学案数学第一章 1、1 集合

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人教B版数学高一版必修1学案集合的概念

数学人教B必修1第一章1.1.1 集合的概念1．了解集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系．2．理解集合中元素的特性，重点理解其确定性与互异性．3．熟悉常用数集的符号，尤其要注意空集的含义及表示．1．集合的有关概念一般地，把一些能够____的____的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的____(或____)，常用英语大写字母A，B，C，…表示．构成集合的每个对象叫做这个集合的____(或____)，常用英语小写字母a，b，c，…表示．集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的．【做一做1】下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2011级新本科生D．2011年11月第十九届APEC(亚太经合组织)会议将在夏威夷檀香山举行，所有APEC 的成员国2．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果____________，就说a属于A____a属于A不属于如果____________，就说a不属于A____a不属于A 元素与集合的联系与区别如下表：【做一做2】已知集合M只含有两个元素2 011a，2 013－a，且2 011∈M，求a的值．3．集合中元素的性质特征(1)______，(2)______，(3)______．在处理集合中有关元素的问题时，求得其中元素(或字母)的值以后，要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用，要进行代入检验，舍去不符合要求的值．【做一做3－1】若a，a，b，b，a2，b2构成集合M，则M中的元素最多有() A．6个B．5个C．4个D．3个【做一做3－2】方程x2－2x＋1＝0的解集中有__________个元素．4．集合的分类【做一做4】指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011＜x＜2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．5．常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________ 【做一做5】下列关系表示正确的是()A．0∈N＋B．π∉R C．1∉Q D．0∈Z一、集合中元素的特性剖析：确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准．互异性：一个给定集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素，这一点很容易被大家忽视，在解题中要切记这一性质．无序性：集合中的元素没有顺序，在表示集合时先写哪个元素都可以．二、特殊集合——空集剖析：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.空集是一个实实在在的集合，只不过此集合中无任何元素，故称之为空集．如“方程x2＋2＝0的实数根”组成的集合，因为没有适合该集合的元素，故它是空集．要谨防①0＝{0}，②{0}＝，③{}＝的错误，实际上，①0是集合{0}的一个元素，可记为0∈{0}；②表示空集，而{0}表示含一个元素0的集合；③{}表示含有一个元素的集合．三、教材中的“思考与讨论”1．你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由．剖析：不能构成集合．原因是对高个子同学高的程度没有确定的标准，所以无法判定哪些同学符合要求，因此不能构成集合．2．你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？剖析：能构成集合．因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可)，将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合．题型一集合中元素的确定性【例1】下列各组对象能构成集合吗？(1)你所在班级的男生；(2)参加2010年广州亚运会的高大运动员；(3)关于x 的方程ax 2＋1＝0的实数解；(4)从1988年到2012年举办奥运会的城市；(5)所有小的正数；(6)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．分析：“高大”和“小”没有确定的标准，因此(2)(5)的对象不能构成集合，(3)中的方程可能有实数解，也可能没有实数解，当a 给定后，其方程解的情况就是确定的．反思：看一组对象能否构成一个集合，只要看这组对象是否是确定的，即任何一个对象，要么在这一组对象中，要么不在这组对象之中，而没有第三种情况出现．题型二集合中元素的互异性【例2】由元素3，x ，x 2－2x 构成集合M ，则x 应满足的条件是__________．反思：互异性是集合中元素的重要性质，在解决集合中有关元素的问题时，一定要注意利用互异性进行验证．题型三元素与集合的关系【例3】已知集合P 中有三个元素a －3,2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值．分析：利用－3是集合P 中的元素，可列方程求a 的值，最后需验证集合中元素的互异性．反思：在根据元素与集合的关系解题时，一定要注意最后代入检验，看是否符合题意及元素的互异性等性质．1下列各组对象，能构成集合的是( )A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点B ．平面内两边之和小于第三边的三角形C ．新华书店中有意义的小说D ．π(π＝3.141…)的近似值的全体2由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．23集合A 是由点(2 011,2 012)和点(2 012,2 011)构成的，则A 中有__________个元素． 4设L (A ，B )表示直线AB 上所有点组成的集合，“P 是直线AB 上的一个点”这句话就可以简单地写成P __________L (A ，B )．5判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x －2)2＝0的解组成的集合有3个元素．答案：基础知识·梳理1．确定不同集合集元素成员【做一做1】A 因为选项B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能构成集合．2．a 是集合A 的元素 a ∈A a 不是集合A 的元素 a ∉A【做一做2】解：∵2 011∈M ，∴2 011a ＝2 011或2 013－a ＝2 011.解得a ＝1或a ＝2.∴a 的值为1或2.3．(1)确定性 (2)互异性 (3)无序性【做一做3－1】C 由集合元素的互异性，知集合M 中的元素最多为a ，b ，a 2，b 2，且4个元素互不相等．【做一做3－2】14．有限集无限集【做一做4】解：(1)满足2 011＜x ＜2 013的整数仅有2 012一个，故此集合是有限集．(2)无限集．5．N N ＋或N * Z Q R【做一做5】D典型例题·领悟【例1】解：(1)(3)(4)(6)可以构成集合；(2)(5)不能构成集合．【例2】x ≠3且x ≠0且x ≠－1 由集合中元素的互异性可得出3，x ，x 2－2x 互不相等，由此可求出x 应满足的条件．即由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠3，x 2－2x ≠3，x 2－2x ≠x ，解得x ≠3且x ≠0且x ≠－1.【例3】解：∵－3∈P ，a 2＋4≥4，∴a －3＝－3或2a －1＝－3，解得a ＝0或a ＝－1.经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1,4，满足集合中元素的互异性；a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3,5，也满足集合中元素的互异性．综上，a 的值为0或－1.随堂练习·巩固1．B 选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为，故能构成集合．2．C 代入验证如下：当a ＝1时，a 2＝2－a ；当a ＝－2时，a 2＝2－a ＝4；当a ＝2时，a 2＝4，所以1，－2,2均不能满足集合A 中元素的互异性，而a ＝6时，a 2＝36,2－a ＝－4，故选C.3．2 因为点的坐标是有顺序性的，所以集合A 中有2个点，即A 中有2个元素．4．∈5．解：(1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，而32与64相同，⎪⎪⎪⎪－12与12相同，故此集合是由3个元素组成的集合． (2)不正确．方程(x －3)(x －2)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此此集合只有3和2两个元素．。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案

1.1 集合1．1.1集合及其表示方法课程标准(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．(3)在具体情境中，了解空集的含义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．知识点二元素与集合的表示及关系1．元素与集合的符号表示表示{元素：通常用英文小写字母________表示．集合：通常用英文大写字母________表示．2．元素与集合的关系1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．集合中元素的特征5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的5个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素是无序的．(5)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．知识点四区间及其表示1．区间的几何表示R____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示状元随笔(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．基础自测1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )A．0B．1C．－1D．0或1或－14．用区间表示下列集合：≤x＜5}＝________；(1){x|−12(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；③2019年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数题型2 元素与集合的关系[经典例题]例2 (1)下列关系中，正确的有( )①1∈R；②√2∉Q；③|－3|∈N；④|－√3|∈Q.2A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0B．1C．2D．3a分类处理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4.还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )A.0∉NB．√2∈QC．π∉RD．√4∈ZN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．(2)集合A中的元素x满足63−x题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]例3 用列举法表示下列集合：找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．方法归纳1．用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．跟踪训练3 用列举法表示下列集合： (1)方程组{2x −3y =14，3x +2y =8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合．题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .状元随笔描述法注意元素的共同特征．(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )A．d∈M B．d∈NC．d∈P D．d∈M且d∈N(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．方法归纳1．描述法表示集合的两个步骤2．用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x ∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．教材反思列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练4 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．(3)不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．题型5 用区间表示集合[数学运算、直观想象] 例5 用区间表示下列集合：(1)3x －4<0的所有解组成的集合A ＝________； (2)2x ＋6≥0的所有解组成的集合B ＝________．方法归纳方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．跟踪训练5 用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5；(2)－3<x ≤4；(3)2≤x <5； (4)x ≤4；(5)x >－3；(6)x ≥－4.易错点忽略集合中元素的互异性出错例含有三个元素的集合{a ，ba ，1}，也可表示为集合{a 2，a ＋b ，0}，求a ，b 的值．【错解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba +1=a 2+(a +b )+0，a ·ba ·1=a 2·(a +b )·0，解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.【正解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba+1=a 2+(a +b )+0，a ·b a·1=a 2·(a +b )·0，解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法新知初探·自主学习[教材要点]知识点二1．a，b，c，…A，B，C，…2．a∈A a∉A知识点三1．一一列举列举法知识点四2．(－∞，＋∞)[基础自测]1．解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.故选B.答案：B3．解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.答案：C≤x<5} 4．解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12＝[−1，5).2(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案：(1)[−1，5)(2)(－∞，1)∪(2，3]2课堂探究·素养提升例1 【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】 D跟踪训练1 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C.答案：C例2 【解析】 (1)12是实数，√2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－√3|＝√3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0，4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1，3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)C跟踪训练2 解析：(1)A.N 为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.√2是无理数，Q 是有理数集合，√2∉Q ，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R ，故本选项错误；D.√4＝2，2是正整数，则√4∈Z ，故本选项正确．故选D.(2)由63−x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63−x >0，且x ≠3，故0≤xx ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63−0＝2∈N ，当x ＝1时，63−1＝3∈N ，当x ＝2时，63−2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2.答案：(1)D (2)0，1，2例3 【解析】 (1)因为0和1是方程x (x －1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A ＝{0，1}．(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．(4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为(12，0)，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为{(0，−1)，(12，0)}.跟踪训练3 解析：(1)解方程组{2x −3y =14，3x +2y =8，得{x =4，y =−2，故解集可用描述法表示为{(x ，y)|{x =4，y =−2}，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．例4 【解析】 (1)因为集合B 的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B ＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．(2)由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2.令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选B.【解析】(3)当m ＝0时，方程mx 2＋2x ＋m ＝0为2x ＝0，解得x ＝0，A ＝{0}；当m ≠0时，若集合A 只有一个元素，则一元二次方程mx 2＋2x ＋m ＝0有两个相等实根，所以判别式Δ＝22－4m 2＝0，解得m ＝±1；综上，当m ＝0或m ＝±1时，集合A 只有一个元素．所以m 的值组成的集合是{－1，0，1}．【答案】 (1)见解析 (2)B (3){－1，0，1}跟踪训练4 解析：(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．(2){(x ，y)|−1≤x ≤32，−12≤y ≤1，且xy ≥0}. (3)由{3x −2≥1，2x −1<5，得{x ≥1，x <3，所以不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集为[1，3)． (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．例5 【解析】 (1)因为3x －4<0，所以3x <4，即x <43，所以A ＝{x|x <43}，用区间表示为：A ＝(−∞，43).(2)因为2x ＋6≥0，所以2x ≥－6，即x ≥－3，所以B ＝{x |x ≥－3}，用区间表示为：B＝[－3，＋∞)．)(2)[－3，＋∞) 【答案】(1)(−∞，43跟踪训练5 答案：(1)(－2，5)．(2)(－3，4].(3)[2，5)．(4)(－∞，4].(5)(－3，＋∞)．(6)[－4，＋∞)．。

