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2017-2018浙江杭州西湖区绿城育华初三上10月月考数学(目标学校)

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浙江省杭州市西湖高中2017-2018学年高三上学期10月月考数学(文)试卷 Word版含解析

浙江省杭州市西湖高中2017-2018学年高三上学期10月月考数学(文)试卷 Word版含解析

2017-2018学年浙江省杭州市西湖高中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共50分，每小题给出的选项中只有一个是符合要求的）1．设集合M={1，2，3}，N={1}，则下列关系正确的是（）A． N属于M B． N不属于M C． N等于M D． N真包含于M2．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x，则函数f（x）最大值为（）A． 2 B． 2 C． 3 D． 2+23．不等式组表示的平面区域面积是（）A． B． C． 1 D． 24．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），有，则（）A． f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B． f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C． f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D． f（3）＜f（1）＜f（﹣2）5．若等差数列{a n}的前5项和S5=，则tana3=（）A． B．﹣ C． D．﹣6．在△ABC中，2+•＜0，则△ABC为（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形7．如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°8．已知直线l过点P（4，3），圆C：x2+y2=25，则直线l与圆的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离9．当0＜a＜1时，函数y=x+a与y=a x的图象只能是（）A． B． C． D．10．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心1为半径的圆上的任意一点，则•的取值范围是（）A． [﹣，] B． [﹣，] C． [﹣3，5] D． [1﹣2，1+2]二、填空题（每小题4分，共28分）11．若f（x）=sin（x+φ）（|φ|＜）的图象（部分）如图，则φ的值是．12．已知过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0互相垂直，则m= ．13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的条件．14．两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），已知修筑篱笆每米的费用为50元，则修筑这个菜园的最少费用为为元．15．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6= ．16．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．17．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB=1，BC=2，分别以A，D为圆心，1为半径作圆弧EB，EC，若由两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为．三、解答题（14+14+14+15+15=72分，请写出必要的解题步骤）18．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．19．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E、F分别为AC、BC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求证：AB⊥PC；（3）若PB=AB=CB，ABC=120°，PB⊥面ABC，求二面角P﹣AC﹣B的正切值．20．已知椭圆C的焦点在x轴上，短轴长和焦距均为2．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）设O为原点．若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．21．已知数列{a n}的前n项和S n=（k∈N*）（1）判断数列{a n}是否成等差数列？并说明理由；（2）设数列{T n}的前n项和为且T1=k，是否存在实数k，使得T n＜2对所有的n 都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5（k∈R）（1）对任意k∈（﹣1，1），不等式f（x）＜0恒成立，求x的取值范围；（2）若函数在区间（0，2）内有零点，求k的取值范围．2014-2015学年浙江省杭州市西湖高中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分，每小题给出的选项中只有一个是符合要求的）1．设集合M={1，2，3}，N={1}，则下列关系正确的是（）A． N属于M B． N不属于M C． N等于M D． N真包含于M考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：由元素与集合的关系结合题意易得结论．解答：解：∵M={1，2，3}，N={1}，由元素与集合的关系可得N真包含于M，故选：D点评：本题考查元素与集合的关系，属基础题．2．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x，则函数f（x）最大值为（）A． 2 B． 2 C． 3 D． 2+2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简函数解析式，然后求解函数的最大值．解答：解：函数f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，由正弦函数的值域可知：2sin（2x+）≤2，∴2sin（2x+）+1≤3．函数f（x）最大值为：3．故选：C．点评：本题考查的知识点是降幂公式，辅助角公式，三角函数的最值．3．不等式组表示的平面区域面积是（）A． B． C． 1 D． 2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出约束条件式组所表示的可行域，要求所表示的平面区域的面积就是图中三角形所在区域面积，求解即可．解答：解：不等式组式组所表示的平面区域就是图中阴影部分，它所在平面区域的面积，等于图中阴影部分面积，其图形是一个三角形．其中A（1，0），B（0，1），C（1，1）∴S=×1×1=．故选A．点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查转化思想，数形结合思想，是基础题．解答的关键是画出不等式组表示的平面区域．4．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），有，则（）A． f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B． f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C． f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D． f（3）＜f（1）＜f（﹣2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先确定函数的单调性，再利用单调性确定函数值的大小．解答：解：由题意，对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），有，∴函数在（﹣∞，0）上单调递减∵函数是偶函数，∴函数在（0，+∞）上单调递增∴f（1）＜f（2）＜f（3）∴f（1）＜f（﹣2）＜f（3）故选B．点评：本题考查函数的单调性，考查大小比较，确定函数的单调性是关键．5．若等差数列{a n}的前5项和S5=，则tana3=（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：由等差数列的性质结合前5项和求得a3，则tana3可求．解答：解：∵等差数列{a n}的前5项和S5=，由等差数列的性质得，∴．则tana3=tan．故选：A．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．6．在△ABC中，2+•＜0，则△ABC为（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：利用向量的数量积的概念可得c＜acosB，再利用正弦定理与两角和的正弦可化简得cosA＜0，从而可判断△ABC的形状．解答：解：在△ABC中，∵2+•＜0，∴c2+accos（π﹣B）＜0，又c＞0，∴c＜acosB，由正弦定理=得：sinC＜sinAcosB，∵△ABC中，A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB＜sinAcosB，∴cosAsinB＜0，cosAsinB＞0，∴cosA＜0，∴△ABC为钝角三角形，故选：C．点评：本题考查三角形的形状判断，考查平面向量的数量积的应用，突出考查正弦定理与两角和的正弦，属于中档题．7．如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：取SA的中点F，连接EF，BF，则∠BEF（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，求出三角形的三边，即可求出异面直线AC与BE所成的角．解答：解：取SA的中点F，连接EF，BF，则∵E为棱SC的中点，∴EF∥AC，∴∠BEF（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，∵AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，∴BE=EF=BF=，∴∠BEF=60°．故选：C．点评：本题考查异面直线及其所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线及其所成的角是关键．8．已知直线l过点P（4，3），圆C：x2+y2=25，则直线l与圆的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据题意判断P在圆C上，确定出直线l与圆的位置关系即可．解答：解：∵P（4，3），圆C（0，0），r=5，∴=5，即|PC|=r，∴点P在圆C上，∵直线l过点P，∴直线l与圆的位置关系是相交或相切．故选：C．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离．9．当0＜a＜1时，函数y=x+a与y=a x的图象只能是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用a的范围，判断直线方程的图象，以及指数函数的图象即可．解答：解：∵0＜a＜1时，函数y=x+a，是增函数，与y轴的交点y值位于（0，1）之间，y=a x是减函数，∴选项D满足题意．故选：D．点评：本题考查函数的图象的判断，注意函数的解析式，基本函数的性质解题的关键．10．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心1为半径的圆上的任意一点，则•的取值范围是（）A． [﹣，] B． [﹣，] C． [﹣3，5] D． [1﹣2，1+2]考点：平面向量数量积的运算．专题：换元法；平面向量及应用．分析：以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设∠BAC=α，则A（4cosα，0），B（0，4sinα），P（cosθ，sinθ），再代入计算即可．解答：解：以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设∠BAC=α，则A（4cosα，0），B（0，4sinα），P（cosθ，sinθ），∴，，∴=cosθ（cosθ﹣4cosα）+sinθ（sinθ﹣4sinα）=1﹣4cos（θ﹣α）∈[﹣3，5]，∴）∈[﹣3，5]．故选：C．点评：本题的关键在于设出∠BAC=α，然后用三角代换表示各点的坐标，这样使得问题容易表达并易于求解．二、填空题（每小题4分，共28分）11．若f（x）=sin（x+φ）（|φ|＜）的图象（部分）如图，则φ的值是．考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：将（﹣，0）代入f（x）=sin（x+φ），结合|φ|＜，即可求出φ的值．解答：解：将（﹣，0）代入f（x）=sin（x+φ）可得0=sin（﹣+φ），∵|φ|＜，∴φ=．故答案为：．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0互相垂直，则m= 2 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直接利用两条直线的斜率乘积为﹣1，求解即可．解答：解：过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线的斜率，直线2x+y﹣1=0的斜率为：﹣2．因为两条直线垂直，所，解得m=2．故答案为：2．点评：本题考查直线的斜率的求法，直线垂直条件的应用，考查计算能力．13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的充要条件条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据正弦定理结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由正弦定理得，若“a≤b”则“sin A≤sin B”，即充分性成立，若“sin A≤sin B”则“a≤b”成立，即必要性成立，故“a≤b”是“sin A≤sin B”的充要条件，故答案为：充要条件点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．14．两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），已知修筑篱笆每米的费用为50元，则修筑这个菜园的最少费用为为900 元．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意作出图形，设出直角梯形的高和篱笆总长，由面积列式，整理得到y关于x 的函数，利用导数求得最值，则答案可求．解答：解：如图，设CD=xm，篱笆总长为ym，（x＞0，y＞0），则BC=y﹣2x，∴，整理得：，．当x∈（0，6）时，y′0．∴当x=6，篱笆总长有最小值18m．∴修筑这个菜园的最少费用为18×50=900元．故答案为：900．点评：本题考查了数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．15．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6= 63 ．考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等比数列的性质，求解即可．解答：解：等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也是等比数列，（S4﹣S2）2=S2•（S6﹣S4），即122=3•（S6﹣15），解得S6=63故答案为：63．点评：本题考查等比数列的基本性质的应用，考查计算能力．16．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8 ．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++，是解题的关键．17．如图，在矩形ABCD中， E为边AD的中点，AB=1，BC=2，分别以A，D为圆心，1为半径作圆弧EB，EC，若由两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为8π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算即可．解答：解：图中阴影部分绕AD旋转一周所形成的几何体的表面积，得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，半球的表面积为：2××4π=4π．圆柱的底面半径为1，高为2，∴圆柱的侧面积为2π×1×2=4π，∴该几何体的表面积为4π+4π=8π．故答案为：8π点评：本题主要考查旋转体的表面积，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式．比较基础．三、解答题（14+14+14+15+15=72分，请写出必要的解题步骤）18．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．19．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E、F分别为AC、BC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求证：AB⊥PC；（3）若PB=AB=CB，ABC=120°，PB⊥面ABC，求二面角P﹣AC﹣B的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）依题意知E，F为中位线推断出EF∥AB，依据线面平行的判定定理推断出EF ∥平面PAB．（2）取AB的中点G，连结PG，CG，根据PA=PB，CA=CB，判断出△PAB，△ACB均为等腰三角形进而可推断出AB⊥PG，AB⊥CG，利用线面垂直的判定定理得出AB⊥平面GPC，最后根据线面垂直的性质得出AB⊥PC的结论．解答：证明：（1）∵E，F为AC、BC的中点，∴EF∥AB，∵AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）取AB的中点G，连结PG，CG，∵PA=PB，CA=CB，∴AB⊥PG，AB⊥CG，∵PG⊂平面GPC，CG⊂平面GPC，且PG∩CG=G，∴AB⊥平面GPC，∵PC⊂平面GPC，∴AB⊥PC．解：（3）连接BF，PF，∵BA=CB，∴BF⊥AC，又∵PB⊥面ABC，AC⊂面ABC，∴PB⊥AC，又∵PB∩BF=B，PB，BF⊂平面PBF，∴∠PFB即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，设PB=AB=CB=a，ABC=120°，∴BF=，∴tan∠PFB==2，即二面角P﹣AC﹣B的正切值为2．点评：本题主要考查了直线和平面平行的判定和直线与平面垂直的判定．综合考查了学生对基础知识的运用．20．已知椭圆C的焦点在x轴上，短轴长和焦距均为2．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）设O为原点．若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆方程为：+=1，由题意可求2c，2b，然后由a2=b2+c2可求a，进而可求椭圆C方程；（2）由题意设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），可得|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=++3，利用基本不等式求最值即可．解答：解析（1）由题意知，2c=2，2b=2，∴c=1，b=1，∴c2=1，b2=1，从而a2=c2+b2=2．∴a=，∴椭圆C的标准方程为+y2=1，椭圆C的离心率e=．（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以•=0，即tx0+2y0=0，解得t=﹣．又，所以|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=++3，≥2+3．当且仅当x0=2时，等号成立，所以|AB|≥+1．故线段AB长度的最小值为+1．点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的相交关系的应用，属于中档试题21．已知数列{a n}的前n项和S n=（k∈N*）（1）判断数列{a n}是否成等差数列？并说明理由；（2）设数列{T n}的前n项和为且T1=k，是否存在实数k，使得T n＜2对所有的n 都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用数列{a n}的前n项和S n=（k∈N*）确定通项，再利用等差数列的定义判断即可；（2）先求和，再根据T n＜2对所有的n都成立，可得k+k2≤2（k≠0），即可得出结论．解答：解：（1）数列{a n}不是等差数列．n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n+1﹣a n=，∵a2﹣a1=﹣1≠，∴数列{a n}不是等差数列；（2）由题意可得T1==k，n≥2时，=k+++…+=k+k2（1﹣+﹣+…+﹣）=k+k2（1﹣）＜k+k2∵T n＜2对所有的n都成立，∴k+k2≤2（k≠0）∴﹣2≤k≤1且k≠0，∴存在实数k满足﹣2≤k≤1且k≠0，使得T n＜2对所有的n都成立．点评：本题考查等差数列的判断，考查裂项法求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5（k∈R）（1）对任意k∈（﹣1，1），不等式f（x）＜0恒成立，求x的取值范围；（2）若函数在区间（0，2）内有零点，求k的取值范围．考点：一元二次不等式的应用．专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（1）把函数f（x）整理成k的一次函数g（k），由题意，求出不等式组的解集，即是x的取值范围；（2）由函数f（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5在区间（0，2）内有零点，等价于方程3x2+2（k ﹣1）x+k+5=0在区间（0，2）内有实数根，讨论（i）判别式△=0，（ii）判别式△＞0时，方程根的情况，（iii）f（2）=0或f（0）=0时，k的取值是否符合题意；由此求出k的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，（k∈R），∴设g（k）=（2x+1）k+3x2﹣2x+5，k∈（﹣1，1）；∴；即，解得x∈∅，∴x的取值范围是∅；（2）∵函数f（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5在区间（0，2）内有零点，等价于方程3x2+2（k﹣1）x+k+5=0在区间（0，2）内有实数根，则（i）判别式△=4（k﹣1）2﹣12（k+5）=0时，得k=7或k=﹣2，此时方程的根分别是k=7时，根是x1=x2=﹣2；k=﹣2时，根是x1=x2=1；∵方程在（0，2）内有实数根，∴k=﹣2（k=7舍去）；（ii）判别式△＞0时，则k＞7或k＜﹣2，①若两根都在（0，2）内，则对称轴x=﹣在（0，2）内，f（0）＞0、f（2）＞0，即；解得；∴﹣＜k＜﹣2；②若方程在（0，2）内存在一个根，则f（0）•f（2）＜0，解得﹣5＜k＜﹣；（iii）当f（2）=0时，即12+4（k﹣1）+k+5=0，k=﹣，此时f（0）=k+5=＞0，∴k=﹣符合题意；当f（0）=k+5=0时，k=﹣5，此时f（2）=12+4（k﹣1）+k+5=﹣12＜0，不符合题意，舍去；∴k=﹣；综上，k的取值范围是{k|﹣5＜k≤﹣2}．点评：本题考查了转化思想的应用问题，也考查了分类讨论思想，一元二次不等式的解法与应用问题，函数的零点应用问题，是综合题．。

2017-2018浙江杭州西湖区公益中学初三上期中数学(目标学校)

