§2.1 矩阵的概念
线性代数2.1矩阵的概念
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行列式与矩阵的区别
1. 行列式是一种算式，它最终表示的是一个 “值”；矩阵是一张“表”，排列起来它是一个矩形 “表2”. 。行列式要求行数与列数相同，而矩阵就没有 这个限制。
3. 行列式用 “ ” 表示，而矩阵用 “或 ”
表示。
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转化思想
复杂问题
转 化
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a11 a12 L
0
a22 L
M M
0
0L
a1n
a2n
M
ann
a11 0 L
a21
a22
L
M M
an1
an2
L
0
0
M
ann
方阵的主对角线
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三角矩阵
方阵的次对角线
二、几类特殊矩阵
4．行（列）矩阵
A a1, a2,L , an
行矩阵 （或n维行向量）
b1
1 1
二、几类特殊矩阵
2. 零矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵。一般记为：
Om n 或者就直接记成 O
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
注意：不同型的零矩阵是不相等的。
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二、几类特殊矩阵
3. 方阵
对于 Amn 当 m n 时，这个矩阵称为n阶矩阵
或n阶方阵。一阶方阵可以看作一个数。
a21 M
am1
a12 L a22 L M am2 L
a1n
a2n
M
amn
m n 矩阵简记为： A aij m n
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矩阵的表示方法:
2.1 矩阵的基本概念
a13 甲店 a23 乙店
b11 b12 B b21 b22 . b b 31 32
单 价 单 位 利 润
下一节将定义这两个矩阵的乘法运算．
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例2.2 设两组变量的关系式为 y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn , y a x a x a x , m1 1 m2 2 mn n m 称为由变量 x1 , x2 ,, xn到变量 y1 , y 2 ,, y m 的线性变换,
2.1
矩阵的基本概念
矩阵的定义
主要研究内容
矩阵的基本运算
逆矩阵
分块矩阵
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x1 2 x2 3x3 x4 1, 例如，线性方程组 3x1 x2 5 x3 3x4 2 , 2 x x 2 x 2 x 3 . 2 3 4 1
一一对应
1 0 Λ 0
0 0 2 0 0 n
n 阶对角矩阵 或对角阵
对角阵也记作 Λ diag 1 , 2 ,, n . 单位阵 E 是一个特殊的对角阵．
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当 m n 1 时, 矩阵只由一个数 方阵，也就等于这个数
a 构成, 即1阶
a , 记作
A (a ) a .
如果两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们 是同型矩阵． 如果两个矩阵是同型矩阵，且它们的对应元素相 等， 即
A (aij ) mn , B (bij ) mn , 且
21矩阵的概念
例9设BT=B,证明(ABAT)T=ABAT
证明：因为BT=B，所以
(ABAT)T=[（AB）AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT
3．定义2.6：设 为 阶方阵，如果 ，即有 则称 为对称矩阵。如果 ，即有 ， ，则说 为反对称矩阵。
2.2.5n阶方阵的行列式
1．矩阵概念；2特殊矩阵
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
90ˊ
一、导言：
矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。
二、新授：
2.2.1矩阵的加法
1．定义2.2：两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。
应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。
讲授法
板演
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
（3）将单位矩阵E的第 行（列）乘以一个常数 加到第 行（列）对应元素上后得
2．定理2.1：对矩阵 实行一次初等行变换，相当于在 的左边乘上一个相应的 阶初等矩阵；对矩阵 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘上一个相应的 阶初等矩阵。
三、小结：本节主要介绍矩阵的初等行（列）变换，要求能熟练的进行矩阵的初等变换。
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
45ˊ
一、导言
矩阵的初等变换是一种奇妙的运算，它在线性代数中有着极其广泛的应用，借助它我们可以得到很多有用的的结论。
二、新授
2.4.1矩阵的初等变换
1．定义2.8:矩阵的初等行（列）变换是指对矩阵作如下三种变换的任何一种:
2.1 矩阵的基本概念
0 b22 bn2
0 0 . bnn
《线性代数》
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对角矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.
a11 0 0 a22 0 0 = diag (a11, a22, , ann) . A 0 0 ann
… … … …
am 1 am 2 … . amn
显然，ET＝E. 例如，设 x (x1 x2 xn)，y ( y1 y2 yn)，则 x1 x2 xTy xn
《线性代数》
x1 y1 x2 y1 (y1 y2 yn ) … xn y1
x1 y2 x2 y2 … xn y2
特别的，A = diag (a, a, ，a)称为n阶数量矩阵.
n阶单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.
