高等数学20091(A)

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中国计量学院2009~ 2010学年第一学期高数A试卷A及答案

⎰=')xf x的一个原函数为xf则((dx)(),xB y cx xlnD y cx二、填空题（每小题3分，共15分）2)xx=_____________中国计量学院200 9 ~~~2010中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 2 页共 6 页 2、函数2sin ()3xf x x x的可去间断点为_____________. 3、设⎩⎨⎧≥-<<+=11310 1 )(2x x x x x f ，则=')(x f __________.4、若连续函数)(x f 在区间],[b a 内恒有()0f x '<, 则函数在],[b a 的最大值是___________.5、设)(x f 是连续函数，且22()3()2,f x xf x dx 则)(x f =_____________.三、计算题（每小题各6分，共48分）1、计算极限： 102lim sin(12)xx x x x2、计算极限：2221coslim sin x xxx中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 4 页共 6 页 6、 2ln .x xdx 求不定积分⎰7、计算定积分220min{,}x x dx ⎰8、 440.y y y '''++=求微分方程的通解te dt,讨论的凸凹性与拐点.中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 6 页共 6 页五、证明题（每小题5分，共10分）1、设)(x f 是可导的奇函数，证明：存在一点(,)a a ξ∈-，使得 ()()f a f aξ'=2、设函数)(x f 在[0,1]上连续且单调减少，证明对任给常数(0,1)a ，有10()()a af x dxf x dx中国计量学院2009~ 2010学年第一学期《高等数学(A)（1）》课程考试试卷（A ）参考答案及评分标准开课二级学院：理学院，学生班级：09级工科各班（二本），教师：丁春梅等一、单项选择题（每小题3分, 共15分)1—5 A D A D B二、填空题（每小题3分，共15分)1、 6e 2、x =0 3、 2 0 1()3 1x x f x x4、 )(a f5、 21033x三、计算题(每小题6分，共48分)1．解：122002lim sin(12)=0+lim +x xx x x x x x（12） 4分2 = e 6分中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 7 页共 6 页2．解：22201cos lim sin x xxx=22240sin cos lim x x x x x = 232cos (sin cos sin )lim4xx xx x x x x 4分2330sin cos sin =lim+22x xx x x x x x 32300sin 112=lim lim 62623x x x x x x x6分 Or 22201cos lim sin x xxx=22240sin cos lim x x x x x =3(sin cos )(sin cos )limxx x x x x x x x = 3sin cos 2limx x x x x 4分=20sin 2lim 3x x x x =236分 3．设函数y y x =()由参数方程⎩⎨⎧=≠-=t b y a t t a x sec )0()tan (确定，求dydx解：2sec tan (1sec )dy dyb t tdt dx dxa t dt4分 sec =csc tan b tbt a ta6分 4. 设方程21yexy 确定y 为x 的函数，求dy dx 解：方程两边对x 求导，得22ydy dyey xydxdx4分于是22ydyy dxxye6分5．解：令t =，则2dx tdt =，2122(1)1t tdt t t dt t -==-+⎰⎰⎰ 4分 322(11)3t t C x C =-+=++ 6分 6．解：()231ln ln 3x xdx xd x =⎰⎰3311ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 4分 321ln 33x x x dx =-⎰33ln 39x x x C =-+31ln 33x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 6分中国计量学院200 9 ~2010 学年第 1 学期《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 第 8 页共 6 页 7．计算定积分 220min{,}x x dx ⎰．解：2122201min{,}x x dx x dx xdx =+⎰⎰⎰ 4分12320111131132326x x =+=+= 6分 8． 440.y y y 求微分方程的通解'''++=解：特征方程是 2440r r ++=, 2分即 ()220r +=, 故 122r r ==- 4分因此方程的通解是 ()212x y C C x e -=+. 6分四、应用题（每小题6分，共12分） 1. 设0()x t f x te dt , 讨论（1）()f x 的单调性；（2）()f x 的凸凹性与拐点。

09级高等数学AI(A)卷.

《高等数学(A)I(本科)》试卷第1页共4页东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷） 2009--2010 学年第一学期《高等数学(A)I 》试卷开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷一、填空题（共80分每空2分）1．x x x f --=3)2ln()(的定义域是 . 2．=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅→x x x 2sin lim 0 ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∞→x x x 2sin lim ． 3．()=-→x x x 1021lim . 4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x . 5．)1(lim 2x x x x -++∞→= 6．30tan sin lim x x x x -→= 7．设x x x f )1ln()(+=，则=x 0是)(x f 的间断点． 8．0→x ，2cos 1x -是x 的__ ___阶无穷小． 9．设⎩⎨⎧>≤=0,10,)(x x e x f x 在0=x 处是否可导 . 10．曲线x e y =在点)1,0(处的切线方程为，法线方程为 .《高等数学(A)I(本科)》试卷第2页共4页11．设为常数且此处10,≠>++=a a a a x y a x a ，则=y d ． 12．)0(>=x x y x ，则x x x +→0lim = ，=dxdy .13．设函数)(x f 在点0x 处可微是函数在该点连续的条件.14．若⎩⎨⎧==ty t x cos sin ，则==4d d πt x y , ==422d d πt x y . 15．函数xx y 82+=的单调减区间是，它的凹区间是． 16．设)(x f 在0x 处可导且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f _____.17．设)(x f 在0x 处的邻域内一阶、二阶导数数存在，（1）若2)(',0)(00='='x f x f ，0x 为函数的极值点。

