高考数学试题-2018年高考第一轮复习数学：14.2导数的应用 最新
2018版高考数学理人教A版全国一轮复习练习 第三章 导
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1e ，令f ′(x )<0得0<x <1e ，故选D. 答案 D2.下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B.(π，2π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2D.(2π，3π)解析 y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2时，恒有x cos x >0. 答案 C3.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件. 答案 A4.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案 B5.设函数f(x)＝12x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1，2]B.(4，＋∞]C.[－∞，2)D.(0，3]解析∵f(x)＝12x2－9ln x，∴f′(x)＝x－9x(x>0)，当x－9x≤0时，有0<x≤3，即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.答案 A二、填空题6.函数f(x)＝e xx的单调递增区间为________.解析函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝e x（x－1）x2，令f′(x)>0得x>1.答案(1，＋∞)7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a 的取值范围是________.解析f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x＝[x2＋(2－2a)x－2a]e x，由题意当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1，1]时恒成立. 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ， 则有⎩⎨⎧g （－1）≤0，g （1）≤0，即⎩⎨⎧（－1）2＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞8.(2017·合肥模拟)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________.解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞三、解答题9.(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间.解 (1)∵f (x )＝x e a －x ＋bx ，∴f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .由题意得⎩⎨⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)得f (x )＝x e 2－x ＋e x ，由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号. 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上递增， ∴g (x )≥g (1)＝1在R 上恒成立， ∴f ′(x )>0在R 上恒成立.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞). 10.设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋1.(1)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 (1)由已知得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)， 单调递减区间为(0，a ).(2)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立.所以满足要求的实数a 的取值范围是(－∞，－22).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2017·承德调考)已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A.f (1)<e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)B.f (1)>e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)C.f (1)>e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)D.f (1)<e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0) 解析 令g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）e x ′＝f ′（x ）e x－f （x ）（e x）′e 2x ＝f ′（x ）－f （x ）e x <0，所以函数g (x )＝f （x ）e x 在R 上是单调减函数， 所以g (1)<g (0)，g (2 017)<g (0)， 即f （1）e 1<f （0）1，f （2 017）e 2 017<f （0）1， 故f (1)<e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0). 答案 D12.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.[－1，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53. 由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立. 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0， 在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13. 答案 C13.已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________.解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－（x －1）（x －3）x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0，1)∪(2，3)14.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x，当a >0时，f (x )的增区间为(0，1)， 减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x . ∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t ，3)上有变号零点. 由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373， 所以－373<m <－9，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2参数方程(人教A版)
届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2参数方程(人教A版)1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变x＝f t数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f t ，方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参y＝g t 数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程x＝－1－t，1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分y＝2＋t别是( )．A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线xx解析∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝ρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．x＝－1－t，又∵ 相加得x＋y＝1，表示直线．y＝2＋t，答案Dx＝1－2t，2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.y＝2＋3t x＝1－2t，解析参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直y＝2＋3t，3 4线4x＋ky＝1垂直可得－2 －k ＝－1，解得k＝－6.答案－6x＝5cos θ，3．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．y＝3sin θ x2y2解析题中二次曲线的普通方程为2591左焦点为(－4,0)．答案(－4,0)x＝t＋1，4．(20XX年湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t 为参数)与y＝1－2t x＝asin θ曲线C2：(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________. y＝3cos θx2y2解析曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2a＋9＝1，直x2y2 3线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为20 ，故曲线a9＝1也经过这个点，代33入解得a＝2 舍去－2.3答案2 x＝5cos θ，5．(20XX年广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和y＝sin θ5 x＝2，4(t∈R)，它们的交点坐标为________．y＝tx＝5cos θ，x22解析由(0≤θ＜π)得，5y＝1(0≤y≤1，－5x≤5)，y＝sin θ 5 x＝2，5由4(t∈R)得，x＝42，y＝t4∴5y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝5或y2＝－4(舍去)．5 25 . 则x＝4y2＝1又θ≥0，得交点坐标为1，5 25答案1，5对应学生211考向一参数方程与普通方程的互化把下列参数方程化为普通方程：x＝3＋cos θ，(1) y＝2－sin θ；1x＝1＋2t，(2)3y＝5＋2t.cos θ＝x－3，解(1)由已知由三角恒等式cos2 θ＋sin2θ＝1,sin θ＝2－y，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1.3(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋2中，3得y＝5＋2(2x－2)，即3x－y＋53＝0.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．x＝cos α，【训练1】(20XX年陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为y＝1＋sin α________．x＝cos α，x＝cos α，①解析由得y＝1＋sin αy－1＝sin α，② ①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1. 答案x2＋(y－1)2＝1考向二直线与圆的参数方程的应用x＝2＋tcos α，x＝1＋cos θ，已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其y＝sin θ y＝3＋tsin α中t为参数，α为直线l的倾斜角)．2π(1)当α＝3l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．2π解(1)当α＝3l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心3坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝23，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋3sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有π3π 3 α＋α＋解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)－12≥0，则sin ≥，即sin6 46 2或22πsin α＋6π 33ππ2πππ≤－2又0≤α＜π，故只能sin α＋6 ≥2，3≤α＋63即6α≤2.故αππ的范围是62.如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．x＝1＋t，【训练2】已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方y＝4－2t x＝2cos θ＋2，程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．