向量证三点共线 (1)

利用共线向量巧解三点共线

例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一

点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λPA+

（1-λ）PB．

证法探究：

分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=λPA+（1-λ）PB，只需证

PC=λPA+PB-λPB⇔PC-PB=λ（PA-PB）⇔

BC=λBA⇔BC∥BA．这样证明思路有了。

证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=λBA，即PC-PB=λ（PA -PB），PC=λPA+PB-λPB，∴PC=λPA+（1-λ）PB．

证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。考察向量等式BC=λBA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC 与BA同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC 与BA反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA 同向，有λ＞1．

此例题逆命题亦成立，即

已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC=λPA+μPB，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线．

故此逆命题可作三点共线判定方法。

为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：

性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．

或叙述为：

已知A ，B ，C 是平面内三个点，

P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC =λPA +μPB ，则有λ+μ=1．

性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μ

PB ，且λ+μ=1，则A ，

B ，

C 三点共线．

三点共线性质在解题中的应用：

例1 如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别

交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB =AM m ，AC =AN n ，则n m +的值为 ．

解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有AO =AC AB 2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ．

点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ=21||=CB ，由性质1，

μ=1-λ

=21，简便求出n m +的值． 例2 如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC

=+

，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211

解：,,B P N 三点共线，又

2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+

=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C

例3 所示：点是△的重心，、分别是边、上的

动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；

证明：因为G 是OAB 的重心，

211()()323

OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+ 1OP xOA OA OP x =∴= 1OQ yOB OB OQ y

=∴= 111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y

∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y

∴+为定值3

G OAB P Q OA OB P G Q OA x OP =OB y OQ =y

x 11

+

例4．如图，在ABC ∆中，OA OC 41=，OB OD 2

1=， AD 与BC 交于M 点，设b OB a OA ==,． （Ⅰ）用a ，b 表示OM ；

（Ⅱ）在已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OA p OE =，OB q OF =．求证：17371=+q

p ． 解析：(Ⅰ)因为B 、M 、C 三点共线，所以存在实数m 使得OM =OB m OC m )1(-+ =OB m OA m )1(41-+⋅=b m a m )1(4

1-+；又因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数n 使得OM =OD n OA n )1(-+=b n a n )1(2

1-+．由于a ，b 不共线，所以有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=),1(211,41n m n m 解得，⎪⎩

⎪⎨⎧==．n m 71,74 故OM =b a 7

371+． （Ⅱ）因为E 、M 、F 三点共线，所以存在实数λ使得OM =OF OE )1(λλ-+ =b q a p )1(λλ-+．结合（Ⅰ），易得出⎪⎩

⎪⎨⎧=-=,73)1(,71q p λλ消去λ得，17371=+q p ． 点评：本题是以a ，b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示．解（Ⅰ）中的实数m ，n 的几何意义为：m ||BC =7

4，

n ||DA DM =71， m ，n ∈（0，1）；解（Ⅱ）中的实数λ|

|FE FM =p 71

．

例5．如图，平行四边形ABCD 中，点P 在线段AB 上，且

m PB

AP =，Q 在线段AD 上，且n QD AQ =，BQ 与CP 相交于点R ，求RC

PR 的值． 解析：设RC PR =λ，则PC PR =1+λλ，BR =1+λλBC +（1-1

+λλ）BP ．因为m PB AP =，所以BA m BP 1

1+=，且BR =1+λλBC +11+λ·BA m 11+． 又n QD AQ =，∴AD n n AQ 1+==BC n n 1

+，∴AQ BA BQ +=，即BA BC n n BQ ++=1．又∵BR 与BQ 共线，∴1+λλ-)

1)(1(11++⋅+m n n λ=0，解得λ=

)1)(1(++n m n ． 点评：我们先要确定好一组基底BC BA ,，看准BR ,BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因C R P ,,三点共线，中途要以BC BP ,作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得BR =1+λλBC +（1-1+λλ）BP ；最终BR 与BQ 都得转化到由BC BA ,两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果．