09高等数学(A)1参考答案

华东交通大学2009～2010学年第一学期期末考试高等数学(A)Ⅰ评分标准一、填空题(每题 2 分，共 10 分)1、2-=x ；2、)1 0(，；3、C x x +--cot ；4、x xe --；5、C e e x y +=或)ln(C e y x += 二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1、B ；2、D ；3、C ；4、A ；5、D三、计算题(每题 7 分，共 49 分)1、求极限]ln )3[ln(lim n n n n -+∞→ 解： ]ln )3[ln(lim n n n n -+∞→)3ln (lim n n n n +=∞→3)31ln(lim 3n n n +=∞→ 3=2、求极限x x xx x sin tan lim20-→ 解： x x x x x sin tan lim20-→30tan lim x x x x -=→ 22031sec lim x x x -=→ x x x x 6sin sec 2lim 20→=31=3、设)4ln(2-+=x x y 求y d 解；因为)4(4122'-+-+='x x x x y]2)4(211[412122x x x x ⋅-+-+=- 412-=x所以x x x y y d 41d d 2-='= 4、求不定积分xx x d 2cos 2⎰解： x x x d 2cos 2⎰⎰=x s x 2in d 212 ⎰-=22d 2sin 212sin 21x x x x⎰-=x x x x x d 2sin 2sin 212⎰+=x x x x dcos2212sin 212⎰-+=x x x x x x d 2cos 212cos 212sin 212 C x x x x x +-+=2sin 412sin 212sin 2125、求定积分x x d 11110 ⎰-+ 解：令t x =-1，即21t x -=，则t t x d 2d -=故 x x d 1111 0 ⎰-+t t t d )2(110 1 -⋅+=⎰t t d )111(210 ⎰+-= 1)1ln (2t t +-= )2ln 1(2-=6、求微分方程x e y y x 2=+'的通解解：原方程可化为x e x y x y 211=+'于是 x x P 1)(=，xe x x Q 21)(= 故通解为)d 1(d 12d 1C x e e x e y x x x x x +⎰⎰=⎰-)d 1(ln 2ln C x e e x e x x x +=⎰-)d (12C x e x x +=⎰ )21(12C e x x +=7、求微分方程x xe y y y -=+'-''56的一个特解解：因为1-=λ不为特征方程0562=+-r r 的根所以可设特解x e b ax y -+=)(*把*y 代入原方程，得 x b a ax =+-12812于是⎩⎨⎧=+-=0128 112b a a ，故181 121==b a ，因此所求特解为xe x y -+=)181121(*四、综合题(每题 9 分，共 18 分)1、求函数22)(x x x f +=的单调区间和极值解：因为222)2(2)(x x x f +-=' 所以令0)(='x f ，得2±=x 当2-<x 时，0)(<'x f ；当22<<-x 时，0)(>'x f ；当2>x 时，0)(<'x f 于是单增区间为)2 2(，- 单增区间为) 2( )2 (∞+--∞，、，极大值为42)2(=f 极小值为42)2(-=-f2、求由曲线2x y =，x y 1=及直线2=x ，0=y 所围平面图形面积及该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积解：平面图形面积为x x x x A d 1d 2 1 1 0 2⎰⎰+=21103ln 31x x +=2ln 31+= 旋转体体积为x x x x V d )1(d )(2 1 221 0 2⎰⎰+=ππ 2110515x x ππ-=107π=五、证明题(每题 8 分，共 8 分)证明曲线2a xy =上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积为常数证：设曲线上任意一点为) (00y x M ，，则200a y x = 因为x a y 2=，所以22x a y -='，于是202x a k -=切从而曲线在点M 处的切线方程为)(02020x x x a y y --=-令0=y ，得切线在x 轴上的截距为0202002x ay x x X =+=，令0=x ，得切线在y 轴上的截距为00202y x a y Y =+= 故构成的三角形面积为2000022222121a y x y x Y X S ====。

北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案

北京科技大学2009--2010学年第一学期高等数学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级学号姓名考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。

