物不知数
高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余
第二十二讲物不知数与同余- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．（1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」（1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关系呢：（2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习1．（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？例题2．（1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？「分析」看起来和例题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是81296⨯=吗？练习2．一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？例题3．（1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3，，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少？如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”．我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的．而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，19515180-=则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，则1135351100-=是4的倍数．也就是说：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？被除数除数商余数，被除数是1024，余数是23，说明除数和商要满「分析」（1）由÷=足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题．练习4．（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？例题5．刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家——节选自《怎样解题》乔治·波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的．在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目．对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷．他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他．他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰．他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用．和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习．他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛．然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的．他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西．他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目．他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路．陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者．13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主．20岁获得普林斯顿大学博士学位．24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授．2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖．目前已发表超过230篇学术论文．作业1.在小于50的数中，与67除以11同余的数有哪些？作业2.一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？作业3.2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？作业4.1986和2011这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？作业5.韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1.答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20]17437+=．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]110=，因此这个数最小为1104106⨯-=．-=．第二小的是11024216例题2.答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12]3⨯+，其中n为自然n数．要求满足条件的最小三位数，应令n为5，即[8,12]53123⨯+=．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10]5⨯-，其中n为自然数．要求满足条件的最n小三位数，应令n为4，即[6,10]45115⨯-=．例题3.答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法．满足第二个条件的数为1，12，23，……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．例题4.答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024231001-=，可知除数是1001的约数．其中大于23的有77和91；（2）-=，可知除数是16的约数，可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0，1008416只能是16和8．例题5.答案：467详解：兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2[3,5]n+⨯，其中n为自然数，即2，17，32，47，……其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47[3,5,7]n+⨯，其中n为自然数．n取4时满足条件，为467．例题6.答案：20详解：从整体的角度出发考虑问题，水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为学生数的倍数．639013025258++-=，258的约数有1、2、3、6、43、86、129、258，其中43满足条件．苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20个．练习1.答案：（1）3．（2）31简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3；（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．练习2.答案：999这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[4,6]3⨯+，其中n为自然数．要求满n足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]833999⨯+=．练习3.答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17正好除以7余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4.（1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）15015135-=，除数是135的约数．其中大于15的有135、45和27；（2）-=，除数是24的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要满足余数805624不为0，除数只能是3、6、12和24．作业1.答案：1，12，23，34，45简答：除以11的余数都是1．作业2.答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59．作业3.答案：78简答：这个两位数是2025751950-=的约数，其中比75大的只有78．作业4.答案：25简答：这个两位数是2011198625-=的约数，只能是25．作业5.答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．。
中国剩余定理
中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.▪主理想整环.▪一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
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第二十二讲物不知数与同余农孙子算经〉是南北朝时一邮董要的数 学苕诈，为我国古代 伸经十书》之一• 三人阳行七十稀 五树梅花廿一枝 七子团圆正半月 除百零五便得知除以3余N 除以5余汝除以7定2CP 2书中右一道暑皂的題目、我们称之 为“物不知数冋题“ •这過题的实质圧一个余数问翹, 我国古代的学者很早就研究这个 问题的斛注.我国明朝的数学 家程人位柱抱暑的 农算法统宗》中' 就用了四旬很通倍 的口诀暗承了竝且 的解法.IWWL 你能知道程大位先 生口诀里的盍思叫？故事中的余数问题就是我们今天要研究的 “物不知数” 问题，也称为中国古余数问题． 简 单来说，这类问题就是先知道了除数和余数， 反求被除数的问题． 通常在不同的题目中，余 数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．例题 1．（1）一个数除以 21 余 17，除以 20 也余 17．这个数最小是多少？第二小是多少？ （2）一个数除以 11 余 7，除以 10 余 6．这个数最小是多少？第二小是多少？ 「分析」（1）这个数除以 21和20都余 17，那么减去 17以后得到的差跟 21和 20有什么关 系呢：（2）除以 11和 10 的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习 1．4余 3，除以 5也余 3，这个自然数最小是多少？5余 1，除以 7余3，这个自然数最小是多少？例题 2．（1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？ （2）一个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？「分析」 看起来和例题 1没有太多区别．不过要小心哦， 8和12 的最小公倍数是 8 12 96 吗？练习 2．一个三位数除以 4 余 3，除以 6 也余 3．这个三位数最大是多少？例题 3．（1）一个数除以 7余2，除以 11余 1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士， 人数在 150 人到 200 人之间， 从第一个开始依次按 1，2，3， L ，9 的顺序报数，最后一名战士报的数是 3；如果按 1，2，3，L ，7 的顺序报数，最后一名 战士报的数是 4．请问：一共有多少名战士？「分析」 所求自然数要满足两个余数条件， 直接处理并不容易， 但我们可以先让它满足其中 一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．练习3.一个三位数除以5余2,除以7余3.