高考新题关注四心——透过三角形的“心”展望命题走势

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高考数学解题：秒杀向量巨难题型—四心问题

高考数学解题：秒杀向量巨难题型——四心问题同学们，今天给大家分享一下向量四心问题的解题技巧。

向量四心问题的考察非常之难，以至于竞赛题都经常考出来向量四心问题。

这种题目平时遇到不能常规做，常规做在5分钟内未必能得出答案的，那我们今天讲一个技巧，如果把这个技巧思维掌握透彻，这种题目也能够秒出答案的。

那么在讲技巧之前，我先讲一些基本的知识点：向量四心问题快速求解的秘密——特殊化！首先我们要了解向量四心是指四心？其实就是指重心、垂心、外心和内心。

①重心：是中线的交点(我用G表达)；②垂心：是三条高线的交点(我用H表达)；③外心：是中垂线的交点(我用O表达)；④内心：是角分线的交点(我用I表达)。

这四个心怎么记忆，它们都有不同的向量表达，这个我们在系统课里讲得非常透彻，在这里我直接写出四心所对应的向量关系：同学们，看到了吗，这四个心相对应向量关系常规来看是非常难的，不要用常规方法解这种题目，肯定在短时间内搞不定的，那么今天我就用技巧给同学们分享两道题。

那么，我们四心问题特殊化成什么呢？是特殊化等腰直角三角形这个非常管用！记住：不要特殊成等边三角形因为等边三角形四心都合为一个心，而等腰直角三角形的四心不是一个心，但是这四心有一个特征点。

这四心点都在这个CD的高线上。

所以，同学们你会发现，一般的三角形是不满足这个关系的，只有在等腰直角三角形中行中四个心能区分而且四个心都在这个CD高线上。

这种题目就非常快速得到解决，你只要能明白这个道理，我告诉大家上面的那些公式都不用记，他答案就能出来得了，但是这些公式怎样去理解呢？我们在正课里面有详细讲解怎么今天的课程就不讲，今天只给大家讲技巧大家需要把这个四心掌握透彻。

好了，开始看下一道题：同学们，你们怎样理解它的呢？就把这个等腰三角形看作是等腰直角三角形-特殊化！同学们看懂没？因为等腰直角三角形也是三角形的一种，这个非常准你放心大胆的使用就行了。

接下来我们就开始解题：1、先看第一个A选项为外心，如果是外心，如图：那我们就可以看出，A选项肯定不正确。

素养微专题6 平面向量与三角形的“四心”

3，且
→ 3OA
＋ 7O→B＋O→C＝0，则边 AC 的长是________．
答案： 3－1
13
平面向量与三角形的“四心”
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解析：设△ABC 外接圆的半径为 R，∵O 为△ABC 的外心，∴|O→A|＝|O→B|
＝|O→C|＝R，又 3O→A＋ 7O→B＋O→C＝0，则 3O→A＋O→C＝－ 7O→B，
平面向量与三角形的“四心”
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[素养点评] 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． O 是△ABC 的外心⇔|O→A|＝|O→B|＝|O→C|(或O→A2＝O→B2＝O→C2)．
12
平面向量与三角形的“四心”
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2．(2022·辽宁沈阳质检)在△ABC 中，O 为其外心，O→A·O→C＝
202平4届面向量与三角形的“四心”
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
素养微专题6 平面向量与三角形的 “四心”
1 1
平面向量与三角形的“四心”
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素养解读：平面向量与三角形联系密切，尤其是与三角形垂心、内心、外心、重心这四心的联系是考查的重点，现在我们就研究平面向量与三角形“四心”的问题，来提升我们的直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
B．△ABC的垂心 D．AC边的中点
3
平面向量与三角形的“四心”
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[素养指导]
第一步：取 AB 的中点 D，得出O→A，O→B，O→D的关系．
第二步：将(1－λ)O→A＋(1－λ)O→B转化为O→D的关系式．

高中数学复习指导：从三角形的“四心”看高考命题构造

AE 、 AF 分别是三角形 ABC 的中线、角平分线、高.
（1） AD =
1 ( AB + AC ) ； 2 1 1 1 BC = AB + ( AC − AB ) = ( AB + AC ) . 2 2 2
证明：证明： AD = AB + BD = AB +
（注：也可以构造平行四边形，利用向量加法的平行四边形法则来证明）（2） AE =
x=
| AC | | AB | ,1 − x = , | AB | + | AC | | AB | + | AC | | AC | | AB | AB + AC . | AB | + | AC | | AB | + | AC |
于是 AE =
1
（注：也可以构造平行四边形，利用向量加法的平行四边形法则及平行线分线段成比例来证明）（3） AF =
是 P 点的轨迹就是中线 AD 所在的直线，根据三条中线的交点是三角形的重心，可以知道 P 点的轨迹经过三角形的重心. 于是有下面的题目：若动点 P 满足对于平面内任意点 O ，存在 λ ∈ R ，使 OP = OA + λ ( AB + AC ) ，则 P 点的轨迹一定通过 ∆ABC 的（）.（答案：A）
AB AC + )， | AB | | AC |
于是 P 点的轨迹就是角平分线 AE 所在的直线，根据三条角平分线的交点是三角形的内心，可以知道 P 点的轨迹经过三角形的内心. 于是有下面的题目： 1、若动点 P 满足 AP = λ (| AC | ⋅ AB + | AB | ⋅ AC ) ， λ ∈ R ，则 P 点的轨迹一定通过 ∆ABC 的（）.（答案：B） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心