2008-2009(1)高等数学试题(A卷)(90)答案

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案课程：高等数学（A 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=1,1,1)(2x x x x f ，则=-))2((f f 1 .2. 若函数 ⎩⎨⎧>≤-+=0,)arctan(0,2)(2xax x b x x x f 在0=x 处可导，则=a 2 ，=b 0 .3．曲线x x x y 1sin 22-=有水平渐近线=y __1_ 和铅直渐近线=x __2____.4．已知1)(0-='x f ，则=+--→h h x f h x f h )2()(lim 000 3 .5．设C x dt t f x++=⎰501)()(，则常数=C -1 ，=)(x f 415)(+x .二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当0→x 时, )ln(21x +是x 的( A )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价学院专业班级姓名2. 函数12+=x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( B ). (A) 252--=x y (B) 2521+-=x y (C) 252-=x y ; (D) 2521--=x y 3．2x x f =)(在闭区间],[10上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( B ). (A) 31(B) 21(C) 22 (D) 21-4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极值, 且)(0x f '存在，则必有 ( A) . (A) 0)(0='x f (B) 00>')(x f(C) 0)(0>''x f (D) )(0x f '的值不确定5. x x f ln )(=在),(+∞0内是 ( C ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数（D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．212x xy -=arctan ，求dy . 解：22212112⎪⎭⎫⎝⎛-+'⎪⎭⎫⎝⎛-='x x x x y2222212112212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----=x x x x x x )()(）（……………………………………………3分212x += ………… ………………………………………………..4分dx xdy 212+=∴……………………………………………………6分 2．=y )sin(12+x ，求n （N n ∈）阶导数)()(x y n . 解： )sin()cos(π211221221++=+='x x y ，……………….1分 )sin()sin(π2212212222++=+-=''x x y ，……………2分 )sin()cos(π2312212233++=+-='''x x y ，……………3分所以有N n n x x y n n ∈++=),sin()()(π2122……………….……………6分3．设曲线参数方程为⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ，求dx dy . 解：dtdxdt dydx dy = ……………….…………………………….........3分 tt 2312--= ………….…………………………….................6分4．求x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim . 解： =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 2lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→221lim ………….………….........2分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222221x x x x x lim ………….………….......................4分2-=e ……………….……………………………...................6分5．求⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x sin lim 110. 解： =⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x sin lim 110x x x x x sin sin lim -→0………….……..............2分 20xx x x -=→sin lim xx x 210-=→cos lim ………………….…………............................4分 020==→x x sin lim .………….………… ………………………6分四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分） 1．⎜⎠⎛++dx x x x )(132222. 解：⎜⎠⎛+-+=⎜⎠⎛++dx x x x x dx x x x )()(1331322222222 ⎜⎠⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dx x x11322………….………………………………….3分 C x x+--=arctan 3…………………… ……………………….6分 2．⎜⎠⎛+901dx xx . 解：令x t =，则tdt dx t x 22==,……..……….…….................1分 ⎜⎠⎛+=⎜⎠⎛+3090211tdt t t dx xx ……………………….…………..........2分 ⎜⎠⎛++-=301112dt tt )( ()302122)ln(t t t ++-=…………………………….………… …….5分 243ln +=………………………………………….……....................6分3．⎰∞+-02dx e x x .解：⎰⎰∞+-∞+--=0202x x de x dx e x ⎰∞+-+∞-+-=0022dx xe e x x x ……………………...……....................2分 ⎰∞+-+∞---=0022x x xde e x x d e xe e x x x x ⎰∞+-+∞-+∞-+--=000222……………...………..........4分 220=-=+∞-xe .………………………...………….……....................6分五．（本题满分7分）.)(所围平面图形的面积求椭圆012222>>=+b a by a x 解：根据对称性⎰=a ydx S 04令20π≤≤⎩⎨⎧==t t b y t a x sin cos………………...…….......................2分则 ⎰⎰==02044π)cos (sin t a td b ydx S a⎰=2024πtdt ab sin …………...……………………………….5分 ⎰-=202214πdt t ab cos .ab π= ...………………………………………………………..7分六．（本题满分7分）1．设0>>a b ，()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。

2009级高等数学I(1)试卷(A)解答

f ( ) f ( x)dx.

1
唯一性. 因
( x) [ xf ( x) 2 f ( x)] 0, x (0,1),
故 ( x) 是 [0,1] 上的单调函数, 从而上述是唯一的.
3
(A) ax 2 bx c dx 2e2 x .
.
dy dx x0
(B) ax 2 bx ce2 x . (D) ax 2 (bx 2 cx)e2 x . 〖 A 〗
x 2 ax b (1) 已知 lim 2 2, 则 ab x2 x x 2
(4) 计算定积分 2 ( x3 sin 2 x) cos 2 xdx.
2

1 3 1 【解】原式 2 2 sin 2 x cos 2 xdx 2 2 (sin 2 x sin 4 x)dx 2 . 0 0 2 2 4 2 2 8
1e t 1 2tdt 1 1 t 1 1 ex 1 【解】原式 C ln C. dt ln 2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 1 ex
3 2 ax bx 0, 且曲线 y f ( x) 与直线 2 x 1, y 0 所围平面图形 S 的面积为 2. 问 a 取何值时, 图形 S 绕 x 轴旋转一周所得
16
(C) ax 2 bx cxe2 x .
(2) 设 y f (e2 x ), f ( x) arctan x, 其中 f 可微, 则

2
本题得分
三、计算下列各题(每小题 7 分, 共 28 分)
(3)
1
dx x (1 x 2 )

2009年数学一试题答案、解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（）（A ）11,6a b ==- （B ）11,6a b ==（C ）11,6a b =-=- （D ）11,6a b =-=【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sin sin 1cos sin lim lim lim lim ln(1)()36x x x x x ax x ax a x a axx bx x bx bx bx→→→→---===---- 230sin lim 166.x a ax a b b axa →==-=- 36ab =-意味选项B ，C 错误。

再由21cos lim 3x a axbx →-=-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KK K D D k I y xdxdy ==⎰⎰，则14max{}K K I ≤≤=（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

