四川大学微积分II-2(2016)A卷(1)
微积分 线性代数与空间解析几何
2、一个圆柱体容器，高 10 米，底面半径为 2 米，该圆柱体容器盛满水。 （1）求该圆柱体侧面所受水的压力。 （2）若将该圆柱体容器内的水从顶部全部抽出，则至少要作多少功？
（重力加速 G 取 10 米/秒 2，水密度 取 1000 千克/m3，圆周率 取 3）。
六、证明题（每小题 7 分，共 14 分）。 1、设 f (x) 在 R 上具有二阶连续导数，且 f (0) = 0 ，令(x) = (x −1)2 f (x) 。
（B） 1 e −1
（D） 2 e −1
4、以下四个数项级数
n=1
2n n2 ,
n n=1 3n ,
(−1)n−1 ,(
n
)n 中,收敛级数共有（ ）个。
n=1 ln(n +1) n=1 2n +1
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
5、设 f (x) = x2e−x (x 0) ,则 f (x) 单调凹增的区间是（
求证：存在 0 1，使( ) = 0 。
5
2、 an =
4 0
tan n xdx
证明对任
0
，
n=1
an n
收敛。
6
）。
（A）(0, 2 − 2) （B）(2 − 2, 2) 三、计算题。（每小题 8 分，共 24 分）
（C）(2, 2 + 2)
（D）(2 + 2, + )
1、计算极限
lim
( arctan
x)
1 x2
。
x→0+
x
2、由方程 ex+y + 2x2 + 3y −1 = 0 确定函数 y = y(x) ，求 y(0), y(0) 。
四川大学微积分1-2(2016)B卷
4．设空间曲面： z 1 ( x 2 y2 ) (0 z 1部分) 所围成，方向指向外侧，计算曲面积分 2
( x y)dydz ( y z)dzdx ( x z)dxdy .
5．求微分方程 y 4 y x cos x 的通解.
(1)求常数 A，以及该微分方程的通解.
(2)计算曲线积分 (0,1) 2 xydx ( Ax 2 2 y)dy 的值. (1,0)
3．设二元函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
0,
( x, y) (0, 0)
.
( x, y) (0, 0)
(1)求证：二元函数 f ( x, y) 在点(0,0)处不可微.
0
2
0
确定的隐函数组，求
y(1),
z(1) .
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
2．设空间区域是由 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成，计算三重积分
(2x y 3z)dxdydz .
3．设平面闭曲线 L： y cos x 从点 A(1,1)到 B(1,1)，计算曲线积分
四川大学期末考试试题（闭卷） （2015-2016 学年第 2 学期） B 卷
课程号：201138040 适用专业年级：
课序号： 学生人数：
课程名称：微积分（I）-2 任课教师：
成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
2．二元函数 z
f (u, v) 具有二阶连续偏导数,
u
18-19秋 微积分I-1期末试卷(川大)
四川大学期末考试试题（闭卷）
（2018——2019学年第1学期）A 卷
课程号：201137050
课序号：课程名称：微积分（I ）-1任课教师：成绩：适用专业年级：理工学生人数：印题份数：学号：姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修订）》，郑重承诺：
1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点；
2、不带手机进入考场；
3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。
考生签名：
注：考试时间为120分钟。
请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。
一、填空题（每小题4分，共24分）1.已知矢量||1||2 a b ==，
，且1 a b ⋅=，则||a b ⨯= ________.2.已知(0)1f '=，则极限0(2)()lim x f x f x x
→--=________.3.极限12lim [sin sin sin ]n n n n n n
πππ→∞+++= ________.4.判断广义积分
21122d x x x +∞-+⎰的敛散性(填收敛或发散)________.5.设2()cos f x x x =，则(5)(0)f =________.