高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

专题：平面对量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中，“四心”是一组特别的点，它们的向量表达形式具有很多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新奇新颖的问题，不仅考查了向量等学问点，而且培育了考生分析问题、解决问题的实力．现就“四心”作如下介绍：1．“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13(PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内随意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33.(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心． (3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心．(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心．2．关于“四心”的典型例题[例1] 已知O 是平面上的肯定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满意OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹肯定通过△ABC 的________心．[解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，依据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．[答案] 重[点评] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特别线段所在直线重合，这可从已知等式动身，利用向量的线性运算法则进行运算得之．[例2] 已知△ABC 内一点O 满意关系OA ＋2OB ＋3OC ＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值．[解] 延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1，如图所示，则1OB ＝2OB ，1OC ＝3OC ，由条件，得OA ＋1OB ＋1OC ＝0，所以点O 是△AB 1C 1的重心．从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积，所以S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. [点评] 本题条件OA ＋2OB ＋3OC ＝0与三角形的重心性质GA ＋GB ＋GC ＝0非常类似，因此我们通过添加协助线，构造一个三角形，使点O 成为协助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满意关系λ1OA ＋λ2OB ＋λ3OC ＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3.[例3] 求证：△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[证明] 对于△ABC 的重心G ，易知OG ＝OA ＋OB ＋OC 2，对于△ABC 的垂心H ，设OH ＝m (OA ＋OB ＋OC )，则 AH ＝AO ＋m (OA ＋OB ＋OC )＝(m －1) OA ＋m OB ＋m OC .由AH ·BC ＝0，得[(m －1) OA ＋m OB ＋m OC ](OC －OB )＝0，(m －1) OA ·(OC －OB )＋m (OC 2－OB 2)＝0，因为|OC |＝|OB |，所以(m －1) OA ·(OC －OB )＝0.但OA 与BC 不肯定垂直，所以只有当m ＝1时，上式恒成立．所以OH ＝OA ＋OB ＋OC ，从而OG ＝13OH ，得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[引申推广]重心G 与垂心H 的关系：HG ＝13(HA ＋HB ＋HC )． [点评] 这是闻名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量．[例4] 设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5 是平面内给定的5个不同点，则使1MA ＋2MA ＋3MA ＋4MA ＋5MA ＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．10[解析] 依据三角形中的“四心”学问，可知在△ABC 中满意MA ＋MB ＋MC ＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满意本题条件的点也只有1个．[答案] B[点评] 本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的具体解答过程如下：对于空间两点A，B来说，满意MA＋MB＝0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满意MA＋MB＋MC＝0，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC＝2MG，则M满意条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满意MA＋MB＋MC ＋MD＝0，可先取△ABC的重心G，再连接GD，在GD上取点M，使DM＝3MG，则M满意条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满意MA＋MB＋MC ＋MD＋ME＝0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM＝4MG，则M满意条件，且唯一．。

值得回味的三角形的“四心”

ʏ袁有亮三角形的四心是三角形的重要性质,下面举例说明三角形的四心在平面向量中的应用,供大家学习与参考㊂一㊁三角形的重心例1 已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,若动点P满足O P ң=O A ң+λA Bң|A B ң|s i n B+A Cң|A C ң|s i n C,λɪ(0,+ɕ),则动点P 的轨迹一定通过әA B C 的( )㊂A.重心 B .垂心C .内心 D .外心解:(方法1)由正弦定理可得|A B ң|s i n C=|A C ң|s i n B,即|A B ң|s i n B =|A C ң|s i n C ,所以O Pң-O A ң=λA Bң|A B ң|s i n B +A Cң|A C ң|s i n C,即A P ң=λ|A B ң|s i n B (A B ң+A C ң)=2λ|A B ң|s i n B㊃A M ң(其中M 为B C 的中点),所以P ɪA M ,所以动点P 的轨迹一定通过әA B C 的重心㊂应选A ㊂(方法2)作A D ʅB C 于点D (图略),即A D 是B C 边上的高,则O P ң-O A ң=A P ң=λA Bң|A B ң|s i n B +A Cң|A C ң|s i n C=λ|A D ң|(A B ң+A C ң)=2λ|A D ң|A M ң(其中M 为BC 的中点),即A P ң与A M ң共线,所以动点P 的轨迹一定通过әA B C 的重心㊂应选A ㊂评注:三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2ʒ1㊂O 是әA B C 的重心⇔O A ң+O B ң+O C ң=0㊂二㊁三角形的内心例2 已知әA B C ,I 为三角形所在平面上的一点,且点I 满足a ㊃I A ң+b ㊃I B ң+c ㊃I C ң=0,则点I 为әA B C 的( )㊂ A.外心 B .垂心C .重心 D .内心解:如图1所示,在A B ,A C 上分别取点D ,E ,使得A D ң=A B ңc ,A E ң=A Cңb,则A D ң=A E ң=1㊂作菱形A D F E ,则A F ң=A D ң+A E ң=AB ңc +A C ңb,所以A F 为øB A C 的平分线㊂图1因为a ㊃I A ң+b ㊃I B ң+c ㊃I C ң=0,所以a ㊃I A ң+b ㊃I A ң+A B ң +c ㊃I A ң+A C ң =0,所以A I ң=b a +b +c ㊃A B ң+c a +b +c㊃A Cң=b c a +b +c ㊃A B ңc +A C ңb=b c a +b +c A F ң,所以A ,I ,F 三点共线,即点I 在øB A C 的平分线上㊂同理可得,点I 在其他两个角的平分线上㊂故点I 是三角形的内心㊂应选D ㊂评注:三角形的内心是三个内角的角平分线的交点(即三角形内切圆的圆心),它到三条边的距离相等㊂O 是әA B C 的内心⇔O A ң㊃A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|=O B ң㊃B A ң|B A ң|+B C ң|B C ң|=O C ң㊃C A ң|C A ң|+C B ң|C B ң|=0㊂向量λA Bң|A B ң|+A Cң|A C ң|(λʂ0)所在直线过әA B C 的内心(即øB A C 的平分线所在的直线)㊂三㊁三角形的外心例3 设O 是平面A B C 内的一定点,P为平面A B C 内一动点,若(P B ң-P C ң)㊃(O Bң11知识结构与拓展高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.+O C ң)=(P C ң-P A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(P A ң-P B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,则O 为әA B C的( )㊂A.内心 B .外心C .重心 D .垂心解:由(P B ң-P C ң)㊃(O B ң+O C ң)=(P C ң-P A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(P A ң-P B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,可得C B ң㊃(O B ң+O C ң)=A C ң㊃(O C ң+O A ң)=B A ң㊃(O A ң+O B ң)=0,即(O B ң-O C ң)㊃(O B ң+O C ң)=(O C ң-O A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(O A ң-O B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,也即|O A ң|2=|O B ң|2=|O C ң|2,所以|O A ң|=|O B ң|=|O C ң|㊂故O 为әA B C 的外心㊂应选B ㊂评注:三角形的外心是三边的中垂线的交点(三角形外接圆的圆心),外心到三个顶点的距离相等㊂四㊁三角形的垂心例4 设O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三点,若动点P 满足O P ң=O A ң+λA B ң|A B ң|c o s B +A C ң|A C ң|c o s C,λɪ[0,+ɕ),则点P 的轨迹一定经过әA B C 的( )㊂A.内心 B .外心C .垂心 D .重心解:因为O P ң㊃B C ң=O A ң㊃B C ң+λA B ң㊃B C ңA B ңc o s B +A C ң㊃B C ңA C ңc o s C=O A ң㊃B C ң+λ-B C ң+B C ң=OA ң㊃B C ң,所以O P ң㊃B C ң-O A ң㊃B C ң=0,即(O P ң-O A ң)㊃B C ң=0,所以A P ң㊃B C ң=0,则A P ʅB C ,故点P 的轨迹一定经过әA B C 的垂心㊂应选C ㊂评注:三角形的垂心是三边上的高的交点(通常用H 表示)㊂O 是әA B C 的垂心⇔O A ң㊃O B ң=O B ң㊃O C ң=O C ң㊃O A ң㊂五㊁等边三角形的中心例5 已知非零向量A B ң与A C ң满足A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|㊃B C ң=0且A B ң|A B ң|㊃A C ң|A C ң|=12,则әA B C 为( )㊂A.三边均不相等的三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .等边三角形解:因为非零向量A B ң与A C ң满足A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|㊃B C ң=0,所以øB A C 的平分线垂直于B C ,所以A B =A C ㊂又因为A B ң|A B |㊃A C ң|A C ң|=1ˑ1ˑc o søB A C =12,所以c o s øB A C =12,即øB A C =π3,所以әA B C 为等边三角形㊂应选D ㊂评注:等边三角形的四心共点,也称为等边三角形的中心㊂(多选题)已知әA B C 的外心为O ,重心为G ,垂心为H ,且A B =3,A C =4,则下列各式正确的是( )㊂A .A H ң㊃B C ң=0B .A G ң㊃B C ң=-73C .A O ң㊃B C ң=72D .O H ң=O A ң+O B ң+O Cң提示:由H 为垂心,可得A H ʅB C ,则A H ң㊃B C ң=0,A 正确㊂由A G ң=13(A B ң+A C ң),BC ң=(A C ң-A B ң),可得A G ң㊃B C ң=13(A C ң2-A B ң2)=73,B 错误㊂由垂径定理和向量投影得A O ң㊃A B ң=12|A B ң|2,A O ң㊃A C ң=12|A C ң|2,则A O ң㊃B C ң=A O ң㊃(A C ң-A B ң)=12(|A C ң|2-|A B ң|2)=72,C 正确㊂由O G ң=12G H ң,可得O G ң=13O H ң,由G A ң+G Bң+G C ң=0,可得O G ң=13(O A ң+O B ң+O C ң),所以O H ң=O A ң+O B ң+O C ң,D 正确㊂应选A C D ㊂作者单位:湖北省巴东县第一高级中学(责任编辑郭正华)21 知识结构与拓展高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高考冲刺重点突破1-三角形的四心的应用

