第九章 力法(超静定结构)
材料力学-力法求解超静定结构
力法求解超静定结构时，可以根据计算结果优化结构设计，提高结构的强度和稳定性。
结论与总结
力法是求解超静定结构的有效方法，通过合理应用材料力学基础和力法的原理，我们能够准确求解反力分布并 分析结构的应力情况。
样例分析
结构：桥梁
使用力法求解桥梁上的悬臂梁，计算主梁的支座反 力和悬臂梁的应力分布。
结构：楼房
将力法应用于楼房结构，确定楼板的支座反力并分 析楼梯的受力情况。
实用提示和技巧
1 标定自由度
在应用力法时，正确标定结构的自由度是成功求解反力的重要步骤。
2 验证计算结果
对计算得到的反力进行验证，确保结果的准确性，避免错误的设计决策。
材料力学-力法求解超静 定结构
超静定结构的定义
超静定结构是指具有不止一个不可靠支持反力的结构。它们挑战了传统的结构分析方法，需要使用力法进行求 解。
材料力学基础
材料力学研究材料的受力和变形规律，包括弹性力学、塑性力学和损伤力学。 这些基础理论为力法求解超静定结构提供了必要的工具。
力法的原理
力法是一种基于平衡原理和支座反力法则的结构分析方法。它通过对超静定结构施加虚位移，建立受力平衡方 程，求解未知反力。
超静定结构应用力法求解的步骤
1
确定结构类型
了解结构是否为超静定结构，并确定不
计算反力
2
可靠支持反力的个数。
根据力法原理，建立并求解受力平衡方
程，计算未知反力。
3
验证平衡
通过检查受力平衡方程是否满足等式的
确定应力分布
4
要求，验证计算的反力是否正确。
பைடு நூலகம்
根据已知反力和结构的几何特性，计算 并绘制应力分布图。
超静定结构的受力分析及特性
超静定结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。
结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。
通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。
即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。
去除约束的方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。
(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。
(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束;切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。
(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束;将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。
去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。
去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。
再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。
二、力法的基本原理(一)力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力Xi (i=1、2、…、n)，Xi 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。
去除多余约束后的结构称为力法基本结构。
力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。
选取力法基本结构应注意下面两点：1.基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。
有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。
2.选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。
力法求解超静定结构的步骤
力法求解超静定结构的步骤：
1、先判定其超静定次数，（含多余联系数），去掉原结构的所有多余联系，用相应的多余力代替，得一静定的基本结构（形式可能很多，尽量简单）；
2、根据基本结构在原荷载及所有多余力共同作用下，在每一个去掉的多余联系处位移和原结构相应位置的已知位移相同，建立力法典型方程；
3、求方程所有系数和自由项，（静定结构的位移计算）积分法或图乘法，写出基本结构X i∑=在单位力及原荷载分别单独作用下的内力表达式或作出内力图；
4、解方程，求出所有多余力；
5、作最后内力图（静定结构的计算问题）梁、刚架：M N P 组合结构：
6、校核，两方面：平衡条件（截取结构中+ X i N i ∑=M P →Q→N 桁架：N +M i M＝0 ）∑Y＝0 ∑ X＝0 ∑刚结点、杆件或某一部分，应满足；变形协调条件（多余约束处位移是否与已知位移相等）
注：选取基本结构的原则：
（1）基本结构为静定结构；
（2）选取的基本结构应使力法方程中系数和自由项的计算尽可能方便，并尽量使较多的副系数和自由项为0
（3）较易绘M 图及MP 图。
力法
力法例题：
1、用力法求解，画 M 图。其中 I1 kI 2 k 10
解：一、分析：该体系几何不变，有一次超静定。
二、选取基本结构
