【数学】四川省泸州市泸县第一中学2020届高三上学期期中考试试题(文)

四川省泸州市泸县第一中学2020届高三上学期期中考试数学试题（文）第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）1．设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()U B A ⋂=ð（ ） A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞- C ．(]0,3 D ．()0,32．已知复数1z ii=+，则z 的虚部是（ ） A.12 B.12i C.12-D.12i -3．设命题：2:,(1)10p x Z x ∀∈+->，则p ⌝为（ ） A ．2,(1)10x Z x ∀∈+-> B ．()200,110x Z x ∃∈+-> C ．2,(1)10x Z x ∀∉+-≤D ．()200,110x Z x ∃∈+-≤4．设x ，y 满足约束条件2390300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．92-B ．3C ．6D ．85．2sin19522-的值为（ ）A ．2B ．12C． D ．12-6．函数f （x ）＝xe cosx （x ∈[﹣π，π]）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数[]()cos ,0,π=-∈f x x x x 的单调递减区间是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,2ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,2ππ 8．已知01a b c <<<<，log a m c =，log b n c =，c r a =，则m n r ，，的大小关系是（ ） A.<<n m rB.<<m r nC.<<r m nD.<<m n r9．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =10．已知函数()y f x =在区间(－∞,0)内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>11．设m ，k 为整数，方程mx 2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（ ） A ．﹣8 B ．8C ．12D ．1312．函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量(2,),(1,2)a b m ==-r r，且a b ⊥，则实数m 的值是______.14．过曲线3()2f x x x =+-上一点P 的切线与直线平行41y x =-，则切点的坐标为 。

15．设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.16．已知函数()32331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）已知函数()243,f x x x a a R =-++∈.（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围.已知向量()(),cos2,sin2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.19．（本大题满分12分）在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求22cos cos A B +的取值范围。

如图（1），五边形ABCDE 中，0,//,2,150ED EA AB CD CD AB EDC ==∠=.如图（2），将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -.点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD ．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，设1AB =，求四棱锥P ABCD -的体积.21．（本大题满分12分） 已知函数2()(,)mxf x m n R x n=∈+在1x =处取到极值2 （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()ln g x ax x =-.若对任意的11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的2211,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为4cos {,(2sin x y ϕϕϕ==为参数）。

（Ⅰ）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于A ，B 两点，求AOB ∆的面积；（Ⅱ）在直角坐标系下，直线l的参数方程为2,{x t y t ==（t 为参数），求曲线C 与直线l 的交点坐标。

23．选修4-5：不等式选讲设不等式112x x +--<的解集为A ． （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若,,a b c A ∈，求证：11abcab c->-．【参考答案】1-5．DADCA6-10:BCADA11-12:DD 13．114．(1,0)或(1,4)--.15．3π16．55,43⎛⎫⎪⎝⎭17．解：(1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点， 则方程f (x )＝0的根的判别式Δ<0，即16－4(a ＋3)<0， 解得a >1.故a 的取值范围为a >1.(2)因为函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3图象的对称轴是x ＝2， 所以y ＝f (x )在[－1,1]上是减函数． 又y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点， 所以,即,解得－8≤a ≤0.故实数a 的取值范围为－8≤a ≤0.18. 解：（1）由题意知，()sin2cos2f x m x n x =+. 因为()y f x =的图像过点12π⎛⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以,66{442,33msinncosmsin ncos ππππ=+-=+，即1,22{12,22m n m n =+-=--解得1m n ==.（2）由（1）知()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 由题意知，()()2sin 226g x f x x πϕϕ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭. 设()y g x =的图像上符合题意的最高点为()0,2x ，由题意知，2011x +=，所以00x =，即到点（0,3）的距离为1的最高点为（0,2）， 将其代入()y g x =得，sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0ϕπ<<，所以6πϕ=， 因此，()2sin 22cos22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈得,2k x k k Z πππ-≤≤∈，所以函数()y g x =的单调递增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦. 19．解：（1）因为()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-，由正弦定理得()()()a c a c b a b -+=-，即222a b c ab +-=，则222122a b c ab +-=根据余弦定理得1cos 2C =又因为0C π<<，所以3C π=（2）因为3C π=，所以4223B A π=-则()221cos21cos21cos cos 1cos2cos2222A B A B A B +++=+=++ 141cos2cos 223A A π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111cos222A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 11cos 223A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为三角形ABC 为锐角三角形且3C π=，所以62A ππ<<则242333A πππ<+< 所以11cos 262A π⎛⎫-≤+<- ⎪⎝⎭，所以2213cos cos 24A B ≤+<即22cos cos A B +的取值范围为1324，⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1//,2MN CD MN CD =， 又1//,2AB CD AB CD =，所以//,MN AB MN AB =， 则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ，AN PCD ⊆面∴平面PAD ⊥平面PCD ；（2）解：取AD 的中点O ，连接PO ， 因为AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD .PO AD PAD ABCD ⊥=⋂面面 PO PAD ⊂面所以PO ABCD ⊥面 所以PO P ABCD 是锥的高-.//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，由（1）可得090PDC ∠=，∴1tan 2PD PCD CD ∠==，∴2CD PD =， 由1AB =，可知2,1CD PA AD AB ====，则13P ABCD ABCD V POS -==.其他方法酌情给分 21．解：（Ⅰ）()()2222222()()m x n mxmx mx mnf x x n xn'+--+==++由()f x 在1x =处取到极值2，故()01f '=，f(1)=2即20(1)21mn mn m n-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩, 解得m=4, n=1，经检验，此时()f x 在1x =处取得极值.故24()1xf x x =+； （Ⅱ）由（Ⅰ）知()224(1)(1)()1x x f x x'-+=+，故()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在(1,2)上单调递减,由18(1)2,(2)25f f f ⎛⎫===⎪⎝⎭，故()f x 的值域为8,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦依题意11()a x a g x a x x '⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=，记22111,,M x M e e e e x ⎡⎤=∈∴≤≤⎢⎥⎣⎦Q ； （ⅰ）当a e ≤时，()0g x '≤，依题意由218512g e g e ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩得305a e ≤≤，故此时305a e ≤≤； （ⅱ）当2e a e <≤时，2111a e e >>当211,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当11,x a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.依题意由185g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得181ln 5a -≤，即35a e ≤.与a>e 矛盾 ； （ⅲ）当2e a >时，211a e <，此时()0g x '>.依题意得2212185a e g e g e ⎧⎪>⎪⎪⎛⎫≥⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩即2212825a e a ea e ⎧⎪>⎪⎪+≥⎨⎪⎪+≤⎪⎩此不等式组无解，综上，所求a 取值范围为305a e ≤≤. 22．解：（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为216x ＋24y ＝1，将其化为极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=分别代入θ＝4π和θ＝－4π，得|OA|2＝|OB|2＝325， 因∠AOB ＝2π，故△AOB 的面积S ＝12|OA||OB|＝165． 5分 （Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得(t －)2＝0，∴t ＝，代入l 的参数方程，得x ＝y所以曲线C 与直线l 的交点坐标为)． 10分23．解：（1）由已知，令()()()21112(11)21x f x x x x x x ⎧≥⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩由()2f x <得{|11}A x x =-<<.（2）要证11abc ab c->-，只需证1abc ab c ->-， 只需证2222221a b c a b c +>+，只需证()2222211a b c a b->- 只需证()()222110a bc -->，由,,a b c A ∈，则()()222110a b c -->恒成立.。