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杭州市公益中学2017学年第一学期期中检测九年级数学试题卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．抛物线231352y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的顶点坐标是（）． A ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】231352y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是抛物线的顶点式，由顶点式坐标特点可知， 顶点坐标为1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故选B ．2．下列各图形分别绕某个点旋转120︒后不能与自身重合的是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据旋转图形的性质分别求出各项图形的最小旋转角．A ．3603120︒÷=︒；B ．3601230︒÷=︒，而304120︒⨯=︒，即旋转120︒能与自身重合；C ．360660︒÷=︒，而602120︒⨯=︒，即旋转120︒能与自身重合；D ．360572︒÷=︒，所以绕某个点旋转120︒后不能与自身重合．故选D ．3．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB CD ⊥，垂足为E ，连接CO ，AD ，20BAD ∠=︒，则下列说法中正确的是（）．A ．2AD OB = B ．CE EO =C ．40OCE ∠=︒D ．2BOC BAD ∠=∠【答案】D【解析】∵AB CD ⊥，AB 是直径，∴ BCBD =，CE DE =， ∴240BOC BAD ∠=∠=︒．DACO故选D ．4．下列正确的是（）．A ．三个点确定一个圆B ．同弧或等弧所对的圆周角相等C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D ．圆内接平行四边形一定是正方形【答案】B【解析】A ．不共线的三点确定一个圆；B ．正确；C ．当被平分的弦为直径时，不一定成立；D ．圆内接平行四边形一定为矩形，未必是正方形．故选B ．5．如图，点B 在线段AC 上，且BC AB AB AC=，设1AC =，则AB 的长是（）． ABCD【答案】A 【解析】由BC AB AB AC =可得2(1)1AB BC AC AB =⋅=-⨯，解得AB =． 故选A ．6．已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是（）．A ．当1a =时，函数图象经过点(1,1)-B ．当2a =-时，函数图象与x 轴有两个交点C ．若0a <，函数图象顶点始终在x 轴的下方D ．若0a >，当1x ≥时，y 随x 的增大而减小 【答案】D【解析】A ．当1a =时，函数解析式为221y x x =--，1x =时，2y =．故当1a =时，函数图像过点(1,2)-，A 错误；B ．2a =-时，函数解析式为2241y x x =-+-，令0y =，则244(2)(1)80∆=-⨯-⨯-=>，∴2a =-时，图像与x 轴有两个不同的交点，B 选项错误；C ．函数图像顶点坐标(1,1)a --，当10a --<时，1a >-，C 选项错误；D ．二次函数图像对称轴为1x =，若0a >，则当1x ≥时，y 随x 增大而增大．故选D ．7．两个相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么小三角形的周长为（）． A ．14cm B ．16cm C ．18cm D ．30cm【答案】C【解析】由题可得，两个相似三角形的周长比等于相似比，也就是两个最短边的比为5:3，AB C设两三角形周长分别为5cm x ，3cm x ，则5312x x -=，得6x =，∴318x =，即小三角形周长为18cm ．故选C ．8．如图，等腰直角三角形AOB 的面积为1S ，以点O 为圆心，OA 为半径的弧与以AB 为直径的半圆围成的图形的面积为2S ，则1S 与2S 的关系是（）．A ．12S S >B ．12S S <C ．12S S =D ．12S S ≥【答案】C【解析】设OA R =，∵AOB △为等腰直角三角形，∴AB ，∴21()AB AB AB OAB S S S S S S =-=--方形半圆半圆角形，【注意有文字】221190ππ2360R S ⎫⨯=⨯⨯-+⎪⎪⎝⎭， 1S =．故选C ．9．已知坐标平面上有两个二次函数(1)(7)y a x x =+-，(1)(15)y b x x =+-的图形，其中a 、b 为整数．判断将二次函数(1)(15)y b x x =+-的图形依下列哪一种方式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（）．A ．向左平移4单位B ．向右平移4单位C ．向左平移8单位D ．向右平移8单位【答案】A【解析】二次函数(1)(7)y a x x =+-对称轴为3x =，二次函数(1)(15)y b x x =+- 对称轴为7x =，∵374-=-，∴将(1)(15)y b x x =+-图形向左平移四个单位，对称轴才能重叠．故选A ．10．如图，等腰ABC △三个顶点在⊙O 上，直径12AB =，P 为弧BC 上任意一点（不与B ，C 重合），直线CP 交AB 延长线于点Q ，290PAB PDA ∠+∠=︒，下列结论正确的是（）．①若30PAB ∠=︒，则弧BP 的长为π；②若PD BC ∥，则AP 平分CAB ∠；③若PB BD =，则PD =；④无论点P 在弧BC 上的位置如何变化，CP CQ ⋅为定值．AB C S 1S 2A ．②③B ．②③④C ．①③④D ．②④【答案】B【解析】如图，连接OP ，①∵AO PO =，30PAB ∠=︒，∴60POB ∠=︒，又12AB =，6OB =，∴弧BP 的长为660π2π180⨯=，故①错误． ②∵PD BC ∥， ∴PDA CBA ∠=∠，又AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CBA PAB CAP ∠+∠+∠=︒，∵290PAB PDA ∠+∠=︒，∴2PAB PAB CAP ∠=∠+∠，∴CAP PAB ∠=∠，即AP 平分CAB ∠，故②正确．③∵PB BD =，∴BPD BDP ∠=∠，在APD △中，180PAB APB BPD PDA ∠+∠+∠+∠=︒，即90PAB BPD BDP ∠+∠+∠=︒，又290PAB PDA ∠+∠=︒，∴30PAB BPD BDP ∠=∠=∠=︒，∴903060OPB APB APO ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴OPB △是等边三角形，6OP OB BP ===，∴90OPD OPB BPD ∠=∠+∠=︒，∴在Rt OPD △中，PD =④在⊙O 中，BCP BAP ∠=∠，在等腰ABC △中，CAB CBA ∠=∠，又CAB CAP BAP ∠=∠+∠，CBA BCQ Q ∠=∠+∠，即CAP BAP BCQ Q ∠+∠=∠+∠，∴CAP Q ∠=∠，又ACP QCA ∠=∠，∴Q ACP CA ∽△△，∴CP AC AC CQ=， ∴2AC CP CQ =⋅，又12AB =，∴AC AB ==272AC =， ∴72CP CQ ⋅=（定值），故④正确．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．已知线段9a =，4c =，如果线段b 是a 、c 的比例中项，那么b =__________．【答案】6【解析】由题可得，2b ac =且0b >，∴6b =．12．对于二次函数223y x mx =--，当2x =时的函数值与8x =时的函数值相等时，m =__________．【答案】5 【解析】由题可得：二次函数图象的对称轴为2852x +==， 即2521m -=⨯，可得5m =．13．我们规定：一个正n 边形（n 为整数4n ≥）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为n λ，那么6λ=__________．【解析】如图，正六边形ABCDEF 中，对角线BE ，CF 交于点O ，连接EC ，易知BE 是正六边形最长的对角线，EC 是最短对角线，∵OBC △是等边三角形，∴60OBC OCB BOC ∠=∠=∠=︒，又OE OC =，OEC OCE ∠=∠且BOC OEC OCE ∠=∠+∠，∴30OEC OCE ∠=∠=︒，306090ECB OCE OCB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴BEC △是直角三角形，∴cos30EC BE =︒=，∴6λ=．D AB CE F14．如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC 的面积为2300πcm ，120BAC ∠=︒，2BD AD =，则BD 的长度为__________cm ．【答案】20【解析】设AD x =，则3AB x =， 由题可得2120300ππ(3)360x =⋅⋅， 得10x =，∴220cm BD x ==．15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点B '始终落在边AC 上，若MB C '△为直角三角形，则BM 的长为__________．【答案】1【解析】∵90A ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠=∠=︒，∴MB C '△为直角三角形有2种情况．①当90MB C '∠=︒时，MC ，∵1BC ，∴1BM MC +=，∴1BM =，∴1BM =．②当90B MC '∠=︒时，由折叠性质可得MB MB '=，45MB N B '∠=∠=︒，∴MC BM =，∵1BC ，∴1BM MC BM BM +=+，∴BM =，AB C B'N综上所述，BM 的长为1． 16．实数p ，q ，用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此，若{}22min (1),1x x -=，则x =__________．若{}2min 2,33x x k ++-=-，则k 满足__________．【答案】2或1- 2k -≥【解析】若{}22min (1),1x x -=， 则①当22(1)x x -<时，2(1)1x -=，此时需满足0.5x >，11x -=±，得12x =，20x =（舍去）．②当22(1)x x -≥时，0.5x <且21x =，得11x =（设），21x =-，故第一空填2-或1．若{}2min 2,33x x k ++-=-，则223x x k ++-≥， ∵2222211(1)11x x k x x k x k k ++=+++-=++--≥，∴13k --≥，2k -≥，故第二空答案为2k -≥．三、解答题（请写出必要的解题过程．．．．．．．．．．，本题有7个小题，共66分） 17．（本小题满分6分） 已知234x y z ==． （1）求2x y z +的值． （2）如果23()x y z +=-，求x 的值．【答案】见解析． 【解析】解：令234x y z k ===，则2x k =，3y k =，4z k =， （1）∴22624x y k k z k ++==． （2）由23()x y z +=-可得，223(34)k k k +=-，解得1k =-或3k =，∵230k +≥，且1k =-或3k =时，故能满足230k +≥，经检验k 可取1-或3，∴26x k ==或2-．18．（本小题满分8分）已知：如图，ABC △中，2AB =，4BC =，D 为BC 边上一点，1BD =．（1）求证：C ABD BA ∽△△．（2）若DE AB ∥交AC 于点E ，请再写出另一个与ABD △相似的三角形，并直接写出DE 长．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵2AB =，4BD =，4BC =， ∴12AB BD BC BA ==， 且ABD CBA ∠=∠， ∴C ABD BA ∽△△．（2）∵DE AB ∥，∴C CDE BA ∽△△，∴C ABD DE ∽△△， 1.5DE =．19．（本小题满分8分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度60AB =米，拱高18PD =米．（1）求圆弧所在的圆的半径r 的长．（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即4PE =米时，是否要采取紧急措施？【答案】见解析．【解析】解：（1）连接OA ，由题意可得，AB CECB AO E DB A P B'A'1302AD AB ==，(18)OD r =-， 在Rt ADO △中，由勾股定理可得：22230(18)r r =+-，解得34r =．（2）连接OA '，∵30OE OP PE =-=，∴在Rt A EO '△中，由勾股定理得，222A E A O OE ''=-，即2223430A E '=-解得16A E '=，∴32A B ''=，∵30A B ''>，∴不需要采取紧急措施．20．（本题10分）探究函数2112y x x=+的图象与性质，下面是探究过程，请补充完整： （1）下表是y 与x 的几组对应值．函数22y x x=+的自变量x 的取值范围是__________，m 的值为__________． （2）描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象． （3）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有__________个交点，所以对应方程21102x x+=有__________个实数根． ②方程21122x x+=有__________个实数根． ③结合函数的图象，写出该函数的一条性质__________．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可得0x ≠，296m =，故答案为0x =，296． （2）如图所示．（3）①1．1．②3． ③函数没有最大值或函数没有最小值或函数图像没有经过第四象限（答案不唯一）．21．（本小题满分10分）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．（1）设第x 天生产空调y 台，直接写出y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． （2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x 天的利润为W 元，试求W 与x 之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．【答案】见解析．【解析】（1）解：（1）∵接到任务第一天生产42台，以后每天都比前一天多生产2台，∴由题可得，第x 天生产y 台，y 与x 间的函数解析式为402(110)y x x =+≤≤．（2）当15x ≤≤时，(29202000)(402)184036800W x x =-⨯+=+，∵18400>，∴W 随x 增大而增大，当510x <≤时，2[2920200020(40250)](402)80(4)46080W x x x =--+-⨯+=--+，此时函数图像开口向下，在对轴右侧，W 随x 增大而减小，又天数x 为整数，∴当6x =时，45760W =最大值元，【注意有文字】∵4600045760>，∴当5x =时，W 最大为46000元，综上，2184036800(15)80(4)46080(510)x x W x x +⎧=⎨--+<⎩≤≤≤．22．（本小题满分12分）如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知:4:3BC CA =，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）求证：AC CD PC BC ⋅=⋅．（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长．（3）当点P 运动到什么位置时，PCD △的面积最大？并求这个最大面积S ．【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，又PC CD ⊥，∴90PCD ∠=︒，而CAB CPD ∠=∠，∴P ABC DC ∽△△， ∴ACBCCP CD =，∴AC CD PC BC ⋅=⋅．（2）当P 运动到 AB 中点时，过B 作BE PC ⊥于点E ，∵AB 为直径，5AB =，:4:3BC CA =，∴4BC =，3CA =，∵P 是 AB 的中点，∴45PCB ∠=︒，∴CE BE ===又CAB CPB ∠=∠， ∴4tan tan 3CPB CAB ∠=∠=．∴3tan 4BEPE CPB ⎫===⎪⎪∠⎝⎭，从而PC PE EC =+=，由（1）得43CD PC == （3）当点P 在 AB 上运动时， 12PCD S PC CD =⋅△，由（1）得43CD PC =， ∴211422233PCD S CD PC PC PC PC =⋅=⨯⨯=△， 故PC 最大时，PCD S △取得最大值．而PC 为直径时最大，∴PCD S △最大值2250533S =⨯=．23．（本小题满分12分）已知函数(1)1m y n x mx n =+++-（m ，n 为实数）． （1）当m ，n 取何值时，函数是二次函数．（2）若它是一个二次函数，假设1n >-，那么：①它一定经过哪个点？请说明理由．②若取该函数上横坐标满足2x k =（k 为整数）的所有点，组成新函数1y ．当12x ≥时，1y 随x 的增大而增大，且12x =时是函数最小值，求n 满足的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）函数(1)1m y n x mx n =+++-为二次函数时， 需满足2m =，10n +≠，即1n ≠-，∴2m =且1n ≠-时，函数是二次函数．（2）若(1)1m y n x mx n =+++-是二次函数，则2m =，于是2(1)21y n x x n =+++-，当1x =时，1214y n n =+++-=，1x =-时，1210y n n =+-+-=，∴一定经过(1,4)和(1,0)-．（3）由题意可得，函数2(1)21y n x x n =+++-的对称轴为11x n =-+， 当12x ≥，1y 随x 增大而增大，且在12x =时函数1y 取得最小值， 需满足111121n -+≤≤， 解得13121211n --≤≤．。

【精品】2017-2018年浙江省杭州市西湖区初三上学期数学期末试卷与答案

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2017-2018学年浙江省杭州市西湖区初三上学期期末数学试卷一、选择题．（本大题10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．2．（3分）正五边形需要旋转（）后才能与自身重合．A．36°B．45°C．60°D．72°3．（3分）已知圆O的面积为25π，若PO=5.5，则点P在（）A．圆O外B．圆O上C．圆O内D．圆O上或圆O内4．（3分）如图，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．（3分）从2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（）种可能．A．1B．2C．3D．46．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2=AP•PB B．AP2=BP•ABC．BP2=AP•AB D．AP•AB=PB•AP7．（3分）如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．70°8．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．29．（3分）已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则（）A．△ABC外接圆的圆心在OC上B．∠BAC=60°C．△ABC外接圆的半径等于5D．OC=1210．（3分）已知一次函数y=ax+b过一，二，四象限，且过（6，0），则关于二次函数y=ax2+bx+1的以下说法：①图象与x轴有两个交点；②a＜0，b＞0；③当x=3时函数有最小值；④若存在一个实数m，当x≤m时，y随x的增大而增大，则m≤3．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二、填空题．（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）比较sin30°、sin45°的大小，并用“＜”连接为．12．（4分）已知：==，则=．13．（4分）已知扇形的半径为5cm，弧长为6πcm，那么扇形的面积为．14．（4分）一个不透明的布袋里装有2个红球，4个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球是黄球的概率为0.4，则a=．15．（4分）如图，已知扇形OAB的半径为6，C是弧AB上的任一点（不与A，B 重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB=45°，则tan∠AOB=，MN=．16．（4分）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若3＜m＜4，则a的取值范围是．三、解答题（本大题7个小题，共66分）17．（8分）将y=x2图象向上平移1个单位，再向左平移1个单位所得的函数记为y1．（1）写出y1的顶点坐标与函数表达式；（2）当﹣1≤x≤0时，比较y与y1的大小．18．（10分）如图，ABCD与ACED都是平行四边形，点R在DE上，BR分别交AC，CD于点P、Q．（1）请直接写出图中全部的相似三角形（相似比为1除外，不另加辅助线或字母）；（2）若点R是DE的中点，求的值．19．（10分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在四等分的转盘上依次标有“°0元”，“10元”，“30元”，“50元”字样，购物每满300元可以转动转盘2次，转盘停下后，顾客可以获得指针所指区域相应金额的购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费300元，并参加促销活动，转了2次转盘．（1）求出该顾客可能落得购物券的最高金额和最低金额；（2）请用列表法或画树状图法求出该顾客获购物金额不低于50元的概率．20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=，求（1）边AB的长；（2）cos∠BAE的值．21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求OD与AD的长．22．（10分）如图，已知点A、B、C、M在一条直线上，P为直线AB外一点，连结PA、PB、PC、PM，若PA2：PC2=AB：BC，则称PB为AC边上的“平方比线”．（1）当AB=6，AC=8，PA=2，PC=2时，试说明PB为AC边上的“平方比线”；（2）当AB=6，AC=8，CM=4，PM=4时，①若∠A=25°，求∠CPM的度数；②求证：PB为AC边上的“平方比线”．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y1=x2﹣4x+4的顶点D，直线y2=kx﹣2k（k≠0）；（1）点D是否在直线y2=kx﹣2k上？请说明理由；（2）过x轴上一点M（t，0）（0≤t≤2）作x轴上的垂线，分别交为y1、y2于点P、点Q．小明同学借助图象性质探究，当k满足什么条件时，存在实数t 使得PQ=3，他发现以下结论：①当k＞0时，存在满足条件的t；②当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t．你认为小明的判断是否正确？请说明理由．2017-2018学年浙江省杭州市西湖区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题．（本大题10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由=得，2x=3y，故本选项不符合题意；B、由=得，xy=6，故本选项不符合题意；C、由=得，2x=3y，故本选项不符合题意；D、由=得，3x=2y，故本选项符合题意．故选：D．2．（3分）正五边形需要旋转（）后才能与自身重合．A．36°B．45°C．60°D．72°【解答】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，即正五边形需要旋转72°后才能与自身重合，故选：D．3．（3分）已知圆O的面积为25π，若PO=5.5，则点P在（）A．圆O外B．圆O上C．圆O内D．圆O上或圆O内【解答】解：设圆的半径为R，根据题意得2πR2=25π，解得R=5，∵PO=5.5，∴PO＞R，∴点P在⊙O外．故选：A．4．（3分）如图，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：已知给出的三角形的各边分别为、2、、所以△ABC的三边之比为：2：=1：：，A、三角形的三边分别为1，，，三边之比为1：：，故A选项正确；B、三角形的三边分别为，，3，三边之比为：：3，故B选项错误；C、三角形的三边分别为1，，2，三边之比为：1：：2，故C选项错误；D、三角形的三边分别为：2，，，三边之比为2：：，故D选项错误．故选：A．5．（3分）从2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（）种可能．A．1B．2C．3D．4【解答】解：用2种不同款式的衬衣用A、B表示，2种不同款式的裙子用a、b 表示，画树状图为：共有4种等可能的结果数．故选：D．6．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2=AP•PB B．AP2=BP•ABC．BP2=AP•AB D．AP•AB=PB•AP【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP•AB．故选：B．7．（3分）如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．70°【解答】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是的中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，故选：C．8．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．2【解答】解：∵∠C=90°，sinA=，AB=2，∴BC=AB×sinA=2×=，由勾股定理得：AC==．故选：A．9．（3分）已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则（）A．△ABC外接圆的圆心在OC上B．∠BAC=60°C．△ABC外接圆的半径等于5D．OC=12【解答】解：设线段BA的中点为E，∵点A（0，4），B（0，﹣6），∴AB=10，E（0，﹣1）．如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=5，由勾股定理得：CF==7，∴OC=OF+CF=5+7=12，故选：D．10．（3分）已知一次函数y=ax+b过一，二，四象限，且过（6，0），则关于二次函数y=ax2+bx+1的以下说法：①图象与x轴有两个交点；②a＜0，b＞0；③当x=3时函数有最小值；④若存在一个实数m，当x≤m时，y随x的增大而增大，则m≤3．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④【解答】解：∵一次函数y=ax+b过一，二，四象限，且过（6，0），∴a＜0，b＞0，0=6a+b，故②正确，∴b=﹣6a，∴y=ax2+bx+1中a＜0，b＞0，∴△=b2﹣4a×1=36a2﹣4a=4a（9a﹣1）＞0，∴图象与x轴有两个交点，故①正确，在y=ax2+bx+1中，当x=时，取得最大值，故③错误，∴当x＞3时，y随x的增大而减小，当x＜3时，y随x的增大而增大，∴若存在一个实数m，当x≤m时，y随x的增大而增大，则m≤3，故④正确，故选：C．二、填空题．（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）比较sin30°、sin45°的大小，并用“＜”连接为＜．【解答】解：∵sin30°=、sin45°=，∴sin30°＜sin45°．故答案为：＜．12．（4分）已知：==，则=．【解答】解：设===k（k≠0），则a=4k，b=3k，c=2k，所以，==．故答案为：．13．（4分）已知扇形的半径为5cm，弧长为6πcm，那么扇形的面积为15π．【解答】解：扇形的面积=LR=×5×6π=15π，故答案为：15π．14．（4分）一个不透明的布袋里装有2个红球，4个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球是黄球的概率为0.4，则a= 4．【解答】解：根据题意得：=0.4，解得：a=4，经检验，a=4是原分式方程的解，则a=4；故答案为4．15．（4分）如图，已知扇形OAB的半径为6，C是弧AB上的任一点（不与A，B 重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB=45°，则tan∠AOB=1，MN=3．【解答】解：连接OC，延长OA、NC交于D，则OC=6，∵CM⊥OA，CN⊥OB，∴∠DMC=∠DNO=90°，∵∠D=∠D，∴△DMC∽△DNO，∴，即，∵∠D=∠D，∴△DMN∽△DCO，∴，∵CN⊥OB，∠AOB=45°，∴sin∠AOB==，tan∠AOB=1，∴，∵OC=6，∴，∴MN=3，故答案为：1；3．16．（4分）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若3＜m＜4，则a的取值范围是＜a＜或﹣4＜a ＜﹣3．【解答】解：∵y=ax2+（a2﹣1）x﹣a=（ax﹣1）（x+a），∴当y=0时，x1=，x2=﹣a，∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且3＜m＜4，∴当a＞0时，3＜＜4，解得＜a＜；当a＜0时，3＜﹣a＜4，解得﹣4＜a＜﹣3．故答案为：＜a＜或﹣4＜a＜﹣3．三、解答题（本大题7个小题，共66分）17．（8分）将y=x2图象向上平移1个单位，再向左平移1个单位所得的函数记为y1．（1）写出y1的顶点坐标与函数表达式；（2）当﹣1≤x≤0时，比较y与y 1的大小．【解答】解：（1）由“左加右减、上加下减”的原则可知，把二次函数y=x2的图象向上平移1个单位后，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y1=（x+1）2+1．顶点坐标为（﹣1，1）；（2）当﹣1≤x≤0时，y≤y1，18．（10分）如图，ABCD与ACED都是平行四边形，点R在DE上，BR分别交AC，CD于点P、Q．（1）请直接写出图中全部的相似三角形（相似比为1除外，不另加辅助线或字母）；（2）若点R是DE的中点，求的值．【解答】解：（1）∵CP∥ER，∴△BCP∽△BER；∵CP∥DR，∴△PCQ∽△RDQ；∵CQ∥AB，∴△PCQ∽△PAB；∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．∴图中相似三角形（相似比为1 除外）有4对；（2）∵CP∥RE，BC=CE，∴==，∵点R是DE的中点，∴=，∵CP∥RE，∴==，∴=，∵AB=CD，∴=．19．（10分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在四等分的转盘上依次标有“°0元”，“10元”，“30元”，“50元”字样，购物每满300元可以转动转盘2次，转盘停下后，顾客可以获得指针所指区域相应金额的购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费300元，并参加促销活动，转了2次转盘．（1）求出该顾客可能落得购物券的最高金额和最低金额；（2）请用列表法或画树状图法求出该顾客获购物金额不低于50元的概率．【解答】解：（1）该顾客可能落得购物券的最高金额为100元和最低金额0元；（2）树状图如图所示：该顾客获购物金额不低于50元的概率==．20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=，求（1）边AB的长；（2）cos∠BAE的值．【解答】解：（1）连接AC，AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD=4，∵Rt△BOC中，tan∠CBD==，∴OC=2，∴AB=BC===2；（2）∵AE⊥BC，∴S=BC•AE=BD•AC，菱形ABCD∵AC=2OC=4，∴2AE=×8×4，∴AE=，∴BE===，∴cos∠ABE===．21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求OD与AD的长．【解答】解：连接AC，设⊙O的半径为R．∵=，∴OE⊥BC，∴CD=DB=4cm，在Rt△ODB中，∵OD2+BD2=OB2，∴（R﹣2）2+42=R2，∴R=5，∴OD=OE﹣DE=3，∵AO=OB，CD=DB，∴AC=2OD=6，∵AB是直径，∴∠C=90°，∴AD===2．22．（10分）如图，已知点A、B、C、M在一条直线上，P为直线AB外一点，连结PA、PB、PC、PM，若PA2：PC2=AB：BC，则称PB为AC边上的“平方比线”．（1）当AB=6，AC=8，PA=2，PC=2时，试说明PB为AC边上的“平方比线”；（2）当AB=6，AC=8，CM=4，PM=4时，①若∠A=25°，求∠CPM的度数；②求证：PB为AC边上的“平方比线”．【解答】解：∵PA=2，PC=2，∴PA2=（2）2=4×15=60，PC2=（2）2=4×5=20，∴==3，∵AB=6，AC=8，∴BC=AC﹣AB=2，∴=3，∴，∴PB为AC边上的“平方比线”；（2）①∵AC=8，CM=4，∴AM=AC+CM=12，∴AM×CM=12×4=48，∵PM=4，∴PM2=（4）2=48，∴PM2=CM×AM，∴，∵∠M=∠M，∴△PMC∽△AMP，∴∠MPC=∠MAP=25°，②如图，过点P作PG⊥AM，交AM的延长线于G，设MG=a，在Rt△PMG中，PM=4，∴PG2=PM2﹣MG2=48﹣a2，在Rt△PCG中，CG=CM+MG=a+4，根据勾股定理得，PC2=CG2+PG2=（a+4）2+48﹣a2=64+8a=8（a+8），在Rt△ABG中，AG=AC+CM+MG=8+4+a=a+12，根据勾股定理得，PA2=AG2+PG2=（a+12）2+48﹣a2=192+24a=24（a+8），∴==3，∵AB=6，BC=AC﹣AB=2，∴==3，∴，∴PB为AC边上的“平方比线”．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y1=x2﹣4x+4的顶点D，直线y2=kx﹣2k（k≠0）；（1）点D是否在直线y2=kx﹣2k上？请说明理由；（2）过x轴上一点M（t，0）（0≤t≤2）作x轴上的垂线，分别交为y1、y2于点P、点Q．小明同学借助图象性质探究，当k满足什么条件时，存在实数t 使得PQ=3，他发现以下结论：①当k＞0时，存在满足条件的t；②当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t．你认为小明的判断是否正确？请说明理由．【解答】解：（1）∵y1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2，∴点D的坐标为（2，0）．当x=2时，y2=2k﹣2k=0，∴点D在直线y2=kx﹣2k上．（2）∵点M（t，0），∴点P（t，t2﹣4t+4），点Q（t，kt﹣2k），∴PQ=|t2﹣4t+4﹣（kt﹣2k）|=|t2﹣（4+k）t+（4+2k）|．①当P在Q点上方时，k＞0∵PQ=3∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=3整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0∴当k＞0时，存在满足条件的t值．①正确．②当P在Q点下方时，k＜0∵PQ=3∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=﹣3∴t2﹣（4+k）t+7+2k=0∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（7+2k）=k2﹣12∴当存在PQ=3时，k2﹣12≥0∴k≤﹣2或k≥2（舍去）∴当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t，②正确．初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

