高二数学4月考试卷

合集下载

2021年高二下学期4月月考数学试题含答案

一、选择题(每小题5分)1．如图所示是一患黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若”类推出“（c≠0）”D.“”类推出“5．要证明3＋7＜25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法 C．类比法D．归纳法6.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A.假设至少有一个钝角B. 假设至少有两个钝角C. 假设没有一个钝角D. 假设没有一个钝角和假设至少有两个钝角7．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )A．1 B．2 C．1或2 D．－18．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限9．若x－2＋y i和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )A．x＝3，y＝3 B．x＝5，y＝1 C．x＝－1，y＝－1 D．x＝－1，y＝1 10．的值是( )A． B． C． D．11．已知且，则实数的值等于（）A．B．C．D．12. 函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分）三、解答题17.（10分）已知数列{a n}，a1＝1，a n＋1＝a n1＋2a n(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想通项公式a n.18.（12分）如果是不全相等的实数，若成等差数列，求证：不成等差数列。

20．(12分)已知复数z＝1－i2＋31＋i2－i.(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．21、（12分）已知在时有极大值6，在时有极小值，求的值；并求在区间[－3，3]上的最大值和最小值.22、（12分）已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行. （1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x 2)的单调递增区间.2021年高二下学期4月月考数学试题含答案20、解： (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝3＋i 2＋i5＝1＋i ；(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝12＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4.21、解：（1）由条件知.38,21,31.6448)2(,0223)1(,02412)2(===⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得（2）,2)(,3822131)(223-+='+-+=xxxfxxxxfx －3 (－3,－2) －2 (－2,1) 1 (1,3) 3＋0 －0 ＋↗ 6 ↘↗由上表知，在区间[－3，3]上，当时，时，$27417 6B19 欙j36178 8D52 赒21974 55D6 嗖25100 620C 戌+033945 8499 蒙1D25993 6589 斉40365 9DAD 鶭35816 8BE8 诨35369 8A29 訩。

陕西省西安市周至县重点中学2022-2023学年高二下学期4月月考文科数学试题及参考答案

高二数学（文科）一､单选题（共12题，每题5分）1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”的正确假设为（）A.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a ，b ，c 都是奇数D.自然数a ，b ，c 都是偶数2.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（）A.56千瓦·时B.62千瓦·时C.64千瓦·时D.68千瓦·时3.抛掷一枚均匀骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是（）A.第二次得到6点B.第二次的点数不超过3C.第二次的点数是奇数D.两次得到的点数和是124.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到如下22⨯列联表：附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.P （K 2≥k ） 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”5.已知事件A ，B 相互独立，P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，给出下列四个式子：①P （AB ）=0.12；②P （A B ）=0.18；③P （A B ）=0.28；④P （A B ）=0.42.其中正确的有（） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个6.已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（）A.0.5B.0.6C.0.4D.0.27.甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6，0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（） A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 8.证明不等式112(2)a a a a a +-<---≥所用的最适合的方法是（） A.综合法 B.分析法 C.间接证法 D.合情推理法9.执行如图所示的程序框图输出的结果是（）A.8B.6C.5D.310.一份数学单元试卷中有4个填空题，某同学答对每个题的概率都是45，那么，4个题中答对2个题的概率是（） A.16625 B.96625 C.192625 D.25662511.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（）A.811B.809C.807D.80512.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为（） A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2二､填空题（共4题，每题5分）13.复数i(12i)z =-（i 是虚数单位）的实部为__________.14.如图，EFGH 是以O 为圆心､半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）()P A =___________（2）()P B A =__________.15.“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是___________. 16.现有A ，B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分.A 队中每人答对的概率均为23，B 队中3人答对的概率分别为221,,332，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件M 表示A 队得2分“，事件N 表示”B 队得1分“，则P （MN ）=___________. 三､解答题（共6题）17.（10分）已知m R ∈，复数()()22231i z m m m =--+-. （1）实数m 取什么值时，复数z 为实数､纯虚数；（2）实数m 取值范围是什么时，复数z 对应的点在第三象限.18.（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A 类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B 类同学），现用分层抽样方法（按A 类､B 类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学.如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（2K 的观测值精确到0.001）.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参考数据：19.（12分）（1）若,x y 都是正实数，且2x y +>，求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.（2）求证：()n N *>∈20.（12分）甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶； 21.（12分）求证：（1）222a b c ab ac bc ++≥++；（2）>22.（12分）某单位为了了解用电量y 度与气温C x 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温. C 量(度)（1）求线性回归方程；（参考数据：442111120,440i ii i i x yx ====∑∑）（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10C ︒时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅.高二数学（文科）答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】A 10.【答案】B11.【答案】B 12.【答案】A13.【答案】2 14.【答案】（1）.2π（2）.1415.【答案】13216.【答案】108117.【答案】（1）3m =（2）(1,1)m ∈-【解析】（1）由虚部为0求得使z 为实数的m 值，再由实部为0且虚部不为0求得使z 为纯虚数的m 值；（2）由实部与虚部均小于0求解. 解：（1）当210m -=，即1m =±时，复数()()22231z m m m i =--+-为实数；当2223010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即3m =时，复数()()22231z m m m i =--+-是纯虚数；（2）由题意，2223010m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得11m -<<. ∴当(1,1)m ∈-时，复数z 对应的点在第三象限.本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题.18.【答案】（1）（2）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.【解析】（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出2K，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.（1）填写列联表如下：（2）K2的观测值为22100(40153510)75255050K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出2K，注意保留三位小数，注意观测值与概率之间的大小关系与趋势.19.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立.（2）采用分析法从要证的结果入手去证明不等式即可.解析：（1）假设1x y +<2和1y x +<2都不成立，即1x y +≥2和1yx+≥2同时成立.∵x >0且y >0，∴1+x ≥2y ，且1+y ≥2x .两式相加得2+x +y ≥2x +2y ，∴x +y ≤2.这与已知条件x +y >2矛盾，∴1x y +<2和1yx+<2中至少有一个成立.（2）原式子等价于)*n N >∈，两边平方得到()4122221n n n n +>+++>+>22212n n n n -++>+，得证.20.【答案】（1）0.72（2）0.26（3）0.0221.【解析】分析：（1）利用基本不等式，即可证得222a b c ab bc ac ++≥++；（2）根据题意，利用分析法证明，寻找使不等式成立的充分条件即可. 详解：（1）2222222,2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥，222a b c ab bc ac ∴++≥++；（2）要证>，只要证22>，只要证1313+>+只要证>只要证4240>，显然成立，故>点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 22.【答案】（1）250y x =-+. （2）30度.【解析】分析：（1）求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10C 时的用电量.详解：（1）4421110,30,1120,440,2i ii i i x y x yx b ======∴=-∑∑把(10,30)代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =.∴回归方程为250y x =-+；（2）当10x =时，30y =，估计当气温为10C 时的用电量为30度.点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。

江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式22n a n =+，则123是该数列的（） A ．第9项B ．第10项C ．第11项D ．第12项2．已知数列{}n a 满足()*πsin 3n n a n =∈N ，则7812a a a a +--=（） A．0B ．1C D ．23．有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（） A ．24B ．36C ．64D ．724．在某电路上有,C D 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C 元件的概率为0.2，需要更换D 元件的概率为0.1，则在某次通电后,C D 有且只有一个需要更换的条件下，C 需要更换的概率是（） A ．310B ．150C ．913 D ．345．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知{}n a 是“和差等比数列”，11a =，23a =则满足使不等式100n a >的n 的最小值是（） A ．8B ．7C ．6D ．56．已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a ----=-+≥∈=N ，则n a =（） A ．22n -B ．22n n -C ．21n -D ．2(21)n -7．已知数列{}n a 满足120,1a a ==．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．2023213-D ．2024213-8．已知点()1,(1)P a a >在抛物线C ：22(0)y px p =>上，过P 作圆()2211x y -+=的两条切线，分别交C 于A ，B 两点，且直线AB 的斜率为1-，若F 为C 的焦点，点(),M x y为C 上的动点，点N 是C 的准线与坐标轴的交点，则MN MF的最大值是（）A B ．2 C D二、多选题9．下列叙述不正确的是（）A ．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B ．,,,,a a a a ⋯是等比数列C ．数列0，1，2，3，…的通项公式为n a n =D ．数列1n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列10．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则（）A ．{}1n n a a +的公比为9B ．{}31log n a +的前20项和为210C ．{}n a 的前20项积为2003D ．()111()231nn k k k a a -+=+=-∑11．（多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987L 是意大利数学家莱昂纳多⋅斐波那契(Leonardo?Fibonacci)在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列结论正确的有（）A ．3k a 不一定是偶数B ．10112120221k k a a -==∑C ．20212021202212k k a a a ==∑D ．202020221S a =-三、填空题12．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若2465πa a a ++=，246b b b =则1726tan1a a b b +=-．13．已知数列{}n a 是等比数列，且2254a a =．设2l o g n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则7S =．14．设直线:10l x y +-=，一束光线从原点O 出发沿射线()0y kx x =≥向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N ．若MN =u u u u r 则k 的值为．四、解答题15．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，15932,5a a a a =+=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()*1211,N n n n n b a b a b n ++==∈，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n S .16．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①首项11a =，*,m n ∀∈N 均有22m n n S S mn m +=++；②*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S +=，从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}2na n a ⋅前n 项和nT的表达式.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18．已知点(1,0)S -，T 是圆F ：()22116x y -+=上的任意一点，线段ST 的垂直平分线交FT 于点N ，设动点N 的轨迹曲线为W ； (1)求曲线W 的方程；(2)过点F 作斜率不为0的直线l 交曲线W 于AB 、两点，交直线4x =于P ．过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C 点，直线BQ 交x 轴于D 点，求线段CD 中点M 的坐标．19．伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见形式为：当1,1x a >-≥时，(1)1a x ax +≥+，当且仅当1a =或0x =时取等号．(1)假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，以此增长率为依据，试判断6年后该地区人口的估计值是否能超过107万？(2)数学上常用1ni i a =∏表示1a ，2a ，L ，n a 的乘积，*121,ni n i a a a a n ==⋅∈∏N L ．①证明：1221ni i i =⎛⎫> ⎪-⎝⎭∏②数列{}n a ，{}n b 满足：n a n =，()22213212!n n a a a b n -⋅=L L ，证明：121n b b b ++++<L。

山东省临沂市郯城一中2012-2013学年高二4月月考文科数学

郯城一中2012-2013学年高二数学下学期月考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A B 等于（）A.{|1}x x ≤B.{|12}x x ≤<C.{|01}x x <≤D.{|01}x x <<2.函数()xx x f 2log 12-=的定义域为（） A.()+∞,0 B.()+∞,1 C.()1,0 D.()()+∞,11,0 3.设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（）A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件4.设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x =π对称，则下列判断正确的是（）A. p 为真B. q ⌝为假C.p q ∧为假D.p q ∨为真5.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A.28 B.76 C.123 D.1996.下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1，其中的真命题为（）A.p 2，p 3B.p 1，p 2C.p 2，p 4D.p 3，p 4 7. ()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()32xf x x a a =-+∈R ，则()2f -=（）A.-1B.-4C.1D.48.曲线e 2xy x =+在点()01，处的切线方程为（） A.1y x =+ B.1y x =- C.31y x =+ D.1y x =-+9.已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5l o g 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为（）A ．2B ．4C ．6D ．810.()2210x y +-=所表示的曲线的图形是（）11.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，()()2l o g 1fx x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为-8，其中正确的是（）A.甲，乙,丁B.乙,丙C.甲,乙,丙D.甲,丁12.设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A.x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B.x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C.x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D.x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0第II 卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上.）13.设()244+=x x x f .则⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20132012201332013220131f f f f ________.14.定义运算11a b212212=-a a b a b b ，则函数2+3()=x x f x x113x的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是______________.15.已知函数()()()()⎩⎨⎧≥+-<=0,430,x a x a x a x f x ，满足对任意21x x ≠，都有()()02121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是 .16.给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）: ①"0,,"b a b a R b a =⇒=-∈则若类比推出"0,,"b a b a C b a =⇒=-∈则若； ②",,,,,"d b c a di c bi a R d c b a ==⇒+=+∈则若类比推出",22,,,,"d b c a d c b a Q d c b a ==⇒+=+∈则若③"0,,"b a b a R b a >⇒>-∈则若类比推出"0,,"b a b a C b a >⇒>-∈则若其中类比得到的结论正确的序号是______________（把所有正确命题的序号都写上）.郯城一中2012-2013学年高二数学下学期月考试卷填空题答题区域（每题4分，共16分）：13. 14.15. 16.三、解答题（本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设{}{}01,01582=-==+-=ax x B x x x A .（1）若51=a ，试判定集合A 与B 的关系；（2）若A B ⊆，求实数a 组成的集合C.18.（本小题满分12分）已知函数()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,222x mx x x x x x x f 是奇函数. （1）求实数m 的值;（2）若函数()x f 在区间[]2,1--a 上单调递增，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知复数21,43z i z +=的平方根是i 32+，且函数()12+=x xx f . （1）求()21z z f +；（2）若()z i z f 求,1+=.20.（本小题满分12分）已知函数()x f 都任意的R b a ∈、都有()()()1-+=+b f a f b a f ，且,0时>x ()1>x f . （1）判定()x f 在R 上的单调性；（2）若()()323,542<--=m m f f 解不等式.21.（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）22.（本小题满分14分）已知函数()()()3212f x x a x a a x =+--+ ()a ∈R ，()'f x 为()f x 的导数.（1）当3a =-时，证明()y f x =在区间()1,1-上不是单调．．．．函数；（2）设()19163g x x =-，是否存在实数a ，对于任意的[]11,1x ∈-，存在[]20,2x ∈，使得()()1122f x ax g x '+=成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.高二月考参考答案二、填空题：13、1006 14、6x-3y-5=0 15、0＜a ≤1／4 16、①② 三、解答题：17、()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⊆31,51,021C A B 18、（1）m=2 (2) 1＜a ≤3 19、()()()i z i =+2654334120、（1）增函数（2）-1＜m ＜4／3 21. 解：（1）因为4x =时，21y =，代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=，解得10m =.（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦，从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<. 令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减，所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.22.解：（1）当3-=a 时，()3243f x x x =+-x ，()2383f x x x '=+-，其对标轴为34-=x . 当()1,1x ∈-时，()f x '是单调增函数，又()()180,180f f ''-=-<=>，在()1,1-上，由()0f x '=，得1=3x ；在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上)(x f '＜0，()f x 为减函数；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上)(x f '＞0，()f x 为增函数.由上得出在()1,1-上，()f x 不是单调函数. ………………6分（2）在[]0,2上()19163g x x =-是增函数，故对于[]20,2x ∈，()21,63g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ………6分设()()()[]21111112322,1,1h x f x ax x x a a x '=+=+-+∈-.()1162h x x '=+，由()10h x '=，得311-=x . …………………8分要使对于任意的]1,1[1-∈x ，存在]2,0[2∈x 使得()()12h x g x =成立，只需在[]1,1-上， -()1163h x ≤≤， …………9分在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上()1'0h x <；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上()1'0h x >，所以311-=x 时，()1h x 有极小值211233h a a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭.又()()22112,152h a a h a a -=--=--，因为在[]1,1-上()1h x 只有一个极小值，故()1h x 的最小值为a a 2312---. 222126,526,112,33a a a a a a ⎧⎪--≤⎪--≤⎨⎪⎪---≥-⎩ 解得02≤≤-a . ………………………………14分。

