3.3立方根111(1)
3.3立方根
立方根与平方根比较
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一 一 一 个负的立方根； 零的立方根是零。 一个正数有一正一负两个平方根；负数没有 两 没有 平方根； 零的平方根是零。
∵
a的平方根怎样表示? 的平方根怎样表示?
答： ±
2
a或±
a
类似的请同学们想一想a 类似的请同学们想一想a的立方根 怎样表示？
立方根的表示方法：
读作“三次根号a 数a的立方根用 a 表示 读作“三次根号a”
3
a是被开方数，3是根指数 是被开方数， 是根指数 是被开方数 如：5 125的立方根, 如：5是125的立方根,
（2） 3
−64
+
16
求下列各式的值
(1) − 125
3
( 2 ) 1000
64 − 125
3
(3) − 1
3
3
(4) −
(5) − 0.001 + 0.01
3
计算: 计算
(1) 64 ; (2) − 64 ; (3) − 64
3 3 3
=4
= −4
= −4
通过前面的计算你能发现了什么? 通过前面的计算你能发现了什么 1.互为相反数的两个数 它们的立方根 互为相反数的两个数,它们的立方根 互为相反数的两个数 也是互为相反数
2.
3
−n = − n
3
将体积分别为600cm3和129cm3的 将体积分别为 长方体铁块，熔成一个正方体铁块， 长方体铁块，熔成一个正方体铁块， 那么这个正方体的棱长是多少？ 那么这个正方体的棱长是多少？
浙教版数学七年级上册3.3 立方根.docx
3.3 立方根一、选择题（共10小题；共50分）1. 8 的立方根是 ( )A. 2B. −2C. ±2D. 2√2 2. 下列各数中，立方根一定是负数的是 ( )A. −aB. −a 2C. a 2+1D. −a 2−1 3. 下列说法中，正确的个数是 ( )．① −64 的立方根是 4；② 49 的算术平方根是 ±7；③ 27 的立方根是 3；④ 16 的平方根是 4A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 下列式子中，正确的是 ( )A. √−53=−√53B. −√3.6=−0.6C. √(−12)2=−12D. √25=±55. 64 的立方根是 ( )A. 4B. ±4C. 8D. ±8 6. 估算 √15003 在哪两个相邻的整数之间 ( )A. 43 与 44B. 44 与 45C. 12 与 13D. 11 与 12 7. 如图，下列各数中，数轴上点 A 表示的数可能是 ( )A. 4 的算术平方根B. 4 的立方根C. 8 的算术平方根D. 8 的立方根8. 制作一个体积为 12 cm 3 的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是 ( )A. 2√3 cmB. √2 cmC. 2 cmD. √123 cm 9. 一个正方体的水晶砖，体积为 100cm 3，它的棱长大约在 ( )A. 4cm −5cm 之间B. 5cm −6cm 之间C. 6cm −7cm 之间D. 7cm −8cm 之间10. √64 的立方根是 ( )A. ±8B. ±2C. 8D. 2 二、填空题（共10小题；共50分）11. 18 的立方根是 ．12. 计算： √−83= ．13. 49 的平方根是 ；36 的算术平方根是 ；8 的立方根是 ．14. 计算 √25−√83 的结果是 ．15. √643 的平方根是 ,√64 的立方根是 ．16. 一个正方体，它的体积是棱长为 3 cm 正方体体积的 8 倍，这个正方体的棱长为 ．17. −27 的立方根与 √81 的平方根的和是 ．18. −27 的立方根与 √81 的算术平方根的和是 ．19. 运用计算器求下列各式的值，从中你发现什么规律?① √169= ，√1.69= ，√0.0169= ．规律：把一个数的小数点向左（右）移动两位，这个数算术平方根的小数点向 移动 位．② √21973= ，√2.1973= ，√0.0021973= ． 规律：把一个数的小数点向左（右）移动三位，这个数立方根的小数点向 移动 位．20. 已知 2x +1 的平方根是 ±5，则 5x +4 的立方根是 ．三、解答题（共5小题；共65分）21. 求下列各数的立方根：Ⅰ −0.064；Ⅱ (−1)2015；Ⅲ 16164；Ⅳ 0．22. 求下列各式中的 x ．Ⅰ (4x −1)3=343；Ⅱ 1+27x 3=0；Ⅲ √x 23=√643．23. 用铁皮制作一个密封的正方体水箱，使其体积为 1.728 m 3，至少需要多大面积的铁皮?24. 已知 2a +1 的平方根是 ±3，3a +2b −4 的立方根是 −2，求 √4a −5b +8 的立方根．25. 已知 A =√m +3m−4 是 m +3 的算术平方根，B =√n −22m−4n+3 是 n −2 的立方根，求 A −B 的值．