201612八上期末复习大本

八上数学上学期期末考试复习建议
十三中分校初二数学组
一、总体复习建议
考试内容：因式分解、分式、二次根式、全等三角形、轴对称、统计（一）总体原则
控节奏、控难度、变形式、重情绪、各学科博弈、多层次受益。

（二）具体措施
1．重视基础：对每一章的知识点进行总结，使学生掌握所有重要的定义、公式、性质和判定；每章必须掌握的基本方法（包括解题规范）也要重点梳理；关注教材中数学应用（包括尺规作图）的实例及其数学原理．
2．优选例题习题，使学生熟悉一些基本题型（从“知识点”到“考点”）．
3. 重视错题，关注学生的易错点：代数中的算理不清、几何中的定理规范等
4．复习过程中，注重提高作图能力、识图能力、推理能力、计算能力、检验能力、阅读能力．
5．适当的综合题的训练：注重揭示知识之间的关联；注重揭示隐藏在新题型、新情境中的数学知识背景；注重数学思想方法的灵活运用（重要的如方程思想、数形结合、分类讨论、转化与化归等）；尽量让学生跳出思维定势（不“背题”），尝试分析、思考、联想、应用．
6．几何部分：初步建立用“截长补短”的方法处理线段和差问题的意识；轴对称类型的全等（以角分线或垂直平分线、等腰三角形为背景）要会“识别”、会“构造”；旋转类型的全等重视“识别”，不必过于强调利用旋转“构造”全等．总之，几何综合题的难度不必提升至中考程度，不必追求让学生“见识”很多典型图、典型方法．
7. 代数部分，贯穿始终的是“数式运算法则运算律”
7. 关注历次教研中提到的中考新变化。

如：几何题目只有文字条件，学生自己绘图作答；
代数计算从纠错上升到明确算理、方法优选；与学农活动的“跨界”；
全等三角形
【知识梳理】
SSS SAS ASA AAS HL SSA ⎧⎪
⎧⎪⎨⎪⎨⎪
⎪⎪
⎩⎩
性质：边、角、面积一般三角形全等的判定：、、、（）全等三角形判定直角三角形全等的另一种判定方法：（）不能判定三角形全等的条件：（反例，）作图探究的过程作图探究的过程作图结果可能不唯一
全等的应用：−−−−−−−→判定这两个三角形全等
两个三角形某些对应边、角相等其它对应边、角相等
【易错点】
【全等的判定条件】
请你在学案上任意画△ABC ，并利用作图工具（三角板、量角器、圆规、直尺等）画一个与其全等的三角形，你判定它们全等的理由是什么？
【基本图形识别】
问题1：下图中，若两个三角形全等，你能指出其对应边、对应角以及图中隐含的等线段、
等角或其它等量关系吗？
问题2：你能动态地观察出这两个三角形是如何得到全等的吗？
问题3：你能添加若干条件，使得这两个三角形全等吗？（条件不要重复，要尽可能地少）
全等三角形的常见图形
⏹ 平移型：
⏹ 轴对称型： ⏹ 旋转型：
⏹ 旋转型（续）： A
B
C
C'
B'
A'
C
A
A' B
A
B C
B'
C' A
B
C
C'
B'
A
B C
C' B'
B (C' )
C (B' )
A
A'
A
B
B'
C'
C
A
B
B'
C'
C
A' A
A'
B (C' )
C (B' )
A
A'
B
B' C
C' A
A'
B' B
C
C' A
B
B'
C'
C A'
等边Rt △ABC ，BC 中点D
正方形ABCD ，AE AF
正方形ABCD 和正方形AEFG
C B
B
B
【落实巩固】 例1 如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a 的度数为
例2如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35度，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，已知∠A ’DC=90°，求∠A 的度数
例3如图，在△AFD 和△CEB 中，点
A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：(1) AD=C
B ；(2)AE=CF ；(3)∠B=∠D ；(4)AD ∥BC. 请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程.