这个三位数最小是多少?1）一个自然数除以 2）一个自然数除以如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余•例如195除以9余6, 15除以9也余6,我们就说“ 195和15除以9同余”.我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的•而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，195 15 180则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，贝U 1135 35 1100是4的倍数•也就是说：［如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除•反之亦然.例题4.(1)1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？(2)100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少？「分析」(1 )由被除数除数商L余数，被除数是1024,余数是23,说明除数和商要满足什么条件？ ( 2)利用同余的定义就可以解决这个问题.练习4.(1 )用150除以一个整数，所得余数是15,请问：这个除数可能是多少？(2) 80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少?例题5.刘叔叔养了400多只兔子.如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只; 如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只•请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？例题6．把63 个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家节选自《怎样解题》乔治波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的. 在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答. 通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷.他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他.他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰. 他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用.和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习. 他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛. 然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的.他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西. 他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目. 他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路.陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者. 13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主. 20岁获得普林斯顿大学博士学位. 24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授. 2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖•目前已发表超过230篇学术论文.作业 1. 在小于50的数中,与67 除以11 同余的数有哪些？作业2. 一个自然数除以7余3,除以27余5,这个自然数最小是多少？作业3. 2025除以一个两位数,余数是75,这个两位数是多少？作业4. 1986和2011 这两个数除以同一个两位数,得到相同的余数,这个两位数是多少？作业 5. 韩信点兵：有兵四五百,五五数之余三,七七数之余四,九九数之余五.那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1. 答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20] 17 437 ．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4 即可被11 和10 整除，[11,10] 110 ，因此这个数最小为110 4 106 ．第二小的是110 2 4 216 ．例题2. 答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12] n 3，其中n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n 为5，即[8,12] 5 3 123 ．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10] n 5，其中n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n 为4，即[6,10] 4 5 115 ．例题3. 答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法•满足第二个条件的数为1, 12 , 23,……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39,不断加63,直到满足限制条件,最后得到165．例题4. 答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024 23 1001 ,可知除数是1001 的约数．其中大于23的有77和91；（2）100 84 16,可知除数是16的约数,可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0, 只能是16和8．例题5. 答案：467详解：兔子数除以3余2,除以5余2,除以7余5．所有满足前两个条件的数为2 [3,5] n, 其中n为自然数，即2, 17, 32, 47,……其中47同时满足第三个条件•所有满足条件的数为47 [3,5,7] n，其中n为自然数.n取4时满足条件，为467.例题6. 答案：20 详解：从整体的角度出发考虑问题, 水果总数减去没有分出去的水果数, 得到的数应为学生数的倍数.63 90 130 25 258 , 258 的约数有1、2、3、6、43、86、129、258, 其中43满足条件.苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20 个.练习1. 答案：（1）3.（2）31 简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数,所以最小是3；（2）这个自然数加上4 以后是5 和7 的公倍数,所以最小是31.练习2. 答案：999 这是一道余同的问题.满足条件的数可表示为[4,6] n 3,其中n 为自然数.要求满足条件的最大三位数,应令n 为83,即[4,6] 83 3 999.练习3. 答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17 正好除以7 余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4. （1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）150 15 135，除数是135 的约数．其中大于15 的有135、45和27；（2）80 5624 ，除数是24 的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12 和24．但要满足余数不为0，除数只能是3、6、12 和24．作业1. 答案：1，12，23，34，45 简答：除以11 的余数都是1．作业2. 答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59.作业3. 答案：78 简答：这个两位数是2025 75 1950的约数，其中比75 大的只有78.作业4. 答案：25 简答：这个两位数是2011 1986 25 的约数，只能是25.作业5. 答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3 的数.。
“ 物不知数 ” 与 “ 大衍求一术 ”
“物不知数大衍求一术””物不知数””与“大衍求一术在我国的古代，有一部很重要的数学著作，叫《孙子算经》（约成书于四、五世纪），它包含有如“物不知数”、“鸡兔同笼”等问题，都编得饶有情趣，1000多年来，一直在国内外广为流传。
《孙子算经》中，“物不知数”问题最为著名且意义重大，《孙子算经》不但提供了答案，而且还给出了解法。
“物不知数”问题的原文是：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？答曰：二十三。
”（大意是：有一堆物体，不知道它的数目。
若每3个一数，最后会剩2个；每5个一数，最后会剩3个；每7个一数，最后会剩2个。
求这堆物体的数目。
答案是：23。
）显然，“物不知数”问题相当于求不定方程组N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2的正整数解N。
按照现代解不定方程的一般步骤，解答起来比较麻烦。
但若按照《孙子算经》提供的解法，解答起来就简单得出奇。
该解法为：凡是每3个一数最后剩1个，就取70；每5个一数最后剩1个的，就取21；每7个一数最后剩1个，就取15。
把它们加起来，如果得数比105大，就减去105。
最后求出的数就是所有答案中最小的一个。
尤其可贵的是，这种巧妙的算法具有普遍的意义，只要是同一类型的题目，都可以用这种方法去解答。
《孙子算经》是最先详细介绍这种巧妙解法的文献。
为便于记忆，有人将这一解法编成了一首叫“孙子歌”的歌谣：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
亦有人将其编成另一首歌谣：三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相會，寒食清明便可知。
两首歌谣里都隐含着70、21、15、105这4个数。
只要记住这4个数，算出物不知数问题的答案就轻而易举了。
我们来看看《孙子算经》是如何解决“物不知数”问题的。
在“物不知数”问题里，每3个一数最后剩2，应该取2个70；每5个一数最后剩3，应该取3个21；每7个一数最后剩2，应该取2个15。
由于2×70+3×21+2×15=233，比105大，应该减去105，得128，仍比105大，再减去105，得23。
中国剩余定理与线性组合、特解通解、基之联系