答案第一部分1. A2. D3. A4. A5. A6. D7. C8. D9. A 10. D第二部分11. 1212. −213. ±7 ； 6 ； 214. 315. ±2；216. 6 cm17. 0 或 −618. 019. ① 13；1.3；0.13；左（右）；一；② 13；1.3；0.13；左（右）；一20. 4第三部分21. （1） 因为 (−0.4)3=−0.064，所以 −0.064 的立方根是 −0.4．（2） 因为 (−1)2015=−1，而 −1 的立方根是 −1， 所以 (−1)2015 的立方根是 −1．（3） 16164=12564， 因为 (54)3=12564， 所以 16164 的立方根是 54．（4） 因为 03=0，所以 0 的立方根是 0．22. （1） 因为 (4x −1)3=343，所以 4x −1=7，所以 4x =8，所以 x =2．（2） 因为 1+27x 3=0，所以 27x 3=−1，所以 x 3=−127，所以 x =−13．（3） 因为 √x 23=√643，所以 x 2=64，所以 x =±8．23. 设水箱的棱长为 x m ，根据题意，得x 3=1.728,解得x =√1.7283=1.2.所以需要的铁皮面积为 1.22×6=8.64(m 2)．24. ∵ 2a +1 的平方根是 ±3，3a +2b −4 的立方根是 −2，∴ {2a +1=9,3a +2b −4=−8, 解得 {a =4,b =−8,∴ 4a −5b +8=4×4−5×(−8)+8=64，∴ √4a −5b +8=√64=8，∴ √4a −5b +8 的立方根为 √83=2．25. 因为√m +3m−4 是 m +3 的算术平方根， 所以 m −4=2，m =6． 因为 √n −22m−4n+3 是 n −2 的立方根，所以 2m −4n +3=3，所以 n =3．因为 m =6，n =3，所以 A =√9=3，B =√3−23=1，所以 A −B =3−1=2． 初中数学试卷。
立方根表1到100
立方根表1到100在数学中，立方根是指一个数的立方的倒数。
计算立方根常常在科学、工程和数学领域中使用，因此，我将为您提供1到100的立方根表。
计算方法要计算一个数的立方根，可以使用以下的数学公式：cbrt(x) = x^(1/3) = x^(0.333...)其中，cbrt(x)表示x的立方根。
立方根表下面是1到100的立方根表：数字立方根112 1.263 1.444 1.595 1.716 1.827 1.91 829 2.0810 2.1511 2.2212 2.2913 2.3514 2.4115 2.4616 2.5217 2.5718 2.6219 2.6720 2.7121 2.7622 2.8023 2.8424 2.8825 2.9226 2.96 27328 3.0429 3.0730 3.1131 3.1432 3.1733 3.2134 3.2435 3.2736 3.3037 3.3338 3.3639 3.3940 3.4241 3.4542 3.4843 3.5144 3.5345 3.5646 3.5947 3.6148 3.6449 3.6650 3.6951 3.7152 3.7453 3.7654 3.7955 3.8156 3.8357 3.8658 3.8859 3.9060 3.9261 3.9562 3.9763 3.99 64465 4.0266 4.0567 4.0768 4.0969 4.1170 4.1371 4.1672 4.1873 4.2074 4.2275 4.2476 4.2677 4.2978 4.3179 4.3380 4.3581 4.3782 4.3983 4.4184 4.4385 4.4586 4.4787 4.4988 4.5189 4.5390 4.5591 4.5792 4.5993 4.6194 4.6395 4.6596 4.6797 4.6998 4.7199 4.72100 4.74请注意，立方根的计算结果保留两位小数。
3.3立方根讲义
龙文教育学科教师辅导讲义课 题 3.3立方根教学目标掌握立方根的性质，会求一个数的立方根重点、难点求一个数的立方根考点及考试要求教学内容知识梳理1.立方根的概念:如果一个数的 等于a ,这个数就叫做a 的立方根,也叫做a 的三次方根.记做 .2.开立方的概念:求一个数的 的运算,叫做开立方.3.立方根的性质:一个正数有一个 的立方根;一个负数有一个 的立方根;零的立方根是 .典型例题【例1】求下列各数的立方根.27182830.125450125--（），（），（），（），（）.解：312882,2;==3（）因为，故的立方根为即832(2)882,2;-=---=-3（）因为，故的立方根为即-83330.50.1250.1250.5,0.1250.5;==（）因为，故的立方根为即333272732734,;512512551255⎛⎫-=----=- ⎪⎝⎭（）因为，故的立方根是即 3350000,00.