2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书12.3离散型随机变量及其分布列均值与方差试题部分

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2018年浙江新高考学考考纲考试标准数学[学考选考标准版]

数学一、考试性质与对象XX省普通高中数学学业水平考试是在教育部指导下,由省教育行政部门组织实施的全面衡量普通高中学生数学学业水平的考试。

考试成绩是普通高中学生毕业的基本依据之一,也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据。

XX省普通高中数学学业水平考试实行全省统一命题、统一施考、统一阅卷、统一评定成绩,每年开考2次。

考试的对象是2014年秋季入学的高中在校学生,以及相关的往届生、社会人员和外省在我省异地高考学生。

二、考核目标、要求与等级<一>考核目标普通高中数学学业水平考试是全面考察和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到《课程标准》所规定的基本要求和所必须具备的数学素养的检测考试。

<二>考核要求根据XX省普通高中学生文化素质的要求,数学学业水平考试面向全体学生,有利于促进学生全面、和谐、有个性的发展,有利于中学实施素质教育,有利于体现数学学科新课程理念,充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用。

突出考查数学学科基础知识、基本技能和基本思想方法,考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力。

关注数学学科的主干知识和核心内容,关注数学学科与社会的联系,贴近学生的生活实际。

充分发挥数学作为主要基础学科的作用,既考查中学的基础知识、基本技能的掌握程度,又考查对数学思想方法、数学本质的理解水平．全面检测学生的数学素养。

1．知识要求知识是指《教学指导意见》所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法。

对知识的要求从低到高分为四个层次,依次为：了解、理解、掌握、综合应用,其含义如下：<1>了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,能记住和识别数学符号、图形、定义、定理、公式、法则等有关内容,并能按照一定的程序和步骤模仿,进行直接应用。

这一层次所涉及的主要行为动词有：了解、知道、识别、模仿、会求、会解等。

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书10.2双曲线及其性质试题部分

10.2双曲线及其性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点双曲线的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形、标准方程.2016浙江文,13,4分双曲线的定义和标准方程解三角形★★☆双曲线的几何性质1.理解双曲线的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2019浙江,2,4分双曲线的渐近线、离心率★★★2018浙江,2,4分双曲线的焦点坐标2016浙江,7,5分双曲线的离心率椭圆、双曲线的标准方程2015浙江,9,6分双曲线的渐近线双曲线的标准方程分析解读 1.考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质,一般以选择题、填空题的形式出现,难度不大.2.重点考查双曲线的渐近线、离心率以及解双曲线上一点与两焦点构成的三角形.3.预计2021年高考试题中,对双曲线的考查仍会以选择题、填空题的形式出现,难度适中.破考点练考向【考点集训】考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018天津,7,5分)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1＋d2=6,则双曲线的方程为()A.x 23－y29=1 B.x29－y23=1C.x 24－y212=1 D.x212－y24=1【参考答案】A2.(2020届浙江师大附中11月模拟,2)已知F1和F2是双曲线y2－x23=1的两个焦点,则|F1F2|=()A.√2B.2C.2√2D.4【参考答案】D3.(2018浙江宁波期末,15)已知双曲线C的渐近线方程是y=±2√2x,右焦点F(3,0),则双曲线C的方程为,若点N的坐标为(0,6),M是双曲线C左支上的一点,则△FMN周长的最小值为.【参考答案】x2－y28=1;6√5＋2考点二双曲线的几何性质1.(2019浙江金丽衢十二校联考,4)双曲线9y 2－4x 2=1的渐近线方程为( ) A.y=±49x B.y=±94x C.y=±23x D.y=±32x 【参考答案】C2.(2018浙江高考模拟卷,5)已知F 1,F 2是双曲线x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点P 在双曲线上,则双曲线的离心率是( ) A.√3＋1 B.√3－1 C.2 D.√3＋12【参考答案】A3.(2020届浙江宁波十校联考,3)已知三个实数2,a,8成等比数列,则双曲线y 29－x 2a2=1(a ＞0)的渐近线方程为( )A.3x±4y=0B.4x±3y=0C.√3x±2y=0D.9x±16y=0 【参考答案】A4.(2020届浙江温州一模,4)若双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为√3,则该双曲线的渐近线方程为( )A.y=±√2xB.y=±2xC.y=±√22x D.y=±12x【参考答案】A5.(2020届山东夏季高考模拟,10)已知双曲线C 过点(3,√2)且渐近线为y=±√33x,则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23－y 2=1 B.C 的离心率为√3C.曲线y=e x －2－1经过C 的一个焦点D.直线x －√2y －1=0与C 有两个公共点【参考答案】AC炼技法提能力【方法集训】方法求双曲线离心率的值(范围)的常用方法1.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷,8)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a ＞0,b ＞0)的左,右焦点,P 是双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,若△PF 1F 2的内切圆半径为a 2,则该双曲线的离心率为( ) A.√6－1 B.√3＋12C.√6＋12D.√6＋1【参考答案】C2.(2019浙江嘉兴基础测试,9)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离小于它的实轴长,则该双曲线离心率e的取值范围是()A.1＜e＜√2B.1＜e＜√5C.e＞√2D.e＞√5【参考答案】B3.(2020届浙江台州一中模拟,7)过双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点F,且垂直于x轴的直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点.若∠AOB=∠OAB,设双曲线C的离心率为e,则e2=()A.√3＋√396B.7＋√136C.8＋√136D.14＋√136【参考答案】B【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一双曲线的定义和标准方程(2016浙江文,13,4分)设双曲线x2－y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|＋|PF2|的取值范围是.【参考答案】(2√7,8)考点二双曲线的几何性质1.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.√22B.1C.√2D.2【参考答案】C2.(2018浙江,2,4分)双曲线x 23－y2=1的焦点坐标是() A.(－√2,0),(√2,0) B.(－2,0),(2,0)C.(0,－√2),(0,√2)D.(0,－2),(0,2)【参考答案】B3.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:x 2m2＋y2=1(m＞1)与双曲线C2:x2n2－y2=1(n＞0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1【参考答案】A4.(2015浙江,9,6分)双曲线x 22－y2=1的焦距是,渐近线方程是.【参考答案】2√3;y=±√22xB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(2019课标全国Ⅲ文,10,5分)已知F是双曲线C:x 24－y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92【参考答案】B2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x 24－y212=1 B.x212－y24=1C.x 23－y2=1 D.x2－y23=1【参考答案】D3.(2017天津理,5,5分)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的左焦点为F,离心率为√2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x 24－y24=1 B.x28－y28=1 C.x24－y28=1 D.x28－y24=1【参考答案】B4.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程x 2m2＋n －y23m2－n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(－1,3)B.(－1,√3)C.(0,3)D.(0,√3)【参考答案】A5.(2015天津,6,5分)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4√7x的准线上,则双曲线的方程为()A.x 221－y228=1 B.x228－y221=1 C.x23－y24=1 D.x24－y23=1【参考答案】D6.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 27－y 23=1的焦距是 .【参考答案】2√10考点二双曲线的几何性质1.(2019天津文,6,5分)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.若l 与双曲线x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5 【参考答案】D2.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x 2a2－y 2=1(a ＞0)的离心率是√5,则a=( ) A.√6 B.4 C.2 D.12【参考答案】D3.(2019课标全国Ⅰ文,10,5分)双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50° D.1cos50°【参考答案】D4.(2019课标全国Ⅱ理,11,5分)设F 为双曲线C:x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2=a 2交于P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5 【参考答案】A5.(2019课标全国Ⅲ理,10,5分)双曲线C:x 24－y 22=1的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√2【参考答案】A6.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b 2=1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .【参考答案】y=±√2x7.(2019课标全国Ⅰ理,16,5分)已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 . 【参考答案】2C 组教师专用题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y=√52x,且与椭圆x 212＋y 23=1有公共焦点,则C的方程为 ( )A.x 28－y210=1 B.x24－y25=1C.x 25－y24=1 D.x24－y23=1【参考答案】B2.(2016天津,6,5分)已知双曲线x 24－y2b2=1(b＞0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x 24－3y24=1 B.x24－4y23=1C.x 24－y24=1 D.x24－y212=1【参考答案】D3.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:x 2a2－y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x 24－y23=1 B.x29－y216=1 C.x216－y29=1 D.x23－y24=1【参考答案】C4.(2015福建,3,5分)若双曲线E:x 29－y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【参考答案】B考点二双曲线的几何性质1.(2018课标全国Ⅲ文,10,5分)已知双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为√2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.√2B.2C.3√22D.2√2【参考答案】D2.(2018课标全国Ⅲ理,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=√6|OP|,则C的离心率为() A.√5 B.2 C.√3 D.√2【参考答案】C3.(2018课标全国Ⅰ理,11,5分)已知双曲线C:x 23－y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.2√3D.4【参考答案】B4.(2018课标全国Ⅱ理,5,5分)双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为√3,则其渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x【参考答案】A5.(2017课标全国Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2－y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32【参考答案】D6.(2017课标全国Ⅱ理,9,5分)若双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√33【参考答案】A7.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x 2a2－y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为()A.√2B.32C.√3D.2【参考答案】A8.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2－y24=1B.x24－y2=1C.y24－x2=1D.y2－x24=1【参考答案】C9.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.√5B.2C.√3D.√2【参考答案】D10.(2015重庆,10,5分)设双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋√a2＋b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)C.(－√2,0)∪(0,√2)D.(－∞,－√2)∪(√2,＋∞)【参考答案】A11.(2015四川,5,5分)过双曲线x2－y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.4√33B.2√3C.6D.4√3【参考答案】D12.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1＞e2B.当a＞b时,e1＞e2;当a＜b时,e1＜e2C.对任意的a,b,e1＜e2D.当a＞b时,e1＜e2;当a＜b时,e1＞e2【参考答案】D13.(2018北京文,12,5分)若双曲线x 2a2－y24=1(a＞0)的离心率为√52,则a=.14.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c,则其离心率的值是. 【参考答案】215.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【参考答案】2√3316.(2017北京文,10,5分)若双曲线x2－y2m=1的离心率为√3,则实数m=. 【参考答案】217.(2017课标全国Ⅲ文,14,5分)双曲线x 2a2－y29=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=.【参考答案】518.(2016北京,13,5分)双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=. 【参考答案】219.(2015北京,10,5分)已知双曲线x 2a2－y2=1(a＞0)的一条渐近线为√3x＋y=0,则a=.【参考答案】√3320.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:x 2a2－y2b2=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为. 【参考答案】√521.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p＞0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.【参考答案】32【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共40分)1.(2020届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,2)双曲线x 23－y2=1与x2－y23=1有相同的()A.离心率B.渐近线C.实轴长D.焦点【参考答案】D2.(2020届浙江Z20联盟开学联考,2)已知双曲线C:x 29－y23=1,则C的离心率为()A.√32B.√3 C.2√33D.23.(2020届浙江浙南名校联盟联考,2)双曲线x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为2,且其右焦点为F 2(2√3,0),则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 23－y 29=1 B.x 29－y 23=1 C.x 24－y 212=1 D.x 212－y 24=1 【参考答案】A4.(2020届浙江之江教育联盟联考,2)若双曲线x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为√2,则其渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=±xC.y=±√2xD.y=±√22x 【参考答案】B5.(2020届浙江省重点高中统练,4)已知双曲线x 23－y 2b=1的一焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为( )A.y=±13x B.y=±3x C.y=±√33x D.y=±√3x 【参考答案】C6.(2019浙江金华十校期末,4)已知双曲线x 29－y 2m=1的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5=0上,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±34x B.y=±43x C.y=±2√23x D.y=±3√24x 【参考答案】B7.(2019浙江台州期末,8)设F 1,F 2分别为双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的左,右焦点,点P 为双曲线C 的一条渐近线l 上的点,记直线PF 1,l,PF 2的斜率分别为k 1,k,k 2.若PF 1关于x 轴对称的直线与PF 2垂直,且k 1,2k,k 2成等比数列,则双曲线C 的离心率为( ) A.√62B.√52C.√5D.2【参考答案】B8.(2020届浙江“超级全能生”联考,7)已知双曲线x 2－y 2b 2=1(b ＞0)右焦点为F,左顶点为A,右支上存在点B 满足BF ⊥AF,记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±2x B.y=±12x C.y=±43x D.y=±34x 【参考答案】D9.(2019浙江宁波北仑中学模拟,7)过双曲线x 216－y 29=1左焦点F 1的弦AB 长为6,则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是 ( )A.12B.14C.22D.2810.(2019浙江新高考调研模拟卷(一),9)F(－c,0)为双曲线E:x 2a2－y 2b2=1的左焦点,F'为右焦点,过点F 的直线与圆x 2＋y 2=34c 2交于A,B两点(A 在F,B 之间),与双曲线E 在第一象限内的交点为P,O 为坐标原点,若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =－3100c 2,则双曲线E 的离心率为( )A.√5B.52C.√52D.5【参考答案】D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共14分)11.(2020届浙江金丽衢十二校联考,15)已知F 1,F 2是椭圆C 1:x 23＋y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,P 是C 1,C 2的一个公共点,若OP=OF 1,则C 2的渐近线方程为 . 【参考答案】y=±x12.(2020届浙江绿色评价联盟联考,16)倾斜角为30°的直线经过双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的左焦点F 2,且与双曲线的左、右支分别交于A,B 两点,若线段AB 的垂直平分线经过右焦点F 1,则此双曲线的离心率为 . 【参考答案】√213.(2019浙江高考信息优化卷(二),15)过点P(1,1)作直线l 与双曲线x 2－y 22=λ交于A,B 两点,若点P 恰为线段AB 的中点,则实数λ的取值范围是 ;直线l 的方程是 . 【参考答案】λ＜12且λ≠0;2x －y －1=0。

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书3.2导数的应用讲解部分

,
从题图中可知,在区间(-∞,0)和(1,4)上, f(x)-f '(x)<0,
又f(x)在x=2处的函数值为0,∴在区间(1,2)和(2,4)上都有g'(x)<0.∴g(x)在区
间1,
4 3
上是减函数,故选C.
答案 C
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考向二由单调性求参数范围例2 (2019皖东名校联盟,11)已知函数f(x)=sin 2x+4cos x-ax在R上单调递减,则实数a的取值范围是 ( ) A.[0,3] B.[3,+∞) C.(3,+∞) D.[0,+∞) 解析 f '(x)=2cos 2x-4sin x-a=2(1-2sin2x)-4sin x-a=-4sin2x-4sin x+2-a=-(2sin x+1)2+3-a,由已知得f '(x)≤0在R上恒成立,因此a≥3-(2sin x+1)2,所以a≥3. 故选B. 答案 B
x2
x2
令g'(x)=0,则x1=1,x2=a,x3=-1-a, ∵x3=-1-a<0, ∴g'(x)=0仅有两根,
且a2+a+1+2b=0. (12分)
当x∈(0,1)时,g高考数学浙江专用
3.2 导数的应用
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考点清单
考点一导数与函数的单调性
考向基础 1.设函数y=f(x)在某个区间内可导,若f '(x)>0,则f(x)为增函数;若f '(x)<0, 则f(x)为减函数. 2.在确定函数的单调区间,求函数的极大(小)值时,都应先考虑所给函数的定义域,函数的单调区间应是其定义域的子集. 3.当求出的函数单调区间(如单调增区间)有多个时,不能把这些区间取并集.

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书8.1空间几何体的三视图表面积和体积讲解部分

形的公共边都互相平行
公共顶点的三角形
有两个面平行且相似, 其余各面都是梯形
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
平行四边形
三角形
梯形
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【知识拓展】特殊的棱柱和棱锥 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体. (3)特殊的四棱柱:
柱体锥体
台体
球
V柱体=Sh,V圆柱=πr2h
1
V锥体= 3Sh,V圆锥= 1πr2h
3
1
V台体= 3(S+
SS'
+S')h,V圆台=
1π(r2+rr'+r'2)h
3
4
V球= 3πR3(R为球半径)
注意 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体和数据还原的准确性.
3
3
2
答案 3;2
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方法2 空间几何体的表面积和体积的求解方法
1.空间几何体表面积的求法 (1)表面积是各个面的面积之和.求多面体的表面积时,只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要理清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积. 2.空间几何体体积的求法 (1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解.