2009—数一真题、标准答案及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)x(C)(D)（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ . （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .（11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 .(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y xy y y =++的极值.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关.（21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.（23）（本题满分11 分）设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ，2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.【答案】 A.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D). 所以本题选（A ）. （2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .【答案】 A.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；x{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为(A).（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增.③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.【答案】C. 【解析】方法一：举反例：（A）取(1)nn n a b ==- （B ）取1n n a b n ==（D ）取1n n a b n==故答案为（C ）.方法二：因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <又因为1nn b∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,n ηηη的过渡矩阵.则由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足 ()12233112311,,,,23M ααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭12310111,,22023033ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A).（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 11116601O B BO A OA O A OB B O B B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为（B ）.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭，所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】 B. 【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 独立1()[(0)()]2Z F z P X z P X z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ . 【答案】"'"12222xf f xyf ++.【解析】''12z f f y x∂=+⋅∂，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ∂=++⋅=++∂∂. （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()xy c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-=微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==220,2A AxB x B B -++=-+==∴ 特解 *2y x =+∴ 12()2xy c c x e x =+++把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==- ∴ 所求2xy xe x =-++ （11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .【答案】136【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤≤，则ds ==，所以()201148Lxds x ==+⎰11386==（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .【答案】415π. 【解析】方法一：2122220sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()21240cos cos d d d ππθϕϕρρ=-⎰⎰⎰30cos 1423515d πϕπϕπ=⋅-⋅=⎰方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d πππππϕϕϕϕ=⋅⋅=⎰⎰⎰（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 .【答案】2.【解析】2Tαβ=()2T T βαββαββ∴==⋅, T βα∴的非零特征值为2.(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 【答案】1-. 【解析】2X kS -+为2np 的无偏估计22()E X kX np -∴+=2(1)1(1)(1)11np knp p np k p pk p p k ∴+-=∴+-=∴-=-∴=-三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. 【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+= 2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=故10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ = 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，n y x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，所以112111111a ()()001212nn n n n xxdx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰，从而1111111111S lim lim(-)lim()23122+22Nn nN N N n n a a N N N ∞→∞→∞→∞=====-++=-=++∑∑2211111111111111=)22+1232N 2N+123456n n n S a n n ∞∞-====--++-=-+-+∑∑（）（由2(1)1(1)2nn x x n-++-+ln(1+x)=x- 取1x =得22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-⇒=-.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】（I ）1S 的方程为222143x y z ++=，过点()4,0与22143x y +=的切线为122y x ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭，所以2S 的方程为222122y z x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（II ）1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--. 根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(),()()x y z x x x y z x y z ∂+-=∂++++① 2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ∂+-=∂++++②2222223/22225/22(),()()z x y z z x y z x y z ∂+-=∂++++③ ∴①+②+③=2223/22223/22223/2()()()0()()()x y zx x y z y x y z z x y z ∂∂∂++=∂++∂++∂++ 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016x y z R R ∑++=<<有 1132223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdyxdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R ππ∑∑∑Ω++++====⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数.解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关. （21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======（23）（本题满分11 分）设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量【解析】（1）由EX X =而22022ˆx EX x e dx X Xλλλλ+∞-===⇒=⎰为总体的矩估计量（2）构造似然函数()()12111L ,.....,;;nii nnx nn i i i i x x f x x eλλλλ=-==∑==⋅⋅∏∏取对数11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===+-∑∑令111ln 222001n i n ni i i i i d L n n x d x x n λλλ====⇒-=⇒==∑∑∑ 故其最大似然估计量为2Xλ''=.。

全国2009年7月高等教育自学考试高等数学(一)试题

全国2009年7月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.函数f (x )=21sin 2xx ++是（） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 2.设f (x )=2x ,则f ″(x )=（）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·43.函数f (x )=33x -x 的极大值点为（） A.x =-3B.x =-1C.x =1D.x =3 4.下列反常积分收敛的是（） A.⎰∞+1d x x B.⎰∞+1d x x C.⎰∞++11d x x D.⎰∞++121d x x 5.正弦曲线的一段y =sin x ≤≤x 0(π)与x 轴所围平面图形的面积为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设f (x )=3x ,g (x )=x 2，则函数g [f (x )]-f [g (x )]=_______________.7.函数f (x )=xx x ++231间断点的个数为_______________. 8.极限x x x 20)21(lim -→-=________________.9.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.10.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy =_____________. 11.函数f (x )=x 2e -x 的单调增加区间为______________.12.不定积分⎰+32d x x =__________________.13.设f (x )连续且⎰+=xx x t t f 022cos d )(，则f (x )=________________.14.微分方程x d y -y d x =2d y 的通解为____________________.15.设z=x e xy,则y x z ∂∂∂2=______________________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设函数f(x)=⎩⎨⎧≤+>-0130e x x x k x在x =0处连续，试求常数k . 17.求函数f(x)=xx2sin e +x arctan x 的导数. 18.求极限xx x x x sin e lim 20-→. 19.计算定积分⎰π202d 2sin x x . 20.求不定积分⎰++211x x d x .四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值.22.已知f (3x +2)=2x e -3x ,计算⎰52d )(x x f . 23.计算二重积分⎰⎰D y x y xd d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域.五、应用题（本大题9分）24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y ，其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体（如图）.问当x,y 各为多少时可使旋转体的体积最大？题24图六、证明题（本大题5分）25.设z =y +F (u ),u =x 2-y 2,其中F 是可微函数.证明：y x y z x x z =∂∂+∂∂.。

2009考研数一真题答案及详细解析

f(t)dt
I: > �f'.J<t)dt+ 八 t)dt�f (x) dx.'
又由定积分的几何意义知，『 g (x)dx>O,故 2<x<3 时 F(x)>O.故应选 D.
(4) C
解
I; 若令
an= bn=
(-l)n
嘉,则nl-im= a
n
=
O, n=
l
从收敛，却有
co
nI=;l a
n从
=
nI=;l — n1
1,1],
和函数为—
ln(l+x).
因为5 (x)=
= I;
(—l)n
X
n=
X
— ln(l+x),令
x= l,得
n= 2 n
S 2= n�= la 加一1 = S(1)= 1- ln 2.
(17) 解
(I)
椭球面 S1
的方程为X— 42
+
沪
+z 3
2 =
1.
。设切点为
(x
口 Yo),
则
X—+
4
— y
y2dxdyd乏＝』之2dxdyd之，
{l
所以
w 上�+ ill f I I z'dxd:
。。。上 2
六
(x' 二三） dxdydz� 3
亢 d0
sin钊'P'r'dr�±. 穴． 15
{l
03) 2
n 解设入是P矿的非零特征值，是属于入的特征向量，从而p矿T/=入1
由于入=/=-0, TJ =/=-0,故a可=l=-0.