【生活中的全等】
例1 “三月三，放风筝”，如图示小明制作的风筝，他根据DE=DF ，EH=FH ，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH. 请你用所学的知识给与证明.
E
B C A F D D
E F
H 例1
A
E C B
F G
例2
例2 如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE ＝CG ；②在BC 上取BD ＝CF ；③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米. 如果a ＝b ，则说明∠B 和∠C 是相等的.他的这种做法合理吗？为什么？
例3某中学的学生到野外进行教学活动，为了测量一池塘两端A ，B 之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
(Ⅰ)如图(1)，先在平地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，再连接AC ，BC ，并分别延长AC 至D ，BC 至E ，使DC=AC ，EC=BC ，最后量出DE 的长就是AB 的距离.
(Ⅱ)如图(2)，过点B 作AB 的垂线BF ，在BF 上取C ，D 两点，使CD=BC ，接着过D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于E ，则测出DE 的长即为AB 的距离. 问：(1)方案(Ⅰ)是否可行？ ；理由是 . (2)方案(Ⅱ)是否可行？ ；理由是 .
(3)小明说在方案(Ⅱ)中，并不一定需要BF ⊥AB ，DE ⊥BF ，只需 就可以了. 请把小明所说的条件补上.
例4 如图，有两个长度相同的滑梯，即BC=EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC+∠DFE= °.
例5 如图，有一块三角形的厚铁板，根据实际生产需要，工厂师傅要把∠MAN 平分开，现在他手边只有一把没有刻度的尺子和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？说明你的根据.
例6如图，小明同学把两根等长的木条AC 、BD 的中点连在一起，做成一个测量某物品内槽宽的工具，此时CD 的长等于内槽的宽AB ，这种测量方法用到三角形全等的判定方法是( )．C
A ．SSS
B ．ASA
C ．SAS
D ．HL
【全等判定的拓展提高】
※1. 如果满足条件“∠ABC=30°，AC=1， BC=k （k>0）”的△ABC 是唯一的，那么k 的取值范围是___________.
(1)
B
F
E
C
A D 例4
M A
N
例5
专题一：全等证明基础过关
1、已知：如图，AB ∥ED ，AB=DE ，AF=DC. 求证：BC=EF
2、已知：如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，O 为AD 中点，EF 、
AD 交于点O. 求证：O 为EF 的中点
3、已知：如图，AB=AC ，AD ⊥DC 于D ，AE ⊥BE 于E ，∠1=∠2
求证： AD=AE
4、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的
中线，CD ⊥AE 于F ，且CD=AE
（1）连接BD ，求∠DBC 的度数（2）若AC=6cm ，求BD 的值
5、已知：如图，两个大小不同的等腰直角三角板顶点A 重合放置，BD 与AC 、EC 分别交于P 、F ，AD 与EC 相交于点Q
求证：（1）△BAD ≌△CAE （2）BD ⊥CE
6、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥
AB 于点E ，点F 在AC 上，BD=DF
求证：CF=EB
F E C B A
O
2
1
F E D C B
A
D A F
E D
C B A Q P F E D
C
B
A F E
D C B
A
作业一：全等三角形的性质和判定
1. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形 状的玻璃，那么最省事的办法是带( )去配． A ．① B ．② C ．③ D ．①和② 理由是：
2. 根据下列已知条件, 不能唯一确定．．．．．．△ABC 的大小和形状的是( ) . A. AB ＝3, BC ＝4, AC ＝5
B. AB ＝4, BC ＝3, ∠A ＝30º
C. ∠A ＝60º, ∠B ＝45º, AB ＝4
D. ∠C ＝90º, AB ＝6, AC = 5
3. 如图, 已知△ABC , 则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是( ) .
c
A. 只有乙
B. 只有丙
C. 甲和乙
D. 乙和丙
4.