E
1 0 0
0 1 0
0 0 . 1
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《线性代数》
2.1.2
矩阵的运算
1 矩阵的加法 定义1 设A与B为两个mn矩阵
c1n c2n . cmn
下一页
《线性代数》
矩阵的乘法 a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 ams
b11 b12 b1n b21 b22 b2n n c21 c22 c2n
显然，① 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA; ② 两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵， 但不能从 AB = O，推出A = O 或 B = O .
《线性代数》
下一页
1 2 1 1 ，B ，求AB及BA . 例7 设 A 0 1 0 1 1 1 1 2 1 3 解：AB 0 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 3 BA 0 1 0 1 0 1
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
精选版课件ppt
15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
2.1 矩阵的概念
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念 第 附：图像举例 二 章 矩 阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵
1
2
0
0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念 第 例 二 章 矩 阵 线性变换是指 n 个变量
数表内部 进行操作
4
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 定义 由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表 矩 阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表
线性代数讲义2
第二章 矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算.§2.1 矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子.例1 设有线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------77391111833312111151这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要.例2 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1.表2-1这个排成4行5列的产值阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7680827088809090759076848570986478755880具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.例3 生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品（m i ，，Λ2,1=）耗用第j 种材料（n j ，，Λ2,1=）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2.表2-2这个由m 行n 列构成的消耗定额阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系.类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义.定义 由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 (2-1-1) 叫做m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵.这n m ⨯个数叫做矩阵A 的元素，ij a 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元素.一般情形下，用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ，可用n m A ⨯表示，或记作()nm ija ⨯.二、几种特殊的矩阵1．n 阶方阵当n m =时，即A =()nn ija ⨯时，A 称为n 阶方阵.2．对角矩阵主对角线以外的元素都为零的方阵称为对角矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n OO A λλλO21 3．单位矩阵主对角线上的元素都是1的n 阶对角矩阵称为单位矩阵，记为E ，如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111O O OE 4．三角矩阵主对角线一侧所有元素都为零的方阵称为三角矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a aa a a ΛM O M M ΛΛ00022211211 或 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a aa ΛM O M M ΛΛ21222111000 5．零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵.记作n m O ⨯，简记O . 6．行矩阵、列矩阵m =1时的矩阵，即()n a a a A Λ21=称为行矩阵；n =1时的矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A M 21称为列矩阵.7．对称矩阵在矩阵n n ij a A ⨯=)(中，若),,2,1,(n j i a a jiij Λ==则矩阵A 称为对称矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410781086076258051§2.2 矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成数表形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.一、矩阵的加法、减法首先给出矩阵相等的概念. 定义1 在矩阵()nm ija A ⨯=和()nm ijb B ⨯=中，若它们的对应元素相等，即),,2,1;,,2,1(n j m i b a ijij ΛΛ===则称矩阵A 与B 相等,记为A=B .定义2 设()nm ija A ⨯=，()nm ijb B ⨯=，矩阵()nm ijij b a ⨯±称为矩阵A 与矩阵B 的和或差，记作A +B 或A -B ，即n m ij ij b a B A ⨯±=±)(注意，只有当两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能进行加法、减法运算.例1 有两种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=846075120231321034022753B A则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+11670109142984834261007354102202273513 846075120231321034022753B A矩阵加法满足以下运算规律：（1）A B B A +=+（2）)()(C B A C B A ++=++（3）A O A =+ 矩阵()nm ija ⨯-称为矩阵()nm ija A ⨯=的负矩阵，记为()nm ija A ⨯-=-.