12《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
苏教版九年级上册数学[《一元二次方程》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高版)
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苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【388528 ：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】 根据题意得22,20,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程时，2m =-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．【388528 ：一元二次方程的根的判别式】4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在， 请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>， 所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =． 当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x ，由题意得：10（1+2x ）2﹣15（1+x ）2=10，解得 x 1=60%，x 2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型． 举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
一元二次方程九年级知识点
一元二次方程九年级知识点一元二次方程作为初中数学中的重要内容之一，是九年级数学学习的重点之一。
掌握一元二次方程的知识，不仅能够解决实际问题，还能培养学生逻辑思维和解决问题的能力。
本文将带领大家逐步了解一元二次方程的基本概念、求解方法以及相关应用。
一、一元二次方程的概念和形式一元二次方程是指含有未知数的二次项、一次项和常数项的等式。
一般表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
解一元二次方程就是要求解出未知数x的值，使得方程成立。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法当一元二次方程能够因式分解时，我们可以通过因式分解的方法来求解方程。
以方程x² - 5x + 6 = 0为例，我们可以将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后令(x - 2)和(x - 3)分别等于0，解得x的值为2和3。
2. 公式法当一元二次方程在因式分解上比较困难或无法进行因式分解时，我们可以通过公式法来求解方程。
一元二次方程的求解公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
其中带 ±的是因为方程可能有两个解。
三、一元二次方程的相关性质除了求解一元二次方程，了解一些与一元二次方程相关的性质也是很重要的。
1. 二次函数和一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是相互关联的。
一元二次方程y = ax²+ bx + c的解对应于二次函数y = ax² + bx + c的图像上的零点。
而二次函数的图像上的顶点坐标则能告诉我们方程的最值。
2. 一元二次方程根的判别式方程的根是指使方程成立的解，一元二次方程根的判别式能够告诉我们方程有几个根以及根的性质。
根的判别式为D = b²- 4ac。
当D > 0时，方程有两个不相等的实根；当D = 0时，方程有两个相等的实根；当D < 0时，方程无实根，但可能有复根。
最新华东师大初中数学九年级上册《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解． 【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0， 解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】 【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x=．(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a ≤1 D ．a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a ≥1． 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．。
《一元二次方程》知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(310m m x mx ---=是关于x的一元二次方程时，m =．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=， ∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --= 举一反三：【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t ＝1.类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?。
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一元二次方程章节复习一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x xkx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。
★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
华东师大初中数学九年级上册《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）:【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【388528 根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ． 【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【388528 利用定义求字母的值】【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x=．(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ 11t =，212t =． 类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a ≥1．故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=．∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤．因为y随m的增大而减小，故当12m 时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．。
人教版数学九年级上学期课时练习- 《一元二次方程》全章复习与巩固(巩固篇)(人教版)
