一道《美国数学月刊》征解题的初等解法(《数学通报》2011年第1期)
从一道课本习题到美国数学月刊11240号问题
福建中学数学
11
运用．只有认真分析研究高考全国卷命题的特点和 规律，提高课堂复习的有效性，学生才能在高考中
取得好成绩．
从一道课本习题到美国数学月刊 11240 号问题
王潇轩 安徽省滁州市滁州中学 (239000)
习题（人教 A 版选修 2-2 习题 1.3B 组第 1 题（3）） 利用函数的单调性，证明不等式 ex 1 x(x 0) ．
有
ln
(
x y)2 4xy
(x y)2 4xy
成立，
此不等式等价于
ln[1
(x y)2 4xy
]
(x y)2 4xy
，
由不等式 ln(1 x) x 其显然成立，故式②成立．
参考文献 [1]丁兴春．一道国外数学问题的分析[J]，数学通报，2010（2）：56-62 [2]李剑峰．一道美国数学月刊题的别证[J]，中学数学研究(江西)，2016 （6）：47-48
得
(b c)2 2a2 2(b c)2
(
x y)2 8xy
（
表示轮换对称求和），
R 2r
abc(a b 16S 2
c)
(b
c
a)(c
abc a
b)(a
b
c)
=
(
y
z)(z x)( 8xyz
x
y)
，
式②右端不等式
(y
z)(z x)(x 8xyz
刊 11240 号问题将不等式 R ≥ 2r 作了加强，其表述如
一道经典题的初等解法探究
道 经 典 题 的 初 等 解 法 探 究
曹 毅 汪 义 瑞
（ 康学院 数学系 ， 安 陕西 安 康 ７５０ ） ２ ００
摘 要 ： 文是 文 献 ［ ］ 内 容 的 细 化 和 发 展 ， 者 借 助 本 １中 作
于 一般 化 方 法将 一 道 关 于 式 的 题 推 广 为 更 一 般 的 定理 ．并 利 用 数 学 归纳 法给 出 了该 定理 的证 明 。 关键词 ： 式 推 广 教 学 归纳 法
定 理 ： 设 ｉ ３ ＋ ＋ ＋ ＋ ０， 必 有ａ （ ＋ 假 ＞ ， 。 ＋ ， … ａ 。 ： 则 ｔ
一
ｙ
Ｘ
ｚ
Ｙ
！兰 ＋ ！兰 兰 ± ｆ ） ± ± ＋ ！ １
ｘ ｙ Ｘ Ｚ ｙ ｚ
Ｄ２
ａ３
由ｘ ｙ ｚ ０ 易 把 ｘ ｙ ｚ 其 中 两 个 表 示 出 来 ， ＋ ＋： ， ， ，用 由兰 我 们
（ ＋ ） ｙ ＋ ） （ ＋ ） ＋（ ＋
Ｘ
：
Ｙ
Ｘ
ｚ
Ｙ
（ ＋ ） （ ｙ ＋ （＋ ） （ ＋ ＋ ） ｙ ｚ ２）
ｙ ｚ ｘ
‘ ．
‘＋ｙ ＝Ｏ， ｘ ＋ｚ
．
式 的计 算 与 证 明 是 中 学 数 学 的 热 点 问 题 ， 文献 ［ ］ 基 在 １的 础 上 ，我 们 借 助 于 一 般化 方 法 将 一 道 关 于 式 的 题 推 广 为 更 一
一
：
。
（ ＋ ＋． ＿＿ ＋ （ ＋ ＋－ ） ＋ ．＋ｌ） ． ＿＋ ．＋ ＋ ．
ａ ａ ２ ３ ａ ｋ ａ ＋ ｋ１ ａＩ ａ ３
．
ａ ｋ
ａｋ１ ＋
2011学年第一学期八年级数学SMJ(二)答案
1.602.是3.1104.85.906.37.138.369.310.1011C12A13D14A15C16B17C18B19.略20.∵AB=AC∴∠B=∠C=40°∴△ABC是等腰三角形∵D是BC的中点∴AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∴∠BAD=50°21（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°；（2）证明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB．22答：（1）上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．理由如下：①当∠A是顶角时，设底角是α．∴30°+α+α=180°，α=75°．∴其余两角是75°和75°．②当∠A是底角时，设顶角是β，∴30°+30°+β=180°，β=120°．∴其余两角分别是30°和120°．（2）感受为：解题时，思考问题要全面，有的题目要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．23解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．24（1）证明：∵等边△ABC和等边△ADE，∴AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=60°，∴∠CAE=60°，∠BAE=∠CAD=120°，∴△BAE≌△CAD，（2）解：∵△BAE≌△CAD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠BFC=∠ABE+∠ADC，∴∠BFC=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE，∠BAE=120°，∴∠BFC=60°，（3）解：成立．∵等边△ABC和等边△ADE，∴AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，∴△BAE≌△CAD，∵∠CDA=∠AEB，∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-60°=120°，∴∠ABE+∠BDF=120°，∠BFC=180°-（∠ABE+∠BDF）=60°．25解：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=30°，因为BA=BD，所以，∠BAD=∠BDA=75°，所以∠DAC=45°，又有CA=CE，所以∠E=∠CAE=15°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°；（2）不改变；令∠B=x°，BA=BD，所以∠BAD=∠BDA=（180°+∠B）÷2=90°－二分之一x°，∠ACB=180°-∠ACE=∠B+∠BAC，得∠ACB=60°-x°，所以∠DAC=∠ADB-∠ACD=30°﹢二分之一x°，又因为CA=CE，所以∠E=∠CAE=30°－二分之一x°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°（3）二分之一α°．设∠B=x°，∵BA=BD，所以∠BAD=∠BDA=90°-二分之一x°，∠ACB=180°-x°-α°，所以∠DAC=∠ADB-∠ACD=-90°+二分之一x°+α°，又因为CA=CE，所以∠E=∠CAE=90°-二分之一x°－二分之一α°，。
美国数学月刊数学问题精选
美国数学月刊数学问题精选数学，这门古老而又充满魅力的学科，如同宇宙中的繁星，璀璨而又神秘。
美国数学月刊作为数学领域的重要刊物，其中所精选的数学问题更是引人入胜，激发着无数数学爱好者的探索欲望。
在这些精选问题中，有一类是关于数论的。
数论，研究整数的性质，看似简单，实则深藏玄机。
比如，有这样一个问题：证明对于任意正整数 n，存在连续的 n 个正整数，它们中没有一个是完全平方数。
要解决这个问题，我们需要深入理解完全平方数的性质以及整数的连续性。
通过巧妙的构造和推理，我们可以发现，如果取 n 个连续正整数为（k ＋ 1)＾2 1，（k ＋ 1)＾2 2，，（k ＋ 1)＾2 n，其中 k 是一个足够大的正整数。
那么，这些数都不是完全平方数，因为它们分别位于两个相邻的完全平方数之间。
几何问题也是常见的精选之一。
有这样一个有趣的问题：在一个平面直角坐标系中，给定三个点 A、B、C，证明三角形 ABC 的内心 I 到三角形三边的距离之和为定值。
解决这个问题，需要我们运用到几何图形的性质、点到直线的距离公式以及三角形的内角平分线定理。
我们先求出内心 I 的坐标，然后分别计算内心 I 到三边的距离，经过一番复杂但有趣的推导，可以得出距离之和是一个只与三角形边长有关的定值。
组合数学的问题同样令人着迷。
比如，有一个问题是：从 1 到 100这 100 个自然数中，选取若干个数，使得其中任意两个数之和都不能被它们的差整除。
那么，最多能选取多少个数？解决这类问题，需要我们巧妙地运用余数的性质和分类讨论的方法。
我们可以先将 1 到 100 按照除以3 的余数分为三类，然后通过分析每一类中的数的选取情况，逐步得出最多能选取的数的个数。
代数问题也是精选中的常客。
例如，已知函数 f(x) ＝ x^3 ＋ ax^2＋ bx ＋ c，且 f(1) ＝ 0，f(2) ＝ 0，f(3) ＝ 4，求 a、b、c 的值。
这需要我们运用方程组的知识，将已知条件代入函数中，得到三个方程，然后通过解方程组来求解 a、b、c 的值。
一类可由特殊点求出值域的函数——一道美国《数学月刊》征解题引发的猜想
譬 处 。， 一 丢 以 证 ） ，（ ｚ ＞ ．下 明
证 明 （ 界 为 １ ｆ （ ｙ，） １ 下 ） ｚｚ， 一 一ｚ＋ ＋
一 Ｙ。一 ｚ
所以， 一２ ／ （ Ｙ 的值域为［ ，２ ． 当 时， ， ，） １√ ］
结合 ｎ一２的情 况 ， 想需 要修 正 ． 新发 现 猜 将
， （ ｙ ）的值域 为［ ，２ ． ， ， １√ ］
ｚ一 ２ ｘｙｚ 一 １一 ＋ ｙ ＋ 一 ２ ｘｙｚ —
一
的以 （ ， ， ）为 代 表 这 类 纳 入 猜想 中 的特 殊 ０
点加 以考虑 ， 以下 证 明修正后 的猜 想． 当 ｎ＞ ３时 ， 虑 － （ ｙ ｚ 的最 大值 ， 满 ｔ － 考 厂 ｚ， ， ） 对 足条 件 的点 （ 。 ，。 ， ｚ ， ｚ ） 由问题 ２结论 知 ， 。
＝ ＝：
１ 求 ＿ （ ， ） ， 厂 １ Ｙ， 一ｚ＋ ＋ 一 ２ ｙ ｚ ｘ ｚ的值域 ．
分 析 在 点 （ ， ， ）处 ， 。ｚ， ｚ 一 １ 在 １００ － （ ， ） 厂 ；
２ 丽
≤ １ （＋ａ） ＋ １ ｂ
≤ ２ ａ ｃ 即√ （ ， ，） ２ ＋ ｂ ， ２ ａｂｆ ≤ ． ｇ
可谓 “ 显 神 通 ” 原 问 题 的 条 件 ： Ｙ， ∈ （ ， 各 ． ｚ， ０
ｙ ） ， 最小 值为 １ ， 一１ 故 ．
＋。） 。 且 ＋ ｙ ＋ ｚ 一１ 即点 （ ｙ， 在第 一卦 ， ， ）
限 的三 维单 位 球 面 上 ， 问题 为 求 目标 函数 ： （ ｆ ｚ， ．，） ｙ 一 ＋ ｙ＋ ｚ ｘ ｚ的值 域． — ｙ
．
・ ７ ５ ・
ｎ
＋ ３ ＋ ｏ ２ ， ｏ＝ ２ ｏ ，ｏ ≤ √ ， ， ｏ 一 ｘ ｏ ＝ 厂 （ ， ｚ ） ｏ ｚ ＝ ３ ｏ ２ 且在
也谈一道美国数学月刊征解题的解法
一
２ｍ 一 “ Ｅ 一 （ ＋ ｎ ／ — ２ ． （ ）１ ），１ ｍ ］
先 证 明
因为 ｍ＞ ａ 所 以 ，
１ ＋ １ ￣ 。 ２ ｘ ２ ￣ ＋ ３ ８ ２ ／ 一 ７ 一 ２ ， ７＞ ０ ．
（ ＋ｎ ， － ｍ ＜ ２ ￣ —２ ） Ａ 一２ ｍ ／ １ ｍ
一 ．
一
１ ＋ １ ８ ２
３
。 ２ｗ 一 ２ 瓜 一 ７。 ２
＋ ３ ７
＞ １一 ＋ １ ８ ２
（９ ２
一
。 （ ５ １ ＋ ９／ 一 ２＋ ６ ， ｇ一２ ） ９ｘ
５ ６ １ Ｏ ２ Ｏ ２０ ０ ３０ ０
产品
Ａ类产品
Ｂ类产品 租 赁费