显然，有（4）O A A =-+)(二、数与矩阵的乘法定义3 以数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数k 与矩阵A 的积，记作kA .如果()nm ija A ⨯=，那么()()n m ij n m ij ka a k kA ⨯⨯==不难证明，数与矩阵乘法满足以下运算规律： (1) kB kA B A k +=+)( (2) lA kA A l k +=+)( (3) )()(lA k A kl =(4) A A A A -=-=⋅)1(1， (5) O O k =⋅ (O 为零矩阵) 例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=052110351234230412301321B A求3A -2B .解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-----+-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-61941016151055011061094021223066910023496683052110351234223412301321323B A 例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=612379154257864297510213B A且B X A =+2,求X ..解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=1271211122223227212244446421)(21A B X 三、矩阵与矩阵的乘法先看一个例子.例4 某工厂有321,,A A A 三个车间，某月各种原材料的消耗量如表2-3.又各种原材料每吨价格和加工费如表2-4.求各车间某月支出原料费及加工费各为多少元？解我们可以直接计算出各车间支出的原料费用和加工费用为A车间的原料费=21×12+15×14+16×8+10×20=790（元）1A车间的原料费=53×12+0×14+13×8+4×20=820（元）2A车间的原料费=24×12+32×14+10×8+0×20=816（元）3A车间的加工费=21×5+15×4+16×2.5+10×3=235（元）1A车间的加工费=53×5+0×4+13×2.5+4×3=309.5（元）2A车间的加工费=24×5+32×4+10×2.5+0×3=273（元）3上述结果列成表2-5如果用矩阵来表示，则表2-3、表2-4、表2-5分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2738165.309820235790,3205.28414512,010322441305310161521C B A 从上述分析可以看出，矩阵A 、B 与C 之间的关系是：C 中第i 行第j 列)2,1;3,2,1(==j i 元素恰好等于A 的第i 行各元素分别和矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.因此，我们将矩阵C 定义为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记为C =AB , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==2738165.3098202357903205.28414512010322441305310161521AB C 我们将上面例题中矩阵之间的这种关系定义为矩阵的乘法. 定义4 设矩阵()l m ik a A ⨯=的列数与矩阵()nl kjb B ⨯=的行数相同，则由元素),,2,1;,,2,1(12211n j m i b a b a b a b a c lk kjik lj il j i j i ij ΛΛΛ===+++=∑=构成的m 行n 列矩阵n m lk kj ik n m ij b a c C ⨯=⨯∑==)()(1称为矩阵A 与矩阵B 的积，记为C =A ·B 或AB .这个定义说明，如果矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数，则A 与B 的乘积C 中第i 行第j 列的元素，等于矩阵A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和.并且矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，矩阵C 的列数等于矩阵B 的列数.例5 若,012321,132132⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=B A 求AB . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012321132132AB⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯-+-⨯-⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯=97530367801)3(3)1(1)2(321130)2()3(1)1()2()2(12)2(1103)3(2)1(3)2(22312我们还可以求一下BA .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+-⨯-+⨯⨯-+⨯-+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=834910)2()1(32301)1(221)3()2()2(313)3(1)2(21132132012321BA显然,BA AB ≠.例6 若()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==530412,013B A ,求AB . 解()()()32500113)3(0)4(123530412013=⨯+⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ABBA 没有意义，因为B 的列数不等于A 的行数，BA 不可进行运算.例7 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6342,2142B A ，求AB 及BA .解⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=168321663422142AB .000021426342BA AB BA ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=由例5，例6，例7可以看到矩阵的乘法一般不满足交换律.由例6可以看到AB 有意义，BA 不一定有意义.由例5、例7可以看到，即使AB 、BA 都有意义，AB 与BA 也不一定相等.但并不是任何两矩阵相乘都不可以交换，如下面的例8，两矩阵相乘可以交换，但作为统一的运算法则，矩阵乘法交换律是不成立的.由例7还可得出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而不能从AB =O 必然推出A =O 或B =O .例8 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021,1011B A ，求AB 与BA . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110211011AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110111021BA 显见，AB=BA .如果两矩阵A 与B 相乘，有AB=BA ，则称矩阵A 与矩阵B 可交换. 矩阵相乘时必须注意顺序，AX 称为用X 右乘A ，XA 称为用X 左乘A . 矩阵乘法具有下列性质：（1）（AB ）C=A （BC ）（2）k （AB ）=（kA ）B=A （kB ） （其中k 为数值）（3）A （B+C ）=AB+AC （4）（B+C ）A=BA+CA 设A 是n 阶方阵，规定：,,,,,1210A A A AA A A A E A k k ⋅====+Λ其中k 为正整数，k A 称为A 的k 次幂.