三、列力法方程： 11 X 1 1P 0
M P 图，求 11、1P 四、画 M 1、
11
y
i
i
EI
1 1 2 2 1 1 l l l l l l EI 1 2 3 3 EI 2 2
步骤中的难点，重点。） 第五步：求解未知力 X n 。 第六步：求杆端弯矩： M M 1 X 1 M P （一次超静定）
M M1 X1 M 2 X 2 M i X i M n X n M P （ n 次 超 静
定） 第七步：求跨中弯矩（针对于集中力作用在跨中处以及均布荷载 作用情况），作 M 图， Q 图（注意：弯矩，剪力的正负号规定）
y
i
i
EI
2 1 1 l l l l l l 3 2 EI l3 l3 6 EI EI 7l 3 6 EI 1 2 EI
1P
EI
i
yi
1 3 ql 2 l l 2 2 1 3 ql 4 ql 4 EI 4 12 1 EI
M中 AB 0 ql 2 2 2 88 ql 21ql 2 8 176
2、用力法求解，画 M 图。
解：一、分析：该体系几何不变，有一次超静定。 二、选取基本结构
三、列力法方程： 11 X 1 1P 0
M P 图，求 11、1P 四、画 M 1、
11
y
讨论：针对图乘法中需要注意的问题。 （1）必须是等截面直杆段
结构力学课后解答：第9章__超静定结构的实用计算方法与概念分析
习 题9-2解：设EI=6，则5.1,1==BC AB i i 53.05.13145.1347.05.131414=⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯=BC BA μμ结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩-67.0545.9-45.9()()()逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ(b)解：设EI=9，则3,31,1====BE BD BC AB i i i i12.0141333331316.0141333331436.01413333333=⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==BC BA BE BD μμμμ结点 A BC杆端 AB BA BC BD BE 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.216.20 最后弯矩 3.6 7.25.461.2 -73.8()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ9-3 (a) 解：Ｂ为角位移节点设EI=8,则1==BC AB i i ，5.0==BC BA μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M BA ⋅=⨯⨯⨯⨯=+=4882124432222 m KN l M BC ⋅-=⋅+-=582621892 结点力偶直接分配时不变号结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 0 48 -58 12 分配传递0 50 50 5 5 12 最后弯矩103-312(b) 解：存在B 、C 角位移结点设EI=6，则1===CD BC AB i i i73741413145.0141414==⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯==BC CB BC BA μμμμ固端弯矩：mKN M M M m KN M m KN M CDCB BC BA AB ⋅-=⨯+⨯-===⋅-=⋅-=14021808640080802结点 A BC杆端 AB BA BC CB CD 分配系数 固结 0.5 0.5 4/7 3/7 固端弯矩-80 80 0 0 -140 分配传递-20 -40 -40 -2047.5 91.4 68.6 -11.4 -22.8 -22.8 -11.4 3.25 6.5 4.9 -0.82-1.63-1.63-0.820.6 0.45 最后弯矩-112.2215.57-15.4866.28-66.05(c) 解：B 、C 为角位移结点51411,5441454414,51411=+==+==+==+=CD CBBC BA μμμμ固端弯矩：mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M DC CD CB BC BA AB ⋅-=⨯-=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅=⨯=10065242003524501252450125241283424646424222222结点 A BCD 杆端 AB BA BC CB CD 滑动 分配系数 滑动 0.2 0.8 0.8 0.2 -100固端弯矩64 128 -50 50 -200 分配传递15.6 -15.6 -62.4 -31.272.48 144.96 36.24 -36.24 14.5 -14.5 -58 -29 11.6 23.2 5.8 -5.8 2.32-2.32-9.28-4.643.7 0.93 -0.93 最后弯矩96.4295.58-95.6157.02-157.03-142.9796.42(d) 解：11313141413114131414145.0141414=⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯⨯=DBDE