中国剩余定理与线性组合、特解通解、基之联系1 引言中国剩余定理是关于南北朝时期一部著名的算术著作《孙子算经》中物不知数问题引出的一个定理．《孙子算经》中物不知数问题是：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”2 中国剩余定理及其证明2.1中国剩余定理的定义)150](3[P在现在的初等数论中，中国剩余定理是这样叙述的：设k m m ，⋯⋯,1是两两既约的正整数， 那么对任意整数 ,,1k a ，a ⋯⋯ 一次同余方程组 k j m a x j j ≤≤≡1),(mod 1 （1） 必有解，且解数为1．事实上，同余方程组（1）的解是)(m od 111m a x M a x M x k k k +⋯⋯+≡ （2） 这里k m m m m ⋯⋯=21 , )1(k j M m m j j ≤≤=,以及j x 是满足k j m x M j j j ≤≤≡1),(mod 1 （3） 的一个整数（既是j M 对模 j m 的逆）．中国剩余定理的数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都起着广泛应用.2.2中国剩余定理的证明)99](1[P证明1 首先证明解的存在性．令k m m m M ⋯⋯=21,对于每个,,,2,1n k ⋯=令k k k ，km m m m m M M ⋯⋯==+-111，根据定理条件可得1),(=k k m M ,又根据一元同余式有解的充要条件可知)(m od 1k k m x M ≡是有解的．设它的唯一解为x k ．构造)(m od 111m a x M a x M x k k k +⋯⋯+≡.根据K M 的构造可知,k j m M k j ≠≡),(mod 0那么k k k a x M a x M x +⋯⋯+≡111)(mod k k k k m x M a ≡，又k x 是)(m od 1k k m x M ≡的解，所以有)(m od )(m od k k k k k k m a m x M a x ≡≡，这就证明了x 是所给同余式组的一个公共解，所以解存在．再证解的唯一性．假使y 是所给同余式组的另一公共解，则有)(m od k k m a x ≡≡)(mod k m y 所以对于每一个k 都有K M 整除)(x y -，又根据i j m m j i ≠=,1),(所以k m m m ⋯⋯21整除)(x y -, 于是)(mod M y x ≡所以解是唯一的．证毕．证明2 为简单起见考虑2=k 的情形，现在，21m m m =， 1112,m M m M ==及同余方程组（1）是)(m od 11m a x ≡)(m od 22m a x ≡由第一个方程知，可把x 表为：y m a x 11+=．这样，以上同余方程组变为同余方程，)(m od 2121m a a y m -≡即，)(m od 2122m a a y M -≡由))(m od (12122m a a M y --≡,进而有))(m od (12221m a a x M y m -≡. （4）由此及式（4）得))(m od (12221m a a x M a x -+≡)(m od )1(222122m a x M a x M +-≡ （5）由21,m m 的对称性，同样可得)(m od )1(211111m a x M a x M x -+≡ （6） 但（5）式和（6）式还都不是我们需要的式（2）（2=k ）的形式．但利用式（3）（0=k ），容易看出 ),(m od 112211m x M x M -≡),(m od 112211m x M x M -≡所以),(m od 12211m x M x M -≡由此及（5）式（或（6）式）立即推出：若x 是解则必有)(m od 222111m a x M a x M x +≡容易验证222111a x M a x M +的确是原同余方程组的解．证毕．用证法二来证2=k 的情形并不方便．下面再介绍一种证法．证明 3 首先，我们来指出这样一个事实：若 0x 满足同余方程组（1），0x '满足下面的同余方程组k j m a x j j ≤≤'≡1),(mod那么，00x x '+一定是同余方程组 k j m a a x j j j ≤≤'+≡1),(mod的解．因此，我们可以用下面的叠加方法来求同余方程组（1）的解．设=ji a ⎩⎨⎧≠=j i j i a j 0,（7）对每个固定的)1(k i i ≤≤考虑同余方程组k j m a x j ij ≤≤≡1),(mod （8）注意到i j ≠时 0=ij a 所以由这方程组的第k i i ,,1,1,,1⋯+-⋯ 个方程（注意j m 两两既约）)(mod 0i M x ≡,即y M x i = . 代入第i 个方程得)(mod i i i m a y M ≡.由)(m od i i i m a x y ≡,即)(m od m a x M y M i i i i ≡ .即)(m od m a x M x i i i ≡.容易验证，i i i a x M 确实同余方程组（8）的解（这就证明了同余方程组（8）有解且解数为1．注意到由式（7）可得j r j j j a a a a =+⋯⋯++)()2()1(,所以，k k k a x M a x M +⋯⋯+111 一定是同余方程组（1）的解．在证法一中已证明了若有解，则解数为1．定理证毕．细心的读者会发现，一元同余式组与求解一次不定方程组是一样的，同余式组中 k j m a x j 「≤≤≡1),(mod 用线性方程组的语言可表达为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯⋯=-=-kk k a m x x a m x x a m x x 222111 （9） (x 为整数范围内的根)3线性方程组定理（线性方程组有解判别定理）)78](2[p 非奇次线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯sn s s n n a a a a a a a a a 212212111211 与增广矩阵 A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211 有相同的秩.定理)90](2[p 如果0γ 是非奇次方程组的一个特解，那么该方程组的任一解 γ 都可以表成 ηγγ+=0其中 η是其导出组的一个解．因此，对于该方程组的任一特解γ，当γ取遍它的导出组时，此方程组就给得到它的全部解．线性方程组（9）可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋯⋯⋯-=-=kk k m a x x m a x x m a x x /)(/)(/)(222111 因为k x x x ,,,21⋯⋯，都是整数．所以由中国剩余定理知，k k k a x M a x M +⋯⋯+111 为x 的一个特解．其导出组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯⋯=-=-0002211k k m x x m x x m x x的所有解为x 为m 的整数解倍．所以（9）的通解为),(m od 111111m a x M a x M am a x M a x M x k k k k k k +⋯⋯+≡++⋯⋯+= （a 为整数）总的来说，中国剩余定理是线性组合的最早应用，它又是数论中的一个特有的重要概念．4 相关例题“物不知数”问题就是要求同余方程组)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡x x x （10）的正整数解．书中求出了满足这一问题的最小正整数解23=x ，所用的具体解法实质上就是求这同余方程组的形如式（2）的解，我们来解决同余方程组（10），这里.15,21,357,5,3321321======M M M m m m 容易算出可取.1,1,2332211===---M M M (这里jj M -是j M 对模 j m 的逆) 因此（10）的解为 )105(mod 23233211531212235≡≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡x因此，满足“物不知数”问题的正整数解是,,2,1,0,10523⋯=+=t t x 最小的为23.定理2)155](3[p 设k k k x x M M m m m ,,,,,,,,,111⋯⋯⋯与中国剩余定理中假设一致．再设)(mod )()1(11m x x M x x M x k k k ⋯+≡那么,x 遍历模m 的完全（既约）剩余系的充要条件是)(j x分别遍历j m 的完全（既约）剩余系.此外，还有k j m xx j ≤≤≡1),(m od )(. (11) 下面来举几个例子．例1)157](3[P 解同余方程组)11(mod 2)7(mod 2)5(mod 1)3(mod 1-≡≡-≡≡x x x x 解 取 ,11,7,5,34321====m m m m 满足中国剩余定理的条件．这时,753,1153,1173,11754321⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=M M M M我们来求1x ，由于)3(m od 1)1()1()1(1≡-⨯⨯-=M ，所以)3(m od 1111x x M ≡≡,因此可取)5(m od 112)2(.121≡⨯⨯-==M x ,知)5(m od 1222x x M ≡≡,因此可取)7(m od 4543.132≡⨯⨯==M x ,知 )7(m od 41333x x M ≡≡,因此可取)11(m od 6573.243≡⨯⨯==M x ,知)11(m od 61444x x M ≡≡，因此可取24=x ,进而由中国剩余定理知同余方程组解为)11753)(mod 2(2)753(22)1135()1(1)1173(11)1175(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≡x 即)1155(mod 394420660231385≡-+-≡x例2 求相邻的四个整数，它们依次22227532，，，，整除．解 设这四个相邻整数是.2,1,,1++-x x x x 按要求应满足),2(m od 012≡-x ),3(mod 02≡x),5(m od 012≡+x ),7(mod 022≡+x所以，这是一个解同余方程组的问题，这里242322217,5,3,2====m m m m 两两既约，满足定理的条件.532,732,752,7532224222322222221⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=M M M M由)2m od 111121（≡≡M ，知 )2(m od 12111x x M ≡=因此可取11=x ．由 )3(m od 4417102222≡⨯≡⨯≡M ，知)3(m od 412222x x M ≡=，因此可取x 2=-2 ．由)5(mod 112122223-≡⨯≡M ，知)5(mod 1112322x x M -≡=,)5(mod 3222233x x ≡-=, )5(mod 2416233x x -≡=因此可取 94=x ．由)7(m od 1863)24()13(24≡⨯≡-⨯-＝M ， 知 )7(m od 1812444x x M ≡≡,)7(mod 5543244x x ≡≡,)7(m od 5030244x x ≡≡,因此可取4x =-19由定理知⨯-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯≡)19(532)1(97320)2(752117532222222222222x )7532(m od 22222⨯⨯⨯-）（)44100mod 342491587611025（+-≡.所以满足要求的四个相邻整数有无穷多组，它们是,4410029348t + ,4410029349t +,4410029350t + ,4410029351t + （t 为整数）最小的这样的四个相邻正整数是29351,29350,29349,29348．例3 求模11的一组完全剩余系，使其中每个数被,7,5,3,2除后的余数分别为1,1,1,1--．解 在定理2中取,11,7,5,3,255321=====m m m m m ,以及,1,1,1)3()2()1(=-==x x x1)4(-=x .由定理2知，当)5(x 遍历模11的完全剩余系时)5(5544332211x x M x M x M x M x M x +-+-= （12） 这就给出了所要求的完全剩余系．下面来求)51(≤≤j x j ．由)2(m od 1≡i M 知)2(m od 1111x x M ≡≡,所以可取11=x ．由 )3(m od 12-≡M 知)3(m od 11222x x M ）（-≡≡ 所以可取12-=x ．由)5(mod 23≡M 知)5(mod 21333x x M ≡≡,所以可取23-=x ．由)7(m od 14≡M 知)7(m od 1444x x M ≡≡,所以可取14=x ．由)11(mod 15≡M 知)11(m od 1555x x M ≡≡.所以可取 15=x 这样就得到)5(753211532)2(117321175211753x x ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯--⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=41)3(2102106712103309247701155)5()5()5(+=+=+--+=x x x具有这样性质的最小的模11的完全剩余系是.4110210,419412108210,317210,416210,415210,414210,413210411022,41210,41+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 例4 解同余方程组)15(mod 1),20(mod 11),8(mod 3≡≡≡x x x .解 这里15,20,8321===m m m 不两两既约，所以不能直接用定理．容易看出，这同余方程组的解和同余方程组)3(mod 1)5(mod 1)5(mod 11)4(mod 11)8(mod 3≡≡≡≡≡x x x x x的解同解．