河北省石家庄市正中实验中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题

河北省石家庄市正中实验中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题三、填空题四、解答题（1）求证：BN ⊥平面111A B C ；（2）求二面角M AB C --的余弦值.21．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[)90,100内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；(2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中15σ≈，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附参考数据，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．22．已知点(1,2)P -在抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作直线交抛物线于A ，B 两点，过A 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于另一点M ．证明：直线BM 过定点．。

四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．．有两个等差数列2，6，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）．15B．17D．18二、多选题9．下列求导运算正确的是（）A ．若()()sin 21f x x =-，则()()2cos 21f x x ¢=-四、多选题11．过点(),0P a 作曲线x y xe =的切线，若切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（）A ．2B ．0C ．4-D ．6-12．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21L 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记n S 为该数列的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．1189a =B ．2023a为偶数C ．135********a a a a a++++=L D ．24620242023a a a a S++++=L所以使0n S >成立的n 的最大值为32，故D 错误.故选：AC 11．AD【分析】设切点为000(,)x x x e ，求得切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，将切线过点(,0)P a ，代入切线方程，得到2000x ax a --=有两个解，结合0D >，即可求解．【详解】由题意，函数x y xe =，可得(1)x y x e ¢=+设切点为000(,)x x x e ，则000|(1)x x x y x e =¢=+，所以切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，切线过点(,0)P a ，代入得()()000001x x x e x e a x -=+-，即方程2000x ax a --=有两个不同解，则有240a a D =+>，解得0a >或4a <-．故选：AD.12．ACD【分析】根据递推关系计算出11a 的值可判断选项A ；根据数列中项的特点可判断选项B ；由()112n n n aa a n -++=³可得()112n n n a a a n +-=-³，再化简可判断选项C ；由21a a =，()112n n n a a a n -++=³化简整理可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由题意知：11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，821a =，978132134a a a =+=+=，1089213455a a a =+=+=，11910345589a a a =+=+=，故选项A 正确；对于B ：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此答案第161页，共22页。

高二数学4月月考试题

高二数学4月月考试题（文科）阮晓锋一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、抛物线2y x =的焦点坐标为( D )A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2、已知命题P ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是( D ) A ．q p ∨⌝)(B ．q p ∧C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．)()(q p ⌝∨⌝3、人造地球卫星的运行轨迹是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面距离分别为2R 、52R，则卫星轨迹的长轴长为( A )A ．5RB ．4RC ．3RD ． 2R4．某保险公司的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而实际反映的效果并不是很好，原来这句话的等价命题是（ D ） A ．不幸福的人们都不拥有B ．不拥有的人们可能幸福C ．拥有的人们不一定幸福D ．不拥有的人们不幸福5、“方程22121x y m m-=++表示双曲线”的一个充分不必要条件是(D ) A ．21m -<<- B ．2m <-或1m >- C ．0m < D ．0m > 6．下列命题中，真命题是（ B ）A ．m R ∃∈，使函数2()()f x x mx x R =+∈是奇函数 B ．m R ∃∈，使函数2()()f x x mx x R =+∈是偶函数 C ．m R ∀∈，使函数2()()f x x mx x R =+∈是奇函数 D ．m R ∀∈，使函数2()()f x x mx x R =+∈是偶函数 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能为下面的（ C ）8()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，且满足()()0xf x f x '+<，对任意正数,a b ，a b <若则必有（ D ）A ．()()af b bf a <B ．()()bf a af b <C ．()()af a bf b <D ．()()bf b af a <9．A 、B 是双曲线15422=-y x 右支上的两点，若弦AB 的中点到y 轴的距离是4，则AB 的最大值是（ A ）A. 8B. 12C. 5D. 1010、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=( B )A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共35分.11、若命题:p x R ∃∈，使得1sin >x ，则p ⌝：．,s i n 1x R x ∀∈≤12、双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=没有公共点，则双曲线离心率的范围是(1,2)13．已知2()(2)f x x xf '=-，则(0)f '等于 -214椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为--221259x y +=15、已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆所在平面内一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹可能是下列图形中的：①③⑤⑥（填写所有可能图形的序号）①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．16已知22:46,:210(0)P x q x x a a -≤-+-≥>，若非p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围为____(0,3]__.17若椭圆过点P （2，1）引一弦，使弦在这点被平分，则此弦所在直线l 的方程为.x+2y-4=0三、解答题：本大题共5小题, 共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．(本小题满分12分)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 18．解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2x x x x f +--= 312400050000(0)5x x x =-+-≥ ………………6分2123()240000200,200()5f x x x x '=-+===-由解得舍去0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：)(31500005000020024000)200(51)200(3元=-⨯+-=f …………11分答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. ……12分 19、（本题13分）已知双曲线22:14x C y -=和定点12,2P ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求过点P 且与双曲线C 只有一个公共点的直线方程；（2）双曲线C 上是否存在,A B 两点，使得1()2OP OA OB =+成立？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.19、（1）（6分）210,230,5860,2x y x y x y x --=+-=--==（2）（7分）法一：设存在1122(,),(,)A x y B x y 两点符合题意，则12124,1x x y y +=+= 同（1）知12,x x 是方程222(41)(164)(1685)0k x k k x k k ---+-+=的两根122(164)41k k x x k -∴+=-，2(164)441k k k -∴=-，1k ∴= 而用判别式判定知1k =不符合题意，所以符合题意的直线AB 不存在。

黑龙江省齐齐哈尔市克东县第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题(含答案)

高二数学考试全满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线的焦点坐标为（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数在处的导数为3，则（）A．B ．3C ．6D ．3．已知等比数列中，，，则公比（）A ．2B ．C ．4D ．4．已知函数，则的极小值点为（）A ．B ．1C ．D ．5．已知等差数列的前项和为，，，则数列的公差是（）A ．B ．C ．D ．36．设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A ．B ．22136y x -=()(0,()3,0±()0,3±()f x 0x x =()()00Δ0Δlim2Δx f x x f x x→+-=3223{}n a 11a =48a =-q =2-4-()()23e xf x x =-()f x 3-36e-2e-{}n a n n S 817a =17340S ={}n a 4-3-14P ()e xf x =-P αα2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭π2π0,,π23⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．D ．7．等比数列的前项和，则（）A ．B ．C ．0D ．8．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（）A ．数列的首项为1B ．C ．D ．数列的公比为10．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）A ．B ．向量与C ．平面的一个法向量是D ．点到平面11．下列说法正确的是（）π2π,23⎛⎫⎪⎝⎭π2π0,,π23⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭{}n a n 32nn S a b =⋅-2ab -=2-32-32()21ln 2f x ax x =-1,23⎛⎫⎪⎝⎭a ()9,+∞1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭(),9-∞1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭{}n a 5323a a -={}n b 21b =44b ={}n a 73a =616b ={}n b 2±1111ABCD A B C D -E 1BB F 11A D 1DB =AE 1AC AEF ()4,1,2-D AEFA ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm ）与时间（单位：min ）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______．13．等比数列的各项均为正数，且，则______．14．已知点，是椭圆上的两点，且直线恰好平分圆，为椭圆上与，不重合的一点，且直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．16．（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．17．（本小题满分15分）已知抛物线，其准线方程为．（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，，若以线段为直径的圆过坐标原点，求的值．18．（本小题满分17分）12x x <1212sin sin x x x x -<-12x x <1212sin sin x x x x ->-12e x x <<2112ln ln x x x x <12e x x <<2112ln ln x x x x >y t y =4min t =mm min {}n a 3134a a ⋅=2122215log log log a a a +++= A B ()2222:10x y G a b a b+=>>AB ()2220x y R R +=>M G A B MA MB 13-G ()32f x x ax bx c =+++()0,2P -1-1x =()f x []1,2x ∈-()f x {}n a n n S 23a =55S ={}n a 3nn n b a =-{}n b n n T ()2:20C y px p =>2x =-C :l y x m =+P Q PQ m已知数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）后不等式对任意恒成立，求的取值范围．19．（本小题满分17分）已知函数．（1）若，证明：；（2）若，，都有，求实数的取值范围．高一数学考试参考答案、提示及评分细则1．C 由全称命题的否定知原命题的否定为，．故进C ．2．A 如果一架飞机向西飞行400km ，再向东飞行500km ，记飞机飞行的路程为．．所以．故选A ．3．B 因为．所以，．故选B ．4．A ，最小正周期为．故速A ．5．D，则，则，故选D ．6．C 由正弦定理，解得．因为．所以．又因为，所以或，故此三角形有两解．故迭C ．{}n a n 21n n nS a n =+14a =n α()2235n n n a λ--<-*n ∈N λ()()()e 10xxf x a a a=--≠1a =()0f x ≥()10,x ∀∈+∞()()2120,x x x ∈+∞≠()()12221212f x f x x x ->-a x ∃∈R 212x x ≤-400500900km s =+=500400100km a =-=900100800km s a -=-=a b ⊥sin 2cos 0αα-=tan 2α=()2cos 21f x x =-+2ππ2T ==π3cos 2sin 65ααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π3sin 610α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππ41cos 2cos 212sin 36650ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin sin a b A B =41sin 2B =sin B =a b <A B <()0,πB ∈π4B =3π4B =7．D 易知定义域为，关于原点对称，因为，所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项A ，B ；当时，，；当时，，，因此排除选项C ，故选D ．8．C 因为．所以，所以，因为，，三点共线，所以，即，所以，又，所以．故速C ．9．AD 根据平面向量相等的定义，A 正确；若，则不能推出，B 错误；表示与共线的向量，表示与共线的向量，C 错误；根据平面向量基本定理．D 正确．故选AD ．10．BC，，故为的一条对称轴，故的对称轴可表示为，故A 错误，B 正确；是零点，故．故C 正确，D 错误．故选BC ．11．ABC 因为为正六边形，即每个内角都为．()(),00,-∞+∞ ()()221e e 11e 1ex x x x f x f x -===---0x >2e 1x >()0f x >0x <20e 1x<<()0f x <3AD DB =43AB AD = 1143AP mAC AB mAC AD =+=+ C P D 113m +=23m =2134AP AC AB =+ 34CD AD AC AB AC =-=-222133213441634AP CD AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33113316934361694222=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-+=-0b =a c ∥()a b c ⋅c ()a b c ⋅a 5πππ2ππ26322T T ωω-==⇒==⇒=1π5π7π23612x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭7π12x =()f x ()f x ()7ππ122x k k =+⋅∈Z π3 ()2π2πππ33k k k ϕϕ+=⇒=-∈Z ABCDEF 120︒对于A ，，故A 正确；对于B ，为等边三角形，设正六边形边长为，中点为，连接，则，，，所以，即，故B正确；对于C ．易知，，故C 正确；对于D ，根据投影向量的定义，在上的投影向量为，故D 不正确．故选ABC ．12．．1314．且，且为䢁角，所以，解得，当时，，此时与夹角为，不成立，且．15．解：（1），；（2）当向量与向量互相垂直时，，即，即，解得．16．解：（1），即，即；BD BF FD AC -==BDF △a DF MAM DF =2BE a =32BM a =3232BM BE a ==322BD BF BM BE +== 90FAC ∠=︒22cos FC FA FC FA AFC FC FA ⋅=⋅∠==AC AB1AC112-()()22311221822a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=+-=-11ππππcos cos 3πsin 3266x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1k <4k ≠-cos a b a b θ⋅==⋅ θ220k -<1k <a b ∥4k =-a b π1k ∴<4k ≠-cos 6012cos 601a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯︒=2a b +====a b λ-3a b +()()30a b a b λ-⋅+=()223310a b a b λλ-+-⋅=12310λλ-+-=134λ=()22222cos cos 2cos b C c b B a b c aAc a bc +=+-=⋅cos cos 2cos b C c B a A ⇒+=sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=1sin 2sin cos cos 602A A A A A =⇒=⇒=︒（2）由余弦定理有．当且仅当时取等号，故的最小值为1．17．解：（1）因为，且，所以，解得，所以的定义域需满足解得，即函数的定义域为；（2），由，可得．①当时，函数的值域为，②当时，函数的值域为．18．解：（1，又在中，，所以，；（2）由正弦定理可得，则，，．在锐角三角形中，，则，．综上，的取值范围为．()()2222223312bc a b c bc b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+-⋅= ⎪⎝⎭1b c ==a ()()()()22log 2log 40,1f x x x a a =++->≠()23f =()2222log 4log 23log 23f =+==2a =()()()22log 2log 4f x x x =++-20,40,x x +>⎧⎨->⎩24x -<<()f x ()2,4-()()()()()222222log 2log 4log 28log 19f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦24x -<<()20199x <--+≤1a >()f x (]2,2log 3-∞01a <<()f x [)22log 3,+∞cos sin C c A =cos sin sin A C C A =ABC △sin 0A ≠sin C C =tan C =()0,πC ∈ π3C ∴=πsin sin sin 3a b c A B C ===4sin a A =4sin b B =ππ4sin 4sin 4sin 4sin 6sin 36a b A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π0,22π0π32A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A ⇒<<ππ2,π633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 16A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭(6,a b +∈a b +(6,19．解：（1），（2）以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．则，，，，，，，，，．综上，的取值范围是．2222AC AB AC AB AC AB+=++⋅1616244cos 60︒=++⨯⨯16348=⨯=AC AB ∴+=A AB x ()0,0A ()4,0B (2,C ()4cos ,sin PB αα=-- ()2cos ,sin PC αα=--()()()4cos 2cos sin sin PB PC αααα⋅=----π96cos 93a αα⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭π03α≤≤ππ2π333a ∴≤+≤πsin 16a ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π9933a ⎛⎫∴-≤-+≤ ⎪⎝⎭PB PC ⋅9⎡⎤-⎣⎦。

