第九章 力法(超静定结构)

力 超 静 法 定 结 计 构 算 的 位 校 移 计 核 算
支 座 移 动 和 温 度 改 变 作 用
超 对 超 静 静 称 定 桁 定 结 架 、 拱 构 组 的 的 合 结 计 计 构 和 算 算 拱
超 静 定 梁 、 刚 架 和 排 架
力 超 法
静 定
基 次 本 数 的 概 确 念 定
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
Force Method

基本要求：
掌握力法基本体系的确定、力法 典型方程的建立、方程中系 数和自由项的计算。 熟练掌握用力法计算超静定梁和 刚架、对称性利用、超静定 结构的位移计算。 重点掌握荷载作用下的超静定结 构计算。 了解力法典型方程的物理意义、 温度改变和支座移动下的超 静定结构计算。
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图， 4）用（A）式求系数和自由项(取EI=1)
q=23kN/m
1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程；
X2 =1
↑↑↑↑↑↑↑
6
414
MP 81
66 26 6 6 6 d 11 = 2 = 144 d 12 = = 108 = d 21 2 3 2 6 414 3 6 66 26 3 D = = -3726 d 22 = 6 = 288 1P 3 4 2 3 D2P = 0 5）解方程，求多余未知力
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
1
MP
qa2/8
3 2 2 2a a qa qa qa X , XX =0 1 2 = X = 1 2 3EI 6 EI 2460 EI 15 a 2a Mi XX =0 MX =1 2 M i P 6 EI 3EI
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
P
l X2
160
MP
6m
X1=1
X1
k=
1 2
=-
80 kN 9
160
53.33
M = M1 X1 M P
6 1 6 6 2512 6 288k 144 18 26 6 160 d = 2 = D 6 = 11 1P = EI EI 11 kEI1 2 3 31 EI kEI1
X2=1 ×X2
＋
Δ1P
含义:基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知 力方向上的位移应等于原结构相应的位移，实质上是位移条件。 主系数δii表示基本体系由Xi=1产生的Xi方向上的位移 付系数δik表示基本体系由Xk=1产生的Xi方向上的位移 自由项ΔiP表示基本体系由荷载产生的Xi方向上的位移
8.9 80 ＋
－ －
X =0 Y = 0
－
N CD = -8.9kN N CA = -80kN
8.9 80
NCA
80
－
80
160
8.9
8.9
Q图(kN)
＋
N图(kN)
－
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
53.33
160
M图(kN.m)
由M图画出变形曲线草图
§9.3力法方程的典型形式 1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。
D 1P =

M 1M P
dx
ql2/8
X1=－Δ1P / δ11
=3ql/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
或按： M = MX1 M P 叠加
3ql/8
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
d 11 X 1 D1P = 0
D1P 512 = EI1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=20kN/m I1
I 2 I =k I 2 1
I2
d11 =
288k 144 kEI1 D X 1 = - 1P
超静定结构由荷载产 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 生的内力与各杆刚度的相 对比值有关，与各杆刚度 的绝对值无关。 基本体系
X1
6 6
M
q=20kN/m
8m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
d11
320k =92k 1
=
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法的特点： 基本未知量——多余未知力 基本体系——静定结构 基本方程——位移条件 （变形协调条件） 由基本体系与原结构变形 一致达到受力一致
位移法的特点： 基本未知量—— 基本体系—— 基本方程——
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
↓↓↓↓↓↓↓↓ M i2 MiM k B 0 MiM P δ 0 d iiq = ds 0,d ik = ds = 0 ,D iP = ds = 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 基本体系 EI B EI X X EIX =1 0 0
§9.1 超静定结构的组成和超静定次数
a) 静定结构 b) 超静定结构
是无多余约束的几何不变体系。 是有多余约束的几何不变体系。 由此可见：内力超静定，约束有多余，是超 静 定结构区别于静定结构的基本特点。 超静定次数确定 把原结构变成静定结构 超静定次数=多余约束的个数 时所需撤除的约束个数 撤 （1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰 除 支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。 举例 约 束 （2）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支 的 举例 举例 座，等于撤除两个约束。 方 式 （3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。 多余未知力的个数 =未知力的个数—平衡方程的个数
(A)
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
q=23kN/m
q=23kN/m
C EI A
EI
EI 6m B
D 6m
X1
X2
X1
X1
X1 =1
↑↑↑↑↑↑↑
↑↑↑↑↑↑↑
例题： 力法解图 示刚架。
X2 基本体系
M1 6 6
δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0
X2 M2
6
δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
6）叠加最后弯矩图 144X X1=36 ， 2－3726=0 1+108X M = Mi Xi M P 108X X2=－ 13.5 2=0 1+288X
103.5
M kN.m 135
198
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
EI 3Pl/16 P M 5Pl/32 l/2 3Pl/16 X1
P l/2 P 2) 3Pl/16 X1 P 3)
1） X1
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
X1=1
M 5Pl/32
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
X1=1
M 5Pl/32
l
M1
wk.baidu.com
X1=1
1
M1
同一结构选不同的基本体系进行计算，则： P P P MP MP Pl/2 Pl/2 1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同； Pl/4 方程中的系数和自由项不同。 MP 3 3 2 l 2 l 2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此， 5 Pl 3 l Pl 5 Pl δ11= D1P = δ11= D1P = D1P = δ11= 3EI 应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。 3EI 48EI 16EI 24EI 4 EI D1P 5 P D1P -3Pl D1P 5 Pl = X1 = = = X1 = X1 = d 11 16 d 11 16 d 11 32
21
δ11
ΔBH=Δ 1 =0 主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、 ×X1 ＝ ΔBV=Δ2=0 δ ＝ ＋ 12 付系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。
A δ22
2
1
1
↓↓↓↓↓↓↓↓
Δ2P
Δ1=Δ11＋Δ12＋Δ1P=0 δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0 δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
〓
>RB X1 < < =
δ11
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B Δ1P
+
×X 1
X1 =1
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
l，EI l
d
=
ql2/8
M1
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
11

