§3.5直线和圆的位置关系(1)达标测试
直线和圆的位置关系练习题附答案
直线和圆的位置关系练习题主编：王家玉 审稿：黄晓平 审批：何浪 使用时间：2014年12月3日 编号：056班级 姓名 类别 等级 学习目标：1.直线和点与圆的位置关系2.掌握切线长的概念及探索切线长定理 2.掌握三角形的内切圆及内心等概念3.会作三角形的内切圆 重点：切线长定理 ？难点：内切圆、内心的概念及运用一、复习回顾：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案)1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直 线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， .∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）A. 70°B. 35°C. 20°D. 10° 3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ， 下列结论中，错误的是（ ）C. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（ ） A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ） A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）3题图）4题图）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动<第5题图 第6题图 第7题图8．内心与外心重合的三角形是（ ）A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形C. 不等边三角形D. 形状不确定的三角形9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 213510．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）)A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是°D. BC ∥MN第9题图 第10题图 第11题图二、自主探究(每小题5分，共30分)11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________． 12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．~13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．14．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____． APDBABCD E OBBBDACEFABCDE ODCBAP第13题图 第14题图 第15题图 15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________． 16．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、>DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=________．三、当堂检测：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，MN 为⊙O 的切线，A 为切点，过点A作AP ⊥MN ，交⊙O 的弦BC 于点P . 若PA=2cm ，PB=5cm ，PC=3cm ，求⊙O 的直径．18． 如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线． 19．@20．由相交弦定理，知PC PB PD PA ··=. ∵PA =2cm ，PB =5cm ，PC =3cm ， ：∴2PD =5×3. ∴PD =. ∴AD =PD +PA =+2=.∵MN 切⊙O 于点A ，AP ⊥MN ，N ABCDQP∴AD 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的直径是.2. 证明：如图，连结OP 、BP .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°.又∵CE =BE ，∴EP =EB . ∴∠3=∠1.∵OP =OB ，∴∠4=∠2.∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠1+∠2=90°. ; ∠3+∠4=90°. 又∵OP 为⊙O 的半径， ∴PE 是⊙O 的切线. 3.（1）△QCP 是等边三角形.证明：如图2，连结OQ ，则CQ ⊥OQ . ∵PQ =PO ，∠QPC =60°， ∴∠POQ =∠PQO =60°. ∴∠C =︒=︒-︒603090. ∴∠CQP =∠C =∠QPC =60°. ∴△QCP 是等边三角形. ,（2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形. 4. 解：（1）PC 切⊙O 于点C ，∴∠BAC =∠PCB =30°. 又AB 为⊙O 的直径，∴∠BCA =90°. ∴∠CBA =90°.（2）∵PCB PCB CBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060，∴PB =BC .又362121=⨯==AB BC ，∴9=+=AB PB PA . 5. 解：（1）连结OC ，证∠OCP =90°即可.（2）∵∠B =30°，∴∠A =∠BGF =60°. *∴∠BCP =∠BGF =60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C ，∴PD ·PE =48)34(22==PC . 又∵36=BC ，∴12=AB ，33=FD ，3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD 、PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .（3）当G 为BC 中点时，OD ⊥BC ，OG ∥AC 或∠BOG =∠BAC ……时，结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立，只要证明△BFC ∽△BGO 即可，凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都可以. 能力提高练习 —1. CD 是⊙O 的切线；BA DB CD ·2；︒=∠90ACB ；AB =2BC ；BD =BC 等. 2. （1）①∠CAE =∠B ，②AB ⊥EF ，③∠BAC +∠CAE =90°，④∠C =∠FAB ，⑤∠EAB =∠FAB . （2）证明：连结AO 并延长交⊙O 于H ，连结HC ，则∠H =∠B .OA C{ P1 2 3 4∵AH 是直径，∴∠ACH =90°.∵∠B =∠CAE ，∴∠CAE +∠HAC =90°. ∴EF ⊥HA . 又∵OA 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的平分线，其交点就是小亭的中心位置.5. 略. —6.（1）假设锅沿所形成的圆的圆心为O ，连结OA 、OB . ∵MA 、MB 与⊙O 相切，∴∠OAM =∠OBM =90°.又∠M =90°，OA =OB ，∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA =MA .量得MA 的长，再乘以2，就是锅的直径.（2）如右图，MCD 是圆的割线，用直尺量得MC 、CD 的长，可求得MA 的长. ∵MA 是切线，∴MD MC MA ·2=，可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. （1）∵BD 是切线，DA 是割线，BD =6，AD =10，由切割线定理， 得DA DE DB ·2=.∴6.310622===DA DB DE .（2）设是上半圆的中点，当E 在BM 上时，F 在直线AB 上；E 在AM 上时，F 在BA 的延长线上；当E 在下半圆时，F 在AB 的延长线上，连结BE . ∵AB 是直径，AC 、BD 是切线，∠CEF =90°， ∴∠CAE =∠FBE ，∠DBE =∠BAE ，∠CEA =∠FEB . ∴Rt △DBE ∽Rt △BAE ，Rt △CAE ∽Rt △FBE . ∴AE BE BA DB =，AE BE AC BF =. 根据AC =AB ，得BD =BF .。
3.5 直线和圆的位置关系(1)
O
B
2.由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论? 如果有,仍请你予以证明.
老师提示:根据这个结论写出的命题称为切线长定理及 其推论.
课后作业
P127:习题3.7
1题
B
∵CD是⊙o的切线,A是切点,oA 是⊙o的半径,∴CD⊥OA.
C
●
O D
老师提示: 切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过 切点的半径是常用经验辅助线之一.
A
切线的性质定理的应用
1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.
A D C ┐ B
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多 长时,AB与⊙C 相切? 解:(1)过C作CD⊥AB,垂足为D. ∵AB=8cm,AC=4cm.
直线与圆的位置关系量化揭密
r
●
r O ┐d
●
r O
●
O
d ┐
相切
d ┐ 相离
相交
直线和圆相交
直线和圆相切
d &圆相离
d > r;
探索切线性质
1.你能举出生活中直线与圆相交,相切,相离的 实例吗?
●
O
●
O
●
O
相交
相切
相离
2.上面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你 能画出它们的对称轴吗?
北师大课标九下·§3.5
3.5直线和圆的位置关 系(1)
问题情境
1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位 置关系是怎样的?
a(地平线)
● ●
●
O
O
O
a(地平线)
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有 哪几种?
第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题及答案解析
第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题及答案解析第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）⼀、选择题（每⼩题3分，共30分）1.已知⊙和⊙的半径分别为和，两圆的圆⼼距是，则两圆的位置关系是（）A．内含B．外离C．内切D．相交2.如图所⽰，⊙的半径为2，点到直线的距离为3，点是直线上的⼀个动点，切⊙于点，则的最⼩值是（）A.13B.5C.3D.23．相切两圆的半径为和，圆⼼距为d，则d可取的整数值的个数是（）4.已知△ABC的⾯积为18 cm，BC=12 cm，以A为圆⼼，BC边上的⾼为半径的圆与BC（）5∠，，，的半径分别为则的位置关系是( )A.外切B.内切C.相交D.外离6.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的⾓有（）第6题图第7题图7.如图，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（）8.已知OA平分∠BOC，P是OA上⼀点，以P为圆⼼的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（）9.已知两圆半径为R 、r （R ＞r ），圆⼼距为d ，且R +d ﹣r =2Rd ，则两圆的位置关系是（）10.已知⊙O 1和⊙O 2相外切，它们的半径分别是1厘⽶和3厘⽶．那么半径是4厘⽶，且和⊙O 1、⊙O 2都相切的圆共有（）⼆、填空题（每⼩题3分，共24分）11.在△ABC 中，∠C =90°，∠B =60°，AC =3，以C 为圆⼼，r 为半径作⊙C ，如果点B 在圆内，⽽点A 在圆外，那么r 的取值范围是_____________．12.两圆半径是⽅程x 2﹣7x +12=0的两根，当圆⼼距d =1时，则两圆的位置关系__________．13.在△ABC 中，AB =13 cm ，BC =12 cm ，AC =5 cm ，以C 为圆⼼，若要使AB 与⊙C 相切，则⊙C 的半径应为_____________．14.如图所⽰，A ⊙，B ⊙的半径分别为，圆⼼距AB 为．如果A ⊙由图⽰位置沿直线AB 向右平移，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．15.如图，在△ABC 中，∠C =90°，以C 为圆⼼的⊙C 与AB 相切于点D ，若AD =2，BD =4，则⊙C 的半径为_____________．16．如图所⽰，⊙O 的半径为4 cm ，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，AB =4 cm ，P 为直线l 上⼀动点，以1 cm 为半径的⊙P 与⊙O 没有公共点.设PO =d cm ，则d 的取值范围是_____________．17．如图所⽰，图①中圆与正⽅形各边都相切，设这个圆的周长为;图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正⽅形的边相切，设这四个圆的周长为；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正⽅形的边相切，设这九个圆的周长为；…，依此规律，当正⽅形边长为2时，= _______.18.两个同⼼圆的半径分别为3 cm 和4 cm ，⼤圆的弦BC 与⼩圆相切，则BC =_______cm ．三、解答题（共66分）19.（8分）如图，延长⊙O 的半径OC 到A ，使CA =OC ，再作弦BC =OC ．求证：直线AB是⊙O 的切线．第19题图第21题图 20.（8分）相交两圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，公共弦长是6 cm ，求两圆的圆⼼距．21.（8分）如图，已知梯形ABC D 中，AB ∥CD ，AD =BC ，AB =48 cm ，CD =30 cm ，⾼为27 cm ．求作⼀个圆经过A 、B 、C 、D 四点，并求出这个圆的半径．22．（8分）如图，⊙O 切AC 于B 点，AB =OB =3，BC =，求∠AOC 的度数．第22题图23.（8分）如图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ，AC 、AD 分别是两圆的直径.（1）C 、B 、D 三点在同⼀直线吗？为什么？（2）当⊙O 1和⊙O 2满⾜什么条件时，所得图中的△ACD 是等腰三⾓形．24.