2024年厦门市同安区高二数学4月第一次月考试卷附答案解析

2024年厦门市同安区高二数学4月第一次月考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2024.04一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设函数()3f x x =，则()()11limx f x f x∆→+∆-=∆（）A ．3B ．2C ．1D ．1-2．在等差数列{}n a 中，若2612a a +=，58a =，则10a 等于（）A ．20B ．18C ．16D ．12-3．若3212n n n A C -=，则n =（）A ．4B ．6C ．7D ．84．在5(2)x +的展开式中，2x 项的系数为（）A ．1B ．10C ．40D ．805．若函数()ln mf x x x=-在[]1,3上为增函数，则m 的取值范围为（）A ．(],1-∞-B ．[)3,-+∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-6．著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数()f x =A ．B ．C ．D ．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，过2F 的直线交椭圆于,M N两点，若OM c =（O 为坐标原点），123MF NF =，则椭圆C 的离心率为（）A B 22C ．32D 8．设2ln1.01a =，ln1.02b =，0.02c =，则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A ．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．甲乙不相邻的排法种数为82种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种10．如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A ．11D P AB ⊥B ．1D P 与AC 所成的角可能是π6C ．1AP DC ⋅u u u r u u u u r是定值D ．当12A P PB =时，点1C 到平面1D AP 的距离为211．已知函数()cos f x ax x =+的定义域为[]0,π，则下列说法正确的是（）A ．若函数()f x 无极值，则1a ≥B ．若1x ，2x 为函数()f x 的两个不同极值点，则()()12πf x f x a +=C ．存在R a ∈，使得函数()f x 有两个零点D ．当1a =时，对任意[]0,πx ∈，不等式()21e 2x f x x ≤+恒成立三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知曲线()2e xy mx =+在()0,2处的切线的斜率为1-，则m =.13．2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是.14．已知函数()1e xf x x -=-，函数()1lng x x x =--，则函数()g x 的极小值点为；若1x ∀≥，()()f x ag x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．设函数()2ln 1,R f x x ax a =++∈．(1)当12a =-时，求函数()y f x =在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值；(2)讨论函数()y f x =的单调性．16．如图所示，等边ABC 所在平面与菱形ACDE 所在平面相垂直，2AC =，120EAC ∠=︒，//BC FD ，1FD =(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求平面ABC 与平面BEF 所成角的余弦值.17．某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA 、OB 、AC 及曲线段BC 围成．经测量，AOB 90∠= ，100OA OB ==米，曲线BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA 、OB 的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在曲线段BC 上，点E 、F 分别在线段OA 、OB 上，且该游乐场最短边长不低于30米．设DF x =米，游乐场的面积为S 平方米．(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程；(2)求面积S 关于x 的函数解析式()S f x =；(3)试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大．（结果精确到0.1 2.45≈，1.73≈）18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，直线():sin cos 0πl x y b θθθ+=<<与C 相交于A 、B 两点．(1)求直线l 被圆222:O x y a +=所截的弦长；(2)当π2θ=时，245AB =．（i ）求C 的方程；（ii ）证明：对任意的()0,πθ∈，ABF △的周长为定值．19．已知函数()2e (0)xf x ax a =->．(1)若()0,x ∈+∞时，函数()f x 有2个不同的零点，求a 的取值范围；(2)已知()f x '为函数()f x 的导函数，()f x '在R 上有极小值0，对于某点()()00,P x f x ，()f x 在P 点的切线方程为()y g x =，若对于R x ∀∈，都有()()()00x x f x g x -⋅-≥⎡⎤⎣⎦，则称P 为好点．①求a 的值；②求所有的好点．1．A【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.【详解】函数()3f x x =，()23f x x '=，()13f '=，()()()011lim13x f x f f x∆→+∆-'==∆,故选：A 2．B【分析】设等差数列{}n a 为1a ，公差为d ，由2612a a +=，58a =，可得1,a d ，即可得答案.【详解】设等差数列{}n a 为1a ，公差为d ，因2612a a +=，58a =，则11126120482a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，故101918a a d =+=.故选：B 3．D【解析】直接根据排列数与组合数公式求解即可．【详解】解：∵3221212n n n n A C C -==，∴()()()112122n n n n n ---=⨯，即26n -=，∴8n =，故选：D ．【点睛】本题主要考查排列数与组合数公式，属于基础题．4．D【分析】利用通项求解可得.【详解】通项公式为515C 2rrr r T x -+=，当2r =时，232235C 280T x x ==，所以2x 项的系数为80.故选：D 5．C【分析】求出函数的导数，问题转化为0x m +≥在[]1,3恒成立，参变分离求出m 的范围即可.【详解】已知函数()ln mf x x x =-在[]1,3上为增函数，则()2210m x m f x x x x'+=+=≥在[]1,3恒成立，即0x m +≥在[]1,3恒成立，则()max m x ≥-，解得1m ≥-.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题．6．C【解析】利用()f x 的奇偶性和()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的符号可选出答案.【详解】因为()f x 的定义域是{}0x x ≠()cos()1xf x f x--==-所以()f x是奇函数，排除A、B因为当0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x>，排除D故选：C7．B【分析】首先根据题意设2NF m=，得到13MF m=.根据OM c=，得到1290F MF∠= ，根据勾股定理得到3am=，再求离心率即可.【详解】如图所示：设2NF m=，因为123MF NF=，所以13MF m=.又因为122MF MF a+=，所以223MF a m=-，即22MN a m=-.因为122NF NF a+=，所以12NF a m=-.因为1212OM c F F==，所以1290F MF∠= .在1Rt MF N中，()()()2223222m a m a m+-=-，解得3am=，即12MF MF a==，所以()2222a a c+=，即222a c=.所以22212cea==，2e=.故选：B8．C【分析】先利用对数函数的单调性半径a，b的大小，再构造函数()()()()ln10,1f x x x x=+-∈比较a 和c，c和b的大小即可.【详解】2222ln1.01ln1.01ln(10.01)ln(120.010.01)ln1.02a b===+=+⨯+>=，令()()()()ln 10,1f x x x x =+-∈，则()1101f x x'=-<+，所以()f x 在()0,1x ∈上递减，则()()00f x f <=，即()()()ln 10,1x x x +<∈，则()ln1.02ln 10.020.02b c ==+<=，()2ln1.012ln 10.0120.01a c ==+<⨯=，所以b a c <<，故选：C 9．ABD【分析】对于A ，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B ，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C ，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D ，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断.【详解】对于A ，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有4424A =种，A 正确；对于B ，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有4424A =种排法；若最左端排乙，有1333C 18A =种排法，合计不同的排法共有42种，B 正确；对于C ，甲乙不相邻的排法种数有323472A A =种，C 不正确；对于D ，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有553320A A =种，D 正确.故选：ABD 10．AC【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助数量积公式与点平面距离公式逐项计算即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、()10,0,3D 、()3,0,0A 、()3,3,0B 、()13,3,3B 、()13,0,3A 、()0,3,0C 、()10,3,3C 、则()10,3,3AB = ，()10,3,3A B =-，()3,3,0AC =- ，()113,0,0D A =，()10,3,3DC =，设11A P A B λ=，()0,1λ∈，则()10,3,3A P λλ=- ，()11113,3,3D P D A A P λλ=+=- ，故()110333330D P AB λλ⋅=⨯+⨯+⨯-=，即11D P AB ⊥，故A 正确；若1D P 与AC 所成的角可能为π6，则存在()0,1λ∈，使得1π3cos ,cos 62D P AC == 成立，即111cos ,2D P AC D P AC D P AC ⋅==⋅，化简得24410λλ++=，即12λ=-，由()0,1λ∈，故舍去，即1D P 与AC 所成的角故可能是π6，故B 错误；()110,3,33AP AA A P λλ=+=-，故()193339AP DC λλ⋅=+-=，故C 正确；当12A P PB =时，有1123A P A B =，故()0,2,1AP = ，()13,0,3D A =- ，设平面1D AP 的法向量为(),,m x y z =，则有20330y z x z +=⎧⎨-=⎩，令2x =，则有()2,1,2m =-，则点1C 到平面1D AP的距离11DC m d m ⋅===，故D 错误.故选：AC.11．BCD【分析】函数()f x 无极值，则()0f x '≥或()0f x '≤，求解即可判断A ；若1x ，2x 为函数()f x 的两个不同极值点可得()()120f x f x ''==，即12πx x +=，代入可求出()()12f x f x +的值，可判断B ；要使得函数()f x 有两个零点，即cos y x =与y ax =-有两个交点，画出图象即可判断C ；当1a =时，对任意[]0,πx ∈，不等式()21e 2x f x x ≤+恒成立即证明()21cos e 02x g x x x x =+--≤在[]0,πx ∈上恒成立即可判断D.【详解】对于A ，若函数()f x 无极值，()sin f x a x =-'，[]0,πx ∈，则()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，则()max sin a x ≥或()min sin a x ≤，当[]0,πx ∈，则[]sin 0,1∈x ，解得：1a ≥或0a ≤，故A 不正确；对于B ，若1x ，2x 为函数()f x 的两个不同极值点，()()1212sin sin 0'==--'==f x f x a x a x ，所以12sin sin x x =，因为[]0,πx ∈，则12πx x +=，∴()()121122cos cos πf x f x ax x ax x a +=+++=，故B 正确；对于C ，存在R a ∈，使得函数()f x 有两个零点，cos cos =-⇒=x ax y x 与y ax =-有两个交点，cos y x =在()π,1-处的切线平行于x 轴，过原点的切线在()π,1-的左侧稍微旋转后可得两个交点，故C 正确；对于D ，当1a =时，对任意[]0,πx ∈，不等式()21e 2x f x x ≤+恒成立()2211cos e cos e 022x x x x x g x x x x +≤+⇒=+--≤，()20100cos00e 02g =+-⨯-=，()1sin e x g x x x =--'-，()001sin00e 0g =---='，令()1sin e xh x x x =---，()cos 1e 0x h x x --'=-≤对任意[]0,πx ∈恒成立，()1sin e x h x x x =---在[]0,π上单减，()001sin00e 0h =---=，()1sin e 0x h x x x =---≤对任意[]0,πx ∈恒成立，所以()0g x '≤，()21cos e 2x g x x x x =+--在[]0,π上单减，()20100cos00e 02g =+-⨯-=()21cos e 02x g x x x x =+--≤对任意[]0,πx ∈恒成立，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.12．3-【分析】利用导数的几何意义求解.【详解】因为(2)e x y mx =+，所以(2)e x y mx m '=++，当0x =时，2y m '=+，因为曲线在点()0,2处的切线的斜率为1-，所以21m +=-，解得3m =-，故答案为：3-13．36【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照1:2:2分组计算方法数；②还有人选，按照1:1:3部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可.【详解】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2的选法总数为：233318C A =，若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：11332322C C A 18A =，所以不同的选法总数为:181836+=.故答案为：36.14．1(],1-∞【分析】利用导数分析函数()g x 的单调性，可求得该函数的极小值点；分析得出1ln 0x x -≥≥，构造函数()e xh x ax =-，可知函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，则()0h x '≥在[)0,∞+上恒成立，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围.【详解】因为()1ln g x x x =--定义域为()0,∞+，()111x g x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；则当1x =时，函数()g x 的取得极小值，即函数()g x 的极小值点为1，且()()1ln 10g x x x g =--≥=，即1ln x x -≥，因为()()f x ag x ≥，即()1e 1ln x x a x x --≥--，其中1x ≥，()1ln e 1ln e ln x x a x x a x a x -∴--≥-=-，构造函数()e x h x ax =-，当1x ≥时，1ln 0x x -≥≥，则()()1ln h x h x -≥，故函数()e x h x ax =-在[)0,∞+上为增函数，所以，()e 0x h x a '=-≥对任意的0x ≥恒成立，所以，()min e 1x a ≤=.故答案为：1；(],1-∞.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于构造新函数()e x h x ax =-，将问题转化为函数()h x 在[)0,∞+上的单调性，结合导数以及参变量分离法求解.15．(1)最大值为12，最小值为212e -(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，求得()21x f x x-'=，求得函数的单调区间，进而求得其最值；（2）根据题意，求得()212ax f x x+'=，分类0a ≥和0a <，两种情况讨论，进而求得函数的单调区间.【详解】（1）解：当12a =-时，函数()212ln 1f x x x =-+，其中1e x ⎡∈⎢⎣且()211x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，可得1x =，当1[1)ex ∈,时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以，当1x =，函数()f x 取得最大值，最大值为()112f =，又由2211111(ln (1,e e 2e 2e f f =-+=-=，因为212e -<，所以函数()f x 的最小值为211()e 2ef =-.（2）解：由函数()2ln 1,(0,)f x x ax x =++∈+∞，且()21122ax f x ax x x+='=+当0a ≥时，可得()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0a <时，令()0f x '=，可得x =，（其中x =，舍去），令()0f x ¢>，可得0x <<()0f x '<，可得x >所以函数()f x 在上单调递增，在)+∞单调递减.综上可得：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当a<0时，()f x 在上单调递增，在)+∞单调递减.16．(1)证明见解析【分析】（1）根据平行关系，证明平面//DEF 平面ABC ，即可证明线面平行；（2）根据垂直关系，以AC 的中点为原点，如图，建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）因为四边形ACDE 是菱形，所以//AC DE ，且DE ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//DE 平面ABC .又因为//DF BC ，DF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以//DF 平面ABC ，因为DF DE D = ，且DE ，DF ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面ABC ，又因为EF ⊂平面DEF ，所以//EF 平面ABC ；（2）取AC 中点O ，连接OB ，OD ，因为四边形ACDE 是菱形，且120EAC ∠=︒，则60ACD ∠=︒，所以ACD 是等边三角形，则OD AC ⊥，因为平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE 平面ABC AC =，OD ⊂平面ACDE ，所以OD ⊥平面ABC ，因为ABC 是等边三角形，所以OB AC⊥分别以OB ，OC ，OD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)B，(D ，()0,1,0C ，()0,1,0A -，可得)1,0CB =- ，由11,,0222DF CB ⎫==-⎪⎪⎝⎭，可得1,22F -⎝.又由()0,2,0DE CA ==-，可得(0,E -，所以(BE =-，3,,022EF ⎫=⎪⎪⎝⎭ 设平面BEF 的法向量为(),,n x y z = ，则00EF n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得203022y x y ⎧-=+=⎩，取x =1y =-，所以n ⎫=-⎪⎪⎭，又由平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，所以3cos ,13m n == ，所以平面ABC 与平面BEF所成锐二面角的余弦值为13.17．(1)()2110005050y x x =-+≤≤(2)()()31100305050S f x x x x ==-+≤≤(3)当40.8x =时，即点D 到OB 距离为40.8米时，游乐场面积最大.【分析】（1）先以O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）根据（1）求出DE ，求出矩形面积S ；（3）利用导数判断单调性，根据单调性求出最大值.【详解】（1）以O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()100,0A ，()0,100B ，()50,50C ，设曲线BC 所在的抛物线方程为2y ax c =+，a<0，点,B C 在抛物线上，则100250050c a c =⎧⎨+=⎩，解得150a =-，100c =，所以曲线段BC 所在的抛物线方程为2110050y x =-+()050x ≤≤.（2）因为点D 在曲线段BC 上，DF x =，3050x ≤≤，所以2110050DE x =-+，()23111001005050S f x x x x x ⎛⎫∴==-+=-+ ⎪⎝⎭，3050x ≤≤.（3）()2310050f x x =-+' ，3050x ≤≤，令23100050x -+=，解得63x =±，当50630,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x '>，当506,503x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，所以50630,3x ⎡∈⎢⎣⎭时，函数()f x 单调递增，5063x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，函数()f x 单调递减，因此，当506x =50610000639S f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭是极大值也是最大值，6 2.45≈，40.8x ∴≈米，即当点D 在曲线段BC 上且到OB 的距离为40.8米时，游乐场的面积最大.18．(1)6(2)（i ）2212516x y +=；（ii ）证明见解析.【分析】（1）由点到直线的距离得圆O 到直线l 的距离d b =，再利用几何法求出直线与圆的相交弦长，从而可求解.（2）（i ）当π2θ=时，直线l 的方程为x b =，将该直线方程代入椭圆方程，求出AB ，根据已知条件求出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的方程；（ii ）求出原点到直线AB 的距离，将直线AB 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理分析额可知点A 、B 的横坐标均为正数，利用勾股定理、椭圆方程可求出ABF △的周长.【详解】（1）由题意得圆O 的圆心为()0,0O ，到直线l的距离d b ==，则直线l 被圆O所截弦长为26c ==.故直线l 被圆O 所截得的弦长为6.（2）解：当π2θ=时，直线l 的方程为x b =，（i ）联立22221x bx y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得bc y a =±，所以26245bc b AB a a ===，又因为222a b c =+，所以5a =，4b =，所以，椭圆C 的方程为2212516x y +=；（ii ）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则155x -≤≤，且2211161625y x =-，所以，AF =11335555x x =-=-，同理可得2355BF x =-，因为原点到直线AB的距离为4d b ===，过原点O作OM AB ⊥，垂足为点M ，如下图所示：所以，AB AM BM =+==123355x x ==+，联立22sin cos 412516x y x y θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222169sin 200sin 400sin 0x x θθθ+-+=，()22222Δ40000sin 1600sin 169sin 14400sin cos 0θθθθθ=-+=≥，当且仅当π2θ=时，等号成立，此时点A 、B 关于x 轴对称，合乎题意，因为()0,πθ∈，则0sin 1θ<≤，由韦达定理可得122200sin 0169sin x x θθ+=>+，2122400sin 0169sin x x θθ=>+，故1>0x ，20x >，所以，()1212333555AB x x x x =+=+，因此，ABF △的周长为()()121233101055AF BF AB x x x x ++=-+++=（定值）.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19．(1)2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)①e 2a =;②e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）当()0,x ∞∈+时，函数()f x 有2个不同的零点，分离常数可得2e x a x =有两个正根，构造函数()2e ,0xg x x x=>，利用导数考查单调性，即可求解；（2）由已知对函数求导，结合函数的几何意义可求得切线方程，构造函数()()()m x f x g x =-，然后结合函数的单调性及极值的存在条件及函数的性质分别求解即可.【详解】（1）当()0,x ∞∈+时，函数()f x 有2个不同的零点，即方程()2e 0x f x ax =-=有两个正根，即2e x a x=有两个正根，设()2e ,0x g x x x =>，则()()32e x x g x x -'=，则当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，又()2e 204g =>，当0x →时，()g x ∞→+，当x →+∞时，()g x ∞→+，故当2e 4a >时，函数在区间()0,∞+上存在两个零点，故a 的取值范围的取值范围为2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）①因为()2e (0)x f x ax a =->，则()e 2,x f x ax ='-设()()e 2,x h x f x ax ==-'则()e 2x h x a ='-，()e 20x h x a ='-=时，得ln 2x a =，则当(),ln 2x a ∞∈-时，()0h x '<，()f x '单调递减；当()ln 2,x a ∞∈+时，()0h x '>，()f x '单调递增，则ln 2x a =为函数()f x '的极小值点，则()ln 222ln 20f a a a a =-='，解得e2a =.②设()()00,P x f x 为好点，对于R x ∀∈，都有()()()00x x f x g x ⎡⎤-⋅-≥⎣⎦，当0x x =时，00≥成立；当0x x >时，()()0f x g x -≥恒成立，当0x x <时，()()0f x g x -≤恒成立，因为()f x 在P 点的切线方程为()()()()000g x f x f x x x '-=-，所以()()()()000g x f x x x f x -'=+，设()()()m x f x g x =-，即()()()()()000m x f x f x x x f x =---'，则()()()0m x f x f x ''-'=，又因为()f x '在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，当0x x >时，因为()()00,P x f x 是好点，则()()0f x g x -≥恒成立，若01x ≥，则()f x '在()0,x ∞+上单调递增，则()()0f x f x '>'，()()()00m x f x f x =-''>'恒成立，则()m x 在()0,x ∞+上单调递增，则()()()()0000m x m x f x g x >=-=，满足条件，故01x ≥成立；若01x <时，则()f x '在()0,1x 上单调递减，在()1,∞+上单调递增，在()0,1x x ∈时，()()0f x f x '<'，()()()00m x f x f x =-''<'，所以()m x 在()0,1x 上单调递减，()()()()0000m x m x f x g x <=-=矛盾，不满足题意.当0x x <时，因为()()00,P x f x 是好点，则()()0f x g x -≤恒成立，若01x ≤，则()f x '在()0,x ∞-上单调递减，则()()0f x f x '>'，()()()00m x f x f x =-''>'恒成立，则()m x 在()0,x ∞-上单调递增，则()()()()0000m x m x f x g x <=-=，满足条件，故01x ≤成立；若01x >时，则()f x '在(),1∞-上单调递减，在()01,x 上单调递增，在()01,x x ∈时，()()0f x f x '<'，()()()00m x f x f x =-''<'，所以()m x 在()01,x 上单调递减，()()()()0000m x m x f x g x >=-=矛盾，不满足题意.综上可知，01x ≥且01x ≤，故01x =，而()e e 1e 22f =-=，所以只有一个好点e 1,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