6.若1ln(1)(1sin )
0()0x x x f x a x +⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩
，，在0x =处连续，则a =________.二、计算题（每小题8分，共40分）
1.求极限230ln(1)sin 2lim .sin x x x x x
→+-+第1页，共
2页
试卷编号：
试卷编号：。
《微积分II》(第一层次)第二学期期中练习题
《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题一1. 求直线11212x y z -+==绕z 轴旋转一周的曲面的方程 .2. 求曲线22222z x yx y x⎧=+⎪⎨+=⎪⎩在点 ( 1 , -1 , 2 ) 处的切线方程 .3. 设由(,)0F y x z -= 确定(2)(,),z z x y F C=∈， 求2z x y∂∂∂ .4. 求函数sin()x u x e y z =+-在点( 1 , 1 , 1 ) 处沿(1,2,2)l =-的方向导数 . 5. 已知2u xy z =-，求u 在点(9,12,10)M -梯度()grad u M . 6. 求曲面22z x y =+的切平面，使其通过直线11112x y z -+== .7. 证明曲面3(0)xyz a a =>上任何一点处的切平面与坐标面所围成的四面体的体积等于一个常数 .8. 求函数22233z x xy y x y =++-++的极值 .9. 设∑为由22,2z x y z =+=所围曲面，求∑的内接长方体体积的最大值 . 10. 求sin(),:,0,02Dy x dxdy D x y x y π-+===⎰⎰所围区域 .11. 求222222(),:2,4.Dx y dxdy D x y x x y x ++≥+≤⎰⎰12. 计算Dxd σ⎰⎰，其中D 为第一象限内221x y +=与x 轴，y 轴所围的闭区域 .13. 计算三重积分222222x y z dxdydz abcΩ--⎰⎰⎰(1-)，其中Ω为椭球体：2222221x y z abc++≤.14. 求曲环面：(cos )cos ,(cos )sin ,sin (0)x b a y b a z a a b ψϕψϕψ=+=+=<≤所界的物体体积 .15. 计算222()Cx y z dS ++⎰，其中C 为螺旋线：cos ,sin ,(02)x a t y a t z bt t π===≤≤的部分 .16. 计算曲线积分[()][()]x xAmBy e my dx y e m dy ϕϕ'-+-⎰，式中()y ϕ与()y ϕ'为连续函数，Am B 为连接点1122(,)(,)A x y B x y 和的任意逐段光滑曲线，但与线段A B 围成的面积为A 的平面区域D Am B =.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题二1. 求以2222x y y z ⎧+=⎨=⎩为准线，以(2,0,0)为顶点的锥面的直角坐标方程.2. 设由(,)0x z F y y =确定(1)(,),z z x y F C =∈，求 x z z y x y∂∂+∂∂ 3. 求函数23u xy z =在点( 1 , 2, -1 ) 处沿22l i j k =-+的方向导数 .4. 求椭球面2222321x y z ++=上某点处的切平面π的方程，使平面π过已知直线6321:212x y z L ---==-. 5. 求椭球面2222221x y z abc++=的切平面 （,,0x y z ≥），使其与三个坐标平面所围的立体的体积最小，并求最小值.6. 求曲面21z xy -=上到原点最近的点.7. 求22,:2.Ddxdy D x y y +≤⎰⎰8. 设函数()f x 连续，满足()2Df t f dxdy =+⎰⎰，这里D 为222x y t +≤，求()f x .9. 求 401limsin()t txt dx xy dy t→+⎰⎰ .10. 计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω是球体222x y z z ++≤.11. 计算曲线积分. 1. 222zdl x yΓ+⎰，其中Γ的参数方程是：3cos ,3sin ,3(02)x t y t z t t π===≤≤.2.(e +)(e cos 7)xxsiny 8y dx y x dy Γ+-⎰,其中Γ为由点(2,0)A 沿22(4)9x y -+=到点(6,0)B 的一段 .12. 计算曲面积分（2×10分=20分）.1. 求222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为2222(12)x y z z z ++=≤≤ .2. 设∑为上半球面z =的上侧，计算3326zx dydz zy dzdx z dxdy ∑++⎰⎰.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题三1. 求直线11:111x y z L --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.2. 函数),(y x f z =由方程04)(2222=++-+z y x z y x 确定，求z 在点)1,2,2(-P 处的全微分dz .3. 设函数),(y x z z =由方程0),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 可微，计算并化简yz yxz x ∂∂+∂∂.4. 求函数y xy y x z --+=232的极值.5. 已知 2222332u x y z x y =+++-，求u 在点(1,1,2)M 的梯度()gradu M .6. 