等腰三角形、直角三角形

北京四中编稿：史卫红审稿：谷丹责编：赵云洁等腰三角形、直角三角形一、知识讲解：1.等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性.2.等腰三角形和等边三角形的性质和判定。

二、例题精讲：说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小.例1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°,求它的顶角的度数.分析: 这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算.解: (一)设这个等腰三角形的顶角为x°,根据"同一三角形中等边对等角",则它的一个底角为，这个顶角的外角为，底角的外角为[180-.由题意可得: (180-x)+[180-(180-x)]=245∴180-x+180-90+x=245∴-x=245-270∴x=50答:这个三角形顶角为50°.解: (二)设顶角为x°,底角为y°,顶角外角为(180-x)°,底角外角为(180-y)°.由三角形内角和定理可得:x+2y=180由题意可得: (180-x)+(180-y)=245,∴x+y=115,∴解方程组得答:这个三角形顶角为50°.例2.等腰三角形中的一个内角为50°,求另外两个角的度数.分析:等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50°的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论.解:若顶角为50°时,由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65°.∴三角形另外两个角都为65°,若底角为50°,则另一底角也为50°,由内角和又可求另一角为180°-(2×50°)=80°。

∴三角形另外两个角一个为50°和一个为80°,或另两个角都是65°.例3.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm.求它的周长.分析:等腰三角形的边有两种:一是等腰三角形的两条腰相等,另一是等腰三角形的底边.因此此题的已知条件中两边长为25cm和13cm,有可能腰为25cm或13cm，两种情况都可以构成三角形，因此要分类讨论.解: (1)若腰长为25cm时,则另一腰也为25cm,底边长为13cm.∴等腰三角形周长=25+25+13=63(cm)(2)若底边长为25cm时,则腰长为13cm,∴等腰三角形周长=25+13+13=51(cm)说明:1.等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形很重要的一条性质,由于等腰三角形图形的特殊性,特别要注意分类讨论思想的运用,需要看是顶角还是底角,边是腰还是底边,只有将这些内容考虑周全,才会使解答更加完整.2.若等腰三角形两边长为25cm和12cm,求三角形周长时,腰长只能为25cm,周长只能为62cm.若腰长为12cm,则两腰长的和24cm<底边25cm,不符合三角形两边之和大于第三边的定理.例4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15cm和11cm两部分,求这个三角形的底边长.分析:解这类的问题为了便于分析和解答先根据题意画出图形,写出已知和所求再解答.已知:如图△ABC中,AB=AC,BD为AC中线,且BD将△ABC周长分为15cm和11cm两部分,求△ABC的底边BC的长.分析:①由图中可知BD将△ABC周长即AB+AC+BC分成两部分为:AB+AD和BC+CD,题中的已知条件并没有指明哪一部分为15cm和11cm,因此应对这题进行分类讨论.②为便于解题可采用设元法用方程思想去解决.解:设腰长AB=AC=2x,底边BC=y,∵BD为AC中线(已知)∴AD=CD=x(线段中点定义)∴AB+AD=2x+x=3x,BC+CD=y+x.1)当AB+AD=15,即3x=15,BC+CD=11,即x+y=11时，解方程组得∴底边长为6cm.2)当AB+AD=11,即3x=11,BC+CD=15,即x+y=15时.解方程组得∴底边长为cm.两种解都能构成三角形，且都符合题意答:这个等腰三角形的底边长为6cm或cm.说明:在这二种情况中一定要注意求出底边长之后应养成检验的好习惯,看是否符合题意.由(1)中可知BC=6,则腰长AB=2x=10, ∴AB+AC>BC符合题意.同理(2)中BC=,AB+AC=4x=>BC,也符合题意.若AB+AC<BC时应将这解舍去.例5.如图AB=AC，D是AE上一点，且BD=DC。

求证：AE⊥BC。

分析：由AB=AC可知ΔABC是等腰三角形应联想它的性质，要证明AE⊥BC须证AE平分∠BAC，根据已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得ΔABD≌ΔACD，得出∠1=∠2，再由性质证出AE⊥BC。

证明：在ΔABD和ΔACD中，∵∴ΔABD≌ΔACD（SSS）∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）又∵AB=AC（已知）∴AE⊥BC（等腰三角形顶角的平分线是底边的高线）。