[来y＝2sin θ 源: ]x＝1＋t，解由消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，y＝4－2tx＝2c os θ＋2，由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为y＝2sin θ(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝5 2522－5. 5考向三圆锥曲线的参数方程的应用x22求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆4y＝1所得的弦长．2x＝1－2，由条件可知直线的参数方程是2y＝1＋2|2×2＋0－6|55，2＋1所以所求弦长为2解(t为参数)，代入椭圆方程2 1－22 21＋t 2＝1，可得＋425即22＋2t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数2t＋t12 5，的关系可得2tt 125则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝t1＋t2 －4t1t2＝242 62 2－－4×＝555普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】(20XX年南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线1x＝t＋t 1y＝t－t(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．解3x＝－3＋2s，直线的参数方程为1y＝2(s为参数)，1x＝t＋t又曲线1y＝t－t(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－3s＋10＝0，设A、B对应的参数分别为s1，s2. ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10. ∴|AB|＝|s1－s2|＝s1＋s2 －4s1s2＝217.(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)x＝－2－2t，1．(20XX年深圳模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)2y＝3＋2t的点的坐标是________．解析由题意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝2，t＝2，代入x＝－2－2t，(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．y＝3＋2t答案(－3,4)或(－1,2)x＝2＋cos θ，2．(20XX年东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯y＝sin θ一的公共点，则实数k＝________.解析曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝3答案3 x＝cos α，3．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．y＝1＋sin α|0＋4－7|3解析曲线可化为x＋(y－1)＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦9＋16522|2k|31 k＝. 31＋k长l＝r－d＝5. 8答案5 x＝1－2t，x＝s，4．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，y＝2＋kt y＝1－2s则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋yk24＋k－1＝0，由l1∥l22＝11 k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0 k＝－1. 答案 4 －1x＝3＋3cos θ，5．(20XX年湛江调研)参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直y＝－3＋3sin θ线y＝x的最短距离为________．x＝3＋3cos θ，解析参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心y＝－3＋3sin θ|3－－3 |坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝32，2则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝2－3＝2－1)．答案3(2－1)6．(20XX年陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极x＝3＋cos θ，坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρy＝sin θ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.。
高三数学一轮复习典型题专项训练：导数及其应用
高三数学一轮复习典型题专项训练导数及其应用一、选择、填空题1、（2018全国I 卷高考题）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2、（2017全国I 卷高考题）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______．3、（2016全国I 卷高考题）函数xex y -=22在[﹣2，2]的图像大致为（ ）4、（广州市2018高三一模）设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a的最小值为 A ．12-B ．1-C ．32-D ．2-5、（广州市2018高三上期末调研）已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+6、（广州市2018高三上期末调研）对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1xf x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩ ()411,0,2120,0.xx x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A ．0B ．1C ．2D ．37、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））已知函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．)21,0(B ．)1,0(C ．)0,(-∞D ．)21,(-∞8、（惠州市2018届高三4月模拟考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21x x f x e-=，则对任意m R ∈，函数()()0f f x m -=的根的个数至多为（ ）(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 99、（惠州市2018届高三第三次调研）已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =,()f x 的导数1'()2f x <, 则不等式221()22x f x <+的解集是( ) A.(,1)(1,)-∞-⋃+∞ B. (,2)(2,)-∞-⋃+∞ C. (1,)+∞ D. (2,)+∞10、（惠州市2018届高三第三次调研）已知函数()(0)1xf x x x=>+，设()f x 在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：112a =，1()(*)n n a f a n N +=∈，在数列2n nn b a a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中，仅当5n =时，2n n nb a a λ+取最小值，则λ的取值范围是( ) A.(11,9)-- B. ( 5.5, 4.5)-- C. (4.5,5.5) D. (9,11)11、（汕头市2018届高三第一次（3月）模拟）已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数．已知：()g x 满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-．()f x 满足：①R x ∀∈都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-． 若关于x 的不等式2g[()](2)f x g a a ≤-+对33[23,23]22x ∈---恒成立，则a 的取值范围是A ．RB ． 133133[,]2424--+ C ．[0,1] D ．(,0][1,)-∞+∞U 12、（韶关市2018届高三调研）已知函数321()(0)2f x ax x x =+>在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2，'1()()g x f x =（'()f x 是()f x 的导函数），若执行如图所示的程序框图，输出的结果20172018s >，则判断框中应填 （ ）A. 2018n ≤B. 2017n ≤C. 2018n >D. 2017n >13、（珠海市2017届高三上期末）7、（珠海市2017届高三上学期期末）已知定义域为R 的函数 f (x )的导函数为'()f x ，且满足'()f x - 2 f (x )>4，若 f (0)=－1，则不等式2()2xf x e +> 的解集为A ．（0，＋∞）B ．（－1，＋∞）C ．（－∞，0）D ．（－∞，－1）14、（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数 f (x ) ＝x 3 +ax 2 +bx + c 有两个极值点，则关于x 的方程的不同实根个数可能为A. 3, 4,5 B ．4,5, 6 C. 2, 4,5 D ．2,3, 415、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知函数c bx ax x x f +++=23)(，c b a b ax x x g ,,(23)(2++=是常数)，若)(x f 在)1,0(上单调递减，则下列结论中：①0)1()0(≤⋅f f ；②0)1()0(≥⋅g g ；③b a 32-有最小值．正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、解答题1、（2018全国I 卷高考题）已知函数()1ln f x x a x x=-+． ⑴讨论()f x 的单调性；⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．2、（2017全国I 卷高考题）已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．3、（2016全国I 卷高考题）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点 （1）求a 的取值范围（2）设1x ，2x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x4、（广州市2018高三一模）已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．5、（广州市2018高三二模）已知函数()f x =e 2xx ax --．（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．6、（广州市2018高三上期末调研）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））已知函数()ln af x x x=+． (Ⅰ) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 证明: 当2a e≥时, ()->xf x e ．8、（惠州市2018届高三4月模拟考试）已知函数()()()2R x f x ax x a e a -=++∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立， 求实数b 的取值范围.9、（惠州市2018届高三第三次调研）已知0t >，设函数323(1)()312t f x x x tx +=-++， （1）存在()00,2x ∈，使得()0f x 是()f x 在[]0,2上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.10、（惠州市2018届高三第一次调研） 已知函数x ax x x f ln 2)(2+-=（其中a 是实数）． （1）求)(x f 的单调区间；（2）若设320)1(2<<+a e e ，且)(x f 有两个极值点1x 212,()x x x <，求)()(21x f x f -取值范围．（其中e 为自然对数的底数）． 11、（揭阳市2018届高三学业水平（期末）考试）已知函数1ln )1()(--+=ex x ax x f （a 为实数）. （Ⅰ）若1--=ex y 是曲线)(x f 的条切线，求a 的值； （Ⅱ）当e a ≤<0时，试判断函数)(x f 的零点个数．12、（汕头市2018届高三第一次（3月）模拟）已知函数()2ln f x x x =-222x ax a +-+，其中0>a ．（1）设)(x g 是)(x f 的导函数，讨论)(x g 的单调性；（2）证明：存在)1,0(∈a ，使得0)(≥x f 恒成立，且0)(=x f 在区间),1(+∞内有唯一解．13、（韶关市2018届高三调研）已知函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设()f x 两个极值点为21,x x ,且21x x <，求证:21()10ln 22f x x <<-+.14、（深圳市2018届高三第二次（4月）调研）已知函数()axf x xe =．（其中常数 2.71828e =…，是自然对数的底数） （1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，若()ln 1f x x bx --≥恒成立，求实数b 的取值范围．15、（深圳市宝安区2018届高三9月调研）已知函数()2ln ax x x x f -=，()()x f x g '=（1）若12a ≥，试判断函数()x g 的零点个数；（2）若函数()x f 在定义域内不单调且在()2+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围。