2009级理科通识教育提高阶段课程《高等数学A》

《高等数学A (1)》教学指导性意见教材：黄立宏、刘开宇、朱郁森：大学数学1，第三版，高等教育出版社，2014.08 课时：80 + 16教学指导性意见提出教学的基本内容和教学基本要求，是教学和考试的依据。

学时的分配可参考公共数学系提出的教学进程安排。

教学要求的程度，对于概念和理论方面，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述，对于方法、运算和能力方面，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。

一、函数（第一章）（与中学的内容相衔接，以复习为主）1．理解函数的概念，了解复合函数和反函数的概念。

2．了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。

二、函数的极限（第二章）1．了解数列极限和函数极限的概念（对于给出ε求N 或δ可不作高的要求），在后面内容的教学中逐步使学生加深对极限思想的理解。

2．掌握函数极限存在与左右极限之间的关系，了解函数极限的性质，了解极限存在的两个准则：夹逼准则和单调有界准则（第一节的定义5“子列”、定理5“收敛数列与其子列收敛的关系”、定理7“柯西收敛准则”、第五节第二目和第三目可略去）。

3．掌握极限的四项运算法则，会用两个重要极限（1sin lim0=→x x x ，e xx x =+∞→)11(lim ）求极限。

4．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量阶的比较，会用等价无穷小量求极限。

三、函数的连续性（第三章）1．理解函数连续性的概念，会判断间断点的类型。

2．了解初等函数的连续性，知道闭区间上连续函数的性质：最大值最小值定理、零点定理、介值定理（第二节第四目“函数的一致连续性”可略去）。

四、一元函数的导数与微分（第四章）1．理解导数的概念，了解导数的几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系，能用导数描述一些实际问题的变化率。

2．熟练掌握导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，知道反函数的求导法则，了解高阶导数的概念，能熟练计算初等函数的一、二阶导数，知道函数的和及乘积的n 阶导数公式，会求简单函数的n 阶导数。

高数第一次测试答案2009.11

高数（A 一）第一次测试答案2009[1].11高数（A 一）第一次测试卷[2009]高等数学（A一）第一次测试试卷（2009 年 11 月）教师_____________ 班级______________ 姓名学号___________ 成绩_________> [3 6 18]选择：将您认为正确的答案代号填入下列表格内B ' A [ D [ A [ D DX c设f(x) 7 X 0 ,则0, x 0A・f（x）在x 0极限存在且连续；B・f（x）在X 0的左、右极限存在但不相等；C . f（x）在x 0极限存在但不连续；D. f (x)在x 0的左、右极限不存在。

2.数列极限n x /lim 2 sin n(2）。

A. x；B. 0；C. ；D. 不存在但非。

3 23•右l x m1X 1xax 4存在且有限，则1a( ).A. 2B. 1C.8 4高数(A 一)第一次测试卷[2009]1.2 ca x , x 04•设函数f(x) i,x 0 ，其中f(x)在x = 0 ln(1 x x2),x 0sin xb连续，则在A ・ a 1,b 1 ；B . a 1,b e ；C ・ a 2，b 0 ；D ・ a 1,b e 。

5 .设f(x°)存在，则帆f(x0 2；)f(x0)()A・f(x°)； B ・2f(x。

)； C ・f(x°)；D・2f(x。

).6 .如果函数f ( x)与g(x)对于区间(a,b)内每一点都有f (x) g (x)，则在(a,b)内必有A ・ f (x) g(x) ；B ・ f (x) G,g(x) C2 ；C . f(x) g(x) 1 ;D ・f(x) g(x) c二、［3 6 18］填空：1 .函数f(x)的定义域01，则f(x2)的定义域为1,1 _______ 。

2・设f(x)可微，且y f(x3),则有dy2 33x f (x )dx ____________ o3 .曲线y x3 3x上切线平行x轴的点有(1,2), (1, 2) ______ o解:原式lim 0xln xelim xln xe x 0limln x1limxlim e x 0(x)3.lim [xxx 2 ln(1 丄)]x解:原式t 1dmln(1Tt lim - t 0ln(1¥t)1lm1 1 t 2tsin xcosx (e4・ Im —1)4(1 cosx)解:原式lim x 0.4sin x2四、［7 3 21 ］试求下列函数的导数或微分:高数(A 一)第一次测试卷［2009］4.已知函数f(x)具有任意阶导数，且f (x) ［f(x)］2，则当n 为大于22 limx 0的正整数时，f(x)的n 阶导数f (n)(x)是n![f(x)]n 15. d ( 扣n2xc)=se&2xdx6. lim 1x 0・ cot xsin x[6 4 24 ］计算下列极限: 1.lim x 0 xex arcta n xln(1 x) 1解:原式e 1 x 1 1(1 x)e x1 li mx xe (1 x)e2xx x1 xlim 0limx12. arctan#如x 2y 2确定y 为X 的函数，已知x 1时，x 223 •设方程x y3t 2t 3，确定y 为x 的函数，t 为 e ysi nt y 1参变量，求导数寻t 0。