2023-2024学年浙江省杭州市上城区绿城育华中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2023-2024学年浙江省杭州市上城区绿城育华中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2023-2024学年浙江省杭州市上城区绿城育华中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一.选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知⊙O的半径为5，若OP＝5.5，则点P在（ ）A．圆内B．圆上C．圆外D．无法判断2．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）3．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）4．（3分）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（ ）A．（﹣，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，2）5．（3分）如图，⊙O的直径CD＝30，AB是⊙O的弦，AB⊥CD．垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）A．8B．24C．16D．26．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）A．2B．3C．4D．57．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，则△ODE的面积为（ ）A．9B．15C．D．8．（3分）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD 等于（ ）A．100°B．110°C．120°D．135°9．（3分）下列语句中，正确的有（ ）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．A．0个B．1个C．2个D．3个10．（3分）如图已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，对称轴为直线x＝1，顶点坐标P（1，4）．则下列结论中：①ac＜0；②2a+b＝0；③b＜8；④当m＜4时，方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根．正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二.填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 ．12．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ ．13．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，AE＝2，则CD等于 ．14．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 ．15．（4分）如图，二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数为y2＝mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为 ．16．（4分）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB 上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 ．三.解答题（本大题有8小题，共66分.）17．（6分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；（2）当x＝6时，求y的值．18．（6分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．（1）画出旋转后的图形△OA′B′：（2）点B'的坐标是 ；（3）△BOB'的形状是 ．19．（6分）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．（1）求这个管道横截面的半径．（2）求∠AOB的度数．20．（8分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．（1）求⊙O的半径长；（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．21．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不超过30m），用80m长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为Sm2，AD的长度为xm．（1）求出S与x之间的解析式，其中x的取值范围是什么？（2）当AD和AB分别为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．（1）求证：点D为弧AC的中点；（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．23．（10分）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（2，7）．（1）若该函数图象经过点B（﹣1，﹣2），①求函数的表达式．②若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．（2）求2a+b2的最小值．24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市上城区绿城育华中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一.选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知⊙O的半径为5，若OP＝5.5，则点P在（ ）A．圆内B．圆上C．圆外D．无法判断【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为5，OP＝5.5，5.5＞5，∴点P在圆外．故选：C．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离是解答此题的关键．2．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．3．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）【分析】根据二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，∴点（﹣2，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），∴点（2，﹣3）必在该图象上，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．4．（3分）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（ ）A．（﹣，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，∴点B1的坐标为（0，2），故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．5．（3分）如图，⊙O的直径CD＝30，AB是⊙O的弦，AB⊥CD．垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）A．8B．24C．16D．2【分析】先根据⊙O的直径CD＝30，OM：OC＝3：5求出OA及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径CD＝30，∴OC＝OA＝15，∵OM：OC＝3：5，∴OM＝9，∵AB⊥CD，∴AM＝＝＝12，∴AB＝2AM＝24．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，易得CO是△ABE的中位线得到EB＝2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，依据勾股定理求解即可．【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，∴CO是△ABE的中位线，∴EB＝2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，∵AO2＝OC2+AC2，∴x2＝（x﹣1）2+22，解得：，即，，∴EB＝2OC＝3，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是证明CO是△ABE的中位线．7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，则△ODE的面积为（ ）A．9B．15C．D．【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出OD，再根据三角形面积公式进行计算即可．【解答】解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AB⊥OC，OC是⊙O的半径，∴AD＝BD＝AB＝3，∵OA＝OE，∴OD是△ABE的中位线，∴OD＝，由于DE＝3DO，可设OD＝x，则DE＝3x，BE＝2x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD2+BE2＝DE2，即（3）2+（2x）2＝（3x）2，解得x＝3或x＝﹣3（舍去），即OD＝3，∴S△DOE＝OD•BD＝×＝，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理是解决问题的前提，求出OD的长是正确解答的关键．8．（3分）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD 等于（ ）A．100°B．110°C．120°D．135°【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：连接OC、OD，∵BC＝CD＝DA，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．故选：C．【点评】本题考查了弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意半圆对的圆心角为180°．9．（3分）下列语句中，正确的有（ ）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】分别根据垂径定理、圆的性质及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误；（2）平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；（3）在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；（4）每一条直径所在的直线是圆的对称轴．对称轴是直线，而直径是线段，故本小题错误．故选：A．【点评】本题考查的是圆的认识，熟知垂径定理、圆的性质及圆心角、弧、弦的关系是解答此题的关键．10．（3分）如图已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，对称轴为直线x＝1，顶点坐标P（1，4）．则下列结论中：①ac＜0；②2a+b＝0；③b＜8；④当m＜4时，方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根．正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1可对②进行判断；由顶点P的坐标为（1，4）得到a+b+c＝4，即2a+2b+2c＝8，然后把2a＝﹣b代入得到b＝8﹣2c，则可对③进行判断；根据二次函数的最大值为4，即ax2+bx+c≤4，则当m＜4时，有两个自变量的值满足ax2+bx+c＝m，于是可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以②正确；∵抛物线的顶点P的坐标为（1，4），∴a+b+c＝4，即2a+2b+2c＝8，而2a＝﹣b，∴b＝8﹣2c，∵c＞0，∴b＜8，所以③正确；∵二次函数的最大值为4，即ax2+bx+c≤4，∴当m＜4时，有两个自变量的值满足ax2+bx+c＝m，即方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，所以⑤正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a 决定抛物线的开口方向和大小；当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②b和a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a 与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．二.填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是　（0，4）　．【分析】将x＝0代入解析式求解．【解答】解：将x＝0代y＝﹣2x2+3x+4得y＝4，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，4），故答案为：（0，4）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键．12．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝　40°　．【分析】根据旋转的性质得出∠AOC＝55°，∠COD＝∠AOB＝15°，即可求解．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△COD，∴∠AOC＝55°，∠COD＝∠AOB＝15°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝55°﹣15°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应角相等是解题的关键．13．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，AE＝2，则CD等于　8　．【分析】由垂径定理得到CD＝2CE，再求出OE的长，然后由勾股定理可求出CE的长，即可求解．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE，∵OC＝5，AE＝2，∴OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，∴CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8．故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CE 的长是解答此题的关键．14．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　x1＝﹣2，x2＝5　．【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，由于方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4得到对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，从而得到一元二方程a（x﹣1）2+b （x﹣1）+c＝0的解．【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．故答案为x1＝﹣2，x2＝5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15．（4分）如图，二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数为y2＝mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为　﹣1＜x＜3　．【分析】由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为﹣1和3，当﹣1＜x＜3时，y1的图象在y2的图象的下方，即可得答案．【解答】解：由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为﹣1和3，∵当﹣1＜x＜3时，y1的图象在y2的图象的下方，∴不等式x2+bx+c＜mx+n的解为﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．【点评】本题考查二次函数与不等式（组），能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键．16．（4分）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB 上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是　4﹣8．　．【分析】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝8，由AE≥AT﹣ET＝4﹣8，可得结论．【解答】解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连AT，ET．∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，∴AH＝AO+OH＝12，∴AT＝＝＝4，∴∠OCT＝∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠RCE，在△OCD和△TCE中，，∴△OCD≌△TCE（SAS），∴ET＝OD＝8，∴AE≥AE﹣ET＝4﹣8，∴AE的最小值为4﹣8．故答案为：4﹣8．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三.解答题（本大题有8小题，共66分.）17．（6分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；（2）当x＝6时，求y的值．【分析】（1）由y＝（x﹣1）2+2利用完全平方公式展开为y＝x2﹣2x+3，则abc即可确定；（2）将x＝6代入y＝（x﹣1）2+2即可．【解答】解：（1）由y＝（x﹣1）2+2，则y＝x2﹣2x+3，∴a＝1，b＝﹣2，c＝3；（2）y＝（x﹣1）2+2．当x＝6时，y＝（6﹣1）2+2＝27，故x＝6时，y＝27；【点评】本题考查二次函数的解析式顶点式与一般式的互化，掌握完全平方公式是解决问题的关键．18．（6分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB 绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．（1）画出旋转后的图形△OA′B′：（2）点B'的坐标是　（﹣3，﹣4）　；（3）△BOB'的形状是　等腰直角三角形　．【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）由图可得答案．（3）由旋转可得OB＝OB'，∠BOB'＝90°，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△OA′B′即为所求.（2）由图可得，点B'的坐标是（﹣3，﹣4）．（3）由旋转可得OB＝OB'，∠BOB'＝90°，∴△BOB'是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．19．（6分）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．（1）求这个管道横截面的半径．（2）求∠AOB的度数．【分析】（1）根据垂径定理，可知△OAD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OA，∵AB＝6，OD⊥AB，∴AD＝3，∵OD＝3，∴△OAD是等腰直角三角形，在Rt△AOD中，，∴这个管道横截面的半径为；（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，∴∠AOB＝90°．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．20．（8分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．（1）求⊙O的半径长；（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．【分析】（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，先根据垂径定理得到DE＝CE＝4，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可；（2）先利用勾股定理计算出BC＝4，再根据垂径定理得到BF＝CF＝2，然后利用勾股定理可计算出OF的长．【解答】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，∵AB⊥CD，∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径长为5；（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，∴BC＝＝4，∵OF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，在Rt△OBF中，OF＝＝＝，即OF的长为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．21．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不超过30m），用80m长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为Sm2，AD的长度为xm．（1）求出S与x之间的解析式，其中x的取值范围是什么？（2）当AD和AB分别为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？【分析】（1）因为AD＝x，所以AB＝80﹣2x，由长方形的面积列式即可；（2）将（1）中的二次函数进行配方可化为顶点式．利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AD的长度为xm，∴AD＝BC＝x．∵矩形除CD边外的三边总长为80m，∴AB＝80﹣2x，且80﹣2x≤30，∴x≥25，且x＜40，∴S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+80x（25≤x＜40）；（2）由（1）得S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且（25≤x＜40），∵﹣2＜0，∴当x＞20时，S随x的增大而减少，∴当x＝25时，S取最大值，最大值＝750（m2），此时AD＝25m，AB＝30m，∴当AD＝25m，AB＝30m时，矩形的面积最大，最大值为750m2．【点评】本题考查了二次函数的应用中求最值的问题，解题关键是根据二次函数的性质求函数的最值．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．（1）求证：点D为弧AC的中点；（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；（2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝∠C＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，∴点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝AC＝8，在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，∴OA2＝64+（OA﹣4）2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．23．（10分）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（2，7）．（1）若该函数图象经过点B（﹣1，﹣2），①求函数的表达式．②若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．（2）求2a+b2的最小值．【分析】（1）①把（0，﹣1）和（2，7）代入二次函数解析式即可求出；②把x＝﹣5代入解析式求出y1再根据y1+y2＝28进行计算，求出y2，把y2代入解析式即可求出；（2）先根据图象经过点A（2，7），求出a，b之间的关系，再代入2a+b2，用二次函数的性质求最值．【解答】解：（1）①把B（﹣1，﹣2）和A（2，7）分别代入y＝ax2+bx﹣1可得：，解得：，∴函数的表达式为y＝x2+2x﹣1；②把x＝﹣5代入二次函数得：y1＝25﹣10﹣1＝14，∵y1+y2＝28，∴y2＝14，把y＝14代入二次函数得：x2+2x﹣1＝14，解得：x1＝﹣5，x2＝3，∵点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上两个不同的点，∴m＝3；（2）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（2，7），∴4a+2b﹣1＝7，∴2a＝4﹣b，∴2a+b2＝b2﹣b+4＝（b﹣）2+，∵1＞0，∴2a+b2的最小值为．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数求最值，解答问题的关键是熟练掌握二次函数的知识，难度不大．24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x＝﹣求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x＝0，可求出点C坐标；令y＝0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4＝0，解得：b＝，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4，∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x＝3．（2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4）；令y＝0，即﹣x2+x+4＝0，整理得x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，∴B（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．（3）存在，理由：∵抛物线的对称轴方程为：x＝3，可设点Q（3，t），∵A（﹣2，0），C（0，4），∴AC＝2，AQ＝，CQ＝．①当AQ＝CQ时，有＝，25+t2＝t2﹣8t+16+9，解得t＝0，∴Q1（3，0）；②当AC＝AQ时，有2＝，∴t2＝﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；③当AC＝CQ时，有2＝，整理得：t2﹣8t+5＝0，解得：t＝4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（3）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论．。

浙江省杭州市绿城育华学校2018-2019年九上科学十月份月考卷(word版 无答案)

浙江省杭州市绿城育华学校2018-2019年九上科学十月份月考卷(word版 无答案)

2018-2019学年杭州市绿城育华九上月考卷一．选择题（每小题3分，共60分）过程与浓硫酸的脱水过程类似的是（）A. 生石灰吸收空气中的水蒸气B. 氢氧化钠固体潮解C.浓盐酸在空气中形成白雾D. 以上都不是3．科学家到一些边远山村调查各种心血管疾病以及糖尿病等现代慢性病的发病情况，发现当地人的发病率比较低，分析他们的膳食结构，村民们吃的植物性食物较多，尤其是各种蔬菜，由此推断，食物中哪种营养素可能对预防心血管疾病的发生具有重要作用（）A．糖类B．蛋白质C．纤维素D．无机盐4．如图为人体消化、吸收的过程示意图。

①～⑤分别表示不同的消化液。

纵向箭头表示消化液对相应营养物质的消化作用，a、b、c分别表示淀粉、蛋白质和脂肪的最终消化产物。

下列有关叙述正确的是（）A．④和⑤发挥作用的主要场所都是小肠B．④一定是肠液，⑤一定是胰液C．③内含有脂肪酶，可以分解脂肪D．x是大肠，是吸收a、b、c的主要场所5．下列工具在正常使用过程中，属于费力杠杆的是（）A．起子B．核桃夹C．钳子D．食品夹6．人体的血液循环系统由血管、心脏和血液组成．下列有关叙述，正确的是（）A．血液由血清和血细胞组成B．心脏的四个腔中，左心室壁最厚C．体循环始于右心室D．动脉血管里流的都是动脉血7．如图中曲线表示人体血管中某种气体含量的变化，则血管B的名称及管内减少的气体分别（）①肺泡周围的毛细血管，O2 ②肺泡周围的毛细血管，CO2③组织细胞间的毛细血管，O2 ④组织细胞间的毛细血管，CO2。

A．①②B．①③C．②③D．②④8．已知甲、乙、丙、丁四人的ABO血型各不一样，将上述四人的血分别滴入B型血的血清中，结果只有丙、丁的红细胞会发生凝集，又知在紧急情况下，丙只能接受少量乙的血.。

下列推测正确的是（）A．丙和丁红细胞上都有B凝集原B．丙的血滴入乙的血清中不会发生凝集C．乙的血滴入丙的血清中会发生凝集D．甲的血清中只有抗A凝集素9．滴入无色酚酞试液后不显色的溶液，若滴入紫色石蕊试液，下列说法正确的是（）A．一定显红色B．一定显紫色C．可能仍为紫色D．一定显无色10．下列物质中，能与澄清的石灰水发生反应，但反应过程若不加指示剂则观察不到明显现象的是（）A．硝酸钠溶液B．稀盐酸C．氯化铁溶液D．碳酸钠溶液11．下列关于能量转化转移现象的说法中，正确的是（）A．蓄电池充电时，化学能转化为电能B．暖瓶塞跳起时，机械能转化为内能C．用热水袋取暖时，内能发生了转移D．电动机工作时，机械能转化为电能12．有A，B两种金属放入等质量分数的稀硫酸中，生成氢气的质量与反应时间的关系如图所示，下列结论合理的是（）A．金属活动性A＞B B．生成氢气的质量A＞BC．反应的硫酸质量A＜B D．反应的金属质量A＜B13．猪肉富含人体所需的营养物质，猪肉的新鲜度可以通过测试pH来判断．有关资料显示，pH与肉类新鲜度的关系如下表，则新鲜肉在变质过程中酸性强弱的变C．不变D．无法确定14．如图所示，把重为G的物体沿高为h，长为l的粗糙斜面以速度v由底端匀速拉到顶端的过程中，拉力F做的功为W，则下列选项正确的是（）A．拉力大小为B．物体所受摩擦力大小为C．拉力功率的大小为D．斜面的机械效率为15．在如图所示电路中，电源电压不变。

2016-2017杭州绿城育华10月份月考卷

2016-2017杭州绿城育华10月份月考卷

完形填空（2013年舟山中考）Recently, a reader asked me about the dangers that pets can lace around the house. So, I visited mynoticed. "You should keep all medicines and cleaning products away from pets. Also, pets, such as cats and dogs, sometimes will 39 their hair if they are unwell, If your pet looks unwell or is acting unusual,26. A. school B. hospital C. market D. museum27. A. warm B. safe C. clean D. beautiful28. A. owners B. visitors C. teachers D. actors29. A. paid B. chosen C. treated D. returned30. A. it. B. me C. him D. her31. A. friendly B. healthy C. good D. right32. A. until B. though C. while D. because33. A. as well B. so far C. as usual D. just now34. A. brown B. sick C. smart D. comfortable35. A. secrets B. changes C. dangers D. mistakes36. A. buy B. use C. leave D. collect37. A. in B. off C. on D. down38. A. offered B. posted C. wasted D. accepted39. A. colour B. keep C. lose D. sell40. A. point to B. ring up C. hear from D. look after26．B 27．B 28．A 29．C 30．D 31．D 32．D 33．A 34．B 35．C36．C 37．A 38 A 39．C 40．B阅读理解A“How many common English words were invented by Shakespeare?”How long did it take people to find the answer to this question 15 years ago? And now! you can google it and find the answer immediately!Google is the most popular Internet search engine in the world. It was invented by two students, Larry Page and Sergey Brin. They met in 1993, when they were studying computer science atStanford University, USA. They dreamed of producing something that could also answer any question in seconds.Internet search engines at that time were slow and gave many websites that weren't useful. In January 1996, Page and Brin decided to make a better and faster search engine. They thought the results should be based on the most popular websites.Nobody would give them money for their project, so they used their own money. They also borrowed money from family and friends. Then, in 1998, they were given a cheque for $100,000, and they started their own company. Their first office was in a friend's garage. The company's name is Google, a word which c omes from mathematics. A “google” is a very high number---- 1 followed by a hundred zeros.The google search engine was soon used by thousands of people worldwide because it was fast, easy and correct. By 2002 it was the biggest search engine on the Internet. Now, more questions have been answered by Google than any other Internet service, from sport to science, and from music to medicine. Google hopes that in the future all the world's information will be put on the Internet, so that everybody can find everything.1:The writer began this passage by asking you a question because ___________. A．Shakespeare is one of the most famous people in the worldB．he or she was afraid that the readers didn't know this questionC．he or she wanted to make the readers interested in this passageD．he or she liked to begin this passage by asking readers a question2:The underline word “cheque” in the fifth paragraph means _____ __ in Chinese.A．楼房B．帐单C．订单D．支票3:From the passage we know that at the beginning of their project,__ ____.A．there was not any search engine on the Internet.B．nobody supported them except their family and friendsC．one of the most popular websites gave them a cheque for $100,000D．Larry Page and Sergey Brin dreamed to produce something to answer any question4:Which statement is NOT true according to the passage?A．Now the Google search engine is widely used in the world.B．The google search engine was the biggest one after 2002.C．Larry Page and Sergey Brin named google after a hundred zeros.D．The service of the Google search engine is very popular.CDBCB（2014沈阳）It's time for school! But on May 14th, 170 students at Duncanville High School in Texas, US, were told to go back home.Why？Because they were wearing the wrong clothes to school.Schools in the US don't always ask students to wear uniforms. But they have dress codes (著装要求). For example, Duncanville High School tells students to wear belts, shirts without logos （标识）. Schools' most-hated clothes are different.In 2011, the saggy ( 松垮的) trousers law was passed in Florida. It stops students from wearing trousers that show body parts.Now, "the favourite new target ( 目标) of the school dress code" is leggings( 紧身裤), reported the Associated Press. Some schools don't allow leggings. Other schools ask students to wear a shirt or a skirt over leggings.Some students complain (抱怨) that schools are going too far. But schools say dress codeshelp protect students' safety and make sure they grow up with good taste."We want to teach them that they must meet the expectations (期望) not only here in school, but also outside school," said Andre Smith.1. What happened to 170 students at Duncanville High School on May 14thA. They were told to go back home.B. They were wearing the uniforms to school.C. They followed the school dress codes.D. They didn't know it was time for school.2. In Duncanville High School, students are allowed to wear______.A. the wrong clothesB. belts, shirts without logosC. their favourite clothesD. schools' most-hated clothes3. How long has the saggy trousers law been used in FloridaA. For a few weeks.B. For several months.C. For two years.D. For three years.4. Some students complain that schools are going too far probably because _______.A. they want to grow up with good tasteB. they want to protect themselvesC. they are not happy with the rulesD. they are interested in skirts over leggings5. We can infer (推断) from the text that Andre Smith may be _________.A. the head of Duncanville High SchoolB. a student from Duncanville High SchoolC. the head of the Associated PressD. a news reporter from the Associated PressABDCACAlmost all cultures celebrate the end of one year and the beginning of another in some way. Different cultures celebrate the beginning of a new year in different ways, and at different times on the calendar.In Western countries, people usually celebrate New Year at midnight on December 31st-January 1st. P people may go to parties, sometimes dressed in formal（正式的）clothes, and the may drink champagne（香槟）at midnight. During the first minutes of the new year, people cheer and wish each other happiness for the year ahead. But some cultures prefer to celebrate the new year by waking up early to watch the sun rise. They welcome the new wear with the first light of the sunrise.Many cultures also do special things to get rid of（摆脱）bad luck at the beginning of a new year. For example, in Ecuador, families make a big doll from old clothes. The doll is filled with oldnewspapers and firecrackers. At midnight, these dolls are burned to show the bad things from the past year are gone and the new year can start afresh（重新）. Other common traditions to keep away bad luck in a new year include throwing things into rivers or the ocean, or saying special things on the first day of the new year.Other New Year traditions are followed to bring good luck in the new year. One widespread Spanish tradition for good luck is to eat grapes on New Year’s Day. The more grapes a person eats, the more good luck the person will have in the tear. In France, people eat pancakes for good luck at New Year. In the United States, some people eat black-eyed peas for good luck-but to get good luck for a whole year you have to eat 365 of them!1. The reading is mainly about_____.A. the meaning of “Happy New Year!”B. several different New Year traditionsC. what to eat on New Year’s DayD. why people dress up nicely on New Year’s Day2. It’s clear that_____.A. some cultures celebrate New Year in the morningB. the Western people celebrate New Year only on New Year’s DayC. people in Ecuador go to par ties on December 31st-January 1stD. no cultures do special things to celebrate New Year3.In some cultures, people throw things into rivers or oceans to_____.A. bring good luckB. keep away bad luckC. forget everythingD. plan for the next year4.To have a happy new year,_____.A. friends talk to each other in special waysB. families make big dolls fille d with old clothesC. some people get up early to watch the sunriseD. Europeans eat 365 grapes on New Year’s Day5. When eating black-eyed peas on New Year’s Day, people thi nk_____.A. one pea brings one day of luckB. black-eyed peas are the best medicineC. the peas are too black and taste badD. the peas are helpful to count numbers BABCA语法填空Every child has his own dream．Every child hopes to be_____ adult．However, is it truly like what they imagine? As a boy _____lives in modem times and in a modern city，I feel greater pressure on me with the city’s________(develop)．Although we seldom worry______money, we still have a lot of others such as competitions among classmates and expectations from parents．These experiences are very helpful to our future．But in fact，they really give me a lot of pressure．I still clearly remembered the happiness of my childhood．_______(Unlucky)，we had to face the fact with time passing by．We began______(feel)this invisible(无形的)pressure come upon us．We get up before sunrise______ return after sunset．we work and study like an adult，even______(hard)．What we do is to get an excellent mark．Oh，_______(grow) up is completely boring．We must try to find happiness while growing up．I think the friendship among our friends，the support from our parents and the encouragement from our teachers can help us．Why not______ enjoy the pleasure of growing up and its delicious taste?单词拼写1.Be p______! It takes time, and if you keep trying, you will make progress.2.Wide reading i_______ your vocabulary. You will know more words by reading.3.On Sept. 18. 4 million Scottish people took an a_____ part in the vote. They would decide whether Scotland would be an independent country.4.Mid-Autumn Day is a time for family members and r______ to get together.5.He broke the school rule, so his teacher p______ him.6.I found a wallet l______ on the ground when I was walking in the park. I quickly picked it up.7.The news quickly s________ in the school. Soon everyone knows.8.It might seem more difficult to speak politely than d______.9.The Internet makes life more c________. At present, we can do a lot on the computers.10.People can learn something from collecting s_______. Each small picture tells us a story and has its meaning in it.。