2018版高考数学(理)一轮复习文档第三章导数及其应用3-3Word版含解析
1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × ) (4)微积分基本定理中的F (x )是唯一的．( × )(5)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )1．(2017·福州质检)ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝e ＋1－1＝e.2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．(教材改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 答案 A解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21＝32×4＋4－(32＋2) ＝10－72＝132(m)．4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.题型一 定积分的计算例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1(2)定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 (1)B (2)D解析 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1.(2)ʃ2－2|x 2－2x |d x＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20 ＝83＋4＋4－83＝8. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.67 答案 (1)A (2)C 解析 ππ220(1)(sin cos )d (cos sin )|x a x x x a x ⎰－＝－－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－12×4)－(2－12) ＝56. 题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积， ∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y＝0围成的图形的面积， 又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.命题点2求平面图形的面积例3(2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．答案4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰ ＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163. 题型三 定积分在物理中的应用例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t )d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433， ∴F (x )做的功为433 J.4．利用定积分求面积典例 由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________． 错解展示解析 所求面积S ＝ʃ20(x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|20＝23. 答案 23现场纠错解析 如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21＝(1－13)＋[83－2－(13－1)]＝2.答案 2纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．1．π220sin d 2xx等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰π2011π1(sin )|.2242x x =-=- 2．ʃ101－x 2 d x 的值为( )A.14B.π4C.12D.π2 答案 B 解析 ʃ101－x 2 d x 的几何意义为以(0,0)为圆心，以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π， 所以ʃ101－x 2 d x ＝π4.3．(2016·南昌模拟)若ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 A解析 由题意知ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2. 4．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.5．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8 答案 A解析 22333200228(()|,333m mS m x mx x m m ==-=-=⎰解得m ＝2.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.7．π)d 4x x +=________.答案 2解析 依题意得π)d 4x x +ππ220(sin cos )d (sin cos )|x x x x x =+=-⎰＝(sin π2－cos π2)－(sin 0－cos 0)＝2.8．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.*9.(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)， 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝(x 44－x 3)|20＝－4. 10．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________．答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ， 由二次函数的性质可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29. 11．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x 32123201211()|(2)|363x x x x =++- ＝23＋16＋43＝136. 12．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A (π2，0)，B (π2，1)，C (0,1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x (0≤x ≤π2)的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解 阴影部分的面积为π20π(1sin )d 1,2x x -=-⎰ 矩形的面积是π2×1＝π2， 所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π. *13.已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，求函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积．解 由题意，F (x )＝⎩⎨⎧ 10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1， 则xF (x )＝⎩⎨⎧ 10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为11122323122101022101010d (1010)d |(5)|33x x x x x x x x +-+=+-⎰⎰ ＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54.。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第三章导数及其应用3.1含解析
1．导数与导函数的概念(1）一般地，函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是错误! 错误!＝错误!错误!,我们称它为函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的导数，记作()00|x x f x y ''＝或，即f ′（x 0）＝错误! 错误!＝错误! 错误!.（2）如果函数y ＝f （x )在开区间（a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b ）内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f （x ）在开区间内的导函数．记作f ′(x ）或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f （x ）在点P (x 0，f (x 0)）处的切线的斜率k ，即k ＝f ′（x 0）．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f （x ）＝c （c 为常数）f ′（x ）＝04.导数的运算法则若f′（x),g′（x)存在，则有（1)［f(x)±g（x）］′＝f′(x)±g′(x)；（2)［f(x)·g(x）]′＝f′(x)g（x)＋f(x）g′(x)；(3）［错误!]′＝错误!（g（x）≠0）．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g（x))的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数．2。
[错误!］′＝－错误!（f(x）≠0）．3.[af（x）＋bg(x）］′＝af′(x)＋bg′（x）．4.函数y＝f（x)的导数f′(x）反映了函数f(x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)｜反映了变化的快慢，|f′(x)｜越大，曲线在这点处的切线越“陡"．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ×)（2)f′（x0）与［f（x0)]′表示的意义相同．（×)（3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．（√）(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（×)（5）函数f（x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cos x．（×）1．（教材改编）若f(x)＝x·e x，则f′（1）等于（)A．0 B．e C．2e D．e2答案C解析f′（x）＝e x＋x·e x，∴f′（1）＝2e。
2018高考数学(理)大一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性
1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝ ， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
值对不等式解集的影响进行分类讨论．
求函数的单调区间
[例2] x a 3 已知函数f(x)＝ 4 ＋ x －ln x－ 2 ，其中a∈R，且曲
1 线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x，求函数f(x) 的单调区间．
[解]
1 a 1 对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，
第二节 导数与 函数的 单调性
本节主要包括2个知识点： 1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)
基础联通
利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法
高考总复习一轮数学精品课件 第4章 导数及其应用 第1节 导数的概念及其意义
即在点(x0,f(x0))处
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,
f'(x0)
即k0=__________.
微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的
4
√2 √2
B,直线的斜率为 m=- 3 <- 4 ,故 B 错误;
√2
C,直线的斜率为 m=- 4 ,故 C 正确;
√2
x= 2 时,等号成立,
√2
≥2√2,因此- ≤m<0.
4
对于 D,直线的斜率为 m=√2>0,故 D 错误,故选 AC.
考点三
导数几何意义的应用(多考向探究预测)
考向1 求曲线的切线方程
所以切线方程为
1
y-2=2(x-1),整理可得
4x-2y-3=0.