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书11.1排列组合试题部分

专题十一计数原理【真题探秘】11.1排列、组合探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点排列、组合1.理解加法原理和乘法原理,会解决简单的计数问题.2.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题.2018浙江,16,4分排列组合的综合问题★★★2017浙江,16,4分组合问题分析解读 1.排列与组合是高考常考内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时还与概率相结合进行考查.2.常结合实际背景,以应用题形式出现,且背景灵活多变,常见的有排队问题,涂色问题等,也有跨章节、跨学科及以生活实际为出发点的问题.3.考查排列与组合的综合应用能力,涉及分类讨论思想.4.预计2021年高考试题中,排列、组合与概率一起考查的可能性很大.破考点练考向【考点集训】考点排列、组合1.(2020届浙江9＋1联盟11月联考,7)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示的弦图,由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有五种颜色可供涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有()A.180种B.192种C.420种D.480种【参考答案】C2.(2019浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,15)将9个相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,且每个盒子中球的个数互不相同,则不同的分配方法共有种.【参考答案】183.(2019浙江名校协作体联考,16)用黑白两种颜色随机地染如下6个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为.【参考答案】204.(2020届浙江台州一中期中,15)8×8的方格棋盘中,取出一个由3个小方格组成的“L”形(如图),共有种不同的取法.【参考答案】1965.(2020届山东夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种.【参考答案】36炼技法提能力【方法集训】方法排列组合综合问题的解题方法1.(2019浙江高考数学仿真卷,15)浙江省第一中学迎春晚会由6个节目组成,为考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲不排在第一位和最后一位,节目丙、丁必须排在一起,则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有种.【参考答案】1442.(2019浙江名校新高考研究联盟联考,15)一条笔直的公路的一侧有9根电线杆,现要移除2根,且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留,则不同的移除方法有种.【参考答案】213.(2020届浙江温州一模,15)学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果,西梅数量不多,只够一人购买,甲、乙、丙、丁4位同学前去购买,每人只选择其中一种,这4位同学购买后,恰好买了其中3种水果,则他们购买水果的可能情况有种. 【参考答案】6004.(2020届浙江绍兴一中期中,16)某中学安排A,B,C,D四支小队去3所不同的高校参观,上午每支小队各参观一所高校,下午A小队有事返回学校,其余三支小队继续参观.要求每支小队上、下午参观的高校不能相同,且每所学校上午和下午均有小队参观,则不同的安排有种.【参考答案】72【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点排列、组合1.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【参考答案】12602.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)【参考答案】660B组统一命题、省(区、市)卷题组考点排列、组合1.(2017课标全国Ⅱ理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【参考答案】D2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【参考答案】B3.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个【参考答案】C4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【参考答案】B5.(2018课标全国Ⅰ理,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)【参考答案】166.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)【参考答案】1080C组教师专用题组考点排列、组合1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72【参考答案】D2.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{－1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130【参考答案】D3.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)【参考答案】A4.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对【参考答案】C5.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【参考答案】D6.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【参考答案】C7.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【参考答案】B8.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【参考答案】B9.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{－1,0,1,2},且关于x的方程ax2＋2x＋b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10【参考答案】B10.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20【参考答案】C11.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279【参考答案】B12.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)【参考答案】156013.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种. 【参考答案】3614.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).【参考答案】48015.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).【参考答案】59016.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.【参考答案】96【三年模拟】一、选择题(共4分)1.(2019浙江浙南联盟期末,7)甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃,则他们一共吃到了3种不同食品的情况有()A.84种B.100种C.120种D.150种【参考答案】C二、填空题(每空4分,共28分)2.(2020届浙江Z20联盟开学联考,15)某高三班级上午安排五节课(语文,数学,英语,物理,体育),要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节,则不同的排法总数是(用数字作答).【参考答案】603.(2020届浙江浙南名校联盟联考,14)3名男学生、3名女学生和2位老师站成一排拍照合影,要求2位老师必须站正中间,队伍左右两端不能同时是一名男学生与一名女学生,则总共有种排法.【参考答案】5764.(2019浙江高考数学仿真卷(一),17)将各位数码之和为12的四位数,称为“知行数”,如2019,则不同的“知行数”共有个. 【参考答案】3425.(2020届浙江“超级全能生”联考,15)将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字组成没有重复数字的八位数,要求7与8相邻,且任意相邻的两个数字奇偶不同,这样的八位数的个数是.【参考答案】5046.(2019浙江高考信息优化卷(三),16)将颜色分别为红、黄、蓝、紫色的4个球,放入编号分别为1,2,3,4,5,6的六个盒子中,每个盒子至多放2个球,则不同的放法有种(用数字作答).【参考答案】11707.(2019浙江嵊州期末,15)将编号为1,2,3,4,5的五个小球全部放入A,B,C三个盒子内,若每个盒子不空,且放在同一盒子内的小球编号互不相连,则不同的放法种数为.【参考答案】428.(2020届浙江“绿色评价”联盟联考,15)某校从8名数学教师中选派4名同时去4个边远地区支教,每地1名教师,其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案的种数为.(用数字作答)【参考答案】600。

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书6.1数列的概念与简单的表示法讲解部分

1 an1
-
1 an
=2(2n+1).
∴当n≥2时,
1 an
-
1 an-1
+
1 an-1
-
1 an-2
+…+
1 a2
-
1 a1
=2(2n-1)+2(2n-3)+…+2×3,
∴
1 an
-
1 a1
=2n2-2.又a1=
2 3
,∴
1 an
=2n2-
1 2
,
∴an=
2
1 n2 -
1 4
(n≥2).经检验a1=
按项数分类:
有穷数列:项数有限; 无穷数列:项数无限.
栏目索引
按an的增减性分类:
递增数列:对于任何n 递减数列:对于任何n 摆动数列:如-1,1,-1,1,? ;
N* ,均有a n 1 N* ,均有a n 1
an; an;
常数列:如6,6,6,6,? .
3.数列的表示方法
(1)列表法;
(2)图象法:数列可用一群孤立的点表示;1=4 4
036 037
,故选A.
2
2
答案 A
栏目索引
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方法技巧
方法已知数列的递推公式求通项公式
递推公式求通项公式有以下几种基本类型:
(1)利用an=SS1n,-nSn-11,n, 2 相互转化,特别要注意检验n=1的情形. (2)若an=an-1+f(n)(n≥2),则用叠加法:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(2)
比数列 an

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书12.2古典概型试题部分

12.2古典概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点古典概型理解古典概型,会计算古典概型中事件的概率.2015浙江自选,04(2),5分古典概型★★★分析解读 1.古典概型的概率求法是高考常考内容,是高考的命题热点.2.考查古典概型的概率的计算是本节最为常见的考查内容,往往与排列、组合相结合,并体现对分类讨论思想的考查.3.预计2021年高考试题中,对古典概型的考查的可能性很大.破考点练考向【考点集训】考点古典概型1.(2019浙江9＋1联盟期中,15)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a,b,c,d,e,f,则使a×b×c＋d×e×f是偶数的排列出现的概率是.【参考答案】9102.(2019浙江高考信息卷(二),16)某人做摸球游戏,袋中装有大小形状和质地均完全相同的6个小球,其中3个红球,2个黄球,1个蓝球.摸球规则如下:每次摸2个球,摸到一个红球得1分,摸到一个黄球得2分,摸到一个蓝球得3分,则此人摸一次恰好得4分的概率是;设此人摸一次得分为X分,则X的数学期望是.【参考答案】415;103炼技法提能力【方法集训】方法古典概型概率的计算方法1.(2019浙江诸暨牌头中学期中,13)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成的没有重复数字的五位数,从中随机取一个数,则这个数恰好能被5整除的概率是.【参考答案】9252.(2018浙江镇海中学阶段性测试,13)甲、乙等五名工人被随机地分到A,B,C三个不同的岗位工作,每个岗位至少有一名工人,则甲、乙被同时安排在A岗位的概率为.【参考答案】225【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点古典概型(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(2),5分)设袋中共有7个球,其中4个红球,3个白球.从袋中随机取出3个球,求取出的白球比红球多的概率.解析从袋中取出3个球,总的取法有C73=35种;其中白球比红球多的取法有C33＋C32·C41=13种.因此取出的白球比红球多的概率为1335.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点古典概型1.(2019课标全国Ⅱ文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15【参考答案】B2.(2019课标全国Ⅲ文,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12【参考答案】D3.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【参考答案】D4.(2017课标全国Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25【参考答案】D5.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56【参考答案】C6.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.【参考答案】7107.(2019上海,10,5分)某三位数密码,每位数字可在0—9这10个数字中任选一个,则该三位数密码中,恰有两位数字相同的概率是.【参考答案】271008.(2019天津文,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.项目员工A B C D E F子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素养.(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=1115.思路分析(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.C组教师专用题组考点古典概型1.(2018课标全国Ⅲ,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【参考答案】B2.(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118【参考答案】C3.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79【参考答案】C4.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15【参考答案】C5.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130【参考答案】C6.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.925【参考答案】B7.(2015课标Ⅰ,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120【参考答案】C8.(2015广东,4,5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D.1【参考答案】B9.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为. 【参考答案】31010.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【参考答案】1511.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是.【参考答案】1612.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.【参考答案】5613.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G}, {F,G},共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率P(M)=521.14.(2018北京文,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率为502 000=0.025.(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1=56＋10＋45＋50＋160＋51=372.故所求概率估计为1－3722 000=0.814.(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.15.(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率P=315=1 5 .(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率P=29.16.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41＋C 32C 102=13.所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32＋C 32＋C 42C 102=415, P(X=1)=C 31C 31＋C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以随机变量X 的分布列为X 012P415715415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415＋1×715＋2×415=1.17.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 22C 32＋C 32C 32C 84=635.所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=C 5k C 34－kC 84(k=1,2,3,4).所以随机变量X 的分布列为X 1234P1143737114随机变量X 的数学期望E(X)=1×114＋2×37＋3×37＋4×114=52.评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江稽阳联谊学校联考,8)甲、乙两个人玩一种游戏,两人分别在两张纸上各写一个数字,分别记为a,b,其中a,b 必须是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素,如果a,b 满足|a －b|≤1,我们就称两人是“友好对”.现在任意找两人玩这种游戏,则他们是“友好对”的概率为( )A.718B.29C.518D.49【参考答案】D2.(2020届浙江镇海中学模拟,7)从集合A={0,1,2,3,4,5}中任取3个不同的数分别作为方程ax 2＋bx ＋c=0的系数,其中恰好能使方程有两个不同的实数根的概率是( )A.1760B.415C.17120D.1720【参考答案】A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共38分)3.(2020届浙江高考冲刺试题三,14)甲、乙、丙、丁4位同学抽签到A,B,C,D4个垃圾投放点进行垃圾分类义务宣传活动,每个投放点去1人,则甲恰好抽到A 投放点的概率是 . 【参考答案】144.(2020届浙江高考模拟试题一,12)在校运会上,甲、乙、丙3位同学都在跳高、跳远、铅球、100 m 跑4个项目中任意选择2个项目报名,则恰好有2位同学的报名项目完全相同的概率是 . 【参考答案】5125.(2019浙江高考信息优化卷(五),14)某中学的十佳校园歌手有6名男同学,4名女同学,其中3名来自1班,其余7名来自其他互不相同的7个班,现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会,则选出的3名同学来自不同班级的概率为 ;设X 为选出的3名同学中女同学的人数,则该变量X 的数学期望为 . 【参考答案】4960;656.(2019浙江金华十校期末,12)一个口袋里装有大小相同的5个小球,其中红色球2个,其余3个球颜色各不相同. 现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球颜色相同的概率是 ;若变量X 为取出的三个小球中红球的个数,则X 的数学期望E(X)= . 【参考答案】310;657.(2020届浙江高考冲刺试题二,13)任意取U={0,1,2,3,4,5,6}中一个含3个元素的子集M,则M 中的元素之和恰好为7的概率是 ;设M 中的元素之和为X,则X 的期望是 . 【参考答案】435;98.(2020届浙江高考模拟试题五,12)有一枚质地均匀的正方体骰子,甲、乙二人玩投骰子的游戏,各投1次,记两人投的点数分别为a,b,设X=|a －b|,约定当X ≤1时,甲赢,则甲赢的概率是 ;X 的期望是 . 【参考答案】49;35189.(2020届浙江镇海中学阶段检测,13)甲、乙两位同学在“7选3”选考科目时都选择了物理,其他科目任意选2科,那么两位同学选择的科目完全相同的概率是 ;两位同学选择的科目总数X 的期望是 . 【参考答案】115;133。

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书2.4指数与指数函数讲解部分

∴-1<2x-1<0,∴ 1 <-1,
2x -1
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∴-
2
2 x -1
>2,∴f(x)>1,故f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案 -1;(-∞,-1)∪(1,+∞)
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高考数学浙江专用
2.4 指数与指数函数
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考点清单
考向基础
考点一指数幂及其运算
1.指数幂的概念 (1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是说,若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子 n a 叫做根式,这里的n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)根式的性质 1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号 n a 表示.
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例1
若x=
1 5
-0.4
,y=lg
-1
3,z=e 2
,则
(
)
A.y<z<x B.z<x<y
C.x<y<z D.z<y<x
解析答案
∵x=
1 5
-0.4
=50.4>1,y=lg
3<lg
A
10
=
1
,z=
-
e
1 2
=
2
1 e
∈
1 2
,1
,∴x>z>y.
栏目索引
方法2 指数函数的图象和性质的综合应用的解题策略
3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.

