排列与组合.版块四.排列数组合数的计算与证明.学生版
深入剖析初中数学解题技巧之排列与组合问题
深入剖析初中数学解题技巧之排列与组合问题在初中数学学习中，排列与组合问题是一个常见的解题类型。
针对这一问题，本文将深入剖析初中数学解题技巧，并提供一些有用的方法与技巧。
一、排列问题排列是指从给定的对象集合中选取若干个对象按照一定的次序排列。
常见的排列问题有以下两种情况：1.1 不重复对象的全排列在解决这类问题时，我们首先要确定所给的对象集合和选取的对象个数。
然后，根据排列的定义，使用乘法原理计算排列数，即将选取的对象个数逐个乘起来。
例如，当有4个不重复的对象需要排列，选取其中2个进行排列时，排列数为4×3=12。
1.2 含有重复对象的排列当问题中存在重复的对象时，我们需要将重复的对象进行分类。
比如，有4个对象中有2个相同，在选取2个对象进行排列时，我们可以将问题拆分为两类：选取两个相同的对象进行排列和选取一个重复对象和一个不重复对象进行排列。
然后，分别计算两类情况下的排列数，并将结果相加。
二、组合问题组合是指从给定对象集合中选取若干个对象，但不考虑其次序。
常见的组合问题有以下两种情况：2.1 不重复对象的组合解决这类问题时，首先要确定所给的对象集合和选取的对象个数。
然后，应用组合数的公式计算组合数，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示对象总数，m表示选取的对象个数。
2.2 含有重复对象的组合当问题中存在重复的对象时，我们需要进行分类。
例如，有4个对象中有2个相同，在选取3个对象进行组合时，我们可以将问题拆分为两类：选取两个相同的对象和选取三个不同的对象。
然后，分别计算两类情况下的组合数，并将结果相加。
三、解题技巧与方法在解决排列与组合问题时，以下三个方法是十分常用且有效的：3.1 确定问题类型与条件首先，我们需要明确题目中所给的对象集合、选取的对象个数以及问题类型是排列还是组合。
明确题目条件有助于我们在解题过程中选择合适的公式和方法。
3.2 运用数学公式与原理排列与组合问题的解题过程中，数学公式和原理是非常重要的。
数学中的排列与组合知识点总结
数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。
本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。
一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。
排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
排列的性质如下：1. 排列数P(n, m)满足如下关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。
3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。
4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。
二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。
组合的计算公式为：C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下：1. 组合数C(n, m)满足如下关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。
3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。
4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。
排列与组合的问题与解法
排列与组合的问题与解法排列与组合是组合数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、计算机科学、统计学等领域。
在解决排列与组合的问题时，我们需要理解其基本定义和相关的解法。
本文将介绍排列与组合的概念和性质，并详细阐述其中的解题方法。
一、排列和组合的定义排列和组合是数学中用于描述元素选择和排列方式的概念。
它们的区别在于排列考虑元素的顺序，而组合则不考虑顺序。
1. 排列排列是指从给定元素集合中选取一部分元素进行排列，形成不同的顺序。
设有n个元素，选取m个进行排列，称为从n个元素中取m个元素的排列数，记作P(n, m)。
其计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，“!”表示阶乘，即连乘从1到n的所有正整数。
2. 组合组合是指从给定元素集合中选取一部分元素，但不考虑元素的顺序，形成的集合。
设有n个元素，选取m个进行组合，称为从n个元素中取m个元素的组合数，记作C(n, m)或者(n choose m)。
其计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)二、排列和组合的性质排列和组合有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们在解决问题时快速计算排列数和组合数。
1. 互补关系排列和组合存在互补关系，即P(n, m) = C(n, m) * m!这是因为从n个元素中选取m个元素形成一个组合后，通过对选取的元素进行排列产生不同的排列方式，因此需要乘以m!。
2. 递推关系排列和组合之间还存在递推关系。
假设有n个元素，选取m个进行排列或者组合，有以下递推关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)递推关系的理解可以通过递归方式进行推导，也可以从组合数的角度去理解。
三、排列和组合的应用举例排列和组合的概念和解法在实际问题中有广泛应用。
下面通过几个典型例子来说明其应用。
1. 生日问题假设一个班级有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？解法：这个问题可以通过计算不同生日组合的数量，然后除以总的可能组合数量来得到概率。
排列与组合
解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有 6 种，其余有 A88种， 故共有 6·A88＝241 920(种)排法． 方法二 (位置分析法) 中间和两端有 A38种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A66种排法， 故共有 A83·A66＝336×720＝241 920(种)排法． 方法三 (等机会法) 9 个人的全排列数有 A99种，甲排在每一个位置的机会都是 均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是 A99×69＝ 241 920(种)．
[6 分]
(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给 3 个人，
共有分配方式C26AC2433C22·A33＝C26C42C22＝90(种)．
[8 分]
(5)无序部分均匀分组问题．共有C46AC2122C11＝15(种)． [10 分]
(6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C46CA1222C11·A33＝
排列与组合旳综合应用
例 3 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？
把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空． 解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取 出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放 入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后 再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒 子内，由分步计数原理，共有 C41C24C31×A22＝144(种)．