例6.如图在ΔABC中，AB=AC，E在BA延长线上，且AE=AF，求证：EF⊥BC。

分析：要证明EF⊥BC不大好入手，但是否可以找到一条垂直于BC的直线，再证EF与之平行呢？这个设想是可以完成的。

因为图形有等腰ΔABC，BC边的中线、高线与∠BAC的平分线三线合一。

证明：作∠A的平分线AD交BC于D，延长EF交BC于M，∵ΔABC中，AB=AC（已知），∴AD⊥BC于D（等腰三角形顶角平分线是底边的高线）∵∠BAC是ΔAEF的外角（如图）∴∠BAC=∠3+∠4（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）∵AE=AF（已知）∴∠3=∠4（同一三角形中等边对等角）∴∠BAC=2∠4（等式性质）∴∠4=∠BAC，又∵∠2=∠1（作图），∴∠2=∠BAC（角平分线定义）∴∠2=∠4（等量代换）∴AD//EF（内错角相等两直线平行）∴∠EMB=∠ADB（两直线平行同位角相等）∵AD⊥BC（已证）∴∠ADB=90°（垂直定义）∴∠EMB=90°（等量代换）∴EF⊥BC（垂直定义）。

说明：如果补充定理：若a//b,且a⊥c, 则b⊥c，则可不作EF延长线，证出AD//EF后，再由AD⊥BC，直接可证出EF⊥BC。

例7.如图△ABC是等边三角形, △ADE是以AD,AE为腰的等腰三角形,∠DAE=80°,∠BAD=15°,求∠CAE和∠EDC的度数.分析:题中除有两个角的具体度数外,还隐含了等边三角形每个角都是60°的条件.这样可以从∠DAC=∠BAC-∠BAD求得∠DAC度数,也就求得了∠CAE的度数.又可由△ADE为等腰三角形,则∠ADE=(180°-∠DAE),以及∠ADC是△ABD的外角,也可求得∠EDC的度数.解:∵△ABC为等边三角形(已知)∴∠B=∠BAC=60°(等边三角形的每一个角为60°)∵∠2=∠BAC-∠1(全量等于部分之和)∵∠1=15°(已知)∴∠2=60°-15°=45°(等式性质)又∵∠3=∠DAE-∠2(全量等于部分之和)∵∠DAE=80°(已知)∠2=45°(已求)∴∠3=80°-45°=35°(等式性质),即∠CAE=35°在△ADE中,∵AD=AE(已知)∴∠ADE=AED(同一三角形中,等边对等角)又∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°(三角形内角和定理)∴∠ADE=(180°-∠DAE)=(180°-80°)=50°(等式性质)∵∠ADC是△ABD外角,∵∠1=15°∠B=60°(已求)∴∠ADC=∠1+∠B(三角形外角等于和它不相邻的两个内角和),=15°+60°=75°(等式性质)∵∠EDC=∠ADC-∠ADE(全量等于部分之和)=75°-50°(等量代换)=25°答: ∠CAE为35°, ∠EDC为25°.例8.如图,在直角△ABC中, ∠BAC=90°,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC,求∠DAE的度数.分析: 如图（1）先观察∠DAE在图形中的位置,首先, ∠DAE是△ADE的内角,则∠DAE=180°-(∠1+∠2),而∠1,∠2又分别是等腰△ABE和等腰△ADC的底角,又可从中找到∠1,∠2与∠B,∠C的关系,又∠B+∠C=90°,这样理清这样一串角之间的关系,就可以从中求得∠DAE.解: (一) ∵BE=AB(已知) ∴∠1=∠BAE(同一三角形中,等边对等角)∵∠1+∠BAE+∠B=180°(三角形内角和定理)∴∠1=(180°-∠B) (等式性质)同理可求∠2=(180°-∠C)在△ADE中,∵∠DAE=180°-(∠1+∠2)(三角形内角和定理)∴∠DAE=180°-[(180°-∠B)+(180°-∠C)](等量代换)=180°-(180°-∠B-∠C)=(∠B+∠C)又∵∠BAC=90°(已知) ∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)∴∠B+∠C=180°-90°=90°(等式性质)∴∠DAE=(∠B+∠C)(已证)=×90°(等量代换)=45°答: ∠DAE的度数为45°.解法二：分析：如图（2）由上可知∠DAE与∠1、∠2是ΔAED的三个内角，同时∠DAE 与∠3和∠4又能组成直角，且∠2=∠DAC，∠1=∠BAE，都与∠EAD有关，因此可设元找它们之间的关系，用方程思想去解决。

解：设∠EAD=x°, ∠3=y°, ∠4=z°,∵CA=CD（已知）∴∠CAD=∠2（同一三角形中等边对等角）∴∠CAD=∠2=x+y,又∵AB=BE（已知），∴∠1=∠EAB（同一三角形中，等边对等角）∴∠EAB=∠1=x+z,∵∠EAD+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理)，∴x+(x+z)+(x+y)=180°, 即3x+y+z=180°,又∵∠3+∠EAD+∠4=∠CAB（全量等于部分之和），即y+x+z=90°,∴由（2）-（1）∴2x=90°, ∴x=45°,答：∠EAD为45°。