M 1M EI
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
对于 n 次超静定结构有n个多余未知力X1、 X2、…… Xn，力法基 本体系与原结构等价的条件是n个位移条件， Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0，将它们展开 或： i，j=1，2，……n 2 0 Mδ M M δ11X1+ X +……+ δ X + Δ =0 1P 计算刚架的位移 d ii = i 12 ds2 0,d ik = 1n i n k ds = 0, EI EI+ Δ 0 时，只考虑弯矩的影 δ21X1+ δ22X2+……+ δ2nX n 2P=0 响。但高层建筑的柱 ………………………………………… 0 MiM P δiP X + D = ds = 0 δnnXn+ Δ nP=0 要考虑轴力影响，短 n1 1 n2X2+……+ δEI 0 而粗的杆要考虑剪力 影响。 由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P Δi=∑δijXj+ Δ iP=0
例题：用力法 解图示刚架。 EI=常数。
P E D
Pl/2 C
l/2
l/2 X1
l/2
P
l/2
EI=常数 l d 11 = EI l d 22 = 3EI
1
1 1
X1=1
M1 M2
P
d 12 = d 21 =
D1P
l 6 EI
Pl 2 = , D2P = 0 16EI
6 Pl 88 3Pl X2 = 88 X1 = -
MP
Pl/4
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
M图(kN.m)
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
由已知的弯矩求剪力求轴力
160 53.33
53.33 QCD C
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
53.33
D
8m
M
M图(kN.m)
D
= 53.33 20 8 4 - 53.33 - QCD 8 = 0
80
QCD = 80kN
NCD
1
dx
〓
X1=1
1 l 2 2l l 3 P=1 = l = EI 2 3 3 EI 求X1方向的位移虚拟的力状态
ql2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
δ11
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B Δ1P
+
×X1
X1 =1
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
EI 2 1 1 ql 3 l ql 4 =l = EI 3 2 4 8 EI
举例
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
§9.2力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个 基本体系，然后让基本体系在 受力方面和变形方面与原结构 完全一样。 演示 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件 （变形协调条件）。 Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
2
1
M1
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
力法基本体系的合理选择
2 1 3 1 1 1 a 1 2 a 2 a 1 2 a qa 1 qa 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 d d = d = == = d,22 D 2 P = 0 D12 = 2 = 11 21 = 1P EI EI 3 32 3 6EI EI EI EI 3 2 28 24 尽量使较多的付系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使 Mi,MP尽可能分布局部。 2 qa 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a 2 X X d 11 = = d 22 1 qa ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24EI X2=1 M 2