．（2）由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，又b=2，a2+c2=b2+ac．解得ac≤4，利用三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得：c=2a，又∵a2+c2=b2+ac．b=，∴a2+4a2=3+2a2，解得：a=1，c=2…6分（2）由余弦定理可得：cosB==，∴sinB=，又∵b=2，a2+c2=b2+ac．∴4+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤4，∴S△ABC=，当且仅当a=c=2时等号成立．故△ABC面积的最大值为…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于中档题．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由﹣1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．【解答】解：（1）当a=0时，有﹣2x＜0，∴x＞0．（2）a＞0时，∵△=4﹣4a2．①当△＞0，即0＜a＜1．方程ax2﹣2x+a=0的两根为=，∴不等式的解集为{x|＜x＜}．②当△=0，即a=1时，有x2﹣2x+1＜0，∴x∈∅；③当△＜0，即a＞1时，方程ax2﹣2x+a=0无实数根，不等式ax2﹣2x+a＜0无解，∴x∈∅．（3）当﹣1＜a＜0时，△＞0，不等式ax2﹣2x+a＜0的解集为{x|x＜或x＞}．综上，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：当﹣1＜a＜0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＜或x＞}；当a=0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＞0}；当0＜a＜1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|＜x ＜}．当a≥1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：∅．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（I）由正弦定理，设，则，所以．…（4分）即（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）又A+B+C=π，所以sinC=3sinA因此．…（8分）（II）由得c=3a．…（9分）由题意，…（12分）∴…（14分）【点评】本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（I）有数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列且成等差数列，可以先求出数列的首项即可；（II）有（I）和，求出数列b n的通项，有通项求出前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2，S3=a1+a2+a3=3a1+6，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，当n=1时，，a1＞0，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（2）证明：b n=a1•a2•a3•…•a n=n!．∴数列{}的前n项和为T n=+…+≤1+++…+=1++…+ =2﹣＜2．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2016届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣22．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．24．已知α∈（﹣，0），且sin2α=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．37．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是．15．下列四个命题：①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；②命题“∀x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“a≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为．16．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=2且3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2． （1）令b n =a n ﹣a n ﹣1，求证：{b n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n ．18．在用“五点法”画函数f （x ）=Asinx （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g （x ）的图象，求g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．19．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 2图象上一点P （2，f （2））处的切线方程为y=﹣3x +2ln2+2．（1）求a ，b 的值；（2）若方程f （x ）+m=0在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成公差为1的等差数列，C=2A ． （1）求a ，b ，c 的值；（2）求方向上的投影．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0）．（1）求函数f （x ）的最小值g （a ），并证明g （a ）≤0；（2）求证：∀n ∈N*，都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣2【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求出公差d即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，a6=0，∴a6﹣a2=4d=﹣2，解得d=﹣，∴数列{a n}的公差为﹣．故选：C．2．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，∴＞0，∴x（x﹣2）＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴∁R M=[0，2]，∵y=x2﹣1≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞），∴∁R M∩N=[0，2]，故选：D．3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．4．已知α∈（﹣，0），且sin2α=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由题意易得2sinαcosα=﹣，由a∈（﹣，0），可得sinα+cosα=，代入即可求值得解．【解答】解：∵sin2α=﹣，∴2sinαcosα=﹣，∵a∈（﹣，0），∴cosα+sinα＞0，∴sinα+cosα===．故选：B．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】数列与函数的综合．【分析】首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．【解答】解：由题意可得：函数y=ln（x+2）﹣x，所以f′（x）=．因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）﹣b=c，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=﹣1．故选A．6．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．3【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的求和公式，可得=8，=2，两式相除，即可得出结论．【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，∴=8，=2，∴，∴a5=±2．故选：A．7．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）【考点】对数值大小的比较．【分析】先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．【解答】解：①当3﹣log2x＜log2x时，即x＞4时f（x）=3﹣log2x，②当3﹣log2x＞log2x时，即x＜4时f（x）=log2x，∴f（x）＜1；当x＞4时，f（x）=3﹣log2x＜1，此时：x＞16；当x＜4时f（x）=log2x＜1，此时：0＜x＜2；综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+∞）．故选：D．8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求||的值．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），∴=（6π，0），∴||=6π．