如图，正方形ABCD 的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处，该三角板的两条直角边与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．四边形AECF 的面积是（ ）．A A ．16
B ．12
C ．8
D ．4
5. 已知: 如图, AC 、BD 相交于点O , ∠A = ∠D , 请你再补充一个条件, 使△AOB ≌△DOC , 你
补充的条件是____________.
6. 如图,已知△ABC 中，点D 为BC 上一点，E 、F 两点分别在边AB 、AC 上，若 BE=CD , BD=CF , ∠B=∠C , ∠A=50°，则∠EDF =_______°.
7. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出'''A O B AOB ∠=∠的依据是 . 8. 如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ， AF 与DE 交于O ．求证：AB ＝DC ；
D
A
C
O
D ’
A’
B’
C’
O’
A
B
C
D
O
E
A
B
C
D 9. 已知: 如图, CB = D
E , ∠B = ∠E , ∠BAE = ∠CAD .
求证: ∠ACD = ∠ADC .
10.已知： 如图，点E 在△ABC 外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2＝∠3， AC=AE. 求证：△ABC ≌△ADE.
11. 已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ．
※12.已知：如图，B 、A 、C 三点共线，并且Rt △ABD ≌Rt △ECA ，M 是DE 的中点． （1）判断△ADE 的形状并证明；
（2）判断线段AM 与线段DE 的关系并证明； （3）判断△MBC 的形状并证明．
D
B
A C
F
1
2
3
【角平分线】
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”你认为小明的想法正确吗？请说明理由．
例1 如图，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.
求证：DE=DF.
E F
B
C A
D
F
E
D
B
A 例2如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等.
求证：AD 平分∠BAC.
练习
1.三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
（A ）三条高线交点． （B ）三条中线交点． （C ）三条角平分线交点． （D ）三角形内任一点． 补充：
2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AM 是∠CAB 的平分线，CM ＝20cm ，那么M 到AB 的距离为_________．
3. 如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上．
4.已知：△ABC 的∠B 的外角平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 相交于点P 。

求证：点P 也落在∠A 的平分线上
M C
B A
A
B D F E
F E
C
B
A
F E
C
B
A
作业二：角平分线
1. 如图，已知PA O A ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．则下列结
论：(1)PA PB =；(2)PO 平分APB ∠；(3)OA OB =；(4)180AOB APB ∠+∠=︒，其中一定成立的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．非以上答案
2. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，
若CD =3cm ，CB =4cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）． A ．5cm B ．4cm C ．3cm D ．2cm
3. 如右图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C =90°，BD 平分∠CBA
交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长为8cm ，则AB =_________ cm ．
4. 如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，
AB =4， 则AC 长是 ( )
A ．4
B ．3
C ．6
D ．5
5. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，连接DE 、DF ，
∠EDF ＋∠BAC ＝180°．求证：DE ＝DF
A
B
C D
E
专题二：常用辅助线
⏹截长补短
⏹倍长中线
⏹角分线双垂直
⏹角分线翻折
⏹平行线间线段的中点：构造全等
⏹平行线+角分线：等腰三角形
⏹角分线+垂直：补全等腰三角形
1.已知，如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；
（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．
2.如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB、∠ABD，
求证：AB=AC+BD.
3.已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F 分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．
试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
A
B C
D
M
A
D
B C
E
F
A B
C
E
4.已知: 如图, 四边形ABCD 中, AC 平分∠BAD , CE ⊥AB 于E , 且∠B +∠D = 180︒.
求证: 2AE = AD + AB ．
※5.如图，在△ABC ，∠B=60︒，∠BAC 、∠BCA 的平分线AD 、CE 交于点O ， （1）猜想OE 与OD 的大小关系，并说明你的理由； （2） 猜想AC 与AE 、CD 的关系，并说明你的理由．
※6. 正方形ABCD 中，M 是AB 上一点，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N ．
（1）试判断线段MD 与MN 的关系，并说明理由.