DCCD CA μμμμμ 固端弯矩：mKN M mKN M ED DE ⋅=⋅-=⨯-=383812422 结点 A CD E 杆端 AC CA CD DC DB DE ED 分配系数 固结 0.5 0.5 4/11 3/11 4/11 固结 固端弯矩0 0 0 0 0 -2.67 2.67 分配传递-5 -10 -10 -546/33 92/33 69/33 92/33 46/33 -0.35 - 23/33- 23/33-0.35 0.127 0.096 0.127 0.064 最后弯矩-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.12(e) 解：当D 发生单位转角时：()()2414-=⨯⨯=m EI K Y C 则()）假设12(441==⨯=-m EI EIM DC73,74,3716,379,371216,12,16,9,12=====∴=====∴EB ED DE DA DC DE EB DE DA DC S S S S S μμμμμ 结点D EB 杆端 DC DA DE ED EB BE 分配系数 12/37 9/37 16/37 4/7 3/7 固结 固端弯矩0 0 -9 9 0 0 分配传递-2.57 -5.14 -3.86 -1.93 3.75 2.81 5 -2.5 -0.72 -1.43 -1.07 -0.54 0.230.18 0.31 0.16 最后弯矩3.982.99-6.985-5-2.47(f) 解：截取对称结构为研究对象。
超静定结构及力学原理和方程重难点分析
超静定结构及力学原理和方程重难点分析一、超静定结构的概念：超静定结构：从几何组成分析来说具有几何不变性而又有多余约束的结构。
超静定结构与静定结构相比较，主要有三个方面的优点：1从几何组成看，超静定结构未没有联系的几何不变体系，而超静定结构是具有多余联系的几何不变体系；2从静力特征看，静定结构仅凭静力平衡条件便可以完全确定它的反力和内力，而超静定结构仅凭静力平衡条件还不能确定全部反力和内力，必须建立附加方程式才能求解；3 当无外荷载作用时，超静定结构有产生内力的可能性超静定杆件结构的分类：超静定梁、刚架、桁架、拱以及组合结构。
二、超静定次数的确定1、超静定次数的概念超静定次数：结构中多余约束的数目2、方法去掉多余联系的常用方法如下：（1）去掉一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系； （2）去掉一个单铰，相当于去掉二个约束；（3）切断一根弯杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个联系（4）将固定支座改成不动铰支座或将受弯杆切断改铰结，各相当去掉一个联系 3、举例例如图1所示的单跨静定梁，若去掉B 支座的支杆，代以多未知力B X ，则原梁变为静定的简支梁（即为基本结构），如图1（b ）所示;若将固定端A 支座加一个单铰,代以多余未知力A X ,则原梁变为静定的简支梁（即为基本结构），如图1（c ）所示,所有原结构一次超静定结构.同理,如图2所示的刚架,可将A 、B 两固定改成铰支座，代以多余力A X 、B X ，则得如图2（b ）所示的静定三铰刚架；或者去掉铰C ，代以多余力1X 、2X ，则得如图2（c ）所示的两各静定悬臂刚架；或者去掉铰C ，故原结构为二次超静定结构。
三、力法原理和力法方程1．力法的基本原理：将超静定结构转化为含多余力的静定结构 （一）一次超静定结构 （1）确定超静定次数：n=1次 （2）选基本结构⎩⎨⎧）几何不变体系（静定结构b a )(（3）位移条件： 01=∆ (a) 根据叠加原理 ：p1111∆+∆=∆ （b ）11111x δ=∆ (c)(4)力法方程（一次）：将（c ）代入（b ）式得：01111=∆+px δ…………(6-1)式中:--11δ系数(单位多余力1=X 作用时,B 点沿1x 方向的位移)--∆p1自由项(荷载单独作用时B 点沿1x 方向的位移)1x --基本未知量(多余未知力或多余力)系数(11δ) 和自由项(p1∆)都是基本结构(静定结构)在已知外力作用下的位移,可用上一章讲的单位荷载法或图乘法求得,代入(6-1)式后可求出多余未知力1x ,求得1x 之后其余的计算(支座反力和内力)同静定结构。
结构力学 力法计算超静定结构
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
用力法计算超静定结构在支座移动和温变化时的内力
l
M1 图
X1=1
得
l3 3EI
X 1 q l a
由此求得
X1
3EI l2
(q
a) l
弯矩叠加公式为：
M M1X1
3EI (q a )
l
l
M图
X1
q
A
C q
B a
l/2
l/2
l
q
q
X1 a
基本体系之一
q
q
D1c
FRA 1
l
M1 图
X1=1
(2)第二种解法
取支座A的反力偶作为多余未知力X1， 其力法方程为
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为
n
ij X j Δic Ci
j 1
ij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q ，
右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。
)
10
(
1 2
1
l
)
2.5
(1 l
l)
10
(
2 l
l)
100 22.5 77.5