故选A．9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．﹣S n﹣1【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，∴a n=，∴=．则n≥2时，a12+a22+…+=4+4×=．故选：B．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，求导g′（x）=，从而可判断函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，从而得到答案．【解答】解：令g（x）=，故g′（x）=，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，∴f′（x）＜0，∵＞x，∴xf′（x）﹣f（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故＞＞，＞＞，故2f（3）＞3f（2），f（2）＞2f（1），f（e3）＞ef（e2），ef（e）＜f（e2）；故选C．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）【考点】抽象函数及其应用；分段函数的应用．【分析】求出x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，则对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，从而对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．求出右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[﹣2，0），则x+2∈[0，2），∵x∈[0，2）时，f（x）=的最小值为﹣，∴x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，∴对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，∴对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．令y=t3+4t2，则y′=3t2+8t＞0，∴y=t3+4t2在[1，2）上单调递增，∴5≤y＜24，∴2a≥24，∴a≥12，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【考点】定积分．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是（，π）．【考点】利用导数研究函数的极值；平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件得f′（x）=x2+||x+•=0成立，△=||2﹣4•＞0，由此能求出与的夹角的取值范围．【解答】解：∵关于x的函数f（x）=x3+||x2+•x在R上有极值，∴f′（x）=x2+||x+•=0成立，方程有根，△=||2﹣4•＞0，∴||2﹣4||•||cosθ＞0，由||=2||≠0，得cosθ，∴＜θ＜π故答案为：（，π）．15．下列四个命题：①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；②命题“∀x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“a≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①函数f（x）=cosxsinx=sin2x的最大值为，不正确；②命题“∀x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃x∈R，x﹣2＞lgx”，正确；③∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∵y=sinx在（0，）上是增函数，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB 同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosCsinA，正确；④a≤0，函数f（x）=|x2﹣ax|的零点是a，0，结合二次函数的对称轴，可得函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增；若函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得≤0，∴a≤0，∴“a ≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增”的充分必要条件，正确．故答案为：②③④．16．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2．【考点】导数的运算．【分析】由已知函数解析式，令函数g（x）=f（x）﹣1，可知函数g（x）为奇函数，求导后判断g′（x）=f′（x）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f （e）+f（﹣e）=2，f′（e）﹣f′（﹣e）=0，由此求得f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2．【解答】解：f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+ln（+x），则g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=，g（x）+g（﹣x）=0，故g（x）为奇函数，g′（x）=f′（x）==，由g′（x）﹣g′（﹣x）=﹣，可知g′（x）=f′（x）为偶函数，g（e）+g（﹣e）=f（e）﹣1+f（﹣e）﹣1=0，∴f （e ）+f （﹣e ）=2． 又f′（e ）=f′（﹣e ）， ∴f′（e ）﹣f′（﹣e ）=0，∴f （e ）+f′（e ）+f （﹣e ）﹣f′（﹣e ）=2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=2且3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2． （1）令b n =a n ﹣a n ﹣1，求证：{b n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2，变形为：a n +1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1+．可得b n +1﹣b n =，利用等差数列的定义即可证明．（2）由（1）可得：a n ﹣a n ﹣1=．利用“累加求和”可得：a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=，可得=3．利用“裂项求和”可得：+++…+=3=＞，解出即可．【解答】（1）证明：∵3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2，变形为：a n +1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1+．∵b n =a n ﹣a n ﹣1，∴b n +1﹣b n =，由a 2﹣a 1=a 1﹣a 0+，∴=b 1+，解得b 1=．∴{b n }是等差数列，首项为，公差为．∴b n ==．（2）解：由（1）可得：a n ﹣a n ﹣1=．∴a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=+×2++…+=，∴=3．∴+++…+=3+…+=3=＞成立，则n＞5．因此为使+++…+＞成立的最小的正整数n=6．18．在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）根据用五点法作函数f（x）=Asinx（ωx+φ）的图象，求得表中①②③④处数据，并直接写出函数f（x）的解析式．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（x+），再根据整弦函数的单调性求得g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【解答】解：（1）由表格可得A=2，再根据ω•2π+φ=，ω•5π+φ=，求得ω=，φ=﹣，令x﹣=0，求得x=故①为．令x﹣=π，求得x=，Asin0=0，故②为，④为0．令x﹣=2π，求得x=，故③为．函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x﹣），（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y=2sin（x﹣），再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）=2sin[（x+π）﹣]=2sin（x+）的图象．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，故g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间为[﹣，]．19．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（1）对函数f（x）进行求导，根据f'（2）=﹣3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案．（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．