杭州绿城育华学校九年级上册期中试卷检测题

杭州绿城育华学校九年级上册期中试卷检测题

杭州绿城育华学校九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝6． 【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3y x=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝32．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．∴S S ACO ODB ∆∆＝2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23，∴OA OB ＝±63（舍负取正），即OA OB ＝63． ∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝OA OB 6．2．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.3．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的， 故答案为⑤； （2）x 2+2nx ﹣8n 2=0， x 2+2nx=8n 2， x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2， （x+n ）2=9n 2， x+n=±3n ， x 1=2n ，x 2=﹣4n ．4．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求ab的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒. ∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒ 62=︒，∵BC BD =，∴1802BBCD BDC ︒-∠∠=∠=180622︒-︒=59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒ 31=︒.（2）①BD BC a ==， ∴AD AB BD =- AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴x =a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根. ②∵AE AD =， 又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+，∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．5．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t ＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝12 x．【解析】【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE ＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．【详解】∵矩形AOBC中，C（6，4）∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t（1）∵四边形APQO是矩形∴AP＝OQ∴t＝6﹣2t解得：t＝2故答案为2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H∴四边形APHO是矩形∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°∵PQ＝5∴HQ3 =①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t ∴6﹣3t＝3解得：t＝1②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3解得：t＝3故答案为1或3．（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE∵∠POE＝45°∴∠PEO＝∠POE＝45°∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°∴∠MPE＝∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90 MPE AOPPE0P ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP（AAS）∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t ∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝4 3∴AM＝43+4＝163，EN＝4﹣43＝83∴点E坐标为（163，83）∴直线OE的函数表达式为y＝12 x．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t 的值，常规做法是用t 表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t 的取值范围考虑方程的解的合理性．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)，∴抛物线的对称轴x＝﹣42aa＝2．（2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A(4，0)，∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M((2，﹣2)，M′(2，2)把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝12，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣12(x﹣2)2+2＝﹣12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，12m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣12(m+2)2+2(m+2)]，∵PQ ∥OD ， ∴12m 2﹣2m ＝﹣12(m ﹣2)2+2(m ﹣2)或12m 2﹣2m ＝﹣12(m +2)2+2(m +2)，解得m ＝，∴P或(3或(1和， 当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣32)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(3或(1)和)或(1，﹣32)． 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题7．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >-【解析】 【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫--⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++ ∴0y 的最大值118=综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△ 解得：m=0（舍去）或29m =-由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】 解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3y x 将2x =-代入3y x ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM = ∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，DQ =∴4FG ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．9．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，117-+317-)或117--317+ 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)． （3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=12-+或t=12-．∴此时点M 的坐标为（1172-+，3172-）或（1172--，3172+）． 综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1），（117-+，317-）或（117--，317+）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．10．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】【分析】 （1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】 解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258， 解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2， 即点C 坐标为（0，2）， 同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为：S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ， 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ ′∽△Q ′FP ，'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′22223213CO OQ +=+= 此时a 13P 1393132-+）． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,点D 是BC 的中点．以点D 为顶点作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ，则线段BG 和AE 的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE 为最大值时，直接写出AF 的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．12．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE ，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE ， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ， ∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°， ∴AD ⊥BE ， ∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ， ∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2， 图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2， ∴22， 即22【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．13．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）61；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF=2221-=3，在Rt△ABF中，BF=22AB AF- =6，∴BD=CE=BF﹣DF=61-，∴FH=12EC=612-．（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，∴△GFH的周长=3GF=32BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为3 2（a+b），最小值为32（a﹣b）．点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．14．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，同（1）可证∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ， ∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ， ∴∠DXB+∠EBC=90°， ∴∠EZA=180°﹣90°=90°， 即AD ⊥BE ， ∵FH ∥AD ，FG ∥BE ， ∴FH ⊥FG ， 即FH=FG ，FH ⊥FG ， 结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．15．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点. 分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ． (1)求证：DE ⊥AG ；(2)正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2． ①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）DE ⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°【解析】分析：（1）延长ED 交AG 于点H ，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数．详解：如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋转过程中，成为直角有两种情况：Ⅰ由增大到过程中，当时，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到过程中，当时，同理可求，．综上所述，当时，或．如图3，当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，正方形ABCD的边长为1，，，，，，，此时．点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB 于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，842+.【解析】试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正方形，∴正方形的面积是4，又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，∴点P的关联图形的面积是12．（2）判断△OCD是直角三角形．证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==为定值，要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小， ∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小， 连接OC ，设交半圆O 于点P ，∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=22，∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ， ∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大．∵CD=42，CP=222-， ∴△PCD 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==，∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+．考点：圆的综合题．17．如图，点A 在直线l 上，点Q 沿着直线l 以3厘米/秒的速度由点A 向右运动，以AQ 为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ=34，点C 在点Q 右侧，CQ=1厘米，过点C 作直线m⊥l，过△ABQ 的外接圆圆心O 作OD⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF=13CD ，以DE 、DF 为邻边作矩形DEGF ．设运动时间为t 秒．（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ； （2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值．【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为35或3． 【解析】试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解；（3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可.试题解析：（1）5t BQ =，2DF=t 3； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()22211·t 13326S DF DE t t ⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，∴当t=12时，矩形DEGF 的最大面积为16； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=-=或,解得335t t ==或.18．四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为对角线，∠ACB ＝∠ACD（1）如图1，求证：AB ＝AD ；（2）如图2，点E 在AB 弧上，DE 交AC 于点F ，连接BE ，BE ＝DF ，求证：DF ＝DC ； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 在BC 弧上，连接DG ，交CE 于点H ，连接GE ，GF ，若DE ＝BC ，EG ＝GH ＝5，S △DFG ＝9，求BC 边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（370【解析】【分析】（1）如图1，连接OA ，OB ，OD ，由∠ACB ＝∠ACD ，可得AD AB ，可得AB ＝AD ；。

杭州绿城育华学校初三数学九年级上册期末试卷

杭州绿城育华学校初三数学九年级上册期末试卷

杭州绿城育华学校初三数学九年级上册期末试卷一、选择题1．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3-B ．3C ．3-D ．32．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ） A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,3)D ．(3,0)3．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a ,a +2)、C(b ,0)（a >0,b >0），若AB=42且∠ACB 最大时，b 的值为（ ） A ．226+B ．226-+C ．242+D ．2424．已知52x y =，则x y y-的值是（ ） A ．12B ．2C ．32D ．235．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−4D ．46．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：1 7．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜18．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，02六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．569．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄(单位：岁)14 15 16 17 18 人数15321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A ．15，16B ．15，15C ．15，15.5D ．16，1510．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm ，方差为k 2cm ，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm ，此时全班同学身高的方差为'k 2cm ，那么'k 与k 的大小关系是（ ）A ．'k k >B ．'k k <C ．'k k =D ．无法判断 11．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：2D ．2：112．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△ADE ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）A ．∠B ＝∠D B ．∠C ＝∠E C ．AD ABAE AC= D ．AC BCAE DE= 13．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．1914．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +a ﹣1＝0没有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜﹣2D ．a ＞﹣215．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252-B ．25-C ．251-D ．52-二、填空题16．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.17．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm ，母线长为7cm ，那么它的侧面展开图的面积是_____cm 2．18．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.19．将边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2cm .20．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______. 21．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．22．如图，平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，32AD AB =.以A 为圆心，AB 为半径画弧，交AD 于点E ，以D 为圆心，DE 为半径画弧，交CD 于点F .若用扇形ABE 围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r ；若用扇形DEF 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r ，则12r r 的值为______.23．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y﹣0.03﹣0.010.020.04则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．24．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.25．数据8，8，10，6，7的众数是__________． 26．方程290x 的解为________.27．如图，港口A 在观测站 O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB 的长）为 _____km.28．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．29．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2(2)x n +=，则n 的值为______.30．已知234x y z x zy+===，则_______ 三、解答题31．新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB 在两棵同样高度的树苗CE 和DF 之间，树苗高2 m ，两棵树苗之间的距离CD 为16 m ，在路灯的照射下，树苗CE 的影长CG 为1 m ，树苗DF 的影长DH 为3 m ，点G 、C 、B 、D 、H 在一条直线上．求路灯AB 的高度．32．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点A （-3，0），与y 轴交于点B （0，4），在第一象限内有一点P （m,n)，且满足4m+3n=12. （1）求二次函数解析式.（2）若以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，求点P 的坐标.（3）若点A 关于y 轴的对称点为点A′，点C 在对称轴上，且2∠CBA+∠PA′O=90◦.求点C 的坐标.33．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.（1）求证：BDE CAD ∆∆∽；（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.34．已知二次函数y ＝x 2－22mx ＋m 2＋m －1（m 为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）将该二次函数的图像向下平移k （k ＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k 的取值范围是 ． 35．如图，OA l ⊥于点,A B 是OA 上一点，O 是以O 为圆心，OB 为半径的圆．C 是O 上的点，连结CB 并延长，交l 于点D ，且AC AD =．（1）求证：AC 是O 的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标注后用数字表示）；（2）若O 的半径为5，6BC =，求线段AC 的长．四、压轴题36．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．37．问题发现：（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E 不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为．问题探究：（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC ＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；问题解决：（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．38．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=34，CF=83．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AC是⊙O的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．39．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.40．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于点C ，⊙P 是△ABC 的外接圆．(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴； (2)求⊙P 的半径；(3)点D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC ＞90°，求点D 纵坐标的取值范围；(4)E 是线段CO 上的一个动点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ，求线段OF 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程2330x x -=的两根,再利用韦达定理即可求解. 【详解】解：由题可知p,q 是方程2330x x -=的两根, ∴3,故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.2．C解析：C 【解析】 【分析】令x=0，则y=3，抛物线与y 轴的交点为（0，3）． 【详解】解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y 轴的交点为（0，3）， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．3．B解析：B 【解析】 【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值，此时圆心F 的横坐标与C 点的横坐标相同，并且在经过AB 中点且与直线AB 垂直的直线上，根据FB=FC 列出关于b 的方程求解即可. 【详解】解：∵AB=A(0,2)、B(a ,a +2)= 解得a =4或a =-4（因为a >0，舍去） ∴B(4,6)，设直线AB 的解析式为y=kx+2， 将B(4,6)代入可得k =1，所以y=x+2，利用圆周角大于对应的圆外角得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值. 如下图，G 为AB 中点，()2,4G ，设过点G 且垂直于AB 的直线:l y x m =-+， 将()2,4G 代入可得6m =，所以6y x =-+.设圆心(),6F b b -+，由FC FB =，可知()()()2226466b b b -+=-+-+-，解得262b =（已舍去负值）.故选：B. 【点睛】本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C 点的位置是解决此题的关键.4．C解析：C 【解析】 【分析】设x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0），代入求值即可． 【详解】 解：∵52x y = ∴x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0） ∴52322x y k k y k --== 故选：C ． 【点睛】本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．5．B解析：B 【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B ．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．B解析：B 【解析】 【分析】可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴DC ∥AB ， ∴△DFE ∽△BFA ， ∵DE ：EC=3：1， ∴DE ：DC=3：4， ∴DE ：AB=3：4， ∴S △DFE ：S △BFA =9：16． 故选B ．7．D解析：D 【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根， ∴()2240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8．B解析：B 【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π共2个， ∴卡片上的数为无理数的概率是21=63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算. 9．C解析：C【解析】【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，∴众数为15岁，中位数是第6、7个数据的平均数，∴中位数为(1516)2+÷=15.5岁，故选：C ．【点睛】本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．10．B解析：B【解析】【分析】设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm ，然后根据方差公式比较大小即可．【详解】解：设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm 根据方差公式：()()()22212111721721721n k x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣⎦-()()()()2222'1211172172172172172n x x k x n -⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦ ()()()2221211172172172n x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ∵111n n <- ∴()()()()()()222222121121111721721721721721721n n x x x x x x n n --⎡⎤⎡⎤-+-++-<-+-++-⎣⎦⎣⎦-即'k k <故选B ．【点睛】此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．11．B解析：B【解析】【分析】 直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，∴它们的面积比是：1：4．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．D解析：D【解析】【分析】先求出∠DAE ＝∠BAC ，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE ＝∠2+∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC ，A 、添加∠B ＝∠D 可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC ∽△ADE ，故此选项不合题意；B 、添加∠C ＝∠E 可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC ∽△ADE ，故此选项不合题意；C 、添加AD AB AE AC=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意； D 、添加AC BC AE DE=不能证明△ABC ∽△ADE ，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．13．B解析：B【解析】【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．【详解】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，设OB ＝a ，则OA ＝2a ，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()22142a a ππ=． 故选：B ．【点睛】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．14．B解析：B【解析】【分析】根据题意得根的判别式0<，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】∵1a =，2b =-，1c a =-，由题意可知：()()22424110b ac a =-=--⨯⨯-<⊿，∴a ＞2，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式24b ac =-⊿：当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根．15．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：12AP AB = ，得1422AP =⨯= .故选A. 二、填空题16．7【解析】设树的高度为m ，由相似可得，解得，所以树的高度为7m解析：7【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 17．35π．【解析】【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr 即可求解．【详解】底面周长是：10π，则侧面展开图的面积是：×10π×7＝35πcm2．故答案是：35π．解析：35π．【解析】【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=12lr 即可求解． 【详解】底面周长是：10π， 则侧面展开图的面积是：12×10π×7＝35πcm 2．故答案是：35π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18．200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用解析：200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：()()222200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.19．【解析】【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BENK 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK 、EN 的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如 解析：133【解析】【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如图所示，∵四边形MEGH为正方形，∴NE GH∴△AEN~△AHG∴NE:GH=AE:AG∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4∴NE:4=5:9∴NE=20 9同理可求BK=8 9梯形BENK的面积：1208143 2993⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭∴阴影部分的面积：1413 3333⨯-=故答案为：13 3.【点睛】本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.20．－5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵，是关于的一元二次方程的两根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果，是方解析：－5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，∴121214x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，12x x q =． 21．【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接D 解析：45【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF ，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接DE,DF,∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴AD AE DE BF BD DF,设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,∵AD AE DE BF BD DF,∴AD AE DE DE BF BD DF DF∴323x x DE x x DF∴45 DEDF,∴45 CECF.故答案为：4 5 .【点睛】本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.22．1【解析】【分析】设AB=a，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF与弧长BE，即可求出的值. 【详解】设AB=a，∵∴AD=1.5a，则DE=0.5a，∵平行四边形中，，∴∠D=120解析：1【解析】【分析】设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出12r r 的值. 【详解】设AB=a ， ∵32AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，∴l 1弧长EF=12020.5360a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12l l =1 故答案为：1.【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.23．18＜x ＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19解析：18＜x ＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19时，y ＝0.02，∴当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为6.18＜x ＜6.19，故答案为：6.18＜x ＜6.19．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．24．【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红解析：5 8【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55 538= +故答案为: 58．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．25．8【解析】【分析】根据众数的概念即可得出答案．【详解】众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8故答案为：8．【点睛】本题主要考查众数，掌握众数的概念是解解析：8【解析】【分析】根据众数的概念即可得出答案．【详解】众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8故答案为：8．【点睛】本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键．26．【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这x=±解析：3【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．x=±．故答案为3【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．27．2＋2【解析】【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥O解析：2【解析】【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×12＝2（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝433km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD＋BD＝32（km），故答案为：32．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．28．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．【详解】解：当时，，解得，（舍去），．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自解析：10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度0y ＝，把实际问题可理解为当0y ＝时，求x 的值即可．【详解】解：当0y ＝时，212501233y x x =-++=， 解得，2x =-（舍去），10x =．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．29．7【解析】【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟解析：7【解析】【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.【详解】解：∵2430x x +-=，∴243x x +=，∴2447x x ++=，∴2(2)7x +=，∴7n =；故答案为：7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤. 30．2【解析】【分析】设，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案.【详解】解：根据题意，设，∴，，，∴；故答案为：2.【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的解析：2【解析】【分析】 设234x y z k ===，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，设234x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴2423x z k k y k++==； 故答案为：2.【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k 来表示x 、y 、z.三、解答题31．m【解析】【分析】设BC 的长度为x ，根据题意得出△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA ，进而利用相似三角形的性质列出关于x 的方程.【详解】解：设BC 的长度为x m由题意可知CE ∥AB ∥DF∵CE ∥AB∴△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA ∴GC CE GB AB =，即11x +＝2ABHD HB ＝FD AB ，即()3316x +- ＝2AB∴11x +＝()3316x +- ∴x ＝4∴AB ＝10答：路灯AB 的高度为10 m.【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA 是解题关键．32．（1）24(3)9y x =+；（2）P(1511,2411)；（3）C(-3,-5)或 (-3，2513) 【解析】【分析】（1）设顶点式，将B 点代入即可求；（2）根据4m+3n=12确定点P 所在直线的解析式，再根据内切线的性质可知P 点在∠BAO 的角平分线上，求两线交点坐标即为P 点坐标；（3）根据角之间的关系确定C 在∠DBA 的角平分线与对称轴的交点或∠ABO 的角平分线与对称轴的交点，通过求角平分线的解析式即可求.【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为A(-3,0),设二次函数解析式为y=a(x+3)2，将B （0，4）代入得，4=9a∴a=49∴24(3)9y x =+ （2）如图 ∵P （m,n)，且满足4m+3n=12 ∴443n m =-+ ∴点P 在第一象限的443y x =-+上， ∵以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，∴点P 在∠BAO 的角平分线上，∠BAO 的角平分线：y=1322x +， ∴134=4223x x +-+，∴x=1511,∴y=2411∴P(1511,2411)(3)C(-3,-5)或 (-3，2513)理由如下：如图，A´(3，0),可得直线L A´B的表达式为443y x=-+，∴P点在直线A´B上，∵∠PA´O=∠ABO=∠BAG, 2∠CBA+∠PA′O=90°,∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,在对称轴上取点D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G点,设D点坐标为(-3,t)则有(4-t)2+32=t2t=25 8,∴D(-3,25 8),作∠DBA的角平分线交AG于点C即为所求点，设为C1∠DBA的角平分线BC1的解析式为y=913x+4,∴C1的坐标为 (-3, 25 13)；同理作∠ABO的角平分线交AG于点C即为所求，设为C2，∠ABO的角平分线BC2的解析式为y=3x+4,∴C2的坐标为(-3,-5).综上所述，点C的坐标为(-3, 2513)或(-3,-5).【点睛】本题考查了二次函数与图形的结合，涉及的知识点角平分线的解析式的确定，切线的性质，勾股定理及图象的交点问题，涉及知识点较多，综合性较强，根据条件，结合图形找准对应知识点是解答此题的关键.33．（1）见解析；（2）6013DE =. 【解析】【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C ，△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD ⊥BC ，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED ，至此问题不难证明； 对于（2），利用勾股定理求出AD ，利用相似比，即可求出DE.【详解】解：（1)证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠.又∵AD 为BC 边上的中线，∴AD BC ⊥.∵DE AB ⊥，∴90BED CDA ︒∠=∠=，∴BDE CAD ∆∆∽.(2)∵10BC =，∴5BD =.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得2212AD AB BD =-=.由（1）得BDE CAD ∆∆∽，∴BD DE CA AD =， 即51312DE =， ∴6013DE =. 【点睛】 此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.34．（1）证明见解析；（2）k ≥34. 【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△=（2m －1）2 ＋3＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）把（0，－2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+12)²+34，即可得出结果. 【详解】（1）证：当y =0时 x 2－mx ＋m 2＋m －1＝0∵b 2－4ac ＝（－m ）2－4（m 2＋m －1）＝8m 2－4m 2－4m ＋4＝4m 2－4m ＋4＝（2m －1）2 ＋3＞0∴方程x 2－mx ＋m 2＋m －1＝0有两个不相等的实数根∴二次函数y ＝x 2－mx ＋m 2＋m －1图像与x 轴有两个公共点（2）解：平移后的解析式为: y ＝x 2－mx ＋m 2＋m －1-k,过(0,-2),∴-2=0-0+m²+m-1-k, ∴k= m²+m+1=(m+12)²+34,∴k ≥34. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x 轴交点个数确定方法，能把一个二次三项式进行配方是解题的关键．35．（1）见解析；（2）1207AC =【解析】【分析】(1)如图连结OC ，先证得4390∠+∠=︒，即可得到OC AC ∴⊥，即可得到AC 是O 的切线；(2)由(1)知：过O 作OE BC ⊥于E ，先证明OBE DBA ∆∆∽得到34AB BE AD OE ==，设3,4AB x AD x AC ===,在Rt OAC ∆中，222OC AC OA +=，即：。

