第四章 解析延拓Г函数B函数
黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析
黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析黎曼曲面解析延拓问题是复变函数理论中的一个重要研究方向。
本文将对黎曼曲面解析延拓问题进行证明逻辑解析。
首先，我们将介绍黎曼曲面和解析延拓的基本概念，然后介绍相关的定理和推论，最后给出证明过程与逻辑推理。
一、黎曼曲面与解析延拓的基本概念黎曼曲面是一种复流形，具有局部欧几里德结构，是复变函数理论的重要基础。
解析延拓是指将函数定义域从一个开集扩展到一个更大的开集上，使函数在定义域的边界上仍然解析。
二、相关定理与推论1. 必要定理在进行黎曼曲面解析延拓的证明前，我们需要先介绍一个必要定理。
根据Cauchy-Riemann方程的性质，如果一个函数在某个点解析，那么它在该点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。
2. 解析延拓定理解析延拓定理是黎曼曲面解析延拓问题的中心定理之一。
该定理表明，如果函数在某个开集上解析，并且可以延拓到该开集的一个更大的开集上，那么函数在整个扩展开集上也解析。
3. 唯一性推论解析延拓定理的一个重要推论是唯一性推论。
这一推论指出，如果一个函数可以延拓到两个不相交的开集上，那么在这两个开集的交集上，这个函数的值必须相等。
三、证明过程与逻辑推理为了证明黎曼曲面解析延拓问题，我们将使用反证法。
假设存在一个函数f(z)在某个开集U上解析，但无法延拓到U的一个更大开集上。
首先，我们根据必要定理可知，如果f(z)在U上解析，那么它在U的每个点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。
然后，我们假设存在一个点z0，使得f(z0)无法延拓到U的一个更大的开集上。
根据解析延拓定理，我们可以得出矛盾，因为f(z)在U上是解析的。
因此，我们可以得出结论，对于任意一个解析函数f(z)，它都可以延拓到它定义域的一个更大开集上。
最后，根据唯一性推论，我们可以断定，在解析延拓的过程中，函数的值不会发生变化。
综上所述，我们证明了黎曼曲面解析延拓问题。
根据所给的证明过程和逻辑推理，我们可以得出结论：任意解析函数f(z)都可以进行解析延拓，且延拓后的函数值与原函数值相等。
06 解析延拓 伽玛函数
物理学院邓胜华09:03:13数学物理方法数学物理方法电子教案第四章解析延拓·Γ函数Extending analytical function Γ function北京航空航天大学物理科学与核能工程学院第5 章解析延拓· Γ函数09:03:13一.解析延拓解析延拓解析延拓定义定义1.1.解析延拓解析延拓定义：定义：在另一与区域中解析，若在区域设1211)()(σσz f z f 称中的解析延拓。
同样亦在为则称，中中解析，且在的区域有重叠部分1212212)()(σ≡σσσz z z z f z f K 中的解析延拓。
在为121212)()()()(σz f f f f ∞k 1例如1,)(01<=∑=z z z f k 1,1)(2≠−=z z z f )()(:121z f z f z ≡<例如：就是将上去。
或者说解析延拓函数推广到更大的区域的就是把已知区域内解析简单地说，解析延拓，扩大。
解析函数的定义域加以第5 章解析延拓· Γ函数09:03:132.2.解析延拓的内唯一性定理解析延拓的内唯一性定理的任一子。
中必有，则在整个区域中区域的任子中均解析，若在在区域和设)()()()()()(212121z f z f G z f z f g G G z f z f ≡≡由此可见解析函数i ，只要这些函数是等唯一确定。
换句话说等分别由实函数由此可见，解析函数cos ,sin ,cos ,sin ,x x e z z e x z节那样所定义。
函数在整个复平面上便等，那末这些取值解析的，而且在实轴上4.1cos ,sin ,x x e x 节那样所定义只能如也均成立的等式在复变函数中数们所熟知的各种初等函由此定理还可推知，我也均成立。
的等式，在复变函数中x x x cos sin 22sin =zz z cos sin 22sin =→例如：们在实轴上相等。
都是解析函数，而且他和因为z z z cos sin 22sin第5 章解析延拓· Γ函数09:03:13二、Γ函数1、Γ函数的定义∫∞−−>=Γ01Re d )(z t t e z z t ，2. 2. Γ函数的基本性质基本性质积分拉这积分又称为第二类欧(Euler)()((2)…==+ΓΓ=+Γ..0,1,2N n!1)(n (3)(z)z 1)(z ,,)(()第5 章解析延拓· Γ函数09:03:133. 3. Γ函数的解析性性（1）定义:在有限区域中除极点外别无其它奇点的数称为半纯数其它奇点的函数称为半纯函数。
代数曲面的解析延拓问题证明逻辑解析
代数曲面的解析延拓问题证明逻辑解析代数曲面的解析延拓问题在数学领域一直备受关注。
解析延拓是一种通过利用函数的定义域以外的附加假设，推导出函数在这个定义域外的值的方法。
在代数曲面的研究中，解析延拓的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理解和探索代数曲面的性质。
本文将从证明逻辑和分析角度探讨代数曲面的解析延拓问题。
首先，我们需要明确代数曲面的定义。
代数曲面是由一个或多个多项式方程定义的点集合。
例如，二次曲面可以由一个二次方程定义，如x^2 + y^2 + z^2 = 1。
我们希望通过解析延拓来研究代数曲面在定义域以外的性质。
接下来，我们需要理解解析延拓的基本思想。
解析延拓的关键是找到一个合适的解析函数或级数，使得它在定义域以外的点上收敛。
一旦找到了这个解析函数，我们就可以通过计算这个函数在定义域以外的点的值，来推断代数曲面在这些点上的性质。
在证明代数曲面的解析延拓时，我们一般采用的是反证法。
假设存在一个定义域以外的点，代数曲面在这个点上有一个唯一的解析延拓。
我们可以通过假设这个唯一的解析延拓不存在，来得出一个矛盾的结论。
这样，我们就证明了代数曲面的解析延拓是存在的。
具体来说，我们可以通过以下步骤进行证明逻辑的推导。
首先，我们假设代数曲面在定义域以外的点上没有解析延拓。
然后，我们可以根据这个假设推导出一些定理或结论。
接下来，我们通过反证法，假设这些定理或结论是成立的，然后推导出一个矛盾的结论。
由于这个矛盾的结论是不可能的，我们可以得出结论：代数曲面在定义域以外的点上必定存在解析延拓。
此外，我们还可以通过分析代数曲面的性质，来进一步证明解析延拓的存在。
例如，我们可以研究代数曲面的奇点和极限点的分布情况。
通过分析奇点和极限点的性质，我们可以推断代数曲面在定义域以外的点上的解析延拓是否存在。
如果奇点和极限点的性质满足一定的条件，我们就可以得出代数曲面在定义域以外的点上存在解析延拓的结论。
总之，代数曲面的解析延拓问题是一个非常重要且困难的问题。
武汉大学数学物理方法4_1解析延拓函数
第四章解析延拓·Γ函数§4.1 解析延拓一.解析延拓前言：前面我们已经从微积分，级数等不同的角度了解到解析函数具有很多优秀的性质，然而解析都是对一定的点和区域而言的，婴儿人们自然想到，若能通过某种方式将解析区域扩大，那就能使解析函数的优越性在更大范围内体现.所以，它将f(z)的定义域扩大了,我们称之为解析延拓,即简单的说解析延拓是解析函数的定义域的扩大.本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上有用的积分г(x)延拓为г(z)中心：解析延拓和Γ函数目的：1.通过学习了解析函数的内唯一性定理，掌握初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的值唯一确定（这将为后一章留数定理计算实积分奠定基础）2. г(z)的定义性质又如：在留数定理一章中，若f(x)在实轴上无奇点，改写f(x)为f(z)。