代入典型方程，可得
77.5EI/l
A
B
X1
Δ1t
11
77.5EI
l
()
最后弯矩图M M1 X1 ，如图所示。
77.5EI/l 77.5EI/l
C
D
77.5EI/l
M图
由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压）。
超静定结构的解法
力法的基本思路
超静定计算简图 解除约束转 化成静定的 基本结构承受荷 载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形
位移包含基本未知力Xi
同样方法分析 “荷载”下的 受力、变形
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
11 12 1P 1 21 22 2 P 2
11 X 1 1n X n 1 P 1 X X nn n nP n n1 1
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
小结：力法的解题步骤
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系)
超静定次数 = 基本未知力的个数
= 多余约束数
= 变成基本结构所需解除的约束数
（3 次）
或
（14 次）
或
(1 次）
(6 次)
(4 次)
确定超静定次数时应注意： (a) 切断弯曲杆次数3、链杆1，刚结变单铰1， 拆开单铰2。总次数也可由计算自由度得到。 (b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本 结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。 因此，要选取工作量较少的基本结构。 (c) 可变体系不能作为基本结构 (2) 建立力法典型方程
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。
由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。
力法求解超静定结构的步骤
力法求解超静定结构的步骤在结构力学中，超静定结构是指不仅能同时满足静力学平衡条件，而且还有多余的约束力，因此外加一个作用力时其约束力不会被破坏。
力法求解超静定结构是求解这类结构体系的一种有效方法，下面是力法求解超静定结构的步骤。
步骤1：建立超静定结构的外部受力与内力等效关系超静定结构的约束力有多余的约束力，即力学平衡条件所无法求解的约束力。
因此，我们需要建立超静定结构的外部受力与内力等效关系，通过已知的受力条件推导约束力的作用，确定超静定结构的内力状态。
步骤2：建立超静定结构的位移方程或应力方程建立超静定结构的位移方程或应力方程，是力法求解超静定结构的关键步骤之一。
位移方程的建立可以基于杆件测量法或截面受力法，应力方程的建立可以基于材料本构关系和边界条件等。
步骤3：解超静定结构的位移方程或应力方程解超静定结构的位移方程或应力方程，可以采用数值解法和解析解法两种方法。
数值解法主要包括矩阵法、有限元法、边界元法等，解析解法则借助微积分和常微分方程等数学方法进行求解。
步骤4：计算超静定结构的内力与应变通过已解出的位移或应力，可以计算得到超静定结构的内力状态和应变分布。
同时，超静定结构的内力状态也可以用于检验该结构的可靠性以及对超静定结构进行所需的修理和维护。
步骤5：检验超静定结构的可靠性超静定结构的可靠性检验，是通过计算得到的内力状态来评估该结构是否满足设计和使用要求的一项重要工作。
该步骤可以基于强度理论、变形理论等方法，利用计算机强度分析软件来实现。
，力法求解超静定结构是求解这类结构体系的一种常用方法。
通过以上步骤的实施，我们可以获得超静定结构的内力状态，进而检验该结构的可靠性。
第九章-超静定
对于一个平衡物体，若独立平衡方程数目与未知数的数目恰 好相等，则全部未知数可由平衡方程求出，这样的问题称为静 定问题。（图a） 但工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性，常设置多余的 约束， 未知数的数目多于独立方程的数目，未知数不能由平 衡方程全部求出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。 （图b）
（3）本构方程
LT 2aT ;
FN 1a FN 2 a LN EA1 EA2
由变形和本构方程消除位移未知量
FN 1 FN 2 2T EA1 EA2
（4）联立求解得
FN 1 FN 2 33.3kN
（5）温度应力
FN 1 1 66.7MPa A1
FN 2 2 33.3MPa A2
A
2
1
A P
2
1、问题的提出
两杆桁架变成 三杆桁架，缺一个 方程，无法求解
P
F
x
FN 1 sin FN 2 sin 0
F
y
FN 1 cos FN 2 cos FN 3 P 0
三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为 静不定（ Static indeterminate ）——静力不能确定 超静定问题（Hyperstatic ）——超出了静力范围 其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题 拉压杆截面上有无穷个应力，单凭静力平衡方程 不能求解 —— 超静定问题： 补充变形协调方程 建立本构（或物理）方程予以沟通 结合平衡方程联立求解
q
1
2
3
如何求解？
