人教A版文科数学课时试题及解析(8)指数与指数函数B

课时作业(八)B [第8讲 指数与指数函数]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )
A ．a ＝1或a ＝2
B ．a ＝1
C ．a ＝2
D ．a ＞0且a ≠1
2．函数y ＝4－⎝⎛⎭⎫12x －1的定义域是( )
A ．[1，＋∞)
B ．[－1，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．(－∞，－1]
3．已知实数a 、b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；
④b <a <0；⑤a ＝b .
其中不可能成立的关系式有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．给出下列结论：①当a <0时，(a 2)32
＝a 3；②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
能力提升
5．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A ．0<a <1，且b >0
B ．a >1，且b >0
C ．0<a <1，且b <0
D ．a >1，且b <0
6． 不等式4x －3·2x ＋2<0的解集是( )
A ．{x |x <0}
B ．{x |0<x <1}
C ．{x |1<x <9}
D ．{x |x >9}
7． 已知函数f (x )满足：x ≥4，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)
＝( )
A.124
B.112
C.18
D.38
8．定义运算：a *b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a (a ≤
b )，b (a >b )，如1]( ) A ．R B ．(0，＋∞)
C ．(0,1]
D ．[1，＋∞)
9． 已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．
10．计算：(log 25)2－4log 25＋4＋log 215
＝________. 11．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．
12．(13分)已知f (x )＝a a 2－1
(a x －a －x )(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；
(2)讨论f (x )的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．难点突破
13．(12分)已知函数f(x)＝a－2
2x＋1
.
(1)若函数f(x)为奇函数，求a的值；
(2)若a＝2，则是否存在实数m，n(m＜n＜0)，使得函数y＝f(x)的定义域和值域都为[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(八)B
【基础热身】
1．C [解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1， 得a ＝2.
2．B [解析] 由4－⎝⎛⎭
⎫12x －1≥0，即4≥21－x ，得22≥21－x ，∴2≥1－x ，∴x ≥－1.故选B.
3．B [解析] 当a <b <0，a ＝b ＝0，a >b >0时，都存在a 、b 使⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 成立，故①②
⑤正确，③④不正确，因此选B.
4．B [解析] ∵a <0时，(a 2)32
>0，a 3<0，∴①错； ②显然正确；解⎩⎪⎨⎪⎧
x －2≥0，3x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确； ∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127
＝3－3，∴y ＝－3， ∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．
【能力提升】
5．C [解析] 如图所示，图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上(纵截距小于零)，即a 0＋b －1<0，且0<a <1，
∴0<a <1，且b <0.故选C.
6．B [解析] ∵4x －3·2x ＋2<0，∴(2)－3·2＋2<0，
∴(2x －1)(2x －2)<0，解得1<2x <2，∴0<x <1，故不等式的解集是{x |0<x <1}．
7．A [解析] ∵3＜2＋log 23＜4，
所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，且3＋log 23＞4.
∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)
＝123＋log 23＝18×12log 23＝18×12log 1213＝18×13＝124
. 8．C [解析] 由定义知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－x ，x ≥0，2x ，x <0，而x ≥0时，2－x ∈(0,1]；x <0时，2x ∈(0,1)，∴函数f (x )的值域为(0,1]．
9．m <n [解析] 由a ＝5－12∈(0,1)，得函数f (x )＝a x 为减函数，又f (m )>f (n )，∴m <n . 10．－2 [解析] 原式＝(log 25－2)2－log 25＝log 25－2－log 25＝－2.
11.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 数形结合．当a >1时，如图①，只有一个公共点，不符合题意．当0<a <1时，如图②，由图象知0<2a <1，∴0＜a ＜12.
12．[解答] (1)函数定义域为R 又∵f (－x )＝a a 2－1
(a －x －a x )＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数．
(2)当a ＞1时，a 2－1＞0，
y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，∴f (x )为增函数．
当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函
数，
∴f (x )为增函数．故当a ＞0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．
(3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数．
∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．
∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a
＝－1. ∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]．
【难点突破】
13．[解答] (1)∵f (x )为R 上的奇函数，
∴f (0)＝0，∴a ＝1.
(2)法一：不存在实数m 、n 满足题意．
f (x )＝2－22x ＋1
， ∵y ＝2x 在R 上是增函数，∴f (x )在R 上是增函数．
假设存在实数m 、n (m ＜n ＜0)满足题意，
则有⎩⎨⎧
2－22m ＋1＝m ，①2－22n ＋1＝n ，② ∵m ＜0，∴0＜2m ＜1，∴0＜2－22m ＋1
＜1. 而①式左边＞0，右边＜0，故①式无解．
同理②式无解．
故不存在实数m 、n 满足题意．
法二：不存在实数m 、n 满足题意．
易知f (x )＝2－22x ＋1
， ∵y ＝2x 在R 上是增函数，∴f (x )在R 上是增函数．
假设存在实数m 、n (m ＜n ＜0)满足题意，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
f (m )＝m ，f (n )＝n ， 即m 、n 是方程f (x )＝x 的两个不等负根．
由2－22x ＋1＝x ，得2x ＋1＝－2x －2
. 令h (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x －2
. ∵函数g (x )在(－∞，0]上单调递增，
∴当x ＜0时，g (x )＜g (0)＝1.
而h (x )＞1，∴h (x )＞g (x )，
∴方程2x ＋1＝－2x －2
在(－∞，0)上无解． 故不存在实数m 、n 满足题意．。