河南省洛阳市宜阳县第一高级中学2022-2023学年高二上学期第四次月考数学文科试题(含答案)

2022-2023学年河南省洛阳市宜阳第一高级中学高二（上）第四次月考数学试卷（文科）一､单选题（本大题共12题，每题5分，共60分）1.直线l 过点()1,2-且与直线2310x y -+=垂直，则l 的方程是（） A.3270x y ++= B.2350x y -+= C.3210x y +-= D.2380x y -+=2.设直线l 的方程为3410x y ++=，直线m 的方程为6830x y ++=，则直线l 与m 的距离为（） A.25 B.110 C.15 D.3103.()2,5P 关于直线0x y +=的对称点的坐标是（） A.()5,2 B.()2,5- C.()5,2-- D.()2,5--4.已知0a <，若直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则它们之间的距离为（） 72 52 5 5725.已知，圆221:O x y m +=与圆222:420O x y y +++=外切，则m 的值为（）A.22B.642-C.22D.642+6.若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则a =（） A.12 B.12- C.1 D.1- 7.若点()1,P a 到直线310ax y --=3a 的取值范围是（） A.230,230⎡--+⎣ B.6⎡-⎣C.6,6⎡-⎣D.26,26⎡-+⎣8.数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC 的顶点()()1,0,0,2,B C AB AC -=，则ABC 的欧拉线方程为（）A.2430x y --=B.2430x y ++=C.4230x y --=D.2430x y +-=9.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3y x =+的最短距离为（） A.22B.1 2 D.22 10.一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（）A.32B.52C.42D.6211.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点,A B 的距离为2，动点P 满足3PB PA=P 不在直线AB 上，则PAB 面积的最大值为（）A.1 3 C.2 D.2312.已知圆22(1)4x y -+=内一点()2,1P ，则过P 点的最短弦所在的直线方程是（） A.10x y --=B.30x y +-=C.30x y ++=D.2x =二､填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.圆221:100C x y y +-=与圆222:10C x y +=的公共弦长为__________.14.已知实数,x y 满足直线l 的方程230x y ++=2221x y y +-+__________. 15.若圆224x y +=上恰有230x y m -+=的距离等于1，则m 的取值范围是__________. 16.过点()2,1与圆225x y +=相切的直线的方程为：__________.三､解答题（本大题共6题，共70分）17.（1）已知直线()1:2140l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=平行，求实数m 的值（2）已知直线()()1:2110l a x a y ++--=与直线()()2:12320l a x a y -+++=垂直，求实数C 的值.18.直线34120x y -+=与坐标轴的交点是圆C 一条直径的两端点（1）求圆C 的方程；（2）圆C 的弦AB 2111,2⎛⎫⎪⎝⎭，求弦AB 所在直线的方程. 19.已知圆C 经过()()2,4,1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点. （1）求圆C 的标准方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的斜率.20.已知三点()()()2,0,1,3,2,2A B C 在圆C 上，直线:360l x y +-=，（1）求圆C 的方程；（2）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长.21.已知直线():2130l x ay a a R --+=∈与圆22:440C x y x y +--=相交于,A B 两点. （1）求直线l 过定点P 的坐标；（2）若直线l 斜率存在，且__________，求直线l 的方程.从以下三个条件中任选一个，补充在横线上，并求解.①直线l 平分圆C ；①弦AB 最短；①27AB =. 22.已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上. （1）求x y +的最大值；（2）求yx的最大值；（322245x y x y ++-+.答案和解析1.【答案】C 【解析】解：直线2310x y -+=的斜率为23，由垂直可得所求直线的斜率为32-， ∴所求直线的方程为()3212y x -=-+，化为一般式可得3210x y +-=故选：C . 2.【答案】B【解析】解：直线m 的方程可化为33402x y ++=，由两条平行直线间的距离公式知，2231121034-=+.故选：B . 3.【答案】C【解析】解：0,,x y y x x y +==-=-，所以对称点是()5,2--，故选：C . 4.【答案】A【解析】解：直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，所以()121a a +=⨯，且()2411,0a a ⨯≠-⨯+<，解得2a =-或1a =（舍），所以直线1:2210l x y -+=，直线2:2280l x y -+=，可得它们的距离22187242(2)d -==+-，故选：A . 5.【答案】B【解析】解：由两圆外切，圆()2:0,2O -，圆()1:0,0O ，且12,2r m r ，则圆心距为半径的和，所以有1222OO m ==，得642m =-B . 6.【答案】A【解析】解：圆22()1x a y -+=的圆心坐标为(),0a ，直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，∴圆心在直线210x y +-=上，可得2010a +-=，即12a =.故选：A . 7.【答案】A【解析】解：由点到直线的距离公式及题意可得P 到直线的距离2223121(3)9a a a d a a--+==+-+，22139a a ++，整理可得：24260a a +-，解得230230a --+A . 8.【答案】D【解析】解：由于AB AC =，可得：ABC 的外心､重心､垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，即ABC 的欧拉线即为线段BC 的垂直平分线.()()1,0,0,2B C -，BC ∴中点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线BC 的斜率为()20201BC k -==--，设线段BC 垂直平分线的斜率为k ，则11,2BC k k k ⋅=-∴=-， ABC ∴的欧拉线的方程为：11122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，整理得：2430x y +-=故选：D . 9.【答案】C【解析】解：点P 到直线3y x =+的最短距离为圆心到直线距离再减去半径. 圆22(1)2x y -+=圆心为()1,0，则圆心()1,0到直线:30l x y -+=的距离为22103221(1)d -+==+-，又圆的半径2r =所以点P 到直线:30l x y -+=的最短距离为2222=故选C .10.【答案】C【解析】解：圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-关于x 轴的对称点为()3,2P --，则52242AC BC AP r +-==故选：C . 11.【答案】B【解析】解：设经过点,A B 的直线为x 轴，AB 的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系，则()()1,0,1,0A B -，设(),P x y ，2222(1)3,3,(1)PB x y PAx y -+==++整理得22410x y x +++=，即22(2)3x y ++=，即点P 的轨迹为以点()2,0-3的圆，如图所示：要使PAB 面积的最大值，只需点P 到(AB x 轴）的距离最大时，即为圆22(2)3x y ++=3时面积为12332⨯=B .12.【答案】B【解析】解：由题意得圆心()1,0O ，当所求弦与OP 垂直时，弦长最短，因为OP 的斜率为1，此时弦所在的直线斜率为1-，此时直线方程为3y x =-+，即30x y +-=. 故选：B . 13.【答案】6【解析】解：因为圆221:100C x y y +-=与圆222:10C x y +=，两式相减得，公共弦所在直线的方程1010y =，即1y =，因为圆心()20,0C ，半径210r =，所以圆心1C 到公共弦的距离为1d =，所以公共弦长为21016-=.故答案为6. 14.5【解析】解：直线l 的方程230x y ++=，可得23x y =--，所以22222221(23)21510105(1)55x y y y y y y y y +-+=--+-+=++++，当1y =-2221x y y +-+55. 15.【答案】()()6,22,6--⋃【解析】解：根据题意，圆224x y +=的圆心()0,0，半径为2，圆心()0,030x y m -+=的距离2m d =，若圆224x y +=上恰有230x y m -+=的距离等于1，则13d <<，即：132m <<，所以26m <<，解得：62m -<<-或26m <<，故答案为：()()6,22,6--⋃. 16.【答案】250x y +-=【解析】解：根据点()2,1在圆225x y +=上，故过点()2,1与圆225x y +=相切的直线的方程为25x y +=，即250x y +-=，故答案为：250x y +-=.由条件根据过圆222x y r +=上的一点()00,x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=，可得结论.17.【答案】解：（1）根据题意，直线()1:2140l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=平行，则()2310m m ⨯-+=，解得3m =-或2m =，当3m =-时，此时直线1:2240l x y -+=与直线2:3320l x y -+-=平行，当2m =时，此时直线1:2340l x y ++=与直线2:2320l x y +-=平行，故3m =-或2m =. （2）直线()()1:2110l a x a y ++--=与直线()()2:12320l a x a y -+++=互相垂直，所以()()()()211230a a a a +-+-+=，解得1a =±. 18.【答案】解：（1）由题意可得，()()0,34,0A B -AB 的中点32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆的圆心，直径5AB = 以线段AB 为直径的圆的方程22325(2)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭；（2）圆C 的弦AB 211，设直线方程为()112y k x -=-，即102kx y k --+=， 23111k k --=+，所以0k =或34-，所以弦AB 所在直线的方程为12y =或3450x y +-=.19.【答案】解：设圆C 的方程为：222()()x a y b r -+-=，依题意得：222222(2)(4)(1)(3)1a b r a b r r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩解得23,1a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆C 的方程为：22(2)(3)1x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，将1y kx =+代入圆的方程并整理得：()()2214170k xk x +-++=，所以()121222417,11k x x x x k k++==++，所以()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=++++=+=+，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时，Δ0>，所以1k =，即直线斜率为1.20.【答案】解：（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由题意得：24031002280D F D E F D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，消去F 得：362D E D E -=⎧⎨-+=-⎩，解得：02D E =⎧⎨=-⎩，4F ∴=-，∴圆C 的方程为：22240x y y +--=.（2）由（1）知：圆C 的标准方程为：22(1)5x y +-=，圆心()0,1C ，半径5r =点()0,1C 到直线l 的距离2230161031d ⨯+-==+ 由d r <知：直线l 与圆C 相交；直线l 被圆C 截得的弦长为：2255102r d -=-=. 21.【答案】解：（1）由直线():2130l x ay a a R --+=∈得()()1230x a y ---=，由10230x y -=⎧⎨-=⎩，解得13,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线l 过定点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）由圆22:440C x y x y +--=，得22(2)(2)8x y -+-=，圆C 的圆心()2,2C ，半径22r =若选①：直线l 平分圆C ，则直线l 过圆心,222130C a a ∴-⨯-+=，1,a ∴=∴直线l 的方程为220x y -+=.若选①：当直线l 与PC 垂直时弦长最短，由3212212PCk -==-， ∴直线l 的斜率为2-，故直线l 的方程为()3212y x -=--，即4270x y +-=，若选①：设圆心到直线l 的距离为d ，由27AB =22221,(7)8,12d AB r d d ⎛⎫∴+=∴+=∴= ⎪⎝⎭，22413114a aa --+=+，解得0a =或23a =-，∴直线l 的方程为1,3490x x y =∴+-=.22.【答案】解：（1）设x y z +=，即0x y z +-=，当直线和圆相切时，圆心()2,3C -到直线的距离23111z d --==+，即12z +21z =或21z =-，故x y +21. （2）设yk x=，则直线方程为0kx y -=，当直线和圆相切时，圆心()2,3-到直线的距离22311k d k+=+，即231280k k ++，6236233k---+，故y x 623-+；（32222245(1)(2)x y x y x y ++-+=++- 则根式的几何意义为圆上点到定点()1,2D -的距离，则22(12)(32)34CD =--+--=22245x y x y ++-+341.。

2023-2024学年全国高中高二下数学苏教版月考试卷(含解析)