【解答】解（1），，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当x∈时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．（1）求a，b，c的值；（2）求方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）•，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b．即可得出．（2）由（1）可知：cosA=，可得cosC=cos2A=2cos2A﹣1．由于与的夹角为（π﹣C），可得方向上的投影=cos（π﹣C）．【解答】解：（1）∵a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．∴可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：=，化为．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）•，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b=5．∴a，b，c的值分别为4，5，6．（2）由（1）可知：cosA=，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1=．∵与的夹角为（π﹣C），∴方向上的投影=cos（π﹣C）=5×（﹣cosC=）=﹣．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0）．（1）求函数f（x）的最小值g（a），并证明g（a）≤0；（2）求证：∀n∈N*，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+n n+1＜成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值g（a）=a﹣lna﹣1，再求出g（a）的单调区间，从而得到g（a）≤0；（2）根据题意得到e x＞x+1，从而可得（x+1）n+1＜（e x）n+1=e（n+1）x，给x赋值，从而得到答案．【解答】解：（1）由a＞0，及f′（x）=e x﹣a可得：函数f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，∴函数f（x）的最小值g（a）=f（lna）=a﹣alna﹣1，则g′（a）=﹣lna，故a∈（0，1）时，g′（a）＞0，a∈（1，+∞）时，g′（a）＜0，从而g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，且g（1）=0，故g（a）≤0；（2）证明：由（Ⅱ）可知，当a=1时，总有f（x）=e x﹣x﹣1≥0，当且仅当x=0时“=”成立，即x＞0时，总有e x＞x+1，于是可得（x+1）n+1＜（e x）n+1=e（n+1）x，令x+1=，即x=﹣，可得（）n+1＜e﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e1﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e2﹣n，…，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e﹣1，对以上各等式求和可得：（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜e﹣n+e1﹣n+e2﹣n+…+e﹣1=＜＜，∴对任意的正整数n，都有（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜，∴1n+1+2n+1+3n+1+…+n n+1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】对第（Ⅰ）问，根据“”直接写出l的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；对第（Ⅱ）问，联立l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=﹣4（sinα+cosα）＜0，t1•t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=﹣t1﹣t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得，∴≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．2017年1月15日。
(优辅资源)河南省洛阳市高三上学期期中考试数学(理)Word版含答案
洛阳市2017——2018学年高中三年级期中考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{{}|,|2x A y y B y y ===，则A B =A. ()3,3-B. []3,3-C. (]0,3D.[)0,32.设复数z 满足()14z i i -=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 是 A. 22i -- B. 22i -+ C. 22i + D.22i -3.下列说法中正确的个数是①“p q ∧”是真命题是“p q ∨”为真命题的必要必要不充分条件； ②命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,cos 1x R x ∃∈≥”； ③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真. A. 0 B. 1 C. 2 D.3 4.函数()()lg 1f x x =-的大致图象是5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.83 B. 43C. 4+D. 8+6.等比数列{}n a 中，1102,4a a ==，函数()()()()1210f x x x a x a x a =---，则()0f '=A. 62 B. 92 C. 122 D. 152 7.将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是 A. 34π-B. 4π-C.4πD. 54π8.向量,a b 均为非零向量，()()2,2a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为 A.3π B. 2πC. 23πD.56π9.已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a = A. 99 B. 101 C. 399 D.40110.在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是直角三角形，其斜边4,AB SC =⊥平面ABC ，3SC =,则此三棱锥的外接球的表面积为A. 25πB. 20πC. 16πD.13π11.已知函数()124,041,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程()()2220f x af x a -++=有8个不等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.181,7⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 91,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 182,7⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 92,4⎛⎫⎪⎝⎭12.用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]2.12, 3.54=-=-，数列{}n a 满足()()114,113n n n a a a a n N *+=-=-∈，若12111n nS a a a =+++，则[]n S 的所有可能值的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设变量,x y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22z x y =+的最大值为 .14.若定义在[)1,-+∞上的函数()211,43, 1.x f x x x x -≤≤-+>⎪⎩，则()31f x dx -=⎰ .15.设,x y 均为正数，且1111212x y +=++，则xy 的最小值为 . 16.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，且当0x <时，()()20f x xf x '+<，则不等式()()()22017201710x f x f ----<的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知向量()()sin ,3,1,cos .a xb x =-=（1）若a b ⊥，求tan 2x 的值；（2）令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数()y f x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间及图象的对称中心.