九年级数学下册第27章相似27.2.1第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似作业课件新版新人教版
最新人教版九年级数学下册《第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》优质教学课件
求证：△ABC ∽△AED. 证明：∵ AB ·AD = AE·AC，
∴ AB AC . AE AD
又∵ ∠DAB =∠CAE，
A D
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，
即∠DAE =∠BAC．
E
∴ △ABC ∽△AED.
B
C
拓展提升
6. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵ AB 7， AC 14 = 7 , ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． A'
符号语言：
在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
∵ AB AC ，∠A =∠A′，
B'
A' B' A' C'
A C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
B
C
思考： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 AB AC ，∠C = A' B' A' C'
∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
练一练
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
C
求证：△DEF∽△ABC.
人教版九年级下册数学精品教学课件 第二十七章 相似 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
两个三角形相似
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使
∠A =∠A′， AB AC k. 量出 BC 及 B′C′ 的长，它
A' B' A' C'
们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个
角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
∴ AD = AE，AB = AC．
∴ AD AE . AB AC
D E
又 ∵∠DAB =∠CAE，
B
C
∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，
即∠DAE =∠BAC．∴△ABC∽△ADE．
例3 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 AD 3 ，求 DE 的长. AB 4
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
B
C
∵ A′D = AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC . A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.
典例精析
例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相
部审人教版九年级数学下册教学设计27.2.1 第3课时《两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》
部审人教版九年级数学下册教学设计27.2.1 第3课时《两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》一. 教材分析人教版九年级数学下册第27.2.1节主要讲述了两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的概念。
这是相似三角形学习的重要内容，也是学生进一步学习几何学的基石。
教材通过具体的例题和练习，使学生理解和掌握相似三角形的判定方法，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对相似图形有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能会对两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定方法理解不深，难以运用到实际问题中。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握判定方法，并通过大量的练习，让学生熟练运用。
三. 教学目标1.让学生理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的概念。
2.让学生掌握相似三角形的判定方法。
3.培养学生运用相似三角形解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生理解和掌握相似三角形的判定方法。
2.难点：让学生运用相似三角形解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究相似三角形的判定方法。
2.通过具体例题，让学生理解和掌握判定方法。
3.运用练习题，让学生巩固所学知识。
4.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT，展示教材中的例题和练习题。
2.准备黑板，用于板书教学过程中的关键步骤和结论。
3.准备练习题，用于课堂练习和巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出相似三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解教材中的例题，引导学生理解和掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对判定方法的掌握程度。
4.巩固（10分钟）采用小组合作学习的方式，让学生共同解决一些与相似三角形相关的问题，巩固所学知识。
最新人教版初中数学九年级下册27.2.1第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似优质课课件
P D
P
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解：∵ AB 7， AC 14 = 7， A' B' 3 A'C' 6 3
∴ AB AC . A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
练一练 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC =
3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原 三角形全等.
A′ A
B
C
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相 似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
A
54
2 30
C
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为
边
AB上一4 或点，9 AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的
长解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
A
AP度:为AB =AD 时: A，C△，A∴DAPP和: 1△2 A=6BC: 8相，似.
解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，
BC AB 4
4
4
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，
最新人教版九年级数学下册第27章教案27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