2020学年高中数学第1章集合1.1集合的含义及其表示学案苏教版必修1

1．1 集合的含义及其表示1.结合实例，了解集合的含义，元素与集合的关系．2.理解集合元素的特征．3．掌握集合的表示方法．1．集合(1)定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．(2)记法：通常用大写拉丁字母表示．(3)常用数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R(1)定义：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)记法：通常用小写拉丁字母表示．(3)特性：确定性、互异性、无序性．3．元素与集合的关系关系定义记法读法属于a是集合A的元素a∈A a属于A不属于a不是集合A的元素a∉A或a A a不属于A4.表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，a n，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等．6．集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}答案：B3．方程x2－1＝0的解与方程x＋1＝0的解组成的集合中共有________个元素．答案：24．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝________，b＝________．答案：4 －1集合的概念[学生用书P2]判断下列各组对象能否组成一个集合．(1)新华中学高一年级全体学生；(2)我国的大河流；(3)不大于3的所有自然数；(4)在平面直角坐标系中，到原点距离等于1的点．【解】(1)能，所指的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标准；(3)能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是到原点的距离等于1，故能组成一个集合.判断一组对象组成集合的依据判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可能组成集合；否则，就不能组成集合．1.判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)不超过20的非负数；(3)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(4)直角坐标平面内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)任给一个实数x ，可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(3)类似于(2)，也能构成集合．(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．元素与集合的关系[学生用书P2](1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，所以若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 只含有1个元素，不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断一个元素是否属于某一个集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件．若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系．特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系．2.(1)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2(2)用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有 17________A ；－5________A . 解析：(1)因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2.(2)由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17，则k ＝5∈Z .所以17∈A .令3k ＋2＝－5，则k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：(1)D (2)∈ ∉集合中元素的特性[学生用书P3]已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．【解析】若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】－1若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2，所以a ≠a 2，即a ≠0且a ≠1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤3.(1)若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形(2)若集合A 中有三个元素x ，x ＋1，1，集合B 中也有三个元素x ，x ＋x 2，x 2，且A ＝B ，求实数x 的值．解：(1)选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.(2)因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不满足集合元素的互异性，而x ＝－1满足，所以x ＝－1.集合中元素的表示[学生用书P3]用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【解】 (1)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.故可用列举法表示为{3，5，7，11}．(2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x ，y )|x <0且y >0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，是实数，故可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}．用描述法表示集合时，要认清代表元素的含义，弄清集合的属性，区分是数集、点集还是其他类型的集合．4.设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1，2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B . 解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N .所以1∈B ，2∉B .(2)因为62＋x ∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2，3，6.所以x 只能取0，1，4.所以B ＝{0，1，4}．1．集合含义中的“研究对象”的理解集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．集合中元素的三个特性(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．3．对符号“∈”与“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．列举法表示集合时应注意的四点(1)集合中的元素可以是任何对象，如数、点、式子或其他的类型等．(2)元素之间没有顺序，但不能重复，也不能遗漏．(3)“{ }”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思，因此在花括号内表示内容时，应把“所有”“全体”或“全部”等词语删去．(4)用列举法表示有特殊规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．5．描述法表示集合时应注意的三点(1)写清集合中的代表元素，可以是数、点、式子或其他类型．(2)说明该集合中元素具有的性质，如满足方程(组)、不等式(组)、函数或几何图形等．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．下列各组中M，P表示同一集合的序号是________．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}；③M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{x|x＝t2－1，t∈R}；④M＝{y|y＝x－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}．[解析] ①中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；②中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；④中，M是一次函数y＝x－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是一次函数y＝x－1，x∈R图象上所有点组成的集合．[答案] ③(1)本题易误选①或②，其原因是未理解清楚集合中元素代表什么，只注意形式基本相同，从而导致错误．(2)解答此类问题，要明确集合中的代表元素是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式．1．下列各组对象能构成集合的是( )A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B．大于－5且小于5的有理数C．新华书店中有意义的小说D．π(π＝3.141…)的近似值的全体解析：选B.A、C、D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而B具有确定的标准，即“大于－5且小于5的有理数”．故能构成集合．2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：选 D.偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．解析：由题意知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.答案：34．已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：Δ＝4－4a<0得a>1.答案：a>1[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( )A．2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目B ．某学校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2018年全国经济百强县解析：选D.由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数，(4)正确．故选B.3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D.因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D. 4．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B.因为集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，所以M 中的元素有：5，6，7，8，共4个．故选B.5．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( ) A ．M 是有限集，N 是有限集 B ．M 是有限集，N 是无限集 C ．M 是无限集，N 是无限集 D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B.因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2，2)，(5，0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．若集合{1，a ，b }与{－1，－b ，1}是同一个集合，则a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.当a ＝1，b ＝－1时，集合中有重复元素应舍去．故a ＝－1，b ＝0. 答案：－1，07．下列说法中①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2.即元素的个数为3. 答案：39．判断下列对象能否构成一个集合．如果能，请采用适当的方法表示该集合；如果不能，请说明理由．(1)小于5的整数；(2)高一年级体重超过75 kg 的同学； (3)方程x ＋y ＝3的非负整数解； (4)与π非常接近的有理数．解：(1)能．{x |x <5，x ∈Z }．(2)能．{高一年级体重超过75 kg 的同学}． (3)能．{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}．(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确，不符合集合元素确定性的特点． 10．用适当的方法表示下列集合．(1)由x ＝2n ，0≤n ≤2且n ∈N 组成的集合； (2)抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．解：(1)列举法：{0，2，4}；或描述法{x |x ＝2n ，0≤n ≤2且n ∈N }． (2)列举法：{(0，0)，(2，0)}． (3)描述法：{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．[B 能力提升]1．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，则集合A 用列举法表示为________．解析：因为126－x∈N ，x ∈N ，所以6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.所以集合A ＝{0，2，3，4，5}．答案：{0，2，3，4，5}3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }，a 为实数． (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)若A 是空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a <0，所以a >1. (2)若A 是单元素集，则①当a ＝0时，此时A ＝{x |2x ＋1＝0，x ∈R }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12；②当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a ＝0，即a ＝1，此时A ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}．所以综合①②得a ＝0或a ＝1.(3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集或单元素集，所以a ＝0或a ≥1. 4．(选做题)设S 是由满足下列条件中的实数所构成的集合： ①1∉S ；②若a ∈S ，则11－a ∈S .请回答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1a∈S ；(3)在集合S 中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由．解：(1)因为2∈S ，2≠1，所以11－2＝－1∈S .因为－1∈S ，－1≠1，所以11－（－1）＝12∈S .因为12∈S ，12≠1，所以11－12＝2∈S . 所以集合S 中有另外两个数为－1和12. (2)证明：因为a ∈S ，所以11－a∈S ，所以11－11－a ∈S ，即11－11－a＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S (a ≠0)．若a ＝0，则11－a＝1∈S ，不合题意．所以若a ∈S ，则1－1a∈S . (3)集合S 中的元素不能只有一个．证明如下：假设集合S 中只有一个元素，则根据题意知a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0.因为Δ＝1－4<0，所以此方程无实数解，所以a ≠11－a. 所以集合S 中不能只有一个元素．。

新课标人教A版高中数学必修一第一章第一节《集合》学案

课题集合年级高一授课对象编写人胥勋彪时间2018.2.3 学习重点、难点集合的基本运算、集合的基本关系上课内容：集合的含义及其表示、基本关系、基本运算知识点总结1、集合的含义（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

（2）表示方法：集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，元素用小写拉丁字母a，b，c…表示。

（3）元素与集合的关系：（元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种）若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

（4）常用的数集及其记法N：非负整数集（自然数集），包括0 N*或N+：正整数集Z：整数集Q：有理数集R：全体实数的集合2、集合元素的三个特征：（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的。

（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的。

（3）无序性：集合中的元素是没有先后顺序的。

3.一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作： ()A BB A ⊆⊇或读作：A 包含于B(或B 包含A).4.集合相等：如果集合A 是集合B 的子集(A B ⊆)，且集合B 是集合A 的子集(B A ⊆)，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作.A B =即,A B B A A B ⊆⊆⇔=且.5.真子集如果集合B A ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，即如果A B ⊆且A B ≠，那么集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A). 6.空集∅我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 7.并集⋃一般的，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：B A ⋃（读作：A 并B ）8.交集⋂一般的，由属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的交集。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案含解析第一册

1．1 集合1．1。

1集合及其表示方法内容标准学科素养1。

通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。

授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。

知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。

2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。

3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合D×“著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。