甲设 备 （ 天 ） 每 乙设 备 （ 天 ） 每
得最 小值 为 ２３ ０元． ０ 点评 本 题是 线性 规划 中的实 际应用 问题 ， 需要 通过 审题 理清题 意 ， 出各个 量 之间 的关 系 ， 找 最好 是列 成表格 ， 出线 性 约 束 条件 和所 研究 的 列 目标 函数 ， 通过 数形 结合解 答 问题 ．
则 满 足 的 关 系 为
ｆ ＋ｙ ０ ｆ ０ ５ ６≥５ Ｌ ６ ， ， ｚ ≥１ ＋ ｛ ２ ≥ ４即 ＋ ４ ＋０ ０ ｛ ２ ， ０ ’ ≥１ 【 ， ， ｌ ， ． ≥０ ≥ｏ ｚ ≥ｏ ≥０
作 出不 等 式组 表 示 的平 面 区域 ， 目标 函数 将
Ｊ 号 一 交 ． １的 点 ＋ｙ Ｏ ．
ｌ＋２ 一１ ４
（ ，） ， 线 ｚ ４５ 时 直 在 轴 上 的 截 距 最 小 ， 时 的 目标 此 函 数 ｚ一 ２ ０ ０ ｘ＋ ３ ０ ０ ｙ取
图 ７
黎卡提方程的初等解法
黎卡提方程的初等解法摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例。
关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程0. 引言常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础。
微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。
在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就。
微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。
到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。
例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。
求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。
意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究。
达朗贝尔在 1763年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程”；黎卡提方程'2y =p(x)y (x)y+r(x)q + 不同于线性微分方程'y =(x)y+r(x)q 之处是还多含一项2p(x)y ，但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。
文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60年代以来，《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]。
美国数学试卷九年级【含答案】
美国数学试卷九年级【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是素数？A. 21B. 23C. 27D. 302. 如果一个三角形的两边长分别是8cm和15cm，那么第三边的长度可能是多少？A. 3cmB. 10cmC. 23cmD. 17cm3. 下列哪个函数是增函数？A. y = -2x + 3B. y = x^2C. y = -x^2D. y = 1/x4. 一个圆的半径增加了50%，其面积增加了多少？A. 50%B. 100%C. 150%D. 200%5. 如果一个事件A的概率是0.2，那么事件A不发生的概率是多少？A. 0.2B. 0.8C. 1D. 0二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）2. 平行四边形的对角线互相平分。
（）3. 两个负数相乘的结果是正数。
（）4. 任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
（）5. 对数函数是单调递增的。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 如果一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第10项是______。
2. 如果一个圆的直径是10cm，那么这个圆的面积是______cm²。
3. 如果一个事件A的概率是0.3，那么事件A发生3次的概率是______。
4. 如果一个函数的导数是2x + 3，那么这个函数是______。
5. 如果一个三角形的两个内角分别是30°和60°，那么第三个内角是______°。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是素数。
2. 什么是等差数列？给出一个等差数列的例子。
3. 解释什么是概率。
4. 什么是导数？给出一个函数的导数的例子。
5. 解释什么是相似三角形。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
2. 一个圆的半径是7cm，求这个圆的面积。
3. 如果一个事件A的概率是0.5，那么事件A发生5次的概率是多少？4. 如果一个函数的导数是3x^2 2x + 1，那么这个函数是什么？5. 如果一个三角形的两个内角分别是45°和45°，那么这个三角形是什么类型的三角形？六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析并解释为什么平行四边形的对角线互相平分。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第15讲统计的思想方法
第十五讲统计的思想方法20 世纪90 年月，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本热销全世界的《数字化生计》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到成竹在胸、用数听说话是信息社会对 人的基本要求．统计学是一门研究如何采集、整理、剖析数据，并在此基础上作出推测的科学． 随机抽样与统计推测是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特点去估计整体的相应特点，用样本的均匀水平、颠簸状况、 散布规律等特点估计整体的均匀水平、颠簸状况和散布规律． 【例题求解】 【例 1】现有 A ， B 两个班级，每个班级各有 45 名学生参加一次测试．每名参加者可获得 0， 1， 2，3， 4， 5， 6， 7，8， 9 分这几种不一样的分值中的一种．测试结果 A 班的成绩如 下表所示， B 班的成绩以下图．(1) 由察看所得，班的标准差较大；(2) 若两班共计共有 60 人及格，问参加者最少获分才能够及格．A 班 分数1 2 3 4 5 67 8 9 人数1357 6 864 32思路点拨 关于 (2) ，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案．注： 均匀数、 中位数、众数都是反应一组数据集中趋向的特点数， 可是它们描绘集中趋向的重视点是不一样的：(1) 均匀数易受数据中少量异样值的影响，有时难以真实反应“均匀”；(2) 若一组数占有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋向．【例 2】 已知数据 x 1 、 x 2 、 x 3 的均匀数为 a ， y 1 、 y 2 、 y 3 的均匀数为 b ，则数据 2 x 1 3 y 1 、 2 x 2 3 y 2 、 2x 3 3 y 3 的均匀数为 ()A ． 2a+3bB ． 2a bC ．6a+9bD ． 2a+b3思路点拨 运用均匀数计算公式并联合已知条件导出新数据的均匀数．【例 3】某班同学参加环保知识比赛．将学生的成绩 (得分取整数 )进行整理后分红五组，绘成频次散布直方图 (如图 )．图中从左到右各小组的小长方形的高的比是 1：3： 6： 4： 2，最右侧—组的频数是 6．联合直方图供给的信息，解答以下问题：(1)该班共有多少名同学参赛 ?(2)成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少?(3)求成绩在 60 分以上 (不含 60 分 )的学生占全班参赛人数的百分率．思路点拨读图、读懂图，从图中获得频次、组距等有关信息．【例 4】为估计，一次性木质筷子的用量，1999 年从某县共600 家高、中、低档饭馆中抽取10 家作样本，这些饭馆每日耗费的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0(1) 经过对样本的计算，估计该县 1999 年耗费多少盒一次性筷子(每年按350 个营业日计算 )；(2)2001 年又刘该县一次性木质筷子的用量以相同的方式作了抽样检查，检查的结果是 l0 个样本饭馆每个饭馆均匀每日使用一次性筷子 2.42 盒，求该县2000 年、2001年这两年一次性木质筷子用量均匀每年增添的百分率(2001 年该县饭馆数、整年营业天数均与1999 年相同 )；(3) 在 (2)的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07 米3，求该县 2001年使用一次性筷子的木材能够生产多少套学生桌椅．计算中需用的有关数据为：每盒筷子100 双，每双筷子的质量为 5 克，所用木材的密度为0.5× 103千克／米3；(4)若是让你统计你所在省一年使用一次性筷子所耗费的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．思路点拨用样本的均匀水平去估计整体的均匀水平．注：（ 1）运用数学知识解决实质问题的过程是：从实质问题中获得必需的信息——剖析办理有关信息——成立数学模型——解决这个数学识题．（ 2）经过图表获得数据信息，采集、整理剖析数据，再运用统计量的意义去剖析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式．思路点拨【例 5】编号为把这个弹珠从篮子1到25的25A 移到篮子个弹珠被分放在两个篮子 A 和 B 中，15 号弹珠在篮子 A B 中，这时篮子 A 中的弹珠号码数的均匀数等于原均匀数加中，1 ，B中弹珠号码数的均匀数也等于原均匀数加1，问本来在篮子 A 中有多少个弹珠?44思路点拨用字母分别表示篮子 A 、B 弹珠数及相应的均匀数，运用方程、方程组等知识求解．学历训练1．某校初二年级全体 320 名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准区分红“不合格” 、“合格”、“优异”三个等级．为了认识电脑培训的成效，用抽签方式获得此中32 名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图以下图．试联合图示信息回答以下问题：(1)这 32 名学生培训前考分的中位数所在的等级是，培训后考分的中位数所在的等级是．