2023-2024学年全国高二下数学月考试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知为虚数单位，复数满足＝，则复数对应的点位于复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合＝，集合＝，则＝（）A.B.C.D.3. 已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的方程为()A.B.C.D.i z (1+2i)z 4+3i z M {x |−5x +6<0}x 2N {x |x >0}M ∪N {x |x >0}{x |x <3}{x |x <2}{x |2<x <3}2x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1M y N F 2|MN|=|M |F 2+=1x 240y 24+=1x 25y 2+=1x 210y 2+=1x 29y 25抛物线的焦点到准线的距离是（）A.B.C.D.5. 已知平面向量,,若，则( )A.B.C.D.6. 规定：若双曲线与双曲线的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“等渐双曲线”设为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线与双曲线为”等渐双曲线”，且双曲线的焦距为，则双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.7. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则实数的值是（）A.B.C.D.=8x y 21248a →=(−4,3)−2=(k,−6)a →b →⊥a →b →k =8−8434−434C 1C 2C 1C 2.M :−=1(a >0,b >0)C 1x 2a 2y 2b 2A F C 1△MAF C 1:−=1(>0,>0)C 2x 2a ′2y 2b ′2a ′b ′C 282–√C 2−=1x 230y 22−=1x 22y 230−=1x 260y 24−=1x 24y 260=4x y 22–√−=1x 2y 2mm 12348. 已知椭圆的离心率，则的取值范围是( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长轴长为10. 已知直线，动直线，则下列结论正确的是A.存在，使得的倾斜角为B.对任意的，与都有公共点C.对任意的，与都不重合D.对任意的，与都不垂直11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（）A.B. C.+=1x 24y 2m e >2–√2m (0,1)∪(2,+∞)(0,2)∪(8,+∞)(−∞,2)(−∞,2)∪(8,+∞)C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2||=2F 1F 2P (1,1)Q |Q |+|QP|F 12a −1C 2C (0,)−15–√2=PF 1−→−Q F 1−→−C +5–√17−−√:x −y −1=0l 1:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2()k l 290∘k l 1l 2k l 1l 2k l 1l 2+(x −a)2(y −b)2−−−−−−−−−−−−−−−√A (x,y)B (a,b)|−|+4x +5x 2−−−−−−−−−√−4x +5x 2−−−−−−−−−√=223–√33–√6−23–√3–√D.12. 已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于，则以下结论正确的是( )A.B.为的中点C.D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 抛物线的准线方程为________.14. 直线的斜率为________．15. 设点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，，为两焦点，动点满足，则动点的轨迹方程为________.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点.若点的坐标为，求双曲线的方程；设，分别为双曲线的右顶点、左焦点，是否存在常数，使得，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．18. 已知点，圆．（1）若直线＝与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程．19. 已知函数，，．−3–√6C ：=10x y 2F F 60∘l C A B AD |AF|=10F AD 2|BD|=|BF||BF|=83y =8x 2y =−5x +9Q +=1x 236y 29F 1F 2P ++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→P −=1x 2a 2y 2b 2(a >b >0)，F 1F 2F 1+=x 2y 2a 2M ∠M =F 1F 2π4C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b22A C (1)A (−2,3)C (2)B F C λ∠AFB =λ∠ABF λM(3,1)+=4C :(x −1)2(y −2)2ax −y +40C A B AB 23–√a M C =(2sin x,sin x −cos x)a →=(cos x,cos x +sin x)b →3–√f (x)=⋅a →b →0,]π求的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；若，，求的值．20. 已知抛物线，为其焦点，点在抛物线上，且，过点作抛物线的切线，为上异于点的一个动点，过点作直线交抛物线于，两点.求抛物线的方程；若，求直线的斜率，并求的取值范围． 21. 已知过点的曲线的方程为.求曲线的标准方程；已知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，，求的最大值． 22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．求双曲线方程；若点在此双曲线上，求．(1)f (x)f (x)[0,]π2(2)f ()=x 065∈[,]x 0π4π2cos 2x 0C :=2px y 2F Q (1,y)(y >0)C |FQ|=2Q C l 1P (,)x 0y 0l 1Q P l 2C A B (1)C (2)|PQ =|PA|⋅|PB||2l 2x 0P (1,)32C +=2a +(x −1)2y 2−−−−−−−−−−−√+(x +1)2y 2−−−−−−−−−−−√(1)C (2)F (1,0)A x =4F AF C BD |BD||AF|F 1F 2y =x (4,−)10−−√(1)(2)M(3,m)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2023-2024学年全国高二下数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】复数的运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数对应的点的坐标得答案．【解答】由＝，得，则复数对应的点的坐标为，位于复平面内的第四象限．2.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】可求出集合，然后进行并集的运算即可．【解答】∵＝，＝，∴＝．3.【答案】z z (1+2i)z 4+3i z ====2−i 4+3i 1+2i (4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)10−5i 5z (2,−1)M M {x |2<x <3}N {x |x >8}M ∪N {x |x >0}D【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，直线与轴的交点为，又直线过椭圆的左焦点，∴，即，∵直线与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为，且，∴，即，又由，∴椭圆的方程为.故选.4.【答案】C【考点】抛物线的求解【解析】本题主要考查抛物线的基本性质．【解答】解：，∴抛物线的焦点到准线的距离是.故选.5.【答案】D【考点】2x −y +4=02–√2–√x (−2,0)2x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1(−2,0)F 1c =22x −y +4=02–√2–√M y N(0,4)2–√|MN|=|M |F 2|M |+|M |=|N|=2a F 1F 2F 1a =|N|==312F 112+(4222–√)2−−−−−−−−−−√=−=9−4=5b 2a 2c 2+=1x 29y 25D ∵2p =8，∴p =4=8x y 24C数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的坐标运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由,,得.若，则，解得.故选.6.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：据题意可知，，a →=(−4,3)−2=(k,−6)a →b →=b →−(−2)a →a →b →2=(−4,3)−(k,−6)2=(,)−4−k 292⊥a →b →⋅=(−4,3)⋅(,)a →b →−4−k 292=8+2k +=0272k =−434D =,+=(=32b ′a ′b a a ′2b ′282–√2)2,(a +c))–√,−(a +c))–√由分析知，点坐标为或，点在双曲线上，∴ .又∴，∴ 解得故双曲线的标准方程是 .故选7.【答案】A【考点】抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】答案未提供解析．【解答】解：，M (,(a +c))−a +c 23–√2(,−(a +c))−a +c 23–√2M C 1−=1(−a +c 2)2a 2(a +c 34)2b 2=+,c 2a 2b 2(=15b a )2==b ′a ′b a 15−−√.=2,=30.a ′2b ′2C 2−=1x 22y 230B.e =>1−b 2a 2−−−−−−√2–√22，当时，或，∴或．故选．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,C,D【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率椭圆的定义【解析】【解答】解：选项，由椭圆的第一定义得，当且仅当，，三点共线，且在与中间时，等号成立，故正确；选项，若，即，因为，所以，则椭圆方程为，所以，点在椭圆外，故错误；选项，因为在椭圆内部，所以，解得，所以，故正确；选项，因为，所以点的坐标为，所以，故正确.故选.10.【答案】∴<b 2a 212∴m >0<m 412<4m 120<m <2m >8B A |Q |+|QP|=2a −|Q |+|QP|F 1F 2≥2a −|P|=2a −1F2F2P Q P F 2Q B 2b =2b =1c =1a =2–√+=1x 22y 2+1>112P C P =>1b 2a −1a 2aa >+15–√2e =∈(0,)c a −15–√2D =PF 1−→−Q F 1−→−Q (−3,−1)2a=|Q |+|Q |F 1F 2=+(−3+1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−3−1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=+5–√17−−√ACDA,B,D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的倾斜角【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知动直线，当时，斜率不存在，其倾斜角为，选项正确；联立，可得，此方程有解，即两直线存在交点，选项正确；当时，动直线成立，此时两直线重合，选项错误；当时，，与不垂直，当时，，即对任意的，与都不垂直，选项正确.故选.11.【答案】A,C【考点】双曲线的应用双曲线的定义点到直线的距离公式【解析】【解答】解：由，得，其几何意义为平面内一点与两定点，距离之差的绝对值为．平面内与两定点，距离之差的绝对值为的点的轨迹是双曲线．设该双曲线的方程为，，:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2k =090°A {x −y −1=0(k +1)x +ky +k =0(2k +1)x =0B k =−12:==l 2k +11k −1k −1C k =0：x =0l 2l 1k ≠0⋅=1×=−1−≠−1k l 1k l 2k +1−k 1k k l 1l 2D ABD |−|=2+4x +5x 2−−−−−−−−−√−4x +5x 2−−−−−−−−−√|−|=2+(x +2)2(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√+(x −2)2(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x,1)(−2,0)(2,0)2(−2,0)(2,0)2−=1(a >0x 2a 2y 2b 2b >0)则解得，．所以该双曲线的方程是．联立方程组解得．故选．12.【答案】A,B【考点】抛物线的性质直线的倾斜角解三角形抛物线的定义【解析】无【解答】解：如图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线与轴交于点，则，由于直线的倾斜角为，轴，由抛物线定义可知，，则为正三角形，所以，则，所以，，正确；因为，，所以点为的中点，正确；2a =2，c =2，=+，c 2a 2b 2a =1b =3–√−=1x 2y 23y =1，−=1，x 2y 23x =±23–√3AC A B C m E M m x P |PF|=5l 60∘AE//x |AE|=|AF|△AEF ∠EFP =∠AEF =60∘∠PEF =30∘|AF|=|EF|=2|PF|=10A |AE|=|EF|=2|PF|PF//AE因为，所以，所以，错误；，错误．故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．【解答】解：∵抛物线，可化为，∴，即，∴抛物线的准线方程为．故答案为：.14.【答案】【考点】直线的斜截式方程直线的斜率【解析】根据直线的斜截式方程，结合题中的数据即可得到已知直线的斜率值．【解答】∠DAE =60∘∠ADE =30∘|BD|=2|BM|=2|BF|C |BF|=|DF|=|AF|=1313103D AB y =−132y =8x 2=y x 2182p =18p =116y =−132y =−132−5解：∵直线中，一次项系数，∴直线的斜率为.故答案为：.15.【答案】【考点】轨迹方程椭圆的标准方程【解析】设，，由，可得，，利用在椭圆上，即可求解．【解答】解：设，，又，，，，，，∵动点满足，则，，，即．故答案为：．16.【答案】【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设切点为，连接，作作，垂足为，y =−5x +9k =−5y =−5x +9−5−5+=1(x ≠±2)x 24y 2P (x,y)Q (,)x 0y 0++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→=3x x 0=3y y 0Q (,)x 0y 0P(x,y)Q(,)x 0y 0(−c,0)F 1(c,0)F 2(≠±6)x 0=(−c −x,−y)PF 1−→−=(c −x,−y)PF 2−→−=(−x,−y)PQ −→−x 0y 0P ++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→=3x x 0=3y y 0∴+=19x 2369y 29+=1(x ≠±2)x 24y 2+=1(x ≠±2)x 24y 23–√N ON F 2A ⊥MN F 2A由，且为的中位线，可得，，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，∴，∴.故答案为：.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：∵离心率．∴，又，∴双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：．由知：双曲线方程，∴.