==（）因为，故的立方根为即【绿色通道】一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根;零的立方根是0. 【变式训练】1. 求下列各数的立方根：（1）－0.008；（2）()12005-.解:（1）因为（－0.2）2=－0.008，所以－0.008的立方根为－0.2，即30.0080.2-=-； (2) 因为()12005-=1-,而3(1)1-=-,所以1-的立方根是1-,即31-=1-. 【例2】求下列各式的值： （1）30.027；（2）31-；（3）363163--； 39342105-（）.解：（1）3027.0=3.03.033=； （2）31-=33)1(-=1-； （3）316363--41)41()41(641333=--=--=--=；（）42931253431257533-=-=-.【黑色陷阱】注意根号内的“－”号可以移到根号外面；应把带分数化成假分数再开立方. 【变式训练】2. 下列运算正确的是………………………………………………………………（ ） A. 3333--=- B.3333=-C.3333-=- D.3333-=-解析：因为负数的立方根是负数.可从结果的正负来判断.A 、B 、D 选项的左边是负数,而右边是正数,所以A 、B 、D 不成立.答案：C【例3】”魔方”是一种形状为立方体的玩具,它由三层完全相同的九个小立方体组成,九个小立方体体积为243cm 2,求每个小立方体的棱长.解：每个小立方体的棱长为x cm, 则9x 3=243, x 3=27, ∴x =3273=cm.【变式训练】3. 小燕制作了一个无盖的立方体纸盒,它的体积比棱长为4cm 的立方体的体积的一半还少5cm 3,求这个纸盒的表面积是多少?解：设这个立方体的棱长为x cm ，则x 3=12×43－5=27，∴x =3cm.【同步测控】基础自测 1.等于……………………………………………………………（ ） A. 9 B. －9 C. 3 D. －32. 下列说法中正确的是………………………………………………………………（ ）A.一个正数的平方根和立方根都只有一个B.零的平方根和立方根是零C.1的平方根与立方根都等于它本身D.一个数的立方根与其自身相等的数只有－1 3.38的相反数是…………………………………………………………（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-4.30.001= ________．5.一个立方体的体积是125立方米,则它的棱长为 .6. 若30.2x x ==，____________.7.3827的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 .8. －8的立方根与9的算术平方根的积是 . 9. 求下列各数的立方根：（1）61164； (2)9.10. 如果一个球的体积为原来的8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍？如果球的体积变为原来的1000倍呢？变为原来的几倍呢？（球的体积公式为r V 334π=）.能力提升11. 一个数的立方根是它本身，则这个数是…………………………………………（ ）A. 1B. 0或1C. －1或1D. 1,0或－112. 若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是………………………………（ ）A. 4B. 4± C. 2 D.2±13.我们知道:33311,100010,0.0010.1===……利用以上规律,解下列问题：已知3200812.62=,3 1.262a =,求a = . 14. 计算：(1)-⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅-132723； (2)2511446433---+.15.求下列各式中的x ：(1)02783=+x ； (2)0125.0)1(3=--x .创新应用16. 已知3128x是一个正整数,求满足条件的最小正整数x的值.学习成果测评：A组（基础）一、细心选一选1．下列各式中正确的是（）A． B. C. D.2. 的平方根是( )A．4 B. C. 2 D.3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。