排列问题
例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各 有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．
2.2 排列与组合的概念与计算公式
排列与组合的概念与计算公式1．排列 （在乎顺序）全排列：n 个人全部来排队，队长为n 。
第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n(n-1)(n-2)……3*2*1= n! (规定0!=1).部分排列：n 个人选m 个来排队(m<=n)。
第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推，第m 个（最后一个）可以选(n-m+1)个，得：P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n! / (n-m)! (规定0!=1).2．组合（ 不在乎顺序）n 个人m(m<=n)个出来，不排队，不在乎顺序C(n,m)。
如果在乎排列那么就是P(n,m)，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的m 个人，他们还要“全排”得到P(n,m)，所以得： C(n,m) * m! = P(n,m)C(n,m)= P(n,m) / m!=n! / ( (n-m)! * m! )组合数的性质1:)(,n m C C m n n m n ≤=-组合数的性质２:)(,111n m C C C m n m n m n ≤+=--- 如果编程实现,以上两个公式有没有帮助？练习：311P 、811P 、311C 、811C 、9991001C3．其他排列与组合（1）圆排列：n 个人全部来围成一圈为Q(n,n)，其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。
所以：Q(n,n)*n=P(n,n) >>> Q(n)=P(n,n)/n=(n-1)！由此可知，部分圆排Q(n,r)＝P(n,r)/r=n!/(r*(n-r)!).（2）重复排列 (有限)：k 种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2,...ak,设n=a1+a2+…+ak ，这n 个球的全排列数，为 n!/(a1!*a2!*...*ak!).（3）重复组合 (无限)：n 种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选k 个出来，不用排列，是组合，为C(n+k-1,k).证明：假设选出来的数（排好序）1<=b1<=b2<=b3…….<=bk<=n这题的难点就是=号，现在去掉=号，所以有：1<= b1 < b2+1 < b3+2 < b4+3 …….< bk+k-1 <=n+k-1 中间还是k 个数！不过已经不是b 系列，而是c 系列 假设c[i]:=b[i]+i-1，所以1<= c1 < c2 < c3 < c4 …….< ck <=n+k-1所以问题就开始转换为无重复组合问题，即在n+k-1个元素中选中k个的组合数C(n+k-1,k)。
排列与组合知识讲解
排列与组合是数学中的基本概念，尤其在概率论、统计学和离散数学等领域中有着重要的应用。
以下是关于排列与组合知识的详细讲解：一、基本概念排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列的个数用符号Pₙₙ或P(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行排列，可能的排列有：12、13、21、23、31、32，共6种。
因此，P₃₂= 6。
组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合的个数用符号Cₙₙ或C(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行组合，可能的组合有：12、13、21、23、31、32，但由于组合不考虑顺序，所以这6种排列被视为同一种组合。
因此，C₃₂= 1。
二、计算公式排列的计算公式：Pₙₙ= n! / (n-m)!，其中“!”表示阶乘，即n! = n ×(n-1) ×(n-2) × ... ×3 ×2 ×1。
例如，P₄₂= 4! / (4-2)! = (4×3×2×1) / (2×1) = 12。
组合的计算公式：Cₙₙ= n! / [m!(n-m)!]。
这个公式也可以理解为从n个不同元素中取出m个元素的排列数除以m个元素的排列数。
例如，C₄₂= 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / (2×1) / (2×1) = 6。
三、排列与组合的关系排列和组合之间存在密切的关系。
对于从n个不同元素中取出m个元素的情况，排列数Pₙₙ和组合数Cₙₙ之间的关系为：Pₙₙ= m ×Cₙₙ。
这意味着从n个不同元素中取出m个元素的排列数等于从n个不同元素中取出m个元素的组合数乘以m。
排列与组合.参考教案.学生版
要求层次 重难点加法原理、乘法原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理B分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题C要求层次 重难点排列与组合 排列、组合的概念B 排列与组合① 理解排列、组合的概念．② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．③ 能解决简单的实际问题．排列数公式、组合数公式C 用排列与组合解决一些简单的实际问题C1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用知识内容高考要求排列与组合如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．版块一.加法原理【例1】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．典例分析【例2】若a、b是正整数，且6a b，则以()≤a b为坐标的点共有多少个？，【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．120【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．版块二.乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种．【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？板块三.基本计数原理的综合应用【例11】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【例12】若自然数n使得作竖式加法(1)(2)++++均不产生进位现象．则称n为“可连n n n数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）232425A．27B．36C．39D．48【例13】 由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例14】 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）【例15】 如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A ．96B ．84C ．60D ．48板块四.排列数组合数的计算与证明【例1】 解不等式2886x x A A -<【例2】 证明：98789878A 9A 8A A -+=．【例3】 解方程322A 100A x x =．【例4】 解不等式288A 6A x x -<．【例5】 解方程：32111C 24C x x +=【例6】 解不等式：188C 3C m m->．版块五.