2021年高考数学试卷(浙江)(解析卷)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=L台体的体积公式121()3V S S h=其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =p 球的体积公式343V R =p 其中R 表示球的半径一､选择题1. 设集合{}1A x x =³，{}12B x x =-<<，则A B =I （）A. {}1x x >- B. {}1x x ³ C. {}11x x -<< D. {}12x x £<【答案】D 【解析】【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =£<I .故选：D.2. 已知a R Î，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（）A. 1- B. 1C. 3- D. 3【答案】C 【解析】【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=\=-.故选：C.3. 已知非零向量,,a b c r r r ，则“a c b c ×=×r r r r ”是“a b =r r”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r ,当AB OC ^时，a b -r r 与c r 垂直，，所以成立，此时a b ¹rr，∴不是a b =r r 的充分条件，当a b =r r 时，0a b -=r r r ，∴()00a b c c -×=×=r r r r r ,∴成立，∴是a b =rr的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.32B. 3D. 【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，，下底为1=故111113122ABCD A B C D V -=´=，故选：A.5. 若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +³ìï-£íï+-£î，则12z x y =-最小值是（）的A. 2-B. 32-C. 12-D.110【答案】B 【解析】【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22y x z =-，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y 轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1002310x x y x y +³ìï-£íï+-£î的可行域，如下图所示：目标函数12z x y =-化为22y x z =-，由12310x x y =-ìí+-=î，解得11x y =-ìí=î，设(1,1)A -，当直线22y x z =-过A 点时，12z x y =-取得最小值为32-.故选：B6. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）.A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ^平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ^平面11BDD B 【答案】A 【解析】【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ^平面1ABD ，即可得出结论.【详解】连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN Ë平面,ABCD AB Ì平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD 则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ^，AB ^平面11AA D D ，所以1AB A D ^，1AD AB A Ç=，所以1A D ^平面1ABD ，1D B Ì平面1ABD ，所以11A D D B ^，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.7. 已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A. 1()()4y f x g x =+- B. 1()()4y f x g x =--C. ()()y f x g x = D. ()()g x y f x =【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x æö==+ç÷ø，则212sincos 4y x x x x æö¢=++ç÷èø，当4x p =时，2102164y pp æö¢=++>ç÷èø，与图象不符，排除C.故选：D.为8.已知,,a b g 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 三个值中，大于12的个数的最大值是（）A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2a b b g g a ++£，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2a ba b +£，同理22sin cos sin cos 2b g b g +£，22sin cos sin cos 2g ag a +£，故3sin cos sin cos sin cos 2a b b g g a ++£，故sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 不可能均大于12.取6pa =，3pb =，4pg =，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222a b b g g a =<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设a b g <<，则cos cos cos ,sin sin sin a b g a b g >><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos a b b g g a a g b b g a ++£++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222a gb b g a g a b ++=++£，故sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 不可能均大于12.取6pa =，3pb =，4pg =，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222a b b g g a =<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.9.已知,R,0a b ab Î>，函数()2R ()f x ax b x =+Î.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b éùéù-+++=+ëûëû，对其进行整理变形：()()()22222222as at ast b as at ast b as b +-++++=+，()()222222(2)0asat b ast as b++--+=，()2222222240asat b at a s t ++-=，222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0t =，其中2212s t b ba a-=为双曲线，0t =为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.10. 已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==Î.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A100321S << B. 10034S << C. 100942S <<D.100952S <<.【答案】A 【解析】【分析】显然可知，1001 2S>，利用倒数法得到21111124n na a+ö==+-÷÷ø，再放缩可得12<，由累加法可得24(1)nan³+，进而由1na+=局部放缩可得113nna na n++£+，然后利用累乘法求得6(1)(2)nan n£++，最后根据裂项相消法即可得到1003S<，从而得解．【详解】因为)111,Nna a n*+==Î，所以0na>，10012S>．由211111124nn naa a++ö=Þ==+-÷÷ø2111122na+ö\<+Þ<+÷÷ø12<11122n n-+£+=，当且仅当1n=时取等号，12412(1)311nn n na na a an nn++\³\=£=++++113nna na n++\£+，由累乘法可得6(1)(2)nan n£++，当且仅当1n=时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102Sæöæö£-+-+-++-=-<ç÷ç÷èøèøL，即100321S<<．故选：A．【点睛】的不等关系，再由累加法可求得24(1)nan³+，由题目条件可知要证100S小于某数，从而通过局部放缩得到1,nna a+的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n £++，最后由裂项相消法求得1003S <．二､填空题11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，则11S S =___________.【答案】25【解析】【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：5a ==，则其面积为：21525S ==，小正方形的面积：212543412S æö=-´´´=ç÷èø，从而2125251S S ==.故答案为：25.12. 已知R a Î，函数24,2()3,2,x x f x x a x ì->ï=í-+£ïî若3f f éù=ëû，则a =___________.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f ff f a éù=-==-+=ëû，故2a =，故答案为：2.13.已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】 (1). 5; (2). 10.【解析】【分析】根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论.【详解】332(1)331x x x x -=-+-，4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=，34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=.故答案为：5,10.14. 在ABC V 中，60,2B AB Ð=°=，M 是BC 的中点，AM =AC =___________，cos MAC Ð=___________.【答案】 (1). 【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC Ð.【详解】由题意作出图形，如图，在ABM V 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-××，即21124222BM BM =+-´´，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC V 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-××=+-´´´=，所以AC =在AMC V中，由余弦定理得222cos 2AC AM MC MAC AM AC +-Ð===×.故答案为：15.袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为x ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E x =___________.【答案】 (1). 1 (2).89【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得,m n 的值，再根据随机变量x 的分布列即可求出()E x ．【详解】2244224461(2)366m n m n m n C P C C C x ++++++====Þ=，所以49m n ++=，()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++×====Þ=, 所以2n =, 则1m n -=．由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C x x x ×´==========155158()2106918399E x \=´+´+´=+=．故答案为：1；89．16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c æö-+=ç÷èø相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ^轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.【答案】【解析】【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F Ð=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =Ð=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F AÐ=Ð==，12tan PF F Ð==所以k =由21212,24PF k F F c F F ===，所以2PF =，21121=sin PF PF PF F ´=∠，于是122PF a PF +==，即a =，所以c e a ===．．17.已知平面向量,,,(0)a b c c ¹r r r r r 满足()1,2,0,0a b a b a b c ==×=-×=r r r r r r r .记向量d u r 在,a b r r方向上的投影分别为x ，y ，d a -u r r 在c r方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.【答案】25【解析】【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===r r r，，由平面向量的知识可得22x y +=，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===r r r，，则()20a b c m n -×=-=r r r，即2m n =，又向量d u r 在,a b r r方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =u r ，所以d a -u r r 在c r 方向上的投影()||d a c z c -×===u r rrr ，即22x y +=m ,所以(()()222222222211221210105x y z x y z x y éù++=++++³+=êúëûm ，当且仅当212x y x y ì=ïíï+îm即25x y z ì=ïïïíïï=ïî时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.三､解答题18. 设函数()sin cos (R)f x x x x =+Î.（1）求函数22y fx p éùæö=+ç÷êúèøëû的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x p æö=-ç÷èø在0,2p éùêúëû上的最大值.【答案】（1）p；（2）1+.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；【（2）由三角恒等变换可得sin 24y x p æö=-ç÷èø，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x p æö=+=+ç÷èø，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x p p p p éùùæöæöæö=+=+=+=-+=-ç÷ç÷ç÷êúúèøèøèøëûæöç÷øûè，所以该函数的最小正周期22T pp ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x p p p æöæöæö=-=+=+ç÷ç÷ç÷èøèøèø22sin cos x x x x x x ö=×+=+÷÷ø1cos 2222sin 224x x x x x p -æö=+=-=-+ç÷èø由0,2x p éùÎêúëû可得32,444x p p p éù-Î-êúëû，所以当242x pp-=即38x p =时，函数取最大值119. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA Ð=°===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ^^.（1）证明：AB PM ^；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）要证AB PM ^，可证DC PM ^，由题意可得，PD DC ^，易证DM DC ^，从而DC ^平面PDM ，即有DC PM ^，从而得证；（2）取AD 中点E ，根据题意可知，,,ME DM PM 两两垂直，所以以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN uuu r和平面PDM 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在DCM △中，1DC =，2CM =，60DCM Ð=o，由余弦定理可得DM =，所以222DM DC CM +=，\DM DC ^．由题意DC PD ^且PD DM D Ç=，DC \^平面PDM ，而PM Ì平面PDM ，所以DC PM ^，又//AB DC ，所以AB PM ^．（2）由PM MD ^，AB PM ^，而AB 与DM 相交，所以PM ^平面ABCD，因为AM =，所以PM =，取AD 中点E ，连接ME ，则,,ME DM PM 两两垂直，以点M 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(2,0),(0,0,A P D,(0,0,0),1,0)M C -又N 为PC中点，所以15,22N AN -=-uuu r .由（1）得CD ^平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量(0,1,0)n =r从而直线AN 与平面PDM所成角的正弦值为||sin ||AN n AN n q ×===uuu r r uuu r r ‖．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB PM ^，可以考虑DC PM ^，题中与DC 有垂直关系的直线较多，易证DC ^平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=Î，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b l £对任意N n *Î恒成立，求实数l 的取值范围.【答案】（1）33(4nn a =-×；（2）31l -££.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =³讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b l £对任意N n *Î恒成立，分类讨论分离参数l ，转化为l 与关于n 的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-\=-，当2n ³时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n na a +=122730,0,164n n n a a a a +=-¹\¹\=，又213,{}4n a a a =\是首项为94-，公比为34的等比数列，1933(3()444n n n a -\=-×=-×；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n æöæöæöæö=-´-´-´´++-×ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèè+øøL ，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +æöæöæöæöæö=-´-´-´++-×+-×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +æöæöæöæöæö=-´++++--×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL1193116493(4)34414n n n -+éùæö-êúç÷èøêúæöëû=-+--ç÷èø-111993334(4)44444n n n n n +++æöæöæö=-+---×=-×ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以134()4n n T n +=-×，由n n T b l £得1334((4)(44n nn n l +-×£-×恒成立，即(4)30n n l -+³恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n l £-=----，得1l £；4n >时，312344n n n l ³-=----，得3l ³-；所以31l -££.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n l -+³恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.21. 如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R，N ，且2RNPN QN =×，求直线l 在x 轴上截距的范围.【答案】（1）24y x =；（2）()(),771,é-¥---++¥ëU U .【解析】【分析】（1）求出p 的值后可求抛物线的方程.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，联立直线AB 的方程和抛物线的方程后可得12124,4y y y y t =-+=，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出,,P Q R y y y ，根据题设条件可得()222134121n t n t ++æö=ç÷-èø-，从而可求n 的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ¹且12t ¹.由214x ty y x=+ìí=î可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =×，故=2R P Q y y y =×.又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x nì=+ï+ïíï=+ïî可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+ìïí=+ïî可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++éù´êú-+-+-ëû，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -æö=-ç÷++-+-èø，()22221214212222t y y y y -=æöæö+-+-ç÷ç÷èøèø()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--´-+故()222134121n t n t ++æö=ç÷-èø-，令21s t =-，则12s t +=且0s ¹，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++æö==+=++³ç÷èø-，故213141n n n ì+æö³ïç÷-íèøï¹î即214101n n nì++³í¹î，解得7n £--71n -+£<或1n >.故直线l 在x轴上的截距的范围为7n £--71n -+£<或1n >.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.22. 设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()xf x a bx e x =-+Î（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =×××是自然对数的底数)【答案】(1)0b £时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln ab a æö-¥ç÷èø，单调增区间为log ,ln ab a æö+¥ç÷èø；(2)(21,e ùû；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a 的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)2(),()ln x x f x b f a x e a x a b ¢==+--，①若0b £，则()ln 0x f x a a b ¢=-³，所以()f x 在R 上单调递增；②若0b >，当,log ln a b x a æöÎ-¥ç÷èø时，()()'0,f x f x <单调递减，当log ,ln a b x a æöÎ+¥ç÷èø时，()()'0,f x f x >单调递增.综上可得，0b £时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln a b a æö-¥ç÷èø，单调增区间为log ,ln a b a æö+¥ç÷èø.(2)()f x 有2个不同零点20x a bx e Û-+=有2个不同解ln 20x a e bx e Û-+=有2个不同的解，令ln t x a =，则220,0ln ln t tb b e e e e t a a t t +-+=Þ=>，记()22222(1)(),()t t t t e t e e e e e t e g t g t t t t ¢×-++--===，记2()(1),()(1)10t t t t h t e t e h t e t e e t ¢=--=-+×=×>，又(2)0h =，所以(0,2)t Î时，()0,(2,)h t t <Î+¥时，()0h t >，则()g t 在(0,2)单调递减，(2,)+¥单调递增，22(2),ln ln b b g e a a e\>=\<，22222,ln ,21b b e a a e e>\>\£Þ<£Q .即实数a 的取值范围是(21,e ùû.(3)2,()x a e f x e bx e ==-+有2个不同零点，则2x e e bx +=，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为2x ，较小者为1x ，1222412x x e e e e b e x x ++==>，注意到函数2x e e y x+=在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+¥上单调递增，故122x x <<，又由5245e e e +<知25x >，122211122x e e e e b x x x b+=<Þ<，要证2212ln 2b b e x x e b >+，只需22ln e x b b>+，222222x x e e e b x x +=<且关于b 的函数()2ln e g b b b=+在4b e >上单调递增，所以只需证()22222222ln 52x x e x e x x x e>+>，只需证2222222ln ln 02x x x e x e e x e -->，只需证2ln ln 202x e x x e-->，242e <Q ，只需证4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，由于()11()44410x x x h x xe e e x xx ¢---+-+-==>，故函数()h x 单调递增，又54520(5)ln 5l 20n 2ln 02h e e =--=->，故4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第1章第1讲集合含解析

第1讲集合最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B 或B ⊇A .(2)真子集：若A ⊆B ，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则A B 或B A .(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)任何集合都有两个子集.( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )解析(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y ＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C 不相等.(3)错误.当x＝1，不满足互异性.(4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a∉A.答案 D3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A.{1，3}B.{3，5}C.{5，7}D.{1，7}解析因为A ＝{1，3，5，7}，而3，5∈A 且3，5∈B ，所以A ∩B ＝{3，5}. 答案 B4.(2017·杭州模拟)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则∁U (A ∪B )等于( ) A.{1，4}B.{1，5}C.{2，5}D.{2，4}解析由题意得A ∪B ＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U (A ∪B )＝{2，4}. 答案 D5.(2017·绍兴调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则A ∪B ＝________，(∁U A )∩B ＝________.解析 ∵A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，∴A ∪B ＝{x |x ≥0}，(∁U A )∩B ＝{x |0≤x <2}.答案 {x |x ≥0} {x |0≤x <2}6.已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________.解析集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素. 答案 2考点一集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A.1B.3C.5D.9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92B.98C.0D.0或98解析 (1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1；当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形. (2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合. 【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________. 解析(1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. (2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去；当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98.答案 (1)2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A.AB B.B A C.A ⊆B D.B ＝A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m的取值范围是________.解析 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}. 因此BA .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 答案 (1)B (2)(－∞，4]规律方法 (1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2017·镇海中学质检)若集合A ＝{x |x >0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( ) A.{1，2}B.{x |x ≤1}C.{－1，0，1}D.R(2)(2016·郑州调研)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( ) A.2 B.－1 C.－1或2D.2或2解析 (1)因为A ＝{x |x ＞0}，且B ⊆A ，再根据选项A ，B ，C ，D 可知选项A 正确.(2)由x ＝x 2－2，得x ＝2，则A ＝{2}. 因为B ＝{1，m }且A ⊆B ，所以m ＝2.考点三集合的基本运算【例3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.Q＝{x|－2<x<2}，∴∁R又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}.答案(1)D (2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】(1)(2017·石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( )A.N⊆MB.N∩M＝∅C.M⊆ND.M∩N＝R(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝( )A.{2，6}B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.[思想方法]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( )A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}解析由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3<x<3}，又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}.答案 D3.(2017·肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案 B4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].答案 C5.(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞).又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此A∪B＝(－1，＋∞).答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则(∁U P)∪Q＝( )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴∁U P＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(∁U P)∪Q＝{1，2，4，6}.答案 C7.若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1B.3C.7D.31解析具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，2，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，12，2.答案 B8.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A.{x |x ≥0}B.{x |x ≤1}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图. ∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}. 答案 D 二、填空题9.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 答案 (－∞，1]10.(2017·宁波调研)集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝________；A ∪B ＝________；∁B A ＝________.解析 A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，∴|x |＝1，∴A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{－1，0，1}，∁B A ＝{－1}. 答案 {0，1} {－1，0，1} {－1}11.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.解析由x (x ＋1)>0，得x <－1或x >0， ∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)， ∴A －B ＝[－1，0).答案[－1，0)12.(2017·湖州质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.答案(2 016，＋∞)13.(2017·金华模拟)设集合A＝{x∈N|6x＋1∈N}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A ＝________，B＝________，A∩(∁R B)＝________.解析当x＝0，1，2，5时，6x＋1的值分别为6，3，2，1，当x∈N且x≠0，1，2，5时，6x＋1∉N，∴A＝{0，1，2，5}，由x－1>0，得x>1，∴B＝{x|x>1}，∁R B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁RB)＝{0，1}.答案{0，1，2，5} {x|x>1} {0，1}能力提升题组(建议用时：10分钟)14.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁R S)∩T＝( )A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞)解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S＝(2，3)，因此(∁RS)∩T＝(2，3).答案 C15.(2016·黄山模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁U B＝[1，＋∞)，A∩(∁U B)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.答案 B16.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.解析由14≤2x ≤16，x ∈N ， ∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}.又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}，∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素.答案 117.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________.解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0.答案 018.(2017·丽水质检)若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的，若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________.解析(1)由题意得，⎩⎨⎧1a ＋1b ＝2c ，a ＋c ＝2b ⇒1a ＋2a ＋c ＝2c ⇒c (a ＋c )＋2ac ＝2a (a ＋c )⇒c 2＋ac －2a 2＝0⇒(c ＋2a )(c －a )＝0，∵c ≠a ，∴c ＝－2a ，b ＝a ＋c 2＝－a 2，∴c＝4b，令－2 014≤4b≤2 014，得－503≤b≤503，∴P中最大元素为4b ＝4×503＝2 012.(2)由(1)知P＝{－2b，b，4b}且－503≤b≤503，所以“好集”P的个数为2×503＝1 006.答案(1)2 012 (2)1 006。

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书10.2双曲线及其性质讲解部分

a2 b2
【知识拓展】
1.过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ ABF2的周长为4a+2|AB|.
栏目索引
2.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦叫做通径,其长度是 2b2 .
a
3.焦点到渐近线的距离为b.
4.(1)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,则直线PA
得
x y
c, 2 bc
,
即点P的坐标为
c 2
,
bc 2a
.∵l2⊥PF1,
a
2a
bc
∴
2a c
c
=
a b
,则b2=3a2,即c2-a2=3a2,从而知e=
c a
=2,故选C.
2
答案 C
双曲线的焦距与实轴长的比e=ac
b
y=± a x
a
y=± b x
栏目索引
2பைடு நூலகம்点P(x0,y0)和双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的关系
(1)P在双曲线内⇔
x02 a2
-
y02 b2
>1(含焦点);
(2)P在双曲线上⇔
x02 a2
-
y02 b2
=1;
(3)P在双曲线外⇔ x02 - y02 <1.
栏目索引
高考数学浙江专用
10.2 双曲线及其性质
考向基础
考点清单
考点一双曲线的定义和标准方程
1.双曲线的基本知识
栏目索引
栏目索引
2.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)等轴双曲线⇔离心率e= 2 ⇔两条渐近线互相垂直(位置关系).