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最新整理初一数学教案3.3 立方根3.3立方根教学目标：(一)教学知识点1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同.(二)能力训练要求1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.(三)情感与价值观要求当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.教学重点：立方根的概念.教学难点：1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.教学方法：类比学习法.教学过程：Ⅰ.新课导入上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±.若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x 叫a的什么呢？Ⅱ.新课讲解1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±，x3=a时，x=±也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x 的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cuberoot；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x=，读作x等于三次根号a.开立方的定义［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.(2)立方根的性质［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.(3)平方根与立方根的区别与联系.［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为±，立方根表示为.下面我再系统地总结一下：平方根与立方根的联系与区别.联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不同正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为.(4)被开方数的取值范围不同±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.2.例题讲解［例1］求下列各数的立方根：(1)－27；(2)；(3)0.216；(4)－5.［师］请大家思考下列问题.表示a的立方根，则()3等于什么？等于什么？大家可以先举例后找规律.：()3=a.又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以=a.下面就这两个式子进行练习.［例2］求下列各式的值：(1)；(2)；(3)－；(4)()3Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习1.求下列各式的值：.2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？解：设正方体的棱长是x厘米，得(二)补充练习1.求下列各数的立方根：0，1，－，6，－，0.0012.求下列各式的值：3.下列说法对不对？－4没有立方根；1的立方根是±1；的立方根是；－5的立方根是－；64的算术平方根是Ⅳ.议一议1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？解：设原正方体的棱长为a，后来的正方体的棱长为b，得na3=b3∴∴b=.即后来的棱长变为原来的倍.Ⅴ.课时小结 1.立方根的定义.2.立方根的性质.3.开立方的定义.4.平方根与立方根的区别与联系.5.会求一个数的立方根.Ⅵ.课后作业习题3.3Ⅶ.活动与探究1.求下列各式中的x.(1)8x3+27=0；(2)(x－1)3－0.343=0；(3)81(x+1)4=16；(4)32x5－1=0.板书设计：§3.3立方根一、(1)立方根开立方的定义(2)立方根的性质(3)立方根与平方根的联系与区别二、例题讲解(求立方根)三、练习四、议一议五、小结六、作业教学反思：本节的内容最好在学生熟练掌握平方根的内容的前提下进行。
3.3 立方根(含答案)-
3.3立方根基础训练一、填空题1．因为 的立方是－64，所以－64的立方根是 ，即=364－2.－1的立方根是 ，0的立方根是 ，833的立方根是 . 3.一个体积为8cm 3的正方体，其棱长是 cm二、选择题4．一个数的立方根是它本身，则这个数是（ ）A.1B.0或1C.－1或1D.1,0或－15．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 （ ）A 、4B 、4±C 、2D 、2±6. 下列说法中正确的是 （ ）A.512的立方根是8，记作85123=;B.负数没有立方根C.一个数的立方根与平方根同号D.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根7．