2020届全国高考数学仿真押题试卷 数学试卷(二十)

2020届全国高考数学仿真押题试卷数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = )A ．1B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．B ．13-C ．13D 【解析】解：α是第二象限角，若 可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确；②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】解：模拟程序的运行，可得1n =，0S =不满足条件37S …，执行循环体，113S =⨯，3n =不满足条件37S …，执行循环体，，5n =不满足条件37S …，执行循环体，，7n =此时，满足条件37S …，退出循环，输出n 的值为7．【答案】C ．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为( )A B C D 【解析】解：以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， 设，则(1A ，0，1)，(1B ，0，0)，(0C ，0，0)，(0D ，1，0)，111(,,)222M ，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD ． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件．【答案】D．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是()A B．1C D【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i …，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i …，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i …，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i …，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i …，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]-B ．[2-，)+∞C ．(-∞，2]D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '…恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -…，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =，∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03B π<…，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯由余弦定理得，即b =⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？附：，，【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人，女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人，再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯（Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，即“认定类别”与“性别”无关⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA==，E，F分别为AB，11B C的中点．（Ⅰ）求证：1//B E平面ACF；（Ⅱ）求CE与平面ACF所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ， 所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =， 故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯ 解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ， 则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有，得设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则0n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即020x x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令z =(23n =，2，，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF ⋯⋯20．已知点(2,1)M 在椭圆上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB =-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点(1,0)E ，过点(2,1)M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由已知可得(2a --，1)(2a --，1)3-=-，解得28a =，又点(2,1)M 在椭圆C 上，即2222118b +=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（Ⅱ）设1(N x ，1)y ，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为，代入椭圆方程消去y 得，则有，即，，且判别式△，即12k ≠-，又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN <，即有1(1x -，1)(1y ，，将1x ，1y 代入得，解得16k >-，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1(,)6-+∞．21．已知函数．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）证明：为自然对数的底）恒成立．【解析】（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当0a …时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =，所以当1(0,)x a∈时()0f x '>，()f x 单调递增； 当1(,)x a ∈+∞时()0f x '<，()f x 单调递减，综上所述，当0a …时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0a >时，()f x 在1(0,)a 内单调递增，在1(,)a +∞内单调递减 ⋯⋯ （Ⅱ）证明：由（1）可知，当0a >时，特别地，取1a e =，有0x lnx e -…，即xlnx e…，所以2e lnx ex …（当且仅当x e =时等号成立），因此，要证20x e e lnx ->恒成立， 只要证明x e ex …在(0,)+∞上恒成立即可⋯⋯ 设，则，当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时单调递增．故当1x =时，()min g x g =（1）e =，即x e ex …在(0,)+∞上恒成立⋯⋯ 因此，有2x e ex e lnx 厖，又因为两个等号不能同时成立， 所以有20x e e lnx ->恒成立⋯⋯ 或：令，则，再令，则()0h x '>，由(0)0h <，h （2）0>知，存在00x >， 使得0()0h x =，得，由0()0h x =可证0()0g x >，进而得证．※考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 的参数方程为为参数）．（Ⅰ）求曲线1C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设D 为曲线1C 上在第二象限内的点，且在点D 处的切线与直线l 平行，求点D 的直角坐标． 【解析】解：（Ⅰ）由已知得22sin ρρθ=，得222x y y +=，即，所以1C 的参数方程为为参数）⋯⋯ 直线l 的直角坐标方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线1C 是以(0,1)C 为圆心、半径为1的圆， 设点，因为点D 在第二象限，所以直线CD 的斜率得56πα=，得点D 的直角坐标为(，3)2⋯⋯[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数．（Ⅰ）当1a =时，解不等式()5f x …； （Ⅱ）若x R ∀∈，恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）1a =时，，当1x -…时，，解得52x -…； 当11x -<<时，，解集为∅；当1x …时，，解得52x …；综上：当1a =时，不等式()5f x …的解集为（Ⅱ）显然有0a ≠，由绝对值的三角不等式得：所以|1|2m -…，解得13m -剟， 即[1m ∈-，3]⋯⋯。