（8分）已知：如图所⽰，在Rt ABC △中，90C ∠= ，点O 在AB 上，以O 为圆⼼，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且C B D A ∠=∠．判断直线BD 与的位置关系，并证明你的结论.A第24题图25.（8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB到C，使BC=AB，切线BF分别交切线CD及AD的延长线于E、F，求∠F的度数．26.（10分）已知：如图（1），点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，切点为C，直线PO与⊙O相交于点A、B．第26题图（1）试探求∠BCP与∠P的数量关系.（2）若∠A=30°，则PB与P A有什么数量关系？（3）∠A可能等于45°吗？若∠A=45°，则过点C的切线与AB有怎样的位置关系？（图（2）供你解题使⽤）（4）若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P的位置将在哪⾥？（图（3）供你解题使⽤）第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题参考答案1. D 解析：因为所以两圆相交.2. B 解析：设点到直线的距离为∵切⊙于点，∴.∵直线外⼀点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，∴3.A 解析：当两圆外切时，圆⼼距当两圆内切时，圆⼼距则d可取的整数值是2，只有1个．故选A．4.B 解析：根据题意画出图形，如图所⽰：以A为圆⼼，BC边上的⾼为半径，则说明BC 边上的⾼等于圆的半径，∴该圆与BC 相切．故选B．第4题答图5. A 解析：由勾股定理知，，⼜所以两圆外切.6.C 解析：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°，∠B+∠BCN=90°，∠D+∠BCN=90°．故选C．7.C 解析：连接OA，OB，根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内⾓和定理即可求得∠AOB的度数，然后根据圆周⾓定理即可求解．∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，根据四边形内⾓和定理可得：∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故选C．第7题答图第8题答图8. B 解析：连接NP．∵⊙P与OC相切，∴PN⊥OC，即PN为圆半径，作PM⊥OB．⼜∵OA平分∠BOC，由⾓平分线的性质，得PM=PN=圆半径，∴⊙P与OB的位置关系为相切．9. C 解析：∵R2+d2﹣r2=2Rd，∴（R﹣d）2=r2，解得R﹣d=±r，∴①当R﹣r=d时，两圆内切，②当R﹣d=﹣r，即R+r=d时，两圆外切．∴两圆的位置关系是内切或外切．故选C．10. C 解析：当半径是4厘⽶且和⊙O1、⊙O2都外切时，有两种情况，如图①所⽰：第10题答图①第10题答图②当半径是4厘⽶且和⊙O1、⊙O2都内切时，有⼀种情况，如图②所⽰：当半径是4厘⽶且和⊙O1内切，与⊙O2外切时，有⼀种情况，如图③所⽰：第10题答图③第10题答图④当半径是4厘⽶且和⊙O1外切，⊙O2内切时，有⼀种情况，如图④所⽰.综上所述，⼀共有5个．故选C．11.＜r＜3 解析：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，得到AC=BC.⼜AC=3，得BC=．∵点B在圆内，∴r＞BC=．∵点A在圆外，∴r＜AC=3．因此＜r＜3．12. 内切解析：解⽅程x2﹣7x+12=0，得x1=3，x2=4．根据题意，得R=4，r=3，d=1，∴d=R﹣r，∴两圆内切．13.cm解析：如图，设AB与⊙C相切于点D，即CD⊥AB（CD为△ABC斜边AB上的⾼，也等于圆C的半径），∵132=52+122，即AB2=AC2+BC2（勾股定理），∴△ABC为直⾓三⾓形.∵=，∴CD=，∴⊙C的半径应为cm.14. 相交解析：由图⽰位置沿直线向右平移，此时圆⼼距为，所以此时两圆相交.15. 2解析：连接CD，如图，∵⊙C与AB相切于点D，∴CD⊥AB.∵∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴，即CD2=AD?BD.∵AD=2，BD=4，∴CD=2．第15题答图16．d＞5或2≤d＜3 解析：分别在两圆内切和外切时，求出两圆圆⼼距，进⽽得出d的取值范围.如图所⽰，连接OP，⊙O的半径为4 cm，⊙P的半径为1 cm，则d＝5时，两圆外切，d=3时，两圆内切.过点O作OD⊥AB于点D，OD==2(cm)，当点P运动到点D时，OP最⼩为2 cm，此时两圆没有公共点.∴以1 cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，d＞5或2≤d＜3.点拨：动点问题要分类讨论，注意不要漏解.17.10100解析：∵，∴10 100.18.解析：如图，设BC与⼩圆的切点为D，连接OB、OD.∵BC与⼩圆相切，∴∠ODB=90°.在Rt△OBD中，OB=4cm，OD=3cm，由勾股定理，得BD==cm，∴BC=2BD=2cm．第18题答图19. 证明：连接OB，如图，∵BC=OC，CA=OC，∴BC为△OBA的中线，且BC=OA，∴△OBA为直⾓三⾓形，即OB⊥BA．所以直线AB是⊙O的切线．20. 解：如图，AB=6 cm，=5 cm，=4cm，所在的直线与AB相交于点C.∵公共弦长为6 cm，∴AC=3 cm，AC⊥，∴= 4 cm，=cm，∴当公共弦在两个圆⼼之间时，圆⼼距=（4+）cm；当公共弦在两个圆⼼的同侧时，圆⼼距=（4﹣）cm．∴这两个圆的圆⼼距是（4±）cm．①②第20题答图第21题答图21. 解：所求作的圆如图所⽰，连接OA、OD，设其外接圆的半径是r，则r2=OE2+AE2=OF2+DF2.设OE=x，则OF=27﹣x，即x2+576=（27﹣x）2+225，解得x=7．可得r=25（cm）．22．解：∵⊙O切AC于B点，∴OB⊥AC.在Rt△OAB中，AB=OB=3，∴△OAB为等腰直⾓三⾓形，∴∠AOB=45°.在Rt△OCB中，OB=3，BC=，∴tan∠BOC=，∴∠BOC=30°，∴∠AOC=45°+30°=75°．23. 解：（1）如图（1），连接AB、BC、BD，∵AC、AD是⊙O1和⊙O2的直径，∴∠ABC=90°，∠ABD=90°，∴∠CBD=∠ABC+∠ABD=180°.∴C、B、D三点在同⼀条直线上.（2）①如图（2），当⊙O1与⊙O2的直径相等，即AC=AD时所得图中的△ACD是等腰三⾓形.②如图（3），当O2在⊙O1上时，连接CO2，∵AC是⊙O1的直径，∴∠AO2C=90°，∴CO2⊥AD.⼜O2A=O2D，∴CA=CD.于是当O2在⊙O1上时，△ACD是等腰三⾓形.③如图（4），同②当O1在⊙O2上时，可得DA=DC，所得图中的△ACD是等腰三⾓形．第23题答图24.解：直线与相切．证明如下：连接、．，∴．，∴．⼜，∴．∴．∴直线与相切．25. 解：如图，连接OD，∵CD切⊙O于D，∴OD⊥DC.⼜∵BC=，∴OC=2OD，∴∠C=30°，∠DOC=60°.⽽OD=OA，∴∠A=30°.⼜∵BF为⊙O的切线，∴BF⊥AB，∴∠F=90°﹣∠A=60°．26．解：（1）∠BCP=∠A，∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°，AB是⊙O的直径?∠ACB=90°?∠BCP=.（2）若∠A=30°，则∠BCP=∠A=30°?∠P=30°?PB=BC，BC=AB?PB=PA或PA=3PB.（3）∠A不可以等于45°，如图所⽰，当∠A=45°时，过点C的切线与AB平⾏.第26题答图（1）第26题答图（2）（4）若∠A ＞45°，则过点C 的切线与直线AB 的交点P 在AB 的反向延长线上．。
直线和圆的位置关系(1)
课时： 日期：课题：3.5直线和圆的位置关系（1）学习目标 1.了解直线与圆有三种位置关系定义，能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定直线与圆的位置关系。
2．探索圆的切线的性质，并灵活应用学习重点：1.直线和圆的三种位置关系。
2. 圆的切线的性质学习难点：直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用学习过程：一.自主学习1.2. 圆的切线 于3. 已知Rt △ABC 的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.(1)以点C 为圆心作圆,当半径为多长时,AB 与⊙C 相切?(2)以点C 为圆心,分别以2cm,4cm 为半径作两个圆,这两个圆与AB 分别有怎样的位置关系?4. ,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 为切点,直线OP 交⊙A 于点D 、E,交AB 于C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).二.展示质疑，释疑引导 1.当直线和圆相交时，d r ，直线和圆有 个交点。
当直线和圆相切时，d r ，直线和圆有 个交点。
当直线和圆相离时，d r ，直线和圆有 个交点。
2.已切线，连半径 三.当堂练习1.已知圆的直径为16cm ，如果一条直线和圆心的距离分别等于(1)7cm(2)8cm(3)9cm,那么这条直线和这个圆的位置关系分别为 。
2. 已知Rt △ABC 的斜边AB ＝6厘米，直角边AC 为3厘米。
（1）以C 为圆心，2厘米为半径的圆和AB 的位置关系是 ；（2）以C 为圆心，4厘米为半径的圆和AB 的位置关系是 ；（3）若以C 为圆心的圆和AB 相切，则半径长为 ；3.如图，⊙O 的半径OC=5 cm ，直线l ⊥OC ，垂足为点H ，且交⊙O 于A 、B 两点，AB=8 cm ，则直线a 沿OC 所在直线向下平移________ cm 时与⊙O 相切.P O E C D BA4. PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B,且∠APB=50°,点C 是优弧AB 上的一点,则∠ACB 的度数为________5.PA 与⊙O 相切，切点为A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，若 ∠ABC=32°，则∠P 的度数为6. 在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆的半径为5cm ，小圆的半径为3cm ，则弦AB 的长为 cm ．7. PA 切⊙O 于点A ，该圆的半径为3，PO=5，则PA 的长等于8.⊙P 的半径为2，圆心P 在函数y ＝x6（x ＞0）的图象上运动，当⊙P 与x 轴相切时，点P 的坐标为9.过点P 画⊙O 的切线PQ ，Q 为切点，过P ﹑O 两点的直线交⊙O 于A ﹑B 两点，且sin ∠P=52，AB=12，则OP=10.已知∠ACB=60°，半径为1cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是 cm11.AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，DE 和⊙O 相切于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）求证：∠CAD=∠BAD ；（2）若AE=8，⊙O 的半径为5，求DE 的长四、总结反思PC。
第二十九章 直线与圆的位置关系 单元测试 (含答案)冀教版九年级数学下册
第二十九章 直线与圆的位置关系综合素质评价卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知⊙O 的半径为3，当OP =5时，点P 与⊙O 的位置关系为（ ）A. 点P 在⊙O 内B. 点P 在⊙O 外C. 点P 在⊙O 上D. 不能确定2．已知，⊙O 的半径OE =3，若OF =2，则直线EF 与⊙O 位置关系的图形可能为（ ）A. B.C. D.3．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，G 是⌢BC 上一点，则∠EGD 的度数为（ ）（第3题）A. 60∘B. 50∘C. 45∘D. 30∘4．如图，∠BAC =40∘ ，⊙O 的圆心O 在AB 上，且与边AC 相切于点D ，与AB 交于点E ，F ，连接FD ，则∠AFD =（ ）（第4题）A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘5．如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB=2 3，OA=4，将直线l1绕点A逆时针旋转30∘后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC=（）（第5题）A. 1B. 2C. 3D. 46．嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案，已知用六个△ABC纸片按照图①所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形的图案，若用n个△ABC纸片按图②所示的方法拼接，那么得到图案的外轮廓是（）（第6题）A. 正十二边形B. 正十边形C. 正九边形D. 正八边形7．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE +∠BCD=236∘，则∠E=（）（第7题）A. 56∘B. 60∘C. 68∘D. 70∘8．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线（只用圆规和三角尺这两种工具），以下是甲、乙两名同学的作业：第 3 页（第8题）甲：①连接OP ，作OP 的垂直平分线l ，交OP 于点A ；②以点A 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙O 于点M ；③作直线PM ，则直线PM 即为所求（如图①）.乙：①让三角尺的一条直角边始终经过点P ；②调整三角尺的位置，让它的另一条直角边过圆心O ，直角顶点落在⊙O 上，记这时直角顶点的位置为点M ；③作直线PM ，则直线PM 即为所求（如图②）.对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）A. 甲、乙都对B. 甲、乙都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对9．如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，AD ⊥AB ，以点D 为圆心，AD 的长为半径的弧恰好与BC 相切，切点为E ，若AB CD =13，则sin C 的值是（ ）（第9题）A. 23B. 53C. 34D. 7410．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是其示意图.点A 在直线l 上往复运动，推动点B 做圆周运动形成⊙O ，AB 与BO 表示曲柄连杆的两直杆，点C ，D 是直线l 与⊙O 的交点.当点A 运动到点E 时，点B 到点C ；当点A 运动到点F 时，点B 到点D .