三角形的四心的应用：OA OB OB OC ⋅=⋅=OC例1、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（） A ．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知O 是平面内的一个点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(),[0,)AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，O 是平面内一点，若0=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的（） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心，若OH =()m OA OB OC ++，则实数例5、已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________.例6、已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则12SS 的取值范围是例7、已知ABC ∆的外接圆是单位圆O ，且0543=++OC OB OA ，则=⋅AB OC ________例8、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( ) A ．4 B .15 C .7 D ．1例9、已知△ABC 的顶点()()0,1,0,1C B -，设△ABC 的重心与内心分别为I G ,，且BC GI //，则顶点的轨迹方程为____例10120,12=∠==BAC ，O 为△ABC 的内心，则AC AO ⋅的值为．例11、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( ) A ．4 B .15 C .7 D ．1例12、已知C ∆AB 的重心为O ，过O 任做一直线分别交边AB ，C A 于P ，Q 两点，设m AP =AB ，Q C n A =A ，则49m n +的最小值是．例13、已知O 为ABC ∆的外心，0120,2,2=∠==BAC aAC a AB ,若AC y AB x AO +=，则y x 63+的最小值为_____ 例14、在ABC ∆中，5=BC ，O G ,分别为ABC ∆的重心和外心，且5=⋅BC GO ，则ABC ∆的形状为 ( )A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 上述三种情况都有可能例15、在△ABC中，()0=+⋅⎫⎛BA AC AC AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=65,3,3ππA ，则AC AB ⋅的最大值为____ 例16、已知点G 是△ABC 的重心，A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ( ) A .33 B .22 C .23 D .34例17、在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于 ( ) A. 2 B. 1 C. 83 D. 43例18、已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．例19、椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆的周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为 ( ) A.53 B.103 C.203 D.53例20、抛物线y2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0三角形的四心的应用：OA OB OB OC ⋅=⋅=OC例1、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ C ） A ．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知O 是平面内的一个点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(),[0,)AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ A ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，O 是平面内一点，若0=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的（ A ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心若OH =()m OA OB OC ++，则实数例5、已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________.32 32例6、已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则12SS 的取值范围是 .⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,94例7、已知ABC ∆的外接圆是单位圆O ，且0543=++OC OB OA ，则=⋅AB OC ________ 51-分析：()0432*******=⋅⇒+=⇒=++OB OA OB OA OC OC OB OA ，()()()OB OA OA OB OB OA AB OC ⋅+-=-+-=⋅1514351例8、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( C ) A ．4 B .15 C .7 D ．1分析：设BC 中点为D ，AD AO 4=，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，则BC OA ⊥例9、已知△ABC 的顶点()()0,1,0,1C B -，设△ABC 的重心与内心分别为I G ,，且BC GI //，则顶点的轨迹方程为_________分析：[]r BC r AC BC AB 32121⋅⋅=⋅++ ()013422≠=+x y x例10、已知0120,1,2=∠==BAC AC AB ，O 为△ABC 的内心，则AC AO ⋅的值为．例11、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( C ) A ．4 B .15 C .7 D ．1分析：设BC 中点为D AD AO 4=，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，则BC OA ⊥例12、已知C ∆AB 的重心为O ，过O 任做一直线分别交边AB ，C A 于P ，Q 两点，设m AP =AB ，Q C n A =A ，则49m n +的最小值是．253例13、已知O 为ABC ∆的外心，0120,2,2=∠==BAC aAC a AB ,若AC y AB x AO +=，则y x 63+的最小值为______226+ 分析1：坐标法分析2：基底法 ()()OA OC y OA OB x OA -+-=-，平方，判别式法例14、在ABC ∆中，5=BC ，O G ,分别为ABC ∆的重心和外心，且5=⋅BC GO ，则ABC ∆的形状为 ( B ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 上述三种情况都有可能分析1、坐标法分析2、基底法()()()3056122=-⇒=-+=⋅=⋅+=⋅c b AC AB AC AB BC GD BC DO GD BC GO （D 为BC 中点）a b c b >>,，由于0230252cos 222<-=-+=acac b c a B 例15、在△ABC 中，()0=+⋅⎫⎛BA AC AC AC AB AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=65,3,3ππA AC AB ，则AC AB ⋅的最大值为____23 分析：,m AC AB ==9cos 2222=+A m m ，AAAC AB cos 22cos 9+=⋅例16、已知点G 是△ABC 的重心，A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ( C ) A .33 B .22 C .23 D .34例17、在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于 ( D )A. 2B. 1C. 83D. 43例18、已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．分析1、利用重心进行相关点代入法得(x ＋13)2＋y 2＝49(y ≠0)．分析2、过P 作BC 的平分线，必得AB 的三等分点⎪⎭⎫⎝⎛0,31M ，必有P 在以AM 为直径的圆上.例19、椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆的周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为 ( D ) A.53 B.103 C.203 D.53例20、抛物线y2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( C ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0(2010·湖北)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5分析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心．∴AB →＋AC →＝3 AM →.∴m ＝3.。

