GPS第三章教程

远地点 地球
近地点
1 GMms 2 ms v s + = 常数 r 2
3.2 卫星的无摄运动
3.2.1 开普勒定律 三、 开普勒第三定律
T T 行星绕太阳运行周期的平方， 行星绕太阳运行周期的平方，与其轨道长半 1 = 2 3 3 径的立方成正比。 径的立方成正比。 a1 a2
根据牛顿力学原理，行星绕太阳运行周期的 T 2 根据牛顿力学原理， 4π 2 平方， 平方，与其轨道长半径的立方之比等于一个常 3 = a G( M + m) 这个常数与行星质量有关。 数，这个常数与行星质量有关。 表示行星运行周期， 表示轨道长半径， T表示行星运行周期，a表示轨道长半径，M和 T 2 4π 2 = 分别表示太阳和行星的质量。 m分别表示太阳和行星的质量。由于行星质量 3 相对于太阳质量非常小， 相对于太阳质量非常小，所以上式近似表示为
该研究的优点： 该研究的优点：二体问题下的卫星运动虽然是一 近似描述,但能得到卫星运动的 严密分析解,从 但能得到卫星运动的严密分析解 种 近似描述 但能得到卫星运动的 严密分析解 从 而可以在此基础上再加上摄动力 摄动力来推求卫星受摄 而可以在此基础上再加上摄动力来推求卫星受摄 运动的轨道。 运动的轨道。
2
2
a
GM
如果假设卫星运行的平均角速度为n, 则有 1 于是， 于是，将两式整理可得 GM 2 n= 3 a
n=
2π T
3.2 卫星的无摄运动
3.2.2 无摄轨道
一、 开普勒轨道根数
Z
开普勒轨道根数（开普勒轨道6参数）
as—— 轨 道 椭 圆 长 半 轴 （ Semi-major
Y0
m r
v(t) M
X0 P
x0 cos v ( t ) y = r sin v ( t ) 0 z0 0
2、卫星在天球坐标系中的位置
确定卫星在天球坐标系中的位置，需要轨道参数Ω、ωs 和i。 天球坐标系与轨道直角坐标系的原点都是地球质心，只是坐 标轴指向不相同。为了使两个坐标系相一致，需要将坐标轴 依次作如下旋转： 1.轨道直角坐标系绕Z0轴旋转角度ωs，使得X0轴指向升交点。 2.绕X0轴旋转角度i，使Z0轴与天球坐标系Z轴重合。 3.绕Z0轴旋转角度Ω，使X0轴与天球坐标系X轴重合。
M (t ) = n (t − τ 0 )
3.2 卫星的无摄运动
3.2.2 无摄轨道
E（t）——偏近点角 （） （eccentric anomaly）
m″
卫星 E（t）
v（t） m′ P
O
地球
开普勒方程（Kep M (t ) + e ⋅ E (t )
卫星 赤道面
v（t）
地球
Y
春分点
Ω
ωs
升交点
近地点
i
卫星轨道
开普勒轨道根数（ 参数 参数） 开普勒轨道根数（6参数） ①
z
卫星
fs
赤道 地心
ωs
升交 点
近地 点
Ω
春分 点 轨道
i y
x
as 轨道椭圆长半轴 (Semi-major Axis) es 轨道椭圆偏心率 (eccentricity) i 轨道面倾角 (inclination of orbit) Ω 升交点赤经 (right ascension of ascending node) ωs：近地点角距 (argument of perigee) τ0：卫星过近地点的时刻 (Epoch of perigee passage)
个参数用来描述卫星的运动， 这6个参数用来描述卫星的运动，它们的大小取决于卫星的 发射条件
开普勒轨道根数（ 参数 参数） 开普勒轨道根数（6参数） ②
z
卫星
as为轨道椭圆的长半径 es为轨道椭圆偏心率 这两个参数确定了开普勒椭圆 的形状和大小。 的形状和大小。
近地 点
fs
赤道 地心
ωs
升交 点
i为轨道面倾角 ： 即卫星轨道 为轨道面倾角： 为轨道面倾角 平面与地球赤道面之间的夹角。 平面与地球赤道面之间的夹角。 为升交点赤经： Ω 为升交点赤经 ： 即地球赤道 y 面上升交点与春分点之间的地 心夹角。 心夹角。 以上两个参数唯一地确定了卫 星轨道平面与地球体之间的相 对定向。 对定向。
卫星
先取近似值E0（t）＝M（t）， 然后依次迭代 ，直到En（t） －En-1（t）小于某个设定的微 小量为止。由此可以求得偏近 点角E（t）。 偏近点角E（t）与真近点角v （t）的关系为
E（t）
v（t） m′ P
O
地球
a s ⋅ cos E (t ) = r ⋅ cos v (t ) + a s ⋅ es
1 2
化简后 可得
E sin ES v (t ) 1 + es 1 −eS(t ) tgS = arctan( ⋅ tg f = 2 1 − es cos ES − eS 2
2
)
3.2 卫星的无摄运动
3.2.3 卫星坐标的计算
一、 卫星无摄运动瞬时坐标的计算