若AB =12，OB =5，则下列结论正确的是（ ）（第10题）A. FC =3B. EF=12C. 当AB与⊙O相切时，EA=4D. 当OB⊥CD时，EA=AF二、填空题（本大题共3小题，每空4分，共16分.把答案填写在横线上）11．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD =2，△ABC的周长为14，则BC的长为________.（第11题）12．已知⊙O的半径r=5，直线l1//l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距离为7，则l1与l2的距离为______________.13．如图①的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图②所示.小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交CD于点P，量得PC的长为1 mm，六边形ABCDEF的边长为4 mm.（1）AP长为________mm；（2）Q为圆上一点，则AQ的最小值为______________mm.三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤）14．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC的中点，以D为圆心，DC长为半径作⊙D，求：第 5 页（1） 当BC =8时，点A 与⊙D 的位置关系；（2） 当BC =6时，点A 与⊙D 的位置关系；（3） 当BC =5 2时，点A 与⊙D 的位置关系.15．（9分）如图，在正六边形ABCDEF 中，AM =BN ，连接MF ，AN 交于点P .（1） 求证：△AMF≌△BNA ；（2） 求∠FPN 的度数.16．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，过点C 的切线交AB 的延长线于点F ，连接DF ，OC.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接BC，若∠BCF=30∘，BF=2，求CD的长.17．（16分）如图，在四边形ABCD中，AB//DC，∠B=90∘，∠BAD=60∘，BC=4 cm，对角线AC平分∠BAD.点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A 移动，移动速度为1 cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1 cm/s.设点P，Q同时出发，移动时间为t s(0≤t≤6).连接PQ，以PQ 为直径作⊙O.（1）求DC的长.（2）当t为何值时，⊙O与AC相切？（3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？（4）当t为________时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为____________.第 7 页【答案】一、1. B 2. A 3. D 4. C 5. B 6. C 7.C 8. A 9. B 10.C二、11. 512. 2或1213.（1） 7（2） (4−637)三、14．解：连接AD .（1） ∵ 在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，CD =4，∴AD =AC 2−CD 2=3.∵3<4，∴ 点A 在⊙D 内.（2） ∵ 在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，CD =3，∴AD =AC 2−CD 2=4.∵4>3，∴ 点A 在⊙D 外.（3） ∵ 在△ABC 中，AB =AC =5，BC =5 2，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，CD =5 22，∴AD =AC 2−CD 2=5 22.∵5 22=5 22，∴ 点A 在⊙D 上.15.（1） 证明：∵ 六边形ABCDEF 是正六边形，∴AF =AB ，∠FAM =∠ABN =120∘ .在△AMF 和△BNA 中，{AF =BA ,∠FAM =∠ABN ,AM =BN ,∴△AMF≌△BNA (SAS).（2） 解：∵△AMF≌△BNA ，∴∠AFM =∠BAN .∴∠APF =∠AMF +∠BAN =∠AMF +∠AFM =180∘−∠FAM =180∘−120∘=60∘ .∴∠FPN =180∘−60∘=120∘ .16.（1） 证明：如图，连接OD .∵CF 是⊙O 的切线，∴∠OCF =90∘ ，∴∠OCD +∠DCF =90∘ .∵AB ⊥CD ，∴CE =ED ，∴OF 为CD 的垂直平分线，∴CF =DF ，∴∠CDF =∠DCF .∵OC =OD ，∴∠CDO =∠OCD ，∴∠CDO +∠CDF =∠OCD +∠DCF =90∘ ，∴OD ⊥DF .∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线.（2） 解：如图.∵∠OCF =90∘ ，∠BCF =30∘ ，∴∠OCB =60∘ .∵OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∴∠COB =60∘ ，∴∠CFO =30∘ ，∴FO =2OC =2OB ，∴FB =OB =OC =2.∵∠COE =60∘ ，∴CE =3，∴CD =2CE =2 3.17.（1） 解：如图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，则∠DMB =90∘ .∵AB //DC ，∠B =90∘ ，∴∠DCB =90∘=∠B =∠DMB ，∴ 四边形DCBM 是矩形，∴DM =BC =4 cm .∵∠BAD =60∘ ，∠DMA =90∘ ，∴∠ADM =30∘ ，∴AD =2AM ，∴(2AM )2=42+AM 2，∴AM =4 33 cm .∵AC 平分∠BAD ，AB //DC ，∴∠CAD =∠CAB =∠ACD ，∴DC =AD =2AM =8 33cm .（2） 如图②，当⊙O 与AC 相切时，QP ⊥AC .由题意，得AQ =BP =t cm .∵∠BAC =12∠BAD =30∘ ，BC =4 cm ，∴AC =8 cm ，AB =4 3 cm ，∴AP =(4 3−t )cm .∵AQ =32AP ，∴t =32(4 3−t )，解得t =24−12 3，∴ 当t 为24−12 3时，⊙O 与AC 相切.第 9 页（3） 第一种情况：如图③，当∠OQM =60∘ 时满足条件，则∠AQP =120∘ .∵∠QAP =30∘ ，∴ 易得AP =2×32t =3t (cm)，由（2）知AB =4 3 cm ，∴4 3−t =3t ，解得t =6−2 3；第二种情况：如图④，当∠OQM =60∘ 时满足条件.∵∠QAP =30∘ .∴∠APQ =90∘ ，∴AP =32t cm ，即4 3−t =32t ，解得t =16 3−24.综上所述，当t 为6−2 3或16 3−24时，线段AC 被⊙O 截得的线段长恰好等于⊙O 的半径.（4） 6 ；52cm。
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(原卷版)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精练）【题组一 直线与圆的位置关系】1．（2021·江西南昌市）直线4320x y --=与圆+-+-=2224110x y x y 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都不对2．（2021·全国）直线1x y +=和圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．（2021·白银市第十中学）直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．（2021·北京高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定5．（2021·北京高二期末）直线34x y b +=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或126．（2021·全国高二课时练习）若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，则m =（ ） A ．1B ．1-C ．1-或3D ．3-或17．（2021·浙江高二期末）已知直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A ．[1,1-+B ．(1-+C ．(1-D ．(11]--8．（2021·浙江高二期末）直线()20ax y a a R --=∈与圆229x y +=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定9．（2021·全国）(多选)直线l 与圆C 有公共点，则直线l 与圆C 的位置关系可能是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定10．（2021·全国）(多选)已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则（ ）A ．圆心坐标为(1，－2)B ．圆心到直线的距离为2C ．直线与圆相交 D11．（2021·内蒙古包头市·高二月考（理））已知(),P a b 是圆221x y +=内一点，则直线1ax by +=与圆221x y +=公共点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．以上都有可能【题组二 直线与圆的弦长】1．（2021·陕西安康市·高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于A ，B 两点，则||AB = 。
(word版)高中数学直线与圆的位置关系练习题
高中数学直线与圆的位置关系一、单选题1.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 42.从点P(m,3)向圆C：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为()A. 2√6B. √26C. 4+√2D. 53.圆x2+y2−4x+2y+1=0与圆x2+y2+4x−4y−1=0的公切线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A. 4B. 2C. 85D. 1255.已知圆C:x2−6x+y2+2ay+7+a2=0关于直线3x+y−1=0对称，则a=()A. 4B. 6C. 8D. 106.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7.设O为原点直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A，B两点，当▵ABO面积最大值时，k=()A. ±√22B. ±1C. ±√2D. ±28.圆C1：(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2：(x−1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离9.直线l：y=x+1上的点到圆C：x2+y2+2x+4y+4=0上的点的最近距离为()A. √2B. 2−√2C. 1D. √2−110.若点P(1,1)为圆C：x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为()A. 2x+y−3=0B. x−2y+1=0C. x+2y−3=0D. 2x−y−1=011. 已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线x +y +4√2=0相切．点P 在直线x =8上，过点P 引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如图所示，则直线AB 恒过定点的坐标为( )A. (2,0)B. (0,2)C. (1,0)D. (0,1)12. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x −3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A. (x −2)2+(y −1)2=1B. (x −2)2+(y +1)2=1C. (x +2)2+(y −1)2=1D. (x −3)2+(y −1)2=1二、多选题（本大题共2小题，共10.0分） 13. 已知圆M:x 2+y 2−4x −1=0，点P (x,y )是圆M 上的动点，则下列说法正确的有( )A. 圆M 关于直线x +3y −2=0对称B. 直线x +y =0与M 的相交弦长为√3C. t =y x+3的最大值为12D. x 2+y 2的最小值为9−4√514. 已知A (−2,0)，B (2,0)，若圆(x −2a +1)2+(y −2a −2)2=1上存在点M 满足MA →⋅MB →=0，实数a 可以是( ) A. −1 B. −0.5 C. 0D. 1三、单空题15. 已知点P 是直线y =x 上一个动点，过点P 作圆(x +2)2+(y −2)2=1的切线，切点为T ，则线段PT 长度的最小值为 ．16. 若过点P(1,√3)作圆O:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 和B ，则|AB |= ．17. 与直线y =x +3平行且与圆(x −2)2+(y −3)2=8相切的直线的方程为________________________．18.已知坐标原点为O，过点P(2,6)作直线2mx−(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线，垂足为M，则|OM|的取值范围是______．19.若P(2,1)是圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为．20.已知直线x−√3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为______．21.已知点P在直线x−y+4=0上，由点P向圆x 2+y 2=4作两条切线，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为__________．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）22.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−8x+6y+m=0外切，则m=(1)，此时直线l:x+y=0被圆C2所截的弦长为(2)．五、解答题23.已知点M(3,1)，圆O1：(x−1)2+(y−2)2=4．(1)若直线ax−y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为2√3，求a的值；(2)求过点M的圆O1的切线方程．24.已知圆C1：x2+y2−2x=0和圆C2：x2+y2−6x−4y+4=0相交于A,B两点．(1)求公共弦AB的垂直平分线方程．(2)求ΔABC2的面积。
