含固支边的压电层合板的解析解

第26卷第12期 V ol.26 No.12 工 程 力 学 2009年 12 月 Dec. 2009 ENGINEERING MECHANICS6———————————————收稿日期：2008-07-17；修改日期：2008-12-03基金项目：天津市自然科学基金项目(07JCYBJC02100)；中国民航大学科研基金项目(05YK07M)作者简介：*刘艳红(1970―)，女，河南人，副教授，博士生，主要从事民用飞机结构强度及飞机系统维修理论研究(E-mail: lyhqzh@); 陈庆远(1982―)，男，河南人，硕士生，主要从事民用飞机结构强度及维修理论研究(E-mail: chenqingyuan@); 文章编号：1000-4750(2009)12-0006-06含固支边的压电层合板的解析解*刘艳红1,2，陈庆远2，张惠明1(1. 天津大学内燃机燃烧学国家重点实验室，天津 300072；2. 中国民航大学航空工程学院，天津 300300)摘 要：首先由H-R(Hellinger-Reissner)变分原理简要地推导了压电材料的非齐次状态方程，然后通过引入边界应力函数，建立了含固支边压电层合板的非齐次状态方程，最后采用增维方法将非齐次状态方程转化成齐次状态方程。

齐次方程方法不仅有利于程序的实现和数值运算稳定性，同时避免了矩阵求逆运算，大大地提高了计算效率。

数值实例证明了该方法的正确性。

关键词：压电层合板；固支边界；非齐次状态方程；齐次状态方程；增维方法 中图分类号：O326; TM282 文献标识码：AANALYTICAL SOLUTION FOR LAMINATED PIEZOELECTRIC PLATESWITH CLAMPED EDGES*LIU Yan-hong 1,2 , CHEN Qing-yuan 2 , ZHANG Hui-ming 1(1. State Key Laboratory of Engines, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. College of Aeronautical Engineering, Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, China)Abstract: Firstly, the non-homogeneous state equation of piezoelectric materials was derived simply from H-R (Hellinger-Reissner) mixed variational principle in this paper. And then, non-homogeneous state equation for the laminated piezoelectric plates with clamped edges was established by assuming boundary stress function. Finally the non-homogeneous state equation was transformed into the homogeneous state equation by employing the dimensional expanding method. This homogeneous equation algorithm is not only benefit to programming and the numerical stability, but also the inverse matrix calculation is avoided, thus the computing efficiency is improved greatly. Numerical example shows that the method presented in this paper is correct.Key words: laminated piezoelectric plates; clamped edges; non-homogeneous state equation; homogeneousstate equation; dimensional expanding method 很多学者对压电材料及其有关智能结构做了研究，较有代表性的工作有：Lee [1]和Gao [2]应用不同的方法得到了多层压电板的三维精确解。

Ding 和Chen 等人[3]通过引入位移函数和应力函数应用分离变量法研究了横观同性压电矩形板的自由振动问题。

卿光辉等人[4]由H-R 变分原理出发得出状态控制方程，然后用三角级数法求得了各向异性压电层合板的解析解。

Cheng 和Batra [5]应用渐近法对压电材料板进行了研究。

Heyliger [6]基于Pagano 的理论研究了压电材料的静力问题。

除此之外，Qing 和Qiu 等人[7]运用半解析法研究了压电材料的动力问题，文献[8―10]则采用有限元方法对压电材料的静力问题和动力问题进行了研究。

上面提到的解析法文献只能处理简单的边界条件(如四边简支)，对复杂的边界条件则显得很困难。

本文应用压电材料修正后的广义H-R 变分原工 程 力 学 7理[4,7,11―13]得到了压电材料的非齐次的状态方程，然后根据文献[14]中处理弹性材料的方法，将固支边界变为简支边界，并在简支边界上施加原固支边界的拉反力、压反力，建立了含固支边压电材料层合板的非齐次状态方程。

