概率公式

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概率论公式大全

∫
x
−∞
e
dt
− ∞ < x < +∞
7.多维随机变量及其分布
3
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
F ( x, y ) = ∫
x
−∞ −∞
∫
y
f (u, v)dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
FX ( x) = ∫
x
− ∞ −∞ +∞
∫
+∞
f (u, v)dvdu
f X ( x) = ∫ f ( x, v)dv
i =1 i =1
n
n
2．概率的定义及其计算
P ( A ) = 1 − P ( A)
若A⊂ B
⇒ P ( B − A) = P ( B ) − P ( A)
对任意两个事件 A, B, 有 P ( B − A) = P ( B ) − P ( AB )
加法公式：对任意两个事件 A, B, 有
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) P ( A ∪ B ) ≤ P ( A) + P ( B ) P (∪ Ai ) = ∑ P ( Ai ) −
−∞ −∞
fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ∫ fY X ( y x) f X ( x)dx
−∞ −∞
+∞
+∞
f X Y ( x y) =
fY X ( y x) f X ( x) f ( x, y ) = fY ( y ) fY ( y )
4
fY X ( y x) =
f X Y ( x y ) fY ( y ) f ( x, y ) = f X ( x) f X ( x)

概率公式大全

概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。

本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。

1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。

事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。

2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。

2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。

条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。

根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。

3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。

全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。

这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。

4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。

根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

概率计算公式详解

概率计算公式详解概率是描述事件发生可能性的数值，是一个介于0和1之间的实数。

概率计算公式是用来计算事件发生概率的数学公式。

本文将详细介绍概率计算公式，包括概率的定义、基本概率公式、条件概率公式和事件相互关系公式。

一、概率的定义概率是一个描述事件发生可能性的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围在0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

二、基本概率公式1.基本概率公式一：频率定义概率频率定义概率是通过实验统计数据来计算事件发生概率的方法。

当我们进行一定数量的实验，事件A发生的次数为n(A)，总实验次数为n时，频率定义概率P(A)可计算为P(A)=n(A)/n。

2.基本概率公式二：古典概率古典概率是在一定条件下利用概率的基本规律计算事件发生概率的方法。

对于一个有限的样本空间S，包含n个等可能的样本点，事件A包含m个有利结果，则古典概率P(A)可计算为P(A)=m/n。

3.基本概率公式三：几何概率几何概率是通过几何方法计算事件发生概率的方法。

当事件A是在一个图形空间中随机选择一个点时，落在事件A的面积与总图形面积之比即为几何概率P(A)。

三、条件概率公式条件概率是指在已知其中一事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率用P(A，B)表示。

条件概率公式可表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

四、事件相互关系公式1.互斥事件：如果事件A和事件B不能同时发生，则称两个事件互斥。

互斥事件的概率公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)。

2.独立事件：如果事件A的发生与否不受事件B的影响，事件B的发生与否不受事件A的影响，则称两个事件相互独立。

独立事件的概率公式为P(A∩B)=P(A)*P(B)。

四、概率计算的常用方法1.组合数计算法：对于涉及到计算事件发生数和总数的概率计算问题，可以使用组合数计算法来求解。

高中数学概率公式大全

高中数学概率公式大全一、常用概率公式及应用1、概率定义：概率是指某件事情发生的可能性，以及该事件发生后，另一个事件发生的可能性，都是以概率来衡量的。

2、贝叶斯公式：P（A|B）=P（A）* P（B|A）/P（B），p（A|B）表示的是在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P（A）表示事件A发生的概率，P（B|A）表示在A发生时事件B也发生的概率，而P（B）表示事件B发生的概率。

3、全概率公式：P（A）= ∑P（A|B）*P（B），全概率公式是通过对一个事件进行分类求其总概率，表示事件A发生的概率，P（A|B）表示事件在A发生时事件B也发生的概率，而P（B）表示事件B发生的概率。

4、乘法公式：P（A∩B）=P（A）*P（B|A），乘法定理是用来描述概率的一种方式，也叫做“独立性原理”，通常使用来计算两个不相关事件A和B发生的概率，P（A∩B）表示A和B同时发生的概率，而P （B|A）表示在A发生的情况下B发生的概率，P（A）表示事件A发生的概率。

5、条件概率公式：P（A|B）=P（A∩B）/P（B），P（A|B）表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率，也可以理解为在B中发生A的条件概率。

P（A∩B）指的是两个事件A和B同时发生的概率，而P （B）表示的是事件B发生的概率。

二、重要定理1、条件概率定理：P（A）= ∑P（A|B）*P（B）。

概率世界中，条件概率定理是一个不可或缺的定理，它捕捉了一个核心思想，就是通过对某个条件下求出另一个条件的概率，从而可以计算事件A发生的概率。

2、独立性定理：P（A∩B）=P（A）*P（B），当两个事件没有任何关系时，也就是说，事件A和事件B相互独立，那么他们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积。