(2)这 32 名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由降落到．(3)估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优异”的学生共有名．(4)你以为上述估计合理吗 ?原因是什么 ?答：，原因．2．某商铺 3、 4 月份销售同一品牌各样规格的空调销售台数以下表：依据表中数据回答：(1)商铺均匀每个月销售空调(台 )；(2)商铺销售的各样规格的空调中，众数是(匹 )；(3)在研究 6 月份进货时，商铺经理决定(匹 )的空调要多进；(匹 )的空调要少进．3．为了认识某中学初三年级250 名学生升学考试的数学成绩，从中抽取了50 名学生的数学成绩进行剖析，求得x样本94.5 ．下边是50 名学生数学成绩的频次散布表：分组频数累计频数频次60． 5～ 70． 5正3a70． 5～ 80． 5正正60． 1280．5～ 90． 5正正90． 1890． 5～ 100． 5正正正正170． 34100． 5～ 110． 5正正b0． 2110． 5～ 120． 5正50． 1合计501依据题中给出的条件回答以下问题：(1)在此次抽样剖析的过程中，样本是；(2)频次散布表中的数据 a =， b =；(3)估计该校初三年级此次升学考试的数学均匀成绩约为分；(4)耷此次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90．5～ 100．5 范围内的人数约为人．4．小明测得一周的体温并登记在下表（单位：℃）礼拜日一二三体温36.6 36.7 37.037.3四五六36.937.1周均匀体温36.9此中礼拜四的体温被墨迹污染，依据表中数据，可得这天的体温是()A ． 36． ?℃B ．36． 8℃C． 36． 9℃D． 37． 0℃5．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差均匀字数甲55149191135乙55151110135某同学依据上表剖析得出以下结论：①甲、乙两班学生成绩的均匀水平相同；②乙班优异的人数多于甲班优异的人数(每分钟输入汉字数≥150 个为优异 )；③甲班的成绩的颠簸状况比乙班的成绩的颠簸大，上述结论正确的选项是()A ．①②③B．①②C．①③D．②③6．今年春天，我国部分地域SARS 流行，党和政府采纳坚决举措，防治联合，很快使病情获得控制．以下图是某同学记录的 5 月 1 日至 30 日每日全国的 SARS 新增确诊病例数据图，将图中记录的数据每5 天作为一组，从左至右分为第一组至第六组，以下说法：①第一组的均匀数最大，第六组的均匀数最小；②第二组的中位数为 138；③第四组的众数为 28；此中正确的有 ()A．0个B．1 个C．2 个D．3 个7．某景色区对 5 个旅行景点的门票价钱进行了调整，据统计，调价前后各景点的旅客人数基本不变．有关数据以下表所示：（1）该景色区称调整前后这 5 个景点门票的均匀收费不变，均匀日总收入持平．问景色区是如何计算的？（2）另一方面，旅客以为调整收费后景色区的均匀日总收入有关于调价前，实质上增添了约 9.4%．问旅客是如何计算的？（3）你以为景色区和旅客哪一个的说法较能反应整体实质？8．甲、乙两人在相同条件下各射靶10 次，每次射靶的成绩状况以下图．（1）请填写下表 :均匀数方差中位数命中 9 环以上一次数甲71． 21乙5． 4（2）请从以下四个不一样的角度对此次测试结果进行剖析.①从均匀数和方差相联合看；②从均匀数和中位数相联合看（剖析谁的成绩好些）；③从均匀数和命中 9 环以上一次数相联合看（剖析谁的成绩好些）；④从折线图上两人射击命中环数的走势看（剖析谁更有潜力）．9．明湖区一中对初二年级女生仰卧起坐的测试成绩进行统计剖析，将数据整理后，画出以下频次散布直方图，已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第六小组的频次挨次是0.10、 0.15、 0.20、 0.30、 0.05，第五小组的频数是36，依据所给的图填空：(1) 第五小组的频次是，请补全这个频次散布图；(此标准为中考体(2) 参加此次测试的女生人数是；若次数在24(含24次)以上为达标育标准 )，则该校初二年级女生的达标率为．(3)请你用统计知识，以中考体育标准对明湖区十二所中学初二女生仰卧起坐成绩的达标率作一个估计．10．我国于 2000 年 11 月 1 日起进行了第五次全国人口普查的登记工作，据第五次人口普查，我国每 10 万人中拥有各样受教育程度的人数以下：拥有大学程度的为3611 人；拥有高中程度的为 11146 人；拥有初中程度的为33961 人；拥有小学程度的为35701 人．(1)依据以上数据填写下表：受教育程度每 10 万人中所占百分比( a％ )( a 精准到0.01)大学程度高中程度初中程度小学程度(2)以下各表示图中正确的选项是 ()． (将正确表示图数字代号填在括号内)11．新华高科技股份有限公司董事会决定今年用供选择 (每个项目或许被所有投资，或许不被投资下表：13 亿资本投资发展项目，现有 6 个项目可)，各项目所需投资本额和估计年均利润如项目A B C D E F 投资 (亿元 )526468利润 (亿元 )0． 550．40． 60． 40． 9l假如要求所有投资的项目的利润总数不得低于 1 ． 6亿元，那么，入选择的投资项目是时，投资的利润总数最大．12．新华社 4 月 3日公布了一则由国家安全生产监察管理局统计的信息；2003 年 1月至 2月全国共发惹祸故17 万多起，各种事故发生状况详细统计以下：事故种类事故数死亡人数 ( 单死亡人数占各种事故总死亡人数量位：人 )的百分比火灾事故 ( 不含森54773610林草原火灾 )铁路路外伤亡事故19621409工矿公司伤亡事故14171639道路交通事故11581517290共计173********(1) 请你计算出各种事故死亡人数占总死亡人数的百分比，填入上表( 精准到 0.01) ；(2)为了更清楚地表示出问题 (1) 中的百分比，请你达成下边的扇形统计图；(3)请依据你所学的统计知识提出问题 ( 不需要作解答，也不要解说，但所提的问题应是利用表中所供给数据能求解的 ) ．13．将最小的31 个自然数分红 A 、B两组， 10在A 组中，假如把10 从A 组移到 B 组，则A 组中各数的算术均匀数增添1， B组中各数的算术均匀数也增添1．问 A 组中原有多少22个数 ?14．某次数学比赛共有15 道题，下表是关于做对n( n =0， 1，2 15)道题的人数的一个统计，假如又知此中做对 4 道题和 4 道以上的学生每人均匀做对 6 道题，做对10 道题和道题以下的学生每人均匀做对 4 道题，问这个表起码统计了多少人?10 n012312 1314 15做对n 道题的人数7810 2l1563l参照答案。
第一讲有理数
第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例 题 示 范1、数轴与大小例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=na b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002提示：仿例5，造零。
结论：2003。
例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
几种特殊类型方程解法的研究
毕业（设计）论文题目几种特殊类型方程的解法的研究学院专业班级学生姓名指导教师成绩2014年05 月31 日摘要从中世纪到19世纪初, 数学家门一直把代数学看成是解代数方程的学问.在生活和学习知识的过程中，方程更是非常重要的一个内容，在初等数学中，以初等函数的概念和解析式的运算为基础研究某些特殊形式的方程.综上鉴于特殊方程的多种解法的重要性, 本文主要研究了一元代数方程的解法, 其中包括一元三次方程、倒数方程、指数方程、对数方程等等.本文主要做了几个工作.以特殊方程的多种简便解法为线索, 介绍了几种特殊类型的方程, 以及在数学生活中的重要性, 并把几种特殊方程分类, 分块讨论.分别对几种方程举例, 力求最简便.关键词特殊方程;初等数学;多种解法;分类AbstractFrom the Middle Ages to the early nineteenth Century, mathematicians have the algebra as the solution of algebraic equations in learning, living and learning in the process of knowledge. The equation is a very important content, in elementary mathematics, the concept and formula of elementary function. Calculation based on the equation, some special form.So in view of the importance of special equation solution, this paper focuses on the element equation including: a three order equation、the equation、exponential、logarithmic equation etc···This paper mainly do the following several aspects of work:The first: a simple solution to a variety of special equation as a clue , introduces several special types of equations, as well as the importance in mathematics, in life;Second: put some special classification of equation, block discussion;Third: for some special equation for example, to the most convenient.Key word Special equation; Elementary mathematics; A variety of solution; Classification目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 ........................................................... - 1 - 第1章方程的基本概念及同解性 .................................. - 2 - 第2章一元代数方程的解法 ...................................... - 9 -2.1倍根法 .................................................. - 9 -2.2 倒根法................................................. - 11 -2.3一元三次方程与倒数方程的解法 ........................... - 12 -2.3.1一元三次方程的解法................................ - 12 -2.3.2倒数方程的解法.................................... - 15 -2.4二项方程的解法 ......................................... - 18 -2.5解含有参数的方程 ....................................... - 19 - 第三章初等超越方程解法举例 ................................... - 21 -3.1指数的方程解法 ......................................... - 21 -3.2 对数方程的解法......................................... - 22 -3.3 三角方程的解法......................................... - 24 - 总结 .......................................................... - 27 - 参考文献 ...................................................... - 28 - 致谢 ........................................................ - 30 -绪论在生活中, 数学与我们密不可分, 而防方程更是数学中非常重要的内容, 我们从小学开始就接触学习方程, 并一直学习到大学, 对于普通方程的解法大学都是熟知的但对于类型较特殊的方程, 如一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程, 超越方程都没有较简单的解法, 这就需要我们的研究使特殊类型的方程得到更简便的多种解法, 并且在中学数学的研究中, 有更广泛的应用价值, 并对以后的中学数学教学工作有着重要的意义.本次论文主要研究的是特殊方程的解法, 而特殊方程的解法有很多种, 其中一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等更是重点中的重点, 在《高等函数学报（自然科学版）》2010年05其中付跟春教授就发表了一篇关于一元三次方程的另一种解法《考试周刊》2012年第20其中, 权小刚写了到了利用分解因式法解一元四次方程《数学通报》1980年第十二其中张君达教授对倒数方程及其应用有非常详细的研究, 且在国外, 当代数学家eibitzE对特殊L和uler类型的方程的解法详细研究.在对本文课题内容研究的过程中, 主要分为三个方面, 首先需了解方程的基本概念, 及同解性通过对定义、定理推论及其典型例题的研究, 加深方程的基本概念、及同解性. 其次, 在对多种类型特殊方程的多种解法中, 主要针对一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等内容进行详细计算, 最后, 讨论超越方程的解法并进行举例, 基本分为指数函数. 对数方程, 和三角方程的特殊解法.采取的方法有文献资料法、举例法、探究法.在对特殊方程解法的研究中, 国内外关于特殊类型的方程应用比较多, 对于求解方面难以把握, 特别在竞赛数学中, 一般大的解法比较简单, 但应用比较少, 难点是去寻找解题的简单方法, 并且对于不同类型的特殊方程有特殊的解法研究, 在老师的指导下, 通过校图书馆查阅的书籍以及期刊并与同学不断的沟通使特殊方程的解法不只是降次一种方法而已, 能够更加简便的解特殊类型的方程.第1章 方程的基本概念及同解性定义1.1 等式f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为方程.其中，f()z y x ,,,g ()z y x ,,都是定义在数组集M 上的函数M 是这两个函数的定义域的交集, 并且把M 称为这个方程的定义域.定义2.1 如果数组集M 是方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的定义域, M内的一组数,,,c b a 满足这个方程, 即有f()z y x ,,=g ()z y x ,,. 那么称这一组数位这个方程的解.作为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的解的数组的集合S 称为这个方程的解集. 当MS =时，方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,又称为恒等方程.可表示成:f()z y x ,,=g ()z y x ,,.当S 时空集时方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为矛盾方程.定义3.1 函数f()z y x ,,与g ()z y x ,,的变数z y x ,,, 称为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的未知元, 有几个变数的方程称为n 元方程.特别地, 把一元方程)()(x g x f =的解称为一元方程的根.关于方程的概念.为了叙述简便起见, 通常就一元方程进行讨论. 如果需要推向一般情形, 只需在叙述上做一些补充就可以了.同解性定义4.1 如果方程)1(1f 1)(g x =)(x 的任何一个解都是方程)2(2f 2)(g x =)(x 的解, 并且方程)2(的任何一个解也都是方程)1(的解. 那么方程)1(与)2(称为同解方程.两个同解方程显然是有相同的数集, 但对于解集相同的方程约定仅当每一个重根具有相同的重复次数时, 才认为它们是同解方程. 因此01=-x 与方程2)1(-x=不能认为是同解方程. 因此方程01=-x 与方程2)1(-x 0=不能认定是同解方程.两个无解方程认为是同解方程.因为方程的解集包含于方程的定义域内, 所以两个方程可能在某一个数域上同解, 而在另一个数域上是不同解的, 例如2x 01=+、014=+x、12=+nx在实数域上彼此同解, 因为它们的解集是空解.在复数域上, 它们的解集是各不相同的, 第一个方程有两个解, 第二个方程有四个解, 第三个方程有n 2个解. 它们显然不是同解方程.同解性定义5.1，如果方程)1(的每一个解都是方程)2(的解, 那么方程)2(称为方程)1(的结果（或称为推演式）.显然, 如果两个方程互为结果, 那么这两个方程便是同解方程. 定理1.1, 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f +=+同解.证：设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 从而有)()()()(1111x A x g x A x f +=+，这表明方程)2(是方程）（1的结果. 如果)()()()(1111x A x g x A x f +=+, 由))()()()()(111111x A x A x g x A x A x f （-+=-+,可得)()(11x g x f =，这表明方程)1(是方程）（2的结果. 方程）（1与方程)2(互为结果, 这两个方程式同解方程. 推论 任何方程)()(x g x f =均可表示成0)(=x F 的形式, 其中))()(x g x f x F （-=.定理2.1 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义,并且不等于零, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f =同解. 证 设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 因为0)(1≠x A , 于是有)()()()(1111x A x g x A x f =, 这表明方程)2(是方程)1(的结果.如果)()()()(1111x A x g x A x f =将等式两端同除以)(1x A 即得:)()(11x g x f =.这表明方程)1(是方程)2(的结果.方程)1(与方程)2(互为结果这两个方程便是同解方程. 定理3.1 如果)()()()(21x f x f x f x F k =,那么方程0)(=x F 的解集等于下列各个方程:)(1=x f ,，0)(2=x f ,)(k =x f .的解集的并集, 并且其中每一个解都属于这k 个方程的定义域的交集. 证：设)(x F 的定义域为M ,)(x f i 的定义域为),,2,1(k i Mi=, 因为)()()()(21x f x f x f x F k =, 所以KMMMM21=.又设()0=x F 的解集为A , Ax ∈1;()01=x f 的解集为()k iB ，，211=.因为MA x ⊆∈1, 所以KMMMx ⋂⋂∈21因为()01=x F ，于是有()()()011211=x f x f x f k .这个等式的左端至少有一个因式等于零，这表明KB B B x ⋃⋃⋃∈ 211.反之易证BB B B K ⊆⋃⋃⋃ 21定理1.4 如果()()()()x g x g x f x f 2121==，, 方程（1）()()x g x f 11=与方程（2）()()x g x f 22=的定义域都是数集M, 那么方程（1）方程（2）同解.证：设()()a g a f 11=，因此，Ma ∈.因为对于M 中任何数x ,()()x f x f 21=, ()()x g x g 21=, 所以()()a g a f 11=，()()a g a f 22=.因为()()a g a f 11=）, 所以()()a g a f 22=，这表明方程（2）是方程（1）的结果.同理可证, 方程（1）是方程（2）的结果.于是, 方程（1）与方程（2）同解.解方程时, 根据上述定理将原方程变形.或将原方程的任何一端在不改变方程定义域的前提下作恒等变形后所得到的方程与原方程是同解的, 这样的变形称为解方程的同解变形.在解方程时.除了利用同解变形外有时还要作以下几种变形.1. 方程()()x gx fnn=, 是方程()()x g x f =的结果；正整数n 是对函数()x f ，()x g 施行乘方运算的指数.2. 方程()()aa x g x f =是方程()()x g x f =的结果，不小于2的整数n 是对函数()x f ，()x g 施行开方运算的根指数（n 为偶数时，()0≥x f ，且()0≥x g ）.3. 如果()x g 1与()x g 2不等于零，那么方程()()()()x g x f x g x f 2211=是()()()()x f x g x f x g 2211=的结果4. 