2021年浙江省普通高中学业水平考试_数学_含答案

浙江省普通高中学业水平考试数学卷选择题部分一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。

每小题中只有一个选项是符合题意的。

不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则AB 的元素个数是(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 2．22log 12log 3-=(A)2- (B)0 (C)12(D)2 3．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 4．函数R))(3π2sin()(∈+=x x x f 的最小正周期为 (A)2π(B) π (C) π2 (D) 4π 5．直线230x y ++=的斜率是 (A)12-(B)12(C)2- (D)2 6．若1x =满足不等式2210ax x ++<，则实数a 的取值范围是 (A)(3,)-+∞ (B)(,3)-∞- (C)(1,)+∞ (D)(,1)-∞ 7．函数3()log (2)f x x =-的定义域是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)(,2]-∞ (D)(,2)-∞ 8．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3 (C)(1,0),3- (D)(1,0),3(第3题图)9．各项均为实数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a = (A)2 (B)2- (C)2 (D)2- 10．下列函数中，图象如右图的函数可能是(A)3y x = (B)2xy = (C)y x =(D)2log y x =11．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件12．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(A) ()+∞,0 (B)()2,0 (C)()+∞,1 (D) ()1,0 13．设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥，则命题p 的否定是（A ）p ⌝：∈∃0x R,020<x （B ）p ⌝：∈∃0x R, 020≤x （C ）p ⌝：x ∀∈R,20x < （D ）p ⌝：x ∀∈R,20x ≤ 14．若函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则实数a 的值为(A)1 (B)0 (C)1- (D)1± 15．在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面 16．在△ABC 中，三边长分别为c b a ,,，且︒=30A ，︒=45B ，1=a ，则b 的值是(A)21(B) 22 (C) 2 (D) 2617．若平面向量,a b 的夹角为60，且|2|=|a b |，则 (A)()⊥+a b a (B)()⊥-a b a (C)()⊥+b b a (D)()⊥-b b a(第10题图)18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则DE 与面11B BCC 所成角的正切值为 (A)62 (B) 63(C)2 (D)2219．函数44sin cos y x x =-在]3π,12π[-的最小值是(A)1- (B)32- (C)12(D)1 20．函数1()2x f x x=-的零点所在的区间可能是 (A)(1,)+∞ (B)1(,1)2 (C)11(,)32 (D)11(,)4321．已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为 (A)0 (B)18 (C)96 (D)60022．若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则此双曲线的离心率是(A)3 (B)22 (C)3 (D)10 23．若将一个真命题．．．中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题．．．，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题： ①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是(A)①② (B)①④ (C)①③ (D)③④CD A 1B 1C 1E（第18题图）24．用餐时客人要求：将温度为10C 、质量为25.0 kg 的同规格的某种袋装饮料加热至C C ～︒︒4030.服务员将x 袋该种饮料同时放入温度为80C 、5.2 kg 质量为的热水中，5分钟后立即取出．设经过5分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同，此时，1m kg 该饮料提高的温度1t C ∆与2m kg 水降低的温度2t C ∆满足关系式11220.8m t m t ⨯∆=⨯⨯∆，则符合客人要求的x 可以是(A)4 (B)10 (C)16 (D)2225．若满足条件20,20,210x y x y kx y k -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--+≤⎩的点(,)P x y 构成三角形区域，则实数k 的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)(0,1) (C)(1,1)- (D)(,1)(1,)-∞-+∞非选择题部分二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)26．已知一个球的表面积为4πcm 3，则它的半径等于 ▲ cm ．27．已知平面向量(2,3)=a ，(1,)m =b ，且//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．28．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．29．数列{}n a 满足⎩⎨⎧≤≤≤≤=--,1911,2,101,2191n n a n n n 则该数列从第5项到第15项的和为 ▲ ．30．若不存在．．．整数x 满足不等式2(4)(4)0kx k x ---<，则实数k 的取值范围是 ▲ ．三、解答题(共4小题，共30分) 31．(本题7分) 已知,54sin ),π,2π(=∈θθ求θcos 及)3πsin(+θ的值.32．（本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，）（A ）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平面1CDB .（B ）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD ，32,2,3===AB AD PA ,BC =6.(1)求证:;PAC BD 平面⊥ (2)求二面角A BD P --的大小.（第33题B 图）DA B 1CBA C （第33题A 图）33．(本题8分) 如图，由半圆221(0)x y y +=≤和部分抛物线 2(1)y a x =-（0y ≥，0a >）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点(2,3).（1）求a 的值；（2）设(1,0)A ,(1,0)B -，过A 且斜率为k 的直线 l 与“羽毛球形线”相交于P ,A ,Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．34．(本题8分) 已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． (1)若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性；(2)当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．yxO A B PQ（第33题图）参考答案一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书10.5曲线与方程讲解部分

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例3 已知线段PQ的长为1,若P,Q分别在椭圆 x2 +y2=1和x轴上运动,则线段
4
PQ的中点M的轨迹方程是 . 解题导引
解析设M(x,y),P(2cos θ,sin θ), 由|PQ|=1,可得Q(2cos θ±cos θ,0),
所以
x y
1 2 1 2
(4 1) sin θ,
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高考数学浙江专用
10.5 曲线与方程
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考点清单
考点曲线与方程
考向基础 1.曲线与方程一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系——建立适当的坐标系;
cos
θ,
所以 co 2 y,
,
消去θ得 4x2 +4y2=1.
(4 1)2
故点M的轨迹方程是 4x2 +4y2=1.
(4 1)2
答案
4x2 (4 1)2
+4y2=1
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满足|PA|= 2 |PB|,则点P的轨迹方程是
;轨迹为
.
解题导引
解析设P(x,y),则|PA|= (x 2)2 y2 ,|PB|= (x-2)2 y2 ,代入|PA|= 2|PB|,并化简可得x2+y2-12x+4=0,故轨迹为一个圆. 答案 x2+y2-12x+4=0;一个圆
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方法2 定义法求轨迹方程

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书8.3直线平面平行的判定和性质讲解部分

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利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反.在实际的解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.
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方法技巧
方法直线、平面平行的判定方法
(10分)
又AD1=1,D1F= 3 ,
2
所以AF= 7 , (14分)
2
所以sin∠AFD1= AD1 = 2 7 .
AF 7
(15分)
(2)判定定理(文字语言、图形语言、符号语言)
文字语言
图形语言
判定定理1
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面平行”)
判定定理2
如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行
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符号语言
a⊂α,b⊂α, a∩b=P, a∥β, b∥β⇒α∥β
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理1
如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
α∥β且a⊂α ⇒a∥β
性质定理2
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简记为“面面平行⇒ 线线平行”)
α∥β且γ∩α=a 且γ∩β=b⇒a∥b
性质定理3
如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线
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α∥β且l⊥α ⇒l⊥β
【知识拓展】 1.与平面平行有关的几个常用结论 (1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等; (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行; (3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例; (4)同一条直线与两个平行平面所成角相等. 2.平行问题的转化方向图