例9 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4321A ，求E A A 5322+-. 解E A A 5322+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001543213432122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6127181650051296344181214四、矩阵的转置定义5 把矩阵A 的所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为TA ，即若()nm ija A ⨯=，则()mn jiT a A ⨯=.例10 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=52134071A ，则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=54201731T A 可见，若A 是对称矩阵，则有TA A =. 矩阵的转置具有下列性质： （1）A A TT=)(（2）TTTB A B A +=+)( （3）T TA A λλ=)(（4）TT T A B AB =)(五、方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A 的行列式，记作A .应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是2n 个数按一定方式排列成的数表，而n 阶行列式是这些数（也就是数表A ）按一定运算法则所确定的一个数.由A 确定的A 的这个运算满足下述运算规律（设A ，B 为n 阶方阵，k 为数值）： （1）A A T = （2）A k kA n= （3）B A AB =由（3）可知，对于n 阶方阵A 、B ，一般说来BA AB ≠，但总有BA AB =例11 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=43522231B A ，，求AB . 解法1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22171143522231AB所以 56221711=-=AB解法256)7(843522231=-⨯-=⋅-==B A AB习题2.21． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=150421321,111111111B A ，求 （1）3AB-2A （2）B A T2．已知011311232021132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡--X ，求X .3．计算下列乘积.（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-127075321134 （2）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123321 （3）()132211-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--131201********* （5）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11212221211211y x c b b b a a b a a y x 4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321431422,531531531,431541532C B A证明：（1）AB=BA=0 （2）AC=A ，CA=C （3）ACB=CBA5．证明矩阵下列运算性质.（1）)()(C B A C B A ++=++ （2）TTTB A B A +=+)( （3）A A nλλ= （4）AE =EA =A 6．求下列矩阵的幂. （1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101λA ，求kA A A ，，，Λ32 （2）求nO O⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλOO7．若矩阵AB =BA ，则称B 与A 可交换，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵.§2.3 逆矩阵一、逆矩阵的定义矩阵与数相类似，有加、减、乘三种运算.于是，自然会提出矩阵的乘法是否也和数一样存在逆运算呢？解一元线性方程ax=b ，当0≠a 时，存在一个数1-a ，使b a x 1-=为方程组的解.那么在解矩阵方程AX =B 时，是否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以B 等于X .这就是我们要讨论的逆矩阵的问题.逆矩阵在矩阵理论和应用中都起着重要的作用.定义1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB =BA=E那么矩阵A 称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵. 如果A 可逆，A 的逆矩阵是唯一的.因为如果B 和1B 都是A 的逆矩阵,则有E A B AB E BA AB ====11,那么 1111)()(B EB B BA AB B BE B ===== 即 1B B =所以逆矩阵是唯一的.我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1-A .定义2 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称A 为非奇异的. 为了讨论逆矩阵存在的条件和逆矩阵的求法，先引进伴随矩阵的概念. 定义3 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式A 中的元素ij a 代数余子式，那么矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111*称为矩阵A 的伴随矩阵.定理1 矩阵A 存在逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即A 为非奇异矩阵时才有逆矩阵存在.证 必要性：因为A 可逆，则有1-A使E A A AA==--11.因此，01111≠====---E A A A A AA ，即0≠A .充分性：若0≠A ，作矩阵*1A AB =由§1.2定理1和定理2，可得E A A AA AA =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00*O ， 即得AB=E .同理，可证，BA=E .故*11A AA B ==- 二、逆矩阵的性质逆矩阵具有下列性质： （1）A A =--11)( （2）111)(---=A B AB（3）11)()(--=TTA A （4）AA11=- （5）111)(--=A kkA 下面仅证明性质2，其它性质请读者自己证明. 证（2） 因为E AA AEA A BB A A B AB ====------111111)())((， E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以 111)(---=A B AB证毕 由定理1,可得由矩阵A 的伴随矩阵*A 求逆矩阵1-A 的计算方法，求出矩阵A 的所有元素的代数余子式；写出伴随矩阵*A ；由*11A AA=-便得1-A .这种方法常用于三阶以下的方阵求逆矩阵的问题. 例1 求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4312A 的逆矩阵. 解 因为011≠=A ，所以1-A 存在.