用样本估计总体--华师大版

3、加权平均数的求法 问题1：在计算20个男同学平均身高时， 小华先将所有数据按由小到大的顺序 排列，如下表所示：
然后,他这样计算这20个学生的平均身高： 小华这样计算平均数可以吗？为什么？
问题2：假设你们年级共有四个班级， 各班的男同学人数和平均身高如表所示.
小强这样计算全年级男同学的平均身高：
解: (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半 径的全体；个体是每一颗手榴弹的杀伤 半径；样本是所抽取的20颗手榴弹的杀 伤半径；样本容量是20． (2)在20个数据中，10出现了6次，次数最 多，所以众数是10（米）． 20个数据从小到大排列，第10个和第11 个数据是最中间的两个数，分别为9（米） 和10（米），所以中位数是9.5 （米）．样本平均数9.4（米）
从以上三张图比较来看，它们之间存在明显 的差异，平均数和标准差与总体的平均数与 标准差也相去甚远，显然这样选择的样本不 能反映总体的特性，是不可靠的。
2、选择恰当的样本个体数目
样本平均成绩为 75.7分， 标准差为10.2分
样本平均成绩为 77.1分， 标准差为10.7分
当样本中个体太少时， 样本的平均数、标准差往往 差距较大，如果选取适当的 样本的个体数，各个样本的 平均数、标准差与总体的标 准差相当接近。
解: (1)不合适．因为调查对象在总体中必须有代 表性，现在所调查的这些地方的环境污染 情况仅仅代表了长江以南地区，并不能代 表整个江苏省的环境污染情况． (2)不合适．因为抽样调查时所抽取的样本要 足够大，现在只抽取了2名学生的身高，不 能用来估算100名学生的平均身高． (3)合适． (4)不合适．虽然调查的家庭很多，但仅仅增 加调查的数量不一定能够提高调查质量， 本题中所调查的仅代表上英特网的家庭， 不能代表不上英特网的家庭，因此这样的 抽样调查不具有普遍代表性．
练习3：
在一个班的40学生中，14岁 的有5人，15岁的有30人，16 岁的有4人，17岁的有1人， 求这个班级学生的平均年龄。
练习4： 专家提醒，目前我国儿童青少年 的健康存在着五个必须重视的问题： 营养不良和肥胖、近视、龋齿、贫血 以及心理卫生．你认为这是用普查还 是抽样调查得到的结果？设计一份调 查卷和一个抽样调查方案，了解我们 学校学生是否普遍存在这五个健康问 题，是否严重？
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大的院子，不一会儿就打扫得干干净净了。一切准备就绪后，秀儿自告奋勇地宣布，以后就由她来负责为小学堂烧开水了！正 月十五晚上，伴随着远远近近一阵阵的鞭炮声和窗外喜庆的元宵节灯火，耿老爹和儿女们再一次仔仔细细地推敲了第二天的开 学仪式，第一堂课讲授的内容……正月十六早饭后，暖阳高照，整个“三六九镇”上，乡民们喜气洋洋的气氛难以言表。在大 家热切的期盼中，耿正亲自解开了盘在大槐树上的大钟拉绳……开学的钟声庄严而洪亮地敲响了。那日一大早，耿正就和弟弟 将“至圣先师”孔子的牌位请到了孔夫子牌位供奉室兼备课室的门口。钟声敲响之前，所有的适令学童们就已经背着娘精心缝 制的新书包，书包里装着爹亲自买的笔、墨、纸、砚，准时来到“耿家小学堂”报到了。这些学童们事先已经被编排在了甲、 乙、丙三个一年级班里。按照计划，耿正带甲班，耿英带乙班，耿直带丙班。接待报到学童的耿老爹根据学生总名单上的标号， 将他们分别交给耿正、耿英和耿直；兄妹三人再将各自的学生按照个子大小排好队，并做一些简单的列队训话。然后，所有的 学童们以甲、乙、丙三班为序，整整齐齐地各列四纵队站在“至圣先师”孔子的牌位前。那一日，所有报名上夜校的学生们， 也准时来到学堂里参加开学典礼。耿老爹安排这些大龄的年轻人们也以个头的大小为序，列四纵队站在丙班学生的旁边。在开 学钟声的余音中，耿老爹、耿正、耿英和耿直分别站在各自所带班级学生们的前面，在身兼小学堂总执事耿正的号令下，一起 向孔夫子的牌位恭恭敬敬地三鞠躬。礼毕，耿正宣读了“耿家小学堂”的十字校训：仁、义、礼、智、信、勤、孝、勇、毅、 廉，并详细地讲解了其中每一个字的含义，勉励学生们一定要不畏困难，努力学习，争取尽快掌握尽可能多的文化知识 ……接 着，耿正又详细宣布了小学堂的教学计划：三个正式班除了按照课程表所列课程学习主课之外，逢三下午是体育运动/爬山/劳 动课；逢六下午是文娱活动/朗诵/吟唱课；逢九日全天放小假，学生可以自由活动。每年的腊月二十三放年假，正月十六开学。 夜校班的小假和年假与正式班相同，只是学习时间都在每天晚饭后规定的时间内，并且只是学习文化知识，并不安排其他的活 动。随后，耿正又严肃宣布了小学堂的所有规章制度，告诫学生们必须严格遵守。最后，耿正还郑重宣布：每一个学年期满后， 小学堂将对优秀学生实施分级奖励，奖品待定。所有学生的家长们全都围在学堂门口观看了整个开学仪式。热烈的掌声回响在 学堂的大门内外，经久不息……开学典礼结束后，耿正、耿英和耿直把各自的学生带到自己的授课学习室内顺序入座，发放课 本开始授课。耿老爹则向夜校班的学生们宣布：“今儿个
北京在这30天的空气污染指数及质量 级别，如下表所示：
2、体会用样本估计总体的合理性
经比较可以 发现，虽然 从样本获得 的数据与总 体的不完全 一致，但这 样的误差还 是可以接受 的，是一个 较好的估计。
随着样本容量（样本中包含的个体 的个数）的增加，由样本得出的平均数 往往会更接近总体的平均数，数学家已 经证明随机抽样方法是科学而可靠的. 对于估计总体特性这类问题，数学上的 一般做法是给出具有一定可靠程度的一 个估计值的范围 .