1. 静力不定 2. 变形方程补充--------几何相容条件（不允许 一部分脱离另一部分，也不允许一部分嵌入 另一部分） 3. 物理方程在静力平衡与变形协调之间架桥
力法计算超静定结构举例
3）计算系数和自由 绘 N1 和NP 。 项
11
1 EA
1
1
3
4 3
4 4 2 ( 3
5 ) ( 3
5 3
)
5
3
45 EA
1P
1 EA
(75) (
5)5 3
60
4 3
4
945 EA
例：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）
4)计算多余未知力X1
945
X1
1P
11
EA 45
21(kN)
EA
5)作最后内力图
N=N1X1+NP
四、超静定组合结构
五、力法计算铰接排架
例：用力法计算图示铰结排架，并作弯矩图。
解：1)选取图示基本体系 2)力法方程为： 11X1 1p 0 3）绘单位弯矩图M1和 荷载弯矩图MP
3）绘单位弯矩图M1和荷载弯矩图
MP
11
2 EI
(1 3 3 2
EA
EA
ip
NiN EA
p
dx
NiN EA
p
l
各杆的最后轴力按下式计算：
N N1X1 N2 X2 Nn Xn N p
例：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）
解：1) 确定基本体系（如图所示） 2）建立力法方程：
11X1+△1P=0 （基本体系在切口两边截面沿X1方向
取结点A为脱离体 取结点C为脱离体
Y 0,
2 RA 5 ql
()
Y 0,
RC
ql 2
3 ql 5
11 ql 10
()
讨 ①超静定结构在荷载作用下其内力与EI 的实际值无关，只与EI的相对值有关；
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解超静定结构是指在静力学计算中具有过多约束的结构体系，其问题在于不能通过传统的静力学方法直接计算出结构体系的内力以及位移的分布情况，需要利用力法或者位移法来求解超静定结构。
力法是指将结构体系的内力分配给各个构件，然后根据各个构件的受力情况和变形情况，逐步推导出结构体系的内力和位移分布情况的一种方法。
其基本思想是通过外部荷载作用下的内力分配，将超静定结构分解成多个静定结构分析，同时通过协调各个分析时的界面条件，进行内力和位移的匹配，最终得到了超静定结构的内力和位移分布情况。
具体实现步骤如下：1. 选定一个自由图，并对该自由图进行划分，将超静定结构分成多个静定结构，其中每个静定结构的节点数均满足有一个自由度。
分割完毕后，确定每个静定结构的支座反力，然后由每个静定结构自己采用传统的静力学原理分析，并得到各自的内力和位移。
2. 对于静定结构之间的相互配合，需要根据结构体系的受力变形情况建立相互之间的协调关系。
最常用的协调方法是确定静定结构之间的界面条件，如节点位移和节点荷载的相等，以及弹簧刚度之和等于零。
3. 在确定了静定结构之间的界面条件后，就可以获得超静定结构的结构内力分布，接下来需要计算出结构的位移分布。
这一步可以通过位移影响系数法进行求解，具体来说，先在静定结构中确定一个位移分量，然后根据约束条件求得其余节点的位移分量，最终获得超静定结构的位移分布。
相比于力法，位移法的思路更加简洁明了，具体步骤如下：1. 建立超静定结构的初始刚度方程，包括构件中的整体刚度和节点位移自由度的边界条件等。
2. 将超静定结构受到的外载按照一定的规律进行分配，使得该结构从受力变形的点出发经过一系列刚度修正后，其总体刚度等于原结构的刚度。
这个修正过程是迭代的，一般采用迭代矩阵求逆的方式进行求解。
3. 当总体刚度修正后，结构的总位移就变为了一个已知量。
根据节点位移自由度的边界条件，可以直接解出各节点的位移分量。
超静定结构的概念及超静定次数的确定ppt课件
➢力法基本未知量数目（超静定次数）是唯一的，而基本结构不唯一。
简支梁作为基本结构
原结构
X2
X1
还可以选择哪些 基本结构?
Strucural Analysis
.
School of Civil Engineering, Tongji8Univ.
➢土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学 类”。
“结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有 强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系）， 其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。
“弹性力学类”包括弹塑性力学和岩土力学，其思维方式类似于高等数
§9-1 超静定结构的概念
❖ “力法”的发展
➢法国的纳维于1829年提出了求解超静定结构问题的一般方法（基本方 程）。
➢19世纪30年代，由于桥梁跨度的增长，出现了金属桁架结构。从1847 年开始的数十年间，学者们应用图解法、解析法等研究静定桁架的受 力，这奠定了桁架理论的基础。1894年英国的麦克斯韦创立了单位荷 载法和位移互等定理，并用单位荷载法求出桁架的位移，由此学者们 终于得到了求解超静定问题的方法——力法。
(√)
X2
多体悬臂刚 架作为基本
结构
(√)
瞬变体系不 能作为基本
结构
(×)
一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。
Strucural Analysis
.
School of Civil Engineering, Tong1ji3Univ.