由于213422211211=-===A A A A因此 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2314*A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-11211311111423141111*1A A A 例2 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=631321222A 的逆矩阵. 解 因为,02≠=A 所以1-A 存在，由于 131213613136332131211==-=-===A A A ,4312210612266322232221-=-===-=-=A A A221224312223222333231=-=-=-===A A A因此⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-122125231323241410326321211332313322212312111*1A A A A A A A A A A A A 例3 试用逆矩阵求解线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=--353042231321321x x x x x x x x 解 令,302,,503411112321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B x x x X A 于是原方程组可写成AX=B （2-3-1）因为 ,0653411112≠=--=A 故1-A 存在，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-3339137355611*1A A A对（2-3-1）式两侧左乘1-A ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-63613613131613023339137355611B A X即线性方程组的解为21,613,61321=-==x x x .习题2.31． 验证矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵.（1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2123124321B A （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012015120110141101510075504321B A 2．写出下列初等方阵的逆矩阵。
矩阵知识点总结图解
矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。
- 列数：矩阵中的列数为n。
- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。
- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。
1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。
即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。
即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。
但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。
接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念及其运算。
一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。
这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。
矩阵的基本概念
§【2 】1 矩阵及其运算教授教养请求：懂得矩阵的界说.控制矩阵的根本律.控制几类特别矩阵（比如零矩阵,单位矩阵,对称矩阵和否决称矩阵 ) 的界说与性质.留意矩阵运算与平日数的运算异同.能闇练准确地进行矩阵的盘算.常识要点：一.矩阵的根本概念矩阵,是由个数构成的一个行列的矩形表格,平日用大写字母表示,构成矩阵的每一个数,均称为矩阵的元素,平日用小写字母其元素表示,个中下标都是正整数,他们表示该元素在矩阵中的地位.比如,或表示一个矩阵,下标表示元素位于该矩阵的第行.第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵.特别地,一个矩阵,也称为一个维列向量;而一个矩阵,也称为一个维行向量.当一个矩阵的行数与烈数相等时,该矩阵称为一个阶方阵.对于方阵,从左上角到右下角的连线,称为主对角线;而从左下角到右上角的连线称为付对角线.若一个阶方阵的主对角线上的元素都是,而其余元素都是零,则称为单位矩阵,记为,即：.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零,则称为下（上）三角矩阵,例如,是一个阶下三角矩阵,而则是一个阶上三角矩阵.往后我们用表示数域上的矩阵构成的聚集,而用或者表示数域上的阶方阵构成的聚集.二.矩阵的运算1.矩阵的加法：假如是两个同型矩阵（即它们具有雷同的行数和列数,比如说）,则界说它们的和仍为与它们同型的矩阵（即）,的元素为和对应元素的和,即：.给定矩阵,我们界说其负矩阵为：.如许我们可以界说同型矩阵的减法为：.因为矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算,轻易验证,矩阵的加法知足下列运算律：（ 1）交流律：;（ 2）联合律：;（ 3）消失零元：;（ 4）消失负元：.2 .数与矩阵的乘法：设为一个数,,则界说与的乘积仍为中的一个矩阵,中的元素就是用数乘中对应的元素的道德,即.由界说可知：.轻易验证数与矩阵的乘法知足下列运算律：（1 ）;（2 ）;（3 ）;（4 ）.3 .矩阵的乘法：设为距阵,为距阵,则矩阵可以左乘矩阵（留意：距阵德列数等与矩阵的行数）,所得的积为一个距阵,即,个中,并且.据真的乘法知足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：（ 1）联合律：;（ 2）左分派律：;（ 3）右分派律：;（ 4）数与矩阵乘法的联合律：;（ 5）单位元的消失性：.若为阶方阵,则对随意率性正整数,我们界说：,并划定：因为矩阵乘法知足联合律,我们有：,.留意：矩阵的乘法与平日数的乘法有很大差别,特别应当留意的是：（1 ）矩阵乘法不知足交流律：一般来讲即便有意义,也未必有意义;假使都有意义,二者也未必相等（请读者本身举反例）.恰是因为这个原因,一般来讲,,.（2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,即未必能推出或者（请读者本身举反例）.（3 ）消去律部成立：假如并且,未必有.4 .矩阵的转置：界说：设为矩阵,我们界说的转置为一个矩阵,并用表示的转置,即：.矩阵的转置运算知足下列运算律：（1 ）;（2 ）;（3 ）;（4 ）.5.对称矩阵：界说1.11 阶方阵若知足前提：,则称为对称矩阵;若知足前提：,则称为否决称矩阵.若设,则为对称矩阵,当且仅当对随意率性的成立;为否决称矩阵,当且仅当对随意率性的成立.从而否决称局针对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1 ）对于随意率性矩阵,为阶对称矩阵;而为阶对称矩阵;（2 ）两个同阶（反）对称矩阵的和,仍为（反）对称矩阵;（3 ）假如两个同阶（反）对称矩阵可交流,即,则它们的乘积必为对称矩阵,即.思虑题：1.设为第个分量为,而其余分量全为零的维列向量,为第个分量为,而其余分量全为零的维列向量,为矩阵,试盘算;2 .设为阶方阵,并且对随意率性有,你能得出什么结论？。
《线性代数》2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
7. 单位矩阵 对角矩阵中的对角线元素都等于1的矩阵, 记作
1 1 E 1
三、同型矩阵及矩阵相等 定义2.1.2
B 有相同的行数和列数， 如果两个矩阵 A 、
则称A与B为同型矩阵.