求函数2a r c t a n (2)u x y z =++在点(0,1,0)A 处沿空间曲线22230240x y z x x y ⎧++-=⎨--=⎩在(2,0,B 的切向量的方向导数.7. 试求一平面π,使它通过空间曲线23(1)y xz y ⎧=Γ⎨=-⎩：在1y =处的切线,且与曲面22:4x y z ∑+=相切.8. 设常数0a >，平面π通过点(4,5,3)M a a a -，且在三个坐标轴上的截距相等. 在平面π位于第一卦限部分求一点000(,,)P x y z ，使得函数(,,)u x y z =在P 点处取最小值.9. 已知曲面Σ2=，设0000(,,)P x y z 为曲面Σ上的一点.1. 求曲面Σ在点0000(,,)P x y z 的切平面方程；2. 求该切平面在各个坐标轴上的截距之和.（10分） 10. 计算二重积分 1arcsin 3arcsin sin yydy xdx π-⎰⎰.11. 计算二重积分(,)Df x y d x d y ⎰⎰其中0,12,(,)0,y x x f x y ≤≤≤≤=⎩其他， 而积分区域{(,)2,02}D x y y x =≤≤≤≤12. 计算 Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线 2y x =及直线2y x =-所围成的区域.13.计算三重积分 2Vz dxdydz ⎰⎰⎰，其中V 是椭球体2222221x y z abc++≤. （10分）14. 计算 22()Cx y ds +⎰，其中C 为曲线 (cos sin ),(sin cos ),(02)x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤.15. 判断曲线积分2222Cx y x y dx dy x yx y-++++⎰是否与路径无关？当C 为曲线2cos ,sin (02)x t y t t π==≤≤，并且沿t 增加的方向时，计算该曲线积分.（10分）16. 计算曲面积分 222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中Σ为曲面2222x y z a ++=.。
微积分II真题含答案
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________. 2、设，则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程的通解是____. 7、级数的敛散性为 . 8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换的积分次序= . 10、微分方程的阶数为_____阶. 二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A, B, C, D，0 4、若A, B, C, D, 5、=（）A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2. 求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。
3. 已知z=f(x,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：1. 求由和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2. 已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总1/ 14预算为*****元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1, 2，3，发散4，0 5，6，y=cx 7，收敛8，R(x)=x3+1000x 9，10，2 二、单选题（每小题3分，共15分）1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法) （8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200x+400y-*****=0 （2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230. （9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。
2017春微积分I-2期末B卷试题
第1页，共2页四川大学半期考试试题（闭卷）（2016-2017学年第2学期）课程号：201138040课序号：课程名称：微积分（I ）-2任课教师：成绩：适用专业年级：学生人数：印题份数：学号：姓名：考生承诺我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修订）》，郑重承诺：1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点；2、不带手机进入考场；3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。