（2）若点M 在AB 延长线上，其它条件不变，上述结论还成立吗？试说明理由.
A
B
C
D
E
O
A B C D M
E N A B C D
M
E
N A
B
D
C
E
7. 如图，D 为△ABC 外一点，∠DAB ＝∠B ，CD ⊥AD ， ∠1＝∠2，若AC ＝7，BC ＝4，求AD 的长．
※8. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，点D 在线段BC 上, ∠EDB=
2
1
∠C, B E ⊥DE,垂足E ,DE 与AB 相交于点F 。

(1) 若D 与C 重合时，试探究线段BE 和FD 的数量关系，并证明你的结论， （2）若D 不与B,C 重合时,试探究线段BE 和FD 的数量关系，并证明你的结论．
9.如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ．求证：AC=BF ．
12D
C
B
A
A
B
C
E D F
轴对称
⎧⎪↔⎨⎪⎩⎧⎪⎪→⎨
⎪⎪→⎩定义：辨识生活中的轴对称图形一般轴对称图形对称点和对称轴：轴对称线段的垂直平分线对称图形的性质：边、角、形状、面积；（折纸问题）线段的垂直平分线：定义、性质、判定、（作图）角的平分线：定义、性质、判定、（作图）
“轴对称”典型轴对称图形等腰三角形：定义、性质、判定等边三角形：定义、性质、判定
作图：平面内，作关于已知直线对称的图形 坐标系下，作关于坐标轴对称变换⎧⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎧⎪⎪
⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩⎩
轴对称的图形
应用：将军饮马、光学反射……“几何变换”的证明思想：“对称补缺” *定理的正确使用，可以避开全等，使得思考和证明的过程得以简化
【轴对称图形和垂直平分线】
1. 在下图所示的几何图形中，对称轴最多的图形的是（
）．
B
A B C D
2. 平面直角坐标系xoy 中，(15)A -，，(10)B -，，(43)C -，． (1) 求出ABC △的面积．
(2) 在图5中作出ABC △关于y 轴的对称图形111A B C △． (3) 写出点111A B C ，，的坐标．
3. （1）点P （3，-5）关于x 轴的对称点坐标为（ ）D
A ．（－3，－5）
B ．（5，3）
C ．（－3，5）
D ．（3，5）
（2）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-
点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ）A
A
．2- B
．1-
C
．2-
D
．1
（3） 如图，在正方形网格纸上有三个点A ，B ，C ，现要在图中网格范围
内再找格点D ，使得A ，B ，C ，D 四点组成的凸四边形是轴对称图形，在图中标出所有满足条件的点D 的位置．（两个解）
4. ．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线M N 交AC
于点D ，则∠DBC =_________°．（30）
5. △ABC 中，如果AB －AC ＝2cm ，BC 的垂直平分线交AB 于D 点，且△ACD
的周长为14cm ，则AB ＝_____cm ，AC ＝____cm ．（8，6）
6. 如图，已知△ABC 中，∠BAC =120°，分别作AC ，AB 边的垂直平分线PM ，PN 交于点
P ，分别交BC 于点E 和点F ．则以下各说法中：①∠P =60°，②∠EAF =60°，③点P 到点B 和点C 的距离相等，④PE =PF ，正确的说法是______________．（填序号）①②③
7. 已知∠AOB ＝45°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，
则P 1、P 2与O 三点构成的三角形是（ ）D
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
B D
A M
N
B
C
D
C
B
A
图1
作业三
1．如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
2. 正确判断对称轴.
(1) 如图1所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？
（2）. 如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（ ）.
3.（1）若点M （2,a ）和点N （a +b ,3）关于x 轴对称,试求a ,b 的值;
（2）若点M （2,a ）和点N （a +b ,3）关于y 轴对称,试求a ,b 的值.
（3） 在直角坐标系中,已知A （2,0）,B （1,-2）则线段AB 关于坐标系y 轴的对称线段的图象是下图中的（ ）.