高中数学直线、圆的位置关系的测试题及答案
高中数学直线、圆的位置关系的测试题及答案1.(xx重庆理)直线与圆的位置关系为( ).A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离考查目的：考查直线与圆的位置关系的判定.答案：B.解析：圆心(0，0)到直线(即)的间隔，而，∴直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心.2.(xx辽宁理)圆C与直线及都相切，圆心在直线上，那么圆C 的方程为( ).A. B.C. D.考查目的：考查直线和圆的位置关系，以及求圆的方程.答案：B.解析：设圆C圆心的坐标为(，)，由点到直线的间隔公式得，解得，圆C的圆心为(1，-1)，半径为，方程为.此题也可以用验证法.3.(xx广东文)在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A、B两点，那么弦AB的长等于( ).A. B. C. D.1考查目的：考查直线与圆相交所得弦长的求法.答案：B.解析：圆的圆心坐标为(0，0)，它到弦所在直线的间隔为，由垂径定理得，AB的长等于.4.(xx天津文)圆C的圆心是直线与轴的交点，且圆C与直线相切，那么圆C的方程为 .考查目的：考查利用直线与圆相切的性质求圆的方程的方法.答案：.解析：直线与轴的交点为(-1，0).∵直线与圆C相切，∴圆心C到直线的间隔等于半径，即，∴圆C的方程为.5.(xx四川理)直线与圆，那么圆上各点到直线间隔的最小值为 .考查目的：考查圆与直线的位置关系的判断，以及圆上任意一点到一条直线间隔最小值的求法.答案：.解析：∵圆C的圆心(1，1)到直线的间隔为(圆C的半径)，∴圆C与直线相离，∴圆C上任意一点到直线的间隔的最小值等于圆心C到直线的间隔减去半径，答案应填.6.(xx湖北)过点(-1，-2)的直线被圆C：截得的弦长为，那么直线的斜率为 .考查目的：考查直线与圆的位置关系及其应用.答案：1或.解析：∵圆C的方程可化为，∴其圆心为(1，1)，半径为1.由经过点(-1，-2)的直线被圆C所截，那么直线的斜率必须存在，设其斜率为，那么直线的方程为，∴圆心到直线的间隔，依题意得，解得或.7.自点(-3，3)发出的光线射到轴上，被轴反射后，其反射线所在直线与圆相切，求光线所在的直线方程.考查目的：考查光线反射的有关性质，直线和圆的位置关系和性质，以及转化化归和数形结合的思想.答案：，或.解析：圆的标准方程是，它关于轴的对称圆的方程是.由题意知，光线所在直线的斜率存在.设光线所在的直线方程是.由题设知，对称圆的圆心(2，-2)到这条直线的间隔等于1，即，得，解得或，∴所求直线方程是，或，即，或.8.(xx全国课标)在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.⑴求圆C的方程；⑵假设圆C与直线交于A，B两点，且，求的值.考查目的：考查圆的方程的求法，直线与直线、直线与圆的位置关系的综合应用.答案：⑴；⑵.解析：⑴曲线与坐标轴的交点为(0，1)，()，由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)，∴，解得，∴圆C的半径为，∴圆C的方程为.⑵设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程.由得，判别式①；由根与系数的关系得，②.由得.又∵，，∴可化为③.将②代入③解得，经检验，满足①，即，∴.。
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别 为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ． 解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
直线与圆的位置关系测试题及答案
第1页,共4页 第2页,共4页密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题直线和圆的位置关系试题一、填空（每空3分，共27分 )1． 已知圆的直径为10cm ，圆心到直线l 的距离是3cm ，直线和圆的位置关系是___________． 2． ⊙O 的半径为5,O 点到直线AB 的距离d 满足d 2－11d+30＝0，则直线AB 与⊙O 的位置关系是____________．3． ⊙O 的半径为5cm ，圆心O 与直线AB 的距离为d,若AB 和⊙O 相离，则d 5cm;若AB 和⊙O 相切，则d 5cm ；若AB 和⊙O 相交，则d 5cm ．4． 已知： Rt △ABC 中∠C=90°， CD ⊥AB 于D, AD ＝2， BD=1, 以C 为圆心， 以1.4为半径画圆, 则直线AB 和⊙O 的位置关系是___________________． 5．已知Rt △ABC 的斜边AB ＝6 cm,直角边AC ＝3 cm ．（1）以C 为圆心，2 cm 长为半径的圆和 AB 的位置关系是 ；（2)以C 为圆心，4 cm 长为半径的圆和 AB 的位置关系是 ； （3）如果以C 为圆心的圆和AB 相切,则半径长为 ． 二、选择题（每小题3分,共15分 ）1． 一直线与直径长为m 的圆相交，圆心到这条直线的距离为d,则m 与d 之间的关系是 （ ）A ．d=2mB ．d ＜2mC ．d ＞2mD ．d=m2． △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，⊙C 与AB 相交，则⊙C 的半径R 的取值范围是 （ ） A ．R ＞25 B ．R ＞325 C ．R ＜25D ．R ＜3253．已知:如图，AB 切⊙O 于C ，OC=3,AC=33，BC=3，则∠AOB 的度数为 （ )A ．90°B ．105°C ．120°D ．130°4． 已知：如图，以O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于C,大圆半径为3cm ，小圆半径为2cm,则AB 的长为（ )cm ．A ．5 B ． 52 C ．6 D ．255． 若⊙O 的半径为3cm,点P 与圆心O 的距离为6cm ，则过点P 与⊙O 相切的两条切线间的夹角为（ ) A ．30° B ．90° C ．60° D ．120°三、计算题 （每小题10分，共40分 ） 要求:解题步骤完整，字迹工整。
北师大版九年级下册《3.5+直线和圆的位置关系》2013年同步练习(一)
北师大版九年级下册《3.5 直线和圆的位置关系》2013年同步练习（一）一、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）已知⊙O的直径为12cm，若直线l与⊙O相切，那么点O到直线l的距离为_________．2．（3分）（2010•大庆）如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作M．若⊙M在OB边上运动，则当OM=_________cm时，⊙M与OA相切．3．（3分）已知OP平分∠AOB，点M在OP上，如果以点M为圆心的圆与OB相切，那么⊙M与直线OA_________．4．（3分）（2011•苏州）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于_________．5．（3分）如图所示，⊙O的半径为4cm，BC是直径，若AB=10cm，则AC=_________cm时AC是⊙O的切线．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）6．（3分）已知圆的半径为6.5cm，如果这个圆的圆心到直线l的距离为9cm，那么直线l和这个圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定7．（3分）（1997•武汉）已知圆的半径为6.5cm，圆心到直线z的距离为4.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．不能确定8．（3分）已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，底边BC=6，若以顶点A为圆心，以4为半径作⊙A，则BC与⊙A（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定9．（3分）（2002•安徽）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB延长线交于P，PC=5，A．6B．8C．10 D．10．（3分）（2003•北京）如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于（）A．55°B．90°C．110°D．120°11．（3分）（2005•闸北区二模）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线12．（3分）（2001•陕西）给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（3分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心．若∠BAC=75°，则∠BOC的度数为（）A．105°B．125°C．127.5°D．100°三、解答题（共10小题，满分0分）14．如图所示，两同心圆O，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB=4，求圆环的面积．15．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，求∠BAC的度数．16．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？17．（2001•吉林）如图，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G．（1）求⊙O的半径R；（2）设∠BFE=α，∠CED=β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．18．（2003•甘肃）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．19．（2000•兰州）过给定的⊙O上一点A（如图），画作⊙O的切线．20．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；21．如图，△ABC中，E是△ABC的内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE=DB．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，内切圆⊙O与三边分别切于点D，E，F．（1）试说明四边形OECF为正方形；（2）若AD=6，BD=4，求AC和⊙O的半径；（3）若AB=c，BC=a，AC=b，试用关于a，b，c的代数式表示内切圆的半径r．23．（2001•黑龙江）如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否成立？请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？北师大版九年级下册《3.5 直线和圆的位置关系》2013年同步练习（一）参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）已知⊙O的直径为12cm，若直线l与⊙O相切，那么点O到直线l的距离为6cm．考点：直线与圆的位置关系．分析：根据圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径，求出圆的半径即可．解答：解：∵⊙O的直径是12cm，∴⊙O的半径是6cm，∵直线l与⊙O相切，∴点O到直线L的距离等于圆的半径，是6cm．故答案为：6cm．点评：本题考查对切线的性质和直线与圆的位置关系的理解和运用，关键是理解圆的切线的定义，题目比较典型，难度不大．2．（3分）（2010•大庆）如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作M．若⊙M在OB边上运动，则当OM=4cm时，⊙M与OA相切．考点：切线的性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题；动点型．分析：连接MN，N为切点，根据MN⊥AO可知∠AOB=30°，2cm为半径，利用直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半解答．解答：解：连接MN，∵MN⊥AO，∠AOB=30°，2cm为半径，∴OM=2MN=2×2=4cm．故当OM=4cm时，⊙M与OA相切．点评：根据直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半解答．3．（3分）已知OP平分∠AOB，点M在OP上，如果以点M为圆心的圆与OB相切，那么⊙M与直线OA相切．考点：直线与圆的位置关系；角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可知点M到OB的距离=点M到OA的距离，依此可得OM与直线OA的关系．解答：解：由角平分线的性质可知点M到OB的距离=点M到OA的距离，∴⊙M与直线OA相切．故答案为：相切．点评：此题综合运用了角平分线的性质，以及能够根据数量关系判断直线和圆的位置关系．4．（3分）（2011•苏州）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于1．考点：切线的性质；勾股定理．分析：根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即可求解．解答：解：∵CD与⊙O相切，切点为D，∴CD2=BC•AC，即CD2=BC•3BC=3，解得：BC=1．故答案是：1．点评：本题主要考查了切割线定理，正确理解定理是解题的关键．5．（3分）如图所示，⊙O的半径为4cm，BC是直径，若AB=10cm，则AC=6cm时AC是⊙O的切线．考点：切线的判定．专题：计算题．分析：根据切线的判定定理当∠BCA=90°时，AC是⊙O的切线，然后根据勾股定理计算AC．解答：解：如图，BC=8cm，∵BC是直径，当∠BCA=90°时，AC是⊙O的切线，∴AB2=AC2+BC2，∴AC==6（cm）．故答案为6．点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线．也考查了勾股定理．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）A．相交B．相切C．相离D．不能确定考点：直线与圆的位置关系．专题：推理填空题．分析：根据直线与圆的位置关系定理：相切时，r=d；相交时r＞d；相离时，r＜d；进行判断即可．解答：解：∵圆的半径为6.5cm，如果这个圆的圆心到直线l的距离为9cm，∴6.5cm＜9cm，∴直线与圆的位置关系是相离，故选C．点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，能熟练地根据定理进行说理是解此题的关键．7．（3分）（1997•武汉）已知圆的半径为6.5cm，圆心到直线z的距离为4.