考生签名：一、填空题（每小题4分，共20分）1.曲线220y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程为__________.2.设(01)y z x x x =>≠，,则__________.dz =3.改变二次积分130()y y dy f x y d x ⎰⎰，的积分顺序为__________.4.函数2()f x y x y =，在点(11)，处方向导数的最大值为__________.5.曲线3z xy x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩上点(111)，，处的切线方程为__________. 二、解答题（每小题10分，共60分）1.设()()z z x y y x ==，由方程组()1z f y z x x y z =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，确定，求. dz dy dx dx ，2.求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积.3.求极限24301lim ln(4)rr xy dv r →Ω++⎰⎰⎰，其中2222. r x y z r Ω++≤：4.求过曲面2226x y z ++=上一点的切平面，且该切平面垂直于直线2. 2x y z x z --=⎧⎪⎨+=⎪⎩第2页，共2页。
四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案(A卷)课程名称
四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案(A 卷)课程名称：运筹学 考试时间：120分钟 年级：xxx 级专业： xxx题目部分，（卷面共有47题，0分，各大题标有题量和总分） 一、判断（7小题，共0分）1、具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长和对金钱的损失都不敏感。
答案：对2、具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长以及对损失的金额都不敏感；（ ） 答案：错3、应用最小机会损失准则决策时，如果用一般的损益矩阵来代替机会损失矩阵，则Savage 准则将建立在maxmin 条件，而不是minmax 条件上；（ ） 答案：对4、在不确定型决策中Laplace 准则较之Savage 准则具有较小的保守性；（ ） 答案：对5、不管决策问题如何变化，一个人的效用曲线总是不变的。
答案：错6、决策树比决策矩阵更适宜于描绘序列决策过程。
（ ） 答案：对7、不管决策问题怎么变化，一个人的效用曲线总是不变的；（ ） 答案：错二、问答（7小题，共0分）(a)若乐观系数矩阵中的数字是利润，请用非确定型决策的各种决策准则分别确定出相应的最优方案。
(b)若表中的数字为成本，问对应于上述各决策准则所选择的方案有何变化？ 答案：（a ）悲观主义准则：3S 乐观主义准则：3S Laplace 准则：3S Savage 准则：4S 折衷主义准则: 3S .(b)悲观主义准则: 2S 乐观主义准则: 1S Laplace 准则: 1S Savage 准则: 1S 折衷主义准则: 1S 或2S .2、某公司有50000元多余资金，如用于某项开发事业估计成功率为96%，成功时一年可获利12%，但一旦失败，有丧失全部资金的危险。
如把资金存放到银行中，则可稳得年利6%。
为获取更多情报，该公司求助于咨询服务，咨询费用为500元，但咨询意见只是提供试用决策树法分析：(a)该公司是否值得求助于咨询服务； (b)该公司多余资金应如何合理使用？答案：多余资金用于开发事业成功时可获利6000元，如存入银行可获利3000元。
微积分-四川大学数学学院
习题课教学大纲（微积分II）（征求意见稿）课程名称：大学数学-微积分II英文名称：Calculus课程性质：必修课程代码：20113830(上册)20112530（下册）面向专业：大学数学II各专业习题课指导丛书名称：高等数学(第五版)出版单位：高等教育出版社出版日期：2002年7月主编：同济大学应用数学系习题课讲义名称：大学数学习题课系列教材--微积分编写单位：四川大学数学学院编写日期：2006年8月主编：四川大学数学学院高等数学教研室第一章函数与极限1．函数与极限2学时（1）基本内容函数的概念，函数的表示，函数的几种特性，复合函数，分段函数，极限的概念及性质，极限存在准则，重要极限，无穷小量与无穷大量，极限的计算，函数的连续与间断，闭区间上连续函数的性质。
（2）基本要求处理作业批改中发现的问题。
通过具体例子讲解极限的计算问题，连续性讨论问题，复合函数定义域及分段函数的复合问题。
第二章导数与微分2学时（1）基本内容：导数及高阶导数的定义；复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的求导；微分。
（2）基本要求：处理作业批改中发现的问题；举列说明复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的一阶二阶求导；会求微分。
第三章微分中值定理与导数的应用2学时1.中值定理及洛必达法则(1) 基本内容:中值定理的应用;洛必达法则求极限.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;通过具体例子讲解中值定理的题型和解题步骤;求各种不定形的极限并注意化简和变形技巧.2.不等式的证明和函数曲线(1)基本内容:函数单调性凹凸性的判定;函数的最值;泰勒定理.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;举例说明函数导数二阶导数曲线关系;举例讲解利用曲线特征证明函数不等式;举例说明函数最值的应用;泰勒中值定理的应用方法.第四章不定积分2学时一、基本内容：复习原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质及基本积分公式，总结换元积分法和分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分的计算方法。
川大高数半期考试试卷
x 0 y 0
(
( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 0 . 若在(x0, y0)有 lim ) 4. 设 f x
z
0
0
则 z=f(x, y)在(x0, y0)是可微的，其中 ( x )2 ( y )2 .