4．如图，写出△ABC 中各顶点坐标．在同一坐标系中画出直线 m ：x =－1，并作出△ABC 关于直线m 对称的△A ′B ′C ′．若P （a ，b ） 是AC 边上一点，请表示其在△A ′B ′C ′中对应点的坐标．
F
M P
E D C
B A
【等腰三角形的性质和判定】
从画等腰三角形开始，给出判定，回忆性质 【例题】
1. 等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是（
）．D
A ．50
B ．25
C ．12.5
D ．6.25
2. 如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，AD 是底边BC 上的中线，若∠B =65°，则
∠CAD =______°．（25）
3. 已知：如图3，△ABC 中，给出下列四个命题： ① 若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，则∠1＝∠2； ② 若AB ＝AC ，∠1＝∠2，则BD ＝DC ； ③ 若AB ＝AC ，BD ＝DC ，则AD ⊥BC ；
④ 若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，则∠1＝∠3； 其中，真命题的个数是（ ）．D A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4. 如图2，∠B ＝∠BCD ＝∠ACD ＝36°，则图中共有（
）等腰三角形．D
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，∠BAD =40°，则∠C 为（ ）．B
A ．25°
B ．35°
C ．40°
D ．50°
6. 已知：如图，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，点D 与点A
关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，AF 相交于P ，M ． （1）求证：AB ＝CD ；
（2）若∠BAC ＝2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．（相等）
A
B
C
D
7. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D 为△ABC 内一
点，且DB =DC ，∠DCB =30°．点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ．
（1）求∠ADE 的度数；
（2）若点M 在DE 上，且DM=DA ，
求证：ME=DC ．
8. *已知：如图，ABC ∆中，点E D ,分别在AC AB ,边上，F 是CD
中点，连BF 交AC 于点E ，︒=∠+∠180CEB ABE ，比较线
段BD 与CE 的大小，并证明你的结论．
（提示，注意AE =AB ；过D 作AC 的平行线交BE 于点G ）
B
作业四
1.等腰三角形的周长为20cm，求底边y（cm）与腰长x（cm）之间的关系式；
2．等腰△ABC中，AB=2BC，且三角形周长为40，求AB的长.
3.已知等腰三角形有一个内角为70°，求其余两个内角的度数.
4.已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数.
5.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数.
专题：关于等腰三角形的作图和分类讨论
1.①已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数．（40，40）
②已知等腰三角形有一个内角为30°，求其余两个内角的度数．（30，120或75，75）
2. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数．（45
或135）
3. *①已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则其顶角为___________．（30或150）
*②已知等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则其顶角为___________．（90或120）
*③等腰三角形一边上的高等于这边的一半，则其顶角为___________．（90或30或150）
4. 如图，线段OD 的一个端点O 在直线a 上．以OD 为一边作等腰三角形使第三个顶点C 也在直线a 上，作出所有符合条件的点．．．．．．．．C ．
．若以O 为原点建立平面直角坐标系，使得D 点的坐标为(2,2)D ，求各C 点
的坐标．4个解：1234(1,0),(2,0),(C C C C
5. 在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积．（注：形状相同的三角形按一种计算）．（12或8）
6. 在正方形ABCD 所在平面上找一点P ，使△PAD 、△PAB 、△PBC 、△PCD 均为等腰三角
形，这样的P 点有几个？（9个）
7. （1）已知ABC △中，90A ∠= ，67.5B ∠= ，请画一条直线，把这个三角形分割成
两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）*已知ABC △中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的所有可能的关系．
【解】 （1）如图（共有2种不同的分割法）
A
B
C
67.5
67.5 22.5
22.5
A B
C 22.5 22.5
45
45
（2）3
1354
ABC C ∠=-
∠
； 3ABC C ∠=∠；1803ABC C ∠=-∠ ；90ABC ∠= ，C ∠为小于45 的任意锐角．
8. *平面内有一点D 到△ABC 三个顶点的距离DA =DB =DC ，若∠DAB =30°，∠DAC =40°，则
∠BDC 的大小是_________°．（20或140）
A B
C
备用图①
A B
C
备用图②
A
B
C
备用图③
B
C
B
专题：几何问题代数化
1.如图， △ABC 中，AB=AC ，∠BAD =30°，D 、E 在BC 、AC 上，AE=AD ，求∠CDE 度数.