高中新课程导学学案

高中新课程导学学案·数学（必修1）·第一章·集合与函数§第一章集合与函数§1.1集合§1.1.1集合的含义与表示（第一课时）【课标定向】学习目标通过实例了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系.；了解集合中元素的三个特性. 提示与建议结合实例，结合实例，通过思考、研究集合中元素的特通过思考、研究集合中元素的特征把握集合的特点，体会元素与集合的关系. 【互动探究】自主探究1.一般地，我们把研究对象统称为_____,把一些元素组成的总体叫做_____(简称为___). 2.给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么_______________. 3.一个给定集合中元素是互不相同的,也就是说,____________________. 4.只要构成两个集合的元素是_________的,我们就称这两个集合是相等的. 5.如果a 是集合A 的元素,可以记作______. 6.全体非负整数组成的集合记作( ) A. ZB. RC. ND. Q 剖析探法★讲解点一集合的概念集合中的元素具有以下特征：（1）确定性：作为集合的元素，必须是确定的定的..对于集合A 的元素a ，要么A a Î，要么A a Ï，二者必居其一.如:所有“大于200的数”组成一个集合,而“较大的数”就不能构成一个集合,因为它的元素是不确定的,怎样的数才算较大没有明确的定义. (2)(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，互异性：集合中的元素必须是互异的，也就是说，也就是说，在给定的集合中，任何两个元素在给定的集合中，任何两个元素都是不相同的都是不相同的. . (3)(3)无序性无序性无序性::集合中元素的排列与次序无关集合中元素的排列与次序无关,,如1,2和2,1构成的集合相同构成的集合相同. .例题1下列各组对象下列各组对象: : (1)(1)接近于接近于0的数的全体的数的全体; ;(2)(2)比较小的正整数的全体比较小的正整数的全体比较小的正整数的全体; ; (3)(3)平面上到点平面上到点0的距离等于1的点的全体的点的全体; ; (4)(4)正三角形的全体正三角形的全体正三角形的全体; ; (5)2的近似值的全体的近似值的全体. .其中能构成集合的组数是其中能构成集合的组数是( ) ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【思维切入】判断所给对象能否构成集合的依据就是集合元素的三个特征依据就是集合元素的三个特征..满足集合元素的特征就能构成集合素的特征就能构成集合,,如不满足就不能构成集合成集合. .【解析】(1)(2)(5)(1)(2)(5)不满足集合元素的特征不满足集合元素的特征不满足集合元素的特征,,不能构成集合不能构成集合;(3)(4);(3)(4);(3)(4)构成集合构成集合构成集合,,故选A. 【规律技巧总结】判断一组对象是否构成集合关键就是看所给对象是否满足集合中元素的特征.例题2已知A={m,2m ,1},,1},求求m 的取值范围的取值范围. . 【思维切入】既然m,2m ,1是集合三个元素,这三个元素就互不相同这三个元素就互不相同. .【解析】因为m,2m ,1是所给集合的元素是所给集合的元素,,所以ïîïíì¹¹¹m m m m 2211,11101m m m m m ¹ìï¹¹-íï¹¹î且且所以0¹m 且1m ¹±. 【规律技巧总结】解答本类问题,只要保证所给元素满足集合元素的互异性即可，若求集合中参数取值问题，必须进行检验。

集合的含义及其表示1学案(人教A版必修1)

第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．4．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2.其中正确的命题有________个．集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题 1．由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．3．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则M 中元素的个数为________． 6．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中含有________个元素．7．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形．二、解答题8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .9．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？10．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2.其中正确的命题有________个．答案 2解析因为集合N 中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误．故正确的命题有2个．集合中元素的特性【例2】已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .分析考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6－22是不是集合A 中的元素．分析解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A 中的元素．解因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ，即12－3∈A .1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案 ①④⑤2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．答案 03．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________．答案 3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，－4.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有________个元素．答案 17．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形．答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．二、解答题8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解当3 x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册

1.1。

3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。

问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误![拓展](1)对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。

这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。

（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。

高一数学苏教版必修1教学案：第1章1集合的含义及其表示

江苏省泰兴中学高一数学教学案(6)必修1_01 集合(1) 集合的含义及其表示班级姓名目的要求：（1）使学生掌握集合的概念；（2）理解集合与元素的属于关系；（3）熟悉常用的数集及其符号表示．重点难点：重点：理解集合的含义；难点：集合的表示法．教学过程：一、问题情境：1．请仿照课本叙述，向全班同学介绍一下你的家庭、原来读书的的学校、现在的班级等情况．2.请分析：像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征？二、建构数学：1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(set)．集合中的每一个对象称为该集合的元素(element)，简称元．2．数学研究对象与集合的关系：如果a是集合A的元素，就记作_______；读作“___________”；如果a不是集合A的元素，就记作__ _或__ _读作“______”. 3．集合的基本特征：（1）确定性.设A是一个给定的集合，a是某一研究对象，则a是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.4. 常用的数集及其记法：一般地，自然数集记作_______,正整数集记作________或________ 整数集记作_____ ,有理数记作_______,实数集记作________5.集合的表示方法：（1）列举法：将集合的元素______出来，并______________表示集合的方法叫列举法.元素之间要用__________分隔，但列举时与_________________无关.（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成_________的形式,称之为描述法.注：{()}x p x 中x 为集合的代表元素，()p x 指元素x 具有的性质.（3）图示法（Venn 图）：用平面上封闭曲线的内部示意集合.6. 集合的分类：有限集与无限集及空集空集：7.集合相等：如果两个集合,A B 所含的元素_______，则称这两个集合相等，记为：____三、数学运用：例1、求不等式235x ->的解集．例2、用符号∈或∉填空：（1） 1 {}1，（2）a {}1,1,-+a a a ，（3）0____N ，（4，（5）π____Q ，（61 1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. 例3、用适当的方法表示下列集合：（1）{小于12的质数} （2）方程0136422=++-+y x y x 的解集（3）正偶数集（4）坐标平面内第一、三象限角平分线上的点集例4、试分析下列集合的含义：（1）{}{}2211|10,|10A x x x B y y =++==+<；（2）{}2223|1,|4A y y x x B y y ⎧⎫==++=≥⎨⎬⎩⎭；（3）{}23(,)|1A x y y x x ==++，{}23(,)|1,11B x y y x x x ==++-≤≤（4）{}24|10A a x ax =++=方程无实数根例5、若{}220152015,,1,,0,ab a a a b b a ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭求的值.四、课堂练习1、用适当的方法表示下列集合：（1）{a | 0≤a<5,a ∈N};（2）{(x,y )|0≤x ≤2, 0≤y <2,x,y ∈Z};（3）“mathematics ”中字母构成的集合．2、已知集合{}22,2512A a a a =-++，且3A -∈，则a =五、课堂小结六、教学反思江苏省泰兴中学高一数学作业(6)班级姓名得分1、用列举法表示集合{}|15x x 为的正约数为．2、若{}2|0A x x x =-=，则1- A （用“∈”或“∉”填空）.3、已知集合A ={a －3，2a －1, 21a -},若－3是集合A 的一个元素，则a 的取值是________．4、若A {}23<<-∈=x N x ，在A 中所有元素之和是________．5、已知{}x x x A +=2,,2，若A ∈6，则实数x =________．6、化简集合{}y x y x y x 232,1),(-==+且=________7、已知集合{}R a x ax x A ∈=++=,022,若A 中元素至多只有1个，则实数a 的取值范围是________．8、按要求表示下列集合：（1）用列举法表示{ (y x ,) |052=-+y x ,x ∈N,y ∈N};（2）用描述法表示{ 1 ，3，5，7，9}．9、用适当的方法表示下列集合．（1）方程(2x －1)(x +2)(2x +1)=0的解集；（2）不等式－3x +2<－4的解集；（3）第二、四象限内点的集合．10、已知两个元素的集合M={－2，24x x +-}，若x ∈M,求由满足条件的实数x 组成的集合．11、已知集合A ={}{}y x B y x xy x ,,0,,,=-且A =B ，求x 与y 的值．。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集学案含解析第一册

第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。

通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？1．全集(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．（2）记法：全集通常记作U ．思考1:全集一定是实数集R吗？[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．2．补集文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}图形语言3.补集的运算性质条件给定全集U及其任意一个子集A结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A思考2:∁U A，A,U三者之间有什么关系？［提示](1）∁U A表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁U A⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁R A）。

(2)求∁U A的前提条件为集合A是全集U的子集．(3）若x∈U，则x∈A,x∈∁U A必居其一．[拓展]补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×"）(1）∁U U＝，∁U＝U。

人教版高中数学必修①教案-学案

人教版高中数学必修①教案-学案第一章：集合与函数的概念1.1 集合的概念学习集合的定义、集合的元素、集合的表示方法。

理解集合的性质，如确定性、互异性、无序性。

学习集合间的运算，包括并集、交集、补集。

1.2 函数的概念学习函数的定义，理解函数的输入输出关系。

学习函数的表示方法，包括解析式、表格、图像。

理解函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性。

第二章：实数与不等式2.1 实数的概念学习实数的定义，理解实数的分类，包括有理数和无理数。

学习实数的运算，包括加法、减法、乘法、除法。

学习实数的性质，如相反数、绝对值、有理数和无理数的性质。

2.2 不等式的概念学习不等式的定义，理解不等式的符号，如大于、小于、大于等于、小于等于。

学习不等式的运算，包括加减乘除不等式、同向不等式相加、相反向不等式相减。

学习不等式的性质，如不等式的传递性、同向不等式的相加性、相反向不等式的相减性。

第三章：指数函数与对数函数3.1 指数函数的概念学习指数函数的定义，理解指数函数的图像和性质。

学习指数函数的运算法则，包括指数的乘法、除法、乘方。

学习指数函数的应用，如计算幂、求指数方程的解。

3.2 对数函数的概念学习对数函数的定义，理解对数函数的图像和性质。

学习对数函数的运算法则，包括对数的换底公式、对数的乘法、除法。

学习对数函数的应用，如计算对数、求对数方程的解。

第四章：三角函数4.1 三角函数的概念学习三角函数的定义，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质。