安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答

安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答安徽大学2009--2010学年第一学期《高等数学A(一)》考试试卷(A 卷)(闭卷时间120分钟)一、填空题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 若+∞→x lim （12+-x x -（ax+b ））= 0, 则a =▁▁▁▁▁▁▁▁▁，b = ▁▁▁▁▁▁▁▁ .2. 设函数y = y(x)由方程52arctan 2=+-=e ty y t x t所确定，y = y(x) 关于x 的一.3.若f(x)= ,0,1sin x x a00=≠x x 在x=0处右导数存在，则a 的取值区间为▁▁▁▁▁▁. 4.求lnx 在x 0=1处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 展开式: ▁▁▁▁▁▁▁▁5. 微分方程y "+y '=x 的通解为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.二、选择题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 已知数列{x n }、{y n }满足∞→n lim x n y n =0, 则下列断言正确的是( ).A. 若{x n }发散, 则{y n }不发散.B. 若{x n }无界, 则{y n }必有界C. 若{x n }有界, 则{y n }必为无穷小量.D. 若{nx 1}为无穷小量, 则{y n }必为无穷小量. 选 D. 理由:A ，B 不正确，如x n ==-=k n n k n 2,12,0,y n ==-=kn k n n 2,012,C 不正确如2. 设f(x)= ∞→n lim1sin )1(2+-nx xn ,则( ).A.f(0)不存在.B. f(0) 存在，且x=0为可去间断点.处连续.3. 曲线y=x 4-2x 2+2的拐点个数为( ).A. 0.B. 1.C. 2 D . 3.4. 设f '(x) 存在且连续，则[?)(x df ]'= ( ).A. f '(x).B. f '(x)+C. C. f(x).D. f(x)+C. 选A. 理由:?)(x df =f(x)+C5. 设f(x) 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是( ). A. dt t f x2)(. B.dt t f t f t x-+0C.dt t f x2)(. D.dt t f t f t x--0))()((选B. 理由:A,D 不正确:)(2t f ,t(f(t)-f(-t)) 均为偶函数;B 正确:t(f(t)+f(-t)) 为奇函数; C 不正确: 当f(x) 为奇函数或偶函数时)(2x f 为偶函数三、计算题(本题共8小题, 每小题7分, 共56分)1. ∞→n limn n n n 22cos sin +2. 若0lim →x x x f cos 1)(- = 4, 求0lim →x (1+xx f )()x1.3. 设a>0, a 1>0, a 1+n =21(a n +n a a ), n=1,2, …. 求极限∞→n lim a n4. 0lim →x 21xxtt sin 02arctan dt .+++)1ln(1)1(1x x dx . (x>0)6.?-112x x dx . (x>0)7. 设xsin 是f(x) 的一个原函数, 求?103)('dx x f x .8. 求曲线Γ: y =dt t xsin (x ∈[0, π]) 的长.四、综合分析题(本题共2小题, 每小题7分, 共14分)1.讨论函数y =(x+1)2-3｜x ｜在[-3,3)上的最值.2. 讨论广义积分?∞++01nmx x dx (n ≥0)的敛散性。

2009-10-1高等数学(A)试题答案(A卷)

2009-10-1高等数学（A ）期末考试试题答案一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、32、03、=-+tan .x x c4、3202)()(33x x x x x ∆+∆+∆ 5、42220πx a x dx a-⎰ 二、解答下列各题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)1、解：，，f f b f a ()()()001000-=+== …………………………3分当时处处连续a b f x ==1() …………………………5分2、解：),(+∞-∞函数定义域，)2)(2(3x x y +-='， ……………………………2分(],2,[2,][2,2]-∞-+∞-故函数在上单调减,在上单调增 ………………………… 5分三、解答下列各题(本大题共5小题，每小题6分，总计30分)1、解原式:lim =--+→x x x x 2223126181226lim 21218x xx →==-…………………………………每步2分2、⎰+82d 2x x ⎰+=4d 212x x =+++1242ln .x x c ………………………每步3分 3、解：在上连续可导，又f x e f x e x x ()(,),()=-∞+∞'= …………………………2分由f x x f x f x x x ()()()+-='+∆∆∆θ，得e e e x x x x x x ++-=⋅∆∆∆θ ………………………5分1lnx e x xθθ∆-∆=∆解得，这就是所求的的值 ……………………………………………………6分 4、原式=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰x x x dx 341212011()=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥472323174323201x x x ()=-47432 ……每步2分5、x xdx x t dx tdt 221-==⎰ 令 sin .cos …………………………………………1分原式22sin 1cos 211cos sin sin 2cos 222t t tdt tdt dt t t c t -⎡⎤====-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ …………………………5分 [].1arcsin 212c x x x +--=…………………………………………6分四、证明下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、证：⎰⎰'=''babax f xd dx x f x )()( ='-'⎰xf x f x dx a b ab()()………………………………4分='-'-bf b af a f x a b ()()() …………………………………………6分[][]='--'-bf b f b af a f a ()()()() …………………………………………8分2、:0,,()[,],,T x f t x x T ∀>+证对及充分大的在上可导利用拉格朗日中值定理则至少存在(,),x x T ξ∈+使 ()()()f x T f x f T ξ'+-=⋅ ………………………………………3分 []T f x f T x f x x x ⋅ξ'=-++∞→+∞→+∞→)(lim )()(lim ,取极限有上式两边令 ……………………6分lim ()T f Ta ξξ→+∞'== ……………………………………………………………………8分五、解答下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、解：设圆锥形漏斗的高为则锥底面半径为Hcm R H cm ,=-4002漏斗的体积，V H H H =-<<π34000202()………………………………………………3分2(4003),(020)3V H H π'=-=在，内唯一驻点，20V H π''=-< ……………………6分此时漏斗体积最大由实际问题可知也是极大值点故唯一驻点,,3320=H …………8分 2、解)1(3d 2 c x x y y +=''='⎰ ………………………………………2分(0,2)222362,(1)33x y y x y -'-==-=又由得　代入得'=+y x 3232 ………………………5分c x x x x y ++=+=∴⎰32d )323(32.232,2)2,0(3-+=∴-=-x x y c 代入得再将 …………8分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计8分) 解：'=⋅⋅-≠<y x x x22112002ln ， ………………………………………………4分'=-<φ()ln x x xx 122202　， ……………………………………………………………4分。