2.如图，△ABC 中，AB=BC ，M 、N 在BC 上，MN=NA ，若∠BAM =∠NAC ，求∠MAC .
3.如图，△ABC 中，AC=CD ，∠CAB -∠B =30°，求∠BAD 的度数.
*4.已知等腰三角形的三边a ,b ,c 均为整数，且24=+++ca b bc a ，则满足该条件的等腰三角形共有几个？( 因式分解 )
N
A
作业五
1.点D 、E 分别在等边△ABC 的边AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1、EB 1分别交边AC 于点F 、G ．若∠ADF ＝80º，则∠CGE ＝ ．
2.如图,已知:AD 为△ABC 的高,∠B =2∠C ,求证: CD =AB +BD .
3.已知：如图，在等腰直角△ABC 的斜边上取两点M 、N ，使∠MCN ＝45°，设AM =m ，MN =x ，BN ＝n ，试判断以x 、m 、n 为边长的三角形的形状.
4.如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，AB=AC ，∠ABD =60°，过D 作ED ⊥AD ，交AC 于点E ，恰有DE 平分∠BDC ．试判断线段CD 、BD 与AC 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
5.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB >AD ， 试判断AB-AD 与CB-CD 的大小关系，并证明你的结论．
E
D
B
A
【等边三角形（30°角直角三角形）】
从画等边三角形开始，给出判定，回忆性质
【例题】
1.下列条件中，不能
．．得到等边三角形的是（）．B
A．有两个内角是60°的三角形B．有两边相等且是轴对称图形的三角形C．三边都相等的三角形D．有一个角是60°且是轴对称图形的三角形2.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC．根
据以上条件，可知∠B＝______，∠BAD＝_______，BD：DC＝
_______．
（30，90，2：1）
3.如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30º，∠C=90º，将∠A沿DE
折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为_____．（2）
4.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，
且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：ABE
∆≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．
5.如图所示△ABC中，AB=AC，AG平分∠BAC；∠FBC =∠BFG =60︒，若FG=3，
FB=7，求BC的长．（答案10．提示：延长AG、FG与BC相交）
6.已知：如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的一动点（点
P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，
过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q．设BP=x，
AQ=y．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当BP的长等于多少时，
点P与点Q重合；（
1
28
x
x=+；
4
3
）
A
C
B
P
E
F
Q
A
B
C
D
E
作业六
1.△ABC中，AB=AC，∠CAB=100°，则∠B的度数（）
A 80°
B 50°
C 40°
D 30°
2．如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中错误的是( )．A．∠B=∠C B．∠BAD=∠CAD C．AD⊥BC D．∠BAC=∠B
3.如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定
．．．成立的是（）
A∠B=∠D B∠A=∠B C OA=OB D AD=BC
4.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，那么这个等腰三角形的周长为（）
A 7
B 9
C 12
D 9或12
5．以下叙述中不正确
．．．的是 ( )
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一个内角为60。

的等腰三角形是等边三角形．
C．等腰三角形一定是锐角三角形．
D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
6.若等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积为（）
A 50
B 25
C 12.5
D 6.25
7.下列说法正确的是（）
A 等腰三角形的一边不可能是另一边的二倍
B 顶角相等的两个等腰三角形全等
C 有两条边对应相等的两个等腰三角形全等
D 等腰三角形两腰上得高线相等
A
B
C
D
O
E
D
C
B
A
8.如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B 点折叠在折痕MN 上,折痕为AE,点B 在MN 上的对应点为H,沿AH 和DH 剪下,这样剪得的三角形中 ( ) A AD DH AH ≠= B AD DH AH == C DH AD AH ≠= D AD DH AH ≠≠
9.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=108°,若AD ，AE 三等分∠BAC ，则图中等腰三角形有（ ）
A 3个
B 4个
C 5个
D 6个
填空题
1．已知等腰三角形有一个内角为50°，则其余两个内角的度数为 2．已知如上图，△ABC 中，∠ACB=90º，CD 是高，∠A=30º，则BD= AB 3. 在△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE=3cm,△ABD 的周长为13cm,则△ABC 的周长为____________.