重难点专题02平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材培优讲义与精练(

重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题
目录
CONTENTS
01
题型归纳
02
方法技巧
03
典型例题
01题型归纳ຫໍສະໝຸດ 题型归纳02方法技巧
方法技巧
03
典型例题
典型例题
题型一：重心定理
典型例题
题型一：重心定理
典型例题
题型一：重心定理
典型例题
题型一：重心定理
典型例题
题型二：内心定理
典型例题
题型二：内心定理
典型例题
题型二：内心定理
典型例题
题型三：外心定理
典型例题
题型三：外心定理
典型例题
题型三：外心定理
典型例题
题型四：垂心定理
典型例题
题型四：垂心定理
典型例题
题型四：垂心定理
典型例题
题型四：垂心定理

从高等几何观点看三角形_四心_

科技信息［2］Ahana Lakshmi,R R ajagopalan.Socio-economic implications of coastal zone degradation and their mitigation:a case study from coastal vil-lages in India ［J ］.Ocean &Coastal Management,2000,43:749-762.［3］刘康,霍军.海岸带承载力影响因素与评估指标体系初探［J ］.中国海洋大学学报，2008，（4）：8-11.［4］聂洪涛，陶建华.渤海湾海岸带开发对近海水环境影响分析［J ］.海洋工程，2008,26(3):44-50.［5］张远，李芬，郑丙辉.海岸带城市环境—经济系统的协调发展评价及应用———以天津为例［J ］.中国人口·资源与环境，2005,2（15）：53-56.［6］廖重斌.环境与经济协调发展的定量评判及其分类体系［J ］.热带地理,1999,19(2):171-177.［7］方一平,陈国阶.成都市城市环境与经济协调发展分析［J ］.城市环境与城市生态,2000,13(5):21-23.［8］马玉香，杨淑萍.石河子城市环境与经济协调发展评价研究［J ］.黑龙江生态工程职业学院学报,2008,21（5）:5-7.［9］黄一绥.福州市环境与经济协调发展度评价与分析［J ］.环境科学与管理，2008,33（12）:44-47.（上接第452页）外心、内心、重心和垂心是三角形的几个重要的特殊点，它们分别是三角形三中垂线、三内角平分线、三中线和三高线的交点。

然而两直线如相交交于一点是显然的，但对于三直线来讲，三线共点并非显然。

因此学生在学习过程中往往很自然地问“三条直线是否恰好相交于一点呢？”本文用高等几何方法证明了三角形三中垂线、三内角平分线、三中线和三高线确实是共点的。

三角形四心定理以及相关证明

三角形四心定理以及相关证明一、引言三角形是几何学中最基本的概念之一，它有着丰富的性质和定理。

本文将重点介绍三角形四心定理，这是关于三角形内部的四个特殊点的定理。

我们将详细讨论这个定理以及相关的证明。

二、什么是三角形四心定理三角形四心定理是指在一个三角形内部存在四个特殊的点，它们被称为三角形的四个心，包括三角形的重心、内心、外心和垂心。

这四个点具有重要的性质和几何意义，它们与三角形的边、角和内部点的关系密切相关。

2.1 重心三角形的重心是三角形内部所有中线的交点，其中中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。

重心被称为三角形的质心，它的坐标可以通过三角形顶点坐标的平均值得到。

2.2 内心三角形的内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。

内心到三角形的三条边的距离相等，这个距离被称为内心到三角形边的角平分线的距离。

内心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。

2.3 外心三角形的外心是可以通过三角形的任意两个顶点的垂直平分线的交点得到。

外心到三角形的三个顶点的距离相等，这个距离被称为外心到三角形顶点的距离。

外心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。

2.4 垂心三角形的垂心是通过三角形的三个顶点和对边的垂直线的交点得到。

垂心到三角形的三边的距离有特殊性质，它们满足垂心到三边距离之和最小。

垂心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。

三、三角形四心定理的证明三角形四心定理的证明可以通过利用几何性质和数学推导来完成。

下面我们将分别给出重心、内心、外心和垂心的证明过程。

3.1 重心的证明给定一个三角形ABC，我们可以通过连接三角形的三个顶点和对边中点得到三条中线AD、BE和CF。

我们需要证明这三条中线交于一点G，即三角形的重心。

证明过程如下： 1. 由于D是BC的中点，所以AD平行于BC。

2. 同理，BE平行于AC，CF平行于AB。

3. 根据平行线的性质，得到三角形AGF和三角形ABC相似。

高考数学专题平面向量与三角形的四心(含解析)