学习三角函数的周期性，理解周期函数的周期性。

学习三角函数的变换，如相位变换、振幅变换。

4.2 三角函数的运用学习三角函数的和差公式，理解正弦函数、余弦函数的和差公式。

学习三角函数的倍角公式，理解正弦函数、余弦函数的倍角公式。

学习三角函数的解三角形，理解正弦定理、余弦定理。

第五章：数列5.1 数列的概念学习数列的定义，理解数列的项、数列的项数、数列的表示方法。

学习数列的性质，如等差数列、等比数列的定义和性质。

人教B版2019高中数学必修一学案：1.1.1 集合的概念_含答案

1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念[学习目标] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的两个特性.3.记住常用数集的表示符号并会应用.[知识链接]1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.2.在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.3.解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数合在一起称为这个不等式的解集.4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.[预习导引]1.元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.(3)集合元素的特性：确定性、互异性.2.元素与集合的关系(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合.②无限集：含有无限个元素的集合.4.常用数集的表示符号要点一集合的基本概念例1下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体.解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合.规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪演练1下列所给的对象能构成集合的是________.(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生.答案(1)(4)解析要点二元素与集合的关系例2 所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N *；④|－3|∉N *.A.1B.2C.3D.4 答案 B解析－12是实数，2是无理数，∴①②正确.N *表示正整数集，∴③和④不正确.规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立.2.符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.3.“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合.跟踪演练2 设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M答案 B解析本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x ＜0的解即可，当x ＝0时，3－2x ＝3＞0，所以0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1＜0，所以2∈M . 要点三集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值. 解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合B 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合B 含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.规律方法 1.由于集合B 含有两个元素，－3∈B ，本题以－3是否等于a －3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准. 跟踪演练3 已知集合A ＝{a ＋1，a 2－1}，若0∈A ，则实数a 的值为________. 答案 1解析 ∵0∈A ，∴0＝a ＋1或0＝a 2－1.当0＝a ＋1时，a ＝－1，此时a 2－1＝0，A 中元素重复，不符合题意. 当a 2－1＝0时，a ＝±1. a ＝－1(舍)，∴a ＝1.此时，A ＝{2,0}，符合题意.1.下列能构成集合的是( ) A.中央电视台著名节目主持人 B.我市跑得快的汽车 C.上海市所有的中学生 D.香港的高楼答案 C解析 A 、B 、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合. 2.集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( ) A.0∈A B.a ∉A C.a ∈A D.a ＝A答案 C解析由题意知A 中只有一个元素a ，∴a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，因为0是否属于A 不确定，故选C.3.设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A ；广州________A (填∈或∉).答案 ∉ ∈解析深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.4.已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________.答案 3解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的. 5.已知1∈{a 2，a }，则a ＝________. 答案－1解析当a 2＝1时，a ＝±1，但a ＝1时，a 2＝a ，由元素的互异性知a ＝－1.1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.2.集合中的元素是确定的，某一元素a 要么满足a ∈A ，要么满足a ∉A ，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.3.集合中元素的两种特性：确定性、互异性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.。

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案新人教B版必修第一册

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案新人教B版必修第一册新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案新人教B 版必修第一册(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集．教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念．教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【情境导学】(教师独具内容)一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是他请教一位数学家：“先生，您能告诉我，集合是什么吗？”由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚．直到有一天，数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！”你能理解这位数学家的话吗？【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素．(3)表示：通常用英文大写字母A ，B ，C ，…表示集合，用英文小写字母a ，b ，c ，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系(1)“属于”：如果a 是集合A 的元素，就记作□01a ∈A ，读作“a 属于A ”．(2)“不属于”：如果a 不是集合A 的元素，就记作□02a ?A ，读作“a 不属于A ”．知识点三空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为□01空集(empty set)，记作□02?. 知识点四集合中元素的三个特性 (1)确定性； (2)互异性；(3)无序性．知识点五集合的分类(1)有限集；(2)无限集．知识点六几个常用数集的固定字母表示知识点七集合的表示方法03描述法、□04“区间”(以及后面将集合常见的表示方法有：□01自然语言、□02列举法、□要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法)．(1)列举法：把集合中的元素□05一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个□06特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．知识点八区间01(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负实数集R可以用区间表示为□无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x< bdsfid="137" p=""></b的实数x<> 02[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．的集合分别表示为□可以看出，区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.【新知拓展】1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．( )(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a?A，二者必居其一且只居其一．( )(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.( )(4)对于区间[2a，a＋1]，必有a<0.( )(5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．( )答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是( )A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花(2)用适当的符号(∈，?)填空．0________?，0________{0},0________N，－2________N *，13________Z ，2________Q ，π________R .(3)不等式2x －1≥3的解集可以用区间表示为________．答案 (1)A (2)? ∈ ∈ ? ? ? ∈ (3)[2，＋∞)题型一集合概念的理解例1 下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数全体；④某校高一年级的全体女生；⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；⑥参加2019年世乒赛的年轻运动员；⑦a ，b ，a ，c .[解析] ①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等．②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．③不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合．④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”．⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”．⑥不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．⑦不能构成集合．因为两个a 是重复的，不符合集合元素的互异性． [答案] ①④⑤ 金版点睛判断一组对象能否构成集合的方法(1)关键：看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是给定集合的元素．(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[跟踪训练1] 判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合．解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故正确．(2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误． (3)中由于0.5＝12，不符合集合中元素的互异性，故错误．(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确. 题型二元素与集合关系的判断与应用例2 (1)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3?Q ；③0∈N *；④|－4|?N *. A ．1B ．2C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足66－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)∵π是实数，3是无理数，∴①②正确；∵N *表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．(2)∵66－x∈N ，x ∈N ，∴66－x ≥0，x ≥0，即?6－x >0，x ≥0，∴0≤x <6，∴x ＝0,1,2,3,4,5. 当x 分别为0,3,4,5时，66－x相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5. [答案] (1)B (2)0,3,4,5 金版点睛1.常用数集之间的关系2.确定集合中元素的三个注意点1判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性. 2集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性. 3 若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.[跟踪训练2] (1)用符号“∈”或“?”填空．①0________N *；②1________N ；③1.5________Z ；④22________Q ；⑤4＋5________R ；⑥若x 2＋1＝0，则x ________R . (2)设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . ①求实数x 应满足的条件；②若－2∈A ，求实数x 的值．答案(1)①? ②∈ ③? ④? ⑤∈ ⑥? (2)见解析解析(1)①∵0不是正整数，∴0?N *. ②∵1是自然数，∴1∈N .③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5?Z . ④∵22是无理数，∴22?Q .⑤∵4＋5是无理数，无理数是实数，∴4＋5∈R . ⑥∵满足x 2＋1＝0的实数不存在，∴x 为非实数，∴x ?R .(2)①根据集合元素的互异性，可知x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3，即x ≠0，且x ≠3且x ≠－1.②∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，且－2∈A ，∴x ＝－2. 题型三集合中元素的特性例3 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值；(2)若x 2∈B ，求实数x 的值．[解] (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求．得a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. 金版点睛利用集合元素互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(也是本讲易错问题)(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[跟踪训练3] 已知集合A 包含三个元素：a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，求a 的值．解因为A 包含三个元素a －2,2a 2 ＋5a,12，且－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，解得a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，A 中三个元素为：－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．当a ＝－32时，A 中三个元素为：－72，－3,12，满足题意．故a ＝－32.题型四集合的分类例4 下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集． (1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数；(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点；(4)在实数范围内方程(x 2－1)(x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(5)在实数范围内方程组?x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1的解构成的集合．[解] (1)能构成集合，是无限集．(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集．(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集．(4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集． (5)由x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1无解，能构成集合，是空集．金版点睛集合的分类方法判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数．[跟踪训练4] 指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集、无限集，还是空集．(1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数．解 (1)中对象能组成集合，它是一个有限集；(2)中对象能组成集合，它是一个无限集；(3)中对象能组成集合，它是一个无限集；(4)中对象能组成集合，它是一个无限集；(5)中对象能组成集合，它是一个空集；(6)中对象能组成集合，它是一个有限集.题型五用列举法表示集合例5 用列举法表示下列集合：(1)方程x 2－4x ＋2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的质数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－4x ＋2＝0的实数根为2，故其实数根组成的集合为{2}．(2)不大于10的质数有2,3,5,7，故不大于10的质数集为{2,3,5,7}．(3)由?y ＝x ，y ＝2x －1，解得?x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．金版点睛用列举法表示集合应注意的三点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复．(3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．[跟踪训练5] 用列举法表示下列集合：(1)不等式组?2x －6>0，1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合；(2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合．解 (1)由?2x －6>0，1＋2x ≥3x －5得3<="">又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}．(2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，则：①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |②当a <0，b <0时，|a |a＋|b |b＝－2；③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有值组成的集合为{－2,0,2}. 题型六用描述法表示集合例6 用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被3除余1的整数的集合； (3)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合．[解] (1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }．(2)因为被3除余1的整数可表示为3n ＋1，n ∈Z ，所以所有被3除余1的整数的集合为{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }．(3)要使y ＝1x 2＋x －6有意义，则x 2＋x －6≠0.由x 2＋x －6＝0，得x 1＝2，x 2＝－3. 所以使y ＝1x 2有意义的实数x 的集合为{x |x ≠2且x ≠－3，x ∈R }．金版点睛用描述法表示集合的注意点(1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．[跟踪训练6] 试用描述法表示下列集合：(1)方程x 2－x －2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解 (1)方程x 2－x －2＝0的解可以用x 表示，它满足的条件是x 2－x －2＝0，因此，方程的解集用描述法表示为{x ∈R |x 2－x －2＝0}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x 表示，它满足的条件是x ∈Z ，且－1<7，<="" bdsfid="371" p=""> 因此，该集合用描述法表示为{x ∈Z |－1<="" 题型七="">例7 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .[解] ①当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0，∴x ＝2，此时A ＝{2}，符合题意．②当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根．即Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1，从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．[条件探究] 把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合．解由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等的实根．∴?k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1且k ≠0.∴k 的取值范围的集合为{k |k ＜1且k ≠0}．金版点睛分类讨论思想在集合中的应用(1)①本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．②由kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0两种情况，注意做到不重不漏．(2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点．[跟踪训练7] (1)设集合B ＝?x ∈N62＋x∈N .①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .(2)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．解(1)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N .当x ＝2时，62＋2＝32?N .所以1∈B,2?B .②∵62＋x ∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6，∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．(2)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系，得2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6.题型八集合中的新定义问题例8 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3B ．6C ．8D ．9[解析] 根据已知条件，列表如下：由上表可知，B 中的元素有9个，故选D. [答案] D 金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表含树形图使用.[跟踪训练8]定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为( )A．0 B．2C．3 D．6答案 D解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知A*B＝{0,2,4}，故集合A*B 中所有元素之和为0＋2＋4＝6，故选D.1．下列所给的对象不能组成集合的是( )A．我国古代的四大发明B．二元一次方程x＋y＝1的解C．我班年龄较小的同学D．平面内到定点距离等于定长的点答案 C解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C.2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0答案 B解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A.当a＝2∈A时，6－a ＝4∈A，∴a＝2符合题意；当a＝4∈A时，6－a ＝2∈A，∴a＝4符合题意；当a＝6∈A时，6－a＝0?A，综上所述，a＝2或4.故选B.3．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.4．用适当符号(∈，?)填空．(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．答案(1)∈(2)∈解析(1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}．(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.解A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，当a＝1时，A＝{1}；当a≠1时，A ＝{1，a}．。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法第2课时学案(含解