4．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数 度
5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上一点，E 是AC 上一点，AD=AE ，∠BAD=30°， 则∠EDC 的度数为 度．
6．如图(1):四边形ABCD 是一张正方形纸片,E,F 分别是AB,CD 的中点,沿着过点D 的折痕将A 角翻折,使得A 落在EF 上(如图(2)), 折痕交AE 于点G,那么∠ADG 等于 度
5题图 6题图
A
B
C
D
M
N
H
E
解答题
已知：点D 在等边△ABC 的边AC 上，如图，21∠=∠, BD=C,试判断△ADE 的形状并证明你的猜想。

猜想：△ADE 为 三角形 证明：
专题：动点问题
1. （2011年区统考）如图所示，长方形ABCD 中，AB =4，BC
点E 是折线段A —D —C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使△PCB 为等．
腰三角形．．．．
的点E 的位置共有（ ）．C A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
2. 如图ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与
CQP △是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少
时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？
【答案】解：（1）①SAS 全等；②415厘米/秒．（2）经过803
秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．
A
B
C
D
E
P
因式分解
【知识结构】
【因式分解定义】将一个多项式化为几个整式的积的形式 【练习】下列从左到右的变形，属因式分解的是（ ）.
（A ）22))((a x a x a x -=-+ （B ）3)4(342+-=+-x x x x （C ）)8(8223-=-x x x x （D ）)1(x
y x y x +
=+ [因式分解的方法]
① 提公因式法 ② 公式法 (平方差、完全平方) ③ 十字相乘法 ④ 整体的思想（换元、分组分解）
其他方法: 拆添项配方法、待定系数法、综合除法因式定理、特殊的多项式的分解（轮换对称、双十字相乘等）. 【练习】
1. 下列多项式中，能利用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A ．1442--a a B. 422
++a a C . 4
12
+
-a a D. 12
-a 2.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．2
249x y -； B ．
4491x - ； C ． 22n m -- ； D ． 9)(4
1
2-+q p 3. 多项式 9x 2
- mxy + 16y 2
是一个完全平方式, 则m 的值为 ________ [分解因式]
因式分解的步骤：先提公因式，再看项数，最后检查每个因式是否可再分。

注意事项: ①书写顺序及要求②多重括号的处理③负号、分数是否提出来的原则等 【练习】因式分解下列各式
（1）abc c a b a 639222--；（2）xy xy y x 1551022+--；（3）32)(8)(6x y y x a ---
（4）))(())((a b x y y b a y x x ----- （5）492522+-y x ； （6）22441b a ab ++；
（7）a a -5； （8）2
2
122
x y -； （9）()()229x a b y b a -+-；
（10）()()22
33y x y x --- （11）2244y xy x -+- （12）222224)(b a b a -+
(13) 62
-+x x (14) 652
--x x (15) 672
+-x x (16) 6732
--x x
(17) 2
2
34b ab a +- (18) mn m x m n x -+-+22)2( (19) bx ay by ax 3443+--
(20) bc ac b a +--22 (20) 2222b ab a x -+- （21）1222-+-b ab a
[因式分解的应用]
1.若一个三角形的三边长分别为c b a ,,，且满足02222
2
2
=--++bc ab c b a ，试判断该三角形是什么三角形，并加以说明．
2. 用1个边长为a 的正方形、6个长为a 宽为b 的长方形、9个边长为b 的正方形，拼成一个大正方形，这个大正方形的边长为
3. 若012=-+m m ，求3223++m m 的值.