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．不能确定考点：直线与圆的位置关系．分析：根据半径大于距离判断直线与圆相交，从而得出公共点的个数．解答：解：∵圆的半径为6.5cm，圆心到直线z的距离为4.5cm，∴圆心到直线z的距离小于圆的半径，∴直线与圆相交，∴这条直线和这个圆有两个公共点．故选C．点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及相应的公共点的个数的判断．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径r大小关系完成判定：若d＜r，则直线与圆相交，有两个公共点；若d=r，则直线于圆相切，有唯一公共点；若d＞r，则直线与圆相离，没有公共点．8．（3分）已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，底边BC=6，若以顶点A为圆心，以4为半径作⊙A，则BC与⊙A（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定考点：直线与圆的位置关系．分析：此题只需根据等腰三角形的三线合一和勾股定理，求得圆心A到直线BC的距离，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．解答：解：作AD⊥BC于D．根据等腰三角形的三线合一，得BD=3；再根据勾股定理得AD=4，∵4=4，∴以4为半径的⊙A与BC所在直线的位置关系是相切．故选B．点评：考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．能够综合运用等腰三角形的性质和勾股定理求解．9．（3分）（2002•安徽）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（）A．6B．8C．10 D．考点：圆周角定理；切线的性质．分析：本题可通过构建直角三角形求解．连接OC，在Rt△POC中，根据圆周角定理，可求得∠POC=2∠A=60°，已知PC的长，即可求出OC的值，也就是半径的长．解答：解：连接OC，则OC⊥PC，根据圆周角定理得：∠POC=2∠A=60°，在Rt△OCP中，∠POC=60°，PC=5，因此OC=PC÷tan∠POC==．故选D．点评：本题主要考查切线的性质、圆周角定理的应用．10．（3分）（2003•北京）如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于（）A．55°B．90°C．110°D．120°考点：切线的性质；圆周角定理．分析：根据切线的性质得∠OAC=90°，则∠OAB=35°，所以可求∠AOB=110°．解答：解：∵∠OAC=90°，∴∠OAB=90°﹣55°=35°，∴∠AOB=180°﹣35°×2=110°．故选C．点评：此题运用了切线的性质定理、三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．11．（3分）（2005•闸北区二模）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线考点：切线的判定．分析：根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可．解答：解：由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以只要答案B符合，故选B．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大．12．（3分）（2001•陕西）给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．分析：根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错．三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个．故正确的命题有2个．解答：解：三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①是对的；反过来说圆的内接三角形可以无数多个，所以②是错的；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③是对的；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，④是错误的．所以正确的命题有2个．故选B．点评：考查三角形外心与内心的概念，属于概念题．13．（3分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心．若∠BAC=75°，则∠BOC的度数为（）A．105°B．125°C．127.5°D．100°考点：三角形的内切圆与内心．分析：由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，又由∠BAC=75°，可求得∠ABC+∠ACB的度数，继而求得答案．解答：解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠BAC=75°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=105°，故选C．点评：此题考查了三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．三、解答题（共10小题，满分0分）14．如图所示，两同心圆O，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB=4，求圆环的面积．考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理．分析：首先连接OC，OA，由大圆的弦AB切小圆于点C，可得OC⊥AB，由垂径定理即可求得AC=AB=2，由勾股定理可求得在Rt△OAC中，OA2﹣OC2=AC2=4，继而可得：圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=4π．解答：解：连接OC，OA，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×4=2，∵在Rt△OAC中，OA2﹣OC2=AC2=4，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=4π．点评：此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，求∠BAC的度数．考点：切线的性质．分析：首先连接OA，由AC是⊙O的切线，可得OA⊥AC，又由OA=OB，∠B=70°，根据等边对等角的性质，可求得∠OAB的度数，继而求得∠BAC的度数．解答：解：连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∵OA=OB，∠B=70°，∴∠OAB=∠B=70°，∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=20°．点评：此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？考点：直线与圆的位置关系．分析：过点E作EF⊥CD于点F，则可证明△ADE≌△FDE，△EFC≌△EBC，从而可得AE=EF=EB，这样即可判断出答案．解答：解：以AB为直径的圆与边CD相切．理由如下：过点E作EF⊥CD于点F．∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ADE=∠EDF，∠ECB=∠ECF，在△ADE和△FDE中，∵，∴△ADE≌△FDE．同理可得：△EFC≌△EBC，∴AE=EF=EB，则以AB为直径的圆的圆心为点E，∵EF=EA=EB=AB，∴以AB为直径的圆与边CD相切．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解答本题的关键是证明△ADE≌△FDE，△EFC≌△EBC，得出AE=EF=EB，难度一般．17．（2001•吉林）如图，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G．（1）求⊙O的半径R；（2）设∠BFE=α，∠CED=β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．考点：切线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）首先根据勾股定理可以求出AC的长度，根据AD是圆的切线，连接OE半径，得出△AOE∽△ACD，这样就可以列出关于半径的方程，解方程即可求出半径；（2）根据弦切角定理，β等于α的邻补角∠EFC，所以三者关系可以很容易写出．解答：解：（1）连接OE，则OE⊥AD，∴△AOE∽△ACD∴∵矩形ABCD∴AC===10∴解得R=∴⊙O的半径R=；（2）如图，连接CE，∵AD是圆的切线，∴β=∠CFE，∵∠BFE+∠CFE=180°∴α+β=2×90°=180°．点评：遇到切线作出过切点的半径是解好本题的突破口，切线的性质是本题考查的重点．熟练掌握勾股定理和矩形的性质对解答本题也很重要．18．（2003•甘肃）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．考点：切线的判定与性质；圆周角定理．专题：证明题．分析：连接OD，只要证明CD⊥OD即可．解答：证明：连接OD；∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∴∠BOC=∠COD．∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC，又BC是⊙O的切线．∴∠OBC=90°．∴∠ODC=90°．∴DC是⊙O的切线．点评：本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用．19．（2000•兰州）过给定的⊙O上一点A（如图），画作⊙O的切线．考点：作图—复杂作图．分析：由于圆的切线都垂直于过切点的半径，那么只需作出直线OA，然后按照“过一点作已知直线的垂线”的基本作图法求解即可．解答：解：（1）作直线AO；（2）以A为圆心，AO为半径作弧，交直线AO于点B（与O点不重合）；（3）分别以O、B为圆心，大于OA长为半径作弧，两弧交于点C、D；（4）连接CD，CD所在直线即为求作的切线．点评：复杂作图终归要转化为基本作图，要学会将一些复杂作图题转化为基本作图题去解决，并熟练掌握五种基本作图法．20．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直径的AE．考点：切线的判定；角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OC，根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；（2）过O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM的长，利用勾股定理求出AD的长，设圆的半径为x，则AM=x﹣AD，再根据勾股定理列方程，求出x的值即可求出⊙O 的半径，从而求出⊙O的直径的AE．解答：（1）证明：连接OC．∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA．∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC．∵CD⊥PA，∴∠ADC=∠OCD=90°，即CD⊥OC，点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，∴四边形DMOC是矩形，∴OC=DM，OM=CD=4．∵DC=4，AC=5，∴AD=3，设圆的半径为x，则AM=x﹣AD=x﹣3，∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=AM2+OM2．∴x2=（x﹣3）2+42，∴x=∴⊙O的半径是，∴⊙O的直径的AE=2×=．点评：本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．21．如图，△ABC中，E是△ABC的内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE=DB．考点：三角形的内切圆与内心．专题：证明题．分析：首先连接BE，由E是内心，易证得∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，又由同弧所对的圆周角相等，证得∠EAC=∠CBD，则可得∠EBD=∠BED，即可证得DE=BD；解答：解：连接BE，∵E为内心，∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的角平分线，∴∠BED=∠BAE+∠EBA，∠EBA=∠EBC，∠BAE=∠EAC，∴∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，∵=，∴∠EAC=∠CBD，∴∠EBD=∠BED，∴DE=BD．点评：此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，内切圆⊙O与三边分别切于点D，E，F．（1）试说明四边形OECF为正方形；（2）若AD=6，BD=4，求AC和⊙O的半径；（3）若AB=c，BC=a，AC=b，试用关于a，b，c的代数式表示内切圆的半径r．考点：三角形的内切圆与内心．分析：（1）由在△ABC中，∠C=90°，内切圆⊙O与三边分别切于点D，E，F，可得∠OEC=∠OFC，又由OE=OF，即可证得四边形OECF为正方形；（2）首先设⊙O的半径为r，由四边形OECF为正方形，可得CF=CE=r，又由⊙O是△ABC的内切圆，即可得AF=AD=6，BE=BD=4，然后由勾股定理得：100=（6+r）2+（4+r）2，解此方程即可求得答案；（3）由（2）易得：b﹣r+a﹣r=c，继而求得答案．解答：解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OF⊥AC，OE⊥BC，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵在△ABC中，∠C=90°，∴四边形OECF为矩形，∵OE=OF，∴矩形OECF为正方形；（2）设⊙O的半径为r，∵四边形OECF为正方形，∴CF=CE=r，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF=AD=6，BE=BD=4，∴AB=AD+BD=10，AC=6+r，BC=4+r，在Rt△ABC中，AC2=BC2+AC2，∴100=（6+r）2+（4+r）2，解得：r1=2，r2=﹣12（舍去），∴AC=2+6=8，∴AC=8，⊙O的半径为2；（3）∵设⊙O的半径为r，∵四边形OECF为正方形，∴CF=CE=r，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF=AD=b﹣r，BE=BD=a﹣r，∵AB=AD+BD，∴b﹣r+a﹣r=c，∴r=．点评：此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．23．（2001•黑龙江）如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否成立？请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？考点：切线的判定．专题：几何综合题．分析：（1）结论仍然成立．在连接OD后，因为OD=OB，AB=AC，则有∠ABC=∠ACB=∠ODB，所以OD和AC永远平行；又DE和AC垂直，所以DE和OD也垂直，即DE是⊙O的切线．（2）当⊙O与AC相切时，若假设切点为F，⊙O与AB相交于G，则OF和AC垂直，即△AOF是一个以AO为斜边的直角三角形；从而根据三角函数求得OF，OB的长，即可确定圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切．解答：解：（1）结论成立．理由如下：如图，连接OD；∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠ODB，∴OD∥AC；又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．（2）当圆心O在AB上距B点为3x=时，⊙O与AC相切．如图所示，⊙O与AC相切于F，⊙O与AB相交于G．则OF⊥AC；在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；设OF=3x，AO=5x，则OB=OG=OF=3x，AG=2x，∴8x=AB=5，∴x=，此时OB=3x=时，即当圆心O在AB上距B点为3x=时，⊙O与AC相切．点评：此题主要考查了切线的判定，以及圆中一些基本性质．。