因为非齐次状态方程的求解涉及到矩阵的求逆和卷积的运算，为了简化计算过程，本文进一步采用增维方法[15]将非齐次状态方程转化成齐次的状态方程进行求解。

1 压电材料修正后的广义H-R 变分原理[4,7,11―13]压电材料的本构关系[4,7]为：T ,=−=−σc εe E d e εκE (1)其中：σ为应力向量(分量是σxx , σyy , σzz , τyz , τxz , τxy )；c 为刚度系数矩阵(分量c ij = c ji , i , j =1,2,3,4,5,6)；ε 为应变向量(分量s yz , s xz , s xx , s yy , s zz , s xy )；E 为电场强度向量(分量是E x , E y , E z )；d 为电位移向量(分量d i , i = x ,y ,z )；κ 为介电系数矩阵(分量κij =κji , i , j =1,2,3)；e 是3×6的压电系数矩阵(分量e 31, e 32, e 33, e 24, e 15)。

将式(1)进行行列交换并写成分块矩阵的形式：11121T 221222⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦ΓΓP D =P D ΓΓ (2) 其中：(,1,2)ij i j =Γ是材料参数的分块矩阵；T []xz yz zz z D σσσ=P ； T 2[]xx yy xyx y D D σσσ=P ； T 1[]xz yzzzz s s s E =−D ；T 2[]xx yy xyxy s s s E E =−−D 。

令T []uv w φ=Q ，其中u 、v 、w 为沿x方向、y 方向、z 方向的位移分量，φ为电势分量。

若令/,/x y αβ=∂∂=∂∂，应变-位移关系和电场-电势关系可以写成以下向量的形式：11/z =∂∂+D Q G Q ，22=D G Q (3) 其中：100000000000000αβ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦G ，200000000000000αββααβ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦G 。

将式(2)中的2P 、1D 作为未知量求出，有：11112221222⎧⎫⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭D ΦΦP P ΦΦD (4) 其中：11111−=ΦΓ, 1121112−=−ΦΓΓ,T 1222222211112−==−ΦΦΓΓΓΓ, T2112=−ΦΦ。

根据文献[4,7,11―13]，压电材料静力问题的广义H-R 变分原理为：T d d R VS L V σδΠδδ=−−∫∫T Q ST (0uS δ−=∫T Q Q S (5)其中R L 是Reissner’s 能密度函数：T T T TT 122122d d R L =+−−−∫∫P D P D D P D P Q F式中：T []x y zq T T T T =T ,(,,)i T i x y z =代表边界表面3个坐标轴方向上的应力分量，q T 代表边界表面的电荷；T []x y z q T T T T =T ，(,,)i T i x y z =代表边界表面3个坐标轴方向上给定的应力分量，q T 代表边界面上给定的电荷载荷；T []x y z q f f f f =F ，x f 、y f 、z f 代表3个坐标轴方向上的体积力(或外力)，q f 代表面电荷。

联立式(3)―式(5)消去2P 和T 1D 有：TT T 1212()MR L z∂=+++∂QP P G Q ΦG Q T T T T 22221111(())22−−−G Q ΦG Q Q ΩQ P ΦP Q F (6) 以P 和Q 为相互独立的变量，对式(6)进行变分运算和分部积分运算，由0δΠ=可得压电材料的Hamilton 正则方程： T121211T T T 12212222()0()0zz∂⎧+−=⎪⎪∂⎨∂⎪−++−=⎪∂⎩Q G +ΦG Q ΦP P G +G ΦP G ΦG Q F (7a) 将式(7a)写成矩阵形式：0d d z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫−⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭Q Q =D P P F (7b) 对于正交异性且z 轴为极化方向的材料，式(7b)中： 61728934101145810911670000000000000000000000000000000000000k k k k k k k k k k k k a b k k b c k k d k k ααββαβαβααββαβαβ−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ,8 工 程 力 学221215a k k αβ=−−,1315()b k k αβ=−+,214c k β=−− 215k α,221617d k k αβ=−−, (1,2,,17)i k i = 是与材料参数相关的常量，其具体的表达式同文献[4]。

由式(3)和式(4)可知，平面内应力和电位移分量可由下式表示：121381013149111515166177000000000000000000000xx yy xy xz yz x y zz z u v k k k k k k k k k k k k D k k D D σαβσφαβσβασασβσ⎧⎫⎪⎪⎧⎫−−⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪−−⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥= ⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪−⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥−⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭(8)2 含固支边压电板的齐次状态方程如图1所示，假设四边固支(边界上的电势0φ=)正交各向异性的压电材料矩形板，坐标轴沿弹性主方向。