如果对于定义域中的数()()x g x f 11≠，且()()x g x f 22≠，那么方程()()()()()()()()x g x g x g x f x g x f x g x f 22221111-+=-+是方程()()()()x g x f x g x f 2211=的结果.5. 方程()()x g x f =是方程()()x g x f lg lg =的结果.6. 方程()()x g x f sin sin=是方程()()x g x f =的结果.经过上述变形, 作为原方程是的结果往往是与原方程不同解的.一般来说, 当在方程两端施行某一运算.而这种运算的逆运算的运算结果不是唯一确定的时候, 便将得到与原方程不同解的方程.由于方程变形后, 改变了（扩大或缩小）原方程的定义域, 定形厚的方程与原方程往往是不同解的.在不是同解变形的情况下解方程, 可能产生增解, 既不满足原方程但是满足原方程的结果的那些解;也可能失去原方程的部分解.在解一元方程时, 产生的增解又称为增根, 失去的解称为遗根.为了在解方程时剔除增解, 避免失去解, 可采取下列步骤.（1） 在方程变形过程中, 把由原方程的结果得到的解代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解.（2） 在方程变形过程中, 把原方程的定义域的扩大部分中的数代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解. 例如, 由得：512+=-x x .2-=x 是后者的根. 而不是前者的根⑶在方程变形过程中，把原方程的定义域的缩小部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是原方程的解例如，由()()()()1312222++=+++-x x x xx x经合分比变形得()()()()x x x x 2242422-+=-+-. 因而失去原方程的解0=x.⑷在方程变形中，根据变形结果与原方程不同解的原因判断是否有增解和是否有可能失去解 例如方程 ()()x x x -=-+1arcsin1arccos arcsin ，变形为：()01arccosarcsin2=-+x x ， ⑴()x x --=1arccos arcsin 2 ⑵这两个方程与原方程都是同解的. 由()()[]x x --=1arccos cos arcsin2cos ⑶得：()xx -=1arcsin 2cos , 022=-x x从而得0=x，21=x.由方程⑵变形为方程⑶时，不是同解变形，因为满足方程⑵的未知数取值必然满足方程⑶，但满足方程⑶的未知数取值不一定满足方程⑵这是因为方程⑶还可以作为方程()x x -=1arccos arcsin 2的结果.经检验，21=x不满足原方程，但满足方程()x x -=1arccos arcsin 2.例1.1 解方程()()()()11429121-++=-+x x x x .解：方程两端同乘以最简公分母()()412+-x x，得：()()()()41941++-=++x x x x即0562=+-x x由此解得 51=x , 12=x .因为1=x , 使()()0412=+-x x ,所以1=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解分式方程时，为了将原方程的求解转化为整式方程的求解而在方程两端乘以原方程的最简公分母，由此所求得的解. 如果使公分母为零，那么这样的解便是原方程的增根.例1.2 解方程5462=++-x x解：方程两端平方后，再一次平方，以消去根号，得：08251702=+-x x解得51=x ， 1652=x .经检验165=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解无理方程时，除了前述在将方程两端边形时因扩大了原方程的定义域而引起增根外，由于方程两端引入了共轭因式也往往会因此而产生增根 例1.3 解方程()()443log 2log 22=-++x x . 解：将方程变形为()()4432log 2=-+x x ,从而得：()()16432=-+x x由此解得：()37311+-=x , ()37312--=x.这里只有1x 是原方程定义域内的数，因此2x 是增根. 于是原方程的解是()3731+-=x .例1.4． 解方程42log=xxx解：因为 2)2(loglog2log 2logx xx x xxx x==所以有42)2(log=x xx即4)2(2=x 由此解得11=x ， 12-=x1x 与2x 都使原方程失去意义，因此，原方程没有解. 例1.5 解方程2cos 2sin =-x x .解：设t x tg =⎪⎭⎫⎝⎛2，于是原方程变形为()()()211212222=---+t tt t.由此解得2=t ，即22=⎪⎭⎫⎝⎛x tg从而解得()z k k arctg x ∈+=,222π.第2章 一元代数方程的解法2.1倍根法使变形后的方程的各个根是原方程的各个根的k 倍. 方程0=⎪⎭⎫⎝⎛k y f 的各个根分别等于方程()0=x f 的各个根的k 倍.证：设()n ia i ,,3,2,1 =是n 次方程f （x ）=0的根.因为0)(f 1=a ,所以)()(i i a f kka f =0=.因此i Ka 是n 次方程0)(=ky f 的根.因为0)(=k y f 只有n 个根， 所以)(=k y f 的各个根分别是)(=x f 的各个根的k 倍.推论1：n 次方程0222110=++++--nn n n nka xk a kxa x a 的各个根分别是方程22110=++++--n n n na xa xa xa 的各个根的k 倍.例如:把1632166)(3561=-++-=x xx xx f ,表示成 0)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x ,那么)(1=x f 的各个根分别是:4123356=-++-x xx x的各个根的2倍.反过来说，把方程的04123356=-++-x x x x 各个根乘以2，对应的方程)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x即1632166)(3561=-++-=x xxxx f .因此，推论1也可以说成是把n 次方程22110=++++--n n n na xa xa xa的各个根乘以k ，对应的方程是:222110=++++--nn n n nka xk a kxa xa .由推论1可直接推出下一个推论： 推论2:把n 次方程022110=++++--n n n na xa xa x a 的各个根变号对应的方程为:1--22110=++--n n n na xa xa xa ）（ .例1.2 已知方程0204234=--++x x x x 的四个根中, 有两个根的绝对值相等，符号相反, 解这个方程 解：解:设=)(x f 0204234=--++x xxx有四个根γβαα---,,,.将0)(=x f 的各个根变号后对应的方程是:=-)(x f 0204234=-++-x xxx.这个方程的根是γβαα---,,,，0)(=x f 与0)(=-x f 有公共根α±. 用辗转相除法求得)(x f 和)(=-x f 的最高公因式是42-x .因为54)(22++=-x xx x f ，所以原方程为0)5)(4(22=++-x x x .它的根是2,2-,2191,2191i i --+-.定理1.2:方程)(=+k y f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根减去k.证：设),,2,1(n ia i =是n 次方程)(=x f 的根, 因为)(=i a f , 所以])[(=+-k k a f i 的根,因此，ka i-是n 次方程)(=+k y f 的根.因为0)(=+k y f 只有n 个根，所有)(=+k y f 的各个根分别等于)(=x f 的各个根减去k . 例如68364)]1([3=++=-+y yy f 的各个根分别等于68)1(36)1(4)(3=++++=x x x f 的各个根减去1-.这里的10848124)(23+++=x x x x f , 反过来说，要做一个三次方程使它的各个根分别等于三次方程10848124)(23+++=x x x x f 0=的各个根减去1-，只要将)(x f 表示为)1(--x , 即1+x 的幂构成的三次多项式.如果要将多项式n n n na xa xa xx f ++++=-- 2211)(化为不含有1-n 次项的多项式, 那么只要将)(x f 表示为)(1na x--的幂构成的多项式，即作一个n 次多项式，使它的各个根分别等于)(x f 的各个根减去na 1-. 由此可见, 经过这样的根的变换, 可使方程变形为简单的形式.2.2 倒根法定理2.2：如果方程0)(=x f 没有等于零的根，那么方程)1(=yf 的各个根分别等于方程)(x f 的各个根的倒数. 证 设),,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根, 并且0≠ia . 因为)(=i a f ,所以)()11(==i ia f a f .因此，ia 1是)1(=y f 的根, 因为n 次方程只有n 个根,所以)1(=yf 的各个根分别是0)(f =x 的各个根的倒数.推论3 如果n 次方程0)(=x g 的各个根分别是n 次方程0)(1110=++++=--n n n na x a xa x a x f 的各个根的倒数, 那么)(0111=++++=--a x a xa xa x g n n nn .例2.2 已知方程0918131423=+--x xx 的三个根的倒数成等差数列, 解这个方程.解：根据上述推论可知方程01413189)(23=+--=x x xx f 的三个根成等差数列,设这三个根是,,,b a a b a+-于是23=a, 32=a.因此, 0)(=x f 的一个根是32.因为)73)(1(74323)(2-+=--=-x x x xx x f , 所以0)(=x f 的另外两个根是1-, 与37, 由此可知，原方程的根是1,23-与73.2.3一元三次方程与倒数方程的解法2.3.1一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是23=+++d cx bxax)0(≠a把它的各个根减去ab 3-, 并且设32322272792,33ada abc bq ab ac p +-=-=.就可以变成一个不含有二次项的方程的方程（未知元仍然用x 表示）03=++q px x )1(所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程. 设v u x +=于是uvx u v v u uv v u x 3)(333333++=+++=.即 0)(3333=+--v u uvx x )2( 从而有)(,333v u q uv p +-=-=.根据一元多项式根与系数的关系，可知3u ，3v 是二次方程02732=-+pqy y的两个根.