Axis）。 es——轨道椭圆偏心率（eccentricity）。 i —— 轨 道 面 倾 角 （ inclination of orbit）。 Ω—— 升 交 点 赤 经 （ right ascension of ascending node）。 ωs—— 近 地 点 角 距 （ argument of perigee）。 τ0——卫星过近地点的时刻（Epoch of X perigee passage）。 这6个参数用来描述卫星的运动。它们的 大小取决于卫星的发射条件。
a s (1 − es 2 ) r= 1 + es ⋅ cos v(t )
3.2 卫星的无摄运动
3.2.1 开普勒定律 二， 开普勒第二定律
行星围绕太阳运行时，行星与太阳的连线（向径），在相同的时间内扫过 行星围绕太阳运行时，行星与太阳的连线（向径），在相同的时间内扫过 ）， 相同的面积。 相同的面积。 以地球绕太阳公转为例，地球运行至近日点时（ 日左右）， ），速度达到 以地球绕太阳公转为例，地球运行至近日点时（1月3日左右），速度达到 最快，日速约1 01′9.9″。在远日点时（ 日左右）， ），速度达到最 最快，日速约1°01′9.9″。在远日点时（7月4日左右），速度达到最 日速约0 57′11.5″。 慢，日速约0°57′11.5″。
− sin ω s cosω s 0
0 x0 0 y0 1 z0
Z
卫星 赤道面
v（t）
地球
Y
春分点
Ω
ωs
升交点
近地点
i
X
卫星轨道
Pn
3、卫星在地球坐标系中 的位置
根据天球坐标系与地球坐 标系的关系，进一步计算 卫星在地球坐标系中的位 置。设（X， Y， Z）TS为 卫星在地球坐标系中的坐 标。则有
12
x
3.2 卫星的无摄运动
3.2.2 无摄轨道 二、 真近点角的计算
真近点角（true anomaly）：轨道平面上，卫星与近地点之间的地心角距， 用v（t）表示。确定它与时间的函数关系，是计算卫星位置的关键所在。 为了方便计算，需要引入两个辅助参数M（t）和E（t）。 M（t）——平近点角（mean anomaly）。它的定义如下 （）
计算卫星在任意观测历元，相对于地球坐标系的位置： 1.建立轨道直角坐标系，计算卫星在轨道直角坐标系中的位置； 2.计算卫星在天球坐标系下的坐标； 3.再将卫星的天球坐标转换为地球坐标系下的坐标。
3.2 卫星的无摄运动
3.2.3 卫星坐标的计算
1、卫星在轨道直角坐标系中的位置 取地球质心M为坐标原点，X0轴指向近 地点P，Z0轴垂直于轨道平面，Y0轴在 轨道面内垂直于X0轴构成右手系。在该 坐标系中，卫星ms的坐标为（x0，y0， z0）T。
11
Ω
春分 点 轨道
i
x
开普勒轨道根数（ 参数 参数） 开普勒轨道根数（6参数） ③
z
卫星
为近地点角距： ωs 为近地点角距 ： 即在轨道平 面上， 面上 ， 升交点与近地点之间的 地心夹角， 地心夹角 ， 表达了开普勒椭圆 在轨道平面上的定向。 在轨道平面上的定向。
近地 点
fs
赤道 地心
ωs
升交 点
3.2 卫星的无摄运动
3.2.1 开普勒定律
（Kepler's Three Laws of Planetary Motion） 一， 开普勒第一定律 行星绕太阳运行轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点上。 行星绕太阳运行轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点上。
卫星
r v(t)
远地点 地球 近地点
为了制订GPS测量的观测计划和便于捕获卫星 测量的观测计划和便于捕获卫星 为了制订 发射的信号，也需要知道卫星的轨道参数， 发射的信号，也需要知道卫星的轨道参数，只 是其要求的精度较低。 是其要求的精度较低。
3.1.2影响卫星轨道的因素及其研究方法①
卫星在空间绕地球运行时， 卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力场的 引力作用外，还受到太阳、 引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体的引 力影响，以及太阳光压、 力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮汐力 等因素影响。 等因素影响。 卫星实际运行轨道十分复杂， 卫星实际运行轨道十分复杂，难以用简单而精确 的数学模型加以描述。 的数学模型加以描述。 引力分两类： 引力分两类：
0 x cos Ω − sin Ω 0 1 0 cosω s y = sin Ω cos Ω 0 0 cos i − sin i sin ω s z CS 0 0 1 0 sin i cos i 0