若矩阵A aij 与 B bij 是同型矩阵，而且对应 位置上的元素均相等，即aij 记为 A B
线 性 代 数
(第二版)
第二章Байду номын сангаас
矩 阵
• 第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵 • 第二节 矩阵的运算 • 第三节 逆 矩 阵 • 第四节 分 块 矩 阵
第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵
一、矩阵的概念 产品 引例 某厂向三个商店发送四种产品的数量，如下表 1 2 3 4 数量
商店
1 2 3
a11
a12
字母 A , B , C 等来表示.
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 上述矩阵记作 A a a a mn m1 m 2
可以简写成
A (aij ) mn .
其中 aij 叫做矩阵的第i 行第 j 列的元素. 元素为实数的矩阵称为实矩阵， 元素为复数的矩阵称为复矩阵.
bij ，则称A与B相等.
2 4 2 c 例如 若要求下面等式成立 5 a d 7 b 1 3 1
必须 a 7, b 3, c 4, d 5
二、几种常见的特殊矩阵 1. 行矩阵 只有一行的矩阵，即1×n 矩阵
A (a11 ,a12 ,,a1n )
2. 列矩阵 只有一列的矩阵，即m×1矩阵
a11 a 21 a , a ,, a T A 11 12 1n a m1
线性代数 矩阵
3 (AB) (A)B A(B)
问题：乘法运算的维数变化。 乘法运算是否满足交换律？
2021年11月13日
29
例 2．设 矩 阵
4 1 0
A 1 0 3 1 2 1 0 2
B
1 2 1
1 0 3
3
1 4
求 AB
解
4 1 0
AB 1 2
0 1
3 0
21
2021年11月13日
12
在 n 阶 方 阵 中，如 果 主 对 角 线
以 外 的 元素 全 为 零，即
a11
A
a22
ann
则 称 为 对 角 矩 阵。
2021年11月13日
13
在 n 阶 对 角 矩 阵 中，如 果 对 角 线
上 的元素 全 为 1， 记 为 E，则 称
1
E
1
1
其 中 k, l 为 自 然 数 。
2021年11月13日
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例 3. 设
A 2 1 , 4 2
求 AB, BA, A2 。
B 3 1 6 2
解：
AB 2 1 3 1 0 0 4 2 6 2 0 0
BA 3 1 2 1 10 5 6 2 4 2 20 10
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即
b 2c, d a 2c
所以
X a 2c c a 2c
(其 中 a, c 是 任 意 常 数)。
2021年11月13日
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例 5. 设 方 阵 A 满 足 A3 0 ， 则
(E A A2 )(E A) E
证 明：
左 边 E(E A) A(E A) A2 (E A) (右分配律)
2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵经典实用
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5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即
a11 a12 a1n
A
a12 a22 a2n
。
a1n a2n ann
在对称矩阵中，有aijaji。
例如，矩阵
1 1 1 0
和
103 0 2 1 3 1 3
都是对称矩阵。
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a22
.
ann
主对角线
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为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即
aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0
（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) . •2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
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关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同;
行列式是一个 数值. 例 如
5×2
1 2 4 3
1 2 3 0
矩阵
9 8 5 2
混淆的情况下, 也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用：类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
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2.对角矩阵
矩阵的概念及其线性运算知识讲解
第二章 矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。
一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素用j i a 表示。
通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。
为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()i jm na ⨯表示。
矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。
记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。
n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。
n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。
主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛE n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。
行向量、列向量统称为向量。
向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。
向量中的元素又称为向量的分量。
11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。
分别称为矩阵A 、B 的和与差。
B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。
线性代数B-2.1 矩阵的概念与运算
an 或 (a1,a 2, , an)
a1 a2 只有一列的矩阵 B , a n
称为列矩阵(或列向量).
一、
矩阵的概念
1.3 一些特殊矩阵
(3)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵或 n 阶矩阵. 也可记作 An .