27.2.1 相似三角形的判定第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别是AB 、CB 延长线上的点，CE ＝9，AD ＝15，连接DE .若BC ＝6，AC ＝8，求证：△ABC ∽△DBE .解析：首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB ，进而可得到DB ∶AB 的值，再计算出EB ∶BC 的值，继而可判定△ABC ∽△DBE .证明：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴DB ＝AD －AB ＝15－10＝5，∴DB ∶AB ＝1∶2.又∵EB ＝CE －BC ＝9－6＝3，∴EB ∶BC ＝1∶2，∴EB ∶BC ＝DB ∶AB ，又∵∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∴△ABC ∽△DBE .方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC ，再结合条件证明△FDC ∽△F AD ，可得AD CD＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝AC BC.∵E 为BC 的中点，CD ⊥AB ，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ，∵∠EDC ＋∠FDA ＝∠ECD ＋∠ACD ，∴∠FCD ＝∠FDA ，又∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△F AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DF CF，∴AC ·CF ＝BC ·DF . 方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算如图所示，BC ⊥CD 于点C ，BE ⊥DE 于点E ，BE 与CD 相交于点A ，若AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，求CD 的长．解析：因为AC ＝3，所以只需求出AD 即可求出CD .可证明△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD .解：在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝BC 2＋AC 2＝42＋32＝5.∵BC ⊥CD ，BE⊥DE ，∴∠C ＝∠E ，又∵∠CAB ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE ，即5AD ＝32，解得AD ＝103，∴CD ＝AD ＋AC ＝103＋3＝193. 方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，5AC －3AB ＝0，点P 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动，与此同时点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动，经过多长时间△ABC 和△PQC 相似？解析：由AC 与AB 的关系，设出AC ＝3x cm ，AB ＝5x cm ，在直角三角形ABC 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，进而得到AB 与AC 的长．然后设出动点运动的时间为t s ，根据相应的速度分别表示出PC 与CQ 的长，由△ABC 和△PQC 相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，从而得到所有满足题意的时间t 的值．解：由5AC －3AB ＝0，得到5AC ＝3AB ，设AB 为5x cm ，则AC ＝3x cm ，在Rt △ABC 中，由BC ＝8cm ，根据勾股定理得25x 2＝9x 2＋64，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)，∴AB ＝5x ＝10cm ，AC ＝3x ＝6cm.设经过t 秒△ABC 和△PQC 相似，则有BP ＝2t cm ，PC ＝(8－2t )cm ，CQ ＝t cm ，分两种情况：①当△ABC ∽△PQC 时，有BC QC ＝AC PC ，即8t ＝68－2t ，解得t ＝3211；②当△ABC ∽△QPC 时，有AC QC ＝BC PC ，即6t ＝88－2t ，解得t ＝125.综上可知，经过125或3211秒△ABC 和△PQC 相似．方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC ∽△PQC 与△ABC ∽△QPC 分别列出比例式来解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.。
人教版初中数学九年级下册27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！27.2.1 相似三角形的判定第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似〔学习目标〕掌握判定两个三角形相似的方法，让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔学习重点与难点〕两个三角形相似的判定方法2探究过程及其应用 〔学习设计〕 学习过程 设计意图说明新课引入：1． 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系：SSS如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（相似的判定方法1）2． 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程 探究两个三角形相似判定方法3的途径从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：利用刻度尺和量角器画∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使∠A=∠A 1，11ABA B 和11AC A C 都等于给定的值k ，量出它们的第三组对应边BC 和B 1C 1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1是否相等？ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC 和B 1C 1的比都等于k ，另外两组对应角∠B=∠B 1，∠C=∠C 1。
延伸问题：改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。
） 探究方法：学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。
改变∠A 或k 值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。
（2）11AB A B =11AC A C =14,∠B=∠B 1＝1200但∠B 与∠B 1不是AB ﹑AC ﹑ A 1B 1 ﹑A 1C 1的夹角，所以∆ABC 与∆A 1B 1C 1不相似。
人教版九年级数学下册第二十七章27.227.2.1第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
A．AC∶BC＝AD∶BD B．AC∶BC＝AB∶AD C．AB2＝CD· BC D．AB2＝BD· BC
2. 已知△ ABC 如图，则下列 4 个三角形中，与 △ ABC 相似的是( C )
A
B
C
D
3. 如图， 矩形 AODE 是由三个相同的小正方形构 成，那么下列结论成立的是( C )
A．△ OAB∽△OCA C．△ BAC∽△BDA
(3)如图②，若点 F 为 AB 的中点，连接 FN，FM， 求证：△ MFN∽△BDC.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∵M 为 BC 的中点，∴AM⊥BC， 在 Rt△ ABM 中，∠MAB＋∠ABC＝90° ， 在 Rt△ CBE 中，∠EBC＋∠ACB＝90° ， ∴∠MAB＝∠EBC， 又∵MB＝MN，∴△MBN 为等腰直角三角形，
6. 如图所示，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个 三角形．若 OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定 正确的是( B )
A．①和②相似 C．①和④相似
B．①和③相似 D．②和④相似
7. 如图，在△ ABC 中，D，E 两点分别在 AB， AC 上， 且 AD＝31， DB＝29， AE＝30， EC＝32.若∠A ＝50° ，则图中∠1，∠2，∠3，∠4 的大小关系正确 的是( D )
AC 解：(2)BD＝ 3，∠AMB＝90° .理由如下： ∵∠AOB＝∠COD＝90° ， CO AO ∠OAB＝∠OCD＝30° ，∴DO＝BO＝ 3， ∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD.∴△AOC∽△BOD.
AC CO ∴BD＝DO＝ 3，∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝90° ， ∴∠DBO＋∠ABD＋∠BAO＝90° ， ∴∠CAO＋∠ABD＋∠BAO＝90° ， ∴∠AMB＝90° .