09级数学分析(1)试题(A卷)参考答案

09级数学分析(1)试题（A卷）参考答案参考答案一、叙述题(每题5分共20分)（略）二、计算题（每题5分，共20分）1．设liman?a（an?0,a?0），求liman。

Nnn？？解决方案0遇见0？？0 a.利曼的？A你知道吗，？NN什么时候？当n，n??a??0?an?a??0因此nnna??0?an?a??0nnn？？N取上述公式两边的极限，并使用结论limc？1（C？0是常数）和强迫收敛，利曼？1。

2. 找到曲线X？1.t2，y？Tt的T2？1对应点的切线方程。

解因为x2t,y??1?2t，那什么时候呢？1点，x？0，y？0 x2，y 1.那么切线方程是x?0y?0?即x?2y?0?2?1或dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时，x?0,y?0，故切线方程是1.2t？1岁？0 3. 问limx？01（x？0）2tanx？sinx.3sinx12x？xtanx？sinxtanx （1？cosx）12？Lim溶液。

？林？十、0x？0x？0sin3xsin3x32第1页，共6页或tanx?sinxtanx?sinx01?cos3x0lim?limlim2332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x03cos2xsin x10?limlim?2x?0x?03x6x2或11 十、x3？o（x3）十、x3？o（x3）？？坦克斯？sinx33lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1?lim2?x?0x324.找到f（x）？2x3？X4的极值。

解f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0，得稳定点x?0,232323(,??)2－kxf?(x)f(x)或(??,0)+j00无极值3(0,)2+j320极大值27/163f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0，得稳定点x?0,22和f？？（x） ?？12倍？12倍？12倍（1？x），f（x） ?？12（1？2倍）f??(0)?0,f(0)?0，所以f在x?0不取极值。

2009年考研数一真题及答案

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx →→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim 3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函x数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

2009年高考理科数学全国一卷真题

利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ( )
（II）由（I）知 ,
=
而 ,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
21、
分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得 .考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为、、、。
则由（I）根据韦达定理有，
则
令，则下面求的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国I卷)
本试卷分第。卷（选择题）和第。卷（非选择题）两部分．第。卷1至2页，第。卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么球的表面积公式
如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

09高等数学(A)1

华东交通大学2009—2010学年第一学期考试卷试卷编号：（ A ）卷高等数学(A)Ⅰ 课程 (工科09级) 课程类别：必闭卷（ √ ）日期： 2010.1.12 题号一二三四五总分 1 2 3 4 5 6 7 1 2题分 10 15 7 7 7 7 7 7 7 9 9 8 得分阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题 2 分，共 10 分)1、函数42)(2-+=x x x f 可去间断点为2、曲线133++=x x y 的拐点为3、不定积分=⎰x x d cot24、设函数⎰-=1 d )(xt tte x F ，则_______)(='x F5、微分方程yx ey -='的通解为二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1、当0→x 时，1sin 1--x x 是2x 的( ).A. 高阶无穷小B. 同阶不等价无穷小C. 低阶无穷小D. 等价无穷小4 D. 4 C. 2 B. 0 A.)(d sin 22 0-=⎰x x π定积分、得分评阅人得分评阅人承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

专业班级学号学生签名：ta b t a b t a b t a b x y t b y ta x 3232222csc D. csc C. csc B. cot A.)(d d sin cos 3--=⎩⎨⎧==则，设、25 D. 25 C. 21 B. 21A.) (]2 1[32)( 42--=-+-=ξ的满足拉格朗日中值定理，在区间函数、x x x fCx C x C x C x x x xf x f x +--+-+--+-=⎰222322321 D. 1 C. )1(31 B. )1(31 A.)(d )()(arcsin 5的一个原函数，则为设、三、计算题(每题 7 分，共 49 分)1、求极限]}ln )3[ln({lim n n n n -+∞→2、求极限xx x x x sin tan lim20-→得分评阅人得分评阅人3、设)4ln(2-+=x x y 求y d4、求不定积分xx x d 2cos 2⎰得分评阅人得分评阅人5、求定积分xxd1111⎰-+6、求微分方程xeyy x2=+'的通解得分评阅人得分评阅人7、求微分方程xxey y y -=+'-''56的一个特解四、综合题(每题 9 分，共 18 分)1、求函数22)(x xx f +=的单调区间及极值得分评阅人得分评阅人2、求由曲线2x y =，x y 1=及直线2=x ，0=y 所围平面图形面积及该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积五、证明题(每题 8 分，共 8 分)证明曲线2a xy =上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积为常数得分评阅人得分评阅人。