专题21.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知方程20x bx a -+=，有一个根是()0a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）．A ．abB ．a bC ．a b +D ．-a b2．已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-3．若a ，b 10a -=，则2a b -=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法．类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段AE 上，标注点B 的新位置F ，则EF EB =． 类似地，再在AB 上折出点M 使AM AF =，则表示方程210x x +-=的一个正根的是（ ）A ．线段BM 的长B ．线段AM 的长C ．线段BE 的长D ．线段AE 的长5．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a b cd＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ）AB ．C ．3D ．6．若关于x 的方程()()22222280x x x x +++-=有实数根，则22x x +的值为（ ） A ．－4B ．2C ．－4或2D ．4或－27．已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x ，且满足122x x =，则12x x +的值为（ ）A ．4B ．-4C ．4或-2D ．-4或28．若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，且a 2＋b 2＝12，则k 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-或19．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（ ）A ．()2170%a x a -= B ．()2170%a x a += C ．()2130%a x a -=D ．()230%1x a a +=10．如图，在△ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ）A ．2秒钟B ．3秒钟C ．3秒钟或5秒钟D ．5秒钟11．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M 的值为5，那么输入x 的值为（ ）A ．－8B ．－2C ．1D ．8二、填空题12．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．13．若1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则()()22112222x x x x +-+-的值为______．14．已知x ，那么2263x x +-的值是______． 15．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 _____．16．已知一元二次方程214480x x -+=的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．17a =_____________． 18．设12,x x 是一元二次方程2530x x -+=的两个根，则1211x x +=__________． 19．已知26a －100a ＋7＝0以及27b －100b ＋6＝0，且ab ≠1，则ab的值为__________．20．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为___________．21．如图，已知Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝30°，BC ＝3，D 是边AB 上的一点，将△BCD 沿直线CD 翻折，使点B 落在点B 1的位置，若B 1D △BC ，则BD 的长度为 _____．22．如图，在一块长为22m ，宽为14m 的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m 2，则小路的宽为________m ．23．如图，在矩形ABCD 中，65AB AD ==，，点E 是AB 上一点，且5BE =，连接CE ，点F 是线段DC 上一点，将ADF 沿AF 折叠，使得点D 的对应点D 落在线段CE 上，则DF 的长度为___________．三、解答题 24．解方程（1）2699910x x --=； （2）()()22352360x x ---+=；（3）2223x a ax +=（配方法）； （4）2210mx x -+=.25．阅读材料：若m2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，求m 、n 的值. 解：△m 2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，△(m 2－2mn ＋n 2)＋(n 2－8n ＋16)＝0△(m －n)2＋(n －4)2＝0，△(m －n)2＝0，(n －4)2＝0，△n ＝4，m ＝4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a 2＋6ab ＋10b 2＋2b ＋1＝0，求a －b 的值；(2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2＋b 2－4a －6b ＋11＝0，求△ABC 的周长；(3)已知x ＋y ＝2，xy －z 2－4z ＝5，求xyz 的值.26．关于x 的方程()()22210x m x m -++-=(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m 的值：(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长27．苏科版九上数学p 31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2﹣2x ＝0，可以通过因式分解把它转化为x （x 2+x ﹣2）＝0，解方程x ＝0和x 2+x ﹣2＝0，可得方程x 3+x 2﹣2x ＝0的解．（1）问题：方程x 3+x 2﹣2x ＝0的解是x 1＝0，x 2＝ ，x 3＝ ；（2）用“转化”x 的解； （3）拓展：若实数x 满足x 2+2133x x x --＝2，求x +1x的值28．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m 元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了143m 个，“雪容融”的销量比第一周增加了m 个，最终商家获利6600元，求m ．参考答案1．C 【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可．解：△方程20x bx a -+=，有一个根是()0a a -≠，△20a ab a ++=， △(1)0a a b ++=， △0a ≠， △10a b ++=， △1a b +=-， 故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键．2．C 【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．解：设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7， x 2-2px +p 2=7， △x 2-2px =7-p 2， △x 2-2px +4=11-p 2，△方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，△-2p =-6，a =11-p 2， △p =3，a =11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键． 3．C【分析】首先根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得a 、b 的值，再把a 、b 的值代入代数式，即可求得其值．解：24410a a +-=0≥，10a -≥2244010a ab b a ⎧++=∴⎨-=⎩由a -1=0解得a =1把a =1代入22440a ab b ++=，得 2440b b ++=，得()220b +=解得b =-2故()2122145a b -=-⨯-=+= 故选：C【点拨】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性质是解决本题的关键．4．B 【分析】设正方形的边长为1，AF AM x ==，根据勾股定理即可求出答案． 