1.1.1集合及其表示方法第2课时学习目标1.理解并掌握集合的两种表示方法,并针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用数学的符号语言来刻画集合,发展数学抽象素养;2.理解并掌握区间及其表示,为后续不等式解集的学习打好基础.自主预习1.什么是列举法?2.什么是特征性质描述法?思考:如何选择合适的方法去表示集合?3.区间及其表示(1)若a∈R,b∈R,且a<b,则有下表:集合简写名称数轴表示闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间(2)如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则实数集R可表示为区间(-∞,+∞).符号(a,+∞) (-∞,a)集合{x|x≥a} {x|x≤a}课堂探究1.列举法【发现问题】(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.思考1:以上集合均是用自然语言描述的,能否用数学语言去简洁表示呢?【探究新知】①由两个元素0,1组成的集合可用列举法表示为;②24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24组成的集合可用列举法表示为;③中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为;④不大于100的自然数组成的集合可以表示为;⑤自然数集N可用列举法表示为.思考2:{2,1}和{1,2}是同一个集合吗?思考3:只含一个元素的集合{a}也是一个集合,{a}与a该如何理解?例1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数组成的集合.跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.2.描述法思考4:以下集合用列举法表示方便吗?如果不方便,该如何表示呢?①满足x>3的所有数组成的集合A;②所有的两个整数的商组成的集合B.例2用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?例3用适当的方法表示下列集合:(1)方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A;(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.思考5:如何选用合适的方法来表示集合呢?跟踪训练3用适当的方法表示下列集合:(1)英语单词mathematics(数学)中的所有英文字母组成的集合;(2)方程x+2y=7的所有解组成的集合;(3)绝对值小于0的所有实数组成的集合.>x的所有解组成的集合A.例4用区间表示不等式2x-12跟踪训练4用区间表示下列集合:(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0<x≤1};(3){x|2≤x<5};(4){x|0<x<2};(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.例5已知集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.延伸探究:1.若将“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的集合.2.若将“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.课堂练习1.用列举法表示集合{x|x2-2x-3=0}为()A.{-1,3}B.{(-1,3)}C.{x=1}D.{x2-2x-3=0}2.一次函数y=x-3与y=-2x的图像的交点组成的集合是()A.{1,-2}B.{x=1,y=-2}C.{(-2,1)}D.{(1,-2)}3.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是()A.6∈AB.0∈AC.3∉AD.3.5∉A4.设区间A=(-2,3),B=[2,+∞),使得x∈A且x∈B的一个实数为.5.已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,求x的值.课后巩固1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x=1}D.{x2-2x+1=0}2.如果A={x|x>-1},那么()A.-2∈AB.{0}∈AC.-3∈AD.0∈A3.下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|(y-1)2=0}4.下列命题中正确的是()A.集合{x∈R|x2=1}中有两个元素B.集合{0}中没有元素C.√13∈{x|x<2√3}D.{1,2}与{2,1}是不同的集合5.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.66.已知A={1,2,3},B={2,4},定义集合A,B间的运算A*B={x|x∈A且x∉B},则集合A*B等于()A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}7.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为.8.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是.9.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集.(答案不唯一)10.用适当的方法表示下列集合:(1)一年中有31天的月份的全体;(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;(3)梯形的全体构成的集合;(4)所有能被3整除的数的集合;(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;(6)不等式2x-1>5的解集.核心素养专练1.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是.2.设集合B={x∈N|6∈N}.2+x(1)试判断元素1和2与集合B的关系;(2)用列举法表示集合B.参考答案略思考及探究新知:略例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x 2=2x 的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.跟踪训练1 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}. (2)方程x 2-9=0的实数根为-3,3, 所以B={-3,3}.(3)由{y =x +2,y =-2x +5,得{x =1,y =3,所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.例2 解:(1)偶数可用式子x=2n ,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N +,所以正偶数集可表示为{x|x=2n ,n ∈N +}.(2)设被3除余2的数为x ,则x=3n+2,n ∈Z,但元素为正整数,故n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n ∈N}.(3)坐标轴上的点(x ,y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ,y )|xy=0}.跟踪训练2 解:(1)不是.(2)集合A={x|y=x 2+1}的代表元素是x ,且x ∈R,所以{x|y=x 2+1}=R,即A=R,可以认为集合A 表示函数y=x 2+1中自变量的取值范围.集合B={y|y=x 2+1}的代表元素是y ,满足条件y=x 2+1的y 的取值范围是y ≥1,所以{y|y=x 2+1}={y|y ≥1},可以认为集合B 表示函数y=x 2+1中因变量的取值范围.集合C={(x ,y )|y=x 2+1}的代表元素是(x ,y ),是满足y=x 2+1的数对.可以认为集合C 是由坐标平面内满足y=x 2+1的点(x ,y )构成的.例3(1)A={0,1}(2)B={(x,y)|x>0,y>0}跟踪训练3(1){m,a,t,h,e,i,c,s}(2){(x,y)|x+2y=7}(3)⌀,+∞)例4A=(12跟踪训练(1)[-1,3](2)(0,1](3)[2,5)(4)(0,2)(5)(-∞,3)(6)[2,+∞)例5解:①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.延伸探究1.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不相等的实数根,故k≠0,且Δ=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1,且k≠0}.2.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1,且k≠0.综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k≤1}.课堂练习1.A2.D3.D4.2(答案不唯一)5.-1或-81.B2.D3.B4.A5.B6.C7.{x|x=2n,n∈N+}8.(-∞,-2]}9.不是{1,2,1210.解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){a|a是梯形}或{梯形}.(4){x|x=3n,n∈Z}.(5){1,2}.(6){x|x>3}.核心素养专练1.答案:5解析:因为A={0,1,2},又集合B 中元素为x-y 且x ∈A ,y ∈A , 所以x 的可能取值为0,1,2,y 的可能取值为0,1,2. 当x=0,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为0,-1,-2. 当x=1,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为1,0,-1. 当x=2,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为2,1,0.综上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B 中的元素的个数为5. 2.解:(1)当x=1时,62+1=2∈N;当x=2时,62+2=32∉N,所以1∈B ,2∉B.(2)因为62+x ∈N,x ∈N,所以2+x 只能取2,3,6,所以x 只能相应取0,1,4,所以B={0,1,4}.学习目标1.掌握集合的三种表示方法,并能进行转化;2.会选择合适的方法表示集合;3.能正确表述和理解集合语言.自主预习一、列举法列举法:把集合中的元素出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在内,这种表示集合的方法称为列举法.二、描述法1.特征性质:一般地,如果属于集合A 的元素x 都具有性质p (x ),而不属于集合A 的元素都这个性质,则性质p (x )称为集合A 的一个特征性质.2.描述法:用特征性质p (x )表示为的形式.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称描述法.思考:不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?三、区间及其表示1.设a ,b 是两个实数,且a<b ,则有下表: 集合简写名称数轴表示{x|a ≤x ≤b }闭区间 {x|a<x<b }(a ,b ) 开区间[a ,b ) 半闭半开区间{x|a<x ≤b }(a ,b ]2.实数集R 可以用区间表示为 ,“∞”读作“无穷大”.如:符号(a ,+∞)(-∞,a )集合{x|x≥a} {x|x≤a}课堂探究一、列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.二、描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?三、集合的表示方法例3 用适当的方法表示下列集合(能用区间表示的用区间表示): (1)方程x (x 2+2x+1)=0的解集;(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合; (3)不等式x-2>6的解的集合;(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.跟踪训练3 下列集合中,不同于另外三个集合的是 ( )A .{x|x=1}B .{y|(y-1)2=0}C .{x=1}D .{1}核心素养专练1.集合{x ∈N +|x-3<2}的另一种表示方法是( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.坐标轴上的点的集合可表示为( ) A.{(x ,y )|x=0,y ≠0或x ≠0,y=0} B.{(x ,y )|x 2+y 2=0} C.{(x ,y )|xy=0}D.{(x ,y )|x 2+y 2≠0}3.方程组{x +y =1,y +z =2,z +x =3的解集为( )A.(1,0,2)B.{1,0,2}C.{(1,0,2)}D.{(x ,y ,z )|1,2,3}4.集合{y|y=x+1}与集合{y|y=x 2+1}的公共元素是( ) A.{(1,2),(0,1)} B.{y|y=x 2+1}C.⌀D.{y|y ≥1}5.如果集合A={x|ax 2+2x+1=0}中只有一个元素,则a 的值是( ) A .0 B .0或1 C .1D .不能确定6.若集合M={1,2},满足集合P={x|x ∈M }的P 有 .参考答案自主预习略课堂探究一、列举法表示集合例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x 2=2x 的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.跟踪训练1 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.(2)方程x 2-9=0的实数根为-3,3,所以B={-3,3}.(3)由{y =x +2,y =-2x +5,得{x =1,y =3,所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.例2 解:(1)偶数可用式子x=2n ,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N +,所以正偶数集可表示为{x|x=2n ,n ∈N +}.(2)设被3除余2的数为x ,则x=3n+2,n ∈Z,但元素为正整数,故n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n ∈N}.(3)坐标轴上的点(x ,y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ,y )|xy=0}.跟踪训练2 解:(1)不是.(2)集合A={x|y=x 2+1}的代表元素是x ,且x ∈R,所以{x|y=x 2+1}=R,即A=R,可以认为集合A 表示函数y=x 2+1中自变量的取值范围;集合B={y|y=x 2+1}的代表元素是y ,满足条件y=x 2+1的y 的取值范围是y ≥1,所以{y|y=x 2+1}={y|y ≥1},可以认为集合B 表示函数y=x 2+1中因变量的取值范围;集合C={(x ,y )|y=x 2+1}的代表元素是(x ,y ),是满足y=x 2+1的数对,可以认为集合C 是由坐标平面内满足y=x 2+1的点(x ,y )构成的.三、集合的表示方法例3 解:(1){0,-1};(2){x|x=2n+1,且x<1 000,n ∈N};(3)(8,+∞);(4){1,2,3,4,5,6}.跟踪训练3 答案:C 核心素养专练1.B2.C3.C4.D5.B6.{1},{2},{1,2}。