杭州绿城育华学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

杭州绿城育华学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

杭州绿城育华学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3∠=． ()1求b 、c 的值；()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若DBE 2DEH ∠∠=，求EG EF的值．2．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-+与抛物线交于B ，D 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求m 的值和D 点坐标；（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．4．四边形ABCF 中，AF ∥BC ，∠AFC =90°，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于E ，与AF 相切于点A ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于G ．（1）求证：AB =AC ；（2）①证明：GE =EC ；②若BC =8，OG =1，求EF 的长．5．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)，顶点D 在y 轴上，与x 轴的一个交点的横坐标为6．(1)求a 、c 满足的关系式；(2)若直线y ＝kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，以AB 为直径的圆恒过点D ．①求抛物线的解析式；②设直线y ＝kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1：y ＝px+q 过点B ，且与抛物线只有一个公共点，过点D 作x 轴的平行线l 2，l 1与l 2交于点N ．分别记BDM 、NDM 的面积为S 1，S 2，求12S S ． 6．（问题发现）（1）如图①，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC +ED 的最小值是 ．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B （3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A 、⊙B ，M 、N 分別是⊙A 、⊙B 上的动点，点P 为x 轴上的动点，试求PM +PN 的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB 长为2米，边框BC 长为3米，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝90°，联动杆DE 长为2米，联动杆DE 的两端D 、E 允许在AD 、CE 所在直线上滑动，点G 恰好是DE 的中点，点F 可在边框BC 上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF 与FG 长度和的最小值并说明理由．7．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．8．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价1y （元/千克）关于时间t 的函数关系式分别为11602y t =-+（040t <≤，且t 为整数）； ()()21030,3033040,20t t t y t t ⎧<≤-+⎪=⎨<≤⎪⎩且为整数且为整数，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量m （千克）关于时间t 的函数关系如图2的点列所示．（1）求m 关于t 的函数关系式；（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求a 的最大值（精确到0.01元）．9．已知：如图，抛物线2134y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：34y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，ACE △的外心是P ．（1）求m ，n 的值．（2）当点E 移动到点B 时，求ACE △的面积．（3）①是否存在点E ，使得点P 落在ACE △的边上，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．②过点A 作直线AD x ⊥轴交直线l 于点D ，当点E 从点D 移动到点B 时，圆心P 移动的路线长为_____．（直接写出答案）10．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA QA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan BAO 2∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E ，F 分别在边BC ，AB 上，AF ＝BE ＝2，连结DE ，DF ，动点M 在EF 上从点E 向终点F 匀速运动，同时，动点N 在射线CD 上从点C 沿CD 方向匀速运动，当点M 运动到EF 的中点时，点N 恰好与点D 重合，点M 到达终点时，M ，N 同时停止运动．（1）求EF 的长．（2）设CN ＝x ，EM ＝y ，求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围． （3）连结MN ，当MN 与△DEF 的一边平行时，求CN 的长．12．如图所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，43BC =，30C ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t >，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE DF =；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）当t =________时，DEF ∆为直角三角形.13．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，BC ＝9，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，CP ＝3x ，CQ ＝4x （0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上． （1）求证：PQ ∥AB ；（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；（3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且12≤T ≤16，求x 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若60180MPN ︒︒≤∠<，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在123(1,0),(1,1),(0,2)P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以3,(0)3m m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝32-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知，在平面直角坐标系中，二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()1,0．（1）如图1，分别求b c 、的值；（2）如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，连接DO 并延长交抛物线于点E ，3OD OE =，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 为第一象限的抛物线上一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，连接EP 、EH ，点Q 为第二象限的抛物线上一点，且点Q 与点P 关于抛物线的对称轴对称，连接PQ ，设2AHE EPH α∠+∠=，tan PH PQ α=⋅，点M 为线段PQ 上一点，点N 为第三象限的抛物线上一点，分别连接MH NH 、，满足60MHN ∠=︒，MH NH =，过点N 作PE 的平行线，交y 轴于点F ，求直线FN 的解析式．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111A O C △，再将111A O C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．(1) a = ；(2)求矩形DEFG 面积的最小值；(3)当CDG ∆为等腰三角形时，求t 的值．19．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，记∠ABC ＝α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当△ABD 为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ 的长为 ；（2）如图2，当α＝45°，且BD ＝43时，求证：PD ＝PQ ； （3）设BC ＝t ，当PD ＝PQ 时，直接写出BD 的长．（用含t 的代数式表示） 20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2， 求12S S 的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）4,43b c == ；（2）()P 4,4，点P 在抛物线上；（3）2. 【解析】【分析】 (1)直线y=kx-6k ，令y=0，则B(6，0)，便可求出点D 、C 的坐标，将B 、C 代入抛物线中，即可求得b 、c 的值；(2)过点P ，作PL x ⊥轴于点L ，过点B 作BT OP ⊥于点T ，先求出点P 的坐标为(4，4)，再代入抛物线进行判断即可；(3)连接PC ，过点D 作DM ⊥BE 于点M ，先证△PCD ≌△PLB ，再分别证四边形EHKP 、FDKP 为矩形，求得EG EF=2. 【详解】解：()1如图，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，令y 0=，则x 6=，即()B 6,0， 1tan OBD 3∠=，OD 2∴=，()D 0,2∴， CD OD =，OC 4∴=，点()C 0,4，点B 、C 在抛物线21y x bx c 3=-++上， 2166034b c c ⎧-⨯++=⎪∴⎨⎪=⎩，解得：434b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，函数表达式为：214y x x 433=-++⋯①； ()2如图，过点P ，作PL x ⊥轴于点L ，过点B 作BT OP ⊥于点T ，OB tan ODB 3OD∠==， BT tan OPD tan ODB 3PT∠∠===，BT 3PT ∴=， 点()P m,m 在第一象限，PL OL m ∴==，POL 45∠∴=，OP 2m =，OT BT OBsin4532∴===，OP 42∴=，OL POcos45m 4∴===，()P 4,4∴，当x 4=时，214y x x 4433=-++=， 故点P 在抛物线上； ()3如图，连接PC ，()P 4,4，()C 0,4，PC //x ∴轴，PCD PLB 90∠∠∴==，PC PL 4==，CD BL 2∴==，PCD ∴≌()PLB SAS ，CPD LPB ∠∠∴=，PB PD =，DPB DPL LPB DPL CPD 90∠∠∠∠∠∴=+=+=，PDB 45∠∴=，过点P 作PK BD ⊥于点K ，连接DF ，EH //PK ∴，1PK DK BK BD 2∴===， PF//BD ，∴四边形EHKP 为平行四边形，PKH 90∠=，∴四边形EHKP 为矩形，1EH PK BD 2∴==， DBE 2DEH ∠∠=，EH BD ⊥，BDE 90DEH ∠∠∴=-，在BDE 中，BED 180BDE DBE 90DEH ∠∠∠∠=--=-，BDE BED ∠∠∴=，BD BE ∴=，EH 1sin HBE EB 2∠∴==，HBE 30∠∴=，过点D 作DM BE ⊥于点M ，MDB 60∠∴=，BDE BED 75∠∠==，EDM 756015∠∴=-=，EDG 754530∠=-=，DGE 75∠∴=，ED DG ∴=，1EM MG EG 2∴==， PF//BD ，∴直线PF 与BD 解析式中的k 值相等，PF 116y x 33∴=-+⋯②， 联立①②并解得：x 1=，即()F 1,5，PF ∴=BD 2=DK ∴=PF//DK ，PF DK =，∴四边形FDKP 为平行四边形，DKP 90∠=，∴四边形FDKP 为矩形，FDK 90∠∴=，FDE 907515∠∴=-=，FDE MDE ∠∠∴=， EF DF ⊥，EM DM ⊥，EF EM ∴=，EG 2EF∴=． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，四边形综合性质，解直角三角形等知识，综合性很强，难度很大.2．（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．【解析】【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2a x==12a--，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，∴-3=4a 4a a+k=a+k -+∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2a x=-=12a，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)； （2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中，∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ，∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5，∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，∴1＜-a-3≤2，∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t ≤2．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．3．（1）21y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，52)；（3）P （52，278 ）或P(1，92)； （4）0＜t≤261200． 【解析】【分析】(1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数12y x m =-+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围．【详解】解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C把A,C 代入抛物线212y x bx c =-++， 得：142b+c=02c=4⎧⨯⎪⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1c=4⎧⎨⎩∴21y=x +x+42﹣． （2）令y=0即21x +x+4=02﹣， 解得1x =2﹣，2x =4 ∴B （4,0）把B （4,0）代入12y x m =-+ 得1042m =-⨯+m=2 122y x =-+， ∴21y=x +x+42122y x ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，52) ∴,m=2，D(﹣1，52)． （3）设P （a ，21a +a+42﹣），则F （a ，1a 22-+）， ∵DN ⊥PH ，∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标∴N(a ，52) FN=52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=21a +a+42﹣－52=213a +a+22﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点，∴①当FN=2PN 时，11a 22+=2（213a +a+22﹣）， 解得：a=52或a=﹣1（舍去）， ∴P （52，278）． ②当2FN=PN 时，2（11a 22+）=（213a +a+22﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去）， ∴P(1,92)， 综上P 点坐标为P （52，278 ）或P(1,92)， (4)由（2）问得D(﹣1，52)，又A (2,0)-， 设AD ：y=kx+b ，5k+b=22k 0b ⎧⎪⎨⎪+=⎩﹣﹣ ， ∴5k=2b=5⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=52x+5， 又GM ⊥AD ， ∴可设GM ： y=25﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，∴QQ '∥AD ，可设QQ '：y=52x+q ，又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入QQ '，得：52×45⎛⎫- ⎪⎝⎭+q=0， q=2， ∴QQ '：y=52x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值， ∴25+221y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪⎨⎪⎩或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ， ∴N(1,92)又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设H 为N,Q 中点， 则H （110，94）， 又∵H 在直线GM 上，∴把H 代入GM y=25﹣x+p ， 得：921=+p 4510⨯﹣， P=229100， ∴y=25﹣x+229100， 令y=0得：0=25﹣x+229100， ∴x=22940， 即QM=22940+45=26140， ∵M 的速度为5，∴t=26140÷5=261200 ， ∴0＜t≤261200．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．4．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．【解析】【分析】（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，先证明OA ∥FC ，则有∠ACE=∠CAO ，由∠ABE=∠ACE ，然后得到∠AOB=∠AOC ，即可得到结论成立；（2）①先证明BE 是直径，则先证明∠ACD=∠EBC ，由∠ABC=∠ACB ，则∠BCD=∠ABG=∠ACE ，则得到∠EGC=∠ECG ，即可得到GE=EC ；②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE 中，由勾股定理得222(2)8(1)r r =++，得到半径，然后得到EC 的长度；作OM ⊥CE 于点M ，则EM=3，即可求出EF 的长度．【详解】解：（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，∴∠ABO=∠BAO ，∠ACO=∠CAO ，∵AF 是切线，∴∠FAO=90°=∠AFC ，∴OA ∥FC ，∴∠CAO=∠ACE=∠ABO ，∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO ，∴∠AOB=∠AOC ，∴AB=AC ；（2）①∵AF ∥BC ，∠AFC=90°，∴∠BCE=90°，∴BE 是直径，∵CD ⊥AB ，∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC ，∵∠DAC=∠BEC ，∴∠ACD=∠EBC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD ，∴∠ABO=∠BCD=∠ACE ，∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE ，∴∠EGC=∠ECG ，∴EG=EC ；②作OM ⊥CE 于点M ，如图：则四边形AOMF 是矩形，∴AO=FM ，∵OG=1，设GE=EC=r+1，在Rt △BCE 中，由勾股定理得222BE BC CE =+，∴222(2)8(1)r r =++，解得：=5r （负值已舍去），∴AO=FM=5，EC=6，∵OM ⊥EC ，OM 是半径，EC 是弦， ∴116322EM EC ==⨯=， ∴532EF FM EM =-=-=．【点睛】本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．5．（1）6c a =-；（2）①2132y x =-；②2． 【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系即可得；（2）①先根据（1）可得抛物线的解析式和顶点D 的坐标，再设11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，从而可得直线AD 、BD 解析式中的一次项系数，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可得12k x x a+=，124x x =-，最后根据圆周角定理可得AD BD ⊥，从而可得1212144x x k a k a x x +⋅=-+，化简可求出a 的值，由此即可得出答案；②先求出点B 、D 的坐标，再根据直线1l 与抛物线只有一个交点可得出2213,2q p x p --==，然后联立直线1l 与2l 求出点N 的坐标，最后利用三角形的面积公式分别求出12,S S ，由此即可得．【详解】（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++>，顶点D 在y 轴上， ∴抛物线的对称轴为y 轴，即0x =，0b ∴=，抛物线与x，∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，(c a∴=， 即6c a =-；（2）①由（1）可得：抛物线的解析式为26y ax a =-，顶点D 的坐标为(0,6)D a -，由题意，设点A 、B 的坐标分别为11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，且21x x >，由点A 、D 的坐标得：直线AD 解析式中的一次项系数为11112064x a x x k x a k a -=-++， 由点B 、D 的坐标得：直线BD 解析式中的一次项系数为22222064x a x x k x a k a -=-++，联立262y ax a y kx a⎧=-⎨=-⎩可得240ax kx a --=， 则1x 与2x 是关于x 的一元二次方程240ax kx a --=的两根， 由根与系数的关系得：1212,4k x x x x a+==-， 以AB 为直径的圆恒过点D ， 90ADB ∴∠=︒，即AD BD ⊥， 则1212144x x k a k a x x +⋅=-+， 整理得：2164a =， 解得12a =或102a =-<（不符题意，舍去）， 故抛物线的解析式为2132y x =-； ②由①可知，222(0,3),(,31)2D x x B --， 则直线2l 的解析式为3y =-， 联立2132y x y px q⎧=-⎪⎨⎪=+⎩可得22260px x q ---=， 1l 与抛物线只有一个公共点，∴方程22260px x q ---=只有一个实数根2x ，∴其根的判别式244(26)0p q ∆=++=，且2222260x px q ---=， 解得2132q p --=， 将2132q p --=代入2222260x px q ---=得：2x p =， 联立3y y px q =-⎧⎨=+⎩，解得33q x p y --⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 即点N 的坐标为3(,3)q N p---， 21322p q p DN p p --∴===，121122S DM x DM p =⋅=⋅，21112224p S DM DN DM DM p =⋅=⋅=⋅， 1212124DM S p M p S D ⋅⋅∴==． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式、二次函数的对称性、圆周角定理等知识点，较难的是题（2）①，利用圆周角定理得出AD BD ⊥，从而利用一次函数的性质建立等式是解题关键．6．（1）5；（2）744-；（3）4，理由见解析【解析】【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C '，连接DE ，与AB 交于点E ，连接CE ．此时EC +ED ＝EC '+ED ＝C 'D 最短，易证DBC '＝90°，C 'B ＝CB ＝2，DB ＝1，所以在Rt △DBC '中，C 'D 2＝12+22＝5，故CD ＝5，即EC +ED 的最小值是5；（2）作⊙A 关于x 轴的对称⊙A ′，连接BA ′分别交⊙A ′和⊙B '于M '、N ，交x 轴于P ，连接PA ，交⊙A 于M ，根据两点之间线段最短得到此时PM +PN 最小，再利用对称确定A ′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A ′B 的长，然后用A ′B 的长减去两个圆的半径即可得到MN 的长，即得到PM +PN 的最小值；（3）如图③，延长AD 、CE ，交于点H ，连接GH ．易知GE ＝12DE ＝1，所以点G 在以H 为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A 关于BC 的对称点A '，连接A 'H ，与BC 交于点F ，与⊙H 交于点G ，此时AF +FG ＝A 'F +FG ＝A 'G 为最短，AB ＝2，AH ＝BC ＝3，A 'B ＝2，A 'A ＝4，所以A 'H ＝2234+=5，因此A 'G ＝A 'H ﹣GH ＝5﹣1＝4，即该装置中的两根连接杆AF 与FG 长度和的最小值为4．【详解】解：（1）如图①，作点C 关于AB 的对称点C '，连接DE ，与AB 交于点E ，连接CE ．∴CE ＝C 'E ，此时EC +ED ＝EC '+ED ＝C 'D 最短，∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°∴∠CBA ＝∠CAB ＝45°，C 'B ＝CB ＝2∴∠C 'BA ＝45°，∴∠DBC '＝90°∵D 是BC 边的中点，∴DB ＝1，在Rt △DBC '中，C 'D 2＝12+22＝5，∴CD ＝5， ∴EC +ED 的最小值是5，故答案为5；（2）如图②，作⊙A 关于x 轴的对称⊙A ′，连接BA ′分别交⊙A ′和⊙B '于M '、N ，交x 轴于P ，连接PA ，交⊙A 于M ．则此时PM +PN ＝PM '+PN ＝M 'N 最小，∵点A 坐标（﹣2，3），∴点A ′坐标（﹣2，﹣3），∵点B （3，4），∴A 'B ＝()()223243+++＝74，∴M 'N ＝A ′B ﹣BN ﹣A ′M '＝74﹣1﹣3＝74﹣4∴PM +PN 的最小值为＝74﹣4；（3）如图③，延长AD 、CE ，交于点H ，连接GH ．∵∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝90°∴∠DHE ＝90°，∵G 是DE 的中点，DE ＝2，∴GE ＝12DE ＝1， ∵联动杆DE 的两端D 、E 允许在AD 、CE 所在直线上滑动，∴点G 在以H 为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A 关于BC 的对称点A '，连接A 'H ，与BC 交于点F ，与⊙H 交于点G ，此时AF +FG ＝A 'F +FG ＝A 'G 为最短，∵AB ＝2，AH ＝BC ＝3，A 'B ＝2，A 'A ＝4，∴A 'H ，∴A 'G ＝A 'H ﹣GH ＝5﹣1＝4，所以该装置中的两根连接杆AF 与FG 长度和的最小值为4．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到勾股定理、轴对称性质求最短值，综合性比较强，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．7．（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【解析】【分析】 （1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =，AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．8．(1)m=()()21200304603040t t t t +≤≤⎧⎪⎨+<≤⎪⎩, (2) t=40时w 最大=13200，(3)a 的最大值是85=2a ． 【解析】【分析】(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上代入解析式即可,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上 代入解析式即可，(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售额最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，总价=销售单价×销售量m 即可列出,w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩与w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩两种总销售w=w 1+w 2，把w 函数配方讨论当030t ≤≤，第一段w 最大与3040t <≤，在第二段，w 最大经比较即可(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，Q≥3600,构造抛物线Q 在Q=3600直线上方有解即可，在-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴=2904-24b a a -=，只要对称轴介于30与40之间即可． 【详解】 (1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上,则11112030180b k b =⎧⎨+=⎩①②, 解得112120k b =⎧⎨=⎩, m=2t+120,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上, 则22224022030180k b k b +=⎧⎨+=⎩③④, 解得22460k b =⎧⎨=⎩, m=4t+60,m=()()21200304603040t t t t ⎧+≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩,(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售总值最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，w 1=()()1-60212021-604602t t t t ⎧⎛⎫++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎩, 整理得w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩, w 2=()()1-302120320460t t t ⎧⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+⎩, 整理得w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩, 总销售w=w 1+w 2=22580108003-22904800t t t t ⎧-++⎪⎨⎪++⎩, 配方得w=()225-24117603145215312.52t t ⎧-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪--+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 当030t ≤≤，第一段w 最大=11760，而3040t <≤，145=2t >40,在第二段，w 随t 的增大而增大，t=40，w 最大=13200，经比较11760<13200，t=40时w 最大=13200，(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)， 后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，则Q-3600=-2t 2+(290-4a)t+1200-60a ，∵-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴为t=2904-24b a a -=只要3040t ≤≤, 290430404a -≤≤, 658522a ≤≤, a 的最大值是85=2a ．【点睛】本题考查分段函数的解析式的求法与利用，两图象结合并利用，求日销售最大利润，抛物线顶点式，分段比较，在最后又利用捐赠构造新函数，求对称轴，利用对称轴解决问题，此题难度较大，综合能力强，必须掌握好函数的各方面的知识．9．（1）3,5m n =-=；（2）30ACE S =；（3）①点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②圆心P 移动的路线长255 【解析】【分析】（1）令2130,4y x x =--=求出点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B （0，-3）代入34y x m =-+，从而可得答案； （2）记AC 与y 轴的交点为H ，利用()1.2ACE A C S BH x x =••-即可求解； （3）①分当点P 落在CA 上时，点P 落在AE 上时，点P 落在CE 上时三种情况讨论即可； ②分E 在D 和B 点两种情况，求出圆心12,P P 点的坐标，则圆心P 移动的路线长=12PP ，即可求解．【详解】解：（1）令2130,4y x x =--= 24120,x x ∴--=()()260,x x ∴+-=122,6,x x ∴=-=∴ 点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程， 解得：()()214435,4n =⨯----= ()4,5C ∴-，把点B （0，-3）代入34y x m =-+， 解得：3m =-，则：直线l ：334y x =--，…① 3,5,m n ∴=-=（2）由（1）知：A （6，0）、B （0，-3）、C （-4，5）、 AC 中点为51,,2⎛⎫ ⎪⎝⎭设AC 为：,y kx b =+6045k b k b +=⎧∴⎨-+=⎩ 解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ AC ∴所在的直线方程为：132y x =-+， 如图，AC 与y 轴交点H 坐标为：（0，3），()1161030.22ACE A C S BH x x ∴=••-=⨯⨯=（3）如下图： ①当点P 落在CA 上时， 圆心P 为AC 的中点51,,2⎛⎫ ⎪⎝⎭其所在的直线与AC 垂直， 1,2AC k =- AC ∴的垂直平分线即圆心P 所在的直线方程为：2,y x a =+ 把51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：52,2a =+ 1,2a ∴= 122y x ∴=+…②， 334122y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩①② 解得：1611,5322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩E 的坐标为1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当点P 落在AE 上时， 设点3,3,4E m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 则点P 的坐标633,282m m +⎛⎫--⎪⎝⎭， 则PA=PC ，2222633633645282282m m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得：64,11m =-故点6415,.1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 当点P 落在CE 上时， 则PC=PA ，同理可得：36,11m = 故点3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当E 在D 点时，作AD 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于1P 点，则156,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1P 的纵坐标为15,4- 代入②式，解得：11715,,84P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 同理当当E 在B 点时， 作AB 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于2P 点，()()6,0,0,3,A B -AB ∴的中点为：33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设AB 为：y ex f =+，603e f f +=⎧∴⎨=-⎩解得：123e f ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴ AB 直线方程为：132y x =-， 设AB 的垂直平分线方程为：12,y x b =-+1323,2b ∴-⨯+=- 192b ∴=，∴ AB 的垂直平分线方程为：92,2y x =-+ 122922y x y x ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩解得：152x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 251,,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 则圆心P 移动的路线长=221217515251 5.8248PP ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255 【点评】 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x 轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目．10．（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）8455t -≤≤-或4855t ≤≤；（3）431b -≤-或143b ≤≤ 【解析】试题分析：（1）由题意可知，在x 轴上找点P 是比较简单的，这样的P 点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；（2）如图1，在x 轴上方作射线AM 交⊙O 于点M ，使tan ∠MAO=12，并在射线AM 是取点N ，使MN=AM ，则由题意可知，线段MN 上的点都是符合条件的B 点，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，连接MC ，结合已知条件求出点M 和点N 的纵坐标即可得到所求B 点的纵坐标t 的取值范围；根据对称性，在x 轴的下方得到线段M′N′，同理可求得满足条件的B 点的纵坐标t 的另一取值范围；（3）如图2，3，由3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，可得点M 的坐标为(?0)3b -，，点N 的坐标为(0)b ，，由此结合∠OMN 的正切函数可求得∠OMN=60°； 以点D （1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D ，则⊙D 和⊙O 相切于点A ，由题意可知，点A 关于⊙O 的“生长点”都在⊙O 到⊙D 之间的平面内，包括两个圆（但点A 除外）. 然后结合题意和∠OMN=60°分b>0和b<0两种情况在图2和图3中求出ON 1和ON 2的长即可得到b 的取值范围了.试题解析：（1）由题意可知，在x 轴上找点P 是比较简单的，这样的P 点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；（2）如图1，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan OAM 2∠=，并在AM 上取点N ，使AM=MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B.作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.∴ ∠OAM=∠HMC.。