解这个二次方程，得：2742u323pqq ++-=, 2742323pqq v---=. )3(并且满足3p uv -= )4(设1u 是)3(的任意一个解, 则u 的另外两个解分别为:21312,wu u w u u ==.这里w 是1的三次单位根.由)4(得与321,,u u u 相对应的v 的三个解是:wv v w v v u p v 1321211,,3==-=.因此，03=++q px x 的三个解的公式是33233211127422742pqq pqq v u x +--+++-=+=,332233222227422742pqq wpqq wv u x +--+++-=+=,332332233327422742pqq w pqq wv u x +--+++-=+=.根据)3(式中27432pq+的符号可以看出三次方程03=++q px x 的根的性质. （1）如果27432pq+, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu ≠,方程)1(有一个实数根和两个共轭虚根：111v u x +=, ,iv u v u v w wux 322-11111212-++=+=, iv u v u wvu w x 322-11111123--+=+=.(2)如果27432pq+=, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu =, 方程(1)有三个实数根, 并且其中有两个根相等: 111v u x +=1u 2=,11212u u w wux -=+=,11123u wuu w x -=+=.(3)如果27432pq+, 那么3u 和3v 是共轭虚数.设 )sin (cos 3θθi r u +=, )sin (cos 3θθi r v -=,于是)3sin3(cos31θθi r u +=,)3sin3(cos31θθi r v -=.方程)1(有互相等的三个实数根: 3cos23111θr v u x =+=,=+=112wvwux -)3sin33(cos 3θθ+r )323cos(23πθ+=r , =+=1123wvu w x -)3sin33(cos3θθ-r )343cos(23πθ+=r .在这种情况下，方程)1(的三个实数根不能利用在根号下仅出现实数的根式由方程的系数来表示.而这一结论的证明已经完全超出课本的范围. 例3.2 解方程 011126223=-+-x xx .解 利用将n 次多项式简化为不含有1-n次项的方法可将方程化为：23)1(3)1(3--+-x x 0=.设1-=x y 原方程变换成方程2333=-+y y.因为3=p, 23=q, 所以162527432〉=+pq.设 1v u y+= 根据卡当公式得24,23131-==v u .于是 331114212-=+=v u y ,32312124212wwv w wuy -=+=, 33211234212wwwv u w y -=+=.因为1+=y x , 所以33142121-+=x ,iw w x )4324110821(44122114212166332332+++-=-+=, iw wx )4324110821(44122114212166333233+-+-=-+=.2.3.2倒数方程的解法在一元整式方程0)(=x f 中, 如果在多项式)(x f 中, 与首末两端等离的项的系数是相等的, 那么这种形式的方程称为倒数方程. 倒数方程有四种类型：)1(形如)0(0 (0012)2111122212120≠=++++++++++--+---a a x a xa xa xa xa xa xa x a m m mm m m m m m)1( 的方程称为第一种倒数方程.在方程)1(中, s x 项的系数等于s m x -2项的系数，这里ms2,,2,1,0 =. 显然0不是方程)1(的根.根据定理3的推论, 可知以方程)1(的各个根的倒数为根的m 2次方程仍是方程)1(, 因此, 方程)1(的根是m 对互为倒数的数.定理3.2 第一种偶次倒数方程=)(x f 0 (011)11112120=++++++++--+--a x a xa xa xa xa xa m m mm m m m m可以化为一个m 次方程. 证0)(...)()1()f(11112120=+++++++=-+--mm m m m m mxa xxa x xa xa x .因为0≠x，所以可以用mx 1乘)(x f , 得:)1(...)1()1()(.111110=+++++++=---m m m m mmma xx a xxa xxa x f x设yx x =+1, 于是有:22)1)(1(1222-=-++=+y xx x x xx ,y y xx x x xx xx 3)1()1)(1(132233-=+-++=+,24)1()1)(1(124223344+-=+-++=+y y xx xx xx xx ,······yxxxx xxxxm m m m mm=+-++=+----)1()1)(1(12211代入)(.1=x f xm, 得到的方程是y 的m 次方程.在证明这个定理的同时, 也给出了第一种偶次倒数方程的解法. 例2.4.解方程01256895612234=+-+-x x x x .解：将方程表示为089)(56)1(12234=++-+xx x x .因为0≠x, 将方程两端乘以21x, 得:89)1(56)1(1222=++-+xx xx ,设yxx =+1, 则21222-=+y xx ,从而有08956)2(122=+--y y ,由此得25=y 或613=y ,由251=+xx 或6131=+x x解得：32,23,21,2=x.因为1和1-的倒数是它的本身，还是1和1-, 所以如果方程0)(=x f 是第一种偶次倒数方程, 那么方程0)()1(=+x f x 和0)()1(=-x f x 除了两个根)11-或（的倒数就是本身之外, 其余的根是m 对互为倒数的数.方程0)f 1(2=-x x （）除了两个根)1(±的倒数就是本身以外.其余的根是m 对互为倒数的数.0)()1(=+x f x 称为第一种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=+++++++++b x b xb xb xb xb mm m m mm 0≠b (2))()1-(=x f x 称为第二种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=----++++c x c xc xc xc xc mm m m mm 0≠c (3))()1-(2=x f x称为第三种奇数倒数方程, 一般形式是： (012)121220=----++++++d x d xd xd xd xd mm m m m m 0≠d (4)这种形式的倒数方程没有中间项, 即没有1+m 次项.例5.2 解方程065444456)(2456=--+-+=x x x x x x f .解)(x f 是第二种偶次倒数方程, 必定有根1±.设)1()()(2-÷=x x f x g653856234++-+=x x x x38)(5)1(6234=-+++=xx x x .设yxx =+1, 因为0≠x , 将方程除以2x 得:38)1(5)1(622=-+++xx xx21222-=+y xx , 于是得:50562=-+y y由此得 25=y 或310-=y.由251=+x x 解得2=x或21=x .由3101-=+xx 解得3-=x 或31-=x . 所以0)(=x f 的根是31,3,21,2,1--±.某些特殊形式的方程, 有时也可以变换成倒数方程. 例6.2. 解方程062512256234=+++-x x x x解:将原方程变形为12)1(25)1622=+--+xx xx（.从而有024)1(25)1(62=+---xx xx .设yxx=-1. 于是得：242562=+-y y.由此解得 23=y 或38=y.由231=-x x , 解得21,2-=x . 由381=-xx, 解得31,3-=x.所以原方程的根是31,3,21,2--.2.4二项方程的解法形如0=-c x n的方程称为二项方程.解二项方程0=-c x n 只要将c 开n 次方, 在复数域上求一个数的n 次方根可采用复数的三角形式来计算.定理4.2如果)sin (cos θθi r c+=, 那么二项方程0=-c x n的根是)2sin2(cosn k i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.证. 因为n n nk i nk r )]2sin2(cos[πθπθ+++ci r =+=)sin (cos θθ.并且)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.表明共有n 个互不相等的值, 它们都是n 次方程0=-c x n的根, 而n 次方程有n 个根, 所以方程0=-c x n的根是:)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.因为1sin cos =+θθi 由定理4.2可知在复数域上的几个n 次方根是:1, ni nππ2sin2cos +，ni nππ22sin22cos⋅+⋅，···，nn i nn ππ2)1(sin2)1(cos -+-.根据实系数多项式的性质可知, 二项方程的虚数根都是成对出现的.例如方程083=+x 在复数域上的三根是:2)sin (cos 21-=+=ππi x ,ii x 31)3sin3(cos22+=+=ππ, ii x 31)32sin32(cos 23-=+=ππ . 例7.2 解方程016842234=++++x x xx .由此可得到一个二项方程 0255=-x . 解这个二项方程, 并排除方程02=-x 的根2=x 以后, 即得原方程的四个根)52sin52(cos21ππi x +=, )54sin 54(cos22ππi x +=,)54sin 54(cos 2)56sin 56(cos23ππππi i x -=+=, )52sin 52(cos 2)58sin 58(cos24ππππi i x -=+=.2.5解含有参数的方程在解含有参数的方程时, 必须对参数的每个容许值确定方程的解的集合. 例8.2 解关于未知数x 的方程21xa x-=-.解 这个方程的右端是非负数的, 因此左端也必须是非负数的, 应在02≥-x a 和1≥x 的条件下求解. 将方程两端平方得:1222=-+-a x x.这个方程必须在0)1(24)2(2≥-⋅--a 时，即21≥a时有实数解, 因此, 原方程的求解又增加了一个必要条件. 由这个一元二次方程解得: 21211-+=a x , 21212--=a x .2x 显然不满足条件11≥x , 因此, 它不是原方程的解.如果1x 是原方程的解，那么 12121≥-+a ,即 112≥-a .当1≥a时,112≥-a 是成立的, 但还要考虑, 021≥-xa 是否成立.经过计算, a 取任何值时, 021≥-xa 总能成立.综上所述，当1 a 时，原方程没有解.当1≥a原方程的解为2121-+=a x .在解含有参数的方程时, 不仅要考虑对于参数的某些取值, 原方程没有解, 而且考虑, 在参数取某个值的情况下，原方程可能成为恒等式.