1
k=2,切点为(1, ),
2
考向2 求参数的值或范围
例4(1)(2024·广东惠州模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则实数
a=( C )
A.-1
B.1
C.2
D.3
1
1
解析 设切点的坐标为(x0,y0),由于 y'= ,所以切线的斜率为
1 3 2
h(t)= t +t ,当t=t0时,液体上升高度的瞬时变化率为3
3
cm/s,则当t=t0+1时,液
体上升高度的瞬时变化率为( C )
A.5 cm/s
B.6 cm/s
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.3 导数的综合应用(讲)
专题3.3 导数的综合应用【考纲解读】【知识清单】考点1 利用导数研究恒成立问题及参数求解利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围, (2)已知函数的单调性求参数的取值范围 ,(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围．考点2 利用导数证明不等式问题利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)．【考点深度剖析】1.利用导数研究函数的零点与方程的根的问题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点,一般有两种形式考查:(1)确定函数零点、图像交点及方程根的个数问题.(2)应用函数零点、图像交点及方程解的存在情况,求参数的值或取值范围问题.2.利用导数解决不等式问题是近几年高考热点,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题.(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A 上恒成立(存在性),求参数取值范围. (2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立.(3)大小比较问题,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式、三角式结构,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题.【重点难点突破】考点1 利用导数研究恒成立问题及参数求解 【1-1】设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) 单调减区间为(－∞，＋∞)．(2) (－∞，2－e 2)．【1-2】函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________． 【答案】20.【解析】因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 【思想方法】(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．【温馨提醒】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x )≥0(或 f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且 f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数 f (x )在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间． 考点2 利用导数证明不等式问题【2-1】已知函数f (x )＝12x 2－13ax 3(a >0)，函数g (x )＝f (x )＋e x(x －1)，函数g (x )的导函数为g ′(x )．(1)求函数f (x )的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g (x )的单调区间；(ⅱ)求证：x >0时，不等式g ′(x )≥1＋ln x 恒成立．【答案】(1) 极小值为f (0)＝0，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝16a2.(2) (ⅰ) 单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． (ⅱ)详见解析g′(x)＝x(e x－e x＋1)．(ⅰ)记h(x)＝e x－e x＋1，则h′(x)＝e x－e，当x∈(－∞，1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，∴h(x)≥h(1)＝1>0，则在(0，＋∞)上，g′(x)>0；在(－∞，0)上，g′(x)<0，【2-2】记函数f n (x )＝a ·x n －1(a ∈R ，n ∈N *)的导函数为f ′n (x )，已知f ′3(2)＝12. (1)求a 的值；(2)设函数g n (x )＝f n (x )－n 2ln x ，试问：是否存在正整数n 使得函数g n (x )有且只有一个零点？若存在，请求出所有n 的值；若不存在，请说明理由； (3)若实数x 0和m (m >0且m ≠1)满足f n ′x 0f n ＋1′x 0＝f n mf n ＋1m，试比较x 0与m 的大小，并加以证明．【答案】(1) a ＝1. (2) n ＝1， (3) 当m >1时，x 0<m ，当0<m <1时，x 0>m . 【解析】(1)f 3′(x )＝3ax 2，由f 3′(2)＝12得a ＝1. (2)g n (x )＝x n－n 2ln x －1，g ′n (x )＝nx n －1－n 2x ＝n x n －nx.因为x >0，令g n ′(x )＝0得x ＝nn ， 当x >nn 时，g n ′(x )>0，g n (x )是增函数； 当0<x <nn 时，g n ′(x )<0，g n (x )是减函数． 所以当x ＝nn 时，g n (x )有极小值，也是最小值，g n (nn )＝n －n ln n －1.当x →0时，g n (x )→＋∞； 当x →＋∞时，g n (x )→＋∞.当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m<0，所以x0<m.当0<m<1时，(n＋1)(m n－1)<0.设h(x)＝－x n＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，则h′(x)＝－(n＋1)x n＋n＋1＝－(n＋1)(x n－1)≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在(0,1]上是增函数．又因为0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m>0，所以x0>m.综上所述，当m>1时，x0<m，当0<m<1时，x0>m.【思想方法】利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．【温馨提醒】构造函数是证明不等式常用方法，但要根据题意明确作一个差函数还是作左右两个函数．【易错试题常警惕】1、函数()f x 的单调性问题，一般是先确定函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间．如：设函数()ln f x x x =-，讨论()f x 的单调性． 【分析】函数()f x 的定义域是()0,+∞，()11f x x'=-，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 单调递增，当()0f x '<，即01x <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．【易错点】用导数研究函数的单调性时容易忽视函数的定义域而致误．。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
2014年高考一轮复习数学教案：13.2 导数的应用
2013年2014年高考第一轮复习数学教案集13.2 导数的应用●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）确定f'（x）在（a，b）内符号.（3）若f'（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f'（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）f'（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f'（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基1.函数y=x2（x－3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2）解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2.答案：C2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足A.a<0且b=0B.a>0且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析：f'（x）=2ax，x<0且f'（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：B3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，F'（x）=4x3－8x，令F'（x）>0，得－2<x<0或x>2，∴F（x）在（－2，0）上递增.答案：C4.在（a，b）内f'（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分●典例剖析【例1】设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.解： f '（x ）=3x 2－6ax +2b ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a解之得a =31，b =－21.此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +31）（x －1）.当f '（x ）>0时，x >1或x <－31，当f '（x ）<0时，－31<x <1.∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）.