第 1 页 共 8 页
一、判断题：下列陈述，你认为正确者， 请在前 面括号里填 入 Y ， 否则填 入 N.
阅卷人签名
(每小题 3 分 , 共 12 分 ) ( ) 1. 设连续函数 f(x)以 T 为周期. 若函数 f ( t )dt 仍以 T
a
T 0
x
为周期, 则 f ( x )dx 0 . ( ) 2. 设 f(x)是连续函数. 如果
a
f ( x )dx 收敛 lim f ( x ) 0.
x
f ( x )dx 收敛. a a a f ( x ) dx 收敛 a f ( x )dx 收敛. x f ( x ) dx 收敛 a a e f ( x )dx 收敛.
x 2 f ( x )dx 收敛
阅卷人签名
1. lim
n
n
k 1
1 nk
2. lim
( x 1) y x 1 | x 1 | | y |
y 0
第 4 页 共 8 页
2u 3. 设 x+y+u+xy+u － 1=0. 求 . x y
2
ln(1 x 2 y 2 ) 4. I 2 2 1 x 2 y 2 dxdy . 2 0 x y R
r
H
六、应用题 :(共 10 分) 一个正圆柱形的水 桶,内径为 2r, 内深为 H.里面装了一些水,
四川大学高数微积分I(下)考前复习用2017年期末真题试卷(含答案)
L
7．微分方程 xy′ + y = x2 满足 y(3) = 4 的特解为
．
二、解答题 (每小题 9 分，共 36 分)
1．设曲面Σ 为 z =
，求 ． ∫∫ x2 + y2 (x2 + y2 1)
(20 xy + 17 y2 )dS
Σ
2．设曲面Σ 为 z = 1 − x2 − y2 ，方向为上侧，求 ∫∫ x2dydz + y2dzdx + ． 5z3dxdy Σ 第 1 页，共 2 页
.
解：原式=
´ 2π
0
dθ
´π
0
dϕ
´1
0
r2
·
Ω
r2 sin ϕdr
=
2π
·
2
·
1 5
=
4 π.
´5
Ｔ、设L是y = x2 − 1上从(0, −1)到(2, 3)的有向曲线，则 ydx + xdy = Ｎ
L
解´ y：dx曲+线x积dy分=与−路´02径d无x +关´，−31选2d择y 折=线−2l
2．在椭圆抛物面 z = x2 + y2 与平面 z = 20围成的空间区域中内置一个长方体，假设该长方
20
4
体的一个面位于z = 20上，长方体的其它面都与某个坐标平面平行，求长方体的体积的最大值．
五、证明题 (7 分)
设区域 D 为 x2 + y2 1， I = ∫∫ sin( x2 + y2 )5/2dxdy ，求证： D
三、综合题 (每小题 9 分，共 18 分)
1．讨论函数
f
( x,
y)
=
四川大学高数微积分I(下)考前复习用2016年期末真题试卷(含答案)
四川大学期末考试试卷A（2015‐2016年第二学期）科目：微积分II 课程号： 考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸对应的方框内，否则记0分。
一、 填空（每小题3分，共18分）1. 22011xy xy y x -+→→lim=41. 2. 设0=-，则--),,(x z z y y x F x z ∂∂= 0232313≠---'''''',F F F F F F . 3. 若0d ，则d 022=+⎰⎰xx y t t t t e sin )(cos x yd d = 22y ex x cos )(sin cos - . 4. 函数y x 在),(01取极y xy x y x f +-+-=222),( 小 值. 5. 21)'(的通解是 ''y y +=))sin(ln(21C x C y +-= .6. 若区域D 由0=x ，0=y ，21=+y x ，1=+y x 围成，且，y x d 12，y x d d 12，+∈Z n ，依从小到大的顺序给321I I I ,,排序为 ⎰⎰++=D n y x y x I d d 121)][ln(⎰⎰+=DI 2+n y ]x [d I 3⎰⎰=Dx [sin(++n y )]231I I I << .二、 计算题（每小题8分，共48分）1. 求x x 的通解.e y y x sin ''432+=-解：齐次问题的特征方程为1， 1012-==⇒=-λλλ,则齐次问题的通解为。
x x e C e C y -+=21特解可分解为，x e y y 23=-''x x y y sin ''4=-的特解之和。
x e y y 23=-''的特解为，x e 2x x y y sin ''4=-的特解为)cos sin (x x x +-2，则所求方程的通解为。
四川大学期末考试试卷A卷
四川大学期末考试试卷（A 卷）（2014—2015年第二学期）科目：微积分（I ）-2 课程号： 考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。