这实为，将解析函数在实轴上的值延拓到全平面除f(z)的奇点的所有点.注意：推广：若ïïïïîïïïïíì····Îκ)2()(2)1()(1)(s s H z f H z f z f 的解析函数、或为则)...](3)(2)[(1)(x f x f x f z f但不能经奇点延拓出z ，若此例中z=1正是这个奇点的存在，决定了解析延拓过程中各幂级数的收敛半径×××××®®=Î=<ºÇ=++Þå¥=)()()(1z )()(,)(,1|:|:)()(,....32121101111321z f z f z f H z f z z f z z f z f k kn 沿任一解析点邻域：去掉又在中在，如解析延拓可以不断进行中在解析区域由s s s s s ss s s s注意：由解析函数的唯一性定理知，解析函数在一个邻域上的值可由它在该区域内任一条小弧段或一个特殊的点列(只要它有一个点属于这个区域)完全确定.这又一次反映出解析函数有十分严格的内在联系,即在某一区域,值完全唯一的确定了.[如:在全平面解析,而在Zn=1/n取值为1/n(n=1,2…) 的函数只有一个W=z.因为,点列{1/n}以z=0为聚点,而z=0落在函数的解析区域内,w=z满足全平面解析,且在Zn=1/n取值为1/n的条件, 根据唯一性定理,这样的函数只有一个]由此可断言,象等这些初等解析函数只能象§1.4 那样定义.如,Sin z 和均解析而他们在实轴上的一段由相等还可推断初等实函等式在复函中也成立,如sin2z和2sinzcosz均解析,而它们在实轴上相等sinx=2sinxcosx,所以,sin2z=2sinzcosz还有如,实轴上取值等于Sin x,而在全平面上解析的函数只有一个,这个函数就定以为Sin z二.解析延拓的唯一性..,)(:1.ii 2i 2恒等则它们在整个区域也必域中恒等的一个字区已知它么在和中解析的函数若有两个在区域唯一性定理g G f z f G 即可中，在当中在只要证当中在则中在解析若中在中解析在和若欲证上结论0)(,0)(,0)(,0)()()()(,)(.2ii 2i 2ii 2i 22ii 2i 2¹¹®ºº-=®º=®z F g z F G G z F z F g f z f z F f z f G G f z f s3.证)(:)(,,0)(,,0)(0,0)(])()([,])([)()()(ii 2i 2,2,1,022110见后页注即以此类推即必须为与题设矛盾则当fz f G z z F g z z F a a a a g z z F a b z a b z a a b z b z a a b z b z a z F n m m m m m m mk k k ºÎº+κ××××××\Îι\»××××-+-+®××××-+-=-=+++¥=åa a[ 设E是一点集，a是一点（不属于E），若在a的任一邻域内都有E的异于a的点，则a称为点集E的一个聚点（或极限点）。
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
复变函数解析的判定方法
复变函数解析的判定方法复变函数解析的判定方法主要有以下几种:1. 定义法:根据复变函数的定义,它具有以下几个性质:a. 复数函数f(z)在z=0处的值为f(0);b. 复数函数g(z)与f(z)的乘积h(z)在z=0处的值为h(0),即g(z)h(z)=f(0)f(z);c. 任何非零复数z,都有f(z)>0或在z=0处取得实部为零,f(z)<0或在z=0处取得虚部为零。
根据定义,只有满足a、b、c三个性质的复变函数才具有解析性质,否则它只是一个复数算子。
2. 解析延拓法:解析延拓是将一个复变函数的解析形式推广到所有可能解析形式的方法。
如果一个复变函数只有有限个解析形式,那么可以通过解析延拓将其转化为有限个解析形式。
解析延拓法的步骤如下:a. 找到一个解析形式f(x,y,z);b. 将f(x,y,z)表示为一个复数多项式;c. 对于每个复数z,找到另一个解析形式g(x,y,z)=f(x,y,z)(z+a0)^n,其中a0是单位元;d. 如果存在一个正实数n,使得g(x,y,z)(z+a0)^n在z=0处的值为f(x,y,z),那么f(x,y,z)就是一个解析形式。
解析延拓法可以用于判断一个复变函数是否解析,如果一个复变函数只有有限个解析形式,那么可以通过解析延拓将其转化为有限个解析形式,从而判断它是否具有解析性质。
3. 解析解析法:解析解析法是一种新的判定方法,它可以用于判断一个复变函数是否具有解析性质。
解析解析法的步骤如下:a. 找到一个解析形式f(x,y,z);b. 对于每个复数z,找到另一个解析形式g(x,y,z)=f(x,y,z)(z+a0)^n,其中a0是单位元;c. 对于每个解析形式g(x,y,z),判断它的值域是否包括z=0;d. 如果存在一个正实数n,使得g(x,y,z)(z+a0)^n的值域包括z=0,那么f(x,y,z)就是一个解析形式。
解析解析法可以用于判断一个复变函数是否具有解析性质,从而可以直接判断它是否具有解析形式。
解析延拓法-概述说明以及解释
解析延拓法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述解析延拓法是一种常用的数学工具，它在不同领域都有广泛的应用。
通过对问题进行解析建模，该方法能够将问题转化成解析函数的延拓，从而更好地理解和解决问题。
在解析延拓法中，解析函数是指在复数域上定义的函数。
而延拓则是指将函数从定义域延拓到更广泛的域，通常是将函数在实轴或复平面上的一部分延拓到整个实轴或者复平面上。
通过对延拓之后的函数进行分析和计算，我们可以得到更全面和深入的信息，解决原问题中的困难或疑惑。
这种方法的优势在于它不仅能够处理具体问题，还能够揭示问题的本质和内在规律。
通过解析延拓法，我们能够理解函数的性质和行为，从而更好地研究和解决与之相关的问题。
因此，无论是在物理、工程、经济学还是其他各个领域，解析延拓法都是一种非常重要的工具和方法。
在接下来的文章中，我们将对解析延拓法进行详细的探讨。
首先，我们将介绍解析延拓法的定义，阐述其基本原理和思想。
然后，我们将进一步探讨解析延拓法的应用，以及它在不同领域中的具体应用案例。
最后，我们将总结解析延拓法的优势，并展望未来对该方法的发展和应用。
通过对解析延拓法的深入研究和理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动相关领域的发展。
希望本文能够为读者提供有益的信息和观点，引起大家对解析延拓法的兴趣和思考。
接下来，我们将开始探索解析延拓法的定义和基本原理。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织框架，它决定了文章的逻辑顺序和层次结构。
对于本文来说，其结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要用于引导读者进入文章的主题，并对解析延拓法进行概述。
首先，需要对解析延拓法进行简单介绍，包括其定义、原理和应用。
然后，介绍文章的结构和目的，以及大致的内容安排。
最后，对整篇文章进行总结，提供一个概览。