①当直线的斜率不存在时，则，∴，此时；②当直线的斜率存在时，设，其中∵，故，故渐近线方程为：，∴，又，|ON|=a ON △A F 1F 2A =2a F 2N =F 1−c 2a 2−−−−−−√|A|=2b F 1M A F 2|M |=2a F 22–√|M |=2b +2a F 1|M |−|M |=2b +2a −2a =2a F 1F 22–√b =a 2–√c ==a +a 2b 2−−−−−−√3–√e ==c a3–√3–√(1)e ==2c ac =2a =−=3b 2c 2a 2a 2C :−=1x 2a 2y 23a 2A (−2,3)−=14a 293a 2=1a 2C −=1x 2y 23(2)(1)C :−=1x 2a 2y 23a 2B (a,0)，F (−2a,0)AF ∠AFB =，|FB|=3a,|AF|==3a 90∘b 2a ∠ABF =45∘λ=2AF ∠AFB =α，∠ABF =β，A (,)x 0y 0<−a ，y >0.x 0e =2c =2a,b =a 3–√y =±x 3–√α∈(0,),β∈(0,)2π3π3tan α=，tan β=y 0+2a x 0y 0a −x 0，∴，又，∴综上：存在常数满足．【考点】双曲线的标准方程双曲线的离心率双曲线的应用双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：∵离心率．∴，又，∴双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：．由知：双曲线方程，∴.①当直线的斜率不存在时，则，∴，此时；②当直线的斜率存在时，设，其中∵，故，故渐近线方程为：，∴，又，=2(a −)y 0x 0(a −−3(−1)x 0)2a 2x 20a 2=2(a −)y 0x 0(a −−3(−)x 0)2x 20a 2==2y 0(a −)+3(+a)x 0x 0y 0+2a x 0tan α=tan 2βα,2β∈(0,)2π3α=2β.λ=2∠AFB =2∠ABF (1)e ==2c ac =2a =−=3b 2c 2a 2a 2C :−=1x 2a 2y 23a 2A (−2,3)−=14a 293a 2=1a 2C −=1x 2y 23(2)(1)C :−=1x 2a 2y 23a 2B (a,0)，F (−2a,0)AF ∠AFB =，|FB|=3a,|AF|==3a 90∘b 2a ∠ABF =45∘λ=2AF ∠AFB =α，∠ABF =β，A (,)x 0y 0<−a ，y >0.x 0e =2c =2a,b =a 3–√y =±x 3–√α∈(0,),β∈(0,)2π3π3tan α=，tan β=y 0+2a x 0y 0a −x 0，∴，又，∴综上：存在常数满足．18.【答案】根据题意，圆：＝，圆心为，半径＝，若弦的长为，则圆心到直线＝的距离，又由圆心为，直线＝，则有，解得；根据题意，分种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为＝，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为＝，圆心到它的距离，解得，切线方程为＝，所以过点的圆的切线方程为＝或＝．【考点】圆的切线方程直线与圆相交的性质【解析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线＝的距离，结合点到直线的距离公式可得，解可得的值，即可得答案；（2）根据题意，分切线的斜率是否存在种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案．【解答】根据题意，圆：＝，圆心为，半径＝，若弦的长为，则圆心到直线＝的距离，又由圆心为，直线＝，则有，解得；根据题意，分种情况讨论：=2(a −)y 0x 0(a −−3(−1)x 0)2a 2x 20a 2=2(a −)y 0x 0(a −−3(−)x 0)2x 20a 2==2y 0(a −)+3(+a)x 0x 0y 0+2a x 0tan α=tan 2βα,2β∈(0,)2π3α=2β.λ=2∠AFB =2∠ABF O 1(x −1+(y −2)2)24(1,2)r 2AB 23–√ax −y +40d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√(1,2)ax −y +40d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a =−342x 3y −1k(x −3)=2|2k +1|+1k 2−−−−−√k =343x −4y −50M x 33x −4y −50ax −y +40d d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a 2O 1(x −1+(y −2)2)24(1,2)r 2AB 23–√ax −y +40d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√(1,2)ax −y +40d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a =−342当切线斜率不存在时，其方程为＝，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为＝，圆心到它的距离，解得，切线方程为＝，所以过点的圆的切线方程为＝或＝．19.【答案】解：，其最小正周期为.又，，，．，，又，，，．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式三角函数的化简求值三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：，其最小正周期为.又，x 3y −1k(x −3)=2|2k +1|+1k 2−−−−−√k =343x −4y −50M x 33x −4y −50(1)f (x)=⋅=sin 2x −cos 2x a →b →3–√=2sin(2x −)π6πx ∈[0,]π2∴2x −∈[−,]π6π65π6∴f =2(x)max f =−1(x)min (2)∵f ()=x 065∴sin(2−)=x 0π635∈[,]x 0π4π2∴2−∈[,]x 0π6π35π6∴cos(2−)=−x 0π645∴cos 2=cos(2−)cos −x 0x 0π6π6sin(2−)sin x 0π6π6=−3+43–√10(1)f (x)=⋅=sin 2x −cos 2x a →b →3–√=2sin(2x −)π6πx ∈[0,]π2，，．，，又，，，．20.【答案】解：因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为： .由可知，.设切线的方程为：，代入，得，由，得，所以切线的方程为：.因为在直线上，所以.设直线方程为：，代入，得.设，，则且，得，所以.又，所以，所以（由题意取负），所以直线的斜率为，代入，得，所以，所以.又，所以的取值范围为：且.【考点】圆锥曲线的综合问题∴2x −∈[−,]π6π65π6∴f =2(x)max f =−1(x)min (2)∵f ()=x 065∴sin(2−)=x 0π635∈[,]x 0π4π2∴2−∈[,]x 0π6π35π6∴cos(2−)=−x 0π645∴cos 2=cos(2−)cos −x 0x 0π6π6sin(2−)sin x 0π6π6=−3+43–√10(1)Q |FQ|=1+=2p 2p =2C =4x y 2(2)(1)Q (1,2)l 1y −2=k (x −1)=4x y 2k −4y −4k +8=0y 2Δ=0k =1l 1y =x +1P (,)x 0y 0l 1=−1x 0y 0l 2x −=m(y −)x0y 0=4x y 2−4my +4m −4=0y 2y 0x 0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2{+=4m,y 1y 2=4m −4,y1y 2y 0x 0Δ=16−16m +16>0m 2y 0x 0−m +>0m 2y 0x0|PA|⋅|PB|=|−|⋅|−|1+m 2−−−−−−√y1y 01+m 2−−−−−−√y2y 0=(1+)(−)(−)m 2y 1y 0y 2y 0=(1+)[−(+)+]m 2y 1y 2y 0y 1y 2y 20=(1+)(4m −4−4m +)m 2y 0x 0y 0y 20=(1+)[−4(−1)]m 2y 20y 0=(1+)(−2m 2y 0)2|PQ =2|2(−2)y 021+=2m 2m =±1l 2−1Δ>01++>0y 0x 02(+1)>0x 0>−1x0≠1x 0x 0>−1x 0≠1x 0抛物线的标准方程抛物线的定义【解析】【解答】解：因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为： .由可知，.设切线的方程为：，代入，得，由，得，所以切线的方程为：.因为在直线上，所以.设直线方程为：，代入，得.设，，则且，得，所以.又，所以，所以（由题意取负），所以直线的斜率为，代入，得，所以，所以.又，所以的取值范围为：且.21.【答案】解：将代入曲线的方程得.由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，所以的标准方程为.设，，由题意知，直线的斜率不为，可设的方程为，则的方程为，所以，所以.(1)Q |FQ|=1+=2p 2p =2C =4x y 2(2)(1)Q (1,2)l 1y −2=k (x −1)=4x y 2k −4y −4k +8=0y 2Δ=0k =1l 1y =x +1P (,)x 0y 0l 1=−1x 0y 0l 2x −=m(y −)x 0y 0=4x y 2−4my +4m −4=0y 2y 0x 0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2{+=4m,y 1y 2=4m −4,y 1y 2y 0x 0Δ=16−16m +16>0m 2y 0x 0−m +>0m 2y 0x 0|PA|⋅|PB|=|−|⋅|−|1+m 2−−−−−−√y 1y 01+m 2−−−−−−√y 2y 0=(1+)(−)(−)m 2y 1y 0y 2y 0=(1+)[−(+)+]m 2y 1y 2y 0y 1y 2y 20=(1+)(4m −4−4m +)m 2y 0x 0y 0y 20=(1+)[−4(−1)]m 2y 20y 0=(1+)(−2m 2y 0)2|PQ =2|2(−2)y 021+=2m 2m =±1l 2−1Δ>01++>0y 0x 02(+1)>0x 0>−1x 0≠1x 0x 0>−1x 0≠1x 0(1)P (1,)32C a =2C (−1,0)(1,0)C +=1x 24y 23(2)B (,)x 1y 1D (,)x 2y 2BD 0BD x =my +1AF y =−m(x −1)A (4,−3m)AF ==3(4−1+(−3m −0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2−−−−−−√将直线与椭圆的方程联立得，所以，，所以，所以.令，所以.令，.因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为【考点】椭圆的标准方程轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）将点的坐标代入曲线的方程可求出的值，再由曲线方程的几何意义即可求出曲线的方程；设，设直线的方程为，令即可求出点坐标，再由两点间距离公式即可求出，将直线的方程为与椭圆的方程联立消去，利用根与系数关系求出，由弦长公式的最小值即可．【解答】解：将代入曲线的方程得.由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，所以的标准方程为.设，，BD C x =my +1,+=1,x 24y 23(3+4)+6my −9=0m 2y 2+=y 1y 2−6m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2|BD|=+1m 2−−−−−−√−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=12(+1)m 23+4m 2=|BD ||AF |4+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√==|BD ||AF |4t 3+1t 243t +1t f (t)=3t +1t t ≥1(t)=3−=>0f ′1t 23−1t 2t 2f (t)=3t +1t [1,+∞)f (t)=3t +≥f (1)=41t =≤=1|BD ||AF |43t +1t 44|BD||AF |1.P C 4C C (2)B (,)D (,)x 1y 1x 2y 2BD x =my +1x =4A |AF |BD x =my +1C x +,y 1y 2y 1y 2(1)P (1,)32C a =2C (−1,0)(1,0)C +=1x 24y 23(2)B (,)x 1y 1D (,)x 2y 2由题意知，直线的斜率不为，可设的方程为，则的方程为，所以，所以.将直线与椭圆的方程联立得，所以，，所以，所以.令，所以.令，.因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为22.【答案】解：∵双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，∴设双曲线方程为，，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为．∵点在此双曲线上，∴，解得．∴，或，∵，，∴当时，，，；当时，，，．BD 0BD x =my +1AF y =−m(x −1)A (4,−3m)AF ==3(4−1+(−3m −0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2−−−−−−√BD C x =my +1,+=1,x 24y 23(3+4)+6my −9=0m 2y 2+=y 1y 2−6m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2|BD|=+1m 2−−−−−−√−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=12(+1)m 23+4m 2=|BD ||AF |4+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√==|BD ||AF |4t 3+1t 243t +1t f (t)=3t +1t t ≥1(t)=3−=>0f ′1t 23−1t 2t 2f (t)=3t +1t [1,+∞)f (t)=3t +≥f (1)=41t =≤=1|BD ||AF |43t +1t 44|BD||AF | 1.(1)F 1F 2y =x −=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=1x 26y 26(2)M(3,m)−=196m 26m =±3–√M(3,)3–√M(3,−)3–√(−2,0)F 13–√(2,0)F 23–√M(3,)3–√=(−2−3,−)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,−)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−M(3,−)3–√=(−2−3,)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−=0−→−−−→−−故．【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的标准方程平面向量数量积坐标表示的应用【解析】（1）设双曲线方程为，，由双曲线过点，能求出双曲线方程．（2）由点在此双曲线上，得．由此能求出的值．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，∴设双曲线方程为，，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为．∵点在此双曲线上，∴，解得．∴，或，∵，，∴当时，，，；当时，，，．故．⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−−=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√M(3,m)m =±3–√⋅MF 1−→−−MF 2−→−−(1)F 1F 2y =x −=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=1x 26y 26(2)M(3,m)−=196m 26m =±3–√M(3,)3–√M(3,−)3–√(−2,0)F 13–√(2,0)F 23–√M(3,)3–√=(−2−3,−)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,−)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−M(3,−)3–√=(−2−3,)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题