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书10.4直线与圆锥曲线的位置关系试题部分

10.4 直线与圆锥曲线的位置关系探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线与圆锥曲线的位置关系1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.3.能解决直线与圆锥曲线的位置关系等问题.2015浙江文,19,15分直线与抛物线的位置关系三角形的面积★★★2015浙江,19,15分直线与椭圆的位置关系三角形面积的最值分析解读 1.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的常考内容,常以解答题的形式呈现,试题具有一定的难度.2.直线与圆锥曲线的位置关系综合性较强,要注重与一元二次方程中的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相结合.3.预计2021年高考中,仍将以直线与圆锥曲线的位置关系等问题为重点进行考查.破考点练考向【考点集训】考点直线与圆锥曲线的位置关系1.过椭圆x 216＋y 24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M 平分,则这条弦所在的直线方程是 .【参考答案】x ＋2y －4=02.(2019浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,21)已知F 是抛物线T:y 2=2px(p ＞0)的焦点,点P(1,m)是抛物线上一点,且|PF|=2,直线l 过定点(4,0),与抛物线T 交于A,B 两点,点P 在直线l 上的射影是Q. (1)求m,p 的值;(2)若m ＞0,且|PQ|2=|QA|·|QB|,求直线l 的方程.解析 (1)由|PF|=2,得1＋p 2=2,所以p=2,(2分) 将x=1,y=m 代入y 2=4x,得m=±2.(4分) (2)解法一:因为m ＞0,所以点P(1,2), 设直线l 的方程是x=ny ＋4,由{x =ny ＋4,y 2=4x得y 2－4ny －16=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2=4n,y 1·y 2=－16,(6分) 因为|PQ|2=|QA|·|QB|,所以PA ⊥PB,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 且1≠2n ＋4,(8分)所以(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)=0,且n ≠－32,(10分)由(ny 1＋3)(ny 2＋3)＋(y 1－2)(y 2－2)=0,得(n 2＋1)y 1y 2＋(3n －2)(y 1＋y 2)＋13=0, 即－16(n 2＋1)＋4n(3n －2)＋13=0,即4n 2＋8n ＋3=0,(13分) 解得n=－32(舍去)或n=－12,所以直线l 的方程是x=－12y ＋4,即2x ＋y －8=0.(15分) 解法二:因为m ＞0,所以点P(1,2),所以抛物线T:y 2=4x. 设直线l 的方程是x=ny ＋4,由{x =ny ＋4,y 2=4x得y 2－4ny －16=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),Q(x 0,y 0),则y 1＋y 2=4n,y 1·y 2=－16,(6分) 由{x =ny ＋4,y －2=－n(x －1)得Q 点的纵坐标y 0=2－3n1＋n 2,(8分)所以|PQ|=1＋n ,|QA|·|QB|=－(1＋n 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)=－(1＋n 2)(－16－4ny 0＋y 02),(10分)因为|PQ|2=|QA|·|QB|,所以(2n ＋3)21＋n 2=(1＋n 2)·[16＋4n(2－3n)1＋n 2－(2－3n)2(1＋n 2)2],化简得4n 2＋8n ＋3=0,(13分) 解得n=－32(舍去)或n=－12,所以直线l 的方程是x=－12y ＋4,即2x ＋y －8=0.(15分)炼技法提能力【方法集训】方法圆锥曲线中弦长的求法1.(2018浙江杭州二中新高考调研卷三,15)设O 是坐标原点,若椭圆x 24＋y 22=1与斜率为2的直线l 交于A,B 两点,则△OAB 的面积最大值是 . 【参考答案】√22.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,21)已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点,点P 是不在抛物线上的一个动点,过点P 向抛物线C 作两条切线l 1,l 2,切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)如果点P 在直线y=－1上,求1|AF|＋1|BF|的值; (2)若点P 在以F 为圆心,4为半径的圆上,求|AF|·|BF|的值.解析 (1)因为抛物线的方程为y=x 24,所以y'=x 2,所以切线PA 的方程为y －y 1=x 12(x －x 1),即x 12x －y －y 1=0①,同理得切线PB 的方程为x 22x －y －y 2=0②, 设P(x 0,y 0),则由①②得x 1x 0－2y 1－2y 0=0和x 2x 0－2y 2－2y 0=0,由此得直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0=0.由于点P 是直线y=－1上的一个动点,所以y 0=－1,则直线AB 的方程为x 0x －2y ＋2=0,因此它过抛物线的焦点F(0,1).当x0=0时,AB的方程为y=1,此时|AF|=|BF|=2,所以1|AF|＋1|BF|=1;当x0≠0时,把直线AB方程代入抛物线方程得y2－(x02＋2)y＋1=0,从而得y1y2=1,所以1|AF|＋1|BF|=1y1＋1＋1y2＋1=y1＋y2＋2y1y2＋y1＋y2＋1=1.综上,1|AF|＋1|BF|=1.(2)由(1)知切线PA的方程为y=x12x－x124,切线PB的方程为y=x22x－x224,联立得点P(x1＋x22,x1x24).设直线AB的方程为y=kx＋m,将其代入C:x2=4y中得x2－4kx－4m=0.因此x1＋x2=4k,x1x2=－4m,所以点P的坐标为(2k,－m),由题意得|PF|=√4k2＋(m＋1)2=4,所以(m＋1)2=16－4k2,从而|AF|·|BF|=(y1＋1)(y2＋1)=(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1)=k2x1x2＋k(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2=－4mk2＋4k2(m＋1)＋16－4k2=16.【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2015浙江文,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2＋(y－1)2=1,过点P(t,0)(t＞0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x－t),由{y=k(x－t),y=14x2消去y,整理得x2－4kx＋4kt=0,由直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知,点B,O关于直线PD对称,故{y02=－x02t＋1, x0t－y0=0,解得{ x 0=2t1＋t 2,y 0=2t 21＋t 2.因此,点B 的坐标为(2t 1＋t2,2t 21＋t 2).(2)由(1)知|AP|=t ·√1＋t 2, 和直线PA 的方程tx －y －t 2=0. 点B 到直线PA 的距离是d=2√1＋t ,设△PAB 的面积为S(t), 所以S(t)=12|AP|·d=t 32.评析本题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系等基础知识.考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.2.(2015浙江,19,15分)已知椭圆x 22＋y 2=1上两个不同的点A,B 关于直线y=mx ＋12对称. (1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).解析 (1)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y=－1mx ＋b.由{x 22＋y 2=1,y =－1mx ＋b 消去y,得(12＋1m 2)x 2－2bmx ＋b 2－1=0. 因为直线y=－1mx ＋b 与椭圆x 22＋y 2=1有两个不同的交点, 所以Δ=－2b 2＋2＋4m 2＞0,① 将AB 中点的M (2mbm 2＋2,m 2bm 2＋2)代入直线方程y=mx ＋12,解得b=－m 2＋22m 2.②由①②得m ＜－√63或m ＞√63.(2)令t=1m∈(－√62,0)∪(0,√62),则|AB|=√t 2＋1·√－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12,且O 到直线AB 的距离为d=2＋12t ＋1.设△AOB 的面积为S(t), 所以S(t)=12|AB|·d=12√－2(t 2－12)2＋2≤√22.当且仅当t 2=12时,等号成立. 故△AOB 面积的最大值为√22.B 组统一命题、省(区、市)卷题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018课标全国Ⅰ理,8,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M,N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【参考答案】D2.(2019天津文,19,14分)设椭圆x 2a2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|(O 为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线x=4上,且OC ∥AP.求椭圆的方程.解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.考查数学运算的核心素养. (1)设椭圆的半焦距为c,由已知有√3a=2b. 又由a 2=b 2＋c 2,消去b 得a 2=(√32a)2＋c 2,解得c a =12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=√3c,故椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2=1. 由题意,F(－c,0),则直线l 的方程为y=34(x ＋c).点P 的坐标满足{x 24c 2＋y 23c 2=1,y =34(x ＋c),消去y 并化简,得到7x 2＋6cx －13c 2=0,解得x 1=c,x 2=－13c7. 代入到l 的方程,解得y 1=32c,y 2=－914c. 因为点P 在x 轴上方,所以P (c,32c). 由圆心C 在直线x=4上,可设C(4,t). 因为OC ∥AP,且由(1)知A(－2c,0),故t4=32c c ＋2c,解得t=2.则C(4,2).因为圆C 与x 轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C 与l 相切,得|34(4＋c)－2|√1＋(34)=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x 216＋y 212=1. 思路分析 (1)由已知条件,得a 与b 的比例关系,代入a 2=b 2＋c 2,得a 与c 的齐次关系,进而求得离心率.(2)设出直线方程(含参数c),联立直线与椭圆方程(含参数c),得交点P 的坐标(含参数c),由k AP =k OC ,求得C 点坐标以及圆的半径r,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c 的方程,求得c 的值,最终确定椭圆方程.3.(2019课标全国Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F,斜率为32的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.解析本题主要考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线相交的综合问题等内容,考查学生运算求解的能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,体现了直观想象与数学运算的核心素养. 设直线l:y=32x ＋t,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).(1)由题设得F (34,0),故|AF|＋|BF|=x 1＋x 2＋32,由题设可得x 1＋x 2=52. 由{y =32x ＋t,y 2=3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2=0,则x 1＋x 2=－12(t －1)9.从而－12(t －1)9=52,得t=－78.所以l 的方程为y=32x －78. (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=－3y 2. 由{y =32x ＋t,y 2=3x可得y 2－2y ＋2t=0.所以y 1＋y 2=2.从而－3y 2＋y 2=2,故y 2=－1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB|=4√133. 思路分析 (1)由|AF|＋|BF|=4确定A 、B 两点横坐标之和,联立直线l 的方程(含参)与抛物线方程,由根与系数的关系得A 、B 两点横坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数.(2)P 点在x 轴上,由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 知A 、B 两点纵坐标的比例关系,由根与系数的关系得A 、B 两点纵坐标之和,二者联立,确定A 、B 的纵坐标,进而确定A 、B 的坐标,从而求得|AB|.4.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l,在x 轴的上方,l 与圆F 2:(x －1)2＋y 2=4a 2交于点A,与椭圆C 交于点D.连接AF 1并延长交圆F 2于点B,连接BF 2交椭圆C 于点E,连接DF 1.已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.解析本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.考查数学运算和逻辑推理的核心素养. (1)设椭圆C 的焦距为2c.因为F 1(－1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c=1. 又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 2=√DF 12－F 1F 22=√(52)2－22=32.因此2a=DF 1＋DF 2=4,从而a=2. 由b 2=a 2－c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23=1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C:x 24＋y 23=1,a=2. 因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2=16,解得y=±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4). 又F 1(－1,0),所以直线AF 1:y=2x ＋2. 由{y =2x ＋2,(x －1)2＋y 2=16,得5x 2＋6x －11=0,解得x=1或x=－115.将x=－115代入y=2x ＋2,得y=－125. 因此B (－115,－125). 又F 2(1,0),所以直线BF 2:y=34(x －1).由{y =34(x －1),x 24＋y 23=1,得7x 2－6x －13=0,解得x=－1或x=137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以x=－1. 将x=－1代入y=34(x －1),得y=－32. 因此E (－1,－32).解法二:由(1)知,椭圆C:x 24＋y 23=1. 如图,连接EF 1.因为BF 2=2a,EF 1＋EF 2=2a,所以EF 1=EB, 从而∠BF 1E=∠B.因为F 2A=F 2B,所以∠A=∠B. 所以∠A=∠BF 1E,从而EF 1∥F 2A. 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴. 因为F 1(－1,0),由{x =－1,x 24＋y 23=1,解得y=±32.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以y=－32. 因此E (－1,－32).5.(2019天津理,18,13分)设椭圆x 2a2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为√55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O 为原点),且OP ⊥MN,求直线PB 的斜率.解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,c a =√55,又a 2=b 2＋c 2,可得a=√5,b=2,c=1. 所以,椭圆的方程为x 25＋y 24=1. (2)由题意,设P(x P ,y P )(x P ≠0),M(x M ,0).设直线PB 的斜率为k(k ≠0),又B(0,2),所以直线PB 的方程为y=kx ＋2,与椭圆方程联立{y =kx ＋2,x 25＋y 24=1,整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx=0,可得x P =－20k 4＋5k 2,代入y=kx ＋2得y P =8－10k 24＋5k 2,进而直线OP 的斜率y P x P=4－5k2－10k.在y=kx ＋2中,令y=0,得x M =－2k .由题意得N(0,－1),所以直线MN 的斜率为－k 2.由OP ⊥MN,得4－5k 2－10k·(－k 2)=－1,化简得k 2=245,从而k=±2√305. 所以,直线PB 的斜率为2√305或－2√305. 思路分析 (1)根据条件求出基本量a,b 得到椭圆方程.(2)要利用条件OP ⊥MN,必须求P 点和M 、N 点坐标.由直线PB 的方程与椭圆方程联立得到P 点坐标,求出M 及N 点坐标,利用k OP ·k MN =－1求出k PB .6.(2019课标全国Ⅲ理,21,12分)已知曲线C:y=x 22,D 为直线y=－12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B. (1)证明:直线AB 过定点;(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.解析本题考查直线与抛物线相切,弦的中点,直线与圆相切等知识点,通过直线与抛物线的方程运算,考查了学生在解析几何中的运算求解能力,以直线与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养.(1)证明:设D (t,－12),A(x 1,y 1),则x 12=2y 1.由于y'=x,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1＋12x 1－t=x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1=0.设B(x 2,y 2),同理可得2tx 2－2y 2＋1=0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y=tx ＋12.由{y =tx ＋12,y =x 22可得x 2－2tx －1=0.于是x 1＋x 2=2t,x 1x 2=－1,y 1＋y 2=t(x 1＋x 2)＋1=2t 2＋1, |AB|=√1＋t 2|x 1－x 2|=√1＋t 2×√(x 1＋x 2)2－4x 1x 2=2(t 2＋1). 设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2＋1,d 2=2t ＋1.因此,四边形ADBE 的面积S=12|AB|(d 1＋d 2)=(t 2＋3)√t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2＋12).由于EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2－2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行, 所以t ＋(t 2－2)t=0. 解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2. 因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.解题关键 (1)设出A 、B 坐标,求导、列等式是解题的突破口.(2)由(1)得出AB 的方程,用坐标表示出EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求AB 方程中的参数是关键.C 组教师专用题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2017课标全国Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y 2=4x 的焦点F,且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为( ) A.√5 B.2√2 C.2√3 D.3√3 【参考答案】C2.(2017课标全国Ⅰ理,10,5分)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 【参考答案】A3.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2－y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .【参考答案】√224.(2018课标全国Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(－2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.解析 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,－2). 所以直线BM 的方程为y=12x ＋1或y=－12x －1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x －2)(k ≠0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1＞0,x 2＞0. 由{y =k(x －2),y 2=2x得ky 2－2y －4k=0,可知y 1＋y 2=2k,y 1y 2=－4.直线BM,BN 的斜率之和为 k BM ＋k BN =y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2=x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1=y 1k＋2,x 2=y 2k＋2及y 1＋y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)=2y 1y 2＋4k(y 1＋y 2)k=－8＋8k=0.所以k BM ＋k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.5.(2018课标全国Ⅲ文,20,12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C:x 24＋y 23=1交于A,B 两点,线段AB 的中点为M(1,m)(m ＞0).(1)证明:k ＜－12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明:2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |＋|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 证明本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 124＋y 123=1,x 224＋y 223=1. 两式相减,并由y 1－y 2x 1－x 2=k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k=0. 由题设知x 1＋x 22=1,y 1＋y 22=m,于是k=－34m. 由题设得0＜m ＜32,故k ＜－12. (2)由题意得F(1,0).设P(x 3,y 3),则(x 3－1,y 3)＋(x 1－1,y 1)＋(x 2－1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3－(x 1＋x 2)=1,y 3=－(y 1＋y 2)=－2m ＜0. 又点P 在C 上,所以m=34,从而P (1,－32),|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=32. 于是|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1－1)2＋y 12=√(x 1－1)2＋3(1－x 124)=2－x12.同理|FB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2－x 22. 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |＋|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4－12(x 1＋x 2)=3. 故2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |＋|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |.6.(2018北京文,20,14分)已知椭圆M:x 2a2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M 的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(－2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D 和点Q (－74,14)共线,求k. 解析 (1)由题意得{a 2=b 2＋c 2,c a =√63,2c =2√2,解得a=√3,b=1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2=1.(2)设直线l 的方程为y=x ＋m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由{y =x ＋m,x 23＋y 2=1得4x 2＋6mx ＋3m 2－3=0.所以x 1＋x 2=－3m2,x 1x 2=3m 2－34. |AB|=√(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2=√2(x 2－x 1)2 =√2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]=√12－3m22.当m=0,即直线l 过原点时,|AB|最大,最大值为√6. (3)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由题意得x 12＋3y 12=3,x 22＋3y 22=3.直线PA 的方程为y=y 1x 1＋2(x ＋2).由{y =y1x 1＋2(x ＋2),x 2＋3y 2=3,得[(x 1＋2)2＋3y 12]x 2＋12y 12x ＋12y 12－3(x 1＋2)2=0.设C(x C ,y C ). 所以x C ＋x 1=－12y 12(x 1＋2)2＋3y 12=4x 12－124x 1＋7.所以x C =4x 12－124x 1＋7－x 1=－12－7x 14x 1＋7.所以y C =y 1x 1＋2(x C ＋2)=y 14x 1＋7.设D(x D ,y D ).同理得x D =－12－7x 24x 2＋7,y D =y 24x 2＋7.记直线CQ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ , 则k CQ －k DQ =y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74=4(y 1－y 2－x 1＋x 2). 因为C,D,Q 三点共线, 所以k CQ －k DQ =0. 故y 1－y 2=x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k=y 1－y 2x 1－x 2=1.7.(2018课标全国Ⅰ理,19,12分)设椭圆C:x 22＋y 2=1的右焦点为F,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0). (1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 解析 (1)由已知得F(1,0),l 的方程为x=1, 由已知可得,点A 的坐标为(1,√22)或(1,－√22).所以AM 的方程为y=－√22x ＋√2或y=√22x －√2.(2)证明:当l 与x 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°, 当l 与x 轴垂直时,直线OM 为AB 的垂直平分线, 所以∠OMA=∠OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y=k(x －1)(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＜√2,x 2＜√2,直线MA,MB 的斜率之和为k MA ＋k MB =y 1x 1－2＋y 2x 2－2,由y 1=kx 1－k,y 2=kx 2－k 得k MA ＋k MB =2kx 1x 2－3k(x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y=k(x －1)代入x 22＋y 2=1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2=0, 所以x 1＋x 2=4k 22k 2＋1,x 1x 2=2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k(x 1＋x 2)＋4k=4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1=0,从而k MA ＋k MB =0,故MA,MB 的倾斜角互补, 所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.8.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点(√3,12),焦点F 1(－√3,0),F 2(√3,0),圆O 的直径为F 1F 2. (1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.若△OAB 的面积为2√67,求直线l 的方程.解析本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.解法一:(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－√3,0),F 2(√3,0), 所以可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0). 又点(√3,12)在椭圆C 上,所以{3a 2＋14b2=1,a 2－b 2=3,解得{a 2=4,b 2=1.因此,椭圆C 的方程为x 24＋y 2=1.因为圆O 的直径为F 1F 2,所以其方程为x 2＋y 2=3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P(x 0,y 0)(x 0＞0,y 0＞0),则x 02＋y 02=3.所以直线l 的方程为y=－x 0y 0(x －x 0)＋y 0,即y=－x 0y 0x ＋3y 0.由{x 24＋y 2=1,y =－x0y 0x ＋3y 0消去y,得(4x 02＋y 02)x 2－24x 0x ＋36－4y 02=0.(*)因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以Δ=(－24x 0)2－4(4x 02＋y 02)(36－4y 02)=48y 02(x 02－2)=0.因为x 0,y 0＞0,所以x 0=√2,y 0=1. 因此,点P 的坐标为(√2,1). ②因为三角形OAB 的面积为2√67, 所以12AB ·OP=2√67,从而AB=4√27. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由(*)得x 1,2=24x 0±√48y 02(x 02－2)2(4x 02＋y 02),所以AB 2=(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2=(1＋x 02y 02)·48y 02(x 02－2)(4x 02＋y 02)2.因为x 02＋y 02=3,所以AB 2=16(x 02－2)(x 02＋1)2=3249,即2x 04－45x 02＋100=0.解得x 02=52(x 02=20舍去),则y 02=12,因此P 的坐标为(√102,√22).则直线l 的方程为y=－√5x ＋3√2.解法二:(1)由题意知c=√3,所以圆O 的方程为x 2＋y 2=3,因为点(√3,12)在椭圆上,所以2a=√(√3－√3)2＋(12－0)2＋√(√3＋√3)2＋(12－0)2=4,所以a=2.因为a 2=b 2＋c 2,所以b=1, 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2=1.(2)①由题意知直线l 与圆O 和椭圆C 均相切,且切点在第一象限,所以直线l 的斜率k 存在且k ＜0, 设直线l 的方程为y=kx ＋m(k ＜0,m ＞0),将直线l 的方程代入圆O 的方程,得x 2＋(kx ＋m)2=3, 整理得(k 2＋1)x 2＋2kmx ＋m 2－3=0,因为直线l 与圆O 相切,所以Δ=(2km)2－4(k 2＋1)(m 2－3)=0,整理得m 2=3k 2＋3, 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程,得x 24＋(kx ＋m)2=1, 整理得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4=0, 因为直线l 与椭圆C 相切,所以Δ=(8km)2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)=0, 整理得m 2=4k 2＋1,所以3k 2＋3=4k 2＋1,因为k ＜0,所以k=－√2,则m=3, 将k=－√2,m=3代入(k 2＋1)x 2＋2kmx ＋m 2－3=0, 整理得x 2－2√2x ＋2=0,解得x 1=x 2=√2,将x=√2代入x 2＋y 2=3,解得y=1(y=－1舍去),所以点P 的坐标为(√2,1). ②设A(x 1,kx 1＋m),B(x 2,kx 2＋m), 由①知m 2=3k 2＋3,且k ＜0,m ＞0,因为直线l 和椭圆C 相交,所以结合②的过程知m 2＜4k 2＋1,解得k ＜－√2, 将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4=0, 解得x 1,2=－8km±4√4k 2＋1－m 22(4k 2＋1),所以|x 1－x 2|=4√4k 2＋1－m 24k 2＋1,因为AB=√(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2=|x 1－x 2|√k 2＋1=4√4k 2＋1－m 24k 2＋1·√k 2＋1,O 到l 的距离d=|m|√k ＋1=√3,所以S △OAB =12·4√4k 2＋1－m 24k 2＋1·√k 2＋1·√k ＋1=12·4√k 2－24k 2＋1·√k 2＋1·√3=2√67, 解得k 2=5,因为k ＜0,所以k=－√5,则m=3√2, 即直线l 的方程为y=－√5x ＋3√2. 9.(2018天津理,19,14分)设椭圆x 2a2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53,点A 的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6√2. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l 与直线AB 交于点Q.若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ(O 为原点),求k 的值.解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c 2a 2=59, 又由a 2=b 2＋c 2,可得2a=3b. 由已知可得,|FB|=a,|AB|=√2b,由|FB|·|AB|=6√2,可得ab=6,从而a=3,b=2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24=1. (2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1＞y 2＞0,故|PQ|sin ∠AOQ=y 1－y 2. 又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB,而∠OAB=π4,故|AQ|=√2y 2.由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ,可得5y 1=9y 2.由方程组{y =kx,x 29＋y 24=1,消去x,可得y 1=6k√9k ＋4.易知直线AB 的方程为x ＋y －2=0, 由方程组{y =kx,x ＋y －2=0,消去x,可得y 2=2kk ＋1.由5y 1=9y 2,可得5(k ＋1)=3√9k 2＋4,两边平方, 整理得56k 2－50k ＋11=0,解得k=12或k=1128. 所以k 的值为12或1128.解题关键利用平面几何知识将|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ 转化为点P 、Q 坐标间的关系是解决第(2)问的关键.方法归纳求椭圆标准方程的基本方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a 2,b 2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a 、b 、c 的方程组,注意c 2=a 2－b 2的应用;④解方程组,求得a 、b 的值,从而得出椭圆的方程.10.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=x 24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解析(1)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1＋x2=4,于是直线AB的斜率k=y1－y2x1－x2=x1＋x24=1.解法二:设A(x1,x124),则由题意得B(4－x1,(4－x1)24),于是直线AB的斜率k=(4－x1)24－x1244－x1－x1=(4－x1)2－x124(4－2x1)=1.(2)解法一:由y=x 24,得y'=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x＋m,故线段AB的中点为N(2,2＋m),|MN|=|m＋1|.将y=x＋m代入y=x24得x2－4x－4m=0.当Δ=16(m＋1)＞0,即m＞－1时,x1,2=2±2√m＋1.从而|AB|=√2|x1－x2|=4√2(m＋1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m＋1)=2(m＋1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x＋7.解法二:设曲线C:y=x24上的点M的坐标为(x0,x024),过点M且与直线AB平行的直线l的方程为y=x－x0＋x024.联立得{y=x－x0＋x024,y=x24,消去y得x2－4x＋4x0－x02=0,所以Δ=(－4)2－4×1×(4x0－x02)=0,解得x0=2,代入曲线C的方程,得y0=1,故M(2,1).设A(x1,x124),则B(4－x1,(4－x1)24),因为AM⊥BM,所以1－x12 42－x1·1－(4－x1)242－(4－x1)=－1,即x12－4x1=28.所以直线AB的方程为y=x－x1＋x124,即y=x＋7.11.(2017天津理,19,14分)设椭圆x 2a2＋y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于点A),直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 的面积为√62,求直线AP 的方程.解析 (1)设F 的坐标为(－c,0).依题意,c a =12,p 2=a,a －c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2－c 2=34. 所以椭圆的方程为x 2＋4y 23=1,抛物线的方程为y 2=4x. (2)设直线AP 的方程为x=my ＋1(m ≠0),与直线l 的方程x=－1联立,可得点P (－1,－2m),故Q (－1,2m).将x=my ＋1与x 2＋4y 23=1联立,消去x,整理得(3m 2＋4)y 2＋6my=0,解得y=0或y=－6m 3m 2＋4.由点B 异于点A,可得点B (－3m 2＋43m 2＋4,－6m3m 2＋4).由Q (－1,2m),可得直线BQ的方程为(－6m3m 2＋4－2m )(x ＋1)－(－3m 2＋43m 2＋4＋1)(y －2m )=0,令y=0,解得x=2－3m 23m 2＋2,故D (2－3m 23m 2＋2,0).所以|AD|=1－2－3m 23m 2＋2=6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为√62,故12×6m 23m 2＋2×2|m|=√62,整理得3m 2－2√6|m|＋2=0,解得|m|=√63,所以m=±√63.所以直线AP 的方程为3x ＋√6y －3=0或3x －√6y －3=0.12.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy 中,直线l:y=t(t ≠0)交y 轴于点M,交抛物线C:y 2=2px(p ＞0)于点P,M 关于点P 的对称点为N,连接ON 并延长交C 于点H. (1)求|OH||ON|; (2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由. 解析 (1)由已知得M(0,t),P (t 22p,t). 又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p,t),ON 的方程为y=p tx,代入y 2=2px 整理得px 2－2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p. 因此H (2t 2p,2t). 所以N 为OH 的中点,即|OH||ON|=2. (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点. 理由如下:直线MH 的方程为y －t=p 2tx,即x=2t p(y －t).代入y 2=2px 得y 2－4ty ＋4t 2=0,解得y 1=y 2=2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点. 方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题. 13.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A 是椭圆E:x 24＋y 23=1的左顶点,斜率为k(k ＞0)的直线交E 于A,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明:√3＜k ＜2. 解析 (1)设M(x 1,y 1),则由题意知y 1＞0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 又A(－2,0),因此直线AM 的方程为y=x ＋2. 将x=y －2代入x 24＋y 23=1得7y 2－12y=0.解得y=0或y=127,所以y 1=127.因此S △AMN =2×12×127×127=14449.(2)证明:将直线AM 的方程y=k(x ＋2)(k ＞0)代入x 24＋y 23=1得 (3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12=0. 由x 1·(－2)=16k 2－123＋4k 2得x 1=2(3－4k 2)3＋4k 2,故|AM|=|x 1＋2|√1＋k 2=12√1＋k 23＋4k 2.由题设,直线AN 的方程为y=－1k(x ＋2), 故同理可得|AN|=12k √1＋k 23k 2＋4. 由2|AM|=|AN|得23＋4k2=k3k 2＋4,即4k 3－6k 2＋3k －8=0. 设f(t)=4t 3－6t 2＋3t －8,则k 是f(t)的零点, f '(t)=12t 2－12t ＋3=3(2t －1)2≥0, 所以f(t)在(0,＋∞)内单调递增. 又f(√3)=15√3－26＜0, f(2)=6＞0,因此f(t)在(0,＋∞)内有唯一的零点,且零点k 在(√3,2)内, 所以√3＜k ＜2.思路分析 (1)由|AM|=|AN|,MA ⊥NA 可以求出直线AM 的倾斜角,从而可以得出AM 的方程,与椭圆方程联立,求出点M 的纵坐标,从而求出△AMN 的面积;(2)先把直线AM 的方程与椭圆方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系及弦长公式,再根据2|AM|=|AN|建立关于k 的方程,再借助导数即可解决问题.14.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l:x －y －2=0,抛物线C:y 2=2px(p ＞0). (1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程; (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证:线段PQ 的中点坐标为(2－p,－p); ②求p 的取值范围.解析 (1)抛物线C:y 2=2px(p ＞0)的焦点为(p 2,0), 由点(p 2,0)在直线l:x －y －2=0上,得p 2－0－2=0,即p=4. 所以抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),线段PQ 的中点M(x 0,y 0).因为点P 和Q 关于直线l 对称,所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为－1,则可设其方程为y=－x ＋b.①证明:由{y 2=2px,y =－x ＋b消去x 得y 2＋2py －2pb=0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点,所以y 1≠y 2, 从而Δ=(2p)2－4×(－2pb)＞0,化简得p ＋2b ＞0. 方程(*)的两根为y 1,2=－p±√p 2＋2pb ,从而y 0=y 1＋y 22=－p.因为M(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=2－p. 因此,线段PQ 的中点坐标为(2－p,－p). ②因为M(2－p,－p)在直线y=－x ＋b 上, 所以－p=－(2－p)＋b,即b=2－2p.由①知p ＋2b ＞0,于是p ＋2(2－2p)＞0,所以p ＜43. 因此,p 的取值范围是(0,43).评析本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力及推理论证能力. 15.(2015天津,19,14分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－c,0),离心率为√33,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2＋y 2=b 24截得的线段的长为c,|FM|=4√33. (1)求直线FM 的斜率; (2)求椭圆的方程;(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于√2,求直线OP(O 为原点)的斜率的取值范围. 解析 (1)由已知有c 2a 2=13,即a 2=3c 2,又由a 2=b 2＋c 2,可得b 2=2c 2.设直线FM 的斜率为k(k ＞0),则直线FM 的方程为y=k(x ＋c).由已知,有(kc√k ＋1)2＋(c 2)2=(b 2)2,解得k=√33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2=1,直线FM 的方程为y=√33(x ＋c),两个方程联立,消去y,整理得3x 2＋2cx －5c 2=0,解得x=－53c 或x=c.因为点M 在第一象限,可得M 的坐标为(c,2√33c). 由|FM|=√(c ＋c)2＋(2√33c －0)2=4√33,解得c=1,所以椭圆的方程为x 23＋y 22=1. (3)设点P 的坐标为(x,y),直线FP 的斜率为t,得t=yx ＋1,即y=t(x ＋1)(x ≠－1),与椭圆方程联立得{y =t(x ＋1),x 23＋y 22=1,消去y,得2x 2＋3t 2(x ＋1)2=6.又由已知,得t=√6－2x 23(x ＋1)2＞√2,解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m,得m=y x ,即y=mx(x ≠0),与椭圆方程联立,整理可得m 2=2x 2－23. ①当x ∈(－32,－1)时,有y=t(x ＋1)＜0,因此m ＞0,于是m=√2x2－23,得m ∈(√23,2√33).②当x ∈(－1,0)时,有y=t(x ＋1)＞0,因此m ＜0,于是m=－√2x2－23,得m ∈(－∞,－2√33). 综上,直线OP 的斜率的取值范围是(－∞,－2√33)∪(√23,2√33). 评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用函数与方程思想解决问题的能力. 16.(2015福建,19,12分)已知点F 为抛物线E:y 2=2px(p ＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E 上,且|AF|=3. (1)求抛物线E 的方程;(2)已知点G(－1,0),延长AF 交抛物线E 于点B,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切.解析 (1)由抛物线的定义得|AF|=2＋p2.因为|AF|=3,即2＋p2=3,解得p=2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上, 所以m=±2√2,由抛物线的对称性, 不妨设A(2,2√2).由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2√2(x －1). 由{y =2√2(x －1),y 2=4x得2x 2－5x ＋2=0,解得x=2或x=12,从而B (12,－√2). 又G(－1,0),所以k GA =2√2－02－(－1)=2√23,k GB =－√2－012－(－1)=－2√23,所以k GA ＋k GB =0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F 到直线GA,GB 的距离相等, 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 证法二:设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上,所以m=±2√2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2√2). 由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2√2(x －1). 由{y =2√2(x －1),y 2=4x得2x 2－5x ＋2=0,解得x=2或x=12,从而B (12,－√2).又G(－1,0),故直线GA 的方程为2√2x －3y ＋2√2=0, 从而r=√2＋√2|√8＋9=√2√17.又直线GB 的方程为2√2x ＋3y ＋2√2=0, 所以点F 到直线GB 的距离d=√2√2|√8＋9=√2√17=r. 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.评析本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.17.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a 2＋x 2b2=1(a ＞b ＞0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2√6.(1)求C 2的方程;(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A,B 两点,与C 2相交于C,D 两点,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向. (i)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率;(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M,证明:直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形. 解析 (1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2－b 2=1.①又C 1与C 2的公共弦的长为2√6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±√6,32),所以94a 2＋6b2=1.② 联立①②得a 2=9,b 2=8.故C 2的方程为y 29＋x 28=1. (2)如图,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).(i)因AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向,且|AC|=|BD|,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而x 3－x 1=x 4－x 2,即x 1－x 2=x 3－x 4,于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2=(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k,则l 的方程为y=kx ＋1. 由{y =kx ＋1,x 2=4y 得x 2－4kx －4=0.而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1＋x 2=4k,x 1x 2=－4.④由{y =kx ＋1,x 28＋y 29=1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64=0.而x 3,x 4是这个方程的两根,所以x 3＋x 4=－16k 9＋8k 2,x 3x 4=－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③,得16(k 2＋1)=162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2,即16(k 2＋1)=162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2,所以(9＋8k 2)2=16×9,解得k=±√64,即直线l 的斜率为±√64.(ii)证明:由x 2=4y 得y'=x2,所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1=x12(x －x 1),即y=x 1x2－x 124. 令y=0,得x=x12,即M (x 12,0),所以FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 12,－1).而FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1－1),于是FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 122－y 1＋1=x 124＋1＞0, 因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD=180°－∠AFM 是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江卷(附答案解析)