例如:
13 6 2 是一个3 阶方阵. 2 2 2 2 2 2
（J.J.Sylvester）在1850年首先使用的.
1858年,英国数学家凯莱 (A.Cayley)系统阐述了关
于矩阵的理论，他被认为是矩阵论的创始人.
矩阵在我国可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九
章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所 用的解法就是矩阵的初等变换．
第二章 矩阵
例2.1 设
4 5 6 3 8 9 4 5 A , , B 3 2 4 5 7 6 5 8
4 8 5 9 6 4 3 5 12 14 10 8 则A＋B . 3 7 2 6 4 5 5 8 10 8 9 13
二、矩阵的运算
2.1 矩阵的加法
矩阵的加法 设A(aij)与B(bij) 则规定AB(aijbij ) 负矩阵--矩阵的减法 设矩阵 A(aij) 记 A(aij) A 称为矩阵 A 的 负矩阵 显然有 A(A)0 规定矩阵的减法为 ABA(B)
特殊矩阵
1.3 一些特殊矩阵 只有行矩阵元素间 a1 可以加逗号 零矩阵、非零矩阵. a2 a1 , a ,,an , 行矩阵与列矩阵; A B 2 , a 方阵 m n; a a a 0 11 11 12 1n a n 0 a0 a a22 a 0 21 22 2n 三角矩阵; 1 0 0 0 0 0 2 0 对角矩阵; 0 a0 a ann n1 n 20 nn a0 数量矩阵或标量矩阵 ; 0 10 0 0 n 单位矩阵; 0 0 0 1 0
线性代数与空间解析几何
00 对角矩阵;
A 00
12
aB1 ,a20000,aan2., ,an
,
零矩阵.
00 00 1n
18/19
思索题
矩阵与行列式有何区分? 答：(1)从形式上看矩阵行列数能够不一样， 但行列式不行，一定要行列数相等；
（2）矩阵是一张数表，而行列式表示 一个数，是能够比较大小。
19/19
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n 系数矩阵
am1 am1 amn
13/19
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
称之为恒等变换.
对应
1 0
0 1
b1 b2
an1 an2 ann bn
2/19
2、产品调运方案
产地 B1 B2 … Bn 销地
A1
a11 a12 … a1n
┆
┆┆
┆
Am
am1 am2 … amn
3/19
二、矩阵定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成 行m 列n数表
a11 a12 a1n
矩阵A的
m , n元
5/19
比如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
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A=
航线 矩阵
四个城市间的单向航线如图所示. 例 2.1.5 四个城市间的单向航线如图所示
乌鲁 1 木齐 拉萨 4
1 1尼 2
纽约 3
4
0 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
航线 矩阵
四个城市间的单向航线如图所示. 例 2.1.5 四个城市间的单向航线如图所示
乌鲁 1 木齐 拉萨 4
列的元素 元素. 矩阵第 i 行第 j 列的元素
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
简称m× 矩阵. 其中， 称为一个 m 行 n 列的矩阵,简称 ×n 矩阵 其中， a ij 称为 简称 通常,矩阵用大写字母 等表示,有时也记为 通常 矩阵用大写字母A, B, C等表示 有时也记为 矩阵用大写字母 等表示
2.1.1 引出矩阵定义的例题 2.1.2 矩阵的概念 2.1.3 几种特殊的矩阵
§2.1.1
引例
某公司对4名应聘人员进行三项素质考评的百分制 例2.1.1 某公司对 名应聘人员进行三项素质考评的百分制 成绩列表如下, 成绩列表如下
称这个4行 列的数表为 × 矩阵. 称这个 行3列的数表为 4×3 矩阵
矩阵记为 Am×n .