显见，满足第一个方程的x 必满足第二个方程，而第三，第四个方程是一样的．因此，原方程组和同余方程组)3(mod 1)5(mod 1)8(mod 3≡≡≡x x x （13）的解相同．同余方程组（13）满足定理的条件．容易解出同余方程组（13）的解为 )120(mod 29-≡x .注意到[]12015,20,8=所以这也是原同余方程组的解，且解数为1.例4给出了模k m m ，⋯⋯,1 不是两两既约时，同余方程组（1）如何求解的例子．对于一般情形的解法原则上也是这样．例5 解同余方程组)1155(mod 19≡x .解 这是一个一次同余方程．这里我们把它化为模较小的一次同余方程组来解．由于117531155⨯⨯⨯=，所以这个同余方程组和方程组)3(mod 55619≡x , )5(mod 55619≡x ,)7(mod 55619≡x , )11(mod 55619≡x .的解相同．这同余方程组就是)3(mod 1≡x , )5(mod 1≡-x ,)7(mod 32≡x , )11(mod 63≡-x .上述同余方程组就变为)3(mod 1≡x , )5(mod 1-≡x ,)7(mod 2≡x , )11(mod 2-≡x .这同余方程组可用定理的方法来解．实际上，这就是我们的例1中的同余方程组，它的解是)1155(mod 394≡x这就是原同余方程组的解．例6 解同余方程组)10(mod 13≡x ,)15(mod 74≡x解 利用例4的方法这同余方程组的解与同余方程组)5(mod 74)3(mod 74)5(mod 13)2(mod 13≡≡≡≡x x x x 的解相同．但第二个同余方程)5(mod 13≡x 可化为)5(mod 2≡x ，第四的同余方程组 )5(mod 74≡x 可化为)5(mod 2-≡x ，与)5(mod 8≡x 矛盾，所以原同余方程组无解．我们用线性方程组的方法来解以上例1中的一元同余式组例7 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=-=-2112715134321x x x x x x x x (16) 线性方程组(21)可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=-=11/)2(7/)2(5/)1(3/)1(4321x x x x x x x x 因为4321,,,x x x x 都是整数，由中国剩余定理知,394=x 为 x 的一个特解，其导出组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-0110705034321x x x x x x x x 的所有解为11753⨯⨯⨯的整数倍．（16）式的通解为)1155(mod 3941155394≡+=a x .中国剩余定理主要是解决一次同余式问题，再算术中还可以利用它来检查因数和验算整数计算的结果．5 结束语中国剩余定理堪称数学史上名垂百世的成就，它在数学史上占有光辉的一页，其数学思想一直启发和指引着历代数学家们，在数学领域，特别是计算机领域发挥着重要作用．。
小学数学思维-物不知数与同余练习题
物不知数与同余知识精讲这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题，通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件地去满足。
例1.（1）一个数除以21余17，除以20也余17，这个数最小是多少？第二小是多少？（2）一个数除以11余7，除以10余6，这个数最小是多少?第二小是多少？练习1.（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？是多少？（2）一个三位数除以6余1，除以10余5，这个三位数最小是多少？练习2.一个三位数除以4余3，除以6也余3，这个三位数最大是多少？例3.（1）一个数除以7余2，除以11余1，这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1、2、3……，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3：如果按1、2、3……，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4，请问：一共有多少名战士？如果两个数除以同一个数所得的余数相同，我们称这两个数除以这个数同余。
例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”。
我们之前总结的余数性质以及余数的可代替性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的。
而处理余数问题的方法，除了用余数的性质、余数可代替性以及分解求余几种方法，我们还有一个极其有用的手段：转化为整除问题，195与15除以9的时候同余，195—15=180则是9的倍数，1135与35除以4的时候同余，则1135—35=1100是4的倍数，也就是说：如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除，反之亦然例4.（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0，这个除数可能是多少？练习4.（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0，这个除数可能是多少？例5.刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只，如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只，如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只。
物不知数——中国剩余定理
“物不知数”——孙子定理有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数.《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理.孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为：70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n关键是找出70 21 15宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答.明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法.意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案.比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23.又例今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4.试问这类数中最小的正整数是多少？35+63+60-105=5353第一步：在 5,7的公倍数中找出“除以3余数是2”的数；35第二步：在 3,7的公倍数中找出“除以5余数是3”的数；21,42, 63第三步：在 3,5的公倍数中找出“除以7余数是4”的数，15,30,45, 6035+63+60=158,158肯定是符合“除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4”的，但不一定最小，去掉若干个3,5,7的最小公倍数，使之变成最小的正整数。
中国剩余定理
中国剩余定理【定理概述】 中国剩余定理（孙⼦定理）是中国古代求解⼀次同余式组的⽅法。
是数论中⼀个重要定理。
⼀元线性同余⽅程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙⼦算经》卷下第⼆⼗六题，叫做“物不知数”问题，原⽂如下：有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？即，⼀个整数除以三余⼆，除以五余三，除以七余⼆，求这个整数。
《孙⼦算经》中⾸次提到了同余⽅程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中⽂数学⽂献中也会将中国剩余定理称为孙⼦定理。
【求逆元】逆元的含义：模p意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。
ax≡1(mod p)。
⼀个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时逆元唯⼀存在，注意这⾥的唯⼀是指在群中唯⼀。
其实如果求出⼀个逆元x0，那么x0 + p*k都会满⾜上⾯的等式，但是我只取p内的正整数x0.【证明】由ax≡1(mod p)等价于这样⼀个⽅程a*x + p*y = 1 ，或者说这个⽅程x有解的话x必然满⾜ ax≡1(mod p)这个⽅程什么时候有解呢？很显然，当gcd(a,p) | 1时有解，所以gcd(a,p)只能是1，即a,p互质，证明完毕。
由此还可以得到⼀个结论，如果要求逆元，可以⽤扩展欧⼏⾥得求⼀组解（x,y），再求出x的最⼩正整数（x+p）%p,x就是a的唯⼀逆元。
⽅法1：费马⼩定理求逆元，p是，且gcd(a,p)=1在模为素数p的情况下，有费马⼩定理a p-1 ≡ 1（mod p）则a * a p-2 ≡ 1（mod p）所以a的逆元就是a p-2，⽤快速幂求即可。
#include<iostream>using namespace std;long long gcd(long long a, long long b){if(b == 0) return a;return gcd(b , a%b);}long long qPow(long long a ,long long n,long long mod){long long ans = 1;//如果n的⼆进制最后⼀位是1 结果参与运算//因为如果是0，那么幂运算之后该项是1,1乘任何数还是那个数，对结果不影响while(n > 0){if(n & 1)ans = (ans* a) % mod;a = (a*a) % mod;//底数加倍n >>= 1;//移位}return ans;}//long long invEle(long long a, long long mod){ //如果a 和模数不互质则必然不存在逆元if(gcd(a,mod) != 1 || mod < 2) return -1; return qPow(a,mod-2,mod);}int main(){long long a,b;int x,y;while(cin>>a>>b){cout<<invEle(a,b)<<endl;}}⽅法2：扩展欧⼏⾥得求逆元（⾼效）typedef long long ll;void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){if(!b){ d=a; x=1; y=0;}else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }}ll inverse(ll a,ll n){ll d,x,y;extgcd(a,n,d,x,y);return d==1?(x+n)%n:-1;}⽅法3：欧拉定理求逆元（很少⽤到）模p不是素数的时候需要⽤到欧拉定理逆元打表：typedef long long ll;const int N = 1e5 + 5;int inv[N];void inverse(int n, int p) {inv[1] = 1;for (int i=2; i<=n; ++i) {inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;}}【解⽅程组】根据定理概述以及解法，得到以下⽅法int CRT(int a[],int m[],int n){int M = 1;int ans = 0;for(int i=1; i<=n; i++)M *= m[i];for(int i=1; i<=n; i++){int x, y;int Mi = M / m[i];extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;}if(ans < 0) ans += M;return ans;}【扩展中国剩余定理】当模数mi两两互质时有以上解法，当模数不确定是否两两互质呢？摘⾃博客:https:///acdreamers/article/details/8050018这种情况就采⽤两两合并的思想，假设要合并如下两个⽅程那么得到在利⽤扩展欧⼏⾥得算法解出的最⼩正整数解，再带⼊得到后合并为⼀个⽅程的结果为这样⼀直合并下去，最终可以求得同余⽅程组的解。