评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】 （2004年全国，19）已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.剖析：在R 上为减函数，则导函数在R 上恒负.解：f '（x ）=3ax 2+6x －1.（1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数.3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3. ∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数. （2）当a =－3时，f （x ）=－3（x －31）3+98.由y =x 3在R 上的单调性知：a =－3时，f （x ）在R 上是减函数，综上，a ≤－3. 评述：f （x ）在R 上为减函数⇒f '（x ）≤0（x ∈R ）. 【例3】 （2004年全国，21）若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解： f '（x ）=x 2－ax +a －1=0得x =1或x =a －1，当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.当a －1>1，即a >2时，函数f （x ）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a －1）上为减函数，在（a －1，+∞）上为增函数.依题意，当x ∈（1，4）时，f '（x ）<0，当x ∈（6，+∞）时，f '（x ）>0，∴4≤a －1≤6.∴5≤a ≤7.∴a 的取值范围为［5，7］.评述：若本题是“函数f （x ）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x =4两侧使函数f '（x ）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.●闯关训练 夯实基础1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞)上，f '（x ）≥0恒成立，即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3.答案：D2.已知函数f （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个解析：f '（x ）=4x （x 2－3x +5）在［1，2］上，f '（x ）>0， ∴f （x ）在［1，2］上单调递增. ∴f （x ）≥f （1）=7.∴f （x ）=0在［1，2］上无根.答案：D 3.函数f （x ）的导函数y =f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________.解析：在［－1，0］和［2，+∞)上，f '（x ）≥0. 答案：［－1，0］和［2，+∞) 4.若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________.解析：y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0. 答案：b >05.设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间.解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3，判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）. 1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立.∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增. 2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4. ∴在R 上单调递增.3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a .f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a .∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减.6.设f （x ）=x 3－22x－2x +5.（1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解：（1）f '（x ）=3x 2－x －2=0，得x =1，－32.在（－∞，－32）和［1，+∞)上f '（x ）>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.（2）当x ∈［1，2］时，显然f '（x ）>0，f （x ）为增函数，f （x ）≤f （2）=7. ∴m >7.培养能力7.已知函数f （x ）=x 3－ax －1.（1）若f （x ）在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f （x ）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f （x ）=x 3－ax －1的图象不可能总在直线y =a 的上方.解：f '（x ）=3x 2－a ，（1）3x 2－a >0在R 上恒成立，∴a <0.又a =0时，f （x ）=x 3－1在R 上单调递增，∴a ≤0.（2）3x 2－a <0在（－1，1）上恒成立，即a >3x 2在（－1，1）上恒成立，即a >3.又a =3，f （x ）=x 3－3x －1，f '（x ）=3（x 2－1）在（－1，1）上，f '（x ）<0恒成立，即f （x ）在（－1，1）上单调递减，∴a ≥3.（3）当x =－1时，f （－1）=a －2<a ，因此f （x ）的图象不可能总在直线y =a 的上方. 8.已知函数f （x ）=ax 4+bx 2+c 的图象经过点（0，1），且在x =1处的切线方程是y =x －2.（1）求y =f （x ）的解析式；（2）求y =f （x ）的单调递增区间. 解：（1）由题意知f （0）=1，f '（1）=1，f （1）=－1.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=.1,124,1c b a b a c ∴c =1，a =25，b =－29，f （x ）=25x 4－29x 2+1.（2）∵f '（x ）=10x 3－9x ， 由10x 3－9x >0，得x ∈（－10103，0）∪（10103，+∞），则f （x ）的单调递增区间为（－10103，0）和（10103，+∞）.9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a >0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值范围.解：f '（x ）=2a －3x 2在（0，1]上恒为正，∴2a >3x 2，即a >23x 2.∵x ∈（0，1]， ∴23x 2∈（0，23].∴a >23.当a =23时也成立.∴a ≥23.探究创新10.有点难度哟！证明方程x 3－3x +c =0在［0，1］上至多有一实根.证明：设f （x ）=x 3－3x +c ，则f '（x ）=3x 2－3=3（x 2－1）. 当x ∈（0，1）时，f '（x ）<0恒成立. ∴f （x ）在（0，1）上单调递减.∴f （x ）的图象与x 轴最多有一个交点.因此方程x 3－3x +c =0在［0，1）上至多有一实根. ●思悟小结1.f '（x ）>0⇒f （x ）为增函数（f '（x ）<0⇒f （x ）为减函数）.2.f （x ）是增函数⇒f '（x ）≥0（f （x ）为减函数⇒f '（x ）≤0）. ●教师下载中心教学点睛1.可导函数f （x ）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f （x ）在x 0处连续，在x 0两侧的导数异号，那么点x 0是函数f （x ）的极值点.2.求可导函数f （x ）的极值的步骤如下： （1）求f （x ）的定义域，求f '（x ）； （2）由f '（x ）=0，求其稳定点；（3）检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f （x ）在这个根处不取极值.3.求可导函数f （x ）的最值的方法： （1）求f （x ）在给定区间内的极值；（2）将f （x ）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.拓展题例【例1】 若函数f （x ）=ax 3－x 2+x －5在（－∞，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解： f '（x ）=3ax 2－2x +1>0恒成立. ∴⎩⎨⎧<>,0,0Δa 即⎩⎨⎧<->.0124,0a a∴a >31.当a =31时，f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增.∴a ≥31.【例2】求证：x>1时，2x3>x2+1.证明：令f（x）=2x3－x2－1，则f'（x）=6x2－2x=2x（3x－1）. 当x>1时，f'（x）>0恒成立.∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.又∵f（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04 导数及其应用)
则曲线 y 2ln x 在点 1,0 处的切线的斜率为 k f 1 2 ， 则所求切线方程为 y 0 2 x 1 ，即 y 2x 2 ．
4．（2018 全国新课标Ⅱ理）曲线 y 2 ln(x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．
4．【答案】 y 2x
x
,1
1
1,1a
f x
0
f x
Z
极大值
]
f x 在 x 1处取得极大值，不合题意． ③当 x1 x2 ，即 a 1时， f x ， f x 随 x 的变化情况如下表：
x
,1 a
1 a
1 a
,1
f x
0
1 a 0 极小值
1 0
1 a
,
Z
1,
f x
Z
极大值
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极小值，即 a 1满足题意．
1 x
1)2 k 1
4
16
0 ，得 h(x) 有两个极值点 x1, x2 (x1 x2 ) ，
∴
1 x1
1 4
，∴ 0
x1
16 .