§9-1 超静定次数和力法基本结构
一次超静定结构的力法典型方程
一次超静定结构的力法典型方程在我们生活的这个世界里，结构物无处不在，房子、桥梁、甚至那看似简单的秋千，都跟结构有着千丝万缕的关系。
说到超静定结构，哎呀，这可是一个既神秘又让人抓狂的概念。
你可能会想，什么是超静定？是不是跟超人有关系？其实不是，超静定结构的意思就是，它的稳定性和受力情况并不是那么简单，通过一些力法的经典方程，我们能一探究竟。
想象一下，你的朋友跟你说他要建个大房子，你的第一反应肯定是：这得稳得住呀，风一吹可别塌了。
说到这里，超静定结构就显得尤为重要了。
好了，咱们来聊聊力法，听起来挺高大上的，但其实呢，就是用简单的力的平衡来搞定这些复杂的结构。
想象一下，你在玩积木，拼拼凑凑，突然发现有个地方歪了，这可怎么办？这时候，你得用一些巧妙的办法来调整。
力法的经典方程就像是你的调节工具，它帮助你找出哪些地方受力不均，哪里需要加固。
就像人喝酒，喝多了总得找个地方坐下，太累了可不行。
大家知道吗，超静定结构其实可以用几个基本的力法方程来描述。
我们得了解个基本的概念，结构的自由度。
自由度听起来高深，其实就是结构能在什么情况下发生变形。
就像一只小鸟，想飞就飞，想栖就栖，但超静定结构可没这么容易。
这里有个小诀窍，咱们常用的牛顿第二定律就可以派上用场，这可是万金油，万能的。
简单来说，就是力等于质量乘以加速度，哎，这可真是个简单粗暴的真理。
再说了，力法的方程其实就是在用一些简单的数学式子，来帮我们找出各个构件的受力情况。
你想啊，建筑结构就像一个大家庭，每个成员都有自己的责任和角色。
如果有人分担过多的压力，那家里可就不太平了。
想象一下，家里的洗衣机坏了，大家伙儿都在忙，结果呢，阳台的窗户也跟着受到了影响，哎，这可就麻烦了。
力法就是要确保每个成员都在适当的负荷下，不然可就得重新分配任务了。
你看，在这些方程中，有时候会出现一些神秘的符号，比如力的方向、大小，甚至是一些角度。
这就像打麻将，牌面上的每一张都要考虑清楚。
你不能只想着自己要胡，得看看别人怎么出牌。
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103.5
M kN.m 135
1Hale Waihona Puke 8西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
EI 3Pl/16 P M 5Pl/32 l/2 3Pl/16 X1
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
1
MP
qa2/8
3 2 2 2a a qa qa qa X , XX =0 1 2 = X = 1 2 3EI 6 EI 2460 EI 15 a 2a Mi XX =0 MX =1 2 M i P 6 EI 3EI
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
P
l X2
I 2 I =k I 2 1
I2
d11 =
288k 144 kEI1 D X 1 = - 1P
超静定结构由荷载产 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 生的内力与各杆刚度的相 对比值有关，与各杆刚度 的绝对值无关。 基本体系
X1
6 6
M
q=20kN/m
8m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
d11
320k =92k 1
8.9 80 ＋
－ －
X =0 Y = 0
－
N CD = -8.9kN N CA = -80kN
8.9 80
NCA
80
－
80
160
8.9
8.9
Q图(kN)
＋
N图(kN)
－
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
53.33
160
M图(kN.m)
由M图画出变形曲线草图
§9.3力法方程的典型形式 1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。
M图(kN.m)
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
由已知的弯矩求剪力求轴力
160 53.33
53.33 QCD C
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
53.33
D
8m
M
M图(kN.m)
D
= 53.33 20 8 4 - 53.33 - QCD 8 = 0
80
QCD = 80kN
NCD
力 超 静 法 定 结 计 构 算 的 位 校 移 计 核 算
支 座 移 动 和 温 度 改 变 作 用
超 对 超 静 静 称 定 桁 定 结 架 、 拱 构 组 的 的 合 结 计 计 构 和 算 算 拱
超 静 定 梁 、 刚 架 和 排 架
力 超 法
静 定
基 次 本 数 的 概 确 念 定
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
D 1P =
M 1M P
dx
ql2/8
X1=－Δ1P / δ11
=3ql/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
或按： M = MX1 M P 叠加
3ql/8
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
d 11 X 1 D1P = 0
D1P 512 = EI1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=20kN/m I1
21
δ11
ΔBH=Δ 1 =0 主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、 ×X1 ＝ ΔBV=Δ2=0 δ ＝ ＋ 12 付系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。
A δ22
2
1
1
↓↓↓↓↓↓↓↓
Δ2P
Δ1=Δ11＋Δ12＋Δ1P=0 δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0 δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