解：设正方形的边长为1，AF AM x ==，则12BE EF ==，12AE x =+， 在Rt △ABE 中， △222AE AB BE =+， △22211()1()22x +=+，△210x x +-=，△AM 的长为210x x +-=的一个正根． 故选：B ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据勾股定理列出方程． 5．D 【分析】根据新定义可得方程（x +1）（2x -3）=x （x -1），然后再整理可得x 2=3，再利用直接开平方法解方程即可．解：由题意得：（x +1）（2x -3）=x （x -1），整理得：x 2=3，两边直接开平方得：x故选：D ．【点拨】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．6．B 【分析】设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得y 的值，即可得到22x x +的值． 解：设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得：14y =-，22y =，当4y =-时，224x x +=-，即2240x x ++=，△224140=-⨯⨯<，方程无解， 当2y =时，222x x +=，即2220x x +-=，△()22412=120=-⨯⨯->，方程有实数根，22x x ∴+的值为2，故选：B ．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把22x x +看成一个整体来计算，即换元法思想．7．B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m 的值，即可求解．解：关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x ，212122,x x m x x m m ∴+=-⋅=-，22(2)4()40m m m m ∆=--=>0m ∴>，122x x =，即22m m -=，解得2m =或1-，2m ∴=，12224x x ∴+=-⨯=-，故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个实数根是12,x x ，那么12b x x a +=-，12cx x a=；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．8．A 【分析】先根据a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，求出∆2416k k =-≥0，由一元二次方程根与系数关系得到a ＋b ＝2k ，ab ＝4k ，利用a 2＋b 2＝12，求出k 的值，再代入∆2416k k =-验证即可．解：△a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，△2Δ(2)414k k =--⨯⨯ 24160k k =-≥a ＋b ＝2k ，ab ＝4k 22a b + 2()2a b ab =+- 2(2)24k k =-⨯248k k =-△248k k -＝12 解得11k =-，23k = 当11k =-时，∆2416k k =- 24(1)16(1)=⨯--⨯-200=>△11k =-符合题意，当23k =时，∆2416k k =-243163=⨯-⨯120=-<△23k =不符合题意，应舍去，综上，k 的值是﹣1．故选：A【点拨】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a． 9．C【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为x ，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，∴ 去年下半年平均每周作业时长为()1a x -分钟，今年上半年平均每周作业时长为()21a x -分钟，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，()()21170%a x a ∴-=-，()2130%a x a ∴-=． 故选：C ．【点拨】本题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．10．B【分析】设运动时间为t 秒，则PB =（8-t ）cm ，BQ =2t cm ，由三角形的面积公式结合△PBQ 的面积为15cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：设运动时间为t 秒，则PB =（8-t ）cm ，BQ =2t cm ， 依题意，得：12×2t •（8-t ）=15，解得：t 1=3，t 2=5，△2t ≤6，△t ≤3，△t =3．故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．A【分析】利用程序框图的算法列方程，求出x ，然后比较大小即可得出答案．解：如图所示：设x 3＞；输出M 的值为5，△x x 235， 解得()()120x x +-=，解得x x 1212，， △x x 121323＜，＜不合题舍去，设3x ≤；输出M 的值为5， △x152， △8x =，△解得x x 1288，， △x 183＞舍去x 283＜，△当输入x =-8时，输出M 的值为5．故选择A ．【点拨】本题主要考查了程序框图，一元一次特征方程，一元二次方程，比较大小，正确理解计算程序是解题关键．12．32##1.5##112【分析】根据方程根的定义得到223am bm -=，223an bn -=，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利用整体代入，得到关于a 的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．解：△关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，△2230am bm --=，2230an bn --=△223am bm -=，223an bn -=△(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，△[2（am 2－2bm ＋a ）] [3(an 2－2bn )－2a ]＝54△2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =△ab ≠0△a ，b 均为非零实数， △32a = 故答案为：32【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．13．1【分析】根据题意，22112210,10x x x x +-=+-=，变形代入计算即可．解：△1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，△22112210,10x x x x +-=+-=，△()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，利用定义变形代入计算是解题的关键．14．-5【分析】先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．解：△x =， △2263x x +-()2233x x =+-29152342x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ 2315222x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 21522=-⎝⎭ 21522=⨯-⎝⎭ 51522=- 5=-，故答案为：-5．【点拨】本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．15．22+10a b ab ≥【分析】因为矩形的长和宽分别为a 、b ，所以其周长和面积分别为2(a +b )和ab ，设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．解：设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ， 即()211-++=033x a b x ab ， △存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一△方程有解， △△=21()1433ab a b ⎡⎤-⎥⨯+⎢⎣⎦=221214++-9993a ab b ab =221101-+999a ab b ≥0 △22-10+0a ab b ≥△22+10a b ab ≥故答案为：22+10a b ab ≥．