可知 h(x) 在 (0, x1) 递增， (x1, x2 ) 递减， (x2 , ) 递增，
∴ h(x1) kx1
x1
ln x1
a
( 2
1 x1
1) x1
（1）证明：函数 f (x) x 与 g(x) x2 2x 2 不存在“S 点”；
（2）若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 f (x) x2 a ，g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x)
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第三章
第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n)′＝nx n -1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝-sin x ； (e x)′＝e x;(a x)′＝a xln a (a >0，且a ≠1)； (ln x )′＝1x；(log a x )′＝1xlog a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )． 法则3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）-u （x ）v ′（x ）v （x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )-f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）-f （x 0）Δx.如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx＝0lim →∆xf （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即 f ′(x )＝y ′＝0lim →∆xf （x ＋Δx ）-f （x ）Δx.(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ； ②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．3．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝ (c 为常数)， (x α)′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝ ， (log a x )′＝ ； (4)(e x )′＝____________， (a x)′＝ . 4．导数运算法则(1)′＝__________________. (2)′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝(g (x )≠0)．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0) (3)①f (x 0＋Δx )-f (x 0)②f （x 0＋Δx ）-f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y -y 0＝f ′(x 0)(x -x 0) 3．(1)0 αxα-1(2)cos x -sin x (3)1x1x ln a(4)e xa xln a4．(1) f ′(x )±g ′(x ) (2) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3) f ′（x ）g （x ）-f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2( ((1)y＝13 B ．-23 C.73 D ．-13或53 解：因为f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2-1，所以f ′(的图象开口向上，则排除②④.若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (-1)＝53；若f ′(x )的图象为③，轴交点为(0，2)，可知曲线等于-13，即fg′(x)＝f(x)＋(3)，由题图可知＝0.故填0.＝x3-4x＋4图象上斜率为解：设切点坐标为(x0，y0)，＝3x20-4＝-1，所以1)或(-1，7)．-2＝0或x＋y-6，g(x)＝ln x，x列两个条件：。
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.4 导数的实际应用(讲)
专题3.4 导数的实际应用【考纲解读】【知识清单】考点1 利用导数研究生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．【考点深度剖析】以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查.【重点难点突破】考点1 利用导数研究生活中的优化问题【1-1】如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数22(02y x x=-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤．（1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？【答案】（1）129220x y +-=；（2）1=t 时，2max =S .面积t t t t t S 142)22122(21--=⋅-+--=2)1(4≤+-=tt ，当1=t ，2max =S . 【1-2】放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300()2tM t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量.已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）=_______太贝克 【答案】150 【解析】300()2tM t M -=，∴300111()ln ,3022t M t M ⎛⎫'=⋅⋅⋅⎪⎝⎭当t=30时，即 011ln 210ln 2,230M -⋅⋅⋅=-∴0600.M =∴30()6002,t M t -=⋅当t=60时6030()6002150.M t -=⋅=【1-3】某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．【答案】(1) y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．(2) 售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．【1-4】一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ的函数表达式； （2）求q 的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】(1)()10(sin cos sin ),(0,)2V pq q q q q =+∈；(2)3πθ=；（3）是.【思想方法】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．【温馨提醒】①分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．【易错试题常警惕】求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.。
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(2)求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数 f(x)的定义区间． ②求 f ′(x)，令 f ′(x)＝0，解此方程，求出它在定义区间内的 一切实根． ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各 实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义 区间分成若干个小区间． ④确定 f ′(x)的各小开区间内的符号，根据 f ′(x)的符号判定 f(x)在每个相应小开区间内的增减性．
④当 f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在 端点处取得．
⑤当连续函数 f(x)在(a，b)内只有一个可疑点，若这一点处 f(x) 有极大(或极小)值，则可以判定 f(x)在该点处取最大(或最小)值，这 里(a，b)也可以是无穷区间．
(5)解有关函数最大值、最小值的实际问题 解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个 变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并确定函数的定义域， 所求得的结果要符合问题的实际意义，不符合实际意义的理论值应 予舍去.
调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
2．函数的极值 (1)函数极值的定义 设函数 f(x)在 x0 附近有定义．如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)＜f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如 果对 x0 附近的所有点，都有 f(x)＞f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的一个极 小值，记作 y 极小值＝f(x0)，极大值与极小值统称为极值．
答案 f ′(x)＞0 f ′(x)＜0 定义区间 f ′(x)＝0 符号 f ′(x)的符号
2．极值的概念 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，且若对 x0 附近所有的点都有 ________，则称 f(x0)为函数的一个极大(小)值，称 x0 为极大(小)值点．
高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第2讲 函数的定义域与值域课件 文
须mΔ>＝0，（4m）2－4×m×3<0，
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或mΔ<＝0，（4m）2－4×m×3<0，
即m>0，
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已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数 值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的 值或取值范围．
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若函数 y＝mx2m＋x4－m1x＋3的定义域为 R，则
实数 m 的取值范围是___0_，__34__．
【解析】 (1)要使函数 y＝ 3－2x－x2有意义， 则 3－2x－x2≥0， 解得－3≤x≤1， 则函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是[－3，1]． (2)要使函数 g(x)＝（f（x－2x1））0有意义，则必须有1x≤－21x≠≤02，，
所以12≤x<1，故函数 g(x)的定义域为12，1.
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
解得12≤x≤32，
所以函数 g(x)的定义域是12，32.
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求函数的值域(高频考点) 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])； (2)y＝11－＋xx22； (3)y＝x＋4x(x<0)； (4)f(x)＝x－ 1－2x.
或m<0，
解得
m（4m－3）<0 m（4m－3）<0.
所以 1≤f(x)≤10.
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 导数的应用(Ⅰ)
解 (1)由已知f′(x)=3 -a,x2 ∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴f′(x)=3 -ax≥2 0在(-∞,+∞)上恒成立， 即a≤3 x在2 x∈R上恒成立. ∵3 x≥2 0,∴只需a≤0. 又a=0时，f′(x)=3 ≥x20,f(x)= -1在x3R上是增函数， ∴a≤0. (2)由f′(x)=3 -ax≤2 0在(-1,1)上恒成立，得a≥3 在x∈x2(-1,1)上恒成立. ∵-1＜x＜1,∴3 ＜3,∴只需a≥3. 当a≥3时，f′(x)=x32 -a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0, 即f(x)在（-1,1）上为x减2 函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
学后反思 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便， 但应注意f′(x)>0 ［或f′(x)<0］仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条 件，在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件应 是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］，x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在(a,b)的任意子区 间内都不恒等于0.这就是说， 函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0. 因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）来求参数的取值范围时， 应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用 不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0， 若能恒等于0，则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0 ［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围.