排列组合问题的常见模型【例7】 三个女生和五个男生排成一排⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ ⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例8】 6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ ⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？ ⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例9】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A【例10】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例11】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例12】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例13】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴一堆一本，一堆两本，一堆三本；⑵甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷平均分给甲、乙、丙三人；⑸平均分成三堆．【例14】 有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例15】 如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ） A ． 30种 B ． 27种 C ． 24种 D ． 21种【例16】 将123，，填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．321321321版块六.排列组合问题的常用方法总结【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 ．【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A ．124414128C C CB ．124414128C A A C ．12441412833C C C A D ．12443141283C C C A【例3】 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（ ）A ．30个B ．35个C ．20个D ．15个【例4】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【例5】已知集合{5}C=，，，从这三个集合中各取一个元素构A=，{12}B=，，{134}成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33B．34C．35D．36【例6】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．【例7】{}A=，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的A的子集个数为，，，129_____．【例8】有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【例9】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【例10】 三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【例11】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【例12】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【例13】 四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）【例14】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【例15】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【例16】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？。
排列与组合
小学六年级小升初数学专题复习（22）——排列与组合一、简单的排列、组合知识归纳1．排列组合的概念：所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序．组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序．排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数．2．解决排列、组合问题的基本原理：分类计数原理与分步计数原理．（1）分类计数原理（也称加法原理）：指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事．那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数．如从甲地到乙地，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法．（2）分步计数原理（也称乘法原理）：指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数．如从甲地经过丙地到乙地，先有3条路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有3×2=6种不同的走法．常考题型例1：有4支足球队，每两支球队打一场比赛，一共要比赛（）A、4场B、6场C、8场分析：两两之间比赛，每只球队就要打3场比赛，一共要打4×3场比赛，这样每场比赛就被算了2次，所以再除以2就是全部的比赛场次．解：4×3÷2，=12÷2，=6（场）；故选：B．点评：甲与乙比赛和乙与甲的比赛是同一场比赛，所以要再除以2．例2：小华从学校到少年宫有2条路线，从少年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有（）条路线可以走．A、3B、4C、5D、6分析：小华从学校到公园分两个步骤完成，第一步小华从学校到少年宫有2条路线即有两种方法，第二步从少年宫到公园有3条路线即有3种方法，根据乘法原理，即可得解．解：2×3=6，答：小华从学校到少年宫有2条路线，从小年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有6条路线可以走；故选：D．点评：此题考查了简单的排列组合，分步完成用乘法原理．一．选择题（共6小题）1．用3、5、0三个数字组成的两位数有（）个。
排列与组合问题的常用方法
排列与组合问题的常用方法排列与组合是组合数学中的两个重要概念。
它们在概率论、统计学、计算机科学、组合优化等领域中有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、常用方法和应用。
一、排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干元素的方式。
假设有n个元素，要求从中选择m个元素，且要按照一定的顺序排列。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用P(n, m)表示。
1.全排列全排列是指对n个元素进行排列，将它们按照不同的顺序排列的方法总数。
全排列的个数为n!（n的阶乘）。
2.有重复元素的排列当n个元素中有重复元素时，全排列的个数存在重复。
此时，需要除以重复元素的个数来去除重复的排列。
3.部分元素排列有时候，从n个元素中选择r个元素进行排列，即P(n, r)，其中r小于n。
这时，排列的个数为n*(n-1)*...*(n-r+1)，即n的降序排列的前r项的乘积。