同型矩阵： 若A和 B矩阵都是 行n 列的矩阵 称它们 矩阵都是m 列的矩阵,称它们 和 矩阵都是 为同型矩阵。 同型矩阵。 矩阵相等： 若两个矩阵A, B 同型，并且对应元素都相等 同型，并且对应元素都相等 都相等,
aij = bij , i = 1,2,..., m , j = 1,2,..., n,
悉尼 2
纽约 3
0 1 A= 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
二次方程
例2.1.6 平面上二次曲线的一般方程为 ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0
x x y 1 a b d
y b c e
1 d e f
方程 矩阵
例2.1.6 平面上二次曲线的一般方程为 ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0
岗位 系数 科目1 科目2 科目3 甲 乙
引例 结束
§2.1.2 矩阵的概念
矩阵的定义
定义 2.1.1 由 m×n 个数 aij (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n ) × 列的数表, 按序排成一个 m 行n 列的数表
a11 a 21 A= a m1
2. 标量矩阵 主对角线上的元素全相同
a 0 A= 0 0 0 a 0 0 a
3. 单位矩阵 主对角线上的元素全为1 主对角线上的元素全为 1 0 0 0 1 0 E= 0 0 1
三角矩阵
4. 上(下)三角矩阵
a11 A=
a12 a1n a 22 a 2 n a nn
2.1.1 引例
例2.1.1 某公司对 名应聘人员进行三项素质考评的百分 某公司对4名应聘人员进行三项素质考评的百分 制成绩列表如下, 制成绩列表如下
称这个4行 列的数表为 × 矩阵. 称这个 行3列的数表为 4×3 矩阵 公司中甲、 公司中甲、乙两类岗位对各项素质要求的权重系数也 可以列成一个数表, 可以列成一个数表 称这个3行 列的数表为 称这个 行2列的数表为 3×2 矩阵 × 矩阵.
(a11
a12 a1n )
a11 a 21 a n1
2.1.1 实例
矩阵的实例
某钢厂向三个建筑工地送4种规格钢材的数量可以列 例2.1.3 某钢厂向三个建筑工地送 种规格钢材的数量可以列 成矩阵 a11 a12 a13 a14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a a 32 a 33 a 34 31
3 1 3
如果 aij = aji ,i , j = 1,2 , ……, n. ,称 A为 反对称矩阵. 称 为 此时, 所以, 此时 aii = aii ,所以 aii = 0. 所以 0 2 3 B = 2 0 1 3 1 0
§2.1小 结
小 结
1. 矩阵的定义 2. 特殊矩阵 注意： 1. 决定矩阵的两要素,矩阵相等 2. 矩阵的实例
其中， a ij 为钢厂向第 i 个工地发送第 j 种规格钢材的数量 其中， 以件为单位）。 （以件为单位）。
这4种规格钢材每件的 种规格钢材每件的 单价及每件重量也可以列 成矩阵
b11 b21 B= b31 b 41
b12 b22 b32 b42
炼油厂
设有三个炼油厂,以原油作为主要原料 利用1t原油生 以原油作为主要原料,利用 例2.1.4 设有三个炼油厂 以原油作为主要原料 利用 原油生 产的燃油和汽油数量如下表所示（单位： ） 产的燃油和汽油数量如下表所示（单位：t）
A = (a ij )
或 A = (a ij ) m×n .
2.1.2 要素
决定矩阵的两要素：元素和型号！
元素： a ij 是构成矩阵的元素 . 元素为实数的矩阵称为实矩阵 元素为实数的矩阵称为实矩阵. 实矩阵 元素为复数的矩阵称为复矩阵 元素为复数的矩阵称为复矩阵. 复矩阵 本书中，无特别说明都是实矩阵. 型号： m 行n 列是矩阵的型号 列是矩阵的型号 型号.
§2.1 习题
课后习题： 课后习题：
P64 习题 2(A) 1,2
书面作业： 书面作业：
思考题： 思考题：
预 习：
§2. 2
矩阵的运算
注意: 矩阵的乘法
§2.1 结束
A
=
a b d
b c e
d e f
实例 结束
§2.1.3 几种特殊的矩阵
1. 对角矩阵
λ1 0 0 λ2 Λ= 0 0 0 0 λn
简记为， diag 简记为， (λ1λ2 ,...,λn ).
diag(1,2,3) =
1 2 3
a11 a 21 B= a n1 a nn
对称矩阵
a 22 an2
5. 对称矩阵和反对称矩阵 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,如果 如果 称 A为 对称矩阵. 为 1 2 A = 2 0 3 1 aij = aji , i , j = 1,2 , ……,n.
称矩阵A与 相等 相等。 称矩阵 与 B相等。 记成 A = B.
简单矩阵
元素： a ij 是构成矩阵的元素 . 元素全为零的矩阵称为零矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵. 零矩阵 型号： m 行n 列是矩阵的型号 列是矩阵的型号.
记为 Om×n .
矩阵记为 Am×n .
当m =1时, (只有一行 称为 行矩阵 只有一行)称为 时 只有一行 当 n =1时, (只有一列 称为 列矩阵 时 只有一列)称为 只有一列 当m = n时，称为一个 n 阶方阵. 时