y
AP
MO R
NF
x
Q
B l
(第 21 题图)
22. (本小题满分 15 分)
设 a, b 为实数, 且 a > 1, 函数 f (x) = ax − bx + e2 (x ∈ R).
(1) 求函数 f (x) 的单调区间;
(2) 若对任意 b > 2e2, 函数 f (x) 有两个不同的零点, 求 a 的取值范围;
1. 设集合 A = {x | x ⩾ 1}, B = {x | −1 < x < 2}, 则 A ∩ B =( ).
A： {x | x > −1}
B： {x | x ⩾ 1}
C： {x | −1 < x < 1}
2. 已知 a ∈ R, (1 + ai)i = 3 + i (i 为虚数单位), 则 a =( ).
8. 已知 α, β, γ 是互不相同的锐角, 则在 sin α cos β, sin β cos γ, sin γ cos α 三个值中, 大于 1 的个数的最大值是 2
( ).
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
9. 已知 a, b ∈ R, ab > 0, 函数 f (x) = ax2 + b (x ∈ R). 若 f (s − t), f (s), f (s + t) 成等比数列, 则平面上点 (s, t) 的轨迹是 ( ).
.
三、解答题：共 5 小题, 共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. (本小题满分 14 分)
设函数 f (x) = sin x + cos x (x ∈ R).