中国古代最著名的三道数学题
中国古代最著名的三道数学题比方说著名的勾股定理，这个定理在西方最早是由古希腊哲学家毕达哥拉斯发现的，所以也称为毕达哥拉斯定理，但据说这个定理在中国最早是由西周数学家商高发现的，他发现了“勾三、股四、弦五”的定理，比毕达哥拉斯早五百年。
虽然在近代史上，中国的数学成就远远没有像西方那样对世界进步产生深远影响，但中国古代的数学成就还是值得肯定的。
中国古代的数学著作为我们留下了很多经典讨论，其中有三个最著名的问题，一直到现在经久不衰。
一、鸡兔同笼问题这个数学问题出自南北朝时期的数学著作《孙子算经》。
这本书的作者是谁不知道，但可以确定的是这本书和《孙子兵法》肯定没关系。
《孙子算经》之所以也冠以“孙子“的名号，是因为这本书开篇序言第一句话引用了孙子的话：“孙子曰：夫算者，天地之经纬，群生之园首，五常之本末，阴阳之父母……”这本书里最著名的一个问题就是鸡兔同笼，我记得上小学那会，经常有这种类型的题。
这个问题的原文是这么说的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”就是说，有一群鸡和兔子在一个笼子里，头一共35个，脚一共94个，问有多少只鸡，多少只兔子。
我记得这种题目是以前学二元一次方程的入门题。
设鸡有x只，兔子有y 只，列个方程：x + y = 352x + 4y =94然后算出x=23，y=12，所以鸡有23只，兔子12只。
但是中国古人不懂二元一次方程，他们是怎么算的呢。
古人非常机智，他们的算法比列方程还简单。
鸡有两只脚，兔子有四只脚，他们假设让鸡抬起一只脚，让兔子抬起两只脚，这个时候笼子里的脚就会少一半，就是94/2=47只。
这个时候的笼子里，鸡是一只脚一个头，兔子是两只脚一个头，而头一共是35个，说明多出来的就是兔子的数量，所以47-35=12，兔子就是12只。
二、物不知数问题除了鸡兔同笼问题，《孙子算经》上另一个著名问题就是“物不知数问题”。
原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。
超星数学文化100分答案
1“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝”的歌诀是与什么问题有关？（）（1.0分）1.0 分A、以碗知僧B、百钱问题C、物不知数D、两鼠穿垣我的答案：C2“哥尼斯堡七桥问题”的解决，与后来数学的哪个分支有关？（）（1.0分）1.0 分A、概率论B、函数论C、拓扑学D、常微分方程我的答案：C3无论是“说谎者悖论”，还是哥德尔的模仿，问题的核心都指向了（）。
（1.0分）1.0 分A、自相矛盾B、自相抵消C、自我指谓D、不合情推理我的答案：C4有理数系具有稠密性，却不具有（）。
（1.0分）1.0 分A、区间性B、连续性C、D、对称性我的答案：B5谁建立了严格的实数理论？（）（1.0分）1.0 分A、魏尔斯特拉斯B、柯西C、黎曼D、布莱尼兹我的答案：A6芝诺悖论的意义不包括（）。
（1.0分）1.0 分A、证明其哲学观点的正确性B、促进了严格、求证数学的发展C、较早的“反证法”及“无限”思想D、提出离散与连续的矛盾我的答案：A7在欧洲，三次方程的求根公式是由哪个国家的数学家探索到的？（）（1.0分）1.0 分A、德国B、英国C、法国D、意大利我的答案：D810个平面最多可以把空间分为几部分，这在数学中是关于（）的问题。
（1.0分）1.0 分A、B、集合C、空间D、分割我的答案：D9类比是一种（）推理。
（1.0分）1.0 分A、逻辑B、合情C、归纳D、假言我的答案：B10实数的“势”称为（）。
（1.0分）1.0 分A、自然统势B、循环统势C、连续统势D、自然统势我的答案：C11在1,1,2,3,5,8,13,21,34……这一斐波那契数列中，第12项是（）。
（1.0分）1.0 分A、143.0B、144.0C、145.0D、146.0我的答案：B在数学研究史上，比较一致地认为从古至今，数学发展经历了（）次大危机。
（1.0分）1.0 分A、三B、四C、五D、六我的答案：A131、2、3、4、5、6……，这样的计数法，是（）发明的。
部编版六年级数学暑假第2讲.韩信点兵
第二讲漫画释义五年级春季同余五年级春季位值原理六年级暑期韩信点兵六年级暑期数论中的最值六年级暑期数论中的计数理解“物不知数”的问题，并总结利用逐步满足法解决问题的相关技巧知识站牌物不知数，意思为有一些物品，不知道有多少个．这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的．原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”通俗的说就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个．这些物品的数量至少是多少个？在我们的“数海拾贝”版块中给出了利用中国剩余定理解此题的方法，同样韩信也给了这题的另一个答案，就在我们的“”版块中，但至于怎么算的，无法考究，不过学完本讲，你会发现解此题的最好最快的方法，你也会理解韩信说出另一个答案的真正道理．那就进入我们今天要学的课程吧．1.理解“物不知数”这类题目的实质2.灵活运用逐步满足法解决“物不知数”这类题目的相关技巧在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．这样的问题，有人称为“韩信点兵”．它形成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所以被称为“中国剩余定理”．我们在解决类似“物不知其数”题，也就是找出一个数N ，满足除以A 余a ,除以B 余b ,除以C 余c ．在解决这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余．例如A a B b d -=-=,则有[,]N d A B n +=，而N 的最小值是[,]N A B d =-;绝招二：加同补．例如：A a B b e +=+=;则有[,]N e A B n -=，而N 的最小值是[,]N A B e =+;绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．经典精讲教学目标课堂引入第二讲1．计算□÷△，结果是：商为10，余数为▲．如果▲的值是6，那么△的最小值是_____．【分析】根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有△的最小值为7．2．除法算式208÷ □□=中，被除数最小等于．【分析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819+=，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.3．1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【分析】1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91．4．求4782569352⨯⨯除以9的余数．【分析】47819291++==⨯+，2561394++==+，3521091++==+，4782569351⨯⨯除以9的余数等于1414⨯⨯=．5．三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是．【分析】5123=28－，7251=21－，（28，21）=7，所以这个除数是7．6．学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【分析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=的公约数，所求答案为17．模块一：除数为两个的韩信点兵问题例1：余数相同例2：除数与余数和或差相同模块二：除数为三个的韩信点兵问题例3：其中有两个条件中除数与余数的差相同例4：其中有两个条件中除数与余数的和相同例5：没有两个条件的除数与余数的和或差相同例题思路知识回顾一个自然数除以4余3，除以7余3，问满足条件的两位数分别是多少？(学案对应：学案1)【分析】[4,7]331+=，[4,7]2359⨯+=，[4,7]3387⨯+=【想想练练】一个小于100的自然数除以4余3，除以7余3，问满足条件的自然数有哪些？【分析】3，[4,7]331+=，[4,7]2359⨯+=，[4,7]3387⨯+=一个自然数，它除以5余2，除以4余1，这个数最小是多少？【分析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于52413-=-=，可知这个数加上3后就能同时被5和4整除，而[]5,420=，这个数最小是20317-=．一个自然数除以5余2，除以4余1，除以7余6，这个数最小是多少？(学案对应：学案2)【分析】根据例2只满足前两个条件的自然数是17，只需要(1720)76m a +÷= ，即1(36)76m a +÷= ，经尝试4m =，所以满足条件的最小自然数是1720497+⨯=【想想练练】(第六届“希望杯”2试试题)某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是______．(学案对应：基础2，提高2，尖子2)【分析】符合第一、第三条条件的人数最少为37122⨯+=人，经检验，22也符合第二个条件，所以22也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22+3⨯5⨯7=127．第二讲一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为．（学案对应：学案3）【分析】我们观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718+=+=，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以满足前两个条件的自然数为835a m =+，下一步只需要a 除以9余4，35938÷= ，只需88m +除以9余4，只需8m 除以9余5，最小的4m =，因此满足所有条件的最小自然数为8354148+⨯=一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为.（学案对应：学案4）【分析】法一：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4，当4被加上两个7时得到18，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；只需(1835)32m a +÷= ，即(02)32m a +÷= ，因此1m =，所以所求的最小自然数就是53.法二：通过观察．没有发现除数与余数有和或差的关系，所以可以使用普遍适用的“中国剩物不知数在中国古代著名数学著作《孙子算经》卷下第28题，叫做“物不知数”，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》做出了完整的解答．明朝数学家程大位有《孙子歌》如下三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知秦九韶解法，首先利用他发明的大衍求一术求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个70（这个称为35相对于3的数论倒数），3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15．然后702213152233⨯+⨯+⨯=便是可能的解之一．它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23．余定理”，步骤如下：3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数15213530427045631056084140………………分别找出除以7余1的3、5的公倍数，除以5余1的3、7的公倍数，除以3余1的5、7的公倍数，分别是：15、21、70；因此符合条件的数是154213702263⨯+⨯+⨯=但是要求的是满足条件的最小的自然数，263不是最小的，对此的处理方法就是减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：263105253-⨯=．【想想练练】三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少？【分析】设这三个自然数分别为1,,1x x x -+．