第四章 解析延拓Г函数B函数

第四章
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Г函数是物理上很有用的函数，定义：
t z 1 Γ( z) e t dt (Re z 0,约定 arg t 0) 0 , , (n 1) n! (n正整数 ) ( z 1 ) z ( z ) (1) 1, ( ) 2 , Γ( z )Γ(1 z ) (z 整数) sin z
2 2z-1
……
一直延拓至除了z=0,-1,-2,…等孤立奇点外的整个z平面.
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§4.4 B函数（贝塔函数）
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B( p,q) t p 1 (1 t )q 1 dt (Re p 0, Re q 0)
0
1
可证明：
B( p, q)
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例如：f1 ( z ) z ( D1 : z 1 )
k k 0

y
D3
i n! ( n) i 在D1内取z1 , f1 ( ) i 2 2 (1 ) n 1 2 (n 0,1,2 )
i
D2
1
0 D1
i 2
1
x
级数 f 2 ( z )
k 0


1 1 3 Γ(2z) Γ( z )Γ( z ), ( z 0, ,1, , ) 2 2 2 Γ( z 2) ( z 1) (Re z 2, z 0,1) ( z ) (Rez 1, z 0) z ( z 1) z …… Γ( z n 1) (Re z (n 1), z 0,1,2, ,n) z ( z 1) ( z n)
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k 0
1 z
f ( z ) e zt dt (Rez 0) , F ( z ) 1 ( z 0) , F ( z ) f ( z ) (Rez 0) 0 z

解析函数内部有着严格的约束关系(C—R条件，Cauchy公式 等都表明了这一点)，是可以进行解析延拓的根本原因，其解 析延拓是唯一的.
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推论一：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数，且在某一
点的邻域内(或某一曲线段上)相等，则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
显然解析函数ez、sinz、cosz等分别由实函数ex、sinx、cosx 等唯一确定.各种初等实函数的等式在复变函数中也成立.
[例如]sin2z和cos2z都是全平面（不含∞）上的解析函数，在实 轴上有sin2z=sin2x，2sinzcosz=2sinxcosx,且已知sin2x=2sinxcosx
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2 解析函数的唯一性
定理：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数， 在D内某点列{zk}(k=1,2,…)上f1(z) =f2(z)，而{zk}
在D内至少有一个极限点，则：
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
证明见(P57-58).
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可见sin2z与2sinzcosz是同一解析函数,因此,有sin2z=2sinz cosz
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推论二：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数， 而且在D内某一点a满足：
( n) f1 (a) f 2 (a), f1( n) (a) f 2 (a)(n 1,2,3, )
f ( z )(z D1 D2 ) 1 f ( z )( z D ) 1 z 3 3
继续下去解析区域越来越大，但始终不能包含z=1,实质上是z=1 这个奇点决定着延拓过程中级数的收敛半径.
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§4.3利用函数关系进行 解析延拓Г函数
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( p)(q) ( p q )
此式已将 B( p, q) 已从Re p 0, Re q 0延拓至除了p=0,-1,-2, …；
qwk.baidu.com0,-1,-2, …等孤立奇点外的整个p平面和q平面.
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思考与讨论题 1.何谓解析延拓？它有何意义？ 2.由Γ(z)的定义知其定义域为Rez>0，但为什么 Γ(z)在全平面上除了z=0,-1,-2,…这些一阶奇点 外是处处解析的？ 3.解析延拓的唯一性定理有何意义？ 4.Γ函数有哪些基本性质？ 作业：p64：4.1 (1)，4.2
第四章 解析延拓Г函数B函数(P56)
基本内容：解析延拓的概念， 解析延拓的基本方法
§4.1解析函数的唯一性
1解析延拓
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解析函数的唯一性
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1 解析延拓 就是将解析函数定义域扩大的问题，或扩大解析区域的问题. 已知某个区域D0内的解析函数f(z)可以找到在包含着D0的较大 区域D上解析的函数F(z)，且在D0内F(z)= f(z)，则F(z)称为 f(z)在D上的解析延拓 1 [例] f ( z ) z k ( z 1 ), F ( z ) ( z 1), F ( z) f ( z) ( z 1),
则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z. D)
解析函数的唯一性，是复变函数特有的性质，实变函数则 没有，它提供了解析延拓方法多样性的理论依据.
依据唯一性进行解析延拓有两类方法用泰勒级数或利用 函数关系进行.
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§4.2用泰勒级数进行解析延拓
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f 3 ( z)
k 0

f 2( k ) (i) 1 k ( z i) k ( z i ) ( D3 : z i 1 i 2 ) k k! k 0 (1 i)
在( D1 D2 ) D3 : f3 ( z) f ( z) F ( z )
i ( k 1) i k (1 ) ( z ) ( D2 : z i 1 i 5 ) 2 2 2 2 2 k 0
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i f1( k ) ( ) 2 ( z i )k k! 2
f1 ( z) f 2 ( z) f1 ( z) ( z D1 ) 和f 2 ( z)（z D2 ） 在 D1 D2 ： 互为解析延拓， 或者f1 ( z ) 已解析延拓为 f1 ( z ) ( z D1 ) f ( z) ( D1 D2 ) f 2 ( z ) ( z D2 ) 再在 ( D1 D2 ) 中取如z=i，则