二、组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，不考虑其顺序。
假设有n个元素，要求从中选择m个元素，但不考虑它们的顺序。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(n, m)表示。
1.递推公式组合数满足以下递推公式：C(n,m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)，其中C(n, 0) = C(n, n) = 1。
2.全组合全组合是指从n个元素中选择0个、1个、2个......直到n个元素进行组合的方法总数。
全组合的个数为2^n。
3.有重复元素的组合当n个元素中有k个重复元素时，组合的个数存在重复现象。
此时，可以引入多重组合数的概念，表示从n个元素中选择m个元素的组合个数，但是允许每个元素选择的次数有上限。
多重组合数的计算可以通过动态规划等方法进行。
三、常用方法1.迭代法排列与组合问题可以通过迭代的方法求解。
可以使用递归或循环的方式进行迭代，根据问题的要求和具体情况选择合适的方法。
2.数学公式有时候，排列与组合问题可以通过数学公式进行求解。
高中数学专题讲义-排列数组合数的计算与证明
1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）知识内容排列数组合数的计算与证明⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排列数组合数的简单计算【例1】 对于满足13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（ ）A ．712A n -B ．75A n -C ．85A n -D ．125A n -【例2】 计算37Α=______．【例3】 计算310A ，66A ；【例4】 计算27C =______，57C =_______．【例5】 计算310C ，68C ；【例6】 计算37A ，410A ，37C ，4850C ，231919C C +．【例7】 已知4321140n n +=ΑΑ，求n 的值．【例8】 解不等式2886x x A A -<【例9】 证明：98789878A 9A 8A A -+=．【例10】 解方程322A 100A x x =．【例11】 解不等式288A 6A x x -<．【例12】 解方程：32111C 24C x x +=【例13】 解不等式：188C 3C m m->．【例14】 设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x n n n n x x x x x --+=--+L L ，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x的值域是（ ）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭U [)28,56D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦U【例15】 组合数C r n ()1n r n r >∈Z ≥，、恒等于（ ） A ．111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr --D ．11C r n n r--【例16】 已知12222C :C :C 3:5:5m m m n n n +++++=，求m 、n 的值．排列数组合数公式的应用【例17】 已知32212020212221C C C C C n n n n ---+<<-，求21C n的值．【例18】 若2622020C C ,()n n n ++=∈N ，则n =_______【例19】 若11C C C 345m m m n n n-+=∶∶∶∶，则n m -=【例20】 证明：1C (1)C C k k k n n n n k k +=++【例21】 证明：110011C C 11nn i i n n i i i n ++===++∑∑．【例22】 求证：11211A A (1)A m m m n n n m -----=+- ．【例23】 证明：102nkn nk kC n -==⋅∑．【例24】 证明：1230123()2n nn n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++L L ．【例25】 求证：1121C C C C C n n n n n n n n n m n m ++++++++++=L ；【例26】 计算：239999C C +，012945613C C C C ++++L【例27】 证明：011220C C C C C C C C C k k k k km n m n m n m n n m --+++++=L ．（其中min{}≤，k m n ）【例28】 解方程12253333C C C 4x x x x x x x --++++=++Α【例29】 确定函数3A x 的单调区间．【例30】 规定A (1)(1)m x x x x m =--+L ，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n（,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． ⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11A A m m n n n --=，②11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）．是否都能推广到A m x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．。
排列组合、二项式定理与概率(学生)
排列、组合、二项式定理是自主招生必考的内容之一。
这类试题相对于其他试题来说，具有较强的独立性，它通常以实际问题为背景，主要考查分析问题、解决问题的能力以及应用意识和实践能力。
对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且要学会逆向运用和变式使用，有时先作适当变形后再展开；有时需适当配凑后逆用二项式定理。
二项式定理及其展开式系数的性质是解决许多数学问题的重要工具，如：整除或求余数（余式）问题，组合数的求和式组合恒等式的证明问题，近似计算问题等等。
对于利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；对于处理整除性问题，往往构造对偶式或利用与递推式的结合。
概率也是自主招生必考内容之一，这类试题通常与实际联系较为密切，相对于其它知识，具有较强的独立性，主要考查五类事件（随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重合试验）的概率、古典概型与几何概型、条件概率、离散型随机变量的概率分布与方差，考查应用意识、实践能力以及推理论证能力。
另外自主招生考试中还常常将本部分内容有多项式、数论等知识结合，难度一般较大。
一、补充知识1、二项式系数之间有如下性质：①∑=nk kn C 1＝2n ； ②C r n ＝C r n n -，0≤r ≤n ； ③C 1-r n ＋C r n ＝C r n 1+④当n 为偶数时，C 0n <C 1n<…<C 2n n ， C 2n n > C 12+n n>…>C n n ； 当n 为奇数时，C 0n<C 1n<…<C21-n n＝C21+n n> C121++n n>…> C n n 。