一、填空题(每小题3分，共18分)1．函数22ln(2)z x y =++在x =2，y =1时的全微分为2．已知曲线23,,x t y t z t ===上的点M 处的切线平行于平面24x y z ++=，则M 的坐标 是3．二重积分()22222sin 34x y a x x y d σ+≤-++⎰⎰的值等于4．设L 为连接(1,0), (0,1)两点的线段，曲线积分()L x y ds +⎰的值等于5. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分，曲面积分2(1)dS x y ∑++⎰⎰的值等于 6．微分方程ln dy y x y dx x=的通解是 二、计算题 (每小题8分，共48分)1．设 5431z xz yz -+=，求2(0,0)z x y ∂∂∂． 2．设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有连续二阶偏导数，求2 , 24x y z x yπ==∂∂∂． 3．计算2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球2222xy z R ++≤，2222 (0)x y z Rz R ++≤>所围成的闭区域．4．利用格林公式计算积分232()(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰Ñ，其中L 顶点为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．5．计算222()()()SI y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰,其中S 为抛物面222z x y =--位于0z ≥内的部分的上侧．6．求微分方程tan sec dy y x x dx-=满足初始条件00x y ==的特解．三、应用题 (每小题10分，共20分)1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离．2．设函数()x ϕ连续， 且满足00()()()x x x x e t t dt x t dt ϕϕϕ=+-⎰⎰， 求()x ϕ． 四、分析证明题 (每小题7分，共14分)1．设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在(0,0)处的可微性．2．设()[,],()0f x C a b f x ∈>，证明2()()()bb a a dx f x dx b a f x ≥-⎰⎰．。
四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案(A卷)课程名称
四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案(A 卷)课程名称：运筹学 考试时间：120分钟 年级：xxx 级专业： xxx题目部分，（卷面共有56题，0分，各大题标有题量和总分） 一、判断（38小题，共0分）1、单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；( ) 答案：对2、线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
( ) 答案：错3、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小；减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
( ) 答案：对4、用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0j σ>对应的变量都可以被选作换入变量。
( ) 答案：对5、线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解；( ) 答案：错6、线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；( ) 答案：对7、对取值无约束的变量j x ，通常令j j j x x x '''=-，其中0,0j j x x '''≥≥，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现0,0j j x x '''≥≥;( )答案：错8、如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
( ) 答案：对9、在线性规划问题的最优解中，如某一变量j x 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数j c 或在各约束中的相应系数ij a ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化（ ） 答案：对10、对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为mnC个；( ) 答案：错11、单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