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()1112,21n n n n a a a n a na ++=+=+，设.n nnb a = （1）求证：数列{}1n b -为等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设1n nc b =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求证： 2.n S n <+19.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2c o s c o s ta n ta n 11.A A A C -=（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC ∆的面积的最大值.20.（本题满分12分）已知函数()()2xf x x m x n e=++，其导函数()y f x '=的两个零点分别为-1和0.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.21.（本题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，//,,1,AB CD AD CD AD AB BC ⊥===（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）设H 为CD 上一点，满足23CH HD =，若直线PC 与平面PBD 所成角的正切H PB C --的余弦值.22.（本题满分12分）已知函数()()22ln .f x x x mx m R =+-∈（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若1752m <<，且()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()12f x f x -的取值范围.。
河南省洛阳市高三数学上学期12月月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．函数y=的定义域为（）A．（﹣2，1）B．[﹣2，1] C．（0，1）D．（0，1]2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共扼复数为（）A．B．C．D．3．阅读如图的程序框图．若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（）A．12，2 B．12，3 C．24，2 D．24，34．已知等比数列{a n}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A．16π2B．4π2C．2π2D．π25．已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设C（1，0），∠COB=α，则tanα=（）A．B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A．8 B．4 C．D．7．设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的一个顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B，C两点，若△ABC的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．8．设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=ax﹣y取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）9．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=log a（x3﹣2x）（a＞0且a≠1）在区间（﹣，﹣1）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣），（，+∞）B．（﹣，﹣），（，+∞）C．（﹣，﹣），（，+∞）D．（﹣，）11．已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上，=0（其中O为坐标原点），则△ABO与△BFO面积之差的最小值是（）A．4 B．8 C．8 D．1612．已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0（m∈R）有四个相异的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣e﹣）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣e﹣，﹣3）D．（﹣e﹣，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小压5分，共20分．13．在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=2， =2，则•= ．14．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为．15．已知函数f（x）=•x，则方程f（x﹣1）=f（x2﹣3x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是．（填写所有正确命题的序号）①若sinAsinB=2sin2C，则0＜C＜；②若a+b＞2c，则0＜C＜；③若a4+b4=c4．则△ABC为锐角三角形；④若（a+b）c＜2ab，则C＞•三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n+n﹣3，n∈N*（1）证明数列{a n﹣1}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．19．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2．（1）求证：AC⊥BF；（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C1； +=1（a＞b＞0）与椭圆C2： +y2=1有相同的离心率，经过椭圆C2的左顶点作直线l，与椭圆C2相交于P、Q两点，与椭圆C1相交于A、B两点．（1）若直线y=﹣x经过线段PQ的中点M，求直线l的方程：（2）若存在直线l，使得=，求b的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx﹣，曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=e x也相切？若存在，满足条件的x0有几个？【选修4一1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．【选修4一4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•洛阳月考）在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【选修4一5：不等式选讲】24．（2015•德宏州校级三模）设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A（1）∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值（2）若a+b=1，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．函数y=的定义域为（）A．（﹣2，1）B．[﹣2，1] C．（0，1）D．（0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：0＜x＜1，故选：C．【点评】本题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式的性质以及对数函数的性质，是一道基础题．2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共扼复数为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共扼复数可求．【解答】解：由z===，得．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共扼复数的求法，是基础题．3．阅读如图的程序框图．若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（）A．12，2 B．12，3 C．24，2 D．24，3【考点】设计程序框图解决实际问题；程序框图．【专题】常规题型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出m，n的公倍数a及相应的i值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出m，n的公倍数及相应的i值∵m=4，n=6∴a=12则a=12=4×3故i=3故答案为B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4．已知等比数列{a n}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A．16π2B．4π2C．2π2D．π2【考点】定积分；等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；转化法；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】先利用定积分的几何意义计算定积分dx的值，然后利用等比数列的性质进行化简整理，可得结论．