高一数学必修4固学案高一数学必修1全册学案

高一数学必修4固学案高一数学必修1全册学案高一数学必修1全册学案第一章集合1 、1、1集合的含义第一部分走进预习【预习】教材第3-5页1、查阅大数学家康托尔（Contor）的材料。

2、初步掌握：①集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？②集合、元素的记法③元素与集合的关系④集合的性质。

第二部分走进课堂【探索新知】在小学、初中我们就接触过“集合”一词。

例子：（1）自然数集合、正整数集合、实数集合等。

（2）不等式解的集合（简称解集）。

（3）方程解的集合。

（4）到角两边距离相等的点的集合。

（5）二次函数图像上点的集合。

（6）锐角三角形的集合（7）二元一次方程解的集合。

（8）某班所有桌子的集合。

现在，我们要进一步明确集合的概念。

问题1、从字面上看，怎样解释“集合”一词？2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象”，那么集合又是什么呢？知识点一：1、集合、元素的概念再看例子（9）质数的集合。

（10）反比例函数图像上所有点。

（11）、、（12）所有周长为20厘米的三角形。

问题3、从集合中元素个数看，上面例子（1）（2）（4）（5）（6）（7）（9）（10）（12）与例子（3）（8）（11）有什么不同？知识点一 2、有限集和无限集指出：集合论是德国数学家Cantor（1845～1918）在十九世纪创立的，集合知识是现代数学的基本语言，为进一步研究数学提供了极大的便利。

知识点二集合、元素的记法问题4、（1）集合、元素各用什么样的字母表示？（2）、、、、等各表示什么集合？知识点三元素与集合的关系阅读教材填空:如果a是集合A的元素，就记作____________________________________，读作“________________________________________________”；如果a不是集合A的元素，就记作________________________，读作“____________________________________________”.再用或填空：1、6________________________N ，________________________Q ，____________________________Z ，____________________________Q____________________________Q，2、设不等式的解集为A，则 5____________________________A ,¬¬¬¬¬¬________________________ ____A3、的解集为B，则 ____________________________B , ____________________________B ,____________________________B问题5、元素a与集合A有几种可能的关系？知识点四集合的性质① 确定性：例子1、下列整体是集合吗？。

【苏教版高一数学】第一章集合1.集合的含义与表示精编学案

1.1.1 集合的含义与表示探索解题新思路基础思维探究题型一集合概念的考查【典例1】分析下列各组对象能否构成集合：（1）比2008大的数；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象上的若干个点；（3）正比例函数y x =与反比例函数1y x=-的图象的交点；（4）面积比较小的三角形.―研析（1）中“几个数”、（2）中的“若干个点”和（4）中的“面积比较小”都是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合.而（3）中正比例函数y x =与反比例函数1y x=-的图象没有交点，所以这两个函数的图象的交点能构成集合，这个集合是空集.φ反思领悟判断一组对象能否构成集合，关键是看其对象是否满足集合中元素的三个特征，特别是看是否满足确定性.构成集合的对象是确定的，是指能让人们说清楚的对象，存在可以，不存在也可以.如（3）中两个图象没有交点，这两个函数的交点也能构成集合，不过是空集φ罢了.不能构成集合的对象是不确定的对象，是指让人们说不清楚的对象，存在与不存在都是模糊的，如（1）、（2）、（4）中的对象. 【拓展·变式】1.给出下列四组对象，能构成集合的是（）A ．某班所有高个子的同学B ．著名的艺术家C ．一切很大的数D ．倒数等于它本身的实数题型二集合中元素性质的理解【典例2】求集合2{,2,}xx x -中的元素x 的取值范围.研析集合中的元素必须满足互异性，因此x 的取值必须满足集合中的三个元素互不相等，从而由元素的互异性可知，x 必须满足2222x x x x x x ⎧-≠⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得1x ≠-，2x ≠且0.x ≠故x 的取值范围是{|1,2,0}.x R x ∈≠-探索发现在求解有关的集合中元素的问题时，互异是至关重要的，应引起足够的重视.互异性是指集合中没有两个相同的元素，相同的元素只能算作是一个元素.【拓展·变式】2.已知集合22{2,(1),33}A a a a a =++++且1A ∈，求实数a 的值. 题型三考查集合的表示方法【典例3】试选用适当的表示方法表示下列集合：（1）一次函数3y x =-+与26y x =+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数224y x x =-+的函数值组成的集合；（3）反比例函数254y x =-的自变量的值组成的集合.研析（1）3(,)|{(1,4)}26y x x y y x ⎧=-+⎫⎧=-⎨⎨⎬=+⎩⎩⎭，从而由一次函数3y x =-+与26y x =+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}.-（2）22{|24}{|(1)3}{|3}y y x x y y x y y =-+==-+=≥，从而由二次函数224y x x =-+的函数值组成的集合为{|3}.y y ≥（3）25{|}{|2}4x y x x x ==≠±-，从而由反比例函数254y x =-的自变量的值组成的集合为{|2}.x x ≠±推广引申只有确定的对象才能构成集合，可根据对象的特点或个数的多少来表示集合，如对象的个数较少的有限集可采用列举法，而其它的一般采用描述法.在本例中，代表元素份别为点、函数值、自变量.因此在解题过程中不能将点的坐标表示成{1,4}-，也应注意对比（2）和（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围在着本质的区别，分析时时应引起特别的注意.另外，在表示集合的过程中，要特别注意数学语言、符号的规范使用.【拓展·变式】3. 下列的研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式217x +>的整数解.题型四对集合分类的考查【典例4】判断下列集合是有限集还是无限集.对于有限集，指出其元素的个数. （1）{|4012124031}A x Z x =∈-<-≤；（2）平面内到线段AB 的两个端点距离距离相等的点P 的集合.【研析】（1）由4012124031x -<-≤可得401324030x -<-≤，解得120152006.2x -<≤再由x Z ∈得{2015,2014,,2006}A =--，所以集合A 是有限集，共有4022个元素.（2）到线段AB 的两个端点的距离相等的点P 都在线段AB 的垂直平分线上，集合可表示为{|}P PA PB =，它是无限集.思维指南在第（1）小题中，4022是这样算出来的：连续的整数1,,r r n m m m +中，共有1n r m m -+个整数.【拓展·变式】4.下面给出四个集合：①方程3(3)(1)0x x +-=的解集；②以A 为圆心，m 为半径的圆上所有点的集合； ③不等式324x -<的解集； ④{M =平行四边形}其中无限集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4综合思维探究题型一学科内综合题【典例5】已知集合2{|210},A x R ax x a =∈++=为实数.（1）若集合A 是空集，求实数a 的取值范围；（2）若集合A 是单元素集，求实数a 的值；（3）若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围. 研析（1）若集合A 是空集，则应有20240a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得 1.a > （2）若集合A 是单元素集，则①若0a =，则此时1{|210}{}2A x R x =∈+==-；②若0a ≠，则240a a ∆=-=，即1a =，此时2{|210}{1}.A x R x x =∈++==-因此0a=或 1.a =（3）若集合A 中至多有一个元素，即集合A 为空集或单元素集，则0a =或 1.a ≥探索发现集合的有关概念是集合有基础知识，常与方程的根等知识综合应用，有时需用到分类讨论思想.对于以20axbx c ++=的形式出现的方程，应注意二次项系数a 能否为零，因为只有当0a ≠时，才能利用二次函数的判别式来研究实数根与系数的关系.【拓展·变式】5. 已知集合{|A a =关于x 的方程241x x a-=+有惟一解}，用列举法表示集合A . 题型二开放探究题【典例6】如图所示，用集合语言表示射线AB 上所有点构成的集合和这条射线上所有点的纵坐标构成的集合.研析设直线AB 的解析式是y kx b =+，因为直线AB 过点（1,0）、（0,2），从而得021k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩所以直线AB 的解析式是 1.y x =-所以射线AB 上所有点构成的集合是{(,)|1,0}x y y x x =-≥；在1y x =-中，令0x =，得 1.y =-所以，射线AB 上所有点的纵坐标构成的集合是{|1}.y y ≥-交流探讨正确区分点集与数集是解决本题的关键.代表元素是什么应当分析清楚，因为这决定了集合所表示的内容.如本题中，“射线上的所有点”指明了该集合是点的集合，而“所有点的纵坐标”则指明了集合是数的集合.【拓展·变式】6.用描述法表示图中阴影部分（含边界）的坐标的集合.yxO112AB题型三课标创新题【典例7】已知集合22{|,,}Ma a x y x y Z ==-∈，试判断一切奇数是否都属于集合.M研析一切奇数都属于集合M.因为任意的一个奇数均可以表示成21n +的形式，而2221(1)n n n +=+-，所以21n M +∈.理念链接要判断一个元素是否属于一个集合，我们只需看该元素是否满足该集合中元素的性质即可.对于本题而言，我们只需判断任何一个奇数是否能写成22xy -(其中,x y 都是整数)的形式即可得出结论.【拓展·变式】7．对于本例中给出的集合M ，你还可以得到那些常见的结论？试着写出两个.高考思维探究集合的观点已渗透到数学的各个分支，是高考试题中必考的内容.对于集合概念的考通常分为两类：一类是考查集合本身的性质；另一类是将集合作为工具，与其他知识综合起来形成新的知识网络进行考查. 【典例8】（2008年山东济宁一中模拟）已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈，若集合A 中至多有一个元素，则实数a 的值是（）A ．0a= B ．98a≥C ．0a =或98a ≥D ．不能确定【研析】讨论方程2320ax x -==的实根情况，从中确定实数a 的取值，由题知方程有一个实数（两个相等实根）或没有实根两种情况. （1）当0a =时，原方程可化为320x -+=，解得23x =，符合题意；（2）当0a≠时，原方程2320ax x -==是一元二次方程，由980a ∆=-≤得98a ≥，即方程此时无实根或有一个实根（两个相等的实根），符合题意. 综上可知，0a=或98a ≥. 品思感悟对于方程“2320ax x -+=”应首先考虑其是否是一元二次方程，即考查最次项前的最高次项的系数是否为0.若为0，则此方程即为一元一次方程，当然只有一个实根；否则，应当令0.∆≤ 【拓展·变式】8．（2006年广东湛江）如果集合A={x |a x 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A.0B.0 或1C.1D.不能确定优化解题新演练一、理解与应用1．下列对象能组成集合的是（）A ．大于6而小于9的整数B ．长江里的大鱼C ．某地所有高大建筑群D 32．给出四个关系中式：①{0}φ=；②0{(0,0)}∈；③0{0}∈；④*0N ∉.其中表述正确的是（）A ．①③④B ．②③C ．③④D ．①②③④ 3．下列集合中表示同一个集合的是（） A ．{1,2},{(1,2)}M N ==B ．{1,2},{2,1}M N ==C ．{|1,},{|1,}M y y x x R N y y x x N ==-∈==-∈D ．1{(,)|1},{(,)|12}2y Mx y N x y y x x -===-=-- 4．集合*8{|}6A x N N x=∈∈-所有元素是（）A ．1,2，3,4B ．－2,2C ．－2,2，4,5D ．2,4，5，二、拓展与创新5．定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ==+∈∈.设集合{0,1},{2,3}A B ==，则集合A B 的所有元素之和为.6．一次函数的图象上的所有点构成的集合是；全体一次函数的集合是 .三、综合与探究7．用不同的方法表示方程210x -=的所有实数解构成的集合.8.已知集合2{|12x aA a x +==-有惟一的实数解}，试用列举法表示集合.A答案与解析研读【拓展·变式】1．D 提示：因为A 、B 、C 中的对象都没有一个确定的衡量标准，故它们都不能构成集合. 2．解：由题意得21a +=或2(1)1a +=或2331a a ++=，即1a =-或2a =-或0.a =由集合元素的互异性知1a ≠-且2a ≠-0.a ∴=3．解：（1）可以表示成集合｛0,1，2，,3，4｝.（2）其中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能构成一个集合. （3）可以表示成集合{|217}x x Z x ∈+>且.4．C 提示：②③④是无限集，①表示集合{3,1}-为有限集. 5．解：本题应分为两种情况讨论.（1）2400x x a x a ⎧---=⎨+≠⎩有惟一实数解，由240x x a ---=得14(4)0a ∆=++=解得174a =-，此时12x =，0x a +≠且17.4A -∈满足题意. （2）方程可写成(2)(2)1x x x a-+=+ ①当2a =时，方程①有惟一解3x =，2.A ∴∈ 当2a =-时，方程①有惟一解1,2.x A =-∴-∈ 综上可得17{,2,2}.4A =-- 6．解：图中的阴影部分是两个平面区域，而平面是由点构成的，因此本题中“代表元”应该是点. 设点(,)x y 是阴影区域内的任一点，则满足502302x y ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或20-10x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩，从而阴影部分的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≤-≤≤-0,231,252|),(xy y x y x . 7．解：我们还可以得到以下结论：（1）M 中的所有元素都属于Z ；（2）M 是无限集；（3）偶数42()n n Z -∈不属于M ；（4）属于M 的两个整数，其积仍属于集合M ；（5）所有的完全平方数都属于集合M ；（6）集合M 中的整数在数轴上的点关于原点O 对称.等等，只需写出两个即可.8.B 提示：如果0a =时，方程ax 2＋2x ＋1=0只有一个实数根12x =-，满足题意；如果0a ≠，则应有440a ∆=-=，从而得 1.a =综上可得0a =或 1.a =【优化解题演练】1．A 提示：对象是否能构成集合关键是看是否满足元素的确定性，另外空集也是集合.2．C 提示：φ是没有一个元素的集合，而{0}是有一个元素的集合，从而①是错误的；{(0,0)}是由点(0,0)构成的单元素集，而0是一个数，不是点，从而②错误.3．B 提示：集合中元素满足无序性. 4．D 提示：由*86N x∈-可知6x -是8的约数（或者说8能被6x -整除）且60x ->. ∴61,2,4,8x -=，解得5,4,2, 2.x =-其中5,4,2,2N N ∈-∉，所以集合A 中的所有元素是2,4，5.5．18 提示：由{|(),,}A B z z xy x y x A y B ==+∈∈及{0,1},{2,3}A B ==知：当0x=时，0z =；当1,2x y ==时，236z =⨯=；当1,3x y ==时，3412.z =⨯=∴{0,6,12}AB =，各元素之和为18.6.{(,)|,,x y y kx b k b =+是常数且0}k ≠；{|,y kx b k b =+是常数且0}k ≠7．解：（1）列举法：{1,1}-（也可表示成{1,1}-）；（2）描述法：2{|10}x R x ∈-=（也可以是{|x x 为方程210x -=的实数解}）.8．解：化方程212x ax +=-为2(2)0x x a --+=，应分为以下三种情况：（1）方程有相等的实数根且不是0∆=，解得94a =，此时方程的解为12x =，符合题意；（2）方程有一个解为，而另一个解不是，将x =代入得a =，此时另一解为1x =，符合题意；（3）方程有一解为，而另一解不是，将x =代入得a =，此时方程的另一解为1x =.综上可知，9{,4A =-。