2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →，而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1．类型三平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463．二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。

平面向量中的三角形四心问题（定稿）

平面向量中的三角形四心问题（定稿）第一篇：平面向量中的三角形四心问题（定稿）平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：若G为∆ABC所在平面内一点，则GA+GB+GC=0⇔G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD=GB+GCGA+GB+GC=0⇔-GA=GB+GC∴-GA=2GD,这表明，G 在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为∆ABC的重心结论2：1若P为∆ABC所在平面内一点，则PG=(PA+PB+PC)3⇔G是∆ABC的重心1证明：PG=(PA+PB+PC)⇔(PG-PA)+(PG-PB)+(PG-PC)=03⇔GA+GB+GC=0⇔G是∆ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：若H为∆ABC所在平面内一点，则HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA⇔H是∆ABC的垂心证明：HA⋅HB=HB⋅HC⇔HB⋅(HA-HC)=0⇔HB⋅AC=0⇔HB⊥AC同理，有HA⊥CB,HC⊥AB故H为三角形垂心结论4：若H为∆ABC所在平面内一点，则HA+BC=HB+AC=HC+AB⇔H 是∆ABC的垂心证明：由HA+BC=HB+CA得，HA+(HB-HC)=HB+(HC-HA)2⇔HB⋅HC=HC⋅HA同理可证得，HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA由结论3可知命题成立2222222222222三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：若O是∆ABC所在平面内一点，则OA=OB=OC⇔O是∆ABC的外心证明：由外心定义可知命题成立结论6：若O是∆ABC所在平面内一点，则（OA+OB)⋅BA=(OB+OC)⋅CB=(OC+OA)⋅AC ⇔O是∆ABC的外心 3 证明：Θ(OA+OB)⋅BA=(OA+OB)(OA-OB)=OA-OB∴(OB+OC)⋅CB=OB-OC( OC+OA)⋅AC=OC-OA222222222故OA-OB=OB-OC=OC-OA⇒OA=OB=OC故O为∆ABC的外心222四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

三角形四心概念

三角形四心概念
三角形四心是指三角形内部或外部的四个特殊点，这些点分别是三角形的重心、垂心、内心和外心。

每个点都有其独特的性质和定义，它们在几何学中有着重要的作用，尤其是在解决与三角形相关的问题时。

下面是这四个心的概念。

1.重心（centroid）：
定义：三角形三条中线（即连接顶点与对边中点的线段）的交点。

性质：重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的部分是中线的2/3，靠近中点的部分是1/3。

重心到三个顶点的距离相等，且等于重心到对边中点的距离的2倍。

2.垂心（circumcenter）：
定义：三角形三条高线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。

性质：垂心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。

3.内心（incenter）：
定义：三角形三条角平分线（即从顶点出发平分内角的线段）的交点。

性质：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。

内心的连线（即内角平分线）也会将三角形的每个角平分成两个相等的角。

4.外心（circumcenter）：
定义：三角形三条中垂线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。

性质：外心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

外心是外接圆的圆心，外接圆通过三角形的三个顶点。

这四个心在解决几何问题时非常有用，特别是在计算三角形的面积、角度、边长以及圆的半径等方面。

每个心都有其独特的几何特征和应用，对于理解和分析三角形的性质有着重要的意义。

高考数学-用平面向量探索三角形的四心问题

用平面向量探索三角形的四心问题三角形中的内心、外心、重心、垂心，统称为三角形的“四心”；有关这“四心”的问题，叫“四心”问题.“四心”问题的破解既可以通过平面几何法，也可以通过平面向量法，因为这一内容涉及到三角形和平面向量，是一个知识创新和知识交汇的窗口，因此“四心”问题是一个考查的热点问题.因为“创新”和“交汇”，也常使同学们对“四心”问题望而却步，一筹莫展.下面就如何利用平面向量中的“共线”和“点积”两个重要工具解决“四心”问题进行举例分析：一、共线法定“内心”所谓共线法确定三角形的内心，主要是指利用平面向量共线的性质，若一条线为角平分线，另一条线与其共线，则另一条线也是角平分线，这样要判定内心，可用这种方法破解. 例1、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()AB AC OP OA AB ACλ=++，[)0,λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心分析：此题是一个涉及平面向量和三角形心问题的知识交汇问题，可利用平面向量的性质破解，即共线法化解. 解析：如图所示，“AB AB ”表示与AB 同向的单位向量,设1AB ；“ACAC ”表示与AC 同向的单位向量，设1AC ，由向量的平行四边形法则，知111AP AB AC =+，又()AB AC OP OA AB ACλ=++，111()AP AB AC AP λλ∴=+=，则AP 与1AP 共线，由于1AP 平分角BAC ∠，所以P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的内心，即选B. 点评：共线法破解“内心”问题，主要是通过构造与角平分线共线的向量，以确定有关内心问题.二、点积法定“外心”对于确定三角形外心的问题，因外心是三角形的三条中垂线的交点，因此关键是找出中垂线，考虑到垂直问题，故可用点积两个向量，若点积为0，则可得垂直，加上中点条件，即可确定三角形的外心，当然也可用到三个顶点距离相等简单确定三角形的外心.例2、（2006黄岗练习）已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足()2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cλ+=++，()0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A 、重心B 、外心C 、垂心D 、内心分析：此题初看与问题类似，其实不然，需要利用平面向量性质1求解.解：如图所示：设BC 的中点为D ，A C PB 1C 1 P 1 B BCA DP2OB OC OP OP OD DP +-=-= ()cos cos AB AC DP AB B AC Cλ∴=+，又()0,λ∈+∞，等式两边向量同时求与BC 的数量积，得： ()cos cos AB BC AC BCDP BC AB B AC C λ⋅⋅⋅=+(cos )cos ()0cos cos BC B BC C B Cλ-=+=，则DP BC ⊥，所以P 点的轨迹一定在BC 的中垂线上，即P 点一定通过ABC ∆的外心，即选B. 点评：涉及到有关“外心”问题，因有中垂线的概念，因此需要考虑用平面向量的点积法化解，点积法破解有关垂直问题的首选方法.三、共线法定“重心”对于三形重心的确定，因其是三角形三条中线的交点，因此要关注二点，一是中点，二是共线，特别是共线，通过找一条与其中线共线的直线，可判断此直线也是三角形中线所在的直线，这样可判断三角形的重心.例3、已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内一定点，P 是平面ABC 内一动点，若OA OP -λ=AB (21+)BC ()+∞∈,0λ，则点P 的轨迹必过ABC ∆的（）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心分析：这是一个平面向量和三角形结合的问题，要判断点P 是三角形的什么心，关键是要结合共线向量的知识，利用与中线共线的条件判断其为重心.解：因为OA OP -λ=AB (21+)BC ，则可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=BC AB AP 21λ，而如图三角形ABC 中+AB 21BC =AM ，（M 为三角形ABC 的BC 的中点），因此AM AP λ=，即A 、P 、M 三点共线，因此P 点的轫迹必过ABC ∆的重心.应选C. 点评：判断过重心的平面向量方法是共线法，应用时主要是要构造出两个共线向量，以顺利判断其过三角形的重心，解决“心”问题.四、点积法定“垂心”对于三形垂心的确定，因其是三角形三条高线的交点，因此要关注二点，一是过顶点，二是引线与对边垂直，特别是垂直，通过找一条与其垂直的直线，可判断此直线也是三角形高线所在的直线，这样可判断三角形的垂心.例4、设O 是ABC ∆的外心，点M 满足OA +OB +OC =OM ，则M 是ABC ∆（）A 、内心B 、重心C 、垂心D 、ABC ∆的任意一点分析：这是一个涉及到平面向量和三角形的四心交汇的问题，通过对给定平面向量的等式转化确定M 是三角形的“心”，破解的方法是利用向量的点积，导出垂直关系，从而判定其为垂心.解：因点M 满足OA +OB+OC =OM ，则有OA +OB =CO +OM =CM ，因（OA +OB ）=⋅)(AB （OA +OB ）•（-OB OA ）-0=（主要是O 是ABC ∆A BCM的外心，OB OA =），因此也有CM •=⋅)(AB 0，即AB CM ⊥，同理有CA BM ⊥，CB AM ⊥，因此M 为ABC ∆的垂心.应选C点评：利用向量的点积判垂心具有很好的效果，对有关“心”问题的破解起到一针见血的作用，应该说只有运用得当，一般的垂心问题便可迎刃而解.在平面向量知识中，涉及到判断三角形的“心”问题一般为三角形的重心、内心、外心和垂心，利用平面向量的两个基本性质，特别是向量的点积和共线等基础知识是破解三角形四心问题一个不可多得的途径和方法，这可为破解有关平面向量综合问题助上一臂之力.。