2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书3.1导数的概念及运算试题部分

专题三导数及其应用【真题探秘】3.1导数的概念及运算探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点导数的概念及几何意义1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.2018课标全国Ⅰ文,6,5分利用导数的几何意义求切线方程函数的奇偶性★☆☆导数的运算会用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数,并能求简单的复合函数的导数.2017浙江,20,15分导数运算函数的最值★★★分析解读 1.导数是高考中的重要内容,导数的运算是高考命题的热点,是每年的必考内容.2.本节主要考查导数的运算,导数的几何意义,考查函数与其导函数图象之间的关系.3.预计2021年高考中,导数运算的考查必不可少,同时要注意切线的相关知识点,复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一导数的概念及几何意义1.(2019浙江学军中学期中,4)已知曲线f(x)=x3在(1,f(1))处切线的倾斜角为θ,则2sin2θ－3sinθcosθ=()A.110B.37C.910D.13【参考答案】C2.(2018浙江嘉兴期末,7)函数y=x3－x的图象与直线y=ax＋2相切,则实数a=()A.－1B.1C.2D.4【参考答案】C考点二导数的运算1.(2018浙江镇海中学12月测试,1)下列求导结果正确的是()A.(1－x2)'=1－2xB.(cos30°)'=－sin30°C.[ln(2x)]'=12x D.(√x3)'=32√x【参考答案】D2.(2019浙江宁波期末,3)已知y=f(x)(x∈R)存在导函数,若f(x)既是周期函数又是奇函数,则其导函数()A.既是周期函数又是奇函数B.既是周期函数又是偶函数C.不是周期函数但是奇函数D.不是周期函数但是偶函数【参考答案】B炼技法提能力【方法集训】方法1导数运算的解题方法1.(2018浙江台州4月调考,10)设f'(x)为函数f(x)的导函数(x∈R),且f(x)＜0,2f'(x)＋f(x)＞0(e为自然对数的底数),若x1＜x2,则()A.f(x2)＜e x1－x2·f(x1)B.f(x1)＜e x2－x1·f(x2)C.f2(x2)＞e x2－x12·f2(x1) D.f2(x1)＞ex1－x22·f2(x2)【参考答案】D2.(2019天津十二区县重点学校联考,10)已知函数f(x)=(x2－a)ln x,f'(x)是函数f(x)的导函数,若f'(1)=－2,则a的值为. 【参考答案】3方法2曲线的切线方程的求法1.(2019浙江名校协作体联考,22)已知函数f(x)=e－x＋a√x(a∈R).(1)当a=0时,直线y=kx是曲线y=f(x)的切线,求实数k的值;(2)若x1,x2是函数f(x)的两个极值点,且x1＜x2,求f(x1)的取值范围.解析(1)当a=0时,f'(x)=－e－x,设P(x0,y0)是切点,则{－e－x0=k,kx0=e－x0,解得{x0=－1,k=－e.(2)f'(x)=－e－x＋2√x =x√x2√xe x,x∈(0,＋∞),令f'(x)=0,即2√x－ae x=0,则a=2√xe x ,令g(x)=2√xe x,则g'(x)=√xe x ,x∈(0,12)时,g'(x)＞0,当x∈(12,＋∞)时,g'(x)＜0,且当x→＋∞时,g(x)→0,所以当f'(x)=0有两个不等的根时,0＜a＜√2ee,此时0＜x1＜12,f(x1)=e－x1＋a√x1=(2x1＋1)e－x1,因为f'(x1)=(1－2x1)e－x1＞0恒成立,所以f(x1)在(0,12)上单调递增,所以f(x1)∈2e).2.(2019浙江嘉兴9月基础测试,22)已知函数f(x)=2x3－3(m－1)x2－6mx＋10m(m∈R).(1)若m=0,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)若m=1,x∈[－1,3],求f(x)的值域;(3)若m＞0,且当x∈[－1,3]时,f(x)≥0,求m的取值范围.解析(1)m=0,则f(x)=2x3＋3x2,f(1)=5.f'(x)=6x2＋6x,f'(1)=12.所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是y－5=12(x－1),即12x－y－7=0.(2)m=1,则f(x)=2x3－6x＋10,f'(x)=6x2－6.令f'(x)=0,得x1=－1,x2=1.x－1(－1,1)1(1,3)3 f'(x)0－0＋f(x)14单调递减6单调递增46所以f(x)的值域是[6,46].(3)f(x)=2x3－3(m－1)x2－6mx＋10m,则f'(x)=6x2－6(m－1)x－6m.令f'(x)=0,得x1=－1,x2=m.由题知m＞0,所以f(x)在(－1,m)上单调递减,在(m,＋∞)上单调递增.因为当x∈[－1,3]时,f(x)≥0,所以①若0＜m＜3,则f(x)min=f(m)≥0.由f(m)=－m3－3m2＋10m≥0,得m(m＋5)(m－2)≤0,所以0＜m≤2.②若m≥3,则f(x)min=f(3)≥0.而f(3)=81－35m≥0,与m≥3矛盾.故m 的取值范围是(0,2].【五年高考】A 组自主命题·浙江卷题组(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x －√2x －1)·e －x (x ≥12). (1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间[12,＋∞)上的取值范围.解析本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力. (1)因为(x －√2x －1)'=1－12x －1,(e －x )'=－e －x ,所以f '(x)=(112x －1)e －x －(x －√2x －1)e －x=(1－x)(√2x －1－2)e －x√2x －1＞12).(2)由f '(x)=(1－x)(√2x －1－2)e －x√2x －1=0,解得x=1或x=52.因为x 12(12,1)1 (1,52)52(52,＋∞)f '(x)－ 0 ＋ 0－ f(x)12e －12 ↘↗12e －52 ↘又f(x)=12(√2x －1－1)2e －x ≥0,所以f(x)在区间[12,＋∞)上的取值范围是[0,12e －12].解后反思 1.在导数大题中,求函数的导数至关重要,因此,必须熟练掌握求导公式和求导法则. 2.利用导数求函数的值域的一般步骤: (1)求函数f(x)的导函数f '(x); (2)解方程f '(x)=0;(3)用f '(x)=0的根把函数的定义域分成若干个区间; (4)判断每个区间上f '(x)的符号,得函数的单调性; (5)求函数在各个区间上的值域,再求并集. 3.本题最易忽略f(x)≥0这个条件,从而得出: f(x)在[12,＋∞)上的值域为(－∞,12e －12]的错误结论.因此,在求函数f(x)在区间(a,＋∞)或(－∞,a)上的值域时,一定要观察f(x)图象的趋势,或先判断f(x)何时为正,何时为负(通常是求出函数f(x)的零点).B 组统一命题、省(区、市)卷题组考点一导数的概念及几何意义1.(2019课标全国Ⅲ文,7,5分)已知曲线y=ae x＋xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x＋b,则()A.a=e,b=－1B.a=e,b=1C.a=e－1,b=1D.a=e－1,b=－1【参考答案】D2.(2019课标全国Ⅱ文,10,5分)曲线y=2sin x＋cos x在点(π,－1)处的切线方程为()A.x－y－π－1=0B.2x－y－2π－1=0C.2x＋y－2π＋1=0D.x＋y－π＋1=0【参考答案】C3.(2018课标全国Ⅰ文,6,5分)设函数f(x)=x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=－2xB.y=－xC.y=2xD.y=x【参考答案】D在点(0,1)处的切线方程为.4.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x－x2【参考答案】x＋2y－2=05.(2019课标全国Ⅰ理,13,5分)曲线y=3(x2＋x)e x在点(0,0)处的切线方程为.【参考答案】y=3x6.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(－e,－1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.【参考答案】(e,1)7.(2018课标全国Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax＋1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为－2,则a=.【参考答案】－38.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax－ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.【参考答案】1考点二导数的运算1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.【参考答案】e2.(2017山东理,20,13分)已知函数f(x)=x2＋2cos x,g(x)=e x(cos x－sin x＋2x－2),其中e=2.71828…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;(2)令h(x)=g(x)－af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意知,f(π)=π2－2,又f'(x)=2x－2sin x,所以f'(π)=2π,因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y－(π2－2)=2π(x－π),即y=2πx－π2－2.(2)由题意得h(x)=e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x),因为h'(x)=e x(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)=2e x(x－sin x)－2a(x－sin x)=2(e x－a)(x－sin x),令m(x)=x－sin x,则m'(x)=1－cos x≥0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x＞0时,m(x)＞0;当x＜0时,m(x)＜0.(i)当a≤0时,e x－a＞0,当x＜0时,h'(x)＜0,h(x)单调递减,当x＞0时,h'(x)＞0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=－2a－1;(ii)当a＞0时,h'(x)=2(e x－e ln a)(x－sin x),由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.①当0＜a＜1时,ln a＜0,当x∈(－∞,ln a)时,e x－e ln a＜0,h'(x)＞0,h(x)单调递增;当x∈(ln a,0)时,e x－e ln a＞0,h'(x)＜0,h(x)单调递减;当x∈(0,＋∞)时,e x－e ln a＞0,h'(x)＞0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值,极大值为h(ln a)=－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2],当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=－2a－1;②当a=1时,ln a=0,所以当x∈(－∞,＋∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(－∞,＋∞)上单调递增,无极值;③当a＞1时,ln a＞0,所以当x∈(－∞,0)时,e x－e ln a＜0,h'(x)＞0,h(x)单调递增;当x∈(0,ln a)时,e x－e ln a＜0,h'(x)＜0,h(x)单调递减;当x∈(ln a,＋∞)时,e x－e ln a＞0,h'(x)＞0,h(x)单调递增.所以当x=0时,h(x)取到极大值,极大值是h(0)=－2a－1;当x=ln a时,h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2].综上所述:当a≤0时,h(x)在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=－2a－1;当0＜a＜1时,函数h(x)在(－∞,ln a)和(0,＋∞)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(ln a)=－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2],极小值是h(0)=－2a－1;当a=1时,函数h(x)在(－∞,＋∞)上单调递增,无极值;当a＞1时,函数h(x)在(－∞,0)和(ln a,＋∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=－2a－1,极小值是h(ln a)=－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2].x3－12ax2,a∈R.3.(2017山东文,20,13分)已知函数f(x)=13(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)＋(x－a)cos x－sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意f'(x)=x2－ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2－2x,所以f'(3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x－3),即3x－y－9=0.(2)因为g(x)=f(x)＋(x－a)cos x－sin x,所以g'(x)=f'(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x=x(x－a)－(x－a)sin x=(x－a)(x－sin x),令h(x)=x－sin x,则h'(x)=1－cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x＞0时,h(x)＞0;当x＜0时,h(x)＜0.①当a ＜0时,g'(x)=(x －a)(x －sin x),当x ∈(－∞,a)时,x －a ＜0,g'(x)＞0,g(x)单调递增; 当x ∈(a,0)时,x －a ＞0,g'(x)＜0,g(x)单调递减; 当x ∈(0,＋∞)时,x －a ＞0,g'(x)＞0,g(x)单调递增.所以当x=a 时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=－16a 3－sin a, 当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=－a. ②当a=0时,g'(x)=x(x －sin x),当x ∈(－∞,＋∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在(－∞,＋∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值. ③当a ＞0时,g'(x)=(x －a)(x －sin x),当x ∈(－∞,0)时,x －a ＜0,g'(x)＞0,g(x)单调递增; 当x ∈(0,a)时,x －a ＜0,g'(x)＜0,g(x)单调递减; 当x ∈(a,＋∞)时,x －a ＞0,g'(x)＞0,g(x)单调递增. 所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=－a, 当x=a 时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=－16a 3－sin a. 综上所述:当a ＜0时,函数g(x)在(－∞,a)和(0,＋∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=－16a 3－sin a,极小值是g(0)=－a;当a=0时,函数g(x)在(－∞,＋∞)上单调递增,无极值;当a ＞0时,函数g(x)在(－∞,0)和(a,＋∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=－a,极小值是g(a)=－16a 3－sin a.4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a －x ＋bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e －1)x ＋4. (1)求a,b 的值; (2)求f(x)的单调区间.解析 (1)因为f(x)=xe a －x ＋bx,所以f '(x)=(1－x)e a －x ＋b. 依题设,知{f(2)=2e ＋2,f '(2)=e －1,即{2e a －2＋2b =2e ＋2,－e a －2＋b =e －1.解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe 2－x ＋ex.由f '(x)=e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知, f '(x)与1－x ＋e x －1同号. 令g(x)=1－x ＋e x －1,则g'(x)=－1＋e x －1.所以,当x ∈(－∞,1)时,g'(x)＜0,g(x)在区间(－∞,1)上单调递减; 当x ∈(1,＋∞)时,g'(x)＞0,g(x)在区间(1,＋∞)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(－∞,＋∞)上的最小值, 从而g(x)＞0,x ∈(－∞,＋∞).综上可知, f '(x)＞0,x ∈(－∞,＋∞).故f(x)的单调递增区间为(－∞,＋∞).5.(2015安徽,18,12分)设n ∈N *,x n 是曲线y=x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标. (1)求数列{x n }的通项公式;(2)记T n =x 12x 32…x 2n －12,证明:T n ≥14n.解析 (1)y'=(x 2n ＋2＋1)'=(2n ＋2)x 2n ＋1,曲线y=x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2.从而切线方程为y －2=(2n ＋2)(x －1). 令y=0,解得切线与x 轴交点的横坐标x n =1－1n ＋1=nn ＋1.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n =x 12x 32…x 2n －12=(12)2×(34)2×…×(2n －12n )2.当n=1时,T 1=14. 当n ≥2时,因为x 2n －12=(2n －12n )2=(2n －1)2(2n)2＞(2n －1)2－1(2n)2=2n －22n=n －1n,所以T n ＞(12)2×12×23×…×n －1n=14n.综上可得对任意的n ∈N *,均有T n ≥14n.C 组教师专用题组1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=e x D.y=x 3 【参考答案】A2.(2018课标全国Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为 . 【参考答案】y=2x3.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为 . 【参考答案】x －y ＋1=04.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x ＜0时,f(x)=ln(－x)＋3x,则曲线y=f(x)在点(1,－3)处的切线方程是 . 【参考答案】y=－2x －15.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a= . 【参考答案】86.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 【参考答案】(1,1)【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2018浙江杭州教学质检,5)若直线y=x 与曲线y=e x ＋m (m ∈R,e 为自然对数的底数)相切,则m=( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2 【参考答案】C2.(2019浙江宁波效实中学期中,7)已知函数f(x)=x 3－x 和点P(1,－1),则过点P 与该函数图象相切的直线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【参考答案】B3.(2020届浙江杭州二中月考,10)已知函数f(x)在区间(0,＋∞)上满足f(x)＞0,且f(x)＋f '(x)＜0.设a=xf(x),b=1xf (1x),则当0＜x ＜1时,a 和b 的大小关系是( )A.a ＞bB.a=bC.a ＜bD.不能确定【参考答案】A二、填空题(共4分)4.(2020届浙江省重点高中统练,13)曲线f(x)=2x 2－3x 在(1,－1)处的切线方程为 . 【参考答案】x －y －2=0三、解答题(共75分)5.(2018浙江温州二模,20)已知函数f(x)=4√x －3e 2x,g(x)=－12x 2＋ax.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与曲线y=g(x)相切,求a 的值; (2)若a=1,求函数y=f(x)＋g(x)的最大值. 解析 (1)f '(x)=2√x·2x －(4√x －3)·2e 2x (e 2x )2=2－8x ＋6√xe 2x ·√x.(3分)∴f '(1)=0,又f(1)=1e2,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=1e2. 又∵曲线y=f(x)在x=1处的切线与曲线y=g(x)相切, ∴g'(x)=－x ＋a=0,解得x=a. ∵g(a)=－a 22＋a 2=a 22, ∴a 22=1e2,∴a=±√2e.(6分)(2)y=f(x)＋g(x)=4√x －3e 2x－12x 2＋x,∴y'=√x√x ·e 2x－x ＋1=√x)(1√x)√x ·e 2x＋(1＋√x )(1－√x )=(1－√x )[1＋√x ＋2(1＋4√x)√x ·e 2x],x ∈(0,＋∞).当x ∈(0,1)时,y'＞0;当x ∈(1,＋∞)时,y'＜0,∴y=f(x)＋g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,(13分) ∴y max =y|x=1=1e2＋12.(15分)6.(2018浙江湖州、丽水第一学期质检,19)已知函数f(x)=x 2－ax ＋ln x(a ∈R). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线方程; (2)若函数f(x)有两个极值点x 1,x 2,求f(x 1＋x 2)的取值范围. 解析 (1)当a=1时, f(x)=x 2－x ＋ln x, 则f '(x)=2x －1＋1x ,(2分) 所以f '(1)=2,(4分)因此曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线方程为2x －y －2=0.(6分)(2)由题意得x ＞0, f '(x)=2x －a ＋1x,令f '(x)=0,(7分) 故2x 2－ax ＋1=0的两个不相等的正实数根为x 1,x 2.则有{Δ=a 2－8＞0,x 1＋x 2=a2＞0,x 1·x 2=12＞0,解得a ＞2√2.(9分)故f(x 1＋x 2)=(x 1＋x 2)2－a(x 1＋x 2)＋ln(x 1＋x 2)=－a 24＋ln a 2.(11分) 设g(a)=－a 24＋ln a 2(a ＞2√2), 则g'(a)=－a 2＋1a =2－a22a＜0.(13分)所以g(a)在(2√2,＋∞)上单调递减, 所以g(a)＜g(2√2)=－2＋ln √2=－2＋12ln 2.因此f(x 1＋x 2)的取值范围是(－∞,－2＋12ln2).(15分)7.(2019浙江宁波北仑中学模拟,20)已知函数f(x)=ax 2＋x －1e x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,－1)处的切线方程; (2)证明:当a=1时,f(x)＋e ≥0. 解析 (1)f '(x)=－ax 2＋(2a －1)x ＋2e x,则f '(0)=2.所以曲线y=f(x)在点(0,－1)处的切线方程是2x －y －1=0.(6分) (2)证明:当a=1时,f(x)＋e=(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x . 令g(x)=x 2＋x －1＋e x ＋1,则g'(x)=2x ＋1＋e x ＋1.当x ＜－1时,g'(x)＜0,则g(x)单调递减;当x ＞－1时,g'(x)＞0,则g(x)单调递增, 所以g(x)≥g(－1)=0,所以f(x)＋e ≥0.(15分)8.(2019浙江高考信息优化卷(三),22)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax 2－x(a ∈R). (1)若曲线f(x)与g(x)在公共点P 处有相同的切线,求证:点P 唯一; (2)若a ＞0,且曲线f(x)与g(x)总存在公切线,求正实数a 的最小值. 解析 (1)证明:设P(x 0,y 0),由已知得f '(x)=1x,g'(x)=2ax －1, 由已知条件可知{ f(x 0)=g(x 0)⇒ln x 0=ax 02－x 0⇒a =ln x 0＋x 0x 02,f '(x 0)=g'(x 0)⇒1x 0=2ax 0－1⇒a =x 0＋12x 02,要证明点P 唯一,即证明方程ln x 0＋x 0x 02=x 0＋12x 02在(0,＋∞)上只有一解,即方程2ln x 0＋x 0－1=0只有一解,令h(x 0)=2ln x 0＋x 0－1,则h'(x 0)=2x 0＋1＞0,所以h(x 0)为(0,＋∞)上的单调递增函数,且h(1)=0,命题得证. (2)易知曲线f(x)在点(t,ln t)处的切线方程为y －ln t=1t(x －t),即y=1tx ＋ln t －1,11 / 12由{y =1t x ＋lnt －1,y =ax 2－x得ax 2－(1＋1t )x －ln t ＋1=0, 又f(x)与g(x)的图象总存在公切线,所以Δ=(1＋1t )2－4a(1－ln t)=0总有解,即(1＋1t )2=4a(1－ln t)总有解,因为a ＞0,所以1－ln t ＞0,所以0＜t ＜e,方程化为4a=(1＋t)2t 2(1－lnt),令h(t)=(1＋t)2t 2(1－lnt)(0＜t ＜e),则h'(t)=(1＋t)(2lnt ＋t －1)t 3(1－lnt)2,易知1＋tt 3(1－lnt)2＞0在0＜t ＜e 上恒成立,由(1)可知当0＜t ＜1时,2ln t ＋t －1＜0,当1＜t ＜e 时,2ln t ＋t －1＞0,所以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,所以h(t)min =h(1)=4,所以a min =1.9.(2019浙江高考数学仿真卷,22)已知函数f(x)=ae x ＋b(a,b ∈R),且f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:f(x)ln x ＋3x ＞52(x ＞0).解析 (1)由题意得f '(x)=ae x ,所以f '(1)=ae=1,解得a=1e ,(2分)又因为f(1)=1e ×e 1＋b=1,所以b=0,所以f(x)=e x －1.(5分)(2)证明:对x 的取值范围分类讨论.①当0＜x ＜1时,0＜e x －1＜1,ln x ＜0,所以f(x)ln x ＋3x =e x －1ln x ＋3x ＞ln x ＋3x ,令g(x)=ln x ＋3x ,则g'(x)=1x －3x 2=x －3x 2＜0,所以g(x)在(0,1)上单调递减, 所以g(x)＞g(1)=3＞52,即f(x)ln x ＋3x =e x －1ln x ＋3x ＞ln x ＋3x ＞3＞52,故当0＜x ＜1时,不等式成立;(9分)②当x ≥1时,先证明不等式e x －1≥x 在x ∈[1,＋∞)上恒成立,令h(x)=e x －1－x(x ≥1),则h'(x)=e x －1－1≥0,所以h(x)在[1,＋∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,即不等式e x －1≥x 成立,而此时ln x ≥0,于是有f(x)ln x ＋3x =e x －1ln x ＋3x ≥xln x ＋3x ,令m(x)=ln x ＋3x 2－52x(x ≥1),则m'(x)=1x －6x 3＋52x 2=2x 2＋5x －122x 3=(2x －3)(x ＋4)2x 3, 所以m(x)在[1,32)上单调递减,在[32,＋∞)上单调递增,所以m(x)≥m (32)=ln 32－13,由于278＞3＞e,因此32＞e 13,12 / 12 所以ln 32＞13,所以m(x)≥m (32)=ln 32－13＞0,即m(x)=ln x ＋3x 2－52x ＞0, 即xln x ＋3x ＞52,所以f(x)ln x ＋3x =e x －1ln x ＋3x ≥xln x ＋3x ＞52,故当x ≥1时,命题得证. 综上,f(x)ln x ＋3x ＞52(x ＞0)成立.(15分)。