正文部分是文章的核心部分，用于详细解析解析延拓法。
首先，给出解析延拓法的定义，解释它是一种什么方法，并说明其在科学研究中的重要性。
Chapter4解析延拓函数和函数
Chapter 4 解析延拓 Γ函数和B 函数一、 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性1. 零点的定义：设)(z f 在a 点及其邻域内解析，如果0)(=a f ，则称a z =为)(z f 的零点。
设()0(),nn n f z c z a ∞==-∑ (),z a r -< 若0)(=a f ，则必有，0110====-m c c c Λ，0.m c ≠ 此时，称a z =为)(z f 的m 阶零点。
相应地，0)()()()1(==='=-a f a f a f m Λ，()()0.m f a ≠零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。
2. 零点的孤立性：解析函数的零点孤立性定理：设a z =为)(z f 的零点，若)(z f 不恒等于0，且在包含a z =在内的区域内解析，则必能找到圆()0z a ρρ-=>，使在圆内除a z =外，)(z f 无其它零点 [在多值非解析函数())()(/1z a z z f mφ-=中，a z =虽然为零点，但是又是枝点]。
证明：设a z =为)(z f 的m 阶零点，则())()(z a z z f mφ-=，其中)(z φ解析，且()0.a φ≠ 由)(z φ在a z =连续，即，任给0>ε，存在0>ρ，使得当ρ<-a z 时，()().z a φφε-< 不妨取2)(a φε=，由于)()()()(a z z a φφφφ-≤-，则得，1()()()0.2z a a φφεφ>-=>由此即证得)(z f 在ρ<-a z 内除a z =外无其它零点。
推论1：设)(z f 在D ：R a z <-内解析，若在D 内存在)(z f 的无穷多个零点{}n z ，且a z n n =∞→lim ，但a z n ≠，则)(z f 在D 内恒为0.证明：)(z f在D 内连续，lim ()().z af z f a →= 若取a z →的一个特殊序列，即{}n z ，当然仍有，lim ()().n n f z f a →∞= 而0)(=n z f ，故0)(=a f ，即a z =为)(z f的零点，并且是)(z f 的非孤立零点（即)(z f 零点的极限点）。
8-9讲 解析延拓与洛朗级数
该展开有无限多负幂项。
在环域2<|z|的区域内|i/z|<1，2/|z|<1，
1 1 1 1 2 2k 所以 k 1 , z 2 z 1 2 z z k 0 z k 0 z
k
1 k 1 i k 1 . z i k 0 z
因z0=0为奇点，所以展开区域为0<|z|<∞。 在上面的洛朗级数中无负幂项,这种情况下的奇点称为可去奇点。 只要令z=0时的函数f(z)=1，则上面的级数便成为了泰勒级数。
例2：在1<|z|<∞的环域上展开函数f(z)=1/(z2-1)。 解：函数f(z)可变形为
1 1 1 f ( z) 2 2 z 1 z 1 1 1 1 2 2 z k 0 z
1 1 ( z 2)k 1 ( z 2)k 故f ( z ) 1 (i 2)k 1 . k 1 2 i z 2 k 0 (i 2) 2 i k
第二项，由于| -z0|<| z-z0|，故可展开为
( z z0 ) 1 ( z z0 ) k ( z z0 ) k ( z0 )l 1 . 令k (l 1), 则 k 1 k 1 l 1 z k ( z0 ) k 1 ( z0 ) l 0 ( z z0 ) 1 1 f ( ) 1 f ( ) 故f ( z )= ( z z0 )k d ( z z0 ) k CR 1 ( z0 )k 1 k CR 2 ( z0 )k 1 d 2 i 2 i k 0
f(z)=0，则在整个区域B上恒有f(z)=0。
证明：如图，在b的边界处任取一点z0，在该点
复变函数中的解析延拓理论
复变函数中的解析延拓理论复变函数是数学中的一个重要分支，它研究了在复平面上定义的函数。
解析延拓是复变函数理论中的一项重要内容，它可以将函数在有限定义域外延拓到无限大的区域上，并保持函数的性质不变。
一、解析延拓的概念和基本思想解析延拓是指将一个函数从其有限定义域延拓到更大的定义域上，使其在新的定义域内解析。
在复数域上，解析延拓的基本思想是利用解析性的特点，通过对函数进行适当的变换或构造，使其在原有定义域之外也能满足解析性的条件。
二、解析延拓的方法解析延拓可以通过多种方法实现。
其中一种常见的方法是使用奇点理论，通过分析函数的奇点性质，找到可以延拓函数定义域的方式。
例如，我们可以通过去除奇点或添加极点的方式，使函数在更大的定义域上解析。
另一种常见的方法是利用解析函数的特殊性质，通过构造新的函数来延拓原函数。
例如，可以利用指数函数、三角函数等基本函数的解析性质，来延拓原函数的定义域。
这种方法常用于实数域上的函数延拓。
三、解析延拓的应用解析延拓在复变函数的研究中具有广泛的应用。
首先，通过解析延拓可以扩大函数的定义域，使其在更大的区域内解析。
这对于研究函数的性质和行为具有重要意义。
其次，解析延拓可以用于求解解析函数的特殊值和积分。
通过延拓函数的定义域，可以使得函数在原有定义域之外的点上取得有意义的值。
这对于解析函数的计算和应用具有重要意义。
最后，解析延拓还可以用于解决一些数学问题。
例如，在数论中可以使用解析延拓的方法来研究整数的性质；在微分方程中可以使用解析延拓来求解特殊的微分方程等。
四、解析延拓的发展和挑战解析延拓作为复变函数理论的重要内容，已经在数学和应用领域取得了广泛的应用。
但同时也面临着一些挑战。
首先，解析延拓的方法和理论较为复杂，需要深入的数学思想和技巧。
其次，解析延拓涉及到函数的极限和连续性等概念，需要严格的数学推导和分析。
在未来的发展中，我们可以进一步探索解析延拓的理论和应用。
通过研究更加复杂的函数和问题，深化对解析延拓的理解和应用，推动复变函数理论的发展。
解析延拓
数学物理方法
由于这种级数没有首项， 所以对它的敛散性我们无法 象前面讨论的幂级数那样用前 n 项和的极限来定义， 容易 看出双边幂级数是由正幂项(包含常数项)级数
an ( z z 0 ) n
n 0
(3.5.1)
和负幂项级数
n
1
an ( z z0 ) n a n ( z z0 ) n
材料与光电物理学院数学物理方法第三章幂级数展开1复数项级数2幂级数3泰勒级数展开4解析延拓5洛朗级数展开6孤立奇点的分类数学物理方法34解析延拓我们来回顾一下前面讲的幂级数例注意到上面几个式子后面括号里注明成立的条件如果取消条件则等号两边并不一回事
数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第三章 幂级数展开
数学物理方法
3.5.1双边幂级数
形如
n
an ( z z0 ) n
a n ( z z0 ) n a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2
的级数称为双边幂级数， 其中 z0 , an (n 0, 1, 2, ) 都是复 常数。
R2 z z0 R1 内收敛； 在圆环外发散； 而在
圆环上，可能有些点收敛，有些点发散。 （2） 当 R2 R1 时， 正幂项级数和负幂项级数收敛域 的交集等于空集，此时原级数发散。 因此，双边级数的收敛域为圆环域：
R2 z z0 R1 。 顺便指出，在特殊情况下，
圆环域的内半径 R2 可能为 0，外半径 R1 可能是 无穷大。
n 1
(3.5.2)