以一道高考题的变形理解三角形的“四心”

以一道高考题的变形理解三角形的“四心”三角形的“四心”是初中学习的重点，那时学生是从平面几何的角度由具体图形来理解“四心”的定义，从而对其加以应用。

升入高中以后，我们需要从向量的角度再次理解“四心”的定义，并利用向量法解决和“四心”有关的向量应用问题，在解题过程中让学生再次体会高中所学的四种向量运算的综合运用。

本文从一个高考题入手，通过一题多变的形式让同学们了解如何用向量法解决“四心”问题。

标签：向量运算高考题三角形“四心”前言：从2004年山东新教改之后，向量知识首次被引入高中教材，对于老师的教和学生的学都提出了新的的挑战，随着教师对题目把握的渐渐成熟，所出题目也越来越难越来越活，特别是在向量的几何应用上，学生始终很难突破这一难点，下面就以一道高考的多个变形为例，加深学生对三角形“四心”概念的理解，同时了解常用的向量解题法。

首先我们一起来回顾一下三角形“四心”的概念可知点P的轨迹为BC边的中垂线总结：和上题相比这个题在形式上变化了一下，把考点彻向了中点向量方程，对于学生来说很容易从形式上抓住这一特点进行突破。

以上四个题目从一题多变的角度加深了对“四心”定义的理解，更从向量运算的角度向学生展示了向量解题的技巧和方法，同时也为几何证明开辟了新途径，让学生体会到了向量在几何中的应用。

参考文献[1]郑日锋.高中数学精编——解析几何、立体几何[M] 浙江教育出版社，2009年1版[2]师广智. 中学生数理化[M] 河南教育报刊社，第562期[3]潘会涛，张希顺.新课标《龙门专题》向量[M] ，2008-08[4]《Maths precalculus Reader for High School Students》（美国高中教材）[5]《中等数学》编辑部.高中数学竞赛课程讲座：几何问题[M] 浙江大学出版社，2013-07作者简介：盛喜鑫，女，（1980-），吉林省长春市，本科学历，山东省实验中学，助教，从事高中数学教育工作。

透过三角形的“心”展望高考走势

形，线段ＡＡ交Ｂ，Ｃ于Ｅ，连接Ｅ，设Ｄ为线段Ｆ，Ｆ，
故ＩＢＩ＋ｌＣＩ＋ｌＡ亩０Ａ荫ＢＩＣ．
注２“ Ａ：ｌＢＩ＋ＩＣＩ十ＩＡＩ＝荫Ｂ亩Ｃ
０甘 “ 是ＡＡＢ的内心 ” ” 工Ｃ．
要通过几个典型的例题来阐述此类问题的解题策
Ｃ
Ｃ
略，改编几道此类题，并以飨读者．
例１Ｐ是ＡＡＣ所在平面上一点，Ｂ若两＋
图ｌ
图２
商＋＝０则Ｐ是ＡＡＣ的（，Ｂ
（Ａ）重心．
）
（Ａ）重心．
马出现．
的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的（
（）重心．Ａ
）
（）垂心．Ｂ
（）内心．Ｃ
（）外心．Ｄ
设ＡＡＢＣ为边长为１的等边三角形，工则既是ＡＡＢＣ的内心，也是ＡＡＣ的重心，Ｂ
解：如图３（）以点Ａ为圆心作半径为１的扇
（＋
所以ｚ十Ｘ＋Ｘ — ３ｏ０ｌ２３ｘ，
ｌ＋十３— ３０— ０ｙ．
而
．
） ∈ ［，。，ｏ＋。）
所以－；生：；ＣＯ
厶
，： ±
。
：＝＝
十（直＋） ∈ ［，ｏＡ，Ｏ＋ｏ）
改编题１Ｐ是ＡＡＢ所在平面上一点，：Ｃ
注；ｅ＋商十 “－Ｐ－Ｘ一０甘“ ，Ｐ是ＡＡＣ的 ’ Ｂ