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14.2 导数的应用●知识梳理1.函数的单调性（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f′（x）＞0,则f（x）为增函数;若f′（x）＜0,则f（x）为减函数.（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法.①确定函数f（x）的定义区间.②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.③把函数f（x）的间断点〔即包括f（x）的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.④确定f′（x）在各小开区间内的符号,根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的极值（1）极值的概念设函数f（x）在点x0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0））,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点.（2）求可导函数f（x）极值的步骤.①求导数f′（x）.②求方程f′（x）=0的根.③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.3.函数的最大值与最小值（1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f （x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行.①求y=f（x）在（a,b）内的极值.②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.（2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.特别提示我们把使导函数f′（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点.（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.●点击双基1.（2005年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π,2π3） B.（π,2π） C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π）解析：y ′=（x sin x +cos x ）′=sin x +x cos x －sin x =x cos x , 当x ∈（2π3,2π5）时,恒有x cos x ＞0. 答案：C2.函数y =1+3x －x 3有 A.极小值－2,极大值2 B.极小值－2,极大值3 C.极小值－1,极大值1 D.极小值－1,极大值3解析：y ′=3－3x 2=3（1+x ）（1－x ）.令y ′=0得x 1=－1,x 2=1.当x ＜－1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数;当－1＜x ＜1时, y ′＞0,函数y =1+3x －x 3是增函数;当x ＞1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数.∴当x =－1时,函数y =1+3x －x 3有极小值－1;当x =1时,函数y =1+3x －x 3有极大值3. 答案：D3.设f （x ）在（a ,b ）内有定义，x 0∈（a ,b ），当x ＜x 0时，f ′（x ）＞0;当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0.则x 0是A.间断点B.极小值点C.极大值点D.不一定是极值点 解析:f （x ）在x 0处不一定连续. 答案:D4.函数f （x ）=ｅx ＋ｅ－x 在（０，＋∞）上的单调性是__________.解析:∵f ′（x ）=e x －e －x =e －x （e 2x －1）,∴当x ∈（0,+∞）时，f ′（x ）＞0. ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数. 答案:增函数 5.若函数f （x ）=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________ _____________________.解析:f ′（x ）=3x 2+2x +m .∵f （x ）在R 上是单调递增函数, ∴f ′（x ）＞0在R 上恒成立， 即3x 2+2x +m ＞0.由Δ=4－4×3m ＜0,得m ＞31. 答案:m ＞31 ●典例剖析【例1】 求函数y =342+-+x x 的值域.剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.解:函数的定义域由⎩⎨⎧≥+≥+03042x x 求得x ≥－2.求导得y ′=421+x －321+x=34224232+⋅++-+x x x x .由y ′＞0得23+x ＞42+x ,即⎪⎩⎪⎨⎧+>+>+>+,42)3(403042x x x x 解得x ＞－2,即函数y =42+x －3+x 在（－2,+∞）上是增函数.又此函数在x =－2处连续,∴在［－2,+∞）上是增函数，而f （－2）=－1. ∴函数y =42+x －3+x 的值域是［－1,+∞）.评述:函数y =f （x ）在（a ,b ）上为单调函数，当在［a ,b ］上连续时，y =f （x ）在［a ,b ］上也是单调函数.【例2】 已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx （a ≠0）在x =±1时取得极值，且f （1）=－1, （1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断x =±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.剖析:考查函数f （x ）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f ′（x ）=0的根建立起由极值点x =±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a 、b 、c 的值.（1）解法一:f ′（x ）=3ax 2+2bx +c ,∵x =±1是函数的极值点, ∴x =±1是方程3ax 2+2bx +c =0的两根. 由根与系数的关系知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-②①13,032ac a b 又f （1）=－1,∴a +b +c =－1.③ 由①②③解得a =21,b =0,c =－23. 解法二:由f ′（1）=f ′（－1）=0,得3a +2b +c =0,①3a －2b +c =0.②又f （1）=－1,∴a +b +c =－1. ③由①②③解得a =21,b =0,c =－23. （2）解:f （x ）=21x 3－23x ,∴f ′（x ）=23 x 2－23=23（x －1）（x +1）.当x ＜－1或x ＞1时,f ′（x ）＞0;当－1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0.∴x =－1时，f （x ）有极大值；x =1时,f （x ）有极小值.【例3】 已知函数f （x ）=2ax －21x,x ∈（0,1］.（1）若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a 的取值范围； （2）求f （x ）在区间（0,1］上的最大值.剖析:（1）要使f （x ）在（0,1］上为增函数，需f ′（x ）＞0,x ∈（0,1）. （2）利用函数的单调性求最大值.解:（1）由已知可得f ′（x ）=2a +32x,∵f （x ）在（0,1）上是增函数，∴f ′（x ）＞0,即a ＞－31x, x ∈（0,1］.∴a ＞－1.当a =－1时，f ′（x ）=－2+32x对x ∈（0,1）也有f ′（x ）＞0，满足f （x ）在（0,1］上为增函数，∴a ≥－1.（2）由（1）知,当a ≥－1时,f （x ）在（0,1］上为增函数, ∴［f （x ）］max =f （1）=2a －1.当a ＜－1时，令f ′（x ）=0得x =31a-,∵0＜31a-＜1,∴0＜x ＜31a-时,f ′（x ）＞0;31a-＜x ≤1时，f ′（x ）＜0.∴f （x ）在（0,31a-）上是增函数，在（31a-,1]减函数.∴［f （x ）］max =f （31a-）=－332a .评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.