2、求值：=+++= 630n n n C C C A3、①计算=+++++nn k n n n nC kC C C 2124、如果事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥，那么有P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).5、如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P(A 1·A 2·…·A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n ).6、条件概率：在事件A 已经发生的条件下，事件B 发牛的概率称为条件概率，记为P(B ｜A)．我们有 P(AB)=P(A)P(B ｜A)．即P(B ｜A)= P(AB )P(A )注意P(B ｜A)，P(B)，P(A ｜B)的不同．P(B)是事件B 上发生的概率(没有条件)；P(B ｜A)是A 已经发生的条件下，B 发生的概率；P(A ｜B)是B 已经发生的条件下，A 发生的概率．7.费尔马小定理：对于任意自然数a 以及任一素数p ，差a p -a 可被p 整除. 证明 (1+a)p ＝1+C p 1a+C p 2a 2+…+C p r a r +…+C p p-1a p-1+a p .显然，C p 1,C p 2,…,C p p-1都是整数，又因C p r ＝!)1()1(r r p p p +-- ，由于分母r!中各因数都小于p ，且p 是素数，所以r!中各因数没有一个可整除p ，从而!)1()1(r r p p p +-- 必定是整数，即C p r 必定是p 的倍数，因此，C p 1a 、C p 2a 2、…、C p r a r 、…、C p p-1a p-1都应当是P 的倍数，∴(1+a)p ＝1+a p +pm(m∈N).两边同减1+a,得(1+a)p -(1+a)＝a p -a+pm.下面用数学归纳法证明(1+a)p -(1+a)能被p 整除.当a ＝1时，得2p -2＝1p -1+pm 可被p 整除.假定a ＝k-1时，k p -k 能被p 整除，因为(1+k)p -(1+k)＝k p -k+pm ，所以(1+k)p-(1+k)可被p 整除，即a ＝k 时，成立，故对任何自然数，a p-a+pm 可被p 整除，从而定理获证.二、常用方法、结论1. =kkC2.①=+++++nn k n n n nC kC C C 212 ；②=+++++nn k n n n C n C k C C 222212 ； ③=++++2222120)()()()(n n n n n C C C C ； ④=++++--022110m r n r m n r m n r m n C C C C C C C C 。
排列与组合数学
排列与组合数学排列与组合是离散数学中的重要内容，广泛应用于各个领域。
它们在数学、物理、计算机科学、生物学等领域有着广泛的应用。
本文将对排列与组合的定义、性质、应用实例、计算公式及解题技巧进行详细介绍。
一、排列与组合的定义及概念1.排列：从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列，称为排列。
用符号A(n,m)表示。
2.组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序，称为组合。
用符号C(n,m)表示。
二、排列组合的基本性质1.排列组合的元素互异性：排列组合中的元素各不相同。
2.排列组合的顺序性：排列中的元素具有顺序关系，而组合无顺序关系。
3.排列组合的组合数性质：对于任意正整数n和m，有C(n,m) = C(n,n-m)。
4.排列组合的排列数性质：对于任意正整数n和m，有A(n,m) = A(n,n-m)。
三、排列组合的应用实例1.安排问题：如安排几个人完成不同任务，安排学生参加课程等。
2.选课问题：从多个课程中选取若干门课程进行学习。
3.组合问题：如组合密码、组合套餐等。
四、排列与组合的计算公式1.组合数公式：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)2.排列数公式：A(n,m) = n! / (n-m)!五、提高排列组合问题的解题技巧1.熟悉排列组合的定义和性质，掌握排列组合问题的基本解题方法。
2.善于运用数学公式和运算规律，简化问题求解过程。
3.善于将实际问题转化为数学模型，运用排列组合知识解决实际问题。
4.加强练习，培养解题思路和技巧。
通过以上对排列与组合的详细介绍，相信大家对排列与组合有了更深入的了解。
初中数学知识归纳排列与组合的基本概念和计算
初中数学知识归纳排列与组合的基本概念和计算归纳、排列和组合是初中数学中重要的概念和方法，通过对不同情况进行分类和组织，帮助我们解决各种问题。
在本文中，我们将详细介绍归纳、排列和组合的基本概念，并提供一些常见的计算方法。
一、归纳的基本概念归纳是一种通过分析和总结大量的具体例子，得出普遍规律的方法。
在数学中，归纳法通常用于证明数列、等式等数学性质。
我们以数列为例来介绍一下归纳的基本概念。
数列是按照一定规则排列的一系列数。
通过对数列中的数进行观察和分析，我们可以找到数列的通项公式，从而可以计算数列中任意一项的值。
二、排列的基本概念和计算方法排列是从一组事物中按照一定的顺序选取若干个进行排列。
在排列中，每个事物只能选取一次，并且顺序不能改变。
对于n个不同的元素进行全排列，有n!种排列方式。
其中，n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
在计算排列时，常常出现以下两种情况：1. 从n个不同的元素中选取m个，且考虑选取元素的顺序。
这种情况下的排列数可以通过公式P(n, m) = n! / (n-m)!计算。
其中，P表示排列，n表示总的元素个数，m表示选取的元素个数。
2. 从n个不同的元素中选取m个，但不考虑选取元素的顺序，即认为选取了相同的元素顺序也算作同一种情况。
这种情况下的排列数可以通过公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)计算。
其中，C表示组合，n表示总的元素个数，m表示选取的元素个数。
三、组合的基本概念和计算方法组合是从一组事物中不考虑顺序地选取若干个进行组合。
与排列不同，组合中选取的元素顺序并不影响结果。
在计算组合时，我们常常遇到以下两种情况：1. 从n个不同的元素中选取m个，且不考虑选取元素的顺序。
这种情况下的组合数可以通过公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)计算。
2. 从n个不同的元素中选取m个，但同一组元素的不同顺序算作同一种情况。
小学数学认识排列和组合
小学数学认识排列和组合在小学数学学习中，排列和组合是重要的概念。
通过学习排列和组合，学生可以培养逻辑思维能力，提高问题解决能力。
接下来，我们将详细介绍排列和组合的概念以及它们在数学中的应用。
一、排列的概念及应用排列是指从给定元素中取出若干个元素进行排序的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
以小学生选取三个班委为例，假设有5个候选人，那么小学生可以通过排列确定选取班委的不同方式。
排列的表示方法通常使用P表示，例如，表示从n个元素中取出m个元素进行排列。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!例如，在上述小学生选取三个班委的例子中，可以计算出排列的数目：P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60。
排列的应用非常广泛，例如在密码学中，排列可以用来生成密码；在比赛中，排列可以用来确定选手的名次等等。
二、组合的概念及应用组合是指从给定元素中取出若干个元素的方式，与排列不同的是，组合中元素的顺序不重要。
以小学生选取三个同学合作为例，假设有5个候选人，那么小学生可以通过组合确定合作的不同方式。
组合的表示方法通常使用C表示，例如，表示从n个元素中取出m个元素进行组合。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)例如，在上述小学生选取三个同学合作的例子中，可以计算出组合的数目：C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
组合的应用也非常广泛，例如在概率统计中，组合可以用来计算事件的可能性；在数学建模中，组合可以用来确定问题的解空间等等。
三、排列和组合的区别与联系排列和组合都是数学中的基本概念，它们在计算方式上有所不同。
排列强调元素的顺序，而组合不强调元素的顺序。