【点拨】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．16．20【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．解：()()21448680x x x x -+=--=，则x 1=6，x 2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，5=，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20【点拨】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．17．-3【分析】根据同类二次根式的定义可得238103a a -=-，由此求解即可解：△△238103a a -=-，△260+-=a a△3a =-或2a =，△两个根式都是最简根式，△2a =当a =3时，二次根式有意义且符合题意，故答案为-3．【点拨】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式18．53##213【分析】根据根据根与系数的关系得125x x +=，123x x ⋅=，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．解：△12,x x 是一元二次方程2530x x -+=的两个根△125x x +=，123x x ⋅= △1211221153x x x x x x ++== 故答案为：53【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．当x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时1212b c a ax x x x +=-=，． 19．76【分析】第2个方程两边同除以b ²，得到与第一个方程相似的方程，所以a ,1b可看成一元二次方程2610070x x -+=的两个根，利用根与系数的关系可求得a b的值． 解：△27b －100b ＋6＝0，△211610070b b⨯-⨯+=， △26a －100a ＋7＝0，△a 、1b是方程26x －100x ＋7＝0的两个根， △由根与系数的关系可知：176a ab b ⨯==． 故答案为：76． 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关键是把两个数看成一个一元二次方程的两个根．20．233(1)3(1)10x x ++++=【分析】若把增长率记作x ，则第二天票房约为3（1+x ）亿元，第三天票房约为3（1+x ）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：若把增长率记作x ，则第二天票房约为3（1+x ）亿元，第三天票房约为3（1+x ）2亿元，依题意得：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=10．故答案为：：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=10．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21延长B 1D 交BC 于E ，由B 1D △BC ，根据含30角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE ＝12BD ，BE ，设BD ＝x ，在Rt△B 1CE 中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．解：延长B 1D 交BC 于E ，如图：△B1D△BC，△△BED＝△B1EC＝90°，△△B＝30°，△DE＝1BD，2△BE，设BD＝x，△将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，△B1D＝x，△BC＝3，△CE＝3，B1C＝BC＝3，在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，x）2+（3）2＝32△（x+12x x=△(0△x＝0（舍去）或x△BD【点拨】本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含30角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含30角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．22．2【分析】设小路宽为x m ，则种植花草部分的面积等同于长（22-x ）m ，宽（14-x ）m 的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设小路宽为xm ，则种植花草部分的面积等同于长（22-x ）m ，宽（14-x ）m 的矩形的面积，依题意得：（22-x ）（14-x ）=240，整理得：x 2-36x +68=0，解得：x 1=2，x 2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．52【分析】过D'作D 'G △AB 于G ，D 'H △AD 于H ，连结DD'，则由题意和勾股定理可以得到HD'=AG =4，AH =3，DH =2，设DF =y ，则由''2AHD ADF DHD F S SS +=四边形可得关于y 的方程，解方程即可得到DF 的值．解：如图，过D'作D 'G △AB 于G ，D 'H △AD 于H ，连结DD'，由题意可得EB =BC =5，△△CEG =45°，△EG =GD'，设EG =GD '=x ，又由题意可得AD'=AD =5，AG=AE+EG=AB -BE+EG =1+x△在RT △AGD'中，()22215x x ++=，解之可得GD'=x =3，△HD'=AG =4，AH =3，DH =2，设DF =y ，则由''2AHD ADF DHD F S S S +=四边形可得：()423452222y y +⨯⨯+=⨯， 解之可得y =52，即DF =52， 故答案为：52． 【点拨】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握勾股定理的应用、矩形与轴对称的性质及方程思想方法的运用是解题关键．24．（1）1103x =，297x =-；（2）152x =，23x =；（3）12x a =，2x a =；（4）△当0m =时， 12x =；△当0m ≠时，若1m ，x =；若1m ，方程无解【分析】（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）利用因式分解法即可求得方程的解；（3）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；（4）分m=0和0m ≠两种情况考虑，当0m ≠时，再分△≥0和△＜0两种情况考虑，即可得到方程的解．（1）2699910x x --=解：26910000x x -+= ()2310000x -=3100x -=或3100x -=-1103x =，297x =-；（2）()()22352360x x ---+=解：()()2322330x x ----=2320x --=或2330x --=152x =，23x =； （3）2223x a ax += 解：2222993244x ax a a a -+=-+ 223124x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3122x a a -=± 1322x a a =±+ 12x a =，2x a =； （4）2210mx x -+=解：△当0m =时，210x -+=，解得：12x =；△当0m ≠时，44m ∆=-，若440m -≥，即1m ，x 若440m -<，即1m ，方程无解．【点拨】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．25．（1）4；（2）7；（3）2试题分析：（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．