等腰三角形、直角三角形

北京四中

编稿：史卫红审稿：谷丹责编：赵云洁

等腰三角形、直角三角形

一、知识讲解：

1.等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性.

2.等腰三角形和等边三角形的性质和判定。

二、例题精讲：

说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小.

例1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°,求它的顶角的度数.

分析: 这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算.

解: (一)设这个等腰三角形的顶角为x°,根据"同一三角形中等边对等角",则它的一个底角为

，这个顶角的外角为，底角的外角为[180-.

由题意可得: (180-x)+[180-(180-x)]=245

∴180-x+180-90+x=245

∴-x=245-270

∴x=50

答:这个三角形顶角为50°.

解: (二)设顶角为x°,底角为y°,顶角外角为(180-x)°,底角外角为(180-y)°.

由三角形内角和定理可得:x+2y=180

由题意可得: (180-x)+(180-y)=245,∴x+y=115,

∴解方程组得

答:这个三角形顶角为50°.

例2.等腰三角形中的一个内角为50°,求另外两个角的度数.

分析:等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50°的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论.

解:若顶角为50°时,

由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65°.

∴三角形另外两个角都为65°,

若底角为50°,

则另一底角也为50°,由内角和又可求另一角为

180°-(2×50°)=80°。

∴三角形另外两个角一个为50°和一个为80°,或另两个角都是65°.

例3.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm.求它的周长.

分析:等腰三角形的边有两种:一是等腰三角形的两条腰相等,另一是等腰三角形的底边.因此此题的已知条件中两边长为25cm和13cm,有可能腰为25cm或13cm，两种情况都可以构成三角形，因此要分类讨论.

解: (1)若腰长为25cm时,则另一腰也为25cm,底边长为13cm.

∴等腰三角形周长=25+25+13=63(cm)

(2)若底边长为25cm时,则腰长为13cm,

∴等腰三角形周长=25+13+13=51(cm)

说明:1.等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形很重要的一条性质,由于等腰三角形图形的特殊性,特别要注意分类讨论思想的运用,需要看是顶角还是底角,边是腰还是底边,只有将这些内容考虑周全,才会使解答更加完整.

2.若等腰三角形两边长为25cm和12cm,求三角形周长时,腰长只能为25cm,周长只能为62cm.若腰长为12cm,则两腰长的和24cm<底边25cm,不符合三角形两边之和大于第三边的定理.

例4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15cm和11cm两部分,求这个三角形的底边长.

分析:解这类的问题为了便于分析和解答先根据题意画出图形,写出已知和所求再解答.

已知:如图△ABC中,AB=AC,BD为AC中线,且BD将△ABC周长分为15cm和11cm两部分,求△ABC的底边BC的长.

分析:①由图中可知BD将△ABC周长即AB+AC+BC分成两部分为:AB+AD和BC+CD,题中的已知条件并没有指明哪一部分为15cm和11cm,因此应对这题进行分类讨论.②为便于解题可采用设元法用方程思想去解决.

解:设腰长AB=AC=2x,底边BC=y,

∵BD为AC中线(已知)∴AD=CD=x(线段中点定义)

∴AB+AD=2x+x=3x,BC+CD=y+x.

1)当AB+AD=15,即3x=15,BC+CD=11,即x+y=11时，

解方程组得

∴底边长为6cm.

2)当AB+AD=11,即3x=11,BC+CD=15,即x+y=15时.

解方程组得∴底边长为cm.

两种解都能构成三角形，且都符合题意

答:这个等腰三角形的底边长为6cm或cm.

说明:在这二种情况中一定要注意求出底边长之后应养成检验的好习惯,看是否符合题意.由(1)中可知BC=6,则腰长AB=2x=10, ∴AB+AC>BC符合题意.同理(2)中

BC=,AB+AC=4x=>BC,也符合题意.若AB+AC

例5.如图AB=AC，D是AE上一点，且BD=DC。求证：AE⊥BC。

分析：由AB=AC可知ΔABC是等腰三角形应联想它的性质，要证明AE⊥BC须证AE平分∠BAC，根据已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得ΔABD≌ΔACD，得出∠1=∠2，再由性质证出AE⊥BC。

证明：在ΔABD和ΔACD中，

∵

∴ΔABD≌ΔACD（SSS）

∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）

又∵AB=AC（已知）

∴AE⊥BC（等腰三角形顶角的平分线是底边的高线）。

例6.如图在ΔABC中，AB=AC，E在BA延长线上，且AE=AF，求证：EF⊥BC。

分析：要证明EF⊥BC不大好入手，但是否可以找到一条垂直于BC的直线，再证EF与之平行呢？这个设想是可以完成的。因为图形有等腰ΔABC，BC边的中线、高线与∠BAC的平分线三线合一。

证明：作∠A的平分线AD交BC于D，延长EF交BC于M，

∵ΔABC中，AB=AC（已知），

∴AD⊥BC于D

（等腰三角形顶角平分线是底边的高线）

∵∠BAC是ΔAEF的外角（如图）

∴∠BAC=∠3+∠4

（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）

∵AE=AF（已知）∴∠3=∠4（同一三角形中等边对等角）

∴∠BAC=2∠4（等式性质）∴∠4=∠BAC，

又∵∠2=∠1（作图），∴∠2=∠BAC（角平分线定义）

∴∠2=∠4（等量代换）