3、期望定理：期望就是某种随机变量X的取值的数学期望，通常以＜X＞表示，它是服从该随机变量X分布的概率密度函数或概率分布函数的函数，也可以是某个给定概率发生的概率分布期望。

概率论公式大全

概率论公式大全（2011版）1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni in i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P)()(A P AB P乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = pn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-* Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C kk n n k n k n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ* N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x t d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xy dvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x A y x f(2) 二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9.二维随机变量的条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X EX 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X EX ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ……………………………………………………………………………………………………………………………。

(完整版)概率论公式总结

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp ()对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤b adx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )(1)(b x a a b x f ≤≤-=联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=kk k p x g X g E )())((方差定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P (1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。

概率论公式

n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)

0, 1,
x x

c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)

2
n 2
1 (
n
)
e

x 2
x
n 2
1
,
x

0
2

0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)

( E(

概率的基本公式

概率的基本公式:
(1) 普通公式事件A 发生的概率:P(A)=n
m (m 在一次实验中事件A 发生的所有可能情况,n 在一次实验中
事件所有可能的结果)。

P(x=k)=n N k n M N k M C C C --
特别现象：超几何概率：X~H(n ，M ，N)
则：P(x=k)=n N k n M N k M C C C --
(2) 概率间的公式：
①加法公式：如果AB 是互斥事件：则A+B 称为互斥事件A 、B 只有一个发生，则P(A+B)=P(A)+P(B) ②加法公式（特别）：P(A)+P(B)=1
③乘法公式：如果A 、B 是相互独立事件：则AB 称为A 、B 同时发生，则P(AB)=P(A)P(B)
④二项分布概率：进行n 次试验，如果满足以下条件：1,每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；2,每次“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1-p ；3,各次试验是相互独立的；用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P （X=k ）=（k=0,1,2，…，n ）k n k k n p p C
--)1( ⑤P(A/B)=P(AB)/P(B)
⑥几何分布：n 次试验，前n-1次皆失败，第n 次才成功的概率：P(X=n)=p n-1(1-p)。

概率论的公式大全

概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。

以下是概率论中常用的公式。

1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。

2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。

6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。

7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。

8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。

9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。

10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。

概率论公式

概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k kB A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = p nk p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kkn n k n k n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x td 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ 9. 二维随机变量的条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f xf x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y fy x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X E X 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数 )()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。

概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。

2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。

概率论公式总结

概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。

在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。

本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。

1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。

对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。

2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。

对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。

3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。

对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。

对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。

6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。

对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。

概率和统计公式大全

概率和统计公式大全1.基本概率公式-事件发生的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)是事件A发生的可能结果数，n(S)是总的可能结果数。

-互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)，其中A和B是互斥事件。

-对立事件的概率：P(A')=1-P(A)，其中A'表示事件A的补集。

2.条件概率公式-两个事件A和B同时发生的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)，其中P(B，A)表示已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

-两个事件A和B互斥的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

-两个事件A和B互相独立的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B)。

3.随机变量和概率分布- 随机变量的期望：E(X) = ∑(xi * P(X=xi))，其中xi是随机变量X的可能取值，P(X=xi)是随机变量X取值为xi的概率。

- 随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) -(E(X))^2-二项分布的概率：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数，p是单次实验成功的概率。

-正态分布的概率：P(a≤X≤b)=Φ((b-μ)/σ)-Φ((a-μ)/σ)，其中Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数，μ是正态分布的均值，σ是标准差。

4.抽样与统计推断-样本均值的期望：E(x̄)=μ，其中μ是总体均值。

- 样本方差的无偏估计：s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n-1)，其中xi是样本中的观察值，x̄是样本均值，n是样本容量。