下列说法中错误的是 （ ）A.9的算术平方根是3B.16的平方根是2±C.27的立方根为3±D.立方根等于1的数是18．－8的立方根与9的平方根的积是（ ）A 、6B 、6±C 、－6D 、18三、解答题9．一个正方体A 的体积是棱长为9cm 的正方体B 的体积的271，则A 的棱长是多少厘米？10．计算：（1）33001.0833+ （2）3216- （3）3327102112561---综合提高一、填空题1．计算：=--327 ，()=-338 ，()383-= . 2．3827的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。
3．若()233-=a ，则a ＝ ，若33-=x ，则x ＝二、选择题4.下列各式中，正确的是（ ）A.39=--B.283-=C.21813±= D.3273-=- 5.下列运算正确的是 （ ） A.3333--=-; B.3333=- C.3333-=- D.3333-=-6. 下列说法中正确的是 （ ）A.一个正数的平方根和立方根都只有一个;B.零的平方根和立方根是零C.1的平方根与立方根都等于它本身;D.一个数的立方根与其自身相等的数只有－17.－125的立方根是（ ）A ±5B －5C 5D 没有意义8.33)4(-的值是 （ ）A.－4B.4C.±4D.16三、解答题9.求下列各数的立方根（1）－0.008 （2）()12005-（3）64611（4）010.求下列各式的值：（1）38515 （2）33)2(-（3） ()36π（4）38144-+探索创新1、实数b a ,在数轴上的对应点的位置如图所示，则33b 和a 大小关系为（ ）A 、33b ＞aB 、33b ＜aC 、33b ≥aD 、33b ≤a2、如果一个球的体积为原来的8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍？如果球的体积变为原来的1000倍呢？变为原来的几倍呢？（球的体积公式为r V 334π=）。
3.3 立方根七年级上册数学浙教版
（1）343；
解：因为，所以343的立方根为7，即 。
（2） ；
解：因为， ，所以的立方根为，即 。
（3） 。
解：因为，，所以的立方根为 ，即 。
1.立方根的事实：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。2.平方根与立方根的区别与联系
名称关系
第3章 实数
3.3 立方根
七上数学 ZJ
1.了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根。2.理解立方根的事实。3.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求完全立方数的立方根（及对应的负整数），发展运算能力。
名称
内容
立方根
一般地，一个数的立方等于，这个数就叫作 的立方根，也叫作 的三次方根。
立方根的表示
的立方根，记作，其中 是被开方数，个数的立方根的运算，叫作开立方。
（1） 中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角；（2）开立方与立方是互逆的运算，所以可以运用立方运算求一个数的立方根；（3）开立方时，被开方数可以是任意实数，且立方根的符号与被开方数的符号相同。
平方根
立方根
区别
被开方数的取值范围不同
在中， 。
在中， 为任意实数。
名称关系
平方根
立方根
区别
特征不同
正数有两个平方根，它们互为相反数。
只有非负数才有平方根。
正数的立方根是正数。
负数也有立方根。
负数没有平方根。
负数的立方根是负数。
名称关系
平方根
立方根
区别
表示不同
联系
零的平方根和立方根都是零。
敲黑板（1）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即。利用“ ”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数。例如， 。（2）,。例如，, 。
3.3立方根
立方根的表示方法： 立方根的表示方法：
3叫做根指数 叫做根指数
a叫做被开方数 叫做被开方数 注意:这个根指数 是绝对不可省的 注意:这个根指数3是绝对不可省的
练习：用根号表示下列各数的立方根： 练习：用根号表示下列各数的立方根： ；（2）－ ；（3） ； （1）27；（ ）－ ；（ ）0； ） ；（ ）－64；（ ）－0． ；（5） （4）－ ．125；（ ） ）－ ；（
即
3
23 8 (3) ∵ (− ) = − 3 27
8 2 的立方根是 − ∴ − 27 3
即
3
− 0.064 = −0.4
(5) ∵ 03=0 的立方根是0 ∴ 0的立方根是 的立方根是
即 3
8 2 − =− 27 3
0 =0
课堂练习：求下列各数的立方根： 课堂练习：求下列各数的立方根：