两部分组成。
数学物理方法 因此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散 性来定义原级数的敛散性。规定：当且仅当正幂项级数和负
3-4解析延拓
数学物理方法 § 3.4 解析延拓 丁成祥
§ 3.4 解析延拓
定义：比如有一个函数2()1(||1)k f z z z z z =+++++< ，注意其定义域是一个小区域G ：||1z <；这个级数的和函数是11z -. 有趣的是，如果我们定义一个函数1()1F z z =-，F (z )的定义域可以不限于G ；除了z =1这一点，F (z )在全平面是解析的. 但是f (z )却是在区域G 之外无意义（级数发散）. 比较f (z )和F (z )可以看出：他们在一个较小的区域G 上有相同的形式，都是该区域上的解析函数，但是F (z )的解析区域实际上可以更大，即从f (z )到F (z )，函数形式没变，但是定义域扩大了，这就叫解析延拓. 简单的说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大.
解析延拓的一般方法：原则上讲，解析函数可以利用泰勒级数实现. 具体做法是：选取区域G 内任意一点z 0，以z 0为中心把f (z )展开为泰勒级数. 如果这个以z 0为中心的泰勒级数的收敛域有一部分超出了G 之外，则解析函数的定义域就扩大了一部分（如下图所示）；如此一步又一步，使得定义域不断扩大，直到无法再扩大为止，就最终实现了解析延拓.
阴影部分为经过一次泰勒展开而扩大的定义域
唯一性：解析延拓是唯一的，不论用那种方法延拓，最终得到的结果是一样的，不一定非要用泰勒展开；用泰勒展开是一种非常繁琐的方法.。
函数（16）—高端视野：延拓函数
函数（16）—高端视野：延拓函数函数——（16）高端视野：延拓函数奇延拓：若已知区间(0,a)上的定义的函数f(x),若令f(-x)=-f(x)扩充定义函数在(-a,0)上的函数值，并令f(0)=0,那么这样得到定义在(-a,a)上的函数f(x)。
这种扩大函数定义域定义函数的方法称为函数的奇延拓。
（所得函数是奇函数。
）偶延拓：与奇延拓相类似，利用f(-x)=f(x)将定义在[0,a]上的函数f(x)扩充定义域到[-a,a]上，这种扩大函数定义域定义函数的方法称为函数的偶延拓。
（所得函数是偶函数。
）周期延拓：若已知函数在一个区间[a,b)或(a,b]的表达式f(x),记T=b-a,对于任何整数k，令f(x+kT)=f(x+T)=f(x),可将定义在这个“小”区间的函数扩大定义域至整个实数域中。
这种扩充函数定义域定义函数的方法称为函数的周期延拓。
（所得函数是以T为周期的周期函数。
）【练1】设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G，且FG.若对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝1()2x(x≤0)，若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为________．【练2】（东城一模）已知函数①()3lnfxx?；②cos()3xfxe?；③()3xfxe?；④()3cosfxx?．其中对于()fx定义域内的任意一个自变量1x，都存在唯一一个自变量2x，使123fxfx?成立的函数是（）A．①②B．①②③C．③D．④【练3】(北京高考)函数fxxxPxxM(),,，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定fPyyfxxP(){|(),}，fMyyfxxM(){|(),}，给出下列四个判断：①若PM，则fPfM()()②若PM，则fPfM()()③若PMR??，则fPfMR()()??④若PMR??，则fPfMR()()??其中正确判断有（）A.3个B.2个C.1个D.0个。
模函数解析延拓问题的证明
模函数解析延拓问题的证明模函数是一种常见的数学函数，通常表示为|z|，其中z是一个复数。
模函数的定义是，对于复数z=a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，其模函数的值为|z|=sqrt(a^2+b^2)。
然而，对于某些特殊的复数，例如负实数和纯虚数，模函数并不是唯一定义的。
这就引出了模函数解析延拓问题，即如何将模函数在整个复平面内进行唯一的定义。
为了解决这个问题，我们可以采用极坐标的方法。
一个复数z可以表示为z=r(cosθ + isinθ)，其中r表示z与原点的距离，θ表示z与正实轴的夹角。
基于这个表示，我们可以重新定义模函数。
定义：对于复数z=r(cosθ + isinθ)，其中r≥0，θ为实数，则|z|=r。
按照这个定义，我们将模函数重新定义为仅与z的模r有关，而与z的辐角θ无关。
这样一来，模函数就可以在整个复平面内进行唯一的定义。
下面，我们将证明这个定义的模函数的确满足模函数的基本性质。
性质一：非负性根据定义，对于任意复数z，其模函数的值为非负实数。
这是因为模r为非负实数。
性质二：零与非零复数的模对于零复数z=0+0i，其模函数的值为0，即|0|=0。
而对于非零复数z≠0，其模函数的值为正实数，由定义直接得出。
性质三：共轭复数的模相等对于共轭复数z和其共轭z'，它们具有相同的模。
即，若z=a+bi，那么z'的模函数的值也为|z|=|z'|。
性质四：三角不等式对于任意两个复数z1和z2，有不等式|z1+z2|≤|z1|+|z2|。
这就是模函数的三角不等式，它与实数的绝对值函数类似。
以上性质的证明与实数绝对值函数类似，这里不再赘述。
这些性质表明，重新定义的模函数满足模函数的基本要求，且在整个复平面内唯一定义。
综上所述，我们通过重新定义模函数为仅与复数的模有关的方式，解决了模函数解析延拓问题，并证明了新定义的模函数满足模函数的基本性质。
这个证明为进一步研究和应用模函数提供了基础。
函数延拓在数学物理方法中的应用
21图（1-1） 函数延拓在数学物理方法中的应用王建颖摘 要 在解决数学物理方法中的一些问题时，有时我们可以解出具体的公式或者给出解决问题的具体方法和步骤；但这些公式或者方法步骤有时适应面又很窄，文章拟总结、深化这些方法，充分利用这些资源，用函数延拓法解更多的问题．关键词 解析延拓 直接延拓 定义域 应用 函数的延拓也就是函数定义域的扩可分为直接延拓和解析延拓．直接延拓就是根据边界条件的性质将初始条件进行奇延拓或者进行偶延拓，或者根据某种对称性进行延拓，把函数的定义域进行扩大，使问题变得容易解决或者可以遵从一定的方法解决.解析延拓是复变函数论中的一个概念，在我们教材中此部分内容讲述的比较少．鉴于这部分内容在很多地方有重要的应用，因而需进一步探讨，本文在此方面谈一些粗浅的想法．解析延拓实际上是已知某区域上的解析函数，通过延拓把这函数的定义域和解析范围推广到更大的范围或者全平面上（除去个别奇点）．1．解析延拓及应用1.1解析延拓的定义我们所说的解析是若函数()f z 在点0z 点及其邻域上处处可导则称()f z 在0z 点解析，若函数()f z 在区域B 上每一点都解析，则称()f z 是区域B 上的解析函数．解析延拓是若已知函数1()f z 在区域1B 内解析，如果在一个和1B 有公共部分12B 的区域2B 内存在一个解析的函数2()f z ，且在12B 中21f f (z)≡(z)则2()f z 称为1()f z 在2B 中的解析延拓．反之1()f z 称为2()f z 在1B 解析延拓．通俗的说解析延拓就是将解析函数的定义域扩大．