2018版高中数学人教版A版必修一学案第一单元 1.1.1 第2课时集合的表示 Word版含答案

第课时集合的表示学习目标.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．预习教材－，完成下面问题：知识点集合的表示方法()列举法：①一一列举出来，并用花括号定义：把集合的元素“”{}括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：＝{，，，…，}．()描述法：①定义：用集合所含元素的；共同特征表示集合的方法称为描述法②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的，再画一条竖线一般符号及取值(或变化)范围，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【预习评价】()集合{∈*－<}的另一种表示形式是()．{}．{}．{}．{}()方程－＝的解集用列举法表示为．解析()由－<得<，又∈*，故的值为，用列举法表示为{}．()由－＝得＝，即＝±，故其解集用列举法表示为{－}．答案() (){－}题型一用列举法表示集合【例】用列举法表示下列集合：()的正约数组成的集合；()不大于的正偶数集；()方程组(\\(＋＋＝，－＋＝))的解集．解()因为的正约数为，所以所求集合可表示为{}．()因为不大于的正偶数有，所以所求集合可表示为{}．()解方程组(\\(＋＋＝，－＋＝，))得(\\(＝－，＝.))所以所求集合可表示为{(－)}．规律方法用列举法表示集合的三个注意点()用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．()列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．()搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．【训练】用列举法表示下列集合：()绝对值小于的偶数；()与的公约数；()方程组(\\(＋＝，－＝))的解集．解()绝对值小于的偶数集为{－，－}，是有限集．(){}，是有限集．()由(\\(＋＝，－＝，))得(\\(＝，＝.))∴方程组(\\(＋＝，－＝))的解集为{(，)(\\(＋＝，－＝))}＝{(，)(\\(＝，＝))}＝{()}，是有限集.()正偶数集；()被除余的正整数的集合；()平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解()偶数可用式子＝，∈表示，但此题要求为正偶数，故限定∈*，所以正偶数集可表示为{＝，∈*}．()设被除余的数为，则＝＋，∈，但元素为正整数，故＝＋，∈，所以被除余的正整数集合可表示为{＝＋，∈}．()坐标轴上的点(，)的特点是横、纵坐标中至少有一个为，即＝，故坐标轴上的点的集合可表示为{(，)＝}．【迁移】(变换条件)例()改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．”解位于第二象限的点(，)的横坐标为负，纵坐标为正，即<，>，故第二象限的点的集合为{(，)<，>}．【迁移】(变换条件)例()改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．”。

新课标人教版数学必修一第一章 1.1集合

第一章集合集合的概念及其表示（一）一、教学目标：1、初步理解集合的含义，了解集合元素的性质。

2、知道常用数集及其记法。

3.了解“属于”关系的意义。

4.了解有限集、无限集、空集的意义。

重点：集合概念的形成。

难点:理解集合的元素的性质。

二、知识梳理1、元素与集合的概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个_____，也简称____。

集合中的每个对象叫做这个集合的_______。

.2、集合与元素的表示方法（1）集合通常用大写的英文字母表示，如A、B、C、P、Q……（2）元素通常用小写的英文字母表示，如a、b、c、p、q……3、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a___ A，记作a___A。

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a____ A，记作a____ A。

4、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做__________，记作________。

φ与{0}、0的区别与联系。

注意：5、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）6、集合的分类集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：有限集：______________________________。

无限集：______________________________。

7、常用数集及表示符号自然数集：________________________,记作_______。

正整数集：_________________________，记作_______。

整数集：___________________________，记作_______。

有理数集：__________________________,记作________。

第一章集合与常用逻辑用语(学案)