排列和组合的联系在于它们都可以用于确定从给定元素中取出若干个元素的方式，它们都是离散数学中的重要分支。
四、小学数学中排列和组合的教学应用在小学数学教学中，可以通过生活实例向学生介绍排列和组合的概念，并结合具体问题进行实际计算。
组合数与排列数的计算
组合数与排列数的计算组合数（Combination）和排列数（Permutation）是概率与统计等相关学科中经常用到的概念。
它们在计算样本空间、计算事件发生的概率等问题中起着重要的作用。
本文将介绍组合数和排列数的计算方法及应用。
一、组合数的计算组合数是从n个不同元素中，取出m个元素（m<=n）的组合方式的数量。
组合数用符号C(n,m)或者(n choose m)表示。
计算组合数的方法有两种：公式法和递推法。
1. 公式法组合数的计算公式为：C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*...*3*2*1。
例如，计算C(5,2)的值：C(5,2) = 5!/(2!(5-2)!）= 5!/(2!3!) = 5*4/(2*1) = 102. 递推法通过使用组合数的递推关系，可以简化组合数的计算过程。
组合数的递推关系为：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)其中，C(n-1,m-1)表示从前n-1个元素中选择m-1个元素的组合数，C(n-1,m)表示从前n-1个元素中选择m个元素的组合数。
例如，计算C(5,2)的值：C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) = 4 + 6 = 10二、排列数的计算排列数是从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m个元素的排列方式的数量。
排列数用符号P(n,m)或者(nPm)表示。
计算排列数的方法有两种：公式法和递推法。
1. 公式法排列数的计算公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!例如，计算P(5,2)的值：P(5,2) = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5*4 = 202. 递推法通过使用排列数的递推关系，可以简化排列数的计算过程。
排列数的递推关系为：P(n,m) = n*P(n-1,m-1)其中，P(n-1,m-1)表示从前n-1个元素中选择m-1个元素的排列数。
例如，计算P(5,2)的值：P(5,2) = 5*P(4,1) = 5*4 = 20三、组合数与排列数的应用1. 组合数的应用组合数在组合数学、概率与统计等领域有广泛的应用。
排列与组合的计数
排列与组合的计数排列与组合是组合数学中的重要概念，用于计算对象的排列和选择方式。
它在数学、统计学以及实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、计数方法以及一些实际应用。
一、排列的计数排列是指从一组对象中选取若干个对象按照一定的顺序进行排列。
在排列中，每个对象只能被选取一次。
假设有n个对象，要从中选取r个对象进行排列，可以使用下面的计数公式：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，如果有5个不同的球，要从中选取3个进行排列，可以计算P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。
二、组合的计数组合是指从一组对象中选取若干个对象进行组合，不考虑顺序。
在组合中，每个对象只能被选取一次。
假设有n个对象，要从中选取r个对象进行组合，可以使用下面的计数公式：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)例如，如果有5个不同的球，要从中选取3个进行组合，可以计算C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = 10。
三、排列与组合的应用1. 排列与组合在数学中的应用：排列与组合在数学中有广泛的应用，特别是在概率论和统计学中。
例如，在计算概率时，可以使用排列与组合的计数方法来确定事件的可能性。
2. 排列与组合在统计学中的应用：在统计学中，排列与组合被用于计算样本空间中的可能性数量。
例如，在抽样调查中，可以使用组合的计数方法来确定可能的抽样组合。
3. 排列与组合在实际生活中的应用：排列与组合在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在选择彩票号码时，可以使用排列的计数方法确定选择的可能性数量。
在安排座位时，可以使用排列的计数方法确定座位的不同排列方式。
四、总结排列与组合是组合数学中的重要概念，用于计算对象的排列和选择方式。
通过排列与组合的计数方法，可以确定不同排列和组合的可能性数量。
排列与组合.版块四.排列数组合数的计算与证明.学生版
排列与组合.版块四.排列数组合数的计算与证明.学⽣版1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做⼀件事，完成它有n 类办法，在第⼀类办法中有1m 种不同的⽅法，在第⼆类办法中有2m 种⽅法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的⽅法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的⽅法．⼜称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做⼀件事，完成它需要分成n 个⼦步骤，做第⼀个步骤有1m 种不同的⽅法，做第⼆个步骤有2m 种不同⽅法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的⽅法．那么完成这件事共有12n N m m m =种不同的⽅法．⼜称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运⽤如果完成⼀件事的各种⽅法是相互独⽴的，那么计算完成这件事的⽅法数时，使⽤分类计数原理．如果完成⼀件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的⽅法数时，使⽤分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想⽅法，这两个原理⼗分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应⽤． 2．排列与组合⑴排列：⼀般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，⽤符号A m n 表⽰．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：⼀般地，n 个不同元素全部取出的⼀个排列，叫做n 个不同元素的⼀个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，⽤!n 表⽰．规定：0!1=．⑵组合：⼀般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成⼀组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的⼀个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，⽤符号C m n 表⽰．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）知识内容排列数组合数的计算与证明⑶排列组合综合问题解排列组合问题，⾸先要⽤好两个计数原理和排列组合的定义，即⾸先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握⼀些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，⼀定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的⽅法数，这是⼀种间接解题的⽅法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成⼀个”元素，与其它元素进⾏排列，然后再给那“⼀捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组⾄少⼀个的分组问题——把n 个元素排成⼀排，从1n -个空中选1m -个空，各插⼀个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成⼏堆，⽆序）．