杭州绿城育华学校中考数学二次函数和几何综合专题

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杭州绿城育华学校中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．定义：若抛物线的顶点和与x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线． 概念理解：（1）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．试证明：以点A 为顶点，且与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线； 问题探究：（2）已知一条抛物线经过x 轴的两点E 、F （E 在F 的左边），E （1，0）且EF ＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展：（3）将抛物线y 1＝﹣x 2+23x +9向下平移9个单位后得新的抛物线y 2．抛物线y 2的顶点为P ，与x 轴的两个交点分别为M 、N （M 在N 左侧），把△PMN 沿x 轴正半轴无滑动翻滚，当边PN 与x 轴重合时记为第1次翻滚，当边PM 与x 轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标．2．某班“数学兴趣小组”对函数234y x x =-++的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x⋯ 5- 4-3- 2-32- 1- 0 13223 45⋯ y ⋯6- 04 62546 4 6 25464m⋯m = ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y kx b =+经过325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根，则b 的取值范围为 ．3．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数()211(1)x y xx x ⎧-≤-⎪=⎨⎪->-⎩的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．()1如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；()2研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()15,A y -，27,2B y ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，则1y ______2y ，1x ______2x ；(填“>”，“=”或“<”)②当函数值2y =时，求自变量x 的值；③在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．4．在数学拓展课上，九（1）班同学根据学习函数的经验，对新函数y=x 2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（初步尝试）求二次函数y=x 2﹣2x 的顶点坐标及与x 轴的交点坐标；（类比探究）当函数y=x 2﹣2|x|时，自变量x 的取值范围是全体实数，下表为y 与x 的几组对应值． x…﹣3﹣52﹣2 ﹣1 0 1 252 3 …y (3)540 ﹣1 0 ﹣1 0 543 …①根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质．（深入探究）若点M （m ，y 1）在图象上，且y 1≤0，若点N （m+k ，y 2）也在图象上，且满足y 2≥3恒成立，求k 的取值范围．5．如图1，点EF 在直线l 的同一侧，要在直线l 上找一点K ，使KE 与KF 的距离之和最小，我们可以作出点E 关于l 的对称点E′，连接FE′交直线L 于点K ，则点K 即为所求．（1）（实践运用）抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）．如图2．①求该抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PC 的值最小，并求出此时点P 的坐标及PA+PC 的最小值．（2）（知识拓展）在对称轴上找一点Q ，使|QA ﹣QC|的值最大，并求出此时点Q 的坐标．6．已知抛物线2:23G y mx mx =--有最低点为F ．（1）当抛物线经过点E （-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点M 是直线EF 下方抛物线上的一动点，过点M 作平行于y 轴的直线，与直线EF 交于点N ，求线段MN 长度的最大值；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线1G ．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线1G 顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的交点为P ，请结合图象求出点P 的纵坐标的取值范围．7．某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：x… -352--2 -1 0 1 252 3 …y (3)54m-1 0 -1 0 543 …m =（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现：①方程220x x -=有______个实数根；②关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是______．8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(﹣1，0)，D(5，﹣6)，P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点(不与A、D重合)．（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，①当△PAD的面积最大时，P点的坐标是；②当AB平分∠DAP时，求线段PA的长．（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．如图l，在正方形ABCD ABCD中，8AB=AB=8，点E E在AC AC上，且22AE=，⊥于点E，交AB于点F，连接CF，DE．AE=过E点作EF AC22（问题发现）（1）线段DE与CF的数量关系是________，直线DE与CF所夹锐角的度数是___________；（拓展探究）（2）当AEF∆绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（解决问题）（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为2时，请直接写出CF的长．12．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．13．（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．例6：如图18.2.12，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB和CD的中点．图18.2.12求证：四边形EHFG是平行四边形．证明：连结EF交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．又∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF．又∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．又∵∠AOE＝∠COF,≅．∴AOE COF请补全上述问题的证明过程．．．．．．．．．．．．．（探究）如图①，在ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将DEF 绕点O 旋转180°得到DGF △，若四边形DEFG 的面积为8，则ABC 的面积为 ．（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．14．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明． 15．（1）问题发现如图1，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E 是线段AC 上一动点，连接DE ． 填空：①则ADEC的值为______；②∠EAD 的度数为_______． （2）类比探究如图2，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E 是线段AC上一动点，连接DE．请求出ADEC的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．16．（1）问题探究：如图1，△ABC，△ADE均为等边三角形，连接BD、CE，试探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由．（2）类比延伸如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，连接BD，CE，试确定BD与CE的数量关系，并说明理由．（3）拓展迁移如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若将线段DA绕点D按逆时针方向旋转90°得到DA′，连接BA′，求线段BA′的长．17．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的B重含，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．（观察猜想）（1）CM 与 BE 的数量关系是________，CM 与BE 的位置关系是___________；（探究证明）（2）如图2所示，把三角板 BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角45α=︒，且2NBE ABE ∠=∠，求BCBN的值． 18．（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，DEF 的顶点E ，F 分别在AB ，BC 上（可与点A ，B ，C 重合），且满足45EDF ∠=︒．DEF 的高线DG 交线段EF 于点G （可与E ，F 重合），设DGk AD=．（1）求k 的值．（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形ABCD ”改为“长8AB =、宽6AD =的矩形ABCD ”（其他条件不变）．（2）判断k 的值是否改变．若改变，请求出k 的取值范围；若不改变，请证明． （深入探究）在（模型构建）的基础上，设DEF 的面积为S ． （3）①求S 的最小值；②当S 取到最小值时，直接写出DG 与GB 的数量关系．19．点E 是矩形ABCD 边AB 延长线上的一动点，在矩形ABCD 外作Rt △ECF ，其中∠ECF ＝90°，过点F 作FG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G ，连接DF ，交CG 于点H ．（1）发现：如图1，若AB ＝AD ，CE ＝CF ，猜想线段DH 与HF 的数量关系是 ； （2）探究：如图2，若AB ＝nAD ，CF ＝nCE ，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC 过AD 的三等分点，AD ＝3，AB ＝4，则直接写出线段EF 的长．20．（1）（问题发现）如图①，正方形AEFG 的两边分别在正方形ABCD 的边AB 和AD 上，连接CF ． 填空：①线段CF 与DG 的数量关系为______；②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为_______．（2）（拓展探究）如图②，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）（解决问题）如图③，在正方形ADBC 中，AD AC =，点M 为直线BC 上异于B ，C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中心，连接CN ，若4,2AC CM ==，直接写出CN 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．A解析：（1）详见解析；（2）y ＝23(2)3x --y 23(2)3x -3）当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标为（33）．【分析】（1）由Rt △ABC 中AD 是斜边BC 的中线可得AD ＝CD ，由抛物线对称性可得AD ＝AC ，即证得△ACD 是等边三角形．（2）设抛物线顶点为G ，根据正抛物线定义得△EFG 是等边三角形，又易求E 、F 坐标，即能求G 点坐标．由于不确定点G 纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式．（3）根据题意求出抛物线y 2的解析式，并按题意求出P 、M 、N 的坐标，得到等边△PMN ，所以当△PMN 翻滚时，每3次为一个周期，点P 回到x 轴上方，且横坐标每多一个周期即加n 能被3n（2n +12019能被3整除，代入即能求此时点P 坐标．【详解】解：（1）证明：∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点∴AD ＝BD ＝CD ＝12BC∵抛物线以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点∴AD ＝AC∴AD ＝AC ＝CD∴△ACD 是等边三角形∴以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线．（2）∵E （1，0）且EF ＝2，点F 在x 轴上且E 在F 的左边∴F （3，0）∵一条经过x 轴的两点E 、F 的抛物线为正抛物线，设顶点为G∴△EFG 是等边三角形∴x G ＝E F G x x 2,2y +==①当G （2y ＝a （x ﹣2）2把点E （1，0）代入得：a 0∴a∴y x ﹣2）2②当G （2y ＝a （x ﹣2）2把点E （1，0）代入得：a 0∴a∴y x ﹣2）2综上所述，这条抛物线的解析式为y x ﹣2）2y x ﹣2）2（3）∵抛物线y 1＝﹣x 2+9＝﹣（x 2+12∴y1向下平移9个单位后得抛物线y 2＝﹣（x 2+3∴P 3），M （0，0），N （0）∴PM ＝MN ＝PN ＝∴△PMN 是等边三角形∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P1（0），第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻滚得P3（3）即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3+n2n+1∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（3）．【点睛】本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN每3次翻滚看作一个周期，点P对应点坐标的特征，是规律探索的典型题．2．（1）-6；（2）答案见解析；（3）①该函数的图象关于y轴对称；②该函数的图象有最高点；（4）2544b<<．【分析】（1）根据对称可得m=-6；（2）用平滑的曲线连接各点即可画出图形；（3）认真观察图象，总结出2条性质即可；（4）画出两函数图象即可得到结论．【详解】（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m=-6，故答案为：-6；()2如图所示()3①该函数的图象关于y 轴对称②该函数的图象有最高点；（4）由图象可知：关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根时，即y=kx+b 时，与图象有4个交点，所以，由图象可以得出，当2544b <<时，直线与图象有4个不同的交点． 故答案为：2544b <<．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题和一元二次方程的根的情况，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键．3．A解析：（1）见解析；（2）①<，<；②x=3或x=-1；③2；④02a <<【分析】（1）根据函数图像的画法，从左至右依次连接个点，即可解决；（2）①根据A 点与B 点的横坐标，判断两点所在的函数图像，然后根据函数的性质解决即可；根据C 点与D 点的纵坐标，判断两点所在的函数图像，然后结合函数图像解决即可. ②当2y =时，判断其所在的函数图像，然后结合函数解析式计算解决即可.③由图可知13x -≤≤时，所以两点在函数1y x =-的图像上，然后根据函数的对称性解决即可.④结合函数图像，y a =与函数图象有三个不同的交点，可知必须与两函数图像分别相交才可以，据此解决即可； 【详解】解：()1如图所示：()()125,A y -①，27,2B y ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大， 12y y ∴<；15,2C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,6D x ， C 与D 在1y x =-上，观察图象可得12x x <；②当2y =时，12x =-，1(2x ∴=-不符合)； 当2y =时，21x =-，3x ∴=或1x =-；()33,P x y ③，()44,Q x y 在1x =-的右侧，13x ∴-≤≤时，点关于1x =对称，34y y =，342x x ∴+=；④由图象可知，当y a =与分段函数分别相交时才会有三个不同的交点，观察函数图像y ＞0，且y ＜2，故a 的取值范围为02a <<.4．【初步尝试】（0，0），（2，0）；【类比探究】①如图所示：②函数图象的性质：1．图象关于y 轴对称；2．当x 取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；【深入探究】k≤﹣5或k≥5．【详解】【分析】【初步尝试】利用配方法将y=x2﹣2x化为顶点式，可得顶点坐标，令y=0，解方程x2﹣2x=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴的交点坐标；【类比探究】①根据表中数据描点连线，即可得到该函数图象的另一部分；②根据画出的图象，结合二次函数的性质即可写出该函数的两条性质；【深入探究】根据图象可知y1≤0时，﹣2≤m≤2；y2≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，根据不等式的性质即可求出k的取值范围.【详解】【初步尝试】∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；令y=0，则x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2，∴此抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；【类比探究】①如图所示：②函数图象的性质：图象关于y轴对称；当x取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；【深入探究】根据图象可知，当y1≤0时，﹣2≤m≤2，当y2≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，则k≤﹣5或k≥5，故k的取值范围是k≤﹣5或k≥5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键.5．A解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②点P的坐标为（1，﹣2），PA+PC的最小值为2（2）点Q的坐标为（1，﹣6）．【详解】分析：（1）①由点A、B的坐标可将抛物线的解析式变形为交点式，代入点C的坐标即可求出a值，此题得解；②由点A 、B 关于抛物线的对称轴对称可得出连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA +PC 的值最小，根据抛物线的解析式可求出其对称轴为直线x =1，由点B 、C 的坐标利用待定系数法可求出过点B 、C 的直线的解析式，代入x =1求出y 值，由此即可得出点P 的坐标，再利用勾股定理求出线段BC 的长即可；（2）连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴与点Q ，此时|QA ﹣QC |的值最大，且|QA ﹣QC |的最大值为线段AC 的长（三角形两边之差小于第三边），由点A 、C 的坐标利用待定系数法可求出过点A 、C 的直线的解析式，代入x =1求出y 值，由此即可得出点Q 的坐标，此题得解．详解：（1）①∵抛物线与x 轴的交点为A （﹣1，0）、B （3，0），∴抛物线的解析式为y =a （x +1）（x ﹣3）．∵抛物线过点C （0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a ，∴a =1，∴该抛物线的解析式为y =（x +1）（x ﹣3）=x 2﹣2x ﹣3．②∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA +PC 的值最小，如图3所示．∵抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x =1． 利用待定系数法可求出过点B 、C 的直线为y =x ﹣3，当x =1时，y =x ﹣3=1﹣3=﹣2，∴点P 的坐标为（1，﹣2），PA +PC 的最小值为BC =22OB OC +=32．（2）连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴与点Q ，此时|QA ﹣QC |的值最大，且|QA ﹣QC |的最大值为线段AC 的长，如图4所示．利用待定系数法可求出过点A 、C 的直线为y =﹣3x ﹣3，当x =1时，y =﹣3x ﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴点Q 的坐标为（1，﹣6）．点睛：本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质、二次函数解析式的三种形式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）①根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；②由点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，找出当PA +PC 的值最小时点P 的位置；（2）利用三角形的三边关系找出使|QA ﹣QC |的值最大时点Q 的位置．6．E解析：（1）①2243y x x =--；②2；（2）2(1)y x x =-->；（3）43P y -<<-【分析】（1）①把点E （-1，3）代入223y mx mx =--求出m 的值即可；②先求出直线EF 的解析式，设出点M 的坐标，得到MN 的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （2）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律即可得到1G 的顶点式，进而得到1G 的顶点坐标(1,3)m m +--，即1,3x m y m =+=--，消去m ，得到y 与x 的函数关系式，再由0m >即可求得x 的取值范围；（3）求出抛物线怛过点A （2，-3），函数H 的图象恒过点B （2，-4），从图象可知两函数图象的交点P 应在A ，B 之间，即点P 的纵坐标在A ，B 点的纵坐标之间，从而可得结论．【详解】解：（1）①∵抛物线2:23G y mx mx =--经过点E （-1，3）∴233m+m =-∴2m =∴抛物线的解析式为：2243y x x =--②如图，∵点F 为抛物线的最低点，∴22243=2(1)5y x x x =----∴(1,5)F -设直线EF 的解析式为：y kx b =+把E （-1，3），F （1，-5）代入得，35k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得，41k b =-⎧⎨=-⎩∴直线EF 的解析式为：41y x =--设2(,243)M a a a --，则(,41)N a a --∴22(41)243)=(22M a N a a a ------+=∵20-<∴当0a =时，MN 有最大值，最大值为2；（2）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---∴平移后的抛物线21:(1)3G y m x m m =----∴抛物线1G 的顶点坐标为(1,3)m m +--∴1,3x m y m =+=--∴132x y m +=+-=-∴2y x =--∵0,1m m x >=-∴10x ->∴1x >∴y 与x 的函数关系式为：2(1)y x x =-->（3）如图，函数:2(1)H y x x =-->的图象为射线，1x =时，123y =--=-；2x =时，224y =--=-∴函数H 的图象恒过点（2，-4）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---，当1x =时，3y m =--；当2x =时，33y m m =--=-；∴抛物线G 恒过点A （2，-3）由图象可知，若抛物线G 与函数H 的图象有交点P ，则有B P A y y y <<∴点P 纵坐标的取值范围为：43P y -<<-【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．7．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②10a -<<【分析】（1）那x =-2代入解析式，即可求得m 的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）①观察图象找出图象与x 轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x 轴直线的交点个数为4个时对应y 的取值范围即可．【详解】（1）x =-2时，m =（-2）2-22⨯- =0；故答案为：0；（2）如图所示（3）①观察图象，可知22y x x =-与x 轴有三个交点，所以22||=0x x -有三个根，分别是2-、0、2；即答案为3；②∵关于x 的方程22||x x a -=有四个根，∴函数22y x x =-的图象与y =a 有四个交点，由函数图象知：a 的取值范围是10a -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．8．A解析：（1）224233y x x =-++；（2）1或2；（3）存在，点M 的坐标为()2,2或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，由题意易得C 点坐标是（0，2），然后可得直线BC 的解析式，然后可表示点E 坐标，进而可根据铅垂法进行表示△BCD 的面积，最后问题可进行求解；（3）设点M 的坐标为：（x ，y ），点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2），根据题意易得当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，可分①当BC 是平行四边形的边时，②当BC 为对角线时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可求解．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +2中，得：209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为224233y x x =-++； （2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，把x ＝0代入224233y x x =-++中，得：y ＝2， ∴C 点坐标是（0，2），又∵B （3，0），∴直线BC 的解析式为y ＝23-x +2， ∵点D （m ，224233m m -++），∴E （m ，23-m +2），∴DE ＝（224233m m -++）﹣（23-m +2）＝23-m 2+2m ， 由S △BCD ＝2S △AOC 得：12×DE ×OB ＝2×12×OA ×OC ，∴12（23-m 2+2m ）×3＝2×12×1×2， 整理得：m 2﹣3m +2＝0解得：m 1＝1，m 2＝2∵0＜m ＜3∴m 的值为1或2；（3）存在，理由：设点M 的坐标为：（x ，y ），y ＝224233x x -++，则有点N （1，s ），点B （3，0）、C（0，2），①当BC 是平行四边形的边时，当点C 向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B ，同样点M （N ）向右平移3个单位，向下平移2个单位N （M ），故：x +3＝1，y ﹣2＝s 或x ﹣3＝1，y +2＝s ，解得：x ＝﹣2或4，故点M 坐标为：（﹣2，103-）或（4，103-）； ②当BC 为对角线时，由中点公式得：x +1＝3，y +s ＝2，解得：x ＝2，故点M （2，2）；综上，M 的坐标为：（2，2）或（﹣2，103-）或（4，103-）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意得到函数解析式，然后利用平行四边形的存在性问题可进行分析． 9．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）)22PN m =-m ＝2时，PN 的最大值；（3）Q (1，3)或 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解．（2）由PN ＝PQ sin ∠PQN （﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解． （3）分AC ＝AQ 、AC ＝CQ 、CQ ＝AQ 三种情况，当AC ＝AQ 时，构造直角三角形AMQ 利用勾股定理可求坐标，AC ＝CQ 时，先求BQ 再求MB ，即可得到坐标，CQ ＝AQ 时，联立解得不合题意．【详解】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ，即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣13， 则抛物线的表达式为211433y x x =-++，（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQ sin ∠PQN （﹣13m 2+13m +4+m ﹣4（m ﹣2）2，∵﹣6＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN．（3）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝∠OBC＝∠OCB＝45°，将点B（4，0）、C（0，4）的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得044k b b=+⎧⎨=⎩解得14 kb=-⎧⎨=⎩∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4…①，设直线AC的解析式为y=mx+n把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得034m n n=-+⎧⎨=⎩解得434 mn⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的表达式为：y＝43x+4，设直线AC的中点为K（﹣32，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣34，设过点K与直线AC垂直直线的表达式为y＝﹣34x+q把K（﹣32，2）代入得2=﹣34×（﹣32）+q解得q=7 8∴y＝﹣34x+78…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3），②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝2﹣5，则QM＝MB 852-，故点Q 52852-③当CQ＝AQ时，联立①②，43748y xy x=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得，x＝252（舍去），综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q 52852-【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质及等腰三角形的性质．10．A解析：（1）y=﹣x﹣1，y=﹣x2+3x+4；（2）①(2，6)；②PA2；（3）点M的坐标为：14314或(21414或(4，﹣5)或(﹣4，3．【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）①当△PAD的面积最大时，P点到直线AD的距离就最大．即当直线y=-x+m与抛物线只有一个交点时满足条件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案；②过点P作PE⊥x轴于点E，证明△PEA是等腰直角三角形，得出PE=EA，设P点坐标为（m，n），由题意得，m+1=-m2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性质可得出答案；（3）分NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．【详解】（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k n =-⎧⎨=-⎩， 故直线l 的表达式为：y =﹣x ﹣1，将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y =﹣x 2+3x +4；（2）①当△PAD 的面积最大时，P 点到直线AD 的距离就最大，所以P 点在与直线AD 平行并且与抛物线相切的直线上，即P 点是这两个图像的唯一交点．设P 点坐标为(x ，y )，依题意有：234y x m y x x =-+⎧⎨=-++⎩， ∴x 2-4x +m -4=0∵直线y =-x +m 与抛物线相切，即只有一个交点，∴42+4(m -4)=0∴m =8，∴x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2∴y =6由此得P 点坐标为(2，6)②过P 作PE ⊥x 轴于E 点，由直线AC 的解析式y =﹣x ﹣1，可得A (-1，0)C (0，-1)，∴OA =OC∵∠AOC =90°∴∠DAB =45°，∴当AB 平分∠DAP 时，∠BAP =∠DAB ，则∠BAP =45°，∴△PEA 是等腰直角三角形，∴PE =EA设P 点坐标为(m ，n )，依题意有m +1=﹣m 2+3m +4，∴m 1=3，m 2=-1(舍去)，∴PE =EA =4，∴PA 2（3）NC =5，①当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 坐标为(x ，﹣x 2+3x +4)、则点M (x ，﹣x ﹣1)，由题意得：|y M ﹣y P |=5，即：|﹣x 2+3x +4+x +1|=5，解得：x =20或4(舍去0)，则点M 坐标为3或(2或(4，﹣5)；②当NC 是平行四边形的对角线时，则NC 的中点坐标为(﹣12，2)，设点M 坐标为(m ，﹣m 2+3m +4)、则点M (n ，﹣n ﹣1)，N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点， 即：122m n +-=，2=23412m m n -++--， 解得：m =0或﹣4(舍去0)，故点M (﹣4，3)；故点M 的坐标为：3或(2或(4，﹣5)或(﹣4，3)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，坐标与图形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键．二、中考几何压轴题11．（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或．【分析】（1）延长DE 交CF 的延长线于点N ，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的解析：（1）CF ，45︒；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）CF 的长为或【分析】（1）延长DE 交CF 的延长线于点N ，由正方形的性质可得Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，因此AF AC AE AD==，易证~FAC EAD ∆∆，由相似三角形的性质即可得到CF ，由三角形的内角和即可得到45CNE ∠=︒；（2）延长DE 交CF 于点G ，由旋转的性质可知Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，因此AF AC AE AD==∽∆∆FAC EAD ，同（1）易证结论仍成立；（3）由点E 到直线AD 的距离为2，AE =F 在直线AD 或AB 上，分两种情况讨论：（i ）当点F 在DA 的延长线或BA 延长线上时，由勾股定理可得CF 的长，（ii ）当点F 在AD 或AB 上时，过点E 作AEF ∆的高，由勾股定理可得CF 的长．【详解】解：（1）如图①，延长DE 交CF 的延长线于点N ，。