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的概念【学习目标】一．元素与集合的相关概念1.元素：一般地，把统称为元素，常用小写的拉丁字母表示．2.集合：一些组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母表示．3.集合相等：指构成两个集合的元素是的．4.集合中元素的特性：、和．二．元素与集合的关系1.属于：如果a是集合A的元素，就说，记作.2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说，记作.三．常见的数集及表示符号1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．()2、用“∈”或“∉”填空：1*；5____R.2____N；－3____Z；2____Q；0____N【经典例题】题型一集合的概念例1 下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；⑥2的近似值的全体．【跟踪训练】1 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．题型二元素与集合的关系例2 -1给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2 D．1例2-2集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【跟踪训练】2用符号“∈”或“∉”填空．若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，(－1,1)______A.题型三集合中元素的特性例3 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【跟踪训练】3已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可【当堂达标】1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为() A．2 B．2或4 C．4 D．04．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2 C．3 D．45．给出下列关系：①13∈Z；②5∈R；③|－5|∉N＋；④|－32|∈Q；⑤π∈R.其中，正确的个数为________．6．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.第2课时集合的表示【学习目标】1．列举法把集合的元素出来，并用括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法（1）定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的及，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的.【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)集合0∈{x|x>1}．()(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．()(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．()2.大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为____ ____．【经典例题】题型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由120以内的所有质数组成的集合．【跟踪训练】1 用列举法表示下列集合：(1)绝对值小于5的偶数；(2)24与36的公约数；(3)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集．题型二用描述法表示集合例2 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【跟踪训练】2 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．题型三列举法与描述法的综合运用例3 下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． (1)它们各自的含义是什么？ (2)它们是不是相同的集合？【跟踪训练】3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合.【当堂达标】1．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}2．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4s ＋1，s ∈N ，且s <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t <5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N ，且s <6} 3．给出下列说法：①任意一个集合的正确表示方法是唯一的； ②集合P ＝{x |0≤x ≤1}是无限集； ③集合{x |x ∈N ，x <5}＝{0,1,2,3,4}； ④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．其中正确说法的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②D ．①③④4．方程⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝5的解集用列举法表示为_______________________；用描述法表示为________________．5．若集合A ＝{－1,2}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则a ＋b 的值为______． 6.已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R}，若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点)2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。

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第一章集合1.1.1 集合的含义与表示（第1课时）学习目标：1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力。

2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性。

学习重点：集合概念的形成。

学习难点: 理解集合的元素的性质。

学习过程（一）自主学习阅读教材2—3页，梳理知识点1、元素与集合的概念：某些指定的对象集在一起就成为一个_____，也简称____。

集合中的每个对象叫做这个集合的_______。

.2、集合与元素的表示方法（1）集合通常用大写的英文字母表示，如__________ 。

（2）元素通常用小写的英文字母表示，如__________ 。

3、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a___ A，记作a___A。

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a____ A，记作a____ A。

4、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做__________，记作________。

与{0}、0的区别与联系。

注意：5、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素，或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 6、集合的分类集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：有限集：________________。

无限集：________________。

7、常用数集及表示符号自然数集：________________________, 记作_______。

正整数集：_________________________，记作_______。

整数集：___________________________，记作_______。

有理数集：__________________________, 记作________。

实数集：_____________________________,记作_______。

（二）合作探究题型一集合的判断例1、下列各组对象能否构成集合。

若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集还是空集。

1、中国的所有人口的全体；2、山东省2008 年应届初中毕业生；3、数轴上到原点的距离小于1 的点；4、方程 x 2=0 的解的全体； 5、你们班中成绩较好的同学； 6、小于1的正整数的全体；7、所有数学难题；题型二元素与集合之间的关系例2、用“∈”或“∉”填空（1）1______N －3________N 0 ________N 2________N 1________Z －3________Q 0________Z 2_______R题型三集合中元素的特性例3、已知集合A={}a a a ++22,2，若3A ∈，求a 的值．(三)当堂达标1、方程组⎩⎨⎧=+-=-+063202y x y x 的解集中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 4 2、已知集合A 是由2，x ，x 2－x 三个元素组成的集合，则x 应满足的条件是。

3、已知集合A={}33,)1(,222++++a a a a ，若A ∈1，求实数a 的值。

（四）课堂小结（五）课后作业：p11习题1.1A 组1、2题1.1.1 集合的含义与表示（第2课时）学习目标：1、集合的三种表示方法（列举法、描述法、图示法）； 2、能选择适当的方法正确的表示一个集合。

学习重点：集合的表示方法。

学习难点：描述法表示集合。

学习过程（一）自主学习阅读教材3—5页，回答下列问题：1．集合中元素的特性：______________________________________. 2．常见的数集的简写符号：自然数集整数集正整数集有理数集实数集3.__________________________________________________________________________________________________________________________________________叫做列举法；4.____________________________叫做描述法.说明：概念的理解和注意问题1.用列举法表示集合时应注意以下几点：元素间用分隔号“，”元素不重复；不考虑元素顺序；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号.无限集有时也可用列举法表示。

2.用描述法表示集合时应注意以下几点;写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表达的元素符号）；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应当准确使用“且”和“或”；所有描述的内容都要写在集合符号内；用于描述的语句力求简明，准确. （二）合作探究题型一用列举法表示下列集合例1 用列举法表示下列集合（1） A={∈x N|0＜x ≤5}（2）B={x |0652=+-x x }(3) C={Z x ∈|N x∈-36} 题型二用描述法表示集合例2 用描述法表示下列集合（1）{-1，1} ;（2）大于3的全体偶数构成的集合 ;（3）方程0322=--x x 的所有根组成的集合（4）由大于１０小于２０的所有整数组成的集合题型三集合表示方法的灵活运用例3 分别判断下列各组集合是否为同一个集合：（1）A={x|x+3>2} B={y|y+3>2} (2) A={(1,2)} B={1,2} (3) M={(x,y)|y=12+x } N={y| y=12+x } 变式训练：课本第5页第2题。

(三)当堂达标1、集合A={*N x ∈|x ＜5}的另一种表示法是( )A. {0,1,2,3,4}B. {1,2,3,4}C. {0,1,2,3,4,5}D. {1,2,3,4,5} 2、由大于-3小于11的偶数所组成的集合是( ) A. {x |-3＜x ＜11,Q x ∈} B. {x |-3＜x ＜11}C. {x |-3＜x ＜11,k x 2=,N k ∈}D. {x |-3＜x ＜11,k x 2=,Z k ∈} 3、方程组⎩⎨⎧=-=+91y x y x 的解集是( )A. (5, 4)B. {5,-4 }C. {(-5,4)}D. {(5,-4)} 4、集合M={),(y x |xy ＜0,∈x R,∈y R }是( )A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第四象限内的点集D. 第二、四象限内的点集 5、已知A={1,0,-1,2} , B={y |x y =,A x ∈}.则集合B=_________. （四）课堂小结（五）课后作业：课本第11页A 组第3、4题、B 组第1题。

1.1.2集合间的基本关系学习目标：1.理解掌握集合间的基本关系包含，真包含关系，并能用韦恩图表示。

2.区别元素与集合，集合和集合间的关系。

3.了解空集的含义。

学习重点：子集的概念。

学习难点:元素与子集、属于与包含之间的区别。

学习过程（一）自主学习阅读教材6—7页梳理教材知识点。

1、对于两个集合A 和B ，如果集合A 中_________一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫作集合B 的________，记作_____或______（读作：A 包含于B 或B 包含A ）注（1）A B ⊆有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素②A 与B 是中的所有元素都相同；（2）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈”.（3） ∅（空集）是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集； (4) 易混符号：①“∈”与“⊆”②{}0与∅2、对于两个集合A 与B ，如果______________________,反过来，________________________就说___________，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）；注：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；（2）A B ⊆且B A ⊆⇔A=B3、如果集合A B ⊆，但存在元素B x ∈,且A X ∉,那么集合A 叫做B 的______，记作：_______或________，读作A 真包含于B 或B 真包含A . 注：（1）空集是任何非空集合的真子集。

（2）判定A 是B 的真子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且存在00x B x A ∈⇒∉”； 4、集合的维恩图表示法如果集合A是集合B的真子集，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部（如图）5、集合关系的传递性：A B⊆，B C⊆⇒__________；A B,B C⇒A__________.6、含n个元素的集合A的子集个数为_____，真子集个数为______，非空真子集个数为______.（二）合作探究题型一子集、真子集概念的理解例1：下列命题：（1）空集无子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若ΦA则φ≠A.其中正确的有几个（）A．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个变式训练：在以下六个选择中(1)Φ{0} ; (2){}{}1,1,01,0,1-=-; (3){}∈0{}1,0; (4) φ∈0（5){}{}0)0,0(=; （6) {{}{})2,1(),(12===xyyx. 错误命题的个数是（） A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个题型二集合子集个数例2：若集合A={}3,2,1,则满足AB⊆的集合B的个数是( )，满足C A 的集合C的个数是（）A．6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个题型三有关两个集合相等的问题例3 设A={x, x2, xy},B={1，x, y}, 且A=B,求实数x, y的值。

题型四集合关系的判定例4 判定下列集合A与B的关系（1）A={x|x是12的约数}，B={x|x是36的约数}(2) A={x|x>3}, B={x|x>5}(3) A={x|x 是矩形}，B={x|x 是有一个角为直角的平行四边形} 变式训练：课本第7页练习第3题. （三）当堂达标1.满足=B A {a,b,c,d}的集合M 共有（）A ．6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个 2.设A={}21<<x x ,B={}a x x <若AB,则实数a 的取值范围（）A ．2≥a B. 1≤a C. 1≥a D. 2≤a3. 已知集合A={}1,0 B={}A x x ∈,则A 与B 的关系正确的是（） A ．B A ⊆ B. AB C.BA D.B A ∈4. 下列关系式中正确的个数是（）○1 {}b a ,{}b a ,⊆；○2{}{}a b b a ,,=；○3φ{}0；○40{}0∈；○5φ{}0∈；○6φ{}0=. A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 小于4个 5.已知集合A={}x x 21,11++，, B={}2,,1y y , 且A=B, 则实数x=___,y=_____.6. 已知非空集合{}332<<-=x a x A ，{}121+<<-=a x x B （1）若A B ⊆.求实数a 的取值范围（2）若A=B ，求a 的值。