2009级《高等数学1》期末复习提要1

2009级《高等数学1》期末复习提要12009级《高等数学》期末复习提要第一章函数极限与连续一、基本概念：函数：自变量x 与因变量y 的对应关系，记为y =f (x )定义域D ：自变量的取值范围复合函数：函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦为函数()y f u =与函数()u g x =的复合函数，其中()u g x =称为中间变量。

二、函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性.三、初等函数：1、基本初等函数：六种、12个常数函数 y c = 幂函数 ()0y x αα=≠ 指数函数 ()0,1x y a a a =>≠ 对数函数 ()log 0,0a y x a a =>≠ 三角函数 sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====反三角函数 arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x====2、初等函数：由基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合得到的函数称为初等函数。

四、极限的基本形式:1、函数极限的描述性定义当函数()f x 在自变量x 的某一变化趋势下，函数值()f x 无限接近常数A ，则称函数极限存在，极限值为A ，记为：lim ()f x A =2、函数极限的精确定义()0x x →：设函数()f x 在点0x 附近有定义，若对于任意正数ε，均存在正数δ，使当00x xδ<-<时，总有不等式 ()f x A ε-< 成立，则称当0x x →时，()f x 极限存在，极限值为A ，记为：0lim ()x x f x A →= 3、极限有七种基本形式()()()()()()000lim lim lim lim lim lim lim nn x x x x x x x x x y f x x f x f x f x f x f x +-→∞→→→→∞→+∞→-∞⎧⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎨⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⎩⎩0数列极限在点极限函数极限无穷远处五、极限计算的基本方法:1、初等函数在其定义域内连续，即0lim ()()x x f x f x →=2、极限的基本运算法则:若lim (),lim ()f x g x 存在，则：[]()lim ()()lim ()lim ()lim ()lim ()lim ()()lim ()lim ()()lim ()limlim ()0()lim ()f xg x f x g x kf x k f x f x g x f x g x f x f x g x g x g x ±=±===≠2、重要结论：初等函数在其定义域内连续3、间断点：不连续点⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩可去间断点第一类间断点跳跃间断点间断类型无穷间断点第二类间断点震荡间断点七、例题: 例1．设221()1arcsin5x f x x -=-，求()f x 的定义域。

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卷号：（A ）（2009年6月）机密
湖北师范学院期末考试试卷
高等数学
考试范围第7至12章命题人院系考试形式
闭卷课程类别必修学期
20091
专业
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分)
1．在空间直角坐标系中，方程2
2
z x y
=+的图形是（
）
（A ）球面（B ）柱面（C ）旋转椭球面（D ）旋转
抛物面 2．
(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数
z x
∂∂及
z y
∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分
的（）
（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既不
充分也不必要条件 3．设ln 10
d (,)d e
x
I x f x y y
=⎰⎰，改变积分次序后得（）（A ）ln 10
d (,)d
e x
y f x y x ⎰⎰ （B ）ln 10
d (,)d e
x
y f x y x ⎰⎰
（C ）1
0d (,)d y
e
e
y f x y x ⎰⎰
（D ）10
d (,)d y
e
e y
f x y x ⎰⎰
4．设S 是球面2222
x y z R
+
+=，则曲面积分()222
d S
x y z
S +
+=⎰⎰（）
（A ）4R π （B ）42R π （C ）44R π （D ）46R π 5．下列级数中收敛的是（）
（A ）11
sin n n
∞
=∑ （B ）2
1
2n n n
∞
=∑
（C
）1
n ∞
=∑
（D ）3
1
42
n n n ∞
=-∑
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设()(2)z x y x y =+-，则(2,1)d z =_______________ 2．设22
2x y z +
+=在点(1,1,0)处的切平面方程_________________
3．设二重积分的积分区域D 是2
2
14x y ≤
+≤，
则d d D
x y =⎰⎰_____________
4．设级数1
(1)n n u ∞
=-∑收敛，则lim
n n u →∞
=____________ 5．以21
2x
x
y C e
C e
=+为通解的微分方程是_____________
三.计算题（要求写出主要计算步骤及结果，每小题7分，本题42分）
1．求过点(2,0,3)-且与直线2473521
x y z x y z -+=⎧⎨+-=-⎩垂直的平面方程．
2．设2
2
(,)z f xy x y =
+，其中
f 具有二阶连续偏导数，求
2
2,,z z z x y x
∂∂∂∂∂∂．
3．计算d x y D
e σ+⎰⎰，其中D 为矩形：:01,
12
D x y ≤≤≤≤．
4．计算(2)d d L a y x x y -+⎰，其中L 为沿摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-上
对应t 从0到2π的一段弧． 5．将函数1
()f x x =展开成(3)x -的幂级数．
6．求微分方程38y y '+=，满足条件0
2
x y ==的特解．
四．综合应用题（要求写出主要计算步骤及结果，第一小题6分，第二小题8分，本题14分）
1．设曲线积分2()L xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中)(x ϕ具有连续导数，且0)0(=ϕ,
求)(x ϕ，并计算(1,1)
2(0,0)()I xy dx y x dy ϕ=+⎰的值． 2．求级数0
(1)n
n n x ∞
=+∑的和函数，并求0
12
n
n n ∞
=+∑
．
五．证明题（共两小题，第一小题6分，第二小题8分，本题14分）
1．证明：22
4
(,)(0,0)lim
x y xy
x y
→+不存在．
2．设
()f x 在[,]a b 上连续，试证：
1
1d ()
()d ()()d b y
b n n
a
a
a
y y x f x x b x f x x
n
--=
-⎰
⎰⎰
其中n 为自然数．。