2021-2022学年最新冀教版九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系专项测试练习题(含详解)
九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，O 是AB 边上一点，O 与AC 、BC 都相切，若3BC =，4AC =，则O 的半径为（ ）A ．1B ．2C ．52 D ．1272、如图，AB 为O 的直径，C 为D 外一点，过C 作O 的切线，切点为B ，连接AC 交O 于D ，38C ∠=︒，点E 在AB 右侧的半圆周上运动（不与A ，B 重合），则AED ∠的大小是（ ）A ．19°B ．38°C ．52°D ．76°3、如图，BE 是O 的直径，点A 和点D 是O 上的两点，过点A 作O 的切线交BE 延长线于点C ，若36ADE ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．18°B ．28°C ．36°D ．45°4、如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作O 的切线交BE 延长线于点C ，若∠ADE =36°，则∠C 的度数是（ ）A ．18°B ．28°C ．36°D ．45°5、如图，在平面直角坐标系中，()0,3A -，()2,1B -，()2,3C ．则△ABC 的外心坐标为（ ）A ．()0,0B ．()1,1-C ．()2,1--D ．()2,1-6、如图所示，⊙O 的半径为5，点O 到直线l 的距离为7，P 是直线l 上的一个动点，PQ 与⊙O 相切于点Q ．则PQ 的最小值为（ ）A B C ． D ．27、如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，连接OD 、BD ，过点D 作⊙O 的切线交BA 延长线于点C ，若∠C ＝40°，则∠B 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 上任一点（不与B 、C 重合），连接BD 、CD ，AD 交BC 于E ，CF 切⊙O 于点C ，AF ⊥CF 交⊙O 于点G ．下列结论：①∠ADC ＝60°；②DB 2＝DE •DA ；③若AD ＝2，则四边形ABDC CF＝83．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9、已知O是正六边形ABCDEF的外接圆，正六边形ABCDEF形OAC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（）A．1 B．13C．23D．4310、若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6，B．6，C． 6 D．6，3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC BC ＝2，以点A 为圆心作圆弧，与BC 相切于点D ，且分别交边AB ，AC 于点EF ，则扇形AEF 的面积为 _____．（结果保留π）2、如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点．若∠APO =25°，则∠AOP =___________°．3、如图，点O 和点I 分别是△ABC 的外心和内心，若∠BOC ＝130°，则∠BIC ＝______．4、如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D ，C ，B 在一条直线上，且2DC BC =，过点A 作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E ，则CAE ∠是______度．5、如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6，CO ＝8，则BE ＋GC 的长为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）OA=，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，1、如图，点A在y轴正半轴上，1C两点，D，C两点的横坐标是方程2430>，连接BC．-+=的两个根，OC ODx x(1)如图（1），连接BD．①求ABD∠的正切值；②求点B的坐标．⊥于点F，连接EB，ED，EC，求证：(2)如图（2），若点E是DAB的中点，作EF BC=+．2CF BC CD2、如图，⊙O是ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若AE =CE =2，求⊙O 的半径和线段BC 的长．3、如图，已知AB 是O 的直径，点C 在O 上，点E 在O 外．(1)动手操作：作ACB ∠的角平分线CD ，与圆交于点D （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)综合运用，在你所作的图中．若EAC ADC ∠=∠，求证：AE 是O 的切线．4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，O 点在△ABC 内部，⊙O 经过B 、C 两点且交AB 于点D ，连接CO 并延长交线段AB 于点G ，以GD 、GC 为邻边作平行四边形GDEC ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝7，CE ＝5，求⊙O 的半径．5、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，与AC 交于点D ，DE DB ⊥，垂足为D ，与AB 交于点E ，经过B ，D ，E 三点的O 与BC 交于点F ．(1)求证AC 是O 的切线；(2)若3BC =，4AC =，求O 的半径．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥BC 于E ，如图，设⊙O 的半径为r ，根据切线的性质得OD =OE =r ，易得四边形ODCE 为正方形，则CD =OD =r ，再证明△ADO ∽△ACB ，然后利用相似比得到443r r -=，再根据比例的性质求出r 即可．【详解】解：作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥BC 于E ，如图，设⊙O 的半径为r ，∵⊙O 与AC 、BC 都相切，∴OD =OE =r ，而∠C =90°，∴四边形ODCE 为正方形，∴CD =OD =r ，∵OD ∥BC ，∴△ADO ∽△ACB ， ∴AF OF AC BC= ∵AF =AC -r ，BC =3，AC =4， 代入可得，443r r -= ∴r =127． 故选：D ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．2、B【解析】【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.3、A【解析】【分析】连接OA ，根据同弧所对的圆周角相等可得ABE ADE ∠=∠，根据圆周角定理可得272AOE ADE ∠=∠=︒，根据切线的性质以及直角三角形的两锐角互余即可求得C ∠的度数．【详解】解：如图，连接OAAE AE =，36ADE ∠=︒∴ABE ADE ∠=∠∴272AOE ADE ∠=∠=︒ AC 是O 的切线90CAO ∴∠=︒90907218C AOE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故选A【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得AOE ∠的度数是解题的关键．4、A【解析】【分析】连接OA ，DE ，利用切线的性质和角之间的关系解答即可．【详解】解：连接OA ，DE ，如图，∵AC 是O 的切线，OA 是O 的半径，∴OA ⊥AC∴∠OAC =90°∠ADE =36°∴∠AOE =2∠ADE =72°∴∠C =90°-∠AOE =90°-72°=18°故选：A.【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，能求出∠OAC 和∠AOC 是解题的关键．5、D【解析】【分析】由BC 两点的坐标可以得到直线BC ∥y 轴，则直线BC 的垂直平分线为直线y =1，再由外心的定义可知△ABC 外心的纵坐标为1，则设△ABC 的外心为P （a ，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到()()()22222222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，由此求解即可． 【详解】解：∵B 点坐标为（2，-1），C 点坐标为（2， 3），∴直线BC ∥y 轴，∴直线BC 的垂直平分线为直线y =1，∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，∴△ABC 外心的纵坐标为1，设△ABC 的外心为P （a ，1），∴()()()22222222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，∴221648a a a +=-+，解得2a =-，∴△ABC 外心的坐标为（-2， 1），故选D ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．6、C【解析】【分析】由切线的性质可知OQ ⊥PQ ，在Rt △OPQ 中，OQ =5，则可知当OP 最小时，PQ 有最小值，当OP ⊥l 时，OP 最小，利用勾股定理可求得PQ 的最小值．【详解】∵PQ 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PQ ，∴PQ 2=OP 2-OQ 2=OP 2-52=OP 2-25，∴当OP 最小时，PQ 有最小值，∵点O到直线l的距离为7，∴OP的最小值为7，∴PQ的最小值=故选：C．【点睛】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．7、C【解析】【分析】根据切线的性质得到∠CDO=90°，求得∠COD=90°-40°=50°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵CD是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵∠C=40°，∴∠COD=90°-40°=50°，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∵∠COD=∠B+∠ODB，∴∠B=1∠COD=25°，2故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．8、C【解析】【分析】如图1，△ABC 是等边三角形，则∠ABC ＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC ＝∠ABC ＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE ∽△DAC ，则DB DE DA DC=，所以DB •DC ＝DE •DA ，而DB 与DC 不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH ⊥BD 于点H ，延长DB 到点K ，使BK ＝CD ，连接AK ，先证明△ABK ≌△ACD ，可证明S 四边形ABDC ＝S △ADK ，可以求得S △ADK 3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，由CF 切⊙O 于点C 得CF ⊥OC ，而AF ⊥CF ，所以AF ∥OC ，由圆周角定理可得∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝∠OCA ＝30°，于是∠CAG ＝∠OCA ＝30°，则∠COG ＝2∠CAG ＝60°，可证明△AOG 和△COG 都是等边三角形，则四边形OABC 是菱形，因此OA ∥CG ，推导出S 阴影＝S 扇形COG ，在Rt △CFG 中根据勾股定理求出CG 的长为4，则⊙O 的半径为4，可求得S 阴影＝S扇形COG ＝2604360⨯π＝83π，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确． 