则1x-是5的倍数，x 是7的倍数，1x +是11的倍数，因此有151x c ÷= ，270x c ÷= ，31110x c ÷= ，利用逐步满足法求出满足前两个条件的2135x m =+，只需让4(2135)1110m c +÷= ，求得m 的最小值为0，因此x 的最小值为21，那么这三个自然数最小为20,21,22（2008年“奥数网杯”六年级试题）三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是．【分析】如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1，那么题目变为：一个数除以4余1，除以9余8，且能被7整除，且求这个数的最小可能值．这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，杯赛提高秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率领1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”．于是士气大振．一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团．交战不久，楚军大败而逃．同学们你们知道韩信怎么算出1073的吗第二讲也可以采用中国剩余定理来解．方法一：逐步满足法．除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21， ；除以9余8的数有：8，17，26， ．可见同时满足这两条的数最小为17，（备注：满足前两个条件的也可以用逐步满足法．如下：满足除以4余1的数是41n +再满足除以9余8：只需(41)98n a +÷= 经尝试4n =可见同时满足这两条的数最小为17）由于[]4,936=，那么满足除以4余1且除以9余8的数为1736n +，要求1736n +能被7整除的最小4n =，所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161，那么它们的和最小为1613483⨯=．方法二：代数表示法．根据题意，设这三个数分别为71k -、7k 、71k +（k 是整数），那么71k -是4的倍数，71k +是9的倍数，由于()7181k k k -=-+，()71921k k k +=--，所以1k +是4的倍数，21k -是9的倍数，由1k +是4的倍数知22k +是8的倍数，设219k n -=，那么229383k n n n +=+=++，所以3n +是8的倍数，n 最小为5，相应地k 最小为23，那么这三个自然数的和最小为7233483⨯⨯=．方法三：用不定方程来解．设这三个数分别为4a ，7b ，9c ，那么741971b a c b -=⎧⎨-= ⎩⑴⑵．由⑴得713144b b a b --==+，所以314b -是整数，b 为3，7，11，15，19，23， ；由⑵得712199b bc b +-==-，所以219b -是整数，b 为5，14，23，32， ．可见b 最小为23，那么所求的三个自然数的和最小为7233483⨯⨯=．方法四：中国剩余定理．一个数除以4余1，除以9余8，除以7余0，由于能被4、9整除且除以7余1的数最小为36，能被4、7整除且除以9余1的数最小为28，能被7、9整除且除以4余1的数最小为[7,9]3189⨯=，根据中国剩余定理，3602881891413⨯+⨯+⨯=满足除以4余1，除以9余8，除以7余0，而[4,7,9]252=，所以413252161-=是满足条件的最小数，那么所求的三个自然数的和最小为1613483⨯=．1.有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？【分析】满足条件的最小值是5，那么所有满足条件的数肯定具有[]3,45125k k +=+的形式，除以12一定是余5的．附加题2.布袋里装有玻璃球若干个，如果每次取2个，最后剩下1个；如果每次取3个，最后剩下1个；如果每次取7个，最后剩下3个．这个布袋中至少有个玻璃球．【分析】不妨设黑布袋中至少有x 个玻璃球，那么x 要满足的条件是：①除以2余1，②除以3余1，③除以7余3．我们先找到满足条件①、②的数76m +，只需让76m +满足条件③，即6m 除以7余3，最小的4m =，那么这个黑布袋中至少有31个玻璃球．3.一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．【分析】方法一：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，…；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是依次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是10510521102⨯+=．方法二：设这个自然数为a ，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余321⨯+，被5除与52+，所以满足前面两个条件的157a m =+(m 为自然数)，只需157m +除以7余3，即15m 除以7余3，而15721÷= ，只需m 除以7余3，m 最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为315752⨯+=，那么这个数在1000和1200之间，应该是10510521102⨯+=．4.三个连续偶数，从小到大依次是1494、、的倍数，这三个连续偶数的和最小为多少？【分析】设最小的偶数为,x 则有：40(2)90(4)140x a x b x c ÷=⎧⎪+÷=⎨⎪+÷=⎩ ，即4091714110x a x b x c ÷=⎧⎪÷=-⎨⎪÷=-⎩，满足前两个条件的所有数是1636n +，只需1(1636)1410n c +÷= ，即2(28)1410n c +÷= ，因此1n =，所以最小的偶数是52，那么三个连续偶数的和最小为162．5.三个连续偶数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个偶数最小为多少？【分析】设最小的偶数为,x 则有：50(2)70(4)110x a x b x c ÷=⎧⎪+÷=⎨⎪+÷=⎩ ，即507151117x a x b x c ÷=⎧⎪÷=-⎨⎪÷=-⎩，满足前两个条件的所有数是535n +，只需(535)114n c +÷= ，即(52)114n c +÷= ，因此1n =，所以最小的偶数是40，因此这三个偶数最小为40,42,446.某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是＿．【分析】观察到11813103-=-=，因此除以11余8，除以13余10的最小自然数为11133140⨯-=，140加上1113⨯的倍数依然满足除以11余8，除以13余10，设某数为a ，则1433a m =-(m 为非零自然数)，只需1433m -除以17余12，而1431787÷= ，只需(73)1712m n -÷= ，即71715m n =+(n 为自然数)从最小的n 开始找，得到2,7n m ==，所以14373998a =⨯-=7.五班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人．问上体育课的同学最少有多少名?【分析】如果五班学生人数增加1，那么五班学生人数能被3、4、5、6整除，即是3、4、5、6的公倍数．由于[]3,4,5,660=，所以上体育课的学生最少有60159-=人．第二讲8.有5000多根牙签，可按六种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根；如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8、7、6、5根为一包，那么最后也分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签根．【分析】设原有牙签x 根，如果添加1根牙签，那么按六种规格分成小包时都恰好每包装满且无剩余，即(1)x +是5、6、7、8、9、10的公倍数．于是(1)x +是5、6、7、8、9、10的最小公倍数的倍数．容易得到5、6、7、8、9、10的最小公倍数是[5,6,7,8,9,10]22233572520=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=．又已知x 大于5000且小于6000，即50006000x ＜＜，因此1252025040x +=⨯=．所以5039x =．我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N 除以A 余a ,除以B 余b ,除以C 余c 这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余．绝招二：加同补．绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．1.一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数分别是多少？【分析】2，[3,7]223+=，[3,7]2345⨯+=，[3,7]3366⨯+=，[3,7]4387⨯+=2.赵老师有30多张积分卡，如果平均分给5个同学，最后剩余3张；如果平均分给6个同学，最后剩余2张，那么赵老师有多少张积分卡？【分析】因为5362+=+，所以赵老师共有8[5,6]38+=张积分卡．3.200以内除以3余1，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个？分别是多少？【分析】通过观察我们发现除数和余数的差都为2，设要求的最小自然数为a ，那么2a +就是3、4、5的公倍数，所以[3,4,5]258a =-=，其他的数只要在a 的基础上加[3,4,5]60=的倍数即可，所以还有5860118+=，11860178+=，因此满足条件的自然数有三个，分别是58,118,178.4.有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有块．【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4．如果增加6块就刚好是8，9，10的公倍数，又8，9，10的最小公倍数是360．所以这堆水果糖至少有360-6=354（块）．家庭作业知识点总结5.布袋里装有若干个乒乓球，如果每次取4个，最后剩下3个；如果每次取7个，最后剩下1个；如果每次取5个，最后剩下2个．这个布袋中至少有个乒乓球．【分析】因为43527+=+=，所以满足第一、第三个条件的所有乒乓球个数为720m +，只需(720)71m a +÷= ，即(06)71m b +÷= ，经过尝试6m =，所以这个黑布袋中至少有7206127+⨯=个乒乓球．6.一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数．【分析】方法一：53642-=-=，可见这个数加上2后是5、6的公倍数，那么至少为[]5,6228-=，即28适合前两个条件．再用28依次加上30的倍数，由于28是7的倍数，30除以7的余数为2，可知28304+⨯满足除以7余1，所以，满足条件的最小的自然数是28304148+⨯=．方法二53718+=+=，所以只需835m +除以6余4，因为8612,35655÷=÷= ，即让25m +除以6余4，即5m 除以6余2，求得最小的4m =，所以满足条件的最小的自然数是8354148+⨯=【学案1】一个自然数除以4余3，除以7余3，问满足条件的最小两位数是多少？【分析】[4,7]331+=【学案2】某些自然数除以11余1，除以13余3，除以15余13，那么这些自然数中最小的是．【分析】因为11113310-=-=，所以满足前两个条件的自然数是[11,13]10133-=，结果133恰好除以15余13，所以这些自然数中最小的是133【学案3】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718+=+=，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而[]5,7,9315=，所以这个数最小为3158323+=．【学案4】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现321527⨯+=+=，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，[]3,5,11165=，所以这个数最小是1657172+=．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，在7的基础上加上3，5，11的最小公倍数，得到172即为所求的数．Ａ版学案。
物不知其数的解法
物不知其数的解法“物不知数”出自《孙子算经》卷下第二十六题，原题是：“有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。