浙江省杭州市西湖区九年级数学上学期10月月考试卷(含解析)浙教版

浙江省杭州市西湖区九年级数学上学期10月月考试卷(含解析)浙教版

浙江省杭州市西湖区九年级数学上学期10月月考试卷（含解析）浙教版一.选择题1．二次函数y=x2+2x﹣5取最小值时，自变量x的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣12．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．33．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3） B．（1，0） C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）4．函数y=（m﹣2）+m是二次函数，则它的图象（）A．开口向上，对称轴为y轴B．开口向下，顶点x在轴上方C．开口向上，与x轴无交点D．开口向下，与x轴无交点5．下列事件是必然事件的是（）A．任意买张票，座位号是偶数 B．三角形内角和180度C．明天是晴天D．打开电视正在放广告6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（）A．B．C．D．7．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．B．C．D．9．把抛物线y=2x2﹣4x﹣5绕顶点旋转180°，得到的新抛物线的解析式是（）A．y=﹣2x2﹣4x﹣5 B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x﹣9 D．以上都不对10．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y 关于x的函数图象是（）A．B．C． D．二．填空题11．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为．12．从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为．13．王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线y=2x2+3x+3相吻合，那么他能跳过的最大高度为m．14．有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x=2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．15．一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有个．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y 轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= ．三．解答题（共66分）17．已知二次函数y=﹣（x﹣4）2+4（1）写出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）x取何值时，①y=0，②y＞0，③y＜0．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，且图象过点（1，2），与一次函数y=x+m的图象交于（0，﹣1）．（1）求两个函数解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点．19．请你依据右面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：（1）用树状图表示出所有可能的寻宝情况；（2）求在寻宝游戏中胜出的概率．20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x（m）．（1）若花园的面积为187m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．21．甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：①每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；②两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负．依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时，（1）用树状图（或表格）表示所有情况；（2）求甲伸出小拇指取胜的概率；（3）求乙取胜的概率．22．某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量为y1（吨）与时间t （t为整数，单位：天）的关系如图1所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y2（吨）与时间t，t为整数，单位：天）的关系如图2所示．（1）求y1与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围，并写出y2与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）设国内、国外市场的日销售总量为y吨，直接写出y与时间t的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨？（3）判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．23．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．2015-2016学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一.选择题1．二次函数y=x2+2x﹣5取最小值时，自变量x的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】二次函数的最值．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．【解答】解：因为二次函数y=x2+2x﹣5可化为y=（x+1）2﹣6，故当函数取最小值时，自变量x的值是﹣1．故选D．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．2．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把（1，1）代入解析式可得到a+b的值，然后计算a+b+1的值．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴a+b+1=3．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3） B．（1，0） C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】无论m为任何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点，即该定点坐标与m的值无关．【解答】解：原式可化为y=x2﹣（2﹣m）x+m=x2﹣2x+m（1+x），二次函数的图象总过该定点，即该定点坐标与m的值无关，于是1+x=0，解得x=﹣1，此时y的值为y=1+2=3，图象总过的定点是（﹣1，3）．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是明确二次函数的图象总过该定点，即该定点坐标与m的值无关．4．函数y=（m﹣2）+m是二次函数，则它的图象（）A．开口向上，对称轴为y轴B．开口向下，顶点x在轴上方C．开口向上，与x轴无交点D．开口向下，与x轴无交点【考点】二次函数的性质；二次函数的定义．【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求出m的值，再根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：由题意得，m2﹣2=2且m﹣2≠0，解得m1=2，m2=﹣2，且m≠2，所以，m=﹣2，则y=﹣4x2﹣2，∵﹣4＜0，∴开口向下，∵△=0﹣4×（﹣4）×（﹣2）=﹣32＜0，∴抛物线与x轴无交点．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及定义．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＜0时，开口向下；△＜0时，与x轴无交点．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．注意二次项系数不为0．5．下列事件是必然事件的是（）A．任意买张票，座位号是偶数 B．三角形内角和180度C．明天是晴天D．打开电视正在放广告【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、任意买张票，座位号是偶数是随机事件，故A错误；B、三角形内角和180度是必然事件，故B正确；C、明天是晴天是随机事件，故C错误；D、打开电视正在放广告是随机事件，故D错误；故选：B．【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【专题】应用题．【分析】根据概率公式知，骰子共有六个面，其中向上一面的数字小于3的面有1，2，故掷该骰子一次，则向上一面的数字是1的概率是，向上一面的数字是2的概率是，从而得出答案．【解答】解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，其中向上一面的数字小于3的面有1，2，∴6个结果中有2个结果小于3，故概率为=，∴向上一面的数字小于3的概率是，故选C．【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．7．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；图表型．【分析】从表中知道当x=﹣2时，y=0，当x=0时，y=6，由此可以得到抛物线与x轴的一个交点坐标和抛物线与y轴的交点坐标，从表中还知道当x=﹣1和x=2时，y=4，由此可以得到抛物线的对称轴方程，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．【解答】解：从表中知道：当x=﹣2时，y=0，当x=0时，y=6，∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），从表中还知道：当x=﹣1和x=2时，y=4，∴抛物线的对称轴方程为x=×（﹣1+2）=0.5，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．所以①②④正确．故选C．【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性．8．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【专题】网格型．【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【解答】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．P=，故选：D．【点评】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．9．把抛物线y=2x2﹣4x﹣5绕顶点旋转180°，得到的新抛物线的解析式是（）A．y=﹣2x2﹣4x﹣5 B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x﹣9 D．以上都不对【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何动点问题．【分析】易得抛物线的顶点，由于是绕顶点旋转，所以新抛物线的顶点不变，得到原抛物线上的一点绕顶点旋转180°后得到的坐标，代入用顶点表示的新抛物线求解析式即可．【解答】解：法一：y=2x2﹣4x﹣5=2（x﹣1）2﹣7，∴原抛物线的顶点为（1，﹣7），点（0，﹣5）在原抛物线上．由图中可得（0，﹣5）绕顶点（1，﹣7）旋转180°后得到点的坐标为（2，﹣9）．设新抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣7，把（2，﹣9）代入新抛物线可得a=﹣2，∴新抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣1）2﹣7=﹣2x2+4x﹣9，故选C．法二：y=2x2﹣4x﹣5=2（x﹣1）2﹣7，∴原抛物线的顶点为（1，﹣7）．∵抛物线绕顶点旋转180°，∴可得旋转后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣7），且 a=﹣2．∴旋转后的抛物线的解析式为 y=﹣2（x﹣1）2﹣7=﹣2x2+4x﹣9．【点评】考查二次函数的几何变换问题；得到新函数的顶点及一点是解决本题的关键．10．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y 关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．【解答】解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y=×1×=，②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y=（2﹣x）×=x2﹣x+，③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选：B．【点评】本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．二．填空题11．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为y=﹣4（x﹣2）2+3 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及所给的坐标可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）；可设新抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，把（3，﹣1）代入得a=﹣4，∴y=﹣4（x﹣2）2+3．【点评】题中由抛物线的顶点求解析式一般采用顶点式；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．12．从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为．【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形有种，然后根据概率公式求解．【解答】解：从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（3 5 6）、（3 5 9）、（3 6 9）、（5 6 9）四中可能，其中能组成三角形有（3 5 6）、（5 6 9），所以能组成三角形的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求解．也考查了三角形三边的关系．13．王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线y=2x2+3x+3相吻合，那么他能跳过的最大高度为m．【考点】二次函数的应用．【分析】根据二次函数解析式及顶点坐标公式，求顶点纵坐标，即函数最大值即可．【解答】解：根据顶点坐标公式，抛物线y=2x2+3x+3的顶点纵坐标是y==，即他能跳过的最大高度为： m，故答案为：．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，熟记二次函数解析式的顶点坐标公式是解题的关键．14．有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x=2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式y=±（x+1）（x﹣5）答案不唯一．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题；开放型．【分析】对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是﹣4；与x轴两个交点的横坐标都是整数，根据二次函数与一元二次方程的关系，可知二次函数值y=0时，所对应的一元二次方程有两个整数解；三角形的面积=×底×高．据此作答．【解答】解：对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是﹣4，因而可设函数解析式是y=ax2﹣4ax+ac，与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，y=ax2﹣4ax+ac=a（x2﹣4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，即方程x2﹣4x+c=0有两个整数解，设是﹣1和+5，则c=﹣5，则y=ax2﹣4ax+ac=a（x2﹣4x﹣5），∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴a=±．则函数是：y=±（x+1）（x﹣5）．（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数解析式的求解方法，特别需要注意的是已知对称轴就是已知二次项系数与一次项系数的关系，以及已知方程的解求方程的问题．15．一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有15 个．【考点】利用频率估计概率．【分析】先计算出黄球频率，频率的值接近于概率，再计算黄球的概率．【解答】解：黄球的概率近似为=，设袋中有x个黄球，则=，解得x=15．故答案为：15．【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．要理解用频率估计概率的思想．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y 轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= 5﹣．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∴BC=﹣．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=（）2=5a，∴点D的坐标为（，5a）．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为5a，∴=5a，∴x=5，∴点E的坐标为（5，5a），∴DE=5﹣，∴==5﹣．故答案是：5﹣．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．三．解答题（共66分）17．已知二次函数y=﹣（x﹣4）2+4（1）写出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）x取何值时，①y=0，②y＞0，③y＜0．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）二次函数y=﹣（x﹣4）2+4为抛物线的顶点式，根据顶点式可确定开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）求出图象与x轴的交点坐标，可确定①y=0，②y＞0，③y＜0时，x的取值．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣（x﹣4）2+4中，a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，4）；（2）当y=0时，﹣（x﹣4）2+4=0，解得x=2或x=6．①x=2或x=6时，y=0；②2＜x＜6时，y＞0；③x＜2或x＞6时，y＜0．【点评】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a （x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x=h．同时考查了用抛物线与x轴的交点坐标，判断函数值的符号的方法．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，且图象过点（1，2），与一次函数y=x+m的图象交于（0，﹣1）．（1）求两个函数解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）先将交点坐标（0，﹣1），（1，2）代入二次函数的解析式中，再联立抛物线的对称轴方程即可求出二次函数的解析式；将交点坐标（0，﹣1）代入一次函数的解析式中，即可求得m的值，也就求出了一次函数的解析式；（2）两个函数联立方程求得另一个交点坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，且图象过点（1，2），（0，﹣1），∴，解得：∴y=﹣x2+4x﹣1，∵一次函数y=x+m的图象交于（0，﹣1）．∴m=﹣1，∴y=x﹣1．（2）由题意得，﹣x2+4x﹣1=x﹣1解得：x=0，或x=3，两个函数图象的另一个交点（3，2）．【点评】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．19．请你依据右面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：（1）用树状图表示出所有可能的寻宝情况；（2）求在寻宝游戏中胜出的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】阅读型．【分析】本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：（1）树状图如下：房间柜子结果（6分）（2）由（1）中的树状图可知：P（胜出）=（8分）【点评】用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x（m）．（1）若花园的面积为187m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据题意得出长×宽=187，进而得出答案；（2）由题意可得出：S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．【解答】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，∴x（28﹣x）=187，解得：x1=11，x2=17，答：x的值为11m或17m；（2）∵AB=xm，∴BC=28﹣x，∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，∵28﹣x≥16，x≥6∴6≤x≤12，∴当x=12时，S取到最大值为：S=﹣（12﹣14）2+196=192，答：花园面积S的最大值为192平方米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．21．甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：①每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；②两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负．依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时，（1）用树状图（或表格）表示所有情况；（2）求甲伸出小拇指取胜的概率；（3）求乙取胜的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的表格，可求得甲伸出小拇指取胜的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案；（3）由（1）可求得乙取胜的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）列表得：甲乙大拇指食指中指无名指小拇指大拇指不分胜负甲胜不分胜负不分胜负乙胜食指乙胜不分胜负甲胜不分胜负不分胜负中指不分胜负乙胜不分胜负甲胜不分胜负无名指不分胜负不分胜负乙胜不分胜负甲胜小拇指甲胜不分胜负不分胜负乙胜不分胜负则共有25种等可能的结果；（2）∵甲伸出小拇指对应5种等可能情况，取胜的只有1种情况，∴甲伸出小拇指取胜的概率P=；（3）∵乙取胜的有5种情况，∴乙取胜的概率P=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量为y1（吨）与时间t （t为整数，单位：天）的关系如图1所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y2（吨）与时间t，t为整数，单位：天）的关系如图2所示．（1）求y1与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围，并写出y2与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）设国内、国外市场的日销售总量为y吨，直接写出y与时间t的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨？（3）判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据图象给出的数据，利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据题意得到y与时间t的函数关系式，把y=75代入关系式，解关于t的一元二次方程得到答案；（3）根据二次函数的性质分别求出函数的最大值，比较得到答案．【解答】解：（1）设函数关系式y1=at2+bt，由题意得，，解得，∴y1=﹣t2+6t，（0≤t≤30），设y2=kt+b，当0≤t＜20时，y2=2t，当20≤t≤30时，，解得，∴y2=，；（2）由y=y1+y2可知，y=，由图象可知，销售20天，y=80，∴y=75时，t＜20，∴﹣t2+8t=75，解得，t1=15，t2=25（舍去）∴销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨；（3）当0≤t＜20时，y=﹣t2+8t=﹣（t﹣20）2+80，∵t为整数，∴当t=19时，y最大值为79.8吨，当20≤t≤30时，y=﹣t2+2t+120=﹣（t﹣5）2+125，∵y随t增大而减小，∴当t=20时，y最大值为80吨．上市第20天国内、国外市场的日销售总量y最大为80吨．【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的性质是解题的关键，注意分段函数的书写和应用．23．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】方法一：（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=﹣=1，得到b=﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0=4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a=﹣，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；。

绿城育华九年级数学试题卷

绿城育华九年级数学试题卷

绿城育华九年级数学试题卷考生须知:1、本试卷分试题卷和答题卷两部分. 满分120分, 考试时间100分钟.2、请在答题卷密封线内写明校名, 某某，班级.3、所有答案必须做在答题卷规定区域之内, 务必注意试题序号和答题序号相对应.4、考试结束后, 只上交答题卷.一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分.下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.) 1．函数y=自变量x 的取值X 围是…………………( ) A ．x ≠0 B ．x =0 C ．x ＜0 D ．x ＞02．将一元二次方程2690x x --=化成2()x a b +=的形式，则b 的值为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．453．国家质检总局出台了国内销售的纤维制品甲醛含量标准，该标准规定：针织内衣、床上用品等直接接触皮肤的制品，甲醛含量应在百万分之七十五以下，百万分之七十五用科学记数法表示应写成………( ) A ．75×10-7 B ．75×10-6 C ．7.5×10-6D ．7.5×10-5 4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2的半径为7cm ，若⊙O 1和⊙O 2的公共点不超过1 个，则两圆的圆心距不可能为………………………( ) A ．0cm B ．4cm C ．8cm D ．12cm5．一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若任意摸出一个绿球的概率是14，则任意摸出一个蓝球的概率是……………( ) A ．14 B ． 920 C ．1120 D ．3106．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，AB=AE ， AC=AD. 那么在下列四个结论中：(1) AC ⊥BD ；(2)BC=DE ；(3)∠DBC=12 ∠DAB ；(4) △ABE 是正三角形，正确的是……………( ) A ．(1)和(2) B ．(2)和(3) C ．(3)和(4) D ．(1)和(4)7．下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是……………( )8．抛物线222y ax ax a =+++的一部分如图所示，那么该抛 物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是……………( ) A ．（12，0）B ．（1， 0）C ．（2， 0）D ．（3， 0）9．如图是一X 简易活动餐桌,现测得OA=OB=30cm ， OC=OD=50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么 两条桌腿的X 角∠COD 的大小应为……………( )A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°10．某年级有人数相同8个班，一次数学测验前三个班的平均分为82分，某班平均79分，但已在年级平均分以上，下列说法可能正确的是（ ） A ．后五个班平均B ．前三个班中平均分最高的为86分，最低的为72分C ．若年级平均分为78分，则后五个班每班的平均分都是整数D ．若已知没有一个班平均分在60分以下，则后五个班中的四个班平均85分二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)要注意认真看清题目的条件和要填写的内容, 尽量完整地填写答案.）11. 如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，当∠BAC ＝480，则∠EBC ＝.12. 如图，将4根木条钉成的矩形木框变形成平行四边形ABCD 的形状，并使面积为原矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的余弦值等于.13. 已知A 、B 、C 、D 点的坐标如图所示, E 是图中两条虚线的交点, 若△ABC 和△ADE 相似, 则E 点的坐标是___________________.黄 红 黄 红绿绿黄红 绿红绿 黄 绿红 红绿 黄黄 绿红黄 红 黄 绿A ．B ．C ．D ．yxQ Po14.函数22y x=-不经过象限. 15．知点A （-2，4），B （2，4），C （-1，2），D （1，2），E （-3，1），F （3，1）是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y 轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出组对称三角形. 16.如图，∆ADE 为正三角形，四边形ABCD 为正方形，AD=22， 则过B 、C 、E 三点的圆的直径为.三. 全面答一答 (本题有8个小题, 共66分.解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤. 如果觉得有的题目有点困难, 那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.） 17.(本小题满分6分)观察一列数3，-9，27，-81，243，…，发现从第二个数开始，每一数与前一数之比是一个常数，如果用n a （n 为正整数）表示这列数的第n 个数，那么这个常数= ，18a =，n a =.18. (本小题满分6分)如图，点Q 在x 轴的正半轴上，点P 在第一象限，且∠POQ=60°. 将△OPQ 绕点O 顺时针旋转30°，请在所给的图中画出旋转后的 三角形.（要求仅用直尺和圆规作图, 保留作图痕迹，不写出作法）19. (本小题满分6分)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。