【解答】解：∵dx，表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的二分之一，∴dx=π×4=2π，∴a5+a7=2π，∵等比数列{a n}，∴a6（a4+2a6+a8）=a6a4+2a62+a6a8=a52+2a5a7+a72=（a5+a7）2=4π2．故选：B．【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，以及等比数列的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5．已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设C（1，0），∠COB=α，则tanα=（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，再根据α=θ+，求得tanα=tan（θ+）的值．【解答】解：由题意，设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ==，α=θ+，tanα=tan（θ+）==，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和的正切公式的应用，属于基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A．8 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥得到的几何体．【解答】解：由三视图可知几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥得到的几何体，V=2×2×3﹣×2×2×3=8．故选A．【点评】本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题．7．设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的一个顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B，C两点，若△ABC的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△ABC的面积为c2，求出双曲线的渐近线的方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得c=a，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，即为bx﹣ay=0，则A（a，0）到渐近线的距离为d==，由题意，△ABC的面积为c2，则•2c•=c2，即为4a2b2=c4，即有4a2（c2﹣a2）=c4，即有c2=2a2，即c=a，则e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．8．设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=ax﹣y取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数可得y=ax﹣z，其中直线斜率为a，截距为﹣z，由题意可得a的范围．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=ax+z，其中直线斜率为a，截距为﹣z，∵z=ax﹣y取得最小值的最优解仅为点A（4，4），∴直线的斜率a＜1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1）故选：B．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．9．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根据2016π≥•，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x）的最大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+=sin（2ωx+）+，故2016π≥•，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：C．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．10．若函数f（x）=log a（x3﹣2x）（a＞0且a≠1）在区间（﹣，﹣1）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣），（，+∞）B．（﹣，﹣），（，+∞）C．（﹣，﹣），（，+∞）D．（﹣，）【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；消元法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的定义域，利用换元法结合条件判断a的取值范围，利用复合函数和导数即可求出函数单调递减区间．【解答】解：设t=g（t）=x3﹣2x，由t=0得x（x2﹣2）=0，则x=0，或x=或x=﹣，由x3﹣2x＞0得﹣＜x＜0或x＞，g′（t）=3x2﹣2，当﹣＜x＜﹣1时，g′（t）＞0，此时函数g（t）为增函数，则0＜g（t）＜1，若a＞1，则y=log a t＜0恒成立，则不满足条件f（x）＞0，若0＜a＜1，则y=log a t＞0恒成立，满足条件，即0＜a＜1，要求函数f（x）的单调递减区间，即求函数t=g（t）=x3﹣2x的递增区间，由g′（t）=3x2﹣2＞0得x＜﹣或x＞，∵﹣＜x＜0或x＞，∴﹣＜x＜﹣或x＞，即函数f（x）的单调递减区间为（﹣，﹣），（，+∞），故选：B【点评】本题主要考查函数单调区间的求解决，利用换元法以及导数法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．11．已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上，=0（其中O为坐标原点），则△ABO与△BFO面积之差的最小值是（）A．4 B．8 C．8 D．16【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A，B的坐标，讨论直线斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由=0，得x1x2+y1y2=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得直线恒过（4，0），再考虑斜率不存在，结论成立，即可得出结论．【解答】解：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），设A在上方，（1）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．联立方程，消去y得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0①，则x1x2=，由y12=4x1，y22=4x2，则y1y2=4•，又=0，则x1x2+y1y2=0，即+4•=0，解得b=0（舍去）或b=﹣4k②，故直线l的方程为：y=kx﹣4k=k（x﹣4），故直线过定点（4，0），（2）当直线l斜率不存在时，设它的方程为x=m，显然m＞0，联立方程解得y=±2，即y1y2=﹣4m又因为=0，所以可得x1x2+y1y2=0，即m2﹣4m=0，解得m=0（舍去）或m=4可知直线l方程为：x=4，故直线过定点（4，0）．设AB的方程为x=my+4，代入y2=4x，可得y2﹣4my﹣16=0，∴y1y2=﹣16；S△ABO=×4×（y1﹣y2），S△BOF=×（﹣y2），∴S△ABO﹣S△BOF=2y1﹣y2=2y1+≥2=8．故选：C．【点评】本题考查向量垂直的条件，同时考查直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于中档题．12．已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0（m∈R）有四个相异的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣e﹣）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣e﹣，﹣3）D．（﹣e﹣，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，利用换元法，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：f（x）==，由x＞0时，f（x）=的导数为f′（x）=，可得x＞1，f（x）递增，0＜x＜1时f（x）递减，x=1处取得极小值e；当x＜0时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=﹣，可得x＜0时f（x）递增，作出函数f（x）对应的图象如图：设t=f（x），方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0等价为t2+（m+1）t+m+4=0，由题意结合图象可得△＞0，且0＜t1＜e且t2＞e，即有（m+1）2﹣4（m+4）＞0，解得m＞5或m＜﹣3，①由f（t）=t2+（m+1）t+m+4，可得f（0）＞0，f（e）＜0，即为m＞﹣4，m＜﹣e﹣，②由①②可得﹣4＜m＜﹣e﹣．故选：A．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小压5分，共20分．13．