【详解】解：如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵等边△ABC 内接于⊙O ，∴∠ADC ＝∠ABC ＝60°，故①正确；∵∠BDE ＝∠ACB ＝60°，∠ADC ＝∠ABC ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADC ，又∠DBE ＝∠DAC ，∴△DBE ∽△DAC ，∴DB DE DA DC,∴DB•DC＝DE•DA，∵D是BC上任一点，∴DB与DC不一定相等，∴DB•DC与DB2也不一定相等，∴DB2与DE•DA也不一定相等，故②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ABK＝∠ACD，∴AB＝AC，∴△ABK≌△ACD（SAS），∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，∴DH＝KH＝12DK，∵∠AHD ＝90°，∠ADH ＝60°，∴∠DAH ＝30°，∵AD ＝2，∴DH ＝12AD ＝1，∴DK ＝2DH ＝2，AH =∴S △ADK ＝12AH DK ⋅=∴S 四边形ABDC ＝S △ABD +S △ACD ＝S △ABD +S △ABK ＝S △ADK故③正确；如图3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，则OA ＝OG ＝OC ，∵CF 切⊙O 于点C ，∴CF ⊥OC ，∵AF ⊥CF ，∴AF ∥OC ，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，∴∠OAC ＝∠OCA ＝12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠CAG ＝∠OCA ＝30°，∴∠COG ＝2∠CAG ＝60°，∴∠AOG ＝60°，∴△AOG 和△COG 都是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AG ＝CG ＝OG ，∴四边形OABC 是菱形，∴OA ∥CG ，∴S △CAG ＝S △COG ，∴S 阴影＝S 扇形COG ，∵∠OCF ＝90°，∠OCG ＝60°，∴∠FCG ＝30°，∵∠F ＝90°，∴FG ＝12CG ，∵FG 2+CF 2＝CG 2，CF ＝∴（12CG ）2+（2＝CG 2，∴CG ＝4，∴OC ＝CG ＝4，∴S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π， 故④正确，∴①③④这3个结论正确，故选C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9、C【解析】【分析】根据边心距求得外接圆的半径为2，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可．【详解】如图,过点O作OG⊥AF，垂足为G，∵正六边形ABCDEF∴∠AOG=30°，OG∴OA=2AG，∴22-=，GA GA43解得GA=1，∴OA=2，设圆锥的半径为r，根据题意，得2πr=1202180π⨯⨯，解得r=23，故选C．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面积，熟练掌握弧长公式，圆锥的侧面积公式是解题的关键．10、B【解析】【分析】如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，求出∠AOB=60°，即可证明△OAB是等边三角形，得到OA=AB=6；如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，先求出∠AO1B＝60°，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=6；（2）如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AO1B＝60°，∵O1A= O1B，∴△O1AB是等边三角形，∴O1A= AB=6，∵O1M⊥AB，∴∠O1MA＝90°，AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝BM，∴O1M【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形与圆的知识是解题的关键．二、填空题1、4π##14π 【解析】【分析】先判断出△ABC 是等腰直角三角形，从而连接AD ，可得出AD =1，直接代入扇形的面积公式进行运算即可．【详解】解：∵AB =AC BC =2，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，连接AD ，则AD =12BC =1，则S 扇形AEF =29013604ππ⨯=． 故答案为：4π．本题考查了扇形的面积计算、勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，难度一般，解答本题的关键是得出AD 的长度及∠BAC 的度数．2、65【解析】【分析】根据切线的性质得到OA ⊥AP ，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．【详解】解：∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴90APO AOP ∠+∠=︒，∵∠APO =25°，∴90902565AOP APO ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：65．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3、122.5°【解析】【分析】如图所示，作△ABC 外接圆，利用圆周角定理得到∠A =65°，由于I 是△ABC 的内心，则∠BIC =180°-12∠ABC -12∠ACB ，然后把∠BAC 的度数代入计算即可．【详解】解：如图所示，作△ABC 外接圆，∵点O是△ABC的外心，∠BOC=130°，∴∠A=65°，∴∠ABC+∠ACB=115°，∵点I是△ABC的内心，×115°=57.5°，∴∠IBC+∠ICB=12∴∠BIC=180°﹣57.5°=122.5°．故答案为：122.5°．【点睛】此题主要考查了三角形内心和外心的综合应用，根据题意得出∠IBC+∠ICB的度数是解题关键．4、605、10【解析】【分析】先由切线长定理得到BF＝BE，CF＝CG，BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，再证明∠BOC＝90°，然后利用勾股定理计算出BC即可．【详解】∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，∴BF ＝BE ，CF ＝CG ，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠BCD ， ∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB BCD ∠=∠， ∴()12OBC OCB ABC BCD ∠+∠=∠+∠， ∵AB ∥CD ， ∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°， ∴1108902OBC OCB ∠+∠=⨯︒=︒， ∴∠BOC ＝90°，在Rt △OBC 中，∵BO ＝6，CO ＝8，∴10BC ，∴BE ＋CG ＝10．故答案为：10．【点睛】此题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理以及直角三角形的判定与性质．此题难度适中，正确理解切线长定理是解决本题的关键．三、解答题1、 (1)①13，②（4，3）(2)见解析【解析】【分析】（1）①过点P 作PH ⊥DC 于H ，作AF ⊥PH 于F ，连接PD 、AD ，利用因式分解法解出一元二次方程，求出OD 、OC ，根据垂径定理求出DH ，根据勾股定理计算求出半径，根据圆周角定理得到∠ADB ＝90°，根据正切的定义计算即可；②过点B作BE⊥x轴于点E，作AG⊥BE于G，根据平行线分线段成比例定理定理分别求出OE、BE，得到点B的坐标；（2）过点E作EH⊥x轴于H，证明△EHD≌△EFB，得到EH＝EF，DH＝BF，再证明Rt△EHC≌Rt△EFC，得到CH＝CF，结合图形计算，证明结论．(1)解：①以AB为直径的圆的圆心为P，过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，DC，四边形AOHF为矩形，则DH＝HC＝12∴AF＝OH，FH＝OA＝1，解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，∵OC＞OD，∴OD＝1，OC＝3，∴DC＝2，∴DH＝1，∴AF＝OH＝2，设圆的半径为r，则PH2＝21r ，∴PF＝PH﹣FH，在Rt△APF中，AP2＝AF2+PF2，即r2＝22+（PH﹣1）2，解得：r PH＝2，PF＝PH﹣FH＝1，∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝1，∴AD，∵AB为直径，∴∠ADB ＝90°，∴BD ，∴tan∠ABD ＝AD BD 13； ②过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，交圆于点G ，连接AG ，∴∠BEO ＝90°，∵AB 为直径，∴∠AGB ＝90°，∵∠AOE ＝90°，∴四边形AOEG 是矩形，∴OE ＝AG ，OA ＝EG ＝1，∵AF ＝2，∵PH ⊥DC ，∴PH ⊥AG ，∴AF ＝FG ＝2，∴AG ＝OE ＝4，BG ＝2PF ＝2，∴BE ＝3，∴点B 的坐标为（4，3）；(2)证明：过点E 作EH ⊥x 轴于H ，∵点E 是DAB 的中点，∴ED ＝EB ，∴ED ＝EB ，∵四边形EDCB 为圆P 的内接四边形，∴∠EDH ＝∠EBF ，在△EHD 和△EFB 中，90EDH EBF EHD EFB ED EB ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△EHD ≌△EFB （AAS ），∴EH ＝EF ，DH ＝BF ，在Rt△EHC 和Rt△EFC 中，EH EF EC EC =⎧⎨=⎩， ∴Rt△EHC ≌Rt△EFC （HL ），∴CH＝CF，∴2CF＝CH+CF＝CD+DH+BC﹣BF＝BC+CD．【点睛】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线、求出圆的半径是解题的关键．2、 (1)见解析(2)4【解析】【分析】（1）连接OA．由AD OC∥及圆周角定理求出∠OAD=90°，即可得到结论；（2）设⊙O的半径为R，在Rt△OAE中，勾股定理求出R，延长CO交⊙O于F，连接AF，证明△CEB∽△AEF，得到AE AFCE BC，由此求出⊙O的半径和线段BC的长．(1)证明：连接OA．∵AD OC∥，∴∠AOC+∠OAD=180°，∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，∴∠OAD =90°，∴OA ⊥AD ，∵OA 是半径，∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：设⊙O 的半径为R ，则OA =R ，OE =R -2． 在Rt △OAE 中，222AO OE AE +=，∴222(2)R R +-=，解得14R =或22R =-（不合题意，舍去）， 延长CO 交⊙O 于F ，连接AF ，∵∠AEF =∠CEB ，∠B =∠AFE ，∴△CEB ∽△AEF ， ∴AE AF CE BC=， ∵CF 是直径，∴CF =8，∠CAF =90°，又∵∠F =∠ABC =45°，∴∠F =∠ACF =45°，∴AF==BC∴BC．．【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，勾股定理，相似三角形的判定及性质，直径所对的圆周角是直角的性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线解题是解题的关键．3、 (1)作图见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于1BM为半径画弧，交点2为N，连接CN交O于点D即可．∠=∠，（2）连接AD，9090，，，EAC ADCADC ABC ACB ABC BAC∠=∠∠=︒∠+∠=︒BAE∠=︒，AB为直径，进而可得AE是O的切线．，，90∠=∠∠+∠=︒EAC ABC EAC BAC90(1)解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于1BM为半径画弧，交点2为N，连接CN交O于点D．(2)解：连接AD ，如图∵AC AC AB =，为直径∴9090ADC ABC ACB ABC BAC ∠=∠∠=︒∠+∠=︒，，∵EAC ADC ∠=∠∴90EAC ABC EAC BAC ∠=∠∠+∠=︒，∴90BAE ∠=︒又∵AB 为直径∴AE 是O 的切线．【点睛】本题考查了角平分线的画法，圆周角，切线的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活熟练的运用．4、 (1)见解析(2)4【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意和平行四边形的性质可得DE∥CG，可得OD⊥DE，即可求解；（2）设⊙O的半径为r，因为∠GOD＝90°，根据勾股定理可求解r，当r＝2时，OG＝5，此时点G 在⊙O外，不合题意，舍去，可求解．(1)证明：连接OD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠ODE+∠COD＝180°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∵OD是半径，∴直线DE是⊙O的切线；(2)解：设⊙O 的半径为r ，∵四边形GDEC 是平行四边形，∴CG ＝DE ＝7，DG ＝CE ＝5，∵∠GOD ＝90°，∴OD 2+OG 2＝DG 2，即r 2+（7﹣r ）2＝52，解得：r 1＝3，r 2＝4，当r ＝3时，OG ＝4＞3，此时点G 在⊙O 外，不合题意，舍去，∴r ＝4，即⊙O 的半径4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质和判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解决本题的关键．5、 (1)见解析 (2)158【解析】【分析】（1）连接OD ，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证DBC ODB ∠=∠，从而∥OD BC ，得到OD AC ⊥，根据切线的判定方法可证AC 是O 的切线；（2）证明AOD ABC △△，利用相似三角形的性质可求O 的半径．(1)证明：连接OD ，∵DE DB ⊥，∴90EDB ∠=︒，∴BE 是直径，O 是BE 的中点．∵BD 平分ABC ∠，∴OBD DBC ∠=∠，∵OB OD =，∴OBD ODB ∠=∠，∴DBC ODB ∠=∠，∴∥OD BC ．又∵90C ∠=︒，∴90ADO ∠=︒，∴OD AC ⊥，又∵AC 经过半径OD 的外端，∴AC 是O 的切线．(2)解：∵∥OD BC ，∴AOD ABC ∠=∠，在AOD △与ABC 中，AOD ABC ∠=∠，OAD BAC ∠=∠，∴AOD ABC △△．∴AO OD AB BC=，在Rt ACB中，3BC=，4AC=，∴5AB=.设半径为r，则OD OB r==，5OA r=-，即553r r-=，∴158r=．∴O的半径为158．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法是解（1）的关键，掌握相似三角形的判定与性质是解（2）的关键．。
3.5直线与圆的位置关系(北师大版)
圆O与直线 l 相切，则过点A的直径A B与切线l 有 怎样的位置关系？
B
O
l
A
议一议 P114 7
探索切线性质
驶向胜利 的彼岸
• 1.你能举出生活中直线与圆相交,相切,相离的实例吗?