1.2解析延拓的意义解析延拓的关键在于，我们无论采取什么方法进行延拓结果都不会变；解析延拓将解析函数的定义域或解析范围扩大，或将实变函数的定义域在数轴上扩展到整个复平面，或经过变换将一个平面上的实变函数变为另一复平面上的解析函数，这样在处理某些具体问题时，通过解析延拓使结果至其他区域，得到更加广泛的结果．1.3解析延拓的应用解析延拓在数学物理方法中有广泛的应用，典型的应用是用留数定理计算某些实变函数定积分和在Γ函数中的应用．1.3.1 在计算实变函数定积分中的应用在实变函数中对()f x 的积分一般是a b →即()ba f x dx ⎰，我们要想利用留数定理，需要设法把实变定积分与复变回路积分联系起来．要点如下[1]：定积分()baf x dx ⎰的积分区间[,]a b 可以看作是复数平面上的实轴上的一段1l ，于是或是利用自变数的变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B 如图（1-2）．把()f x 解析延拓到区域B （这个延拓往往只不过是把()f x 改为()f z 而已）．并拿它沿着l 积分⎰ldz z f )(12()()l l f x dx f z dz =+⎰⎰ （1.3.1）上式左边可以应用留数定理，右边第一个积分就是所求的定积分，如果右边第二个积分较易算出（往往是证明为零），或可以用第一个定积分表出 ，这样问题就解决了．下列就三种类型进行讨论．1.3.1.1 类型一是有理三角函数的积分 ()20sin ,cos I R x x dx π=⎰其中(sin ,cos )R x x 表示关于 sin x ，cos x 的有理函数．作变换ix z e =，在实变函数x 从0变到2π的过程中，复变数ix z e =从1z =出发沿单位圆1z =逆时针走一圈又回到1z =，实变定积分变为复变回路积分，就可以应用留数定理．经过这样变换[1][9]1sin 2z z x i --=，1cos 2z z x -+=，1dx dz iz = （1.3.2）将原积分化为 izdzi z z z z R I z )2,2(111-=--+=⎰ ． （1.3.3） 例如计算()220I 0112cos dxx πεεε=<<-+⎰解：我们按照（1.3.3），将实变积分()f x 化为复变回路积分dz z z i z z iz dz I z z ⎰⎰==---=++-=1121))(1()(1εεεε， 这个回路积分的被积函数有两个单极点：01z ε=和0z ε=，前者1>，在积分回路1z =之外，因而不必考虑．单极点0z ε=在1z =之内，必须考虑． 运用单极点留数的求法[1][9]0Re ()sf z =()00lim ()z z z z f z →-⎡⎤⎣⎦计算在0z ε=的留数()()()02lim lim 111z z z i i iz z z z εεεεεε→→⎡⎤-==⎢⎥----⎣⎦． 于是，由留数定理得222211i I iππεε==--．如图（1-3）1.3.1.2 类型二是无穷积分 ()I f x dx ∞-∞=⎰条件：①积分区间时(),-∞+∞；()f z 实轴上无奇点， 上半平面内只有有限个奇点；②在实轴和上半平面内一致地lim ()0z zf z →∞=．（“一致地”表示()lim Ree 0i i Rf R ϕϕ→∞=与ϕ无关）[3]如果()f x 是有理分式()()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ϕ两次[1]．这一积分通常理解为下列极限2112lim()R R R R I f x dx →∞-→∞=⎰（1.3.4）若极限存在的话，这一极限便为反常积分()f x dx ∞-∞⎰的值．而当12R R =→∞时极限存在的话，该极限便称为积分()f x dx ∞-∞⎰的主值，记作()lim ()RRR pf x dx f x dx ∞-→∞-∞=⎰⎰（1.3.5）这里要计算类型二的积分主值考虑图(1-3)的半圆回路l ，⎰ldz z f )(()()RRRC f x dx f z dz -=+⎰⎰ （1.3.6）根据留数定理，上式即{}2()()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-=+⎰⎰在所围半圆各奇点的留数和．令R →∞.上式左边趋于{}2()i f z π在上半平面所有奇点的留数之和，右边第一个积分 趋于所求的定积分()f x dx +∞-∞⎰，第二个积分可证明是趋于零的：()()()RRR C C C dz dzf z dz zf z zf z z z=≤⎰⎰⎰()max ()0Rzf z zf z Rππ=⋅→≤max ，式中max ()zf z 指的是()zf z 在R C 上的最大值．于是得到结论：{}()2()f x dx i f z π∞-∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和[1] (1.3.7)例如计算21dxx ∞-∞+⎰[1]解：本例()()211()1f z z z i z i ==+-+，它具有单极点i ±，其中i +在上半平面，而 ()11Re ()lim ()lim2z iz isf i z i f z z i i→→+=-==⎡⎤⎣⎦+ 应用(1.3.7)得212{}12dx i x iππ∞-∞==+⎰． 1.3.1.3 类型三是含三角函数的无穷积分()cos F x mxdx ∞⎰，0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[)0,+∞；偶函数()F z 和奇函数()G z 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F z 和()G z 一致地0→．经过变换后利用约当引理，得到结论[1]0()cos {()}imz F x xdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和, （1.3.8） 0()sin {()}imz G x mxdx G z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. （1.3.9）例如计算22cos mx dx x a∞+⎰解：本例221()imzimz F z e e z a=+由两个单极点ai ±，其中ai +在上半平面，而)22imze za +在单极点ai +的留数为()22lim lim 2imz imz ma z ai z ai e e e z ai z a z ai ai-→→⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦. 应用(1.3.8)22cos 22ma mamx e dx i e x a ai aππ-∞-==+⎰． 例如计算()222sin x mxdx xa ∞+⎰解：本例()222()imzimz zG z ee za =+，有两个二阶极点ai ±，其中ai +在上半平面．而()222imzzez a +在ai +的留数()()22221Re ()lim 1!4imz ma z ai d z m s ai z ai e e dz a z a -→⎡⎤⎢⎥+=-=⎢⎥+⎣⎦. 应用（1.3.9）222sin ()44ma ma x mx m m dx e e x a a aππ∞--⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎰． 