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12.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点离散型随机变量及其分布列 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用. 2018浙江,7,4分离散型随机变量的分布列函数的单调性★★★离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.2019浙江,7,4分离散型随机变量的均值、方差随机变量的分布列★☆☆2017浙江,8,4分离散型随机变量的均值、方差随机变量的分布列分析解读 1.随机变量及其分布列、均值与方差是概率统计部分的重要内容,是高中数学的主干知识,也是高考的热点.2.主要考查随机变量分布列的性质及运算求解能力.3.一般以解答题形式出现,以随机变量分布列为载体,综合计数原理、古典概型、等可能事件等考查学生分析问题、解决问题的能力.4.预计2021年高考试题中,对随机变量及其分布列、均值与方差的考查必不可少.破考点练考向【考点集训】考点一离散型随机变量及其分布列1.(2019浙江“超级全能生”联考,15)随机变量X 的分布列为X －3 －1 1 3 Pabcd其中a,b,c,d 成等差数列(a ＜b),则P(|X|=3)= ,D(X)的取值范围为 . 【参考答案】12;(209,5) 2.(2019浙江名校新高考研究联盟联考,11)已知随机变量ξ的分布列如下:ξ －1 1Pm13则E(ξ)= ,D(ξ)= . 【参考答案】－13;89考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2018浙江台州第一次调考,5)在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球,现从中有放回地摸取5次,每次随机摸取一球,设摸得的白球个数为X,黑球个数为Y,则( ) A.E(X)＞E(Y),D(X)＞D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)＞D(Y)C.E(X)＞E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) 【参考答案】C2.(2020届浙江师大附中11月模拟,6)设0＜a ＜23,随机变量X 的分布列是X －1 01Pa23－a 13则当a 在(0,23)内增大时,( ) A.D(X)增大 B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大【参考答案】A3.(2018浙江宁波模拟,13)已知随机变量X 的分布列如下表:X a2 34P13 b16 14若E(X)=2,则a= ;D(X)= . 【参考答案】0;52炼技法提能力【方法集训】方法1 求离散型随机变量的分布列的方法1.(2020届浙江台州一中模拟,5)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X 表示所选3人中女生的人数,则E(X)为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【参考答案】B2.(2019浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,6)已知随机变量ξ的分布列如下:ξ 1 2 3 P a b c若Eξ=2,则Dξ的值可能是( ) A.43B.32C.2D.23【参考答案】D3.(2018浙江浙东北联盟期中,14)已知随机变量ξ的分布列为ξ －1 012 Pa13 16b若E(ξ)=13,则a ＋b= ,D(ξ)= . 【参考答案】12;119方法2 求离散型随机变量的均值与方差的方法1.(2019浙江温州九校联考,7)抽奖箱中有15个形状一样,颜色不一样的乒乓球(2个红色,3个黄色,其余为白色),抽到红球为一等奖,黄球为二等奖,白球不中奖.有90人依次进行有放回地抽奖,则这90人中中奖人数的数学期望和方差分别是( ) A.6,0.4 B.18,14.4 C.30,10 D.30,20 【参考答案】D2.(2018浙江宁波期末,7)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n ∈N *)个黑球.现从中有放回地摸取4次,每次都是随机摸取一球,设摸得白球的个数为X,若D(X)=1,则E(X)=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【参考答案】B3.(2018浙江嵊州期末质检,8)甲箱子里装有3个白球和2个红球,乙箱子里装有2个白球和2个红球.从这两个箱子里分别摸出一个球,设摸出的白球的个数为X,摸出的红球的个数为Y,则( ) A.P(X=1)＞12,且E(X)＜E(Y) B.P(X=1)＞12,且E(X)＞E(Y) C.P(X=1)=12,且E(X)＜E(Y) D.P(X=1)=12,且E(X)＞E(Y) 【参考答案】D4.(2020届浙江绍兴一中期中,6)随机变量X 的分布列如表所示,若E(X)=13,则D(3X －2)=( )X －10 1 P16abA.59B.53C.5D.7 【参考答案】C【五年高考】A 组自主命题·浙江卷题组考点一离散型随机变量及其分布列(2018浙江,7,4分)设0＜p ＜1,随机变量ξ的分布列是ξ 012P1－p212p 2则当p 在(0,1)内增大时,( ) A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小【参考答案】D考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2019浙江,7,4分)设0＜a ＜1.随机变量X 的分布列是Xa1P131313则当a 在(0,1)内增大时,( )A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大【参考答案】D2.(2017浙江,8,4分)已知随机变量ξi 满足P(ξi =1)=p i ,P(ξi =0)=1－p i ,i=1,2.若0＜p 1＜p 2＜12,则( ) A.E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2) B.E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2) C.E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2) D.E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2) 【参考答案】AB 组统一命题、省(区、市)卷题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P(X=k)=C 3k (23)k (13)3－k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X 的分布列为X 0123P1272949827随机变量X 的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}. 由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)＋P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)＋P(X=2)P(Y=0)=827×29＋49×127=20243.思路分析 (1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断X~B(n,p),从而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即{X =3,Y =1或{X =2,Y =0.从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解. 解后反思本题关键是将实际问题转化为数学问题.2.(2017课标全国Ⅲ理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X 所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 P(X=200)=2＋1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25＋7＋490=0.4.因此X 的分布列为X 200 300 500 P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n －4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300＋2(n －300)－4n=1 200－2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200＋2(n －200)－4n=800－2n. 因此EY=2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2=640－0.4n. 当200≤n ＜300时,若最高气温不低于20,则Y=6n －4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200＋2(n －200)－4n=800－2n. 因此EY=2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2=160＋1.2n. 所以n=300时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元.3.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C 21C 31C 51C 103=14. (2)X 的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=0)=C 83C 103=715,P(X=1)=C 21C 82C 103=715,P(X=2)=C 22C 81C 103=115.综上知,X 的分布列为X 012P715715115故E(X)=0×715＋1×715＋2×115=35.4.(2015四川,17,12分)某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.解析 (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 43C 63C 63=1100. 因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100=99100. (2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3. P(X=1)=C 31C 33C 64=15,P(X=2)=C 32C 32C 64=35, P(X=3)=C 33C 31C 64=15. 所以X 的分布列为X 123P153515因此,X 的数学期望为E(X)=1×P(X=1)＋2×P(X=2)＋3×P(X=3) =1×15＋2×35＋3×15=2.评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2018课标全国Ⅲ理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)＜P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 【参考答案】B2.(2017课标全国Ⅱ理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= . 【参考答案】1.963.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 【参考答案】324.(2018课标全国Ⅰ理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1),且各件产品是不是不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1－p)18. 因此f '(p)=C 202[2p(1－p)18－18p 2(1－p)17]=2C 202p(1－p)17(1－10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p ∈(0,0.1)时, f '(p)＞0; 当p ∈(0.1,1)时, f '(p)＜0.所以f(p)的最大值点p 0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2＋25Y,即X=40＋25Y, 所以EX=E(40＋25Y)=40＋25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX ＞400,故应该对余下的产品作检验.5.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. (i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望;(ii)设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=C 4k ·C 33－kC 73(k=0,1,2,3).所以随机变量X 的分布列为X 0123P13512351835435随机变量X 的数学期望E(X)=0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435=127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B ∪C,且B 与C 互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(B ∪C)=P(X=2)＋P(X=1)=67. 所以事件A 发生的概率为67.6.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m ＋n 的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m ＋n).123…m ＋n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X 的数学期望,证明:E(X)＜n (m ＋n)(n －1).解析本题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=Cm ＋n －1n －1C m ＋nn =nm ＋n . (2)随机变量X 的概率分布为X1n1n ＋11n ＋2…1k…1m ＋nPCn －1n －1C m ＋nnC nn －1C m ＋nn Cn ＋1n －1C m ＋nn…Ck －1n －1C m ＋nn…Cn ＋m －1n －1C m ＋nn随机变量X 的期望为E(X)=∑k=n m ＋n1k ·Ck －1n －1C m ＋n n =1C m ＋n n ∑k=n m ＋n1k ·(k －1)!(n －1)!(k －n)!.所以E(X)＜1C m ＋nn ∑k=n m ＋n(k －2)!(n －1)!(k －n)! =1(n －1)C m ＋nn ∑k=n m ＋n(k －2)!(n －2)!(k －n)!=1(n －1)C m ＋nn(1＋C n －1n －2＋C nn －2＋…＋Cm ＋n －2n －2)=1(n －1)C m ＋nn(Cn －1n －1＋Cn －1n －2＋C nn －2＋…＋Cm ＋n －2n －2)=1(n －1)C m ＋nn(C nn －1＋C nn －2＋…＋Cm ＋n －2n －2)=…=1(n －1)C m ＋nn(Cm ＋n －2n －1＋Cm ＋n －2n －2)=Cm ＋n －1n －1(n －1)C m ＋nn=n (m ＋n)(n －1),即E(X)＜n(m ＋n)(n －1).7.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成如图,其中“*”表示服药者,“＋”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ); (3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论) 解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y 的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人:A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2. P(ξ=0)=C 22C 42=16,P(ξ=1)=C 21C 21C 42=23,P(ξ=2)=C 22C 42=16. 所以ξ的分布列为ξ 012P16 23 16故ξ的期望E(ξ)=0×16＋1×23＋2×16=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.方法总结 ①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.C 组教师专用题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X 的分布列;(2)若要求P(X ≤n)≥0.5,确定n 的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 可知X 的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22, P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2＋0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4＋0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分) 所以X 的分布列为X16 17 18 19 20 21 22 P0.04 0.16 0.24 0.240.20.08 0.04(6分)(2)由(1)知P(X ≤18)=0.44,P(X ≤19)=0.68,故n 的最小值为19.(8分) (3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时,EY=19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04=4 040.(10分) 当n=20时,EY=20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)思路分析 (1)确定X 的可能取值,分别求其对应的概率,进而可列出分布列. (2)根据(1)中求得的概率可得P(X ≤18)以及P(X ≤19)的值,由此即可确定n 的最小值. (3)求出n=19,n=20时的期望值,比较大小即可作出决策.2.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解析 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T(分钟) 25 30 35 40 频率0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而ET=25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T 1＋T 2≤70)=P(T 1=25,T 2≤45)＋P(T 1=30,T 2≤40)＋P(T 1=35,T 2≤35)＋P(T 1=40,T 2≤30) =0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5=0.91.解法二:P(A )=P(T 1＋T 2＞70)=P(T 1=35,T 2=40)＋P(T 1=40,T 2=35)＋P(T 1=40,T 2=40) =0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1－P(A )=0.91.3.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X 的分布列和数学期望. 解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, 则P(A)=56×45×34=12.(2)依题意得,X 所有可能的取值是1,2,3. P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56×45×1=23, 所以X 的分布列为X 123P161623所以E(X)=1×16＋2×16＋3×23=52.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX.解析 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D , 由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)＋P(A BCD)＋P(A B CD)＋P(AB C D)＋P(ABC D )=P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A )P(B)P(C)P(D)＋P(A)·P(B )P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C )P(D)＋P(A)P(B)·P(C)P(D ) =34×23×34×23＋2×(14×23×34×23＋34×13×34×23) =23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. (2)由题意,随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=14×13×14×13=1144,P(X=1)=2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)=10144=572, P(X=2)=34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23=25144,P(X=3)=34×23×14×13＋14×13×34×23=12144=112,P(X=4)=2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)=60144=512, P(X=6)=34×23×34×23=36144=14.可得随机变量X 的分布列为X 012346P1144 5722514411251214所以数学期望EX=0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14=236. 2.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=A 21A 31A 52=310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P(X=200)=A 22A 52=110, P(X=300)=A 33＋C 21C 31A 22A 53=310,P(X=400)=1－P(X=200)－P(X=300)=1－110－310=610. 故X 的分布列为X200300400P110310610EX=200×110＋300×310＋400×610=350.3.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和数学期望. 解析 (1)记事件A 1={从甲箱中摸出的1个球是红球}, A 2={从乙箱中摸出的1个球是红球}, B 1={顾客抽奖1次获一等奖}, B 2={顾客抽奖1次获二等奖}, C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,A 1与A 2相互独立,A 1A 2与A 1A 2互斥,B 1与B 2互斥,且B 1=A 1A 2,B 2=A 1A 2＋A 1A 2,C=B 1＋B 2. 因为P(A 1)=410=25,P(A 2)=510=12,所以P(B 1)=P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)=25×12=15, P(B 2)=P(A 1A 2＋A 1A 2)=P(A 1A 2)＋P(A 1A 2) =P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)=P(A 1)[1－P(A 2)]＋[1－P(A 1)]P(A 2) =25×(1－12)＋(1－25)×12=12.故所求概率P(C)=P(B 1＋B 2)=P(B 1)＋P(B 2)=15＋12=710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以X~B (3,15).于是P(X=0)=C 30(15)0(45)3=64125,P(X=1)=C 31(15)1(45)2=48125,P(X=2)=C 32(15)2(45)1=12125,P(X=3)=C 33(15)3(45)0=1125.故X 的分布列为X 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125X 的数学期望为E(X)=0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125=35. 4.(2015湖北,20,12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B 两种奶制品,生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产A,B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量. (1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 解析 (1)设每天A,B 两种产品的生产数量分别为x 吨,y 吨,相应的获利为z 元,则有 {2x ＋1.5y ≤W,x ＋1.5y ≤12,2x －y ≥0,x ≥0,y ≥0.①目标函数为z=1 000x ＋1 200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).当z=1 000x ＋1 200y 变形为y=－56x ＋z 1 200, 当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=－56x ＋z1 200在y 轴上的截距最大,最大获利Z=z max =2.4×1 000＋4.8×1 200=8 160. 当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将z=1 000x ＋1 200y 变形为y=－56x ＋z 1 200, 当x=3,y=6时,直线l:y=－56x ＋z1 200在y 轴上的截距最大,最大获利Z=z max =3×1 000＋6×1 200=10 200.当W=18时,①表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 将z=1 000x ＋1 200y 变形为y=－56x ＋z 1 200, 当x=6,y=4时,直线l:y=－56x ＋z1 200在y 轴上的截距最大,最大获利Z=z max =6×1 000＋4×1 200=10 800. 故最大获利Z 的分布列为Z8 160 10 200 10 800 P0.30.50.2因此,E(Z)=8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率 p 1=P(Z ＞10 000)=0.5＋0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p=1－(1－p 1)3=1－0.33=0.973.评析本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共36分)1.(2019浙江高考信息优化卷(一),5)已知随机变量Y~B(n,p),且E(Y)=2.4,D(Y)=1.68,则此二项分布是( ) A.B(3,0.8) B.B(8,0.3) C.B(6,0.4) D.B(4,0.6) 【参考答案】B2.(2019浙江诸暨期末,3)随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3 Paba则其数学期望Eξ=( )A.1B.2C.3D.不能确定【参考答案】B3.(2020届浙江金丽衢十二校联考,6)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以ξ表示取出球的最大号码,则E(ξ)=( )A.3.55B.3.5C.3.45D.3.4 【参考答案】B4.(2019浙江宁波期末,8)已知ξ是离散型随机变量,则下列结论错误的是( ) A.P (|ξ|≤13)≤P (ξ2≤13) B.[E(ξ)]2≤E(ξ2) C.D(ξ)=D(1－ξ) D.D(ξ2)=D[(1－ξ)2] 【参考答案】D5.(2019浙江绍兴数学调测,7)袋中有m 个红球,n 个白球,p 个黑球(5≥n ＞m ≥1,p ≥4),从中任取1个球(每个球取到的机会均等),设ξ1表示取出红球的个数,ξ2表示取出白球的个数,则( ) A.E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2) B.E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2)C.E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2)D.E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2) 【参考答案】D6.(2020届浙江浙南名校联盟联考,7)设0＜x ＜12,随机变量ξ的分布列如下:ξ 0 1 2 P0.50.5－xx则当x 在(0,12)内增大时,( )A.E(ξ)减小,D(ξ)减小B.E(ξ)增大,D(ξ)增大C.E(ξ)增大,D(ξ)减小D.E(ξ)减小,D(ξ)增大【参考答案】B7.(2020届浙江“超级全能生”联考,6)已知随机变量ξ的分布列如下:ξ 0 12P (1－p)22p(1－p) p 2则当p ∈(0,1)且不断增大时,( ) A.E(ξ)增大,D(ξ)增大 B.E(ξ)减小,D(ξ)减小C.E(ξ)增大,D(ξ)先增大后减小D.E(ξ)增大,D(ξ)先减小后增大【参考答案】C8.(2020届浙江“绿色评价”联盟联考,8)随机变量ξ的分布列如表所示,ξ 1 23Pab16若E(ξ)=53,则随机变量ξ的方差D(ξ)等于( ) A.19B.39C.59D.79【参考答案】C9.(2020届浙江东阳中学月考,7)随机变量X 的取值为0,1,2,若P(X=0)=14,E(X)=1,则D(X)=( ) A.32B.12C.14D.1 【参考答案】B二、填空题(共6分)10.(2020届浙江百校联考,12)已知随机变量ξ的分布列如下表.ξ 01 2Pab16若E(ξ)=23,则a= ,D(ξ)= .【参考答案】12;59。