2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题一．选择题：（每小题5分，共计60分）1．已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．6 D ．32．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = （） A. 3 B.32 C. 83 D. 233．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，3] B ．(－1，3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A. 2 B ．32 C. 22 D ．125．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4．0 2．5 －0．5 0．5 －2．0 －3．0A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜06．设变量,x y 满足10,30,230,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．22 D ．237．当5n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( ).2A .4B .7C .11D8．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．[0，34)C ．[0，34]D ．(0，34)9．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．4i -+ D ．4i -- 10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A. 963B. 163C. 243D. 48311．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C ．[－3，3]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 12．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p ＞0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是（）．A ．1 B.2 C.1或2 D.-1或2 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．()211111= ()1014．已知向量(1,)a m =，(,2)b m =, 若a //b , 则实数m 等于15．某程序框图如右图所示,该程序运行后, 输出的x 值为31,则a 等于__ ___ 16.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设,A B 为两个定点，k 为非零常数，若PA PB k -=，则动点P 的轨迹是双曲线。

四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学(理)试题

四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期4月月考
数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、解答题
17．已知函数3
x-处取得极值.
=--在=1
f x x ax
()3 1
（1）求实数a的值；
（2）当[2,1]
xÎ-时，求函数()
f x的最小值.
18．某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.赛前，小明､小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数，其中小
明第7天的成功次数a忘了记录，但知道3660
aÎ.
££，Z
a
由()0h t ¢>，可得t a >，此时函数()h t 单调递增，
所以，()()min
h t h a =，所以，1a =.综上所述，1a =.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。

辽宁省大连市金州高级中学2023~2024学年高二下学期4月月考数学试卷(解析版)

2023～2024学年下学期月考测试题高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分；考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 数列通项公式为（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】通过观察，即可直接选出通项公式.【详解】根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：.故选：D.2. 等差数列满足，，则（）A. 2008 B. 2010C. 2024D. 2025【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式即可求出.【详解】等差数列中，，，则公差，因此，所以.故选：B的2468101,1,1,1,1,315356399-+-+-()121121n n n ++--()1221141n nn ++--()21121nn n +--()221141nn n +--()221141nnn +--{}n a 212a =-122a =-2024a ={}n a 2024a {}n a 212a =-122a =-1221122a a d -==-2(2)14n a a n d n =+-=-20242010a =3. 在和两数之间插入2023个数，使它们与，组成等差数列，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的性质，结合题意，即可求得结果.【详解】根据题意可得，则，故.故选：C.4. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，蜘蛛网是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的周长是m ，第n 个正方形的周长为，侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为，则下面选项中正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意得，再利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】第个正方形的周长为，则边长为，则第，周长，所以数列，首项为的等比数列，a b a b {}n c 1013c =2b a -3b a -2a b +3a b +12025,c a c b ==1202510132c c c a b +==+10132a bc +=n a n S 2S =359S m =223a m =359a m =1n n a +=n n a 4na 1n +4n a =1n n a +={}n a m所以，，，.故选：D.5. 已知为数列的前n 项和，且满足，则（）A. 100B. 130C. 150D. 200【答案】B 【解析】【分析】根据给定的前n 项和公式，结合所求和式，列式计算即得.【详解】数列的前n 项和，所以.故选：B6. 已知数列满足，，则（）A. 2024B. 2025C. D. 【答案】D 【解析】【分析】先利用条件得，再根据为等差数列求解即可.【详解】由得，所以为公差为的等差数列，又，所以，则故选：D.7. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做21a ==2359a m m =⨯=212S a a m =+=312351499S a a a m m m =++=+=+n S {}n a 2282n S n n =++34567a a a a a ++++={}n a 2282n S n n =++223456772(27872)(22822)130a a a a a S S ++++=-=⨯+⨯+-⨯+⨯+={}n a ()()()()()*11212N n n n a n a n n n ++-+=++∈23a=2025a =220241-220251-1121n n a a n n +-=++1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭()()()()11212n n n a n a n n ++-+=++1121n n a an n +-=++1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭12121a =+()2025220252120241212025a a=+-⨯=++()()22025202512022251105a -==-+1,3,6,10, 1,4,9,16,正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.【详解】三角形数：，可得其通项公式为；正方形数：，可得其通项公式为，均无正整数解，且，所以，，是正方形数不是三角形数，又，既是三角形数，又是正方形数.故选：A.8. 已知数列满足，，是数列的前n 项和，则（）A. 510 B. 508C. 1013D. 1011【答案】C 【解析】【分析】通过递推式求出，然后代入求即可.详解】，则所以.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．【364964811,3,6,10, ()12n n n a +=1,4,9,16, 2n b n =49,64,81===n n n a a a 78949,64,81===b b b 4964818636,36==a b 36∴{}n a 11a =()()()11π1sin 2,N 2n n n a a n n n +++=+⋅≥∈n S {}n a 2025S =23456720242025,,,,a a a a a a a a ++++ 2025S ()()()11ππ1sin1cos22n n n n a a n n +++=+⋅=+⋅2345673cos π3,5cos 2π5,7,a a a a a a +==-+==+=-89202420259,,2025,a a a a +=+= ()()()20251202531357920232025121101322S -⎛⎫=+-++-+++-+=+⨯⨯+= ⎪⎝⎭9. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（）A. B. 数列为周期数列C. 数列为单调递增数列 D. 数列为常数列【答案】AC 【解析】【分析】根据给定函数式求出，求出的范围判断A ；利用周期数列、递增数列、常数列的意义判断BCD.【详解】依题意，，，对于A ，，则，A 正确；对于BCD ，显然，则，即恒成立，因此数列为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C 正确，BD 错误.故选：AC10. 观察下表中的数字排列规律，若表示第m 行，第n 个数，，则下列说法正确的是（）1…………第1行2 2…………第2行3 4 3…………第3行4 7 7 4…………第4行5 11 14 11 5…………第5行6 16 25 25 16 6 (6)…………()312x f x x-={}n a ()n a f n =N n +∈312n a ≤<{}n a {}n a {}n a n a n a 3131222n n a n n-==-N n +∈11022n <≤3131222n ≤-<112(1)2n n <+31312222(1)n n -<-+1n n a a +<{}n a mn a ,m n +∈NA. 数列是等差数列B. 数列是等比数列C.D. 【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定的数阵，结合给定的定义、等差数列及等比数列定义逐项判断即可得解.【详解】对于A ，数阵每一行的第一个数即为该行行数，即，数列是等差数列，A 正确；对于B ，第5行的数依次为5，11，14，11，5，显然不成等比数列，B 错误；对于C ，第6行的数依次为6，16，25，25，16，6，显然，，，亦有，因此，C 正确；对于D ，由数阵知，有意义，则，且不是每行最右端的数，则是从第3行第2个数起的数，且不是对应行最右端的数，显然从第3行起的中间各数（除各行两端的数外）都等于其“肩上”两数的和，因此有，D 正确故选：ACD11. 现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（）A. 堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管B. 堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10C. 堆放成正三角形垛用的钢管数为190根D. 若再增加10根钢管，则所有钢管恰好可以堆放成正三角形垛【答案】BCD 【解析】【分析】由题意可知正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差为1的数列，由此可得，解出使不等式成立的的最大值，再求剩余的钢管数即可判断每个选项的正确性.【详解】因为把200根相同的钢管堆放成正三角形垛，所以正三角形垛的钢管数组成一个首项为1，公差为1的数列，.的{}1m a {}5n a ()667n n a a -=()()()111mn m n m n a a a ++++=1m a m ={}1m a 61666(71)6a a a -===62656(72)16a a a -===63646(73)25a a a -===64636(74)65626(75)66616(76),,a a a a a a a a a ---======()667n n a a -=(1)mn m n a a ++2,,m n m +∈≥N mn a (1)(1)m n a ++()()()111mn m n m n a a a ++++=()12002n n n S +=<n所以正三角形垛所需钢管总数,令，解得当是使得不等式成立的的最大值，此时，由此可得剩余钢管有10根，故错误，正确；当时，，故再增加再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛，故正确.故选：BCD .12. 设二次方程有二个实根和，且满足，则下面说法中正确的是（）A. 数列满足 B. 数列是等比数列C. 数列是等比数列 D. 若时，则【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：根据韦达定理，结合已知条件，即可判断；对BC ：根据等比数列的定义，结合递推公式即可判断；对D ：构造等比数列，即可求得结果.【详解】对A ：根据题意可得，又，故，即，故A 正确；对B ：若为常数列，则，，解得，则，但此时二次方程的判别式，不满足题意，故，不为常数列；又，不为常数，故数列不是等比数列，B 错误；()11232n n n S n +=++++=()12002n n n S +=<19n =n 19190S =A BC 20n =()20202012102S +==D 2110n n a x a x +-+=()n +∈N αβ6263ααββ-+={}n a 11123n n a a +=+12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}1n n a a +-176a =1223nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11,n n n a a a αβαβ++==6263ααββ-+=1263n n na a a +⨯-=11123n n a a +=+{}n a 1n n a a +=1123n n a a =+23n a =123n a +=2110n n a x a x +-+=21484093n n a a +∆=-=-<10n n a a +-≠{}n a 111111262121112222n n n n n a a a a a +--==+---1112122n a +-12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭对C ：因为，故当时，，则；故数列为等比数列，故C 正确；对D ：因为，故可得，又，，故数列为首项，公比的等比数列，故，则，故D 正确；故选：ACD.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 数列满足，，则______．【答案】##【解析】【分析】利用赋值法可得数列为周期数列，即可得结果.【详解】由，可得，又，，所以数列周期为3的周期数列，.故答案为：.14. 已知数列的通项公式，则最小的项是第______项．【答案】11123n n a a +=+2n ≥11123n n a a -=+11111112323222233n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+--+-===-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭{}1n n a a +-11123n na a +=+1212323n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭203n a -≠127213632a -=-=23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12122132n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1223nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭{}n a 111n na a +=-13a =5a =12-0.5-{}n a 111n n a a +=-121112a a ==--2111111111n n n na a a a ++===----32111111n nn na a a a ++===-⎛⎫--⎪⎝⎭{}n a 5212a a ∴==-12-{}n a n a =n a 14【解析】【分析】分离常数，然后利用数列单调性求最小项.【详解】，当，当，要取最小的项需在此范围内取到，又当为单调递减数列，所以当时，最小.故答案为：.15. 已知数列的前n 项和为，若，，则______．【答案】【解析】【分析】利用可得数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解.【详解】由，当时，，则，即，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：.16. 在等差数列中，当时，必定是常数数列．然而在等比数列中，对某些正整数，当时，非常数数列的一个例子是____________．【答案】（答案不唯一）．【解析】【分析】由等比数列的通项公式确定．1n a ==n >0n a >n <0n a <n <1n a =14n =14a 14{}n a n S 13a =13n n a S +=+10S =30691n n n a S S -=-{}n a 13n n S a +=-2n ≥13n n S a -=-11n n n n n a S S a a -+=-=-12n n a a +=211362a S a =+=={}n a 32()1010312306912S -==-3069{}n a ()r s a a r s =≠{}n a {}n a ()r s r s ≠、r s a a ={}n a (1)nn a =-【详解】是等比数列，公比为，则为，所以，例如取，为偶数时，满足题意．，则，．故答案为：（答案不唯一）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等差数列的前n 项和为，且，．（1）求数列的第8项及前20项和；（2）问数列的前多少项和最小，最小值是多少？【答案】（1），；（2）前14或15项和最小，最小值为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，建立等差数列首项、公差的方程组，求出通项及前n 项和即可得解.（2）由（1）求出，借助单调性求解即得.小问1详解】设等差数列的公差为，由及，得，即，解得，则，，所以，.【小问2详解】由（1）知，，显然数列是等差数列，其首项为，公差为1，显然数列是递增数列，前14项均为负数，第15项为0，从第16项起为正数，因此数列的前14项和与前15项和最小，，所以数列的前14或15项和最小，最小值为.【{}n a q r s a a =1111r s a q a q --=1r s q -=1q =-r s-(1)n n a =-1321n a a a -=== 242n a a a === (1)nn a =-{}n a n S 37108a a a ++=-54266S a +=-{}n a 8a 20S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭80a =20100S =105-nS n{}n a d 37108a a a ++=-54266S a +=-1111126985102(3)66a d a d a d a d a d +++++=-⎧⎨+++=-⎩11317871666a d a d +=-⎧⎨+=-⎩1142a d =-⎧⎨=⎩1(1)216n a a n d n =+-=-1()(15)2n n n a a S n n +==-80a =20100S =15n S n n =-{}n Sn14-{}nS n {}n S n 141514(141)1052S S --===-{}n Sn105-18. 已知等比数列的前n 项和为，且的前3项和为，的前6项和为78．（1）求数列的通项公式及前n 项和；（2）若数列为首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n 项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式列方程组求解；（2）先利用等比数列的通项公式出，然后利用错位相减法求和.【小问1详解】设等比数列的公比为，由已知得，解得，所以；【小问2详解】由已知得，所以，所以，则，所以，两式相减得，整理得.19. （1）若数列满足，，求；（2）若n 为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：．{}n a n S {}8n a -10-{}8n a -{}n a {}n a n S {}3n b {}n n a b n T 12,22n n n n a S +==-()1224n n T n +=-⨯+n b {}n a q ()211123211111124104878a a q a q a a q a q q a a q a q ⎧++-=-⎪⎨+++++-=⎪⎩122a q =⎧⎨=⎩()12122,2212n n n n na S +-===--133nb n -=1n b n =-()21n n n a b n =-()12302122212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ()2341202122212n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()()()1231141212222121212n n n n nT n n -++--=⨯+⨯++--⨯=--⨯- ()1224n n T n +=-⨯+{}n b 1n n b b ++=2211111n n b b n n +=-+⋅n b 2n n a b =121111324n n a n a n a +++>+++【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意化简联立方程组可解出；（2）将求出并代入，利用数学归纳法证明见解析.【详解】（1）由，又有，所以易知，且，联立解得；（2）由题意知：，所以令，即证明，因为n 为大于1的自然数，当时，左边，右边，左边右边，所以时，不等式成立；假设当时原不等式也成立，即成立；则当时，，即，所以依然成立，即时，原不等式仍成立，所以且时原不等式总成立.故.20. 2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是n b =n b n a 1n n b b ++==①()221111111n n b b n n n n +=-=+⋅+⋅0n b >1n n b b +=⋅②n b =2n n a b n ==()1211111112n f n n a n a n a n n n n=+++=+++++++++ 111122n n n=+++++ 1111312224n n n +++>++ 2n =121111511236a a =+=+=++=1324>2n =n k =()1111312224f k k k k =+++>++ 1n k =+()111111112211222f k k k k k k +++++++=+++++ ()()()()111111212212122f k f k f k f k k k k k k +=++-=+->+++++()13124f k +>1n k =+*N n ∈1n >121111324n n a n a n a +++>+++创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C 位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元．（1）问创新公司第几年开始获利？（2）经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？【答案】（1）3；（2）7年，120万元.【解析】【分析】（1）根据给定信息，构造等差数列，利用等差数列前项和公式求出利润关于关系式，再列出不等式求解即得.（2）由（1）求出年平均利润的关系式，再求出最大值即得.【小问1详解】依题意，每年的创新费用构成以120万元为首项，40万元为公差的等差数列，前年的利润，由，得，解得，而，则，所以创新公司第3年开始获利.【小问2详解】由（1）知，经过年创新公司获得的年平均利润为：，当且仅当，即时取等号，所以经过7年创新公司获得的年平均利润最大，最大年平均利润是120万元.21. 设数列的前n 项和为，已知，，，是数列的前n 项和．（1）求数列的通项公式；（2）求满足的最大正整数n 的值．【答案】（1）（2）【解析】n n n 2(1)()500[12040]980204009802n n f n n n n n -=-+⋅-=-+-()0f n >220490n n -+<1010n <<N n *∈218n <<n ()4940020(40020120f n n n n =-+≤-⨯=49n n =7n ={}n a n S 15a =225a =()11562n n n S S S n +-+=≥n T {}52log 1n a -{}n a 2341111111023111112025n n T T T T T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5n n a =95【分析】（1）利用得到数列是等比数列，根据等比数列的通项公式求解；（2）先求出，进而可得，求出代入不等式左边整理化简，然后解不等式即可.【小问1详解】因为，所以，即，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；【小问2详解】由（1）得，所以，则，则，所以，又，解得，所以正整数n 的最大值为.22. 已知是等差数列，，且的前n 项和为，，且成等比数列，点在上．（1）求及；（2）判断是否存在正整数m 、k 使得、、成等比数列．若存在，求出所有m 、k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）不存在，理由见解析【解析】1n n n S S a --={}n a n b n T 111n T +-()11562n n n S S S n +-+=≥1155n n n n S S S S +-=--15n n a a +=212505a a =≠={}n a 555n n a =552log 12lo 5g 121n n a n -=-=-()21212n n n T n +-==()()()2212111111n n n T n n +⋅+-=-=++23411111111111n n T T T T T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()()222221121324352234211n n n n n n n n -++⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯⨯=++ ()12210232025n n +≥+N n *∈95n ≤95{}n a 0d >{}n a n S 5n n b a =-457,,b b b ()66,a 22157x y +=n a n S m a 5k S 3k S +21n a n =-2n S n =【分析】（1）根据题意，由等比中项及等差数列的通项公式，代入计算，即可得到，，从而得到结果；（2）根据题意假设存在，利用等比中项的性质，列出方程，分析运算，即可得到结果．【小问1详解】因为点在上，所以，所以，因为，又成等比数列，所以成等比数列，则，当时，，解得或（舍）当时，，解得（舍）或（舍），综上得，则，所以；【小问2详解】由（1）知，假设存在正整数，，使得，，成等比数列，则，即，所以，因为是奇数，所以是奇数，所以当为偶数时，一定是偶数，找不到这样的正整数当为奇数时，一定是奇数，找不到这样的正整数，综上不存在正整数m 、k 使得、、成等比数列．6a d ()66,a 22157x y +=2266157a +=611a =±5n n b a =-457,,b b b 4575,5,5a a a ---()()()2547555a a a -=--611a =()()()21151125115d d d --=--+-2d =0d =611a =-()()()21151125115d d d ---=----+-163d =-0d =2d =()()66116221n a a n d n n =+-=+-⨯=-()()1212122n n a a n n n S n ++-===221,n n a n S n =-=m k m a 5k S 3k S +2325m k k a S S +=24(21)(3)25m k k -⋅+=4222225545454521((515(3)33k k m k k k k -+-===-++++21m -455153k k -++k 453k +k k 453k +k m a 5k S 3k S +。