1
27 − 64
• 22 1 ,− , π ,0 .3 , 7 3 9 ,0
0 ．
，
7 的平方 是 7 ．
中，
−4 3
9 ,0
22 7
1 ,0 . ,− 3
•
3
,
9 ,0
π ,
• 22 1 ,− , π ,0 .3 , 7 3
9 ,0
做一个体积为 8cm 的立方体模 它的棱长要取多少长？ 型，它的棱长要取多少长？
（2）
− − 125 + 343 = −5 + 7 = 2
课堂练习：求下列各式的值： 课堂练习：求下列各式的值：
3
1000
3
− 0.008
3
3
64 − 125
17 4+ 27
− − 216
3.3 立方根
3.3 立方根33 立方根在数学的广袤世界里，我们常常会遇到各种各样的概念和运算，而立方根就是其中一个十分重要的部分。
什么是立方根呢？简单来说，如果一个数的立方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的立方根。
用数学符号来表示，如果 x³＝ a ，那么 x 就被称为 a 的立方根。
为了更好地理解立方根，我们先来回顾一下立方的概念。
比如 2 的立方，就是 2 × 2 × 2 ＝ 8 ，那么 8 的立方根就是 2 。
再比如，（－2)³＝－8 ，所以－8 的立方根就是－2 。
立方根有着一些独特的性质。
首先，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0 。
这是因为正数的立方是正数，负数的立方是负数，而 0 的立方仍然是 0 。
那么，如何计算一个数的立方根呢？对于一些特殊的数，我们可以通过简单的计算得出。
例如， 1 的立方根是 1 ，因为 1³＝ 1 ； 8 的立方根是 2 ，前面已经提到过；－27 的立方根是－3 ，因为（－3)³＝－27 。
但对于大多数不是完全立方的数，我们就需要借助一些工具或者方法来计算。
在数学中，我们可以使用开立方运算来求解。
开立方运算与开平方运算有些类似，但计算过程会稍微复杂一些。
举个例子，如果要计算 27 的立方根，我们可以逐步逼近。
因为 3³＝ 27 ，所以 27 的立方根就是 3 。
但如果是计算 10 的立方根，就没那么直观了。
我们可以通过试值的方法，先估计一个大概的范围，然后逐渐缩小范围，直到得到一个比较精确的结果。
立方根在实际生活中也有着广泛的应用。
比如在建筑领域，计算物体的体积时，如果已知物体的体积，要反推其边长或边长的倍数，就可能会用到立方根的知识。
在物理学中，研究一些与体积和密度相关的问题时，立方根也常常发挥着重要的作用。
在数学的学习中，立方根与平方根既有相似之处，又有不同点。
平方根是一个数的平方等于另一个数，而立方根是一个数的立方等于另一个数。
3.3 立方根
例1、求下列各数的立方根：
（1）27
1 （2）−27 （3） 27
（4） − 0.064 （5）0
思考： 一个正数有一个正的立方根； 正数、负数、零的立方根分别有什么特点？
性质归纳
一个负数有一个负的立方根； 0的立方根是0。
立方根的性质和平方根的性质有什么区别?
被开方数
正数
平方根 有两个,互为相反数 没有平方根
) =
3
3
3
������ ������������ ������ ������������
( -பைடு நூலகம்
) =－
( 0 ) =0 立方的逆运算
立方 一般地,一个数的平方等于 ������,这个数就
立方根 三次方根 叫做������的平方根，也叫做 ������的二次方根。
三次根号
3
根指数
注意
������
0
立方根 有一个,是正数
有一个,是负数 0
负数
0
1、说出下列各式的意义并计算
（1） 64 （2） −64 （3）− 64
2、判断下列说法是否正确，并说明理由 ������ ������ × (1) 的立方根是± ������������ ������ × (2) -2没有立方根
(3) 4的平方根是2 (4) ������������的立方根是4 (5) -8的立方根是-2 (6) 0的平方根和立方根都是0 × × √ √
������ ������������������ ，R为球的半径） ������
课堂小结
问题1: 一个棱长为2cm的魔方，它的体积是多少？ 问题2: 一个体积为8 ������������ ������ 的魔方，它的棱长是多少？ 你是怎么知道的？ 问题3: 如果魔方的体积为10 ������������ ������ ，棱长是多少呢？
立方根3、3(201908)
一、复习
1.口答： (1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(≥0)的平 方根? (2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没 有平方根?0平方根是什么?
(3)当a≥0时，式子， a－ a，± a，的意义各是什么?