问物几何?”意思便是：“有一堆物品不知有多少个，每三个三个的数最后剩下2个；每5个5个的数最后剩下3个，每7个7个的数最后上下2个。
问物品有（至少）多少个?”《孙子算经》给出了答案“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。
并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
——故答曰：二十三。
”另外还有一句“凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五，一百六以上以一百五减之，即得”算经中的思路是这样子：步骤一：找公倍数找5和7的公倍数（35,70,105,140……），同时除以3余2（各个位加起来和3的倍数减1），实际上最小的是35，但算经中找到了140；找3和7的公倍数（21，42，63……），同时除以5余3，最小的是63；找5和3的公倍数（15,30,45,60……）,同时除以7余2，最小是30；步骤二：合并合并140+63+30=233步骤三：相减找3,5,7的接近210的公倍数210，计算233-210=23即得。
（实际上第一步应该是35，然后合并是128，然后减3，5，7的公倍数105得到23？）但是为什么这样做可以？我们不说数论里的那些证明，只通俗探讨。
我们容易解决的问题是“某数除以3和7均余2，这样的数最小是多少？”我们直接找3和7的最小公倍数然后加2，即得。
不容易解决的是：“某数除以3余2，除以7余3，这样的数最小是几？”如果在去找3和7的公倍数，显然不能解决问题。
而从3和7中找问题的话，可以知道7÷3=2……1，而某数除以7余3，显然余数也是3的倍数故可以不用考虑，只需找到7的倍数中除以3余2的数即可，很快可找到14，那么这个数是14+3=17。
而如果是除以7余4，那么该数是11。
这是两个数的问题，回过头来再看本题。
中国剩余定理例题
中国剩余定理中国剩余定理，又称中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。
也称为孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“求一术”（宋沈括）、“鬼谷算”（宋周密）、“隔墙算”（宋周密）、“剪管术”（宋杨辉）、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。
明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。
意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案（除以105得到的余数则为最小答案）。
比如说在以上的物不知数问题里面，使用以上的方法计算就得到。
例题1：某歌舞团200多人在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?思路：和同加和(X=除数的公倍数+除数和余数的和)解析：题目中除数和余数虽然不同，但是除数和余数的和都为9，这个时候称之为和同，歌舞团人数为7、5、6的公倍数加上9，【5.6.7】=210，此时总人数可以表示为210n+9，人数为200多人，则此时歌舞团人数只能是210*1+9=219。
练习题1：1、学校五年级有若干个同学排队做操，如果11人一行余1人，7人一行余5人，8人一行也余4人。
小学数学六年级《物不知数》练习题
物不知数1、一个自然数除以4余1，除以5也余1，这个自然数最小是多少？2、一个自然数除以4余2，除以5也余2，这个自然数最小是多少？3、一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？4、一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？5、一个自然数除以11余7，除以10余6．这个自然数最小是多少？6、一个自然数除以13余7，除以10余4．这个自然数最小是多少？7、一个自然数除以6余3，除以5余1，这个自然数最小是多少？8、一个自然数除以5余4，除以6余1，这个自然数最小是多少？9、一个自然数除以4余1，除以7余4，这个自然数最小是多少？10、一个三位数除以5余3，除以6余1，这个三位数最小是多少？11、一个三位数除以4余1，除以7余3，这个三位数最小是多少？12、一个三位数除以5余1，除以6余5，这个三位数最小是多少？13、试判断123456789与123456766除以23的余数是否相同．14、试判断123456789与123456767除以23的余数是否相同．15、试判断1234567与1234544除以23的余数是否相同．16、在小于50的数中，与67除以7同余的数最小是；最大是.17、在小于50的数中，与67除以13同余的数最小是；最大是.18、在小于50的数中，与67除以11同余的数最小是；最大是.19、81和66这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？20、107和93这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？21、139和123这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？22、有一个大于1的整数，用它除47、75、96得到相同的余数，求这个数．23、有一个大于15的整数，用它除76、115、154得到相同的余数，求这个数．24、有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．。
物不知数的求解方法
物不知数的求解方法物不知数是指在数学中，所给定的问题中需要求解的未知数或数，且该未知数或数在问题中没有明确给出。
在数学中，我们可以通过一些常见的方法来求解物不知数。
一、代数法代数法是求解物不知数的常见方法之一、通过将问题中的关系式用代数符号表示，再通过代数运算来求解物不知数。
一般来说，代数法适合用于问题中给出了一系列等式或关系式的情况。
例如，一些问题中给出了三个数的关系是：2x-y=53x+4y=20x+2y=8通过代数法可以求解出x和y的具体数值。
二、方程法方程法也是常用的求解物不知数的方法之一、它适用于问题中给出了一些等式或关系式，但不能直接用代数方法求解的情况。
例如，一些问题中给出了一系列关系式：6个数的和等于240最小的数是第二个数的3倍第三个数是第一个数的4倍最大的数等于第五个数的两倍与第六个数的和。
通过建立方程组，可以求解出这六个数的具体数值。
三、几何法几何法在求解物不知数时常常用于问题中涉及到图形、形状等的情况。
通过观察图形的特点，利用几何定理和性质，可以推断出物不知数的值。
例如，一些问题中给出了一个正方形的面积是25平方米，需要求解这个正方形的边长。
通过几何法可以得知，正方形的面积等于边长的平方，因此可以得到正方形的边长为5米。
四、正向逆向法正向逆向法是一种综合应用代数和几何方法的求解物不知数的方法。
它适用于问题中既有代数关系式又有几何图形的情况。
通过正向和逆向的推理，可以求解出物不知数的具体数值。
例如，一些问题中给出了一个等边三角形的周长是12，需要求解这个等边三角形的边长。
通过正向逆向法可以得到，等边三角形的每一条边都相等，因此可以得到等边三角形的边长为4五、逻辑法逻辑法是通过观察问题的逻辑关系，提出假设来求解物不知数的方法。
通过观察和分析问题中的描述，可以得出一些逻辑关系和条件，再据此建立假设，通过逻辑推理来求解物不知数。
例如，一些问题中给出了一系列描述，要求求解一个数的平方等于该数减去8的3倍。
【讲义】6年级_下册_第02讲_余数问题综合提高
第二讲 余数问题综合提高本讲知识点汇总：一． 求余数1． 直接做除法．2． 特征求余（注意和整除特征对比）；3． 替换求余4． 周期求余5． 分解求余二． 物不知数问题（求被除数）1． 也称“韩信点兵”，关于它的解法，后人总结出“中国剩余定理”（也称“孙子定理”）．物不知数问题的基本解法是：逐步增加条件，逐步找寻2． 分解求余三． 同余1． 概念如果a 和b 除以c 的余数相同，则称a 、b 对c 同余，例如：10和28对9同余．2． 如果a 、b 对c 同余，则是c 的倍数．例1． （1）4188141616⨯⨯除以7、8、9、11的余数分别是多少？（2）892除以7的余数是多少？（3）89143的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以11和13的余数呢？「分析」（1）替换求余法；（2）周期求余法解这道题目；（3）同上．a b -练习1、的个位数字是多少？除以7的余数是多少？例2． 200320032003032003200320个除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多少？「分析」截段求和法．练习2、201320132003200320032003除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多少？例3． 有一种三位数，它除以9所得的余数等于它的各位数字的平方和，这样的三位数可能是多少？请写出所有可能答案．「分析」尝试枚举出一个符合题意数来，总结一下这样的数有什么特点．练习3、一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个；如果9个一包，最后还剩8个；…；如果5个一包，最后还剩4个．那么如果13个一包，最后还剩多少个？例4．（1）一个三位数除以9余2，除以12余2，那么这个三位数最小是多少？ （2）一个数除以4余3，除以6余5，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）一个三位数除以3余2，除以5余3，除以7余4，那么这个三位数最小是多少？ 「分析」（1）余数相同；（2）余数和除数的差相同；（3）逐步满足条件法．20132013练习4、（1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？（2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）一个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？例5．三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为多少？「分析」能否将这道题目中三个连续的被除数，转化为同一个数，而这个数又有什么样的特点呢？例6．有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？「分析」如果把余数都去掉后，剩余的数有什么特点？作业1． 的个位数字是多少？除以7的余数是多少？2． （1）一个三位数除以4余2，除以6余2，那么这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以3余1，除以4余2，除以6余4，那么这个三位数最小是多少？（3）一个数除以9余2，除以12余5，那么这个数最小是多少？3． 一个盒子中装有棒棒糖100多个，如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个．那么如果每次取12个，最后剩多少个？4． 一个两位数去除531，得到的余数是69，这个两位数是多少？5． 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少？36629。
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“物不知数”问题的推广及应用
摘要：本文从许多中外数学家感兴趣的“物不知数”问题入手，引出孙子定理（中国剩余定理），高斯定理；接着给出定理的推广，在此基础上对其在多种方面的一些基本应用进行初步的讨论和分析，并给出了相关的经典例题。
关键字：物不知数，孙子定理，同余式组，韩信点兵
Abstract: this article from many Chinese and foreign mathematicians interested "things don't know several" questions of the ether, grandson theorem (China remainder theorem), gaussian theorem; Then give the promotion of theorem, and based on this, the various aspects in some of the basic application of the preliminary discussion and analysis, and give the relevant classic examples.