高考数学向量中的三角形四“心”探究知识分析.doc

向量中的三角形四“心”探究三角形的四“心”与平面向量有着千丝万缕的关系，对这两者进行一定的探究，有助于我们更准确把握向量的本质．在全国卷里有这样一道高考题：O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足A BA C O P O A AB AC λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心简析：本题通过考察平面向量中的单位向量与相关运算相关知识，来探究三角形中的四“心”问题．取 AB AM AB=，AC AN AC=，则AM 、AN 是单位向量，如图1，四边形AMQN 是菱形，且AQ 是BAC ∠的角平分线．OP OA AQ λ∴=+ ，[)0,λ∈+∞即AP AQ λ=，P ∴点的轨迹就是射线AQ ，P ∴点的轨迹一定通过ABC 的内心，故选B.这里我们很自然地会联想：满足条件的点P 的轨迹通过ABC 的内心，那么能不能构造一个类似的向量式子，使点P 的轨迹通过ABC 的外心，重心或垂心？变题1：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++ ，[)0,λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心简析：如图2，取BC 边上的中点D ，连接AD.2AB AC AD +=2OP OA AD λ∴=+，[)0,λ∈+∞2AP AD λ∴=，[)0,λ∈+∞P ∴点的轨迹就是射线AD . P ∴点的轨迹一定通过ABC 的重心，故选C.其实众所周知，在平面向量中，三角形的重心还有一个非常重要的结论：点G 为ABC 的重心的充要条件是：0GA GB GC ++=证明：若点G 是ABC 的重心，O 是任意一点，易得()13OG OA OB OC =++，当O 与G 重合时得0GA GB GC ++=；另一方面，以GC 、GB 为边作平行四边形GBEC ，则GB GC GE GA +==-，A 、G 、E 三点共线，可知G 必为ABC 的重心．应用1：（全国联赛）ABC 的三边长,,BC a AC b AB c ===，G 为ABC 的重心，若满足0aGA bGB cGC ++=，则ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形简析：G 为重心，则有()GC GA GB =-+代入0aGA bGB cGC ++=，得()()0a c GA b c GB -+-=，故a b c ==，所以应选C ．应用2：（全国联赛）设O 点在ABC 内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC的面积与AOC 的面积比为（） A ．2 B ．32C ．3D ．53简析：如图3，延长OC 至F ，使3OF OC =；延长OB 至E ，使2O E O B =，由题意知0OA OE OF ++=，可知O 是AEF 的重心．有13AOEEOFAOFAEFSSSS ===，BOCFE图3而1111sin sin 2426AOB AOE AEF S OA OB AOB OA OE AOE S S =∠=∠==．同理得11618BOC EOF AEF S S S ==，1139AOC AOF AEF S S S ==，所以13ABC ABO BOC AOC AEF S S S S S =++=，故有13AOC ABC S S =，所以选C.变题2：O 是平面上一定点，A ，B ， C 是平面上不共线的三点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB ABC AC BCA λ⎛⎫ ⎪=++⎪∠∠⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心cos cos AB ABC AC BCA ⎛⎫+∠∠cos cos BC AC BC AB ABCAC BCA +∠∠()cos cos cos cos AB BC ABC AC BC BCA AB ABCAC BCAπ-∠∠=+∠∠OP BC OA BC =0AP BC ∴=，（如图4P ∴点的轨迹过点A 且垂直于边BC ， P ∴点的轨迹一定通过ABC 的垂心，故选D.变题3：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB ABC AC BCA λ⎛⎫+ ⎪=++⎪∠∠⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心简析：如图5，取BC 边上的中点D ，2OB OCOD +=，所以式子2cos OB OC AB OP AB ABC λ⎛+ =++ ∠⎝ cos ACAC BCA ⎫⎪⎪∠⎭可化简成cos cos AB AC OP OD AB ABC AC BCA λ⎛⎫⎪=++ ⎪∠∠⎝⎭在式子cos cos AB AC OP OD AB ABC AC BCA λ⎛⎫⎪=++ ⎪∠∠⎝⎭的两边点乘BC ， cos cos AB BC AC BC AB ABCAC BCA+∠∠ = 0OP BC OD BC ∴=0DP BC ∴=，P ∴点的轨迹过边BC 的中点D 且垂直于边BC P ∴点的轨迹一定通过ABC 的外心，故选A.通过前面几个变题的探究，我们看到了平面向量与三角形四“心”的内在联系，当然三角形四“心”在向量中的表现形式不是唯一的，我们再来欣赏其它的向量等式：1．已知O 是ABC 所在平面上的一点，若有0aOA bOB cOC ++=，则O 是ABC 的内心．简证：,OB OA AB OC OA AC =+=+，所以题中0aOA bOB cOC ++=可变为：()0a b c OA bAB cAC ++++=，bc AB AC AO a b c AB AC ⎛⎫ ⎪∴=+ ⎪++⎝⎭可知，AO 与AB AC ABAC+共线，即：AO 是BAC ∠的角平分线，同理可得：BO CO 、分别为ABC ACB ∠∠、的角平分线，所以O 是ABC 的内心．2．已知O 是ABC 所在平面上的一点，若有2OA AB OA AC AB AC ⎛⎫ ⎪-+ ⎪⎝⎭220OB BA OB BC OC CA OC CB BA BC CA CB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则O 是ABC 的内心．简证：由题知OA AB OA AC ABAC=，OC CA OC CB CACB=，OB BA OB BC BABC=所以点O 是ABC 的三条角平分线的交点，即O 是ABC 的内心． 3．设O 为ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OB OC OC OA ==，则点O 为ABC 的垂心．简证：由题得()0OB OA OC -=，即0OB CA =，同理可证0DC AB =、0OA BC =，所以O 为ABC 的垂心．4．设ABC 外心为O ，若点M 满足OA OB OC OM ++=，则点M 为垂心．简证：OM OA OB OC -=+，AM OB OC ∴=+，而CB OB OC =-，故()()220AM CB OB OCOB OC OB OC =+-=-=，所以有AM BC ⊥，同理BM AC ⊥，CM AB ⊥，所以点M 为垂心．. 5．设O 为ABC 所在平面上的一点，若()()OA OB AB OB OC BC +=+()OC OA CA =+，点O 为ABC 的外心．简证：由题可得()()()()OA OBOB OA OB OC OC OB +-=+-()()OC OA OA OC =+-所以：222222OB OA OC OB OA OC -=-=-，故222OA OB OC ==，可得点O 为ABC 的外心．向量的内涵是十分丰富的，本文从向量这个角度对三角形的四“心”进行一定的总结归纳，使我们对三角形的四“心”在向量中的表现形式有了进一步的认识，看到了它们的内在统一．平时教学中有意识地对学科中的相关知识点进行较为系统地整理和提炼，无论在提高学生的解题能力方面还是在开拓学生视野方面都大有裨益．。