杭州绿城育华学校初三数学月考试卷

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杭州绿城育华学校初三数学月考试卷班级 姓名一. 选择题 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分) 下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1．计算)2(2---结果等于A. 4B. －4C. 0D. －2 2．一次函数5+-=x y 图象与反比例函数xy 6=图象的交点情况是A. 只有一个交点，坐标是（2，3）B. 只有一个交点，坐标是（－1，6）C. 有两个交点，坐标是（2，3）、（3，2）D. 没有交点3．期中考试后，小明的讲义夹里放了8K 大小的试卷纸共12页，其中语文4页、数学2页、英语6页，他随机从讲义夹中抽出1页，是数学卷的概率是 A.21 B.31 C.61 D.1214．如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB =38, ∠B =30°, 则DE 的长是A. 6B. 4C. 34D. 235．若点A （m －3，1－3m ）在第三象限，则m 的取值范围是A ．31>m B ．3<m C ．3>m D ．331<<m6． 如图，⊙O 的半径OA =5，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C 两点，则BC 等于A. 35B. 25C. 325 D. 87．如图，是某人骑自行车的行驶路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数图象，下列说法错误的是A. 从11时到14时共行驶了30千米 B ．从12时到13时匀速前进 C. 从12时到13时原地休息D ．从13时到14时的行驶速度与11时到12时的行驶速度相同方程x 2－2rx+(R －d)2=0有相等的实根，则两圆的位置关系为（ ） （A ）内切 （B ）外切 （C ）相交 （D ）内切或外切9．如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，∠OBC ＝45°，则下列各式成立的是（ ）01=--c b （B ）01=-+c b （C ）01=+-c b （D ）01=++c b10．日常生活中我们使用的数是十进制数．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为1101)2(，1101)2(通过式子120212123+⨯+⨯+⨯可以转换为十进制数13，仿照上面的转换方法，将二进制数11101)2(转换为十进制数是( )（A ）29 （B ）25 （C ）4 （D ）33 二. 填空题 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分) 11．方程xx 538=-的解是 ▲ .12．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的点D ′处，那么cos ∠BAD ′= ▲ .13．下表是某居民小区随机抽取的20户家庭五月份用水情况：户 数 2 3 7 5 2 1 月用水量（米3）4 5 6 8911问：（1）这20户家庭五月份每户平均用水量是 ▲ 米3；（2）如果该小区有1000户家庭，根据(1)估算该小区居民五月共用水约 ▲ 米3.14．如图， 是用小立方体搭成的一组图案，观察图形并探索：（1）第5个图案中共有 ▲ 块小立方体；（2）第n 个图案中共有▲ 块小立方体.15．某种商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最低可打 ▲ 折(进价利润利润率=×100%).16．如图：四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是弧AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，则=DEPE ▲三. 解答题 (本题有8个小题, 共66分) 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． (第9题)如图点P 为⊙O 的直径BC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线P A ，切点为A ，连结BA 、OA 、CA ，过点A 作AD ⊥BC 于D ，请你找出图中所有的直角（不再添加辅助线），用直角符号“┓”在图中标注出来，然后写出这些角.18．（本小题满分6分） 计算132|31|64)21()60tan 1(2322---++-+︒-+--19．（本小题满分6分）如图是某班学生乘车、步行、骑车到校方式的扇形统计图和频数分布直方图. （1）求该班有多少名学生？（2）补上频数分布直方图中括号内空缺的数字；（3）在扇形统计图中，求骑车人数所占的圆心角度数;（4）若全年级有500人，估计该年级步行人数.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是AB上的点，且DE=CE，DE⊥CE，（1）证明：AB=AD＋BC.（2）若已知AB=a，求梯形ABCD的面积.21．（本小题满分8分）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b厘米、与直线l的距离c厘米，按以下程序起跳：第1次, 从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次, 从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次, 从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次, 从P4点以l为对称轴跳至P1点；（1）画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母（画图工具不限）.（2）棋子按上述程序跳跃2007次后停下，假设a=8，b=6，c=3，计算这时它与A的距离是多少？22．（本小题满分8分） 直线434+-=x y 与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，M 是线段OB 上的一点（O 是原点），若△ABM 沿AM 折叠（AM 为折痕），点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，（1）根据题意画出坐标系中直线434+-=x y 图象、标出点A 、B 的准确位置，及B ′、M 的大致位置；（2）求B ′的坐标；（3）求△A M B ′面积.23．（本小题满分12分）某公司有2位股东，20名工人，从2003年到2005年，公司每年股东的总利润和每年工人的工资总额如图①所示，（1）根据图①填写图②中的空格；（2）2003年股东的平均利润是工人的平均工资的几倍？（3）假设在以后若干年中，每年工人的工资和股东的利润仍按图①中的增长速度增长，那么到哪一年，股东的平均利润是工人的平均工资的8倍？24、已知：如图，在直角坐标系中，E 为第二象限内一点，⊙E 与x 轴自左至右交于A 、B 两点，直线PC 切⊙E 于C ，交x 轴于P ，D 为线段PC 上一点，ED ⊥BC ，已知PB=2，△PBD 的周长为322+。

浙江省杭州市九年级上学期数学10月月考试卷

浙江省杭州市九年级上学期数学10月月考试卷

浙江省杭州市九年级上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）如图，在△ABC中，AB=AC ， D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A . 35°B . 45°C . 55°D . 60°3. （2分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=25°，DE垂直平分AC，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数为（）A . 50°B . 25°C . 52.5°D . 无法确定4. （2分）有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等．其中能判断两直角三角形全等的是（）C . ③D . ①②5. （2分）(2017·路北模拟) 如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（）A . 10B . 11C . 12D . 136. （2分）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）A . 40°B . 100°C . 70°D . 40°或70°7. （2分）如图在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．以下说法正确的是（）①PO2=PA•PB；②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；③当k=﹣时，BP2=BO•BA；④三角形PAB面积的最小值为．A . ③④B . ①②8. （2分） (2017七下·苏州期中) 若a<b，则下列不等式变形错误的是（）A . a＋1 < b＋1B . <C . 3a－4＞3b－4D . 4－3a＞4－3b9. （2分）已知不等式组的解集中共有5个整数，则a的取值范围为（）A . 7＜a≤8B . 6＜a≤7C . 7≤a＜8D . 7≤a≤8二、填空题 (共11题；共11分)10. （1分）不等式的正整数解为________.11. （1分）给出下列表达式：①a（b+c）=ab+ac；②-2＜0；③x≠5；④2a＞b+1；⑤x2-2xy+y2；⑥2x-3＞6，其中不等式的个数是________12. （1分）若a，b均为整数，a+b=﹣2，且a≥2b，则有最大值________13. （1分）若是关于的一元一次不等式，则的取值是________。

浙江省杭州市西湖区文华中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

浙江省杭州市西湖区文华中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

浙江省杭州市西湖区文华中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．0abc <10．在平面直角坐标系中，已知点，函数()(1y ax bx =+A ．1M N =-或M 1M N =+二、填空题11．若23a b =，则a b b -12．将抛物线5(y x =+的表达式为13．已知点(2,5)A ，B 为直线．14．二次函数(2)y x =-15．如图，在边长为1三、未知，要求在网格中作出17．如图，在由25个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC相似（不包含全等）的图形，且相似比不同．两个与ABC四、填空题18．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板置，设法使斜边DF保持水平，并且边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边AB=．五、解答题19．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？20．如图，平行四边形ABCD ，DE 交BC 于F ，交AB 的延长线于E ，且∠EDB ＝∠C ．（1）求证：△ADE ∽△DBE ；（2）若DC ＝7cm ，BE ＝9cm ，求DE 的长．21．二次函数21y ax bx =+-（a ，b 为常数，0a ≠）的图象经过点()27A ，．(1)若该函数图象经过点()12B --，，①求函数的表达式．②若点()15,y -，()2,m y 是抛物线上不同的两个点，且1228y y +=，求m 的值．(2)求22a b +的最小值．22．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 落在边CD 上的点P 处（点P 与,C D 不重合），折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G ．(1)观察操作结果，在图1中找到一个与DEP 相似的三角形，并证明你的结论；(2)当点P 在边CD 的什么位置时，DEP 与CPG △面积的比是9:25？请写出求解过程；(3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC 折叠，使顶点A 落在边BC 上的点P 处（点P 与,B C 不重合），折痕为EF ，当点P 在边BC 的什么位置时，BEP △与 CPF 面积的比是9:25？请写出求解过程．23．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 是CD 边上的一个动点（点E 不与点C 重合），延长DC 到点F ，使EC =2CF ，且AF 与BE 交于点G .(1)当EC =4时，求线段BG 的长:(2)设CF =x ，△GEF 的面积为y ，求y 与x 的关系式，并求出y 的最大值:(3)连接DG ，求线段DG 的最小值.。

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区学军中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区学军中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区学军中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在下列方程中，是一元二次方程的是( )A. 3x2=(x−2)(3x+1)B. 1x2+x+3=1C. x(x2−1)=0D. (x−2)(x+2)+4=02.下列事件中是必然事件的是( )A. 某射击运动员射击一次，命中靶心B. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上C. 三角形内角和是360°D. 当x是实数时，x2≥03.二次函数y=4(x−3)2+7的顶点坐标是( )A. (−3,7)B. (3,7)C. (−3,−7)D. (3,−7)4.下列条件中，能确定一个圆的是( )A. 以点O为圆心B. 以10cm长为半径C. 以点A为圆心，4cm长为半径D. 经过已知点M5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−2x−1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( )A. y=(x+1)2+1B. y=(x−3)2+1C. y=(x−3)2−5D. y=(x+1)2+26.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为( )A. 34B. 12C. 13D. 147.如图，将含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=23，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为( )A. (3,6)B. (3,−6)C. (3,33)D. (3,−33)8.已知二次函数y=3(x−1)2+k的图象上有三点A(2,y1)，B(2,y2)，C(−5,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y3>y1>y2D. y3>y2>y19.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为( )元．A. 50B. 90C. 80D. 7010.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)，且对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②16a+4b+c=0；③若m>n>0，则x=1+m时的函数值大于x=1−n时的函数值；④点(−c,0)一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是( )2aA. ①②B. ②③C. ②④D. ③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

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杭州绿城育华学校2017学年初三年级第二次月考数学试题卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．对于二次函数2(4)3y x =-+的图象，下列说法正确的是（）．A ．开口向下B ．与x 轴有两个交点C ．对称轴：直线4x =-D ．顶点坐标(4,3)【答案】D【解析】2()y a x h k =-+，顶点坐标(,)h k ．2．已知线段3a =，27b =，则a ，b 的比例中项线段长为（）．A ．9B ．9或9-C ．9-D ．以上答案都不对【答案】A【解析】::a c c b =，∴232781c ab ==⨯=，9c =±，∵c 是线段长度，∴9c =．3．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的值可以是下列选项中的（）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】∵3DA =，5DB =，4DC =，点A 一定在圆内，点D 定在圆外，35r <<，∴4r =．4．如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 、在y 轴上，Rt ABC △经过变换得到Rt ODE △．若点C 的坐标为(0,2)，4AC =，则这种变换可以是（）．A ．ABC △绕点C 逆时针旋转90︒，再向下平移2个单位B ．ABC △绕点C 顺时针旋转90︒，再向下平移2个单位D ABCC ．ABC △绕点C 顺时针旋转90︒，再向下平移6个单位D ．ABC △绕点C 逆时针旋转90︒，再向下平移6个单位【答案】C【解析】由图可知：BC 旋转90︒后可得ED ，C 点旋转后对应的点为E 点，4OE AC ==，2OC =， ∴6CE =即C 点向下平移6个单位．5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴1x =-，令|42||||2||2|M a b c a b c a b a b =-++++-++-，则（）．A ．0M >B ．0M <C ．0M =D ．M 的符号不能确定【答案】B 【解析】由图可知：0a <，12b a=--， ∴2b a =，|42||44|a b c a a c c -+=-+=， 1x =时，0y a b c =++<，∴||a b c a b c ++=---，|2||22||4|4a b a a a a +=+==-，|2||22|0a b a a -=-=，∴40332M c a b c a a b a a a =---++=-=-=，0M <．6．如图，抛物线21251233y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积取得最大值时，点P 的坐标是（）． A ．(4,3) B ．355,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．354,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(5,3)【答案】B【解析】连接PC ，PO ，PA ，设2125,1233P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，50,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令0y =，212501233x x -++=，12x =-，210x =， ∴(10,0)A ，(2,0)B -． PAC PCO POA APC S S S S =+-△△△△，25125(5)1212m =--+， ∴5x =时，PAC S △最大为12512， ∴355,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．7．已知二次函数2()1y x h =-+（h 为常数），在自变量x 的值满足13x ≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（）．A ．1或5-B ．1-或5C ．1或3-D ．1或3【答案】B【解析】①13h x <≤≤，当1x =时，min 5y =， 2(1)15h -+=，1h =-或3h =（舍去）．②13x h <≤≤，当3x =时，min 5y =，2(3)15h -+=，5h =或1h =（舍去），故h 值为1-或5．8．已知抛物线2(41)21y x m x m =-++-与x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的下方，那么m 的取值范围是（）． A ．1164m << B ．16m < C ．14m > D ．全体实数【答案】A 【解析】由题可得2x =时，0y <，即42(41)210m m -++-<， ∴16m >， ∵抛物线与y 轴交点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭下方，∴0x =时，12y <-， ∴14m <． 故1164m <<．9．若m 、()n m n <是关于x 的方程1()()0x a x b ---=的两根，且a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（）．A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b <<<【答案】A【解析】数形结合，方程可以转化为1()()y x a x b =--与21y =的两个交点的横坐标， m n <，对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ，抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 增大而减小，∴m a <，同理b n <，∴m a b n <<<．10．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象如图，下列结论：①0abc >；②20a b +=；③当1m ≠时，2a b am bm +>+；④0a b c -+>；⑤若221122ax bx ax bx +=+，且12x x ≠，122x x +=．其中正确的有（）．A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【解析】由图知0a <，12b x a=-=，20b a =->，20a b +=， ∴②正确．∵0a <，0b >，0c >，∴0abc >，①错误；1x =时，max y a b c =++， ∴1m ≠时，2a b c am bm c ++>++，22a b am bm +>+，③正确； ∵12b x a=-=，可知抛物线与x 轴的另一个交点在(1,0)-右侧， ∴1x =-时，0y <，0a b c -+<，④错误． ∵221122ax bx ax bx +=+， ∴2211220ax bx ax bx +--=， 121212()()()0a x x x x b x x +-+-=，1212()[()]0x x a x x b -++=，∵12x x ≠，⑤正确．二、填空题（每小题4分，共24分）11．将抛物线23(4)2y x =-+向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是__________．【答案】23(5)1y x =--【解析】根据“左加右减”23(5)1y x =--．12．若(1,2)A ，(3,3)B -，(,)C x y 三点可以确定一个圆，则x 、y 需要满足的条件是__________．【答案】529x y +≠ 【解析】5922AB y x =-+， 当A 、B 、C 三点不在同一直线上时可确定一个圆，点C 不在AB 上，即529x y +≠．13．如图，⊙O 的直径20cm CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，若6cm OM =，则AB 的长为__________cm ．【答案】16cm【解析】连接OB ，在Rt OMB △中，8MB =，∴216cm AB MB ==．14．抛物线243y x x =-+关于x 轴对称所得的抛物线的解析式是__________．【答案】243y x x =-+-【解析】设点(,)x y 在243y x x =-+图象上，则该点关于x 轴的对称点(,)x y -，代入原函数可得：243y x x -=-+，∴243y x x =-+-．15．若函数2(1)42y a x x a =--+的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为__________．【答案】1± 2【解析】240b ac ∆=-=，∴11a =-，22a =，（当该函数为二次函数时a 为1-，2），当该函数为一次函数时10a -=，∴1a =．16．如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是__________．【答案】1- 44+4-【解析】设21,252P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，3,34Q a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(0,3)B ， ①当P 在Q 上方时，54BQ a =，2111224PQ a a =-++， ∵PQ BQ =， ∴251112424a a a =-++， ∴1a =-或4a =．②当P 在Q 下方时，54BQ a =， 2111224PQ a a =--， ∵PQ BQ =， ∴251112424a a a =--，4a =±故a 值为1-，4，4±三、解答题（共66分）17．（本小题6分）已知：如图，等腰ABC △中13CA CB ==，10AB =．（1）请用直尺和圆规作出ABC △的外接圆⊙O （要求保留作图痕迹）．（2）计算此外接圆的半径r ．【答案】见解析．A BC【解析】解：（1）如图：⊙O 即为所求．（图略）（2）连结CO 延长交AB 于E 点，13AC =，5AE =，∴12CE =，OA r =，12OE r =-，在Rt AEO △中，2225(12)r r =+-，16924r =．18．（本小题8分）如图，在平行四边形ABCD 中，DE AB ⊥，DF BC ⊥．找出图中的一组比例线段（小写字母表示相应线段），并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C ∠=∠，∵AE AB ⊥，DF BC ⊥，∴AED DFC ∠=∠，在AED △和CFD △中，A C AED DFC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴(AAS)DF E C A D ∽△△， ∴AE DE DF FC=．19．（本小题8分）已知二次函数22y ax bx =+-的图象经过点()2,4-，(1,0)-．（1）求这个二次函数的表达式．（2）求函数的对称轴．（3）当12x -≤≤时，求y 的范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）将(2,4)-，(1,0)-代入22y ax bx =+-，442202a b a b =--⎧⎨=--⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩， ∴二次函数解析式为22y x x =--．（2）∵22y x x =--，112212b x a -=-=-=⨯． （3）21924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，顶点19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 最小值为94-． a bc d DA B C E F设抛物线与x 轴的另一个交点为(,0)m ， ∴1122m x -+==， ∴2m =，另一个交点(2,0)， 当12x -≤≤时，904y -≤≤．20．（本小题10分）如图，有两条公路OM ，ON 相交成30︒，沿公路OM 方向离两条公路的交叉处O 点80米的A 处有一所希望小学，当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON 方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON 方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？【答案】18s ． 【解析】解：如图作AC ON ⊥，∵30MON ∠=︒，80OA =米，∴40AC =米，当第一台拖拉机到B 点时对学校产生噪音，50AB =，勾股定理得30BC =，第一台拖拉机到D 点时噪音消失，30CD =，∵两台拖拉机距离30米，第一台到D 点时第二台在C 点，还要前行30米才会对学校无影响．∴影响时间为：90518s ÷=．21．（本小题10分）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O 的正前方10m 处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m 时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m ．已知球门的横梁高为2.44m ．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）M 30°D B C NM OA（2）守门员乙站在距离球门2m 处，他跳起时手的最大摸高为2.52m ，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？【答案】见解析．【解析】解：（1）抛物线顶点(4,3)，设解析式2(4)3y a x =-+，把(10,0)代入112a =-， ∴21(4)312y x =--+， 当0x =时，15163 2.44123y =-⨯+=<米， ∴能射中球门． （2）当2x =时，218(24)3 2.52123y =--+=>， ∴守门员乙不能阻止球员甲此次射门， 当 2.52y =时，21(4)3 2.5212y x =--+=， 1 1.6x =，2 6.4x =（舍去），∴2 1.60.4m -=．答：他至少后退0.4m ，才能阻止球员甲射门．22．（本小题12分）自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：250x x ->．解：设250x x -=，解得：10x =，25x =，则抛物线25y x x =-与x 轴的交点坐标为(0,0)和(5,0)．画出二次函数25y x x =-的大致图象（如图所示），由图象可知：当0x <，或5x >时函数图象位于x 轴上方，此时0y >，即250x x ->，所以，一元二次不等式250x x ->的解集为：0x <，或5x >． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的__________和__________．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想（2）一元二次不等式250x x -<的解集为__________．)25x（3）用类似的方法解一元二次不等式：2230x x -->．【答案】见解析．【解析】解：（1）① ③． （2）由图象可知：当05x <<时，图象位于x 轴下方， 0y <，250x x -<，∴一元一次不等式解集为05x <<． （3）设2230x x --=，解得13x =，21x =-，∴抛物线与x 轴交点(3,0)，(1,0)-． 如图，由图可知：当1x <-或3x >时， 图象位于x 轴上方，0y >，2230x x -->， 1x <-或3x >．23．（本小题12分）如图，抛物线2()0y ax bx a =+≠经过点(2,0)A ，点(3,3)B ，BC x ⊥轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为(4,0)-，点F 与原点重合．（1）求抛物线的解析式． （2）DEF △以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动．①求点D 落在抛物线上时点D 的坐标． ②设DEF △与OBC △的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题得：042393a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩， ∴22y x x =-．（2）①(4,0)E -，∴4EF =，∵DEF △是等腰直角三角形， ∴D 纵坐标为2，D 点在抛物线上时，222x x -=，∴11x =21x =即(1D或(1． ②有3种情况． I ．当03t ≤≤时，DEF △与OBC △重叠部分为等腰直角三角形， 如图，214S t =． II ．当34t <≤时，DEF △与OBC △重叠部分为四边形， 如图，219342S t t =-+-． III ．当45t <≤时，DEF △与OBC △重叠部分为四边形， 如图，211322S t t =+-．。

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