这时, 原方程在定义域内便有无限多个解.第三章 初等超越方程解法举例含有一个未知数的初等超越函数方程（简称超越方程）是指形如0)=x F （的方程，其中，)(x f 是初等超越函数.初等超越函数方程的求解最终都归结为最简超越方程的求解 最简超越方程是指形如cx f =)(的方程，其中，)(x F 是基本初等超越函数, c 是常数.3.1指数的方程解法)1()()(x g x f aa=, )1,0(≠a a类型例1.3解方程312)10(10001505---=x xx .解:原方程可变形为 661010-=x x, 66-=x x, 56=x.解这一类的指数方程是以对数的存在性和唯一性为根据的由于)()(x g x f a a =与)()(x g x f =是同解的，所以这一变形不会产生增根，也不会发生遗根.)2( )()(x g x f aa=（a 与b 都是不等于1的正实数，并且ba≠）类型.例2.3 解方程. 解：将方程两端取常用对数得:3lg )1(5lg )1(2-=+xx .这是一个一元二次方程，由此可解得:1-=x 或3lg 5lg 3lg +=x .这也就是原方程的根.解这类指数方程，因为0)( x f a , 0)( x g b ，方程两端取对数后得到的方程与原方程是同解，所以，这一边形不会产生增根和遗根.)3(0)(=xa F , )1,0(≠a a类型.例3.3 解方程xxx946=+.解：将方程两端分别除以x 9得:19432=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx.设yx=⎪⎭⎫ ⎝⎛32，则有012=-+y y ，由此解得:251+-=y, 或251--=y.后者因032 x⎪⎭⎫⎝⎛而舍去，再由21532-=⎪⎭⎫⎝⎛x可解得:3lg 2lg 2lg )15lg(---=x即为原方程.这种类型的指数方程通常采用换元法求解未知数. 为了将问题归结为最简指数方程的求解，往往需要将各个指数函数式化为相同的底数，由于底数都大于零，所以，在方程变形时不能破坏同解性.)4()()()(x F x f x g =类型.这种类型的方程成为幂指方程，如果是在底数大于零的条件下求解，那么可以通过两端取对数使方程变形.例4.3解方程 1lg 47lg 10++=x x x)0( x .解：因为方程两端都大于零，所以可在两端分别取对数，经过运算，化简可得：4lg 3)(lg 2=-+x x .有此可解得1lg =x 或4lg =x ，从而有10=x或410-=x，这就是原方程的解.3.2 对数方程的解法)1(cx g x f =)(log)(（c 为常数）类型.解这一种类型的方程通常是将对数形式化为指数形式.但解得的数值必须满足0)( x f ，与1)(≠x f 和0)( x g 的条件，否则便是增根. 例5.3 解方程22log)2(log8316=--x x.解 因为218log22log2188==，所以有2)316(21==-x x , 从而有 0122=--x x .由此解得4=x或3-=x, 后者使02 -x 于是方程的解只有4.)2()(log)(logx g x f aa= ()1,0≠a a .类型解这类方程时，根据对数的性质，可使得)()(x g x f =, 但由此解得的数值必须满足0)( x f 与0)( x g 否则便是增根.()3 0)(log=x F a)1,0(≠a a类型.解这类方程时，长采用换元法，将问题归结为解最简对数方程.)4( cx bx a=+log)1,0(≠a a类型.这类方程是在0x 的条件下求解的，当0≤c时，方程无解;当0c时，则有cx b x aaaloglog)(log=+. 即log log)x (log2=-+c x b aaa.这样变化为上一种类型，可用换元法求解 例6.3．已知1x 是方程42=+xx 的根，2x 是方程4log2=+x x的根.求21x x +. 因为1x 是方程42=+xx的根， 所以1x 是直线 x y +-=4与指数函数xy 2=图象交点P 的横坐标.因为2x 是方程4log2=+x x 的根，所以2x 是直线x y +-=4与对数函数xy2log=图象交点Q 的纵坐标.因为xy2=与xy2log=互为反函数，所以点P 与Q 关于其线对称， 且点P 与点Q 均在直线4+-=x y上，因为点P 与交点Q 的中点为)2,2(R . 所以421=+x x .3.3 三角方程的解法对于一般地三角方程来说，没有一般的简便的求解方法，对于其中某些类型的三角方程可用一定的解法求解，但对于同一个三角方程而言，解法往往不是唯一固定不变的的.凡是可以求解的三角方程，一般地说总是通过恒等变形将原方程的求解归为最简三角方程的求解. ）（1)]([)]([X F XF ϕϕ=类型（F表示某三角函数的符号）例如三角方程 x x 5sin 3sin =, )62()3(ππ-=+x tg x tg 都属于这一类型这类三角方程的基本解法是使方程一端为零，另一端化为积的形式，但也可利用下列具有相同的已知三角函数值的两弧之间的关系求解 )(sin )(sin 10x x ψϕ= 的交分必要条件是 πϕϕk x x k+-=)()1()( , )(z k ∈.︒2)(cos )(cos x x φϕ=的充分必要条件是:φ(x)=Ф(x)+2k π )(z k∈ .︒3 如果)()(x tg x tg φϕ=，那么πφϕk x x +=)()( )(z k∈ .例7.3 解方程 x x 3sin 5sin=.解：(1)将方程变形为:03sin 5sin =-x x .利用和差化积得:4cos sin 2=x x .从而得到最简三角方程:sin =x 或04cos =x .解：(2)由原方程可得:πk x x k+-=3)1(5 )(z k∈.等nk2=时，可解得:84ππ+=n x )(z n ∈.解）3(如果将a3sin与a5sin都用asin 表示，那么原方程便化成)1sin8sin 8(sin 224=+-x x a .由此可得最简正弦方程类型F 与G 表示不同的两个三角函数符号 例8.3 解方程yy 2cos 3sin =解)1(将原方程的两端化为相同名称的三角函数，可得：)22sin(3siny y -=π或yy 2cos )32(cos =-π.于是原方程的求解转化为前一种类型.解)2(使原方程的等式的一段化为零, 将另一端化为积. 解)3(利用倍角公式将方程两端都用ysin 表示.可得1sin 3sin2sin423=+--y y y左端分解因式后便可得最简正弦方程 (3) cy b y a =+cos sin , (c b a ,,都是常数，并且a 与b 都不等于零)类型如果 0≠c 并且222cb a =+，以a 除原方程的两端.得 ac y a b y =+cos sin因为+∞<<∞-ab ，于是可设ab arctg=ϕ，从而有 ac y y =+cos cos sin sinϕϕ又可化为ϕϕϕcos cos sin cos sin ac y y =+，即 ϕϕcos )sin(ac x =+因为222cba ≥+所以11cos 222222≤+=+=+=bac bac tg a c ac ϕϕ从而有πϕϕn ac y n+-=+)cos arcsin()1(， ϕϕπ--+=)cos arcsin()1(ac n yn)(z n ∈)4(关于ysin与ycos的齐次式的三角方程coscossincos sin sin 222110=++++--y a y a y y a y a nn n n n1如果0≠a ，则以ycos （ycos不等于零，若0cos=y ，则导致)0cos sin ==y y除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程sin110=+++-n n na y a y tga这是关于tgy 的代数方程，由此可得tgy 的值，便得到以正切函数表示的最简三角方程2如果,0110====-k a a a 但0≠ka ，则方程可化为)coscos sinsin(cos11=+++---+-y a y y a y a y kn n k n k kn k k由此可得0cos =y 或coscos sin sin11=+++---+-y a y y a y a kn n k n k kn k这后一个方程可按01的方法求解.)5(方程中含有未知数的各项可化为同一未知数的同一个三角函数的三角方程例9.3 解xx x x 5sin 3sin 7sin sin=将原方程的两端化为三角数式的差 ， 得28cos 2cos 2cos8xcos6x xx -=-从而有 xx 2cos 6cos=这个方程可按)]([)]([x F x F ψϕ=类型的解法求解.。
历届美国中学生数学竞赛试题及解答
历届美国中学生数学竞赛试题及解答
下面是近几届美国中学生数学竞赛试题及解答：
一、2019：
1、求解下列不等式（2 + 2·3² < 5·3）？
答案：2 + 2·3² < 5·3
2、如何快速计算三角形面积？
答案：三角形面积可以用公式：S=½·a·h，其中a为三角形的底边，h 为三角形高度。
二、2018：
1、求复数（1+i）³的模和辐角？
答案：复数（1+i）³的模为2，辐角为2π/3。
2、什么是余弦定理？
答案：余弦定理是一种三角形的定理，它规定了三角形的两条边的长度和它们之角之间的关系：C²=a² +b² -2ab·cosC。
三、2017：
1、如何快速求解圆面积？
答案：圆面积可以用公式：S=πr²，其中r为圆半径。
2、求解下列方程（x²-5x=3）？答案：x²-5x=3， x=2 或 3。
一道美国数学月刊征解题的新解与推广
２
ａ＋ｂ＋ｃ ３
： ３．
所 以 １
／ ２ ａ （ １ ＋ ａ ） ≥ ２ ４ ５ ＝
．
故９ （ ａ ｂ ＋６ ｃ ＋ ｃ ａ ） ＋１ ５ （ ａ ＋ ｂ ＋ Ｃ ） ＋９
９×３＋１ ５×３ ＋ ９＝ ８ １＝ ８ ｌ ａｂ ｃ．
解 设 拉格 朗 日函数 为 Ｌ （ ｘ， Ｙ， ｚ ， ） ＝ｘ ＋Ｙ ＋ｚ —
（ ５ ） 一 （ ６ ） ， 得： ； ． ． ． 一 ３ … ＝ ２ 一 ｌ ，
即（ ｘ ２ 一Ｘ １ ） ［ （ ｘ ２ ＋ ） ｘ ３ … ｘ 一 １ ］ ＝０．
ｘ ｙ ｚ — Ａ （ ｘ ＋ ＋ ｚ 一 １ ） ，对 求偏导数 ，并令它们都
２
２ 吣
．
一
２
一
２ Ｊ
．
Ｓ １ ｎ
ＣＯＳ
２
１ ＋２
Ｂ＼
２
ｌ ＋４ｓ ｉ ｎ— Ａ
：
２ Ｊ
．
Ｎ ／ ／ Ｎ ４ ￣ ４ — ｃ ｏ ｓ Ｂ ｃ — ｏ ｓ Ｃ ｓ ｉ ｎ 罢 ， ￣ ／ — ｃ ｏ ｓ Ｃ — ｃ ｏ ｓ Ａ ≤ ｓ ｉ ｎ 罢 ．
一
个不等式猜想 的证 明及 推广
吴赛 瑛 福 建省大 田第一 中学 （ ３ ６ ６ １ ０ ０ ）
４ １ ９ （ ａ ｂ ＋ ６ ｃ ＋ ｃ ａ ） ＋ ６ （ ａ ＋ｂ ＋ Ｃ ） ＋ ３ 】
３ １ ２ ７ ａ ｂ ｃ ＋９ （ ａ ｂ＋６ ｃ ＋ｃ ａ ） ＋３ （ ａ＋ｂ ＋Ｃ ） ＋１ 】
≥
・
２ａ ａ 、 ／ ＋
２ｂ ｂ 、 ／ ＋
《数学通报》征解题1600的解法探新
ｙ ’
２ ｌ
的 图 象 如 图 １ 可 以看 ． 出， 在 ＞ １ ， 时