(A)
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
q=23kN/m
q=23kN/m
C EI A
EI
EI 6m B
D 6m
X1
X2
X1
X1
X1 =1
↑↑↑↑↑↑↑
↑↑↑↑↑↑↑
例题： 力法解图 示刚架。
X2 基本体系
M1 6 6
δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0
X2 M2
6
δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
例题：用力法 解图示刚架。 EI=常数。
P E D
Pl/2 C
l/2
l/2 X1
l/2
P
l/2
EI=常数 l d 11 = EI l d 22 = 3EI
1
1 1
X1=1
M1 M2
P
d 12 = d 21 =
D1P
l 6 EI
Pl 2 = , D2P = 0 16EI
6 Pl 88 3Pl X2 = 88 X1 = -
MP
Pl/4
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
力法的特点： 基本未知量——多余未知力 基本体系——静定结构 基本方程——位移条件 （变形协调条件） 由基本体系与原结构变形 一致达到受力一致
位移法的特点： 基本未知量—— 基本体系—— 基本方程——
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
↓↓↓↓↓↓↓↓ M i2 MiM k B 0 MiM P δ 0 d iiq = ds 0,d ik = ds = 0 ,D iP = ds = 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 基本体系 EI B EI X X EIX =1 0 0
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
Force Method
基本要求：
掌握力法基本体系的确定、力法 典型方程的建立、方程中系 数和自由项的计算。 熟练掌握用力法计算超静定梁和 刚架、对称性利用、超静定 结构的位移计算。 重点掌握荷载作用下的超静定结 构计算。 了解力法典型方程的物理意义、 温度改变和支座移动下的超 静定结构计算。
160
MP
6m
X1=1
X1
k=
1 2
=-
80 kN 9
160
53.33
M = M1 X1 M P
6 1 6 6 2512 6 288k 144 18 26 6 160 d = 2 = D 6 = 11 1P = EI EI 11 kEI1 2 3 31 EI kEI1
X2=1 ×X2
＋
Δ1P
含义:基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知 力方向上的位移应等于原结构相应的位移，实质上是位移条件。 主系数δii表示基本体系由Xi=1产生的Xi方向上的位移 付系数δik表示基本体系由Xk=1产生的Xi方向上的位移 自由项ΔiP表示基本体系由荷载产生的Xi方向上的位移
2
1
M1
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
力法基本体系的合理选择
2 1 3 1 1 1 a 1 2 a 2 a 1 2 a qa 1 qa 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 d d = d = == = d,22 D 2 P = 0 D12 = 2 = 11 21 = 1P EI EI 3 32 3 6EI EI EI EI 3 2 28 24 尽量使较多的付系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使 Mi,MP尽可能分布局部。 2 qa 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a 2 X X d 11 = = d 22 1 qa ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24EI X2=1 M 2
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
对于 n 次超静定结构有n个多余未知力X1、 X2、…… Xn，力法基 本体系与原结构等价的条件是n个位移条件， Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0，将它们展开 或： i，j=1，2，……n 2 0 Mδ M M δ11X1+ X +……+ δ X + Δ =0 1P 计算刚架的位移 d ii = i 12 ds2 0,d ik = 1n i n k ds = 0, EI EI+ Δ 0 时，只考虑弯矩的影 δ21X1+ δ22X2+……+ δ2nX n 2P=0 响。但高层建筑的柱 ………………………………………… 0 MiM P δiP X + D = ds = 0 δnnXn+ Δ nP=0 要考虑轴力影响，短 n1 1 n2X2+……+ δEI 0 而粗的杆要考虑剪力 影响。 由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P Δi=∑δijXj+ Δ iP=0
1
dx
〓
X1=1
1 l 2 2l l 3 P=1 = l = EI 2 3 3 EI 求X1方向的位移虚拟的力状态
ql2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
δ11
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B Δ1P
+
×X1
X1 =1
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
EI 2 1 1 ql 3 l ql 4 =l = EI 3 2 4 8 EI
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
〓
>RB X1 < < =
δ11