广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

【详解】因为抛物线 y2 = 2 px 过点 (2, 2) ，所以 4 = 4 p ，故 p = 1，
故
y2
=
2x
，故焦点坐标为
æ çè
1 2
, 0ö÷ø
，
故选：C. 3．D 【分析】根据分步计数原理，结合排列的定义进行求解即可. 【详解】根据题意，分两步分析：
①由于甲、乙两人必须站在一起，将甲、乙两人看成一个整体，考虑 2 人之间的顺序，
A． (3n - 2)2
B．
1 2
(
3n
-
1)
C． 9n -1
D．
1 8
(9n
-1)
6．从编号为 1，2，…，10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个，则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为（）
A． 1 84
B． 1 21
C． 2 5
7．已知某离散型随机变量 X 的分布列如下： x -1 0 1 2
D． 3 5
试卷第11 页，共33 页
Pabc 1 3
若 E(X )
=
3 4
，
P( X
³ 1)
=
7 12
，则
D(X
)
=
（
）
A． 15 16
B． 9 8
C． 19 16
D． 5 4
8．现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻
译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但
人， A 表示“选到的主播带货良好”， B 表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，
请利用样本数据，估计 R (B A) 的值，并判断事件 A 条件下 B 发生是否有优势．

山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试卷

程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)
求垂直于直线 2x − 6 y +1 = 0 并且与曲线 y = x3 + 3x2 − 5 相切的直线方程
18．(本小题满分 12 分)
在二次项 (axm + bxn )12 (a＞0,b＞0,m,n≠0)中有 2m+n＝0，如果它的展开式中系
数最大的项恰是常数项，求它是第几项
13、(x + 2)(2x −1)7 = a0 + a1x + a2 x2 +a8 x8 …，则 a0 = ________，a2 =________.
14 、已知函数 f (x) = x3 + ax 在 R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围
是
.
15、现有排成一排的 7 个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的 4 个小球全部放
A. 1
B. 5
C. 10
D. 20
5、一条铁路原有 m 个车站，为了适应客运需要新增加 n 个车站（n>1），则客运车票增加了 58 种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原
有的车站有
A.12 个
B.13 个
C.14 个
D.15 个
6、从长度分别为 1，2，3，4，5 的五条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种．在
2x
128.
3
（1）求 (
x
+
1)n
的展开式中的常数项；
2x
( ) （2）在 (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋ 1+ x n+2 的展开式中，求 x3 项

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

4
132)(ax x x f +-=武汉市第26中学高二年级四月考数学试卷
一、选择题
1．已知)1,5,2(-A ，)4,2,2(-B ，)0,4,(-t C ，则向量与的关系为( ) A.异面 B. 平行 C. 垂直 D. 与t 的取值有关 2．函数，若
，则=a （） A.4 B. C. -4 D. 3．当32<<k 时，曲线
13222=-+-k y k x 与曲线12
32
2=+y x 有相同的（） A ．焦点 B ．准线 C ．焦距 D ．离心率
4．已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0
(1)(1)3lim x f x f x x
→--+=( )
A ．3
B ．23-
C ．13
D ．3
2
- 5. 已知点A （3，4），F 是抛物线y 2=8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当
|MA|+|MF|最小时，M 点坐标是（） A ．（0，0） B ．（3，2） C ．（2，4） D ．（3，﹣2）
6．下列命题中是假．
命题的是
（）
A ．对于命题p ：22,10,:R,10.R x x x p x x x ∃∈++<⌝∀∈++≥使得则均有
B ．若函数()f x 可导，则“()00f x '=”是“0x 是函数()f x 极值点”的充要条件
C ．若[],0,1a b ∈，则不等式221
4
a b +<成立的概率是
16
π
D.直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件 7．如图，已知二面角α﹣l ﹣β为60°，点A ∈α，AC⊥l，C 为垂足，点 B ∈β，BD⊥l，D 为垂足，且AC=2，CD=3，DB=1，则AB 的长度为（）
A ． 4
B ． 2
C ． 3
D ．
41-1)2(='
f
8.设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A(1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（）
9.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2，侧棱长为3，则BB 1与平面
AB 1C 1所成的角为 ( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
10．过抛物线x y 42=的焦点F 作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，若，则λ等于（） A ．12+
B ．13+
C ．15+
D ．322+
11．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x x f x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）
A ．2(2)(1)f f -<-
B ．2(1)(2)f f >
C ．4(2)(0)f f ->
D ．2(0)(1)f f >
12．若所有满足的实数x , y 均满足
，则的取值范围为（）
A ．),2[+∞
B ．]2,1[
C ．),1[+∞
D ．]2,0( 二、填空题
13．空间四点A （0，1，0），B （1，0，），C （0，0，1），D （1，1，），则异面直线AB ，CD 所成的角的余弦值为．
14．已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则
a = ．
15. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于
N M 、两点，MN 中点的横坐标为3
2
-
，则此双曲线的方程是____________ 16.函数x x x f 3)(3-=，)0(1)(>+=a ax x g ，若对任意]2,1[1-∈x ，总存在
]2,1[0-∈x 使得)()(10x g x f =，则实数a 的取值范围是__________
12122222+-+++++y y x y y x )1(>=λλ22≤b a 2+)0,0(1||||>>=+b a y b x a
三、解答题
17、求下列函数的导数：
(1) x
y 1= （2）（3） x e y x ln 12+=+
18. 如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，ABE △为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（Ⅰ）求证：AB DE ⊥；
（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；
19．已知函数2()ln f x x a x =+．
（1）当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若函数2
()()g x f x x
=+在[1,4]上是减函数,求实数a 的取值范围．
20.在△ABC 中，A ，B 的坐标分别是，点G 是△ABC 的重心，y 轴上一点M 满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC 的顶点C 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）直线l ：y=kx+m 与轨迹E 相交于P ，Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．
x x y sin 12-=
21．如图，△ABC 中，O 是BC 的中点，AB=AC ，AO=2OC=2．将△BAO 沿AO 折起，使B 点与图中B'点重合（Ⅰ）求证：AO ⊥平面B′OC；
（Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC 的体积取最大时，求二面角A ﹣B′C﹣O 的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A 上是否存在一点P ，
使CP 与平面B′OA 所成的角的正弦值为 32
？证明你的结论．
22.已知椭圆,22
)0(1:2222=>>=+e b a b
y a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、
F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角分别为βα,，且πβα=+，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．。