1.3.2 在Γ函数中的应用[2]实变量Γ函数定义为下述反常积分：()10()0x t x t e dtx ∞--Γ=>⎰ （1.3.10）它在0x >时收敛，并且有以下递推公式：()1()x x x Γ+=Γ (1.3.11）将（1.3.10）中的x 改为复变量z 就得到()10().Re 0z t z t e dt z ∞--Γ=>⎰ （1.3.12）和证明（1.3.10）的收敛性类似，可以证明（1.3.12）中的积分在Rez 0>半平面中代表一个解析的函数（证明略去）.它满足类似于（1.3.11）的递推公式：()1()z z z Γ+=Γ （1.3.13）证明如下：()100(1)()R 00z tz tz t z t e dt t e z t e dt z z ez ∞∞----∞Γ+==-+=Γ>⎰⎰，因为最后一步中用到了（1.3.12），所以上式限制在Re 0z >的右半平面．现在来进行解析延拓，为此利用（1.3.13）式，将它改为(1)()z z zΓ+Γ=. （1.3.14） 此式左边只在Re 0z >的区域内有意义，而右边在一个更大的区域()Re 10z z >-=除都有意义，因此可以将它作为等式左边()z Γ在Re 1z >-区域中的解析延拓．这样定义的()z Γ除了0z =有极点外，在Re 1z >-的半平面解析．现在()z Γ已在Re 1z >-区域中有定义，因而(1)z Γ+在Re 2z >-的区域中有定义．再利用（1.3.14）就得到Re 2z >-区域中的解析延拓;在这一区域中，()z Γ有两个极点0,1z =-，这样继续下去，反复利用（1.3.14）可以()z Γ延拓到整个复平面，在整个复平面，()z Γ除了有极点0,1,2z =--……外，处处解析． 计算无穷积分可以证明：(1)10t te dt e ∞--∞Γ==-=⎰, （1.3.15）12001()22t t e t dt e ∞∞---Γ===⎰⎰. （1.3.16）根据（1.3.13）式和上面两个积分，容易求得z 取整数和半整数值时，Γ函数的值：()1!n n Γ+=, （1.3.17）12n ⎛⎫Γ+= ⎪⎝⎭. （1.3.18）2．直接延拓及应用2.1直接延拓的定义设函数()f x 定义在区间(0,)l 并且满足收敛定理的条件，我们在开区间(),0l -内补充函数()f x 的定义，使它成为以2l 为周期的周期函数()F x ，并在(0,)l 上()()F x f x ≡，然后以2l 为周期延拓到整个数轴使之成为奇函数或偶函数，按这种方式拓展函数定义域的过程称为奇延拓或偶延拓，然后将奇延拓或偶延拓后的函数展开成傅里叶级数；或者()f x 定义在区间(0,)∞并且满足收敛定理的条件，我们在区间(),0-∞内补充函数()f x 的定义 使它在整个空间成为奇函数或偶函数，这种展开方式也称为奇延拓或偶延拓．我们将这两种延拓方法叫直接延拓．2.2延拓的方法周期函数应用于数学物理问题时，对函数()f x 在边界条件有一定的限制，满足第一类齐次边界条件时(0)()0f f l ==，这时应延拓为奇的周期函数，进行奇延拓，然后再进行傅里叶级数展开， 像这样102()sin;22()sin n n l n n f x B x l n B f x xdxl l ππ∞===∑⎰ （2.2.1）若满足第二类齐次边界条件时'(0)'()0f f l ==，这时应延拓为偶函数的周期函数，进行偶延拓，然后在进行傅里叶级数展开，像这样010002()cos ;122(),()cos n n ll n n f x A A x l n A f x dx A f x xdxl l lππ∞==+==∑⎰⎰ （2.2.2）如果函数()f x 定义在(0,)∞内，若需满足第一类齐次边界条件，我们作奇延拓()(0)()()(0)o f x x F x f x x <<∞⎧=⎨---∞<<⎩；若需满足第二类齐次边界条件，我们作偶延拓()(0)()()(0)e f x x F x f x x <<∞⎧=⎨--∞<<⎩.2.3直接延拓的应用在数学物理方法中为解决半无限长、有限长振动及热传导问题，对初始值是非周期函数或非对称函数的问题使用上面所讨论的延拓方法比较方便．2.3.1 在半无界空间的函数中的应用[1][3][9]2.3.1.1下面是端点固定需要奇延拓的例子 例题1 定解问题20tt xx u a u -=， (0)x <<∞ （2.3.1）(),(),t tt u x u x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()0x ≤<∞ （2.3.2）0x u==. （2.3.3）（2.3.2）里()x ϕ和()x ψ必须宗量0x ≥才有意义，这是因为在0x <的区域上弦并不存在，也就谈不上初始条件．这样，对于较迟的时间()t x a >，达朗贝尔公式的()x at ϕ-和()x atd ϕξξ-⎰失去意义，公式也就不能应用．我们把这根半无限长弦当作某根无限长弦的0x ≥的部分，按照（2.3.3），这无限长弦的振动过程中，点0x =必须保持不动．这是说，无限长弦的位移(,)u x t 应当是奇函数，因而无限长弦的初始位移()x Φ和初始速度()x ψ都应当是奇函数，即()()(),()();x x x x x ϕϕ⎧⎪Φ=⎨--<⎪⎩≥00()()(),()().x x x x x ψψ⎧⎪ψ=⎨--<⎪⎩≥00 （2.3.4）这就是用了延拓法，（2.3.4）说成“把()x ϕ和()x ψ从半无界区间0x ≥奇延拓到整个无界区间，分别成为()x Φ和()x ψ．”这样就可以应用达朗贝尔公式()11(,)[()]()22x at x atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰ （2.3.5） 求解无限长弦的自由振动,它的0x ≥的部分正是我们所考察的半无限长弦．根据（2.3.5）()11(,)[()]()22x atx atu x t x at x at d a ξξ+-=Φ++Φ-+ψ⎰ （2.3.6）把（2.3.4）代入上式，()()11[()](),22(,)11[()](),22x at x at x at at x x x at x at d t a a u x t x x at at x d t a a ϕϕψξξϕϕψξξ+-+-⎧⎛⎫++-+≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+--+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰ （2.3.7） 2.3.1.2 端点自由需要偶延拓的例子，这个定解问题20tt xx u a u -=，()0x <<∞， （2.3.8）0(),(),t tt ux u x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩()0x ≤<∞ （2.3.9）0xx u ==. （2.3.10）同样，不妨把这根半无限长杆当作某根无限长杆的0x ≥的部分，按照（2.3.10）这无限长杆的振动过程中，在点0x =的相对伸长x u 必须保持为零．这是说，无限长杆的位移(),u x t 应当是偶函数，因而无限长杆的初始位移()x Φ和初始速度()x ψ都应当是偶函数，即()()(),()();x x x x x ϕϕ⎧⎪Φ=⎨-<⎪⎩≥00()()(),()().x x x x x ψψ⎧⎪ψ=⎨-<⎪⎩≥00 （2.3.11）这就是“把()x ϕ和()x ψ从半无界区间0x ≥偶延拓到整个无界区间分别成为()x Φ和()x ψ”．