在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=2， =2，则•= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，由向量共线的知识可得=+，再由向量的数量积的性质即可得到所求值．【解答】解：∠A=90°，AB=3，AC=2，可得•=0，=2，即为﹣=2（﹣），即有=+，则•=•（+）=•+2=0+×9=6．故答案为：6．【点评】本题考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，考查向量共线的表示，考查运算能力，属于中档题．14．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，求出R2=4，即可求出多面体E﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，∴E到平面ABCD的距离为，∴R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，∴d=，R2=4，∴多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．【点评】本题考查多面体E﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E﹣ABCD的外接球的半径是关键．15．已知函数f（x）=•x，则方程f（x﹣1）=f（x2﹣3x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为7 ．【考点】函数的零点与方程根的关系；子集与真子集．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可判断函数f（x）是R上的偶函数，且可判断在[0，+∞）上是增函数；从而可得x﹣1=x2﹣2x+1或x﹣1=﹣（x2﹣2x+1），从而解得，即可求出子集的个数．【解答】解：∵f（x）=•x∴f（﹣x）=（﹣x）（﹣）=x（﹣）=•x=f（x），∴函数f（x）是R上的偶函数，∵f′（x）=﹣+，∴当x≥0时，f′（x）≥0；故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；∵f（x﹣1）=f（x2﹣2x+1），∴x﹣1=x2﹣2x+1或x﹣1=﹣（x2﹣2x+1），∴x=1或x=2或x=0，∴所有实根构成的集合的非空子集个数为23﹣1=7故答案为：7【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，关键是判断函数的单调性，属于中档题．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是①②③．（填写所有正确命题的序号）①若sinAsinB=2sin2C，则0＜C＜；②若a+b＞2c，则0＜C＜；③若a4+b4=c4．则△ABC为锐角三角形；④若（a+b）c＜2ab，则C＞•【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】①由正弦定理可得：ab=2c2，由余弦定理可得：c2==a2+b2﹣2abcosC，整理可得：cosC=﹣≥，利用余弦函数的图象和性质可得0＜C＜，命题正确；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C ＜；③由题意可得（a2+b2）2﹣c4 =2a2b2＞0，△ABC中，由余弦定理可得 cosC=＞0，故角C 为锐角，再根据c边为最大边，故角C 为△ABC的最大角，从而得出结论④只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；【解答】解：①若sinAsinB=2sin2C，由正弦定理可得：ab=2c2，由余弦定理可得：c2==a2+b2﹣2abcosC，整理可得：cosC=﹣≥，则0＜C＜，命题正确；②a+b＞2c⇒cosC=＞≥×﹣≥＞⇒C＜，故②正确；③∵△ABC的三边长分别为a，b，c，且a4+b4=c4，∴（a2+b2）2=a4+b4 +2a2b2=c4+2a2b2．∴（a2+b2）2﹣c4 =2a2b2＞0．又（a2+b2）2﹣c4 =（a2+b2+c2）（a2+b2﹣c2），∴（a2+b2﹣c2）＞0．△ABC中，由余弦定理可得 cosC=＞0，故角C为锐角．再由题意可得，c边为最大边，故角C为△ABC的最大角，∴△ABC是锐角三角形，命题正确；④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜＜，故④错误；故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n+n﹣3，n∈N*（1）证明数列{a n﹣1}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由S n=2a n+n﹣3，n∈N*，得S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1﹣3，两式相减，得a n=2a n﹣1﹣1，由此能证明数列{a n﹣1}是以1为首项，以2为公比的等比数列．并能求出{a n}的通项公式．（2）由na n=n•2n﹣1+n，利用分组求和法和错位相减法能求出数列{na n}的前n项和．【解答】证明：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n+n﹣3，n∈N*，①a1=S1=2a1+1﹣3，解得a1=2，∴当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1﹣3，②①﹣②，得a n=2a n﹣1﹣1，∴a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），又a1﹣1=1，∴数列{a n﹣1}是以1为首项，以2为公比的等比数列．∴，∴．解：（2）∵na n=n•2n﹣1+n，∴数列{na n}的前n项和：T n=1×20+2×2+3×22+…+n×2n﹣1+（1+2+3+…+n）=1×20+2×2+3×22+…+n×2n﹣1+，③2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n+n（n+1），④①﹣②，得：﹣T n=1+2+22+23+…+2n﹣n•2n﹣==，∴T n=（n﹣1）×2n+1+．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用．18．如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠A CD为锐角，求BC的长．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由余弦定理得AB•BC≤=20（2+），由此能求出△ABC的面积的最大值．（2）设∠ACD=θ，由三角形面积得到sinθ=，cos，由余弦定理，得AD=4，由正弦定理，得，由此能求出BC的长．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点，∴由余弦定理得：AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=≥（2﹣）AB•BC，∴AB•BC≤=20（2+），∴，∴△ABC的面积的最大值为．（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，∴==4，∴sinθ=，cos，由余弦定理，得AD2=AC2+CD2﹣2AC•CD•cosθ=20+4﹣8×=16，∴AD=4，由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴BC=．∴BC的长为4．【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．19．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2．（1）求证：AC⊥BF；（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得AF⊥平面ABCD，AF⊥AC，过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得AC⊥AB，由此能证明AC⊥BF．（2）分别以方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出在线段BE上存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF， =．【解答】证明：（1）∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC，过A作AH⊥BC于H，则BH=1，AH=，CH=3，∴AC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴AC⊥平面FAB，∴AC⊥BF．解：（2）由（1）知AF、AB、AC两两互相垂直，分别以方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（﹣1，，2），假设在线段BE上存在一点P满足题意，设=λ，（λ＞0），则P（，，），设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），由=（，，），=（0，2，0），得：，取x=1，得，设平面BCEF的法向量，=（﹣2，2，0），=（﹣3，，2），则，取a=1，得=（1，，1），∵平面PAC⊥平面BCEF，∴=1+0+=0，解得，∴在线段BE上存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF， =．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．20．