O O O
●
●
●
相交
相切
相离
• 2.上面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画 出它们的对称轴吗?
由此你能悟出点什么?
D
∴
d
即圆心C到AB的距离d=2.4cm 所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。
有d=r, （2）当r=2.4cm时, 因此⊙C和AB相切。
D
d
（3）当r=3cm时， 有d<r， 因此，⊙C和AB相交。
D
d
自我检验
1、已知：圆的直径为13cm，如果直线和 圆心的距离为以下值时，直线和圆有几个 公共点？为什么？
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
小试牛刀
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 2 个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____ 1 个公共点. 相切 , 直线与圆有____ 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 相离 , 直线与圆有____ 0 个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . ;
数学人教版九年级上册直线和圆的位置关系第1课时练习
直线和圆的位置关系（一）练习姓名1.如图，∠AOB ＝30°，P 为射线OA 上的点，且OP ＝5，若以P 为圆心，r 为半径的圆与射线OB 有唯一一个公共点，则⊙P 的半径r 的取值范围是（ ）.A 、r ＝5B 、r ＝2.5C 、2.5≤r ＜5D 、r ＝2.5或r ＞52.直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5，则r 的取值范围是（ ）.A 、r ＞5B 、r ＝5C 、0＜r ＜5D 、0＜r ≤53.OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任意一点（O 除外），若以P 为圆心的⊙P 与OC 相离，那么⊙P 与OB 的位置关系是（ ）.A 、相离B 、相切C 、相交D 、相交或相切 4.⊙O 在直径是8，直线l 和⊙O 有公共点，圆心O 到直线l 的距离是d ，则d的取值范围是（ ）.A 、d ＞8B 、4＜d ＜8C 、0≤d ≤4D 、d ＞05. 菱形对角线的交点为O ，以O 为圆心，以点O 到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为（ ）.A 、相交B 、相离C 、相切D 、不能确定6.已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）. A 、相交 B 、相离 C 、相切 D 、不能确定7.如图，⊙O 的圆心O 到直线l 的距离为3cm ，⊙O 的半径为1cm ，将直线l 向右（垂直于l 的方向）平移，使l 与⊙O 相切，则直线l 平移的距离是（ ）.A 、1cmB 、2cmC 、4cmD 、2cm 或4cm 8.如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x =O 的位置关系是（ ）.A 、相交B 、相离C 、相切D 、以上三种都有可能9.一条直线到半径为3的圆的圆心的距离是方程2430x x -+=的一个解，那么这条直线与这个圆的位置关系是 .10.已知⊙O 的圆心O 到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，若d 与r 是方程260x x k -+=的两个根，当直线l 与⊙O 相切时，k 的值是 .11.将下题的解答过程补充完整，并进行小结.题目：在Rt △ABC 中，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，∠ACB ＝90°.以C 为圆心，r 为半径作圆.当r 分别取下列各值时，所作的⊙C 分别与AB 有什么样的位置关系？为什么？（1）r ＝2cm ；（2）r ＝2.4cm ；（3）r ＝3cm.解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.在Rt △ABC 中，∵AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，∴由勾股定理，可得AB ＝ cm.又∵ABC 11S AB CD AC BC 22∆=⋅=⋅， ∴AC BC CD AB ⋅=＝ ，即圆心C 到AB 的距离d ＝ cm. （1）当r ＝2cm 时，有 ，∴AB 与⊙C ；（2）当r ＝2.4cm 时，有 ，∴AB 与⊙C ；（3）当r ＝3cm 时，有 ，∴AB 与⊙C .方法总结：确定直线与圆的位置的关键在于求 .D C B A12.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4cm ，∠BAC ＝120°，以底边BC 的中点O 为圆心，下列r 为半径的⊙O 与AB 有怎样的位置关系？说明理由.13.如图，⊙P 的半径为2，圆心P 在函数6y x（x ＞0）的图象上运动. （1）当⊙P 与x 轴相切时，求点P 的坐标；（2）当⊙P 与坐标轴相离时，点P 的横坐标x 的取值范围是什么？。
直线与圆的位置关系及切线的判定与性质(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第05讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质1. 了解直线与圆的三种位置关系；2. 了解圆的切线的概念；3. 掌握直线与圆位置关系的性质。
知识点1 直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；知识点2 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
知识点3 切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠知识点4 三角形的内切圆和内心1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2c b a -+ 。
（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。
C【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O 的直径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O 半径为4cm ，若直线上一点P 与圆心O 距离为4cm ，那么直线与圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切P BAO B O A D【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（）A．2B．2C．3D．3【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（）A．B．C．3D．6【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C 的度数为（）A．42°B．45°C．46°D．48°【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．40°C．25°D．50°【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【题型3切线的判定】【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的⊙O 交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是⊙O的切线．【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．求证：DE是⊙O的切线．【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD ＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O 的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，P A与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求P A的长．【变式5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【典例6】（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7B．8C．9D．16【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，CD 切⊙O于点E，且分别交P A，PB于点C，D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．12D．10【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝8，则△PCD 的周长为（）A．8B．12C．16D．20【题型6 三角形的内切圆与内心】【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A ＝70°，则∠BOC的度数是（）A．140°B．135°C．125°D．110°【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A．3步B．5步C．6步D．8步【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C ＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（）（结果保留π）A．πB．2πC．3πD．4π【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．21．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°2．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交P A于点P，则∠P的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．50°4．（2023•滨州）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为．5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．6．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是．7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC 交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．1．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点O与⊙O的圆心重合，一条直角边AB与⊙O相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（）A．60°B．65°C．85°D．90°4．（2023•船营区一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（）A．15°B．20°C．30°D．45°5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC ＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．13cm B．8cmC．6.5cm D．随直线MN的变化而变化8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．9．（2022•南安市一模）如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于．10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线．11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线．12．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝4，求⊙O的半径长．14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，CB＞AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝BC．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若CE＝2，EB＝8，求⊙O的半径．。
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∠A=40°，则 EC 的度数为( ) A. 100° B. 130° C. 80° D. 40°
4. 已知, 如图, AB切⊙O于C, CO的延长 线交⊙O于D, AD交⊙O于E, BD交⊙O 于F, 连结CE、CF, 则图中的直角三角 形共有( )个. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.如图,AB切⊙O于B, ACD是过O点的割 线， 为130°，则∠A为 ( ) BD A. 20° B. 40° C. 50° D. 45°
6.已知,如图，AB切⊙O于C，过C点作 AB的垂线交⊙O于D，BD交⊙O于E， 若∠B=46°，则 DE 的度数为( ) A. 46° B. 44° C. 92° D. 88°
AD= cm.
cm,
3.已知, AB切⊙O于C, AC=2, BC=3, ⊙O的半径为1, 则△OAB 的周长为 .
4.已知,如图，AB是⊙O的直径，BC 是⊙O的切线，AC交⊙O于D，且 AD=DC，则∠C的度数为______.
二、填空题 (每小题2分, 共16分)
1、 30°， 12cm
8 4 2、 ， 3 3
一、选择题 (每小题2分, 共16分)
1.如图,AB切⊙O于C，AO⊥OB， 则图中的相似三角形共有( )对 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.如图, PA切⊙O于A, PA= 3 cm, ∠APO=30o, 则PO的长为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 2cm D. 2 3cm
3.已知, 如图，AB切⊙O于C，AO交
★★★★ 7. 如图,AB是⊙O的直径, DC 切⊙O于E, AD⊥DC于D, BC⊥DC于C, AD=4，BC=1, 则四边形ABCD的面积为 ( )cm2 A. 254ຫໍສະໝຸດ B. 10C. 5
D. 20
★★★ 8.如图, PA、PB切⊙O于A、B， C是⊙O上一点，且∠ACB=50°，则 ∠P的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 80° D. 100°
一、选择题 (每小题2分, 共16分)
1、 C
4、 D 7、 B
2、 C
5、 B 8、 C
3、B
6、C
二、填空题 (每小题2分, 共16分)
1.如图, AB是⊙O的切线，AC是弦，AD 是直径，∠BAC=30°，AC=6cm，则 ∠CDA=______，AD=______.
2.已知, AB切⊙O于C, OA交 ⊙O于D, ⊙O的半径为2cm, AC:AD=2:1, 则AC=
3、 5 5 10 或 1 5 10 4、 45o