再 令 Ｆ（ 一 ）
．
一
．
的根 只有 一个 ．
ｒ
一
√ｚ 的 图 象 在 渐 近
ｑ 一 ／Ｏ １ ３ ３一 ２ ４ｊ
Ｉ
一
， 有 Ｆ（ ） 则 ３ 一 ５一
线 一寺ｚ的下方 ， 而
． ：
下结论 该征 解 题是 一 道 双 链不 等 式 的证 明题 为 以２ ＿ 所萎 ＜ ，以
ｎ
图象 可 以帮助 我们 理 解 题 意 ， 发 我们 寻找 证 明 启 方 向， 但决 不 能根 据 图象 的直观 观察 就下结 论 ， 轻
，
导致双 曲线左 右两 支 的凹
・
６ ・ ４
中学数 学月 刊
２ １ 年 第 ９期 ０２
苏 教 版 选 修 ２１一道 习题 的探 究 —
’ 蒋 国强 （ 苏省 昆 山震 川 高级 中学 江 ２５ ０ ） １３ ０
苏教 版选 修 ２ １ ６ — 第 ６页第 １ 题 ： ５ 若抛物线 ｚ 一 ２ 的顶 点 是 抛 物 线 上 到 点 ｙ Ａ（ ， ） Ｏ ｎ 的距 离最 近 的点 ， ａ的取值 范 围． 求
１＜
＜ ２ ．
率地得 出“ 在 ＞ １ ， 一Ｌ ￡ 的根只有一 时
个 ”的结 论 ． 必须 给 出根 只有 一 个 的严 谨 证 明 ， 才
所 以 ２＜ ＋ １＜ ３ 即 ２＜ ４ ， ｂ～ ６ ＜ ３ ． １ 解 法 探 析
・
能令人 信 服． 由于方 程 根的 唯一性 没 有得 到证 明 ，
２
～ ４
ｚ ＋ （ 一 日 一 ｚ ） ＋ （ 一 口 一 ＋ （ ） １一 ａ ｘ ）
a由一道征解题引发的探究.doc
由一道征解题引发的数学探究蒋明斌(637851，四川蓬安中学)《数学通讯》（上半月）2010年第9期征解题第28题：设,1n N n ∈≥，k 为正奇数,求证12k k kn +++L 能衬被12n +++L 整除.此题涉及到自然数的方幂和，自然数的方幂和是一个有趣的问题，下面来探究其求法与性质。
1、自然数的方幂和的求法记()12,kkkS k n k N =+++∈L ， 高中课本中已经给出了：1(1)12(1)2S n n n =+++=+L (1)222(1)(21)(2)126n n n S n ++=+++=L (2) 2333(1)(3)122n n S n +⎡⎤=+++=⎢⎥⎣⎦L (3) 其中(1)可以用等差数列前n 项和公式求得，而(2) 、(3)课本中没有给出求法，只是作为数学归纳法证题的例或习题，一般学生都会问（２）、（３）是怎么得来的？其实（１）、（２）、（３）都可以通过裂项和递推求得。
1.1. 由22(1)21i i i +-=+，取1,2,,i n =L ，得n 个等式并相加得2(1)12(1)n S n +-=+，解得(1)(1)2n n S +=； 由332(1)331i i i i +-=++，取1,2,,i n =L ，得n 个等式并相加得33(1)13(2)3(1)n S S n +-=++，将(1)S 代入，解得333233(1)1(1)32(1)(1)(21)22(2)336n n n n n n n n n n n n S +---+++-+++===； 由4432(1)4641i i i i i +-=+++，取1,2,,i n =L ，得n 个等式并相加得44(1)14(3)6(2)4(1)n S S S n +-=+++，将(1)S 、(2)S 代入，解得44(1)16(2)4(1)(3)4n S S n S +----=432463(1)(21)2(1)4n n n n n n n n n +++-++-+=2(1)(33)(1)(21)2(1)4n n n n n n n n n +++-++-+=()2(1)332124n n n n n +++---=()22(1)(1)42n n n n n n +++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦； 一般地，由11121111(1)1m m m m mm m m i i C i C i C i ++-++++-=++++L ， 取1,2,,i n =L ，得n 个等式并相加得112111(1)1()(1)(1)m mm m m n C S m C S m C S n +++++-=+-+++L ，所以12111()(1)1(1)(1)1m mm m S m n n C S m C S m +++⎡⎤=+------⎣⎦+L （４） 将(1)S 、(2)S 、….(1)S m -代入(4)就可以求出()S m ，这就得到了就求自然数方幂和的递推公式(4)。
一道美国数学月刊征解题的拓广及初等解法
一道美国数学月刊征解题的拓广及初等解法
王海军
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】原题已知x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y +z-xyz的值域.此题曾为《美国数学月刊》的征解问题,后又出现在中国不等式研究小组的官方网站上寻求它的初等解法.本刊文[1]给出的解法涉及到幂平均不等式,本刊文[2]给出的解法用了奥数中的抽屉原则(注:求f的最优下界时,文[1]照抄文[2]错了一个“=”号与一个“＞”号),这两种解法看似“初等”,但对非参训参赛的普通中学生而言都不容易想到,因而不够“初等”.本文先将原题进行拓广,然后运用均值代换的方法再给出拓广题最基本的初等解法.
【总页数】2页(P37-38)
【作者】王海军
【作者单位】江苏省连云港市杨集中学(222221)
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一道美国数学月刊征解题的新解与推广 [J], 邹秋婷;吴兰
2.一道美国数学月刊征解题的解答及其推广 [J], 徐彦辉
3.一道美国数学月刊征解题的简解 [J], 刘杰
4.一类可由特殊点求出值域的函数———一道美国《数学月刊》征解题引发的猜
想 [J], 丁益
5.一道美国数学月刊问题的初等解法探究 [J], 张艳
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一种解法的证明
= ∫∫ h[r •cosθ , r •sin θ ] • g(r2 ,θ ) • 2rdrdθ
= 2∫∫ h[r •cosθ , r •sin θ ]• g(r 2,θ ) • rdrdθ
= ∫∫ h[x, y]• 2g( x2 + y 2,arctan
y ) • dxdy(∵dxdy = rdrdθ ) x
我们的目标是证明（x, y）是均匀分布。由对称性，只需证明（x, y）在 x>0,y>0 时（即单位
圆的第一象限）为均匀分布即可。也即需要证明（x, y）的联合概率密度 f (x, y) = 1 = 1 , S PI / 4
(其中 S 是单位圆在第一象限的面积)。
现在，我们将问题限定在第一象限 x>0,y>0 时，也即 R 在（0,1）， θ 在（0，PI/2）上的情况。
一种解法的证明
题目和解法在这里 http://ngloom.me/2011/10/17/rand_points_in_circle/ 这里证明第四种解法。
证明：令 R = r 2 ，则 R 在[0,1]上是均匀分布；θ 在[0, 360]是均匀分布，且 R 与 θ 相互独立。 x = r • cosθ = R • cosθ y = r • sin θ = R • sin θ
由定理 3.6.2 知
（x, y）的联合概率密度 f (x, y) = 2g (x2 + y2, arctan y ) x
因为 g( R,θ ) 为 R 与 θ 的联合概率密度，且 R 与θ 相互独立，所以
g( R,θ ) = gR (R) • gθ (θ ) ，其中 gR (R) 和 gθ (θ ) 分别为 R 和 θ 的概率密度函数。 由 R 在（0,1）， θ 在（0，PI/2）上是均匀分布可知：
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一道《美国数学月刊》征解题的初等解法
苏立志
（黑龙江省大庆实验中学 163316）
问题 ,,(0,)x y z ∈+∞且222
1x y z ++=，求函数f x y z xyz =++-的值域．
此问题最早出现在《美国数学月刊》问题征解中，后又出现在中国不等式研究小组网站上寻求初等的解法.文[1] 、
[2]分别给出了求f 上界的抽屉原则解法.但文[1]作者把“抽屉原则用于证明不等式，实属罕见”说成是“至今无人给出它的初等解法的原因所在”，笔者觉得此话值得商榷.事实上，文[2]、[3]都曾各自给出过另外初等解法.笔者对此题也做了几番独立探索，并最终获得了一种更简洁的初等解法．．．．
，现行成文，仅供参考. 解 首先求f 的最优上界.
注意到如下两个恒等式
()()()()()abc a b c ab bc ca a b b c c a =++++-+++ ① 3333
3()()()()()a b b c c a a b c a b c +++=++-++ ② 于是，
f x y z xyz =++-
()()()()()()x y z x y z xy yz zx x y y z z x =++-++++++++（运用①）
2221()()
(1222)()()()2x y z x y z x y z xy yz zx x y y z z x =++-++++-+++++++（2221x y z ++= ） 21
()()[()1]()()()2x y z x y z x y z x y y z z x =++-++++-++++ 333331311()()()()2233x y z x y z x y z x y z =-
++++++++-++（运用②） 33331
3
1
()()()623x y z x y z x y z =-+++++-++
由幂平均不等式得
111
333322222()()(1)333x y z
x y z
+++=+≥， 化简得
3331
(9)3x y z ++≥.
从而
31
3
()()629f x y z x y z ≤-+++++-
21
((69x y z x y z =-++-++++
9≤，
即 9f ≤.
再者，注意到上文所有的“≤”与“≥”中等号成立的充要条件均为3x y z ===
f 9
下面求f 的下界(见文[1]、[2]).
显然0,,1x y z <<，所以22,y y z z >>.于是，
f x y z xyz =++- 222
y z
x y z x +≥++-⋅ 2222
1(1)2x
x y z x x y z -≥++-⋅++= 212x
x y z +=⋅++
x x y z ≥⋅++
222
1x y z >++=. 所以，1f >，且易知当1x →或1y →或1z →（满足2221x y z ++=）时，1f →，由对称性可知，1是f 的最优下界.
综上所述，f 的值域为(1,
9. 参考文献
1 李建潮．一道美国数学月刊问题的初等解法 [J]．数学通报，2010，8
2 张艳．一道美国数学月刊问题的初等解法探究[J]．中学数学月刊，2010，2
3 梁开华．也谈一道美国数学月刊征解题的解法[J]．中学数学月刊，2010，3
4 苏立志．教师也应作自己的解题记录[J]．数学通报，2009，10。