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・．．一
ｎｌｉＢ — ｌｓｌｉｃ一，ｎｓ
ｌｉＣ，可设ｎ故ｓ
‘ ．
＋商＋骨一（２＋ｚ＋３３３，３１２ — 。
ＹｌｙｚＹ３３０＋＋ — ｙ）一（０）０，．ｆｌ２ｚ３３ｃ一０，＋＋－ａｏ
１直了一，－ｌｔ－ｌ直了， ’ ㈢
点的轨迹一定通过 △ ＡＢ的（Ｃ
Ａ．一重Ｂ．心Ｃ．一垂内
ｔ蘸ｌ－１ｌ－
“Ｉ是 △ ＡＢＣ的内心 ” ．
解：如图３以点Ａ为圆心作半径为１的（）扇形，别交线段ＡＢ、分ＡＣ于Ｅ、连接ＥＦ，Ｆ，
．
＋
，
●
●
，
＼＋２３３ｏ０ｌ＋ｙ — 一，
ｒ
一
∈［＋一）０，
一
ｌ２ｚ３＋＋
Ｉ一——■ 一
，
・
＋（＋） ∈ ｒ＋一）蕊，０，声一ｔ亩＋（）一２ｔ，∈ｒｆ０，
１一
而把此类问题转化为三点共线的问题；另外，
．
Ａ，，三点共线，点Ｐ的轨迹是从ＰＭ故
Ａ点出发经过Ｍ点的射线，点Ｐ的轨迹经故
过ＡＡＢＣ的重心．
注： “
＋商＋霄
， “ 是ＡＡＢ，Ｐ㈢Ｃ
Ａ．心Ｂ．心Ｃ．心Ｄ．心重垂内外
＋商＋
Ａ．心Ｂ．心Ｃ．心重垂内
解：法一：如图１）方（取
Ｄ．心外
Ｃ
一２霄，
＋魂＋一商＋
＋霄．
根据例１的结论易知
点Ｐ是 △ ＡＢＣ的重心．
．
．
．
＋一）其中Ｍ为ＢＣ边的中点）（
‘ ．
易知点Ｐ是ＡＡＢＣ的重心．简析：断点Ｐ是ＡＡＢＣ的重心（心、判内外心、心）的问题，要是判断点Ｐ是否在垂主ＡＡＢＣ的中线（平分线、垂线、线），角中高上从
线段ＡＢ的中点Ｍ，则
－Ｚ＋商一２Ｐ
・
．
．
‘
．
＋商＋
．
．
ＡＭＢ
改编题２：是平面０
・．
Ｆ一一２
上一定点，，（是平面ＡＢ，：
ＡＤＢ
‘
．
．
Ｐ，Ｍ．点共线，Ｃ，三
图１
的重心” ．
２军眦
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二、内心相关与
【２（３年全国高考）是平面上一定点，例］０ＯＡ，ｃ是平面上不共线的三个点，点Ｐ满足Ｂ，动
一
注：１本题如果采取特殊化的思想，答（）则
、
与重心相关
，Ｐ￣ＡＡＢ的（则Ｃ）．
硅＋霄，Ｐ￣ＡＡＢＣ的（则解：如图２（）２商。＋＋＝２商＝＝
）．，＋商一来自【１已知Ｐ是ＡＡＢＣ所在平面上一点，例】若
Ｙ３），（ｏ，ＰＹｏ）．
・．
＋
∈
［＋一）则Ｐ点的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的０，，
（）．
Ａ．心Ｂ垂心Ｃ．重．内
Ｄ．心外
‘
．
＋商＋
．
解：．蕊．．ＩｌｌｉＢ— ｌ蕊ｎｓ
设Ｄ为线段ＥＦ的中点，则
一
三、外心相关与
【３（５年全国高考）ＡＢｃ的外接圆例】０ △
的圆一为０，条边上的高的交点为Ｈ，霄一Ｌ－两
．
案立刻得出．设 △ ＡＢＣ为边长为１的等边三角形，Ｉ则
既是 △ ＡＢＣ的内心，是 △ ＡＢＣ的重心，故也
（
＋
）ＡＥＥ，－０，）．
Ｄ．夕
）则Ｐ，
ｌ蕊
ｌ＋ｌ１＋ｌ赢（）ｌ２ “蕊
上不共线的三个点，点动
Ｐ满足
一
图２
即点Ｐ在ＡＡＢＣ的中线Ｃ上．Ｍ同理，Ｐ也在ＡＡＢＣ的其他中线上，点故
点Ｐ是ＡＡＢＣ的重心．
方法二：设Ａ（，），（，），（３ｚｌＹ１Ｂｚ２Ｙ２Ｃ，
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考新题关注四
透过●角形的 “ 展望命题走努一 ■ ● －＂
ｔ
江苏前黄高级中学（１１９宋书华２３５）
在近几年的高考中，三角形四“ ” 与心～
向量的坐标运算在一定程度上也能够帮助我
们艮快的解题．
重心、心、心、心相关的问题频频出现，垂内外
笔者主要通过几个典型的例题来阐述此类问
改编题１Ｐ是 △ ＡＢ所在平面上一点，：Ｃ
题的解题策略．
一
ＡＡＢ三条边上的中点分别为Ｄ，Ｆ，ＰＤ＋ＣＥ，且