-正态总体均值的置信区间：x̄±t*(s/√n)，其中x̄是样本均值，s是样本标准差，n是样本容量，t是自由度为n-1的t分布的临界值。

-正态总体比例的置信区间：p±z*√(p(1-p)/n)，其中p是样本比例，n是样本容量，z是标准正态分布的临界值。

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f ( x, y )dy = ∫
+∞
−∞ +∞
f X Y ( x y ) fY ( y )dy
fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ∫ f Y X ( y x) f X ( x)dx
−∞ −∞
f X Y ( x y) = f Y X ( y x) =
f Y X ( y x) f X ( x) f ( x, y ) = fY ( y) fY ( y ) f X Y ( x y ) fY ( y ) f ( x, y ) = f X ( x) f X ( x)
E (( X − E ( X ))(Y − E (Y )) )
X ,Y 的相关系数
1 , ( x, y ) ∈ G f ( x, y ) = A 其他 0,
(2) 二维正态分布
( x − µ1 ) 2 ( x − µ1 )( y − µ2 ) −2 ρ 2 σ 1σ 2 1 σ 1 − 2 ( y − µ )2 2 (1− ρ ) 2 + 2 σ 2
10. 随机变量的数字特征数学期望
E ( X ) = ∑ xk pk
k =1
+∞
E ( X ) = ∫ xf ( x)dx
−∞
+∞
随机变量函数的数学期望
乘法公式
P( AB) = P( A) P(B A) ( P( A) > 0)
造
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB)
(1)
均匀分布
P( A1 A2 L An ) = P( A1 ) P(A2 A1 )L P( An A1 A2 L An −1 ) ( P( A1 A2 L An −1 ) > 0)
7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数
F ( x, y ) = ∫ FX ( x ) = ∫ f X ( x) = ∫ FY ( y ) = ∫
x
x
−∞ −∞
∫
y
f (u , v)dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
−∞ −∞ +∞
∫
+∞
f (u , v)dvdu
−∞ y
f ( x, v )dv
1 2π
∫
x
−∞
e
−
t2 2
dt
− ∞ < x < +∞
X 的 k 阶原点矩 E ( X k ) X 的 k 阶绝对原点矩 E (| X |k ) X 的 k 阶中心矩 E (( X − E ( X )) k ) X 的方差 E (( X − E ( X )) 2 ) = D ( X ) X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 E ( X k Y l ) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
∫
x
−∞
e
−
(t − µ ) 2 2σ 2
P ( a < X ≤ b) = P ( X ≤ b ) − P ( X ≤ a ) = F (b ) − F ( a )
5．离散型随机变量
* N (0,1) — 标准正态分布
− 1 ϕ ( x) = e 2π x2 2
− ∞ < x < +∞
Φ ( x) =
( X − E ( X ))(Y − E (Y )) = ρ XY E D X D Y ( ) ( )
DC 制
f X ( x) > 0 fY ( y ) > 0
f ( x, y ) =
1 2πσ 1σ 2 1 − ρ 2
×e
− ∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞
(2) 二项分布 B ( n, p ) 若P(A)=p
k k P( X = k ) = Cn p (1 − p) n − k , k = 0,1,L, n
AB = A ∪ B
* Possion 定理
lim npn = λ > 0
n →∞ i k lim Cnk pn (1 − pn ) n −k = e − λ
相关系数 ρ XY =
f ( x, y ) = f X ( x) f Y X ( y x ) = fY ( y ) f X Y ( x y ) f X ( x) = ∫
+∞ −∞ +∞
1 (D( X ± Y ) − D( X ) − D(Y )) 2 cov( X , Y ) D ( X ) D (Y )
全概率公式
E (λ )
− λx λe , x > 0 f ( x) = 其他 0,
P( A) = ∑ P( ABi ) = ∑ P( Bi ) ⋅ P( A Bi )
i =1 i =1
n
n
x<0 0, F ( x) = −λx 1 − e , x ≥ 0
(3) 正态分布 N (µ , σ 2 )
UA =IA
i i =1 i =1
n
n
i
IA =UA
i i =1 i =1
n
n
2．概率的定义及其计算
有
n→∞
P( A ) = 1 − P( A)
若 A⊂ B
λk k! k = 0,1,2, L
⇒ P( B − A) = P( B) − P( A)
(3)
Poisson 分布
P(λ )
对任意两个事件 A, B, 有 P ( B − A) = P ( B ) − P ( AB) 加法公式：对任意两个事件 A, B, 有
9. 二维随机变量的条件分布
造
协方差
X 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2)
D( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X )
cov( X , Y ) = E (( X − E ( X ))(Y − E (Y ))) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) =±
( x−µ )2 2σ 2 − 1 f ( x) = e 2π σ
Bayes 公式
P( B ) P( A Bk ) P ( ABk ) P( Bk A) = = n k P( A) ∑ P( Bi ) P( A Bi )
i =1
− ∞ < x < +∞ dt
4．随机变量及其分布分布函数计算
1 F ( x) = 2π σ
−∞ − ∞ +∞
∫
+∞
E ( X − E ( X ))k (Y − E (Y ))l
f (u, v )dudv
(
)
fY ( y ) = ∫ f (u, y )du
−∞
X ,Y 的二阶混合原点矩 E ( XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )
1 , a< x<b f ( x) = b − a n n−10, 其他 ) P( A1 A2 L An ) ∑ P( Ai A j Ak ) + L + (−1 0, x−a F ( x) = , b − a 1
(2) 指数分布
P( AB) 3．条件概率 P (B A) = P( A)
P ( X = k ) = e −λ
λk , k = 0,1, 2, L k! U (a, b)
6．连续型随机变量
P( A ∪ B) ≤ P( A) + P( B) P(U Ai ) = ∑ P( Ai ) −
i =1 i =1 n n
1≤ i < j ≤ n
∑ P( A A )
i j
DC 制
+
1≤ i < j < k ≤ n
概率公式整理 1．随机事件及其概率
(1)
0 – 1 分布
A∪ Ω = Ω 吸收律： A ∪ ∅ = A A ∪ ( AB) = A A 源自 B = AB = A − ( AB)
反演律： A ∪ B = A B
A∩ Ω = A A∩∅ = ∅ A ∩ ( A ∪ B) = A
P( X = k ) = p k (1 − p)1−k , k = 0,1