深化拓展（1）也可用函数单调性的定义求解.思考讨论函数f （x ）在区间D 上的极值与最值有什么联系？ ●闯关训练 夯实基础1.下列各式正确的是A.x －63x ＞sin x （x ＞0）B.sin x ＜x （x ＞0）C.π2x ＞sin x （0＜x ＜2π） D.以上各式都不对解析：令F （x ）=x －sin x ,则F ′（x ）=1－cos x ＞0（当x ＞0,x ≠2n π,n =1,2,…）. 故F （x ）在x ＞0时单调递增.因此当x ＞0时,有F （x ）＞F （0）=0. 答案：B2.函数f （x ）=sin （3x －6π）在点（6π,23）处的切线方程是 A.3x +2y +3－2π=0 B.3x －2y +3－2π=0C.3x －2y －3－2π=0D.3x +2y －3－2π=0解析:因为f ′（x ）=3cos （3x －6π）,所以所求切线的斜率为f ′（6π）=23,切线方程为y －23=23 （x －6π）,即3x －2y +3－2π=0.答案:B3.函数y =x －2x （x ≥0）的最大值为_____________. 解析:y ′=x21－2,当0＜x ＜161时，y ′＞0,∴y =x －2x 在（0,161）上为增函数. 当x ＞161时，y ′＜0,∴y =x －2x 在（161,+∞）上是减函数.∴y =x －2x 在（0,+∞）上的最大值为161－162=81. 答案:81 4.（2005年北京东城区模拟题）如果函数y =f （x ）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:①函数y =f （x ）在区间（－3,②函数y =f （x ）在区间（－21③函数y =f （x ）在区间（4,5）内单调递增; ④当x =2时,函数y =f （x ）有极小值; ⑤当x =－21时,函数y =f （x ）有极大值. 则上述判断中正确的是_____________ 解析:当x ∈（4,5）时,恒有f ′（x ）＞0. 答案:③5.已知f （x ）=2ax －x b +ln x 在x =－1,x =21处取得极值. （1）求a 、b 的值；（2）若对x ∈［41,4］时，f （x ）＞c 恒成立，求c 的取值范围. 解:（1）∵f （x ）=2ax －xb+ln x ,∴f ′（x ）=2a +2x b +x1.∵f （x ）在x =－1与x =21处取得极值，∴f ′（－1）=0,f ′（21）=0,即⎩⎨⎧=++=-+.0242,012b a b a 解得⎩⎨⎧-==.1,1b a∴所求a 、b 的值分别为1、－1.（2）由（1）得f ′（x ）=2－21x +x 1=21x （2x 2+x －1）=21x （2x －1）（x +1）.∴当x ∈［41,21］时，f ′（x ）＜0;当x ∈［21,4］时，f ′（x ）＞0.∴f （21）是f （x ）在［41,4］上的极小值.又∵只有一个极小值， ∴f （x ）min =f （21）=3－ln2.∵f （x ）＞c 恒成立，∴c ＜f （x ）min =3－ln2. ∴c 的取值范围为c ＜3－ln2.6.（2004年全国Ⅰ,理19）已知a ∈R ，求函数f （x ）=x 2e ax 的单调区间.解:f ′（x ）=2x e ax +ax 2e ax =（2x +ax 2）e ax .①当a =0时，若x ＜0，则f ′（x ）＜0，若x ＞0,则f ′（x ）＞0.所以当a =0时，函数f （x ）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增 函数.②当a ＞0时，由2x +ax 2＞0，解得x ＜－a 2或x ＞0;由2x +ax 2＜0,得－a2＜x ＜0. 所以当a ＞0时，函数f （x ）在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.③当a ＜0时，由2x +ax 2＞0，得0＜x ＜－a2. 由2x +ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－a2. 所以当a ＜0时，函数f （x ）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2,+∞）内为减函数. 培养能力7.已知x ∈R ,求证：e x ≥x +1.证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1. ∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0.当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数.∴f （x ）＞f （0）=0. 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0. ∴对x ∈R 都有f （x ）≥0.∴e x ≥x +1. 8.（2004年全国Ⅱ，文21）若函数f （x ）=31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.解:函数f （x ）的导数f ′（x ）=x 2－ax +a －1. 令f ′（x ）=0,解得x =1或x =a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.当a －1＞1,即a ＞2时，函数f （x ）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a －1）内为减函数，在（a －1,+∞）上为增函数.依题意应有当x ∈（1,4）时，f ′（x ）＜0, 当x ∈（6,+∞）时，f ′（x ）＞0. 所以4≤a －1≤6,解得5≤a ≤7. 所以a 的取值范围是［5,7］. 探究创新9.已知函数f （x ）的图象与函数h （x ）=x +x1+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求f （x ）的解析式； （2）若g （x ）=f （x ）+xa,且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.解:（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ,y ），点（x ,y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ,2－y ）在h （x ）图象上.∴2－y =－x +x-1+2. ∴y =x +x 1,即f （x ）=x +x1. （2）g （x ）=x + x a 1+,∵g ′（x ）=1－21xa +,g （x ）在（0，2］上递减，∴1－21xa +≤0在x ∈（0,2］时恒成立,即a ≥x 2－1在x ∈（0,2）时恒成立. ∵x ∈（0,2]时，（x 2－1） max =3,∴a ≥3. ●思悟小结1.函数单调性的充分条件，若f ′（x ）＞0（或＜0），则f （x ）为增函数（或减函数）.2.函数单调性的必要条件，设f （x ）在（a ,b ）内可导，若f （x ）在（a ,b ）上单调递增（或递减），则f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）且f ′（x ）在（a ,b ）的任意子区间上都不恒为零.3.可以用单调性求函数的极值、最值. ●教师下载中心 教学点睛利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型，也是高考考查的重点，复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡.拓展题例【例题】 设函数y =f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 图象与y 轴的交点为P ,且曲线在P 点处的切线方程为24x +y －12=0,若函数在x =2处取得极值－16,试求函数解析式,并确定函数的单调递减区间.错因点评：有的同学不知道P 点处的斜率为y ′|p x ,即y ′|x =0为已知切线方程的斜率 －24.又当x =2时有极值,且极值为－16,找不到与a 、b 、c 、d 的关系,从而无法求出a 、b 、c 、d ,导致错解.正确思路：由y ′=3ax 2+2bx +c ⇒f ′（0）=c , ∵切线24x +y －12=0的斜率k =－24,∴c =－24,把x =0代入24x +y －12=0得y =12.得P 点的坐标为（0,12）,由此得d =12,f （x ）即可写成f （x ）=ax 3+bx 2－24x +12. 由函数f （x ）在x =2处取得极值－16,则得⎩⎨⎧-+=-+=-,244120,364816b a b a 解得⎩⎨⎧==.3,1b a ∴f （x ）=x 3+3x 2－24x +12,f ′（x ）=3x 2+6x －24.令f ′（x ）＜0,得－4＜x ＜2. ∴递减区间为（－4,2）.。