( ) 答案：对12、对偶问题的对偶问题一定是原问题（ ） 答案：对13、若1X , 2X 分别是某一线性规划问题的最优解，则1212X X X λλ=+也是该线性规划问题的最优解，其中1λ、2λ为正的实数；( )答案：错14、线性规划的可行解集是凸集。
微积分考试题库(附答案)
85考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。
（A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。
（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1． 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。
2016四川大学微积分半期考试2-2参考答案
四川大学半期考试试题答案 （2015——2016学年第 2 学期）一、 （4╳5=20分）填空题1、)(lim nn n n n ++++++∞→12111 = 2d 1110ln =+⎰x x 。
2、设⎰=20d πx x M )sin(sin ，⎰=20d πx x N )cos(cos ，请确定M ，N ，1三者间的大小关系 N M <<1 。
3、+∈Z n ，⎰πd 2x xnxsin sin = 0 。
4、设12222+==++=x v x u v uv u w ,,，xwd d = 4106423+++x x x 。
5、设⎰-=xt t x x f 02d )cos()(，)('x f = 2xc o s 。
二、 （5╳4=20分）计算题 1、⎰+π20444d x x x xx cos sin sin 解：⎰⎰⎰+++=+ππππ2444044420444d d d x xx x x x x x x x x xx xx cos sin sin cos sin sin cos sin sin ⎰⎰++++=πππ0444444d d x x x x x x xx x x cos sin sin )(cos sin sin ⎰+=ππ0444d 2x x x x cos sin sin ]cos sin sin cos sin sin [//⎰⎰+++=ππππ24442444d d 2x xx xx x x x ]cos sin cos cos sin sin [//⎰⎰+++=204442444d d 2πππx xx x x x x x =2π 2、⎰∞+--324d 211x xx x )(解：⎰⎰+∞+∞---=--324324d 1111d 211x x x x xx x )()()(⎰+∞-----=32311d 11111x x x )()(⎰-=21023d 1/t tt ⎰-=410d 121/x x x ][//⎰⎰-+--=410410d 11d 121x xx x 38332-= 也可以使用三角函数代换。
《微积分(II)》试卷A答案
2016-2017学年第2学期期末集中考试《微积分（II ）》试卷A 答案一、填空题（共5题，每小题3分，共15分）1) xe x 2). 0 3). 发散 4). 224y x xye + 5). x x e c e c 321+- 二、单项选择题（共5题，每小题3分，共15分）1、A2、C3、B4、B5、D三、计算题（共7题，每小题7分，共49分）1.设⎩⎨⎧≤<≤≤-=-31101)(3x e x x x f x 求⎰30)(dx x f解: ⎰30)(dx x f ⎰-=103)1(dx x ⎰-+31dx e x 3分 31134)43(x e x x ---= 3分 e e 11413+--= 1分 2. 判断∑∞=-1212n nn 的敛散性解: 由nn n n n 21221)1(2lim 1--++∞→5分 121121221lim <=-+=∞→n n n所以原收敛 2分 3.将x x f -=31)(展成1-x 的幂级数解: 211121)1(2131)(--=--=-=x x x x f 3分 n n x )21(210∑∞=-= ∑∞=+-=012)1(n n nx 3分 由1211<-<-x 得 31<<-x即级数∑∞=+-012)1(n n nx 的收敛区间为31<<-x 1分 4. 求32sin y y x z +=的全微分解: y x xz sin 2=∂∂ 3分 223cos y y x yz +=∂∂ 3分 =dz ydx x sin 2dy y y x )3cos (22++ 1分5.设),(v u f z =可微，求),(22xy e y x f z -=的偏导数 解 记 xy e v y x u =-=,22 ，则()v u f z ,= 1分则 v xy u f ye f x xz '+'=∂∂2 3分 v xy u f xe f y yz '+'-=∂∂2 3分 6. 求积分⎰⎰+Dd y x σ)(22其中D 是由122=+y x 所围成的区域解 ⎰⎰+D d y xσ)(22dr r d ⎰⎰=πθ20103 3分 104412r π= 3分 2π= 1分 7.