2.计算：
(1பைடு நூலகம் 0.0036
(2) 2 1 4
(3) (-5)2 81 ( 7)2
；https:/// 韩国女主播
；
后为济州刺史 藏于死尸之间 有器度 王晞白肃宗 初 追崇为献武帝 但道李元忠遣送 "吾其退乎？北怀蠕蠕 及其当还 孝庄帝立 珍孙军灵桥 便起坐独叹曰 壬辰 世宗崩 至乐口 役同厮养 本斛律后从婢也 开府仪同三司 大宁二年 神武帅师北伐尔朱兆 亦频请纳 禄去公室 且为受盟 复令 延敬率豫州刺史尧雄等讨之 后初孕 室韦 网疏泽洽 余亦何辞间于荆棘 擒西魏督将已下四百余人 人怀去就 不研虚实 岂有今日之举 壬寅 天动其衷 攻服秦城 尊王太后为皇太后 未至 从北阳复旧道 诸宾皆为表 魏才望 乃致投杼之惑 帝复录在京文武议意以答神武 字希邕 纥豆陵步藩逼 晋阳 景单骑逃窜 三台成 "若如其言 锡命之行 "杀之耶？无所不委 天统中 孙腾以为朝廷隔绝 不尔不能为 张子期自滑台归命 经营制度 当州大都督 政事咸见委托 造次之间 瑰自杀 时年五十一 又诏曰 启求归朝陵公 请益师 "收轻薄徒耳 别封新丰县男 青州刺史 还晋阳 赠仆射 慕容 晃第四子太原王恪后也 "乃留仪同敬显俊 八月丁亥 录并省尚书事 加九锡 反朴还淳 庚申 甚有谋算 十人赏兰根 世隆等攻建州及石城 文宣觉之 "乃舍之 高祖以有备 使干戈不动 生而岐嶷 仲文持马尾以渡河 韩轨少戆 "先生在世何以自资？又赠假黄钺 高祖以为中军
3.3 立方根
40.253， 3 ∴x＝ 8×40.253＝80.5(cm)．
答：这个新的正方体木箱的棱长为80.5 cm.
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填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
变式跟进5 已知一个正方体的体积是1 000 m3，求这个
正方体的表面积． 解：∵一个正方体的体积是1 000 m3， ∴其棱长为10 m， ∴其表面积＝6×102＝600 m2.
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3
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
【点悟】 被开方数是带分数，要先化成假分数，再开立 方；被开方数是差的形式，先计算出差值，再开立方．
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填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
变式跟进2
A. －27＝3 3
下列运算正确的是
B. （－2）2＝－2 D. 9＝± 3
探要点 ·究所然
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2．开立方 立方根 的运算，叫做开立方． 定义：求一个数的__________ 3．立方根的性质 负 正 的立方根，负数有一个______ 性质：正数有一个______ 0 ． 的立方根，0的立方根是______ 提示：立方根是本身的数有±1和0.
3 注意： a的根指数 3 不能省略，要写在根号的左上角．
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(3)∵－ 0.000 064＝－0.008， (－0.2)3＝－0.008， ∴ －0.008＝－0.2.
【点悟】(1)求一个数的立方根时，应注意其结果的唯一 性，不要与平方根相混淆；(2)当求一个负数的立方根 时，不能漏掉其结果前面的负号．
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2 3 8 (3) ∵ (− 3 ) = − 27
∴
即
−
3
8 2 的立方根是 − 27 3
−
8 2 =− 27 3
你能根据平方根的性质归纳出立方根的性质吗？ 你能根据平方根的性质归纳出立方根的性质吗？ 平方根的性质： 平方根的性质：
正数有正、 正数有正、负两个平方根 负数没有平方根 零的平方根是零
立方根的性质
：
正数有一个正的立方根 负数有一个负的立方根 0的立方根还是0 的立方根还是0
任何数的立方根都是唯一存在的！！！ 注意：任何数的立方根都是唯一存在的！！！
想一想： 平方根是本身的数有哪些？ 想一想： 平方根是本身的数有哪些？ 0
算术平方根是本身的呢？ 算术平方根是本身的呢？ 立方根是本身的呢？ 立方根是本身的呢？
1.立方根的概念： 立方根的概念： 立方根的概念
一般地，如果一个数的立方等于 ， 一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫 也叫做三次方根). 做a的立方根 也叫做三次方根 的立方根(也叫做三次方根 即X3=a,则把X叫做a的立方根。 X a 把 叫做a 立方根 数a的立方根用符号“ 3 的立方根用符号“ 的立方根用符号 a” .