解：（1）△a 2+6ab+10b 2+2b+1=0，△a 2+6ab+9b 2+b 2+2b+1=0，△（a+3b ）2+（b+1）2=0，△a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a -b=4；（2）△2a 2+b 2-4a -6b+11=0，△2a 2-4a++2+b 2-6b+9=0，△2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，△△ABC的周长为1+3+3=7；（3）△x+y=2，△y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，△x2-2x+1+z2+4z+4=0，△（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，△xyz=2．【点拨】本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.26．(1)答案见解析【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将x=1代入方程可确定m的值；（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．解：(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，△a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，△b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，△在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即b2−4ac＞0，△关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程可得：12−(m+2)+(2m−1)=0，解得：m =2；(3)△m =2，△方程为x 2−4x +3=0，解得：x 1=1或x 2=3，△方程的另一个根为x =3；△直角三角形的两直角边是1、3，，△，△直角三角形的周长为1＋3【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．27．（1）-2，1；（2）x ＝3；（3）4【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）把无理方程化为整式方程x 2﹣2x ﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；（3）先表示得到（x +1x ）2﹣3（x +1x ）﹣4＝0，利用因式分解法得到x +1x ＝4或x +1x＝﹣1，由于x +1x ＝﹣1化为x 2+x +1＝0，此方程没有实数解，从而得到x +1x的值为4． 解：（1）x 3+x 2﹣2x ＝0，x （x 2+x ﹣2）＝0，x （x +2）（x ﹣1）＝0，x ＝0或x +2＝0或x ﹣1＝0，所以x 1＝0，x 2＝﹣2，x 3＝1；故答案为0，﹣2，1；（2）两边平方得2x +3＝x 2，整理得x 2﹣2x ﹣3＝0，因式分解得()()310x x -+=解得x 1＝3，x 2＝﹣1，经检验，x ＝3为原方程的解；（3）22133x x x x+--＝2， 211340x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11410x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 140x x +-=或110x x++=， △11x x +=-化为x 2+x +1＝0，△=1-4=-40<,此方程没有实数解舍去， △x +1x的值为4． 【点拨】本题考查高次方程的解法、无理方程、分式方程的解，掌握高次方程的解法、无理方程、分式方程的解都转化为低次方程，有理方程，和整式方程来解是解题关键．28．(1)每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元(2)m 的值为10【分析】（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为x 元，每个“雪容融”的进价为y 元，再根据题意建立方程，解方程即可；（2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可．(1)解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为x 元，每个“雪容融”的进价为y 元，依题意得△203040x x y y ==-⎧⎨⎩． 解得：12080x y =⎧⎨=⎩． 答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元．(2)解：依题意得：14(150120)(120)(10080)(150)66003m m m -++--+=， 整理得：2100m m -=，解得：110m =，20m =（不合题意，舍去）．答：m 的值为10．【点拨】本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．。
《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习(提高)
《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A.－1B.0C.1D.－1或12．已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---的值为（ ） A.152-+ B.152-± C.﹣1 D.1 3．（2015•德州）若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜1B ． a≤4C ． a≤1D ． a≥14．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）A ．2m ≠B ．6m ≤且2m ≠C ．6m <D ．6m ≤5．如果是α、β是方程2234x x +=的两个根，则22αβ+的值为（ ） A ．1 B ．17 C ．6.25 D ．0.256．（2016•台州）有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）A ．x （x ﹣1）=45B ．x （x +1）=45C ．x （x ﹣1）=45D ．x （x +1）=457. 方程x 2+ax+1=0和x 2-x-a=0有一个公共根，则a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．38. 若关于x 的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足． 则k 的值为（ ）A.－1或B.－1C.D.不存在二、填空题9．关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2(2)0a x m b +++=的解是 .10．已知关于x 的方程x 2+2(a+1)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)＝0有实根，则a 、b 的值分别为 ．11．已知α、β是一元二次方程2430x x --=的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．12．当m=_________时，关于x 的方程是一元二次方程；当m=_________时，此方程是一元一次方程.13．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.14．（2015•绥化）若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣1=0无解，则a 的取值范围是 .15．已知，那么代数式的值为________.16．当x=_________时，既是最简二次根式，被开方数又相同.三、解答题17. （2016•南充）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．18．