2020春九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第3课时两边成比例且夹角相等的
27.2.1 相似三角形的判定第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别是AB 、CB 延长线上的点，CE＝9，AD ＝15，连接DE .若BC ＝6，AC ＝8，求证：△ABC ∽△DBE .解析：首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB ，进而可得到DB ∶AB 的值，再计算出EB ∶BC 的值，继而可判定△ABC ∽△DBE .证明：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴DB ＝AD －AB ＝15－10＝5，∴DB ∶AB ＝1∶2.又∵EB ＝CE －BC ＝9－6＝3，∴EB ∶BC ＝1∶2，∴EB ∶BC ＝DB ∶AB ，又∵∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∴△ABC ∽△DBE .方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9. 方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC ，再结合条件证明△FDC ∽△FAD ，可得AD CD ＝DF CF ，则可证得结论．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝AC BC.∵E 为BC 的中点，CD ⊥AB ，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ，∵∠EDC ＋∠FDA ＝∠ECD ＋∠ACD ，∴∠FCD ＝∠FDA ，又∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△FAD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DF CF，∴AC ·CF ＝BC ·DF . 方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算如图所示，BC ⊥CD 于点C ，BE ⊥DE 于点E ，BE 与CD 相交于点A ，若AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，求CD 的长．解析：因为AC ＝3，所以只需求出AD 即可求出CD .可证明△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD .解：在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝BC 2＋AC 2＝42＋32＝5.∵BC ⊥CD ，BE ⊥DE ，∴∠C ＝∠E ，又∵∠CAB ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE ，即5AD ＝32，解得AD ＝103，∴CD ＝AD ＋AC ＝103＋3＝193.方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，5AC －3AB ＝0，点P 从B 出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，与此同时点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动，经过多长时间△ABC 和△PQC 相似？解析：由AC 与AB 的关系，设出AC ＝3x cm ，AB ＝5x cm ，在直角三角形ABC 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，进而得到AB 与AC 的长．然后设出动点运动的时间为t s ，根据相应的速度分别表示出PC 与CQ 的长，由△ABC 和△PQC 相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，从而得到所有满足题意的时间t 的值．解：由5AC －3AB ＝0，得到5AC ＝3AB ，设AB 为5x cm ，则AC ＝3x cm ，在Rt △ABC 中，由BC ＝8cm ，根据勾股定理得25x 2＝9x 2＋64，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)，∴AB ＝5x ＝10cm ，AC ＝3x ＝6cm.设经过t 秒△ABC 和△PQC 相似，则有BP ＝2t cm ，PC ＝(8－2t )cm ，CQ ＝t cm ，分两种情况：①当△ABC ∽△PQC 时，有BC QC ＝AC PC ，即8t ＝68－2t ，解得t ＝3211；②当△ABC ∽△QPC 时，有AC QC ＝BC PC ，即6t ＝88－2t ，解得t ＝125.综上可知，经过125或3211秒△ABC 和△PQC 相似． 方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC ∽△PQC 与△ABC ∽△QPC 分别列出比例式来解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.。
27.2.1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(教案)
-在实际问题中，识别并运用相似三角形的性质，构建数学模型；
-对于一些特殊情况的判断，如当两个三角形的两边比例相等，但夹角不相等时，如何判断它们不相似。
-以下是针对难点的详细解释：
-对于判定方法的难点，可以通过以下方式帮助学生突破：
-利用图形和具体实例，让学生观察和发现两边成比例和夹角相等的关系；
-引导学生通过实际操作，如画图、计算等，加深对判定方法的理解；
-设计不同难度的题目，让学生在解答过程中逐步掌握判定方法。
-在实际问题中，识别并运用相似三角形的性质是另一个难点：
-教师可以通过举例，将实际问题转化为数学模型，展示如何应用相似三角形的性质；
-引导学生学会从实际问题中抽象出数学模型，并运用相似三角形的性质进行解答；
-在解答过程中，强调关键步骤，使学生明白如何将相似三角形的性质应用到实际问题中。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。它是几何学中的一个重要概念，广泛应用于实际问题中，如地图绘制、建筑设计和艺术创作等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了相似三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用相似三角形的判定方法，进行严密的推理和证明；
3.培养学生的数学建模能力，使其能够将相似三角形的性质应用于解决实际问题，构建数学模型；
九下数学：27.2.1.3-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
B'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
C' A
B
C
思考：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原 三角形全等.
A′ A
B
C
B′ B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
∴ AD =AE，AB = AC，
D
∴ AD AE .
AB AC
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
B
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
Eห้องสมุดไป่ตู้C
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 AD 3 ，求 DE 的长. AB 4
C
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵ AD CD，
AD
B
CD BD
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系， 三角形的高等.
当堂练习
1. 判断
提示：解题时要找准对应边.
解：∵ AE=1.5，AC=2，
A
∴ AE 3 AD . AC 4 AB
又∵∠EAD=∠CAB，
27.2.1相似三角形的判定课件人教版数学九年级下册3
课后练习
1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为 1， 2， 5，乙三角形木框的三边长分别为5， 5， 10， 则甲、乙两个三角形( A ) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断
2．已知△4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时， 这两个三角形相似(C ) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
3.如图，在△ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开 始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从 点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似?
解：(1)∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°. 又∵ACDD＝CBDD，∴△ACD∽△CBD (2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD中，∠ADC＝90°， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°
14．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC， Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.
A' B' A' C'
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
A'
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
D
∵ DE∥B′C′，
B'
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
E C' A