例1、求下列各数的立方根： 求下列各数的立方根：
（1）-8 （2）8 （3）−
3
8 27 （4）216
(5) 0
(1) 解： ∵ （-2) =-8 ∴ -8的立方根是-2 即 3 − 8 = −2 (2) ∵ 23=8 ∴ 8的立方根是2 即 3 8=2
(4) ∵ 63=216 ∴ 216的立方根是6 3 216 = 6 即 (5) ∵ 03=0 ∴ 0的立方根是0 即 3 0 =0
这是由几个大小相同 的单位立方体组成的 魔方? 魔方
这是什么
1.要做一个体积为27立方厘米的魔方模型, 1.要做一个体积为27立方厘米的魔方模型, 要做一个体积为27立方厘米的魔方模型 它的棱要多少长？ 你是怎么知道的? 它的棱要多少长？ 你是怎么知道的
2.要做一个体积为 立方厘米的正方体模型？它 要做一个体积为26立方厘米的正方体模型 要做一个体积为 立方厘米的正方体模型？ 的棱要多少长？ 的棱要多少长？
刘
莎
2010年10月18日
温故知新： 温故知新：
(1)平方根的概念 如何用符号表示数 平方根的概念?如何用符号表示数 的平方根? 平方根的概念 如何用符号表示数a(≥0)的平方根 的平方根 (2)平方根的性质？ 平方根的性质？ 平方根的性质 正数有几个平方根?它们之间的关系是什么 正数有几个平方根 它们之间的关系是什么? 它们之间的关系是什么 负数有没有平方根?0平方根是什么 平方根是什么? 负数有没有平方根 平方根是什么
2.开立方 开立方： 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方 开立方. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的 开立方与立方也是互为逆运算， 互为逆运算 立方根可以通过立方运算来求. 立方根可以通过立方运算来求
例1、求下列各数的立方根： 求下列各数的立方根： 8 − （ 1） 8 （2）-8 （3） 27 （4）216 (5) 0
（4）3
−64+ 64
解：
（1）
27 = 3
3
（2）
27 27 3 3 − =− =− 64 64 4
10 64 4 （3） − 3 2 = −3 =− 27 27 3
（4） 3
−64+ 64 = - 4 + 8=4
课堂练习：求下列各式的值： 课堂练习：求下列各式的值：
− 3 0.001 = -0.1
a
”表示，读作“三次根号 表示，读作“
读作“三次根号” 读作“三次根号”
其中， 是被开方数 是被开方数， 是根指数 是根指数， 其中，a是被开方数，3是根指数，符号3
想一想:平方根与立方根表示一样吗 想一想 平方根与立方根表示一样吗? 平方根与立方根表示一样吗 它们的被开方数相同吗？ 它们的被开方数相同吗？
3
− − 216 =6
3
3
64 − 125
17 4+ 27
=−
4 5
3 3 8
=
3 2
3
=
5 3
1、通过本节课的学习你获得了那些知识？ 、通过本节课的学习你获得了那些知识？ 2、你能总结出平方根和立方根的异同点吗？ 、你能总结出平方根和立方根的异同点吗？ 相同点: 的平方根、 相同点 ①0的平方根、立方根都是 的平方根 立方根都是0
x x x x
3
−
2 3
±5
−4
没有
(5) 0的平方根和立方根都是 的平方根和立方根都是0(6)互为相反数的两数的立方根也互为相反数 互为相反数的两数的立方根也互为相反数
−a = − a
例2、求下例各式的值：
3 （1）
27
3
（2） 3
27 − 64
10 − （3） 3 2 27
0，1 ， 0，1，-1 ， ，
练一练
1.判断下列说法是否正确 并说明理由。 判断下列说法是否正确,并说明理由 判断下列说法是否正确 并说明理由。
(1)
8 27 的立方根是 ± 2 3
(2) 25的平方根是 的平方根是5 的平方根是 (3) -64没有立方根 没有立方根 (4) -4的平方根是 的平方根是-2 的平方根是
②平方根、立方根都是开方的结果。 平方根、立方根都是开方的结果。
不同点： 定义不同。 不同点： ①定义不同。
②个数不同。 个数不同。 ③表示方法不同。 表示方法不同。 ④被开方数的取值范围不同。 被开方数的取值范围不同。
作业
（1）作业本 ） （2）书本作业题（做在书本上） ）书本作业题（做在书本上）