现在，就可以根据达朗贝尔公式（2.3.5）求解无限长杆的自由振动， ()11(,)[()]()22x atx atu x t x at x at d a ξξ+-=Φ++Φ-+ψ⎰ （2.3.12）把（2.3.11）代入上式．()()001[()]21(),2(,)1[()]211()().22x at x at x at at x x at x at x d t a a u x t x at at x x d d t aa a ϕϕψξξϕϕψξξψξξ+-+-⎧++-⎪⎪⎛⎫⎪+≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++-⎪⎪⎛⎫⎪++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰⎰ （2.3.13）2.3.2 在半无界杆的热传导问题中的应用例题：定解问题为[2]：20t xx u a u -= ()0x <<∞， （2.3.14） 00x u== (0)t > （2.3.15） 0()t ux ϕ== (0)x <<∞ （2.3.16）注意初始条件中的()x ϕ只在0x <<∞内有意义，因此不能直接利用无界空间上得出的结果，我们应用延拓法来解此问题，即将初始函数延拓到0x -∞<<的区间上，这相当于把半无界杆设想为无界杆的0x ≥部分，但保持中点0x =的温度为零，因而无限长杆的初始温度分布必须是奇函数．这样就把半无界问题转化为无界问题：20t xx u a u -= ()x -∞<<∞, （2.3.17）()()(),().t x x ux x ϕϕ=⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥00 （2.3.18）再利用（11—3—22）[2]和（11—3—15）[2]我们就得到问题的解为()()(,),0,;u x t u G x t d ξξξ∞-∞=⎰00()(,;)()(,;)G x t d G x t d ϕξξξϕξξξ∞-∞=--+⎰⎰[(,;)(,;)()G x t G x t d ξξϕξξ∞=--⎰()()2222440]()x x a ta teed ξξϕξξ-+--∞=-⎰. （2.3.19）2.3.3 在有界弦的自由振动中的应用[1][2][10]利用直接延拓也可以解有界区域的定解问题，为简单起见，我们考虑两端固定，长为l 的弦的自由振动．这个问题的泛定方程及定解条件为20tt xx u a u -= ()0x l <<, （2.3.20）00x x lu u ==⎧=⎪⎨=⎪⎩ , （2.3.21） 0()()t tt u x u x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩. （2.3.22）通过分离变数法，得到分离变数形式的解(,)(cossin )sin ,(1,2,3)n n n n at n at n xu x t A B n l l lπππ=+=本征解的线性叠加是1(,)(cossin )sinn n n n at n at n xu x t A B l l lπππ∞==+∑, （2.3.23） 仍然满足方程（2.3.20）和边界条件（2.3.22）这就是满足方程（2.3.20）和边界条件（2.3.21）的一般解，其中n A 和n B 为任意常数．这里还没考虑初始条件（2.3.22）．系数n A 和n B 应有初始条件（2.3.22）确定．以（2.3.23）代入（2.3.22），11sin (),sin ().nn n n n x A x l n a n x B x l l πϕππψ∞=∞=⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑ ()0x l << （2.3.24） (2.3.24)左边是傅里叶正弦级数,我们需要将()x ϕ和()x ψ在区间[]0,l 之外延拓为周期2l 的奇函数，他们满足的条件是：()()c c x x ϕϕ=--，()()c c x x ψψ=--； ()(2)c c x x l ϕϕ=+，()(2)c c x x l ψψ=+.()c x ϕ和()c x ψ在x -∞<<∞内都有定义，而在区间0x l <<就是()x ϕ和()x ψ，我们将()x ϕ和()x ψ延拓后，然后把它们的右边展开为傅里叶正弦级数，最后比较系数就可确定n A 和n B002()sin ,2()sin .l n n l n n n A d l ll n B d n a n a l πξψϕξξπξψψξξππ⎧==⎪⎪⎨⎪=⋅=⎪⎩⎰⎰傅立叶系数傅立叶系数 （2.3.25） 至此，定解问题（2.3.20）～（2.3.22）已经解出．3．结束语从上面讨论可见，函数延拓能明显的简化结果和大大减少运算工作量，显示出函数延拓极大的优越性．因而在傅里叶1822年发表了《热的解析理论》一书后，这本书奠定了利用三角函数系展开的基础，在泰勒级数外又找到了一个研究函数的工具，立即被广泛应用到物理学各个领域中去，成为人们研究非周期性函数不可缺少的数学工具．参考文献[1] 梁昆淼.数学物理方法[M] 高等教育出版社.(第三版)1998 [2] 刘连寿王正清 数学物理方法[M]高等教育出版社.1990 [3] 周季生 数学物理方法纲要[M]河北师范大学教材科 [4] 刘继军 数学物理方法.学习指导预习题辅导[5] [苏]B.M.布达克A.A 沙玛尔斯基吉洪诺夫 科学技术出版设重庆分社 [6] R.柯朗D.布尔伯特.科学出版社.1981[7] 郭敦仁.数学物理方法[M].人民教育出版社.1965[8] 周治宁，关崇试，钟毓澍．数学物理方法习题指导[M]北京大学出版社.2004 [9] 黄大奎，舒慕曾.数学物理方法.高等教育出版社，施普林格出版社.2001 [10] 陈才生.数学物理方程.东南大学出版社.2002[11] S. Mandelbrojt ,Analytic continuation and infinitely differentiable functions ,Bull.Am. Math. Soc. 54,1948The application of function extension method in mathematical methods for physicsWuxiaojuan Directed by Prof. tianguangzhiAbstract While solving some problems in the way of Methods of mathematical physics ,Sometimes,We can work out specific formulas or show the concrete methods or steps to solve the problems,But these formulas,methods or steps have the narrow sides.This thesis intends to summarize and deepen these methods,and make full use of these resources,then usefunction extension method to solve more problems.Key words Analytic exetension direct extension domain applicatiion。
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2015/11/18
第四章