Key words: don't know several things, grandson of the theorem, more than with type group, han xin point soldier
一、“物不知其数”问题
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”答曰:二十三。
书中奇妙的解法是：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。
并之，得二百三十三，以二百十减之，即得二十三。
此法叫“求一术”，即求被某数除所得余数为一的方法。
解法意思是：每3个一数最后剩1个就取5和7的公倍数70，那么三三数之剩二个，就取二倍个70得140；每5个一数最后剩1个就取3和7的公倍数21，那么五五数之剩三个，就取三倍个21得63；每7个一数最后剩1个就取3和5的公倍数15，那么七七数之剩二个，就取二倍个15得30.最后140,63,30,三数相加的和再减去3、5、7的公倍数105×2，既得符合条件的最小数为23.
于是就有：70×2+21×3+15×2-105×2=23
二、孙子定理
应用同余定理，我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来，是：
设 x是所求物数，根据题意 x≡2 (mod3),x ≡ 3(mod5),x ≡ 2(mod7)，
列表如下
求最小的数x。
答案是x=23
这个结论加以推广就成了（孙子定理）： 设1a ，2a ，3a …h a 是h 个两两互质的正整数，a=1a 2a 3a …h a ，a=i a i M ，i=1,2，…，h ，则同余数组 x ≡1b (mod 1a ) , x ≡ 2b (mod 2a ), …,x ≡ h b (mod h a )，的解是
x ≡1
M '1M 1b +2M '2M 2b +…+h M 'h M h b （mod a ） 其中i M 'i M ≡1（mod i a ），i=1,2，…，h. 在西方数学史上将“物不知其数”的问题称为“中国剩余定理”或“孙子定理”。
三、中国剩余定理的由来
为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来，我们不妨先引进同余定义：一般地，若两个整数a,b 被同一个大于1的整数m 除有相同的余数，那么到a 、b 对于模m 同余。
记作：a ≡b (mod m) 应用同余定理，建立起数学模型就是：设设N ≡1R 、2R 、3R 为余数，P 为整数，则
N ≡1R （mod 3）≡2R (mod 5) ≡3R (mod 7)
的解是： N=701R +212R +153R -1050P （1） 现在，我们把上述解法中的1R 的系数作一分析：设M=3×5×7，则
70=2×5×7=2×
3753⨯⨯=2×3
M 21=3×7=1×5753⨯⨯=1×5
M 15=3×7=1×7753⨯⨯=1×7M 因此，问题的解（1）式可以写成：
N=2×3M 1R +1×5M 2R +1×7
M 3R (2) 由于高斯定理：
设1a ，2a ，3a …h a 为两两互质的h 个除数，1R ，2R ，3R …h R 各为余数，M=1a 2a 3a …h a ，N=1R （mod i a ）,i=1,2,3…h,如果我们找得到i K （mod 1a ）,那么
N=∑1K 1
a M i R （mod M ） 我们把孙子的“物不知其数”问题的解法与高斯定理一对照，不难看出：高斯定理实质就是
孙子解法的推广。
高斯定理实质就是孙子解法的推广。
四、“物不知数”问题的应用
（一）在同余式组中的应用
例1 解同余式组
x ≡1b (mod5) , x ≡2b (mod6), x ≡ 3b (mod7),x ≡ 4b (mod11).
解：由孙子定理可知，此时m=5×6×7×11=2310
1M =6×7×11=462 2M =5×7×11=385 3M =5×6×11=330 4M =5×6×7=210 i M 'i M ≡1（mod i m ），i=1,2，3，4
得 1
M '=3 2M '=1 3M '=1 4M '=1 故x ≡3×4621b +3852b +3303b +2104b (mod2310).即为所求。
例2 韩信点兵：有一兵队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。
解：此时1b =1， 2b = 5， 3b =4， 4b =10，
故由例1既得x ≡3×462+385×5+330×4+210×10
≡6731
≡2111(mod2310)
（二）在生活中的应用
在日常生活中我们所注意到的不是某些数，而是这些数去除某一固定的数所得到的余数。
例如，假定现在是早上10点，在两个小时前是几点？我们立刻可以得到答案是早上8点，那么过了13个小时后又是几点？算式为10+13-12=11，即晚上11点；在28个小时后手表的时针又是什么情况呢？算式是（10+28）-(12×3)=2 即是两点。
解决此类问题的方法：若现在的时间是A ，问经过B 小时后的时间，只需计算A+B ≡c(mod12),余数就是手表的时针数。
（三）在其他方面的应用
其实“物不知数的问题”主要是解决一次同余式组的问题，在当代密码学中也得到应用。
在雷达领域中，被用在脉冲多普勒雷达上，解目标的距离模糊和速度模糊，在线天线阵接收雷达中解测角的模糊；目前，人们已经可以通过计算机，通过编程，实现对一次同余式组的算法自动化，而对于模非两两互素的情况，通过对中国剩余定理的推广，冯国锋对此方案进行了研究和改进。
五、结束语
本文通过对“物不知数”问题的讨论，推广到孙子定理，把孙子算法推广到一般情形，接着发现高斯定理实质就是孙子解法的推广。
并且对中国剩余定理（孙子定理）在实际生活中的应用进行了初步的说明和描述。
以上只是些简单的例子，但足以见“物不知数”问题的应用之广泛，地位之高，作为数学史上名垂百世的成就，其数学思想一直启发和指引着历代数学家。
六、参考文献及引用资料
【1】闵嗣鹤严士健《初等数论》第三版，高等教育出版社。
【2】纪志刚《孙子算经》，湖北教育出版社。
【3】冯国锋：《广义中国剩余定理及其Maple解法》，重庆大学学报（自），2004年。
【4】孙梁，《中国剩余定理》新解，科学教育家杂志编辑部2009年第三期。