作业七：因式分解
1.下列各式中能用平方差公式因式分解的是( )
A.22a b + B .22
a b -+ C.22a b -- D. ()2
2a b +-
2.下列各式中能用完全平方公式因式分解的是( )
A.2441x x +-
B.22x xy y ++
C.2242x x -+-
D. 2
241x x ++ 3.()2
100x y +-因式分解的结果是( )
A.()()1010x y x y +++-
B. ()()100100x y x y +++-
C.()()1010x y x y +--+
D. ()2
10x y +-
4.若多项式()()2
2
33x pxy qy x y x y ++=+-，则,p q 的值分别为( )
A.－12，－9
B.－6，9
C.－9，－9
D.0 ，－9
5.若()()
()()2
2x 81492323n
x x x -=++-，则n 的值是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
6.若ab ab b a b a 2212222=-+++，则=+b a _______；
7.已知942++my y 是完全平方数，则m =______.
8.因式分解:2
4
28y y -=_______________ 3
5
x x -=_______________
2244x y xy --+=_______________ 2232ax a x a ++=_______________
9.利用因式分解计算:
（1）2
99616-； (2) 2
2
20220219698+⨯+．
10．已知9
,2,2
a b ab +==求32232a b a b ab ++的值．
11．若2
228170x x y y ++-+=，求y
x
的值．
12.已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足关系式222
222a c ab bc b +=+-，试判定ABC ∆的形状．
13．如图1所示，从边长为a 的正方形纸片中减去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，
（1）设图1中阴影部分面积为S 1，图2中阴影部分面积为S 2，请直接用含a 、b 的代数式表示S
1和S 2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
14.已知)23)(713()713)(3110(-----ax x x x 可以因式分解为)7)(713(b x x +-,其中
b a ,为整数，求b a +的值。

15.已知16,12422
2
2
-+-=++=x y x Q y x P ，比较代数式Q P ,的大小。

【分式】
一．复习内容：分式的概念,分式有意义的条件,分式值为零、正、负的条件；
分式的基本性质（分式的符号法则；分式的约分、通分）；
分式的乘除法、乘方运算,分式的加减法运算，分式的混合运算；
分式方程的解法和对增根的理解；
分式方程的应用.
二．复习重点：分式的基本性质、分式的混合运算、分式方程的解法及应用．三．主要数学思想方法：类比思想；转化思想.
四．基础知识回顾
【分式的概念】
1．一般地，如果A、B表示两个，并且B中，那么式子A
B
叫做分式．
2．分式有意义的条件是；分式的值为零的条件是分子，分母．
【分式的基本性质】
1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个，分式的值．
用式子表示为：A A C
B B C
⋅
=
⋅
，
A A C
B B C
÷
=
÷
（其中A、B、C是整式，0
C≠）．
2．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何个，分式的值不变，可简记为“三变二，值不变”．
3．通分：根据分式的基本性质，分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值．把几个异分母的分式化成，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定各分母的．
最简公分母用下面的方法确定：
（1）最简公分母的系数，取各分母系数的；
（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的的积．
4．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的约去，这样的分式变形叫做分式的约分．约分的关键是确定分子与分母的公因式．约分的结果应化为．
【分式的运算法则】
建议：
可像康杰老师讲座时提供的，给学生分式运算的程序图
1．分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为，作为积的分母．
用式子表示为：a c a c
b d b d
⋅
⋅=
⋅
．
2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为：a c a d a d
b d b
c b c
⋅
÷=⋅=
⋅
．
3．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母．
用式子表示为：()
n n
n
a a
b b
=．。