已知椭圆C1； +=1（a＞b＞0）与椭圆C2： +y2=1有相同的离心率，经过椭圆C2的左顶点作直线l，与椭圆C2相交于P、Q两点，与椭圆C1相交于A、B两点．（1）若直线y=﹣x经过线段PQ的中点M，求直线l的方程：（2）若存在直线l，使得=，求b的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（﹣2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为，可得=0，与椭圆C2联立解出，即可得出直线l的方程．（2）椭圆C2： +y2=1的离心率e=．设2c是椭圆C1； +=1（a＞b＞0）的焦距，则=，又a2=b2+c2，椭圆的方程化为：x2+4y2=4b2．设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x3，y3），Q（x4，y4），A（x1，y1），B（x2，y2）．分别与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用弦长公式即可得出．【解答】解：（1）设P（﹣2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为，∴=0，化为x+y=2．联立，解得，或．∴直线l的方程为：y=0，或y﹣0=（x+2），化为x﹣4y+2=0．（2）椭圆C2： +y2=1的离心率e=．设2c是椭圆C1； +=1（a＞b＞0）的焦距，则=，又a2=b2+c2，可得a=2b，c=b，椭圆的方程化为：x2+4y2=4b2．设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x3，y3），Q（x4，y4），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，∴x3+x4=，x3x4=，|PQ|==．联立，化为：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4b2=0，∴x1+x2=，x1x2=．∴|AB|==．∵=，∴=3，∴3×=．化为：b2=1+∈（1，9]，∴b∈（1，3]．∴b的取值范围是（1，3]．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、向量的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=lnx﹣，曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=e x也相切？若存在，满足条件的x0有几个？【考点】变化的快慢与变化率．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1，求出a，再确定导数恒大于0，从而可得求函数f（x）的单调区间；（2）先求直线l为函数的图象上一点A（x0，y0）处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）=e x相切于点（x1，），进而可得lnx0=，再证明在区间（1，+∞）上x0存在且唯一即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=+，∵曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1，∴f′（）=2+8a=10，∴a=1∴f′（x）=∵x＞0且x≠1，∴f'（x）＞0∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0）即y=x+lnx0﹣1，①（6分）设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），∵g'（x）=e x，∴=，∴x1=﹣lnx0．（8分）∴直线l也为y﹣=（x+lnx0），即y=x++，②（9分）由①②得lnx0﹣1=+，∴lnx0=．（11分）下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．由（1）可知，f（x）=lnx﹣在区间（1，+∞）上递增．又f（e）=﹣＜0，f（e2）=＞0，（13分）结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．【选修4一1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．【分析】（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC=∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题．【选修4一4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•洛阳月考）在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）求出曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0，将直线l的参数方程代入x2﹣y2﹣6x﹣1=0，得t2﹣8tcosα+8=0，再利用根的判别式能求出α的取值范围．（2）曲线C的参数方程为，（θ为参数），由此利用三角函数性质能求出x+y的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0，∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l的参数方程为，（t为参数），将，代入x2﹣y2﹣6x﹣1=0，整理，得t2﹣8tcosα+8=0，∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣32≥0，即cosα≥，或cosα≤﹣，∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．（2）曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8，其参数方程为，（θ为参数），∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2=3+4sin（），∴x+y的取值范围是[﹣1，7]．【点评】本题考查角的取值范围的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．【选修4一5：不等式选讲】24．（2015•德宏州校级三模）设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A（1）∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值（2）若a+b=1，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）由∈A，﹣∉A可得＜a≤，再由绝对值不等式的性质可得|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，结合恒成立思想，可得a2+a≤2，解出不等式，求交集，再由a∈N，即可得到a；（2）由条件可得+=+，对b讨论，分b＞0，b＜0，运用基本不等式求出最小值，比较即可得到所求最小值，同时求出取等号的a的值．【解答】解：（1）关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A，则a＞|﹣2|且a≤|﹣﹣2|，即有＜a≤，①∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，即有|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，即有a2+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②由①②可得＜a≤1，由a∈N，则a=1；（2）若a+b=1，则+=+，当b＞0时， +=+（+）≥+2=，当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为；当b＜0时， +=﹣+（+）≥﹣+2=，当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为．综上可得，当a=时， +取得最小值，且为．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