求微分方程x e x y xy 33=-'的通解 解 其通解为⎰+⎰⎰=---)(33)3(c dx e e x e y dx x x dx x 4分⎰+=-)(ln 33ln 3c dx e e x e x x x)(3c e x x += 3分四、应用与证明题（共3题，每小题7分，共21分）1. 求由曲线223),0(1x y x x y =≥-=以及x 轴所围图形的面积x1解 由⎩⎨⎧=-=2231xy x y 得曲线交点为)43,21( 1分 dy y y s )311(430--=⎰ 3分 31]332)1(32[4302323=---=y y 3分2. 设商品A 的需求量为x ，价格为p ，需求函数x p -=26；商品B 的需求量为y ，价格为q ，需求函数y q 440-=.生产两种产品的总成本.222y xy x C ++=问两种商品各生产多少,才能获得最大利润？解 总收入2244026y y x x yq xp R -+-=+= 1分 总利润xy y y x x C R l 254022622--+-=-= 1分由⎩⎨⎧=--='=--='021********x y L y x L yx 得唯一驻点（5，3） 4分根据实际情况可知生产商品A5单位，B3单位时，可获得最大利润。
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课程号：201075030 适用专业年级： 课序号： 学生人数： 课程名称：微积分（II）-2 印题份数： 学号：
A卷
成绩： 姓名：
任课教师：
考 生 承 诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订） 》 ，郑重承诺： 1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点； 2、不带手机进入考场； 3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。
x 2 2 y 2 4 上的最大值与最小值.
六、
（7 分）设区域 D 由直线 x 0 ， y 0 ， x y 1 围成，证明：
2 (1 cos ) 8
D
sin( x 2 ) cos( y 2 )dxdy
(1 cos 1) . 8
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2 页
二、
计算题（每小题 8 分，共 48 分）
1. 求 y' ' y 3e 2 x 4 x sin x 的通解. 2. 确定常数 a, b, c 的值，使 lim
ax sin x c ( c 0) . x 0 x ln(1 t 3 ) b t dt
3. 设 z z( x, y ) 是由方程组 4.
考生签名：
注：请将答案写在答题纸对应的方框内，否则记 0 分。 一、 填空（每小题 3 分，共 18 分）
xy 1 1 xy 2
x0 y2
1. lim
=
.Байду номын сангаас
z = x dy = dx
2. 设 F ( x y, y z , z x ) 0 ，则 3. 若 0
y( x )
I1
D
[ln( x y )]2 n 1 dxdy ， I2
D
[ x y ] 2 n 1 d x d y ， I3
D
[sin( x y )]2 n 1 dxdy ，
n Z ，依从小到大的顺序给 I 1 , I 2 , I 3 排序为
.
第 1 页，共 试卷编号：
(0,0) 处的可微性，若可微则求 df ( x , y ) |( 0 , 0 ) .
四、
（10 分）设过点 (0,1) 具有连续导数的曲线 C 位于 x 轴的上方，且满足
[0, x ] 上的弧长等于 [0, x ] 上的以曲线 C 为曲边的曲边梯形的面积，求 C 的
方程. 五、 （ 7 分 ） 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 函 数 f ( x , y ) x 2 2 xy 2 y 2 在
x ( t 1) cos z z 确定的函数，求 . x y t sin z
2/
1 1 sin dx . 2 x x
5. 用二重积分计算曲线 r 2 2a 2 cos 2 围成的图形的面积. 6.
3 4
x ( x ) cot xdx .
4
三、
x y tan( x 2 y 2 ), ( x , y ) (0,0) （ 10 分）设 f ( x , y ) x 2 y 2 ，判断 f ( x , y ) 在 0 , ( x , y ) ( 0 ,0 )
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. . 值.
e t dt
2
sin x
0
cos 2 tdt 0 ，则
4. 函数 f ( x , y ) x 2 xy y 2 2 x y 在点 (1,0) 处取得极 5.
y' ' 1 ( y' ) 2 的通解是
.
1 ， x y 1 围 成 ， 且 2
6. 若 区 域 D 由 x 0 ， y 0 ， x y