向量证三点共线 (1)

利用共线向量巧解三点共线
例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一
点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λPA+
（1-λ）PB．
证法探究：
分析：初看欲证目标，始感实难下手。

我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=λPA+（1-λ）PB，只需证
PC=λPA+PB-λPB⇔PC-PB=λ（PA-PB）⇔
BC=λBA⇔BC∥BA．这样证明思路有了。

证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=λBA，即PC-PB=λ（PA -PB），PC=λPA+PB-λPB，∴PC=λPA+（1-λ）PB．
证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。

考察向量等式BC=λBA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC 与BA同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC 与BA反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA 同向，有λ＞1．
此例题逆命题亦成立，即
已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC=λPA+μPB，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线．
故此逆命题可作三点共线判定方法。

为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：
性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．
或叙述为：
已知A ，B ，C 是平面内三个点，
P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC =λPA +μPB ，则有λ+μ=1．
性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μ
PB ，且λ+μ=1，则A ，
B ，
C 三点共线．
三点共线性质在解题中的应用：
例1 如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别
交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB =AM m ，AC =AN n ，则n m +的值为 ．
解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有AO =AC AB 2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ．
点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ=21||=CB ，由性质1，
μ=1-λ
=21，简便求出n m +的值． 例2 如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC
=+
，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211
解：,,B P N 三点共线，又
2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+
=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C
例3 所示：点是△的重心，、分别是边、上的
动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；
证明：因为G 是OAB 的重心，
211()()323
OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+ 1OP xOA OA OP x =∴= 1OQ yOB OB OQ y
=∴= 111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y
∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y
∴+为定值3
G OAB P Q OA OB P G Q OA x OP =OB y OQ =y
x 11
+
例4．如图，在ABC ∆中，OA OC 41=，OB OD 2
1=， AD 与BC 交于M 点，设b OB a OA ==,． （Ⅰ）用a ，b 表示OM ；
（Ⅱ）在已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OA p OE =，OB q OF =．求证：17371=+q
p ． 解析：(Ⅰ)因为B 、M 、C 三点共线，所以存在实数m 使得OM =OB m OC m )1(-+ =OB m OA m )1(41-+⋅=b m a m )1(4
1-+；又因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数n 使得OM =OD n OA n )1(-+=b n a n )1(2
1-+．由于a ，b 不共线，所以有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=),1(211,41n m n m 解得，⎪⎩
⎪⎨⎧==．n m 71,74 故OM =b a 7
371+． （Ⅱ）因为E 、M 、F 三点共线，所以存在实数λ使得OM =OF OE )1(λλ-+ =b q a p )1(λλ-+．结合（Ⅰ），易得出⎪⎩
⎪⎨⎧=-=,73)1(,71q p λλ消去λ得，17371=+q p ． 点评：本题是以a ，b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示．解（Ⅰ）中的实数m ，n 的几何意义为：m ||BC =7
4，
n ||DA DM =71， m ，n ∈（0，1）；解（Ⅱ）中的实数λ|
|FE FM =p 71
．
例5．如图，平行四边形ABCD 中，点P 在线段AB 上，且
m PB
AP =，Q 在线段AD 上，且n QD AQ =，BQ 与CP 相交于点R ，求RC
PR 的值． 解析：设RC PR =λ，则PC PR =1+λλ，BR =1+λλBC +（1-1
+λλ）BP ．因为m PB AP =，所以BA m BP 1
1+=，且BR =1+λλBC +11+λ·BA m 11+． 又n QD AQ =，∴AD n n AQ 1+==BC n n 1
+，∴AQ BA BQ +=，即BA BC n n BQ ++=1．又∵BR 与BQ 共线，∴1+λλ-)
1)(1(11++⋅+m n n λ=0，解得λ=
)1)(1(++n m n ． 点评：我们先要确定好一组基底BC BA ,，看准BR ,BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因C R P ,,三点共线，中途要以BC BP ,作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得BR =1+λλBC +（1-1+λλ）BP ；最终BR 与BQ 都得转化到由BC BA ,两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果．
例6 所示,在平行四边形ABCD 中，
13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______
A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277
a b + 分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG x AE x AC ∴=+- ,
1133
AE AB a ==,AC a b =+ 12(1)()(1)(1)33
x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………① 又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得
(1)AG AB AF λλ∴=+-1144
AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-…………… ②
由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩673
7x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
3177AG a b ∴=+ 点评：本题的解法中由两组三点共线（F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上），利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题
的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。