解:
(1) x = 1 (0. 6 + 3. 7 + 2. 2 + 1. 5 + 2. 8 + 1. 7 + 1. 2 + 2. 1+ 3. 2 + 1. 0)= 2. 0
10
所以,该县1999年消耗一次性筷子为 2×600×350=420000（盒） (2)设平均每年增长的百分率为x，则2（1+X）2=2.42 解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合题意，舍去） 0. 005×2. 350 所以,平均每年增长的百分率为 10%．42×100×600× = 7260 3 0. 5×10 ×0. 07 (3)可以生产学生桌椅套数为 （套） (4)先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从 这些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统 计一次性筷子的用量．
132 随机数 （学号） 245 5 98 89 随机数 （学号） 成绩 90 167 86 275 54 72 86 83 82 82

同样，也可以作出这两个样本的频 数分布直方图、计算它们的平均成 绩和标准差，如下图所示：
样本平均成绩为 74.2分， 标准差为3.8分
样本平均成绩 为80.8分， 标准差为6.5分
练习2：
为估计一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、 中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次 性筷子盒数分别为： 0.6、3.7、2.2、1.5、2.8、1.7、1.2 、2.1、3.2、1.0 (1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗了多少盒一次 性筷子（每年按350个营业日计算）； (2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作 了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店，每个饭店平均 每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2000年、2001年这两 年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001年该 县饭店数、全年营业天数均与1999年相同）； (3)在(2)的条件下，若生产一套学生桌椅需木材0.07m3，求 该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌 椅． 计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质 量为5g，所用木材的密度为0.5×103kg/m3; (4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木 材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．
让我们仍以上一节300名学生的考试成 绩为例，考察一下抽样调查的结果是 否可靠。上一节中，老师选取的一个 样本是：
随机数 (学号） 成绩 111 80 254 86 167 66 94 91 276 67
它的频数分布直方图、平均 成绩和标准差分别如下：
另外，同学们也分别选取了一些样本， 它们同样也包含五个个体，如下表：
判断下面这些抽样调查选取样本的方法是否 合适，若不合适，请说明理由． (1)为调查江苏省的环境污染情况，调查了长 江以南的南京市、常州市、苏州市、镇江市、 无锡市的环境污染情况． (2)从100名学生中，随机抽取2名学生，测量 他们的身高来估算这100名学生的平均身高． (3)从一批灯泡中随机抽取50个进行试验， 估算这批灯泡的使用寿命． (4)为了解观众对中央电视台第一套节目的收 视率，对所有上英特网的家庭进行在线调查．
161 .2＋162 .3＋160 .8＋160 .7 4
小强这样计算平均数可以吗？为什么？
练习1：
为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽 取了其中20颗做试验，得到这20颗 手榴弹的杀伤半径，并列表如下：
(1)在这个问题中，总体、个体、 样本和样本容量各是什么？ (2)求出这20颗手榴弹的杀伤半 径的众数、中位数和平均数， 并估计这批手榴弹的平均杀伤 半径．
25.2 用样本估计总体
复习上节课的内容
在上节课中，我们知道在 选取样本时应注意的问题，其 一是所选取的样本必须具有代 表性，其二是所选取的样本的 容量应该足够大，这样的样本 才能反映总体的特性，所选取 的样本才比较可靠.
随机抽样调查是了解总 体情况的一种重要的数学方法， 抽样是它的一个关键，上节课 介绍了简单的随机抽样方法， 即用抽签的方法来选取样本， 这使每个个体都有相等的机会 被选入样本．
小结:
一般来说，用样本估计总体时， 样本容量越大，样本对总体的估计 也就越精确，相应地，搜集、整理、 计算数据的工作量也就越大，因此， 在实际工作中，样本容量既要考虑 问题本身的需要，又要考虑实现的 可能性和所付出的代价的大小。