洛阳市——高三年级第二次统一考试.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作洛阳市2015——2016学年高三年级第二次统一考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－2i ，则z 1·z 2的虚部为A ．iB ．－iC ．1D ．－12．已知集合A ＝{x ｜x ＜－2}，B ＝{x ｜2x ＞4}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{n a }满足1n a ＋＝2n a ，n ∈N ﹡，a 3＝4，则数列{n a }的前5项和为A ．32B ．31C ．64D ．634．设P （x ，y ）满足约束条件4,3.x y x ⎧⎨⎩＋2≤＋y ≤则点P 对应的区域与坐标轴围成的封闭图形面积为A ．32B ．52C ．72D ．1125．已知离心率为2的双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的 实轴长为8，则该双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33xD ．y ＝±22x 6．将函数y ＝cos （2x ＋3π）的图象向左平移6π个单位，得到函数y ＝f （x ）的图象，则下列 说法正确的是 A ．f （x ）是偶函数 B ．f （x ）周期为2π C ．f （x ）图象关于x ＝6π对称 D ．f （x ）图象关于（－6π，0）对称 7．如图所示的程序框图所表示的算法功能是A ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最小整数nB ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最大整数nC ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最大整数n ＋2D ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最小整数n ＋28．函数f （x ）＝ln 2x x的图象大致为9．已知定义在R 上的奇函数f （x ）都有f （x ＋52）＋f （x ）＝0，当－54≤x ≤0时，f （x ） ＝2x ＋a ，则f （16）的值为A ．12B ．－12C ．32D ．－3210．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，AC ＝12，BC ＝5，若一个球和它的各个面都相切，则该三棱柱的表面积为A ．60B ．180C ．240D ．36011．已知P （a ，b ）为圆22x y ＋＝4上任意一点，则2214a b ＋最小时，2a 的值为 A ．45 B ．2 C ．43D ．3 12．设f （x ）＝324(0),2(0).ax x x x e x ⎧⎪⎨⎪⎩＋6＋2≤＞在区间[－2，2]上最大值为4，则实数a 的取值范围为 A ．[12ln2，＋∞）B ．[0，12ln2] C ．（－∞，0] D ．（－∞，12ln2] 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题。
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18．（12 分）在用“五点法”画函数 f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）在
某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：
ωx+φ
0
π
2π
x
① 2π ② 5π ③
Asin（ωx+φ） 0 2 ④ ﹣2 0
（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数 f（x）的解析式；
（x）=
，若 x∈[﹣2，0）对任意的 t∈[1，2）都有 f
（x）≥
成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[12，+∞） C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．（5 分）求曲线 y= ，y=x2 所围成图形的面积
．
2．（5 分）已知 R 是实数集，M=
=（ ）
A．（﹣1，2） B．[一 l，2] C．（0，2） D．[0，2] 3．（5 分）已知向量 =（1，2）， =（1，0）， =（3，4）．若 λ 为实数，（ +λ ）
∥ ，则 λ=（ ） A． B． C．1 D．2
4．（5 分）已知 α∈（﹣ ，0），且 sin2α=﹣ ，则 sinα+cosα=（ ）
14 ．（ 5 分 ） 已 知 向 量 ， 满 足 | |=2| | ≠ 0 ， 且 函 数 在 f （ x ）
=
在 R 上有极值，则向量 ， 的夹角的取值范围
是
．
15．（5 分）下列四个命题：
①函数 f（x）=cosxsinx 的最大值为 1；
②命题“∀ x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃ x∈R，x﹣2＞lgx”；
数 a 的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．[1， ] C．[1，2] D．[ ，2]
11．（5 分）已知 f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导
函数，若
＞x，则下列不等关系成立的是（ ）
A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3） C．ef（e）＜f（e2） D．ef（e2） ＞f（e3） 12．（5 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f
数 m 的取值范围是
（其中 e 为自然对数的底数）．
20．（12 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a，b，c 成
公差为 1 的等差数列，C=2A．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）求
方向上的投影．
21．（12 分）设函数 f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0）． （1）求函数 f（x）的最小值 g（a），并证明 g（a）≤0；
第 3 页（共 22 页）
（2）求证：∀ n∈N*，都有 1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜
成立．
四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修 4-l： 几何证明选讲】 22．（10 分）如图，点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点，AD⊥BC 于点 D，过 点 B 作圆 O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，点 G 是 AD 的中点，连接 CG 并 延长与 BE 相交于点 F，延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P． （1）求证：BF=EF； （2）求证：PA 是圆 O 的切线．
向右依次记为 M1，M2，M3，…，则
|等于（ ）
A．6π B．7π C．12π D．13π
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9．（5 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n（n∈N*），则 n≥2 时，a12+a22+…+an2= （）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知函数 f（x）=
的值域是[0，2]，则实
③若△ABC 为锐角三角形，则有 sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC； ④“a≤0”是“函数 f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．
其中所有正确命题的序号为
．
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16．（5 分）已知 e 为自然对数的底数，函数 f（x）=ex﹣e﹣x+ln（ f′（x）为其导函数，则 f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=
A．﹣ B． C．﹣ D．
5．（5 分）已知实数 a，b，c，d 成等比数列，且对函数 y=ln（x+2）﹣x，当 x=b 时取到极大值 c，则 ad 等于（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．（5 分）在等比数列{an}中，a2+a3+…+a8=8， + +…+ =2，则 a5 的值（ ）
（2）将 y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再将所得图象向左
平移 π 个单位，得到 y=g（x）的图象，求 g（x）在 z∈[﹣2π，2π]时的单调递增 区间． 19．（12 分）已知函数 f（x）=alnx﹣bx2 图象上一点 P（2，f（2））处的切线方程 为 y=﹣3x+2ln2+2，若方程 f（x）+m=0 在区间[ ，e]内有两个不等实根，则实
+x）+1， ．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 17．（12 分）已知数列{an}满足：a1= ，a2=2 且 3（an+1﹣2an+an﹣1）=2．
（1）令 bn=an﹣an﹣1，求证：{bn}是等差数列，并求{an}的通项公式； （2）为使 + + +…+ ＞ 成立的最小的正整数 n．
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2015-2016 学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中-只有 一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知等差数列{an}满足 a2=2，a6=0，则数列D．﹣2
A．±2 B．2 C．±3 D．3 7．（5 分）已知函数 f（x）=min
，其中 min（p，q}表示 p，
q 两者中较小的一个，则满足 f（x）＜1 的 x 的集合为（ ） A．（0， ） B．（0， ）∪（4，+∞） C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+ ∞） 8．（5 分）直线 y= 与曲线 y=2sin（x+ ）cos（x﹣ ）在 y 轴右侧的交点自左