有等分、不等分、部分等分之别．⼀般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1⾄n 的n 个⼩球放⼊编号为1到n 的n 个盒⼦⾥，每个盒⼦放⼀个⼩球，要求⼩球与盒⼦的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以⽤剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应⽤题，主要考查有附加条件的应⽤问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满⾜特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满⾜特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运⽤分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题⽬条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式⼦计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进⾏优先安排；②理解题意后进⾏合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进⾏排列的问题⼀般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题⽤除法处理；分⼏排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正⾯考虑太复杂的问题，可以考虑反⾯．⑦对于⼀些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排列数组合数的简单计算【例1】对于满⾜13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（）A ．712A n -B ．75A n -C ．85A n -D ．125A n -【例2】计算37Α=______．【例3】计算310A ，66A ；【例4】计算27C =______，57C =_______．【例5】计算310C ，68C ；【例6】计算37A ，410A ，37C ，4850C ，231919C C +．【例7】已知4321140n n +=ΑΑ，求n 的值．【例8】解不等式2886x x A A -<【例9】证明：98789878A 9A 8A A -+=．【例10】解⽅程322A 100A x x =．【例11】解不等式288A 6A x x -<．【例12】解⽅程：32111C 24C x x +=【例13】解不等式：188C 3C m m->．【例14】设[]x 表⽰不超过x 的最⼤整数（如[2]2=，514??=），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x n n n n x x x x x --+=--+，[)1x ∈+∞，，则当332x ??∈，时，函数8C x的值域是（）A ．16,283B ．16,563??C ．284,3?? ???[)28,56D ．16284,,2833【例15】组合数C r n ()1n r n r >∈Z ≥，、恒等于（） A ．111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr --D ．11C r n n r--【例16】已知12222C :C :C 3:5:5m m m n n n +++++=，求m 、n 的值．排列数组合数公式的应⽤【例17】已知32212020212221C C C C C n n n n ---+<<-，求21C n 的值．【例18】若2622020C C ,()n n n ++=∈N ，则n =_______【例19】若11C C C 345m m m n n n-+=∶∶∶∶，则n m -=【例20】证明：1C (1)C C k k k n n n n k k +=++【例21】证明：110011C C 11nn i i n n i i i n ++===++∑∑．【例22】求证：11211A A (1)A m m m n n n m -----=+- ．【例23】证明：102nkn nk kC n -==?∑．【例24】证明：1230123()2n n n n n n n n n n C C C nC C C C +++ +=+++．【例25】求证：1121C C C C C n n nn n n n n n m n m ++++++++++=；【例26】计算：239999C C +，012945613C C C C ++++【例27】证明：011220C C C C C C C C C k k k k km n m nm n m n n m --+++++=．（其中min{}≤，k m n ）【例28】解⽅程12253333C C C 4x x x x x x x --++++=++Α【例29】确定函数3A x 的单调区间．【例30】规定A (1)(1)m x x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n（,n m 是正整数，且m n ≤）的⼀种推⼴．⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11A A m m n n n --=，②11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）．是否都能推⼴到A m x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推⼴，写出推⼴的形式并给予证明；若不能，则说明理由．。
排列与组合的概念与计算公式
排列与组合的概念与计算公式1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);３．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列组合公式把这个公式发上来与大家分享,我在做题时突然之间想不起来公式,所以找了半天,现在整理出来大家分享!排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r。
数的排列与组合
数的排列与组合数的排列与组合是组合数学中的一个重要概念，它们主要研究有限集合中元素的不同排列方式以及元素的组合方式。
在实际生活和学术研究中，数的排列与组合经常被用于解决各种计数问题。
一、数的排列数的排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置的方式。
对于给定的n个元素，它们的排列数记为P(n)，有以下公式：P(n) = n!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
排列数的计算方法可以通过分步骤进行。
首先，确定第一个位置的元素有n种选择；然后，确定第二个位置的元素有(n-1)种选择；以此类推，直到最后一个位置有1种选择。
因此，所有元素的排列数为n ×(n-1) × (n-2) × ... × 1 = n!。
二、数的组合数的组合是指从给定的元素集合中选择出一部分元素构成组合的方式。
对于给定的n个元素中，选取k个元素的组合数记为C(n,k)，有以下公式：C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)组合数的计算可以通过排列数的公式进行推导。