5
推论二：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数， 而且在D内某一点a满足：
( n) f1 (a) f 2 (a), f1( n) (a) f 2 (a)(n 1,2,3, )
k 0
1 z
f ( z ) e zt dt (Rez 0) , F ( z ) 1 ( z 0) , F ( z ) f ( z ) (Rez 0) 0 z
解析函数内部有着严格的约束关系(C—R条件，Cauchy公式 等都表明了这一点)，是可以进行解析延拓的根本原因，其解 析延拓是唯一的.
第四章 解析延拓Г函数B函数(P56)
基本内容：解析延拓的概念， 解析延拓的基本方法
§4.1解析函数的唯一性
1解析延拓
2
解析函数的唯一性
2015/11/18
第四章
2
1 解析延拓 就是将解析函数定义域扩大的问题，或扩大解析区域的问题. 已知某个区域D0内的解析函数f(z)可以找到在包含着D0的较大 区域D上解析的函数F(z)，且在D0内F(z)= f(z)，则F(z)称为 f(z)在D上的解析延拓 1 [例] f ( z ) z k ( z 1 ), F ( z ) ( z 1), F ( z) f ( z) ( z 1),
i ( k 1) i k (1 ) ( z ) ( D2 : z i 1 i 5 ) 2 2 2 2 2 k 0
2015/11/18 第四章 8
i f1( k ) ( ) 2 ( z i )k k! 2
f1 ( z) f 2 ( z) f1 ( z) ( z D1 ) 和f 2 ( z)（z D2 ） 在 D1 D2 ： 互为解析延拓， 或者f1 ( z ) 已解析延拓为 f1 ( z ) ( z D1 ) f ( z) ( D1 D2 ) f 2 ( z ) ( z D2 ) 再在 ( D1 D2 ) 中取如z=i，则
1 1 3 Γ(2z) Γ( z )Γ( z ), ( z 0, ,1, , ) 2 2 2 Γ( z 2) ( z 1) (Re z 2, z 0,1) ( z ) (Rez 1, z 0) z ( z 1) z …… Γ( z n 1) (Re z (n 1), z 0,1,2, ,n) z ( z 1) ( z n)
f 3 ( z)
k 0
f 2( k ) (i) 1 k ( z i) k ( z i ) ( D3 : z i 1 i 2 ) k k! k 0 (1 i)
在( D1 D2 ) D3 : f3 ( z) f ( z) F ( z )
( p)(q) ( p q )
此式已将 B( p, q) 已从Re p 0, Re q 0延拓至除了p=0,-1,-2, …；
q=0,-1,-2, …等孤立奇点外的整个p平面和q平面.
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第四章
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思考与讨论题 1.何谓解析延拓？它有何意义？ 2.由Γ(z)的定义知其定义域为Rez>0，但为什么 Γ(z)在全平面上除了z=0,-1,-2,…这些一阶奇点 外是处处解析的？ 3.解析延拓的唯一性定理有何意义？ 4.Γ函数有哪些基本性质？ 作业：p64：4.1 (1)，4.2
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例如：f1 ( z ) z ( D1 : z 1 )
k n! ( n) i 在D1内取z1 , f1 ( ) i 2 2 (1 ) n 1 2 (n 0,1,2 )
i
D2
1
0 D1
i 2
1
x
级数 f 2 ( z )
k 0
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第四章
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Г函数是物理上很有用的函数，定义：
t z 1 Γ( z) e t dt (Re z 0,约定 arg t 0) 0 , , (n 1) n! (n正整数 ) ( z 1 ) z ( z ) (1) 1, ( ) 2 , Γ( z )Γ(1 z ) (z 整数) sin z
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第四章
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2 解析函数的唯一性
定理：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数， 在D内某点列{zk}(k=1,2,…)上f1(z) =f2(z)，而{zk}
在D内至少有一个极限点，则：
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
证明见(P57-58).
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f ( z )(z D1 D2 ) 1 f ( z )( z D ) 1 z 3 3
继续下去解析区域越来越大，但始终不能包含z=1,实质上是z=1 这个奇点决定着延拓过程中级数的收敛半径.
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§4.3利用函数关系进行 解析延拓Г函数
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2 2z-1
……
一直延拓至除了z=0,-1,-2,…等孤立奇点外的整个z平面.
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§4.4 B函数（贝塔函数）
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B( p,q) t p 1 (1 t )q 1 dt (Re p 0, Re q 0)
0
1
可证明：
B( p, q)
第四章
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推论一：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数，且在某一
点的邻域内(或某一曲线段上)相等，则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
显然解析函数ez、sinz、cosz等分别由实函数ex、sinx、cosx 等唯一确定.各种初等实函数的等式在复变函数中也成立.
[例如]sin2z和cos2z都是全平面（不含∞）上的解析函数，在实 轴上有sin2z=sin2x，2sinzcosz=2sinxcosx,且已知sin2x=2sinxcosx
则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z. D)
解析函数的唯一性，是复变函数特有的性质，实变函数则 没有，它提供了解析延拓方法多样性的理论依据.
依据唯一性进行解析延拓有两类方法用泰勒级数或利用 函数关系进行.
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§4.2用泰勒级数进行解析延拓
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