由于组合数中的元素不考虑排列顺序，而排列数中的元素有顺序之分，所以组合数C(n,k)等于排列数P(n,k)除以k!。
即C(n,k) = P(n,k) / k! = n! / (k! × (n-k)!。
三、应用场景数的排列与组合广泛应用于各个领域，以下列举几个常见的应用场景：1. 计数问题：当需要计算某种情况下的可能性时，可以使用排列与组合来进行计数。
例如，有5个球，要从中选取3个球进行比赛，有多少种可能的排列方式可以选取比赛的球员。
2. 组合优化：在运筹学、计算机科学等领域中，经常需要从给定的对象集合中选取特定的组合，以达到优化目标。
例如，旅行商问题中，如果给定了一组城市，需要选择最短的路径经过所有城市。
3. 概率统计：在统计学中，利用排列与组合的原理可以计算出某些事件发生的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列数公式：
A
m n
n(n
1)(n
2)(n
m
1)
， m，n N
，并且 m ≤ n
．
全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排
列． n 的阶乘：正整数由1到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 n!表示．规定： 0! 1 ．
⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组，叫做从 n 个
m≤n
．
组合数的两个性质：性质
1：
Cmn
Cnm n
；性质
2：
Cm n 1
Cmn
Cm1 n
．（规定
C0n
1）
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是
分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
【例12】解方程：11C3x 24C2x1
【例13】解不等式：
Cm1 8
3C8m
．
【例14】设
[
x]
表示不超过
x
的最大整数（如
[2]
2
，
5 4
1
），对于给定的
n
N
，定义
Cnx
n(n x(x
1) (n 1) ( x
x 1) x 1)
，
x 1，
，则当
x
3 2
，3
时，函数
C8x
的值域是（
）
A．
16 3
,
28
C．
4
,
28 3
28
,
56
B．
16 3
,
56
D．
4
,
16 3
28 3
,
28
【例15】组合数 Crn n r ≥1，n 、r Z 恒等于（
A．
r n
1 1
Cr 1 n 1
B．
n
1
r
1
Cr 1 n 1
） C． nrCrn11
D．
n r
Cr 1 n 1
【例16】已知 Cmn2
nA
m 1 n 1
，②
Amn
mA
m n
1
Am n 1
（其中
m
,
n 是正整
数）．是否都能推广到
A
m x
（
x
R
，
m
是正整数）的情形?若能推广，写出推广的
形式并给予证明；若不能，则说明理由．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同
元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示．
【例6】
计算
A37
，
A140
，
C37
，
C48 50
， C129
C139
．
【例7】 已知Α42n1 140Α3n ，求 n 的值． 【例8】 解不等式 A8x 6 A8x2
【例9】 证明： A99 9A88 8A77 A88 ．
【例10】解方程
A32 x
100A
2 x
．
【例11】解不等式 A8x 6A8x2 ．
素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法： n 个相同元素，分成 m(m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元
素排成一排，从
n
1
个空中选
m1个空，各插一个隔板有C m1 n 1．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一
转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途
径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答． 2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排； ②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
【例21】证明：
n i0
i
1
1
Cin
1n n 1 i0
Ci 1 n 1
．
【例22】求证：
A m 1 n
A m 1 n 1
(m
1)A
m2 n 1
．
n
【例23】证明： kCnk n 2n1 ． k 0
【例24】证明： Cn1
2Cn2
3Cn3
nCnn
n 2
(Cn0
Cn1
Cnn ) ．
:
Cm1 n2
:
Cm2 n2
3 : 5 : 5 ，求 m
、 n 的值．
排列数组合数公式的应用
【例17】
已知
Cn3 20
Cn2 20
C221
C2n2
Cn1 21
，求 C2n1 的值．
【例18】若
C2n6 20
Cn 20
2
,
(n
N)
，则
n
_______
【例19】若 Cmn 1∶Cmn∶Cmn 1 3∶4∶5 ，则 n m 【例20】证明： nCkn (k 1)Ckn1 kCkn
元素中任取 m 个元素的一个组合．
组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个
不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示．
组合数公式： Cmn
n(n
1)(n
2)(n m!
m
1)
n! m!(n
m)! ， m, n N
，并且
解方程
C
x x
5
C x 1 x3
Cx2 x3
3 4
Α2x
3
【例29】
确定函数
A
3 x
的单调区间．
【例30】规定
A
m x
x(x
1) ( x
m
1)
，其中
xR
，
m
为正整数，且
A0x
1，这是排列数
A
m n
（n,
m 是正整数，且 m ≤ n
）的一种推广．
⑴求
A3 15
的值；
⑵排列数的两个性质：①
A
m n
【例25】求证： Cnn
Cn n 1
Cn n2
Cn nm
C ； n1 n m 1
【例26】计算： C929 C399 ， C04 C15 C62 C193
【例27】证明： C0mCkn
C1m
Ck 1 n
C2m Ckn 2
Ckm C0n
Ck nm
．（其中 k
≤ min{m ，n} ）
【例28】
典例分析
排列数组合数的简单计算
【例1】 对于满足 n ≥13 的正整数 n ， n 5n 6...n 12 （ ）
A．
A
7 n 12
B．
A7 n5
C．
A8 n5
D．
A12 n5
【例2】 计算Α37 ______．
【例3】
计算
A130
，
A
6 6
；
【例4】 计算 C72 ______， C57 _______． 【例5】 计算 C130 ， C86 ；
排列数组合数的计算与证明
知识内容
1．基本计数原理
⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第 二类办法中有 m2 种方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．又称加法原理．
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做
到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元
⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法， 做第二个步骤有 m2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法．那么完成这件事 共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应 用．