设(a ，b)是一次函数y ＝(k-2)x+m 与反比例函数n y x =的图象的交点，且a 、b 是关于x 的一元二次方程22(3)(3)0kx k x k +-+-=的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．（1）求k 的值；（2）求一次函数与反比例函数的解析式．19. 长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： ①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠?20．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.【答案与解析】一、选择题1．【答案】A ；【解析】先把x ＝0代入方程求出a 的值，然后根据二次项系数不能为0，把a ＝1舍去．2．【答案】D ； 【解析】先化简22211a a a---，由a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，得a 2+a ﹣1=0，则a 2+a=1， 再整体代入即可．解：原式=2(1)(1)(1)a a a a a -++-=1(1)a a +， ∵a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，∴a 2+a ﹣1=0，即a 2+a=1，∴原式=1(1)a a +=1． 故选D ．3．【答案】C ；【解析】∵ 关于x 的一元二次方程有实根，∴ △=b 2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故选C ．4.【答案】D ；【解析】△≥0得6m ≤，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根.5．【答案】C ；【解析】22+=+-=6.25αβαβαβ2（）2.6.【答案】A ．【解析】∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x （x ﹣1），∴共比赛了45场，∴x （x ﹣1）=45，故选A ．7．【答案】C ；【解析】提示：先求公共根m=-1,再把这个公共根m=-1代入原来任意一个方程可求出a=2.8．【答案】C ；【解析】由题意，得： 22121211=1k k k k k x x x x k ⎧⎪⎧⎪=-=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩4≤≥0435 当时，不符合≤，舍去，故354或4. 二、填空题9．【答案】x 1=﹣4，x 2=﹣1．【解析】解：∵关于x 的方程a （x +m ）2+b =0的解是x 1=﹣2，x 2=1，（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），∴则方程a （x+m +2）2+b =0的解是x 1=﹣2﹣2=﹣4，x 2=1﹣2=﹣1．故答案为：x 1=﹣4，x 2=﹣1．10.【答案】a ＝1，12b =-． 【解析】 判别式△＝[2(a+1)]2-4(3a 2+4ab+4b 2+2)＝4(a 2+2a+1)-(12a 2+16ab+16b 2+8)＝-8a 2-16ab-16b 2+8a-4＝-4(2a 2+4ab+4b 2-2a+1)＝-4[(a 2+4ab+4b 2)+(a 2-2a+1)]．＝-4[(a+2b)2+(a-1)2]．因为原方程有实根，所以-4[(a+2b)2+(a-1)2]≥0，(a+2b)2+(a-1)2≤0，又∵ (a+2b)2≥0，(a-1)2≥0，∴ a-1＝0且a+2b ＝0，∴ a ＝1，12b =-． 11．【答案】-6；【解析】∵ α、β是一元二次方程2430x x --=的两实数根，∴ α+β＝4，αβ＝-3．∴ (3)(3)3()933496αβαβαβ--=-++=--⨯+=-．12．【答案】-3；． 13．【答案】；2或6.【解析】即2(-)232a a =-.a=2或6.14.【答案】a ＜﹣1；15.【答案】-2；【解析】原方程化为：. 16.【答案】-5；【解析】由x 2+3x=x+15解出x=-5或x=3,当x=3时，不是最简二次根式，x=3舍去.故x=-5.三、解答题17.【答案与解析】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m +1）≥0，解得m ≤4；（2）根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=2m +1，而2x 1x 2+x 1+x 2≥20，所以2（2m +1）+6≥20，解得m ≥3，而m ≤4，所以m 的范围为3≤m ≤4．18. 【答案与解析】(1)因为关于x 的方程22(3)(3)0kx k x k +-+-=有两个不相等的实数根，所以220,44(3)4(3)0,k b ac k k k ≠⎧⎨=-=--->⎩△ 解得k ＜3且k ≠0， 又因为一次函数y ＝(k-2)x+m 存在，且k 为非负整数，所以k ＝1．(2)因为k ＝1，所以原方程可变形为2420x x --=，于是由根与系数的关系知a+b ＝4，ab ＝-2， 又当k ＝1时，一次函数y x m =-+过点(a ，b)，所以a+b ＝m ，于是m ＝4，同理可得n ＝-2， 故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为4y x =-+与2y x =-． 19. 【答案与解析】(1)设平均每次下调的百分率是x ．依题意得5000(1-x)2＝4050．解得x 1＝10%，x 2＝1910(不合题意，舍去)． 答：平均每次下调的百分率为10%．(2)方案①优惠：4050×100×(1-0.98)＝8100(元)；方案②优惠：1.5×100×12×2＝3600(元)∵ 8100＞3600．∴ 选方案①更优惠.20. 【答案与解析】(1) 设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要(2x －10)天.根据题意,有11121012x x +=-， 解得x 1=3，x 2=20. 经检验均是原方程的根，x 1=3不符题意舍去.故x=20.∴乙队单独完成需要 2x －10=30(天).答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天.(2) 设甲队每天的费用为y 元，则由题意有12y+12(y －150)=138 000，解得y=650 .∴ 选甲队时需工程费用650×20=13 000，选乙队时需工程费用500×30=15 000.∵ 13 000 <15 000，∴ 从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.。
新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义
新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义新人教版初中数学一元二次方程全章复知识点及讲义内容简介：1.了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0).2.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用。
3.掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题。
4.掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题。
5.会解一元二次方程应用题。
知识点一：一元二次方程的定义及一般形式知识要点】一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2x^2+11x-2=0C。
ax+bx+c=2D。
x+2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x针对练：1、方程8x=7的一次项系数是8，常数项是7.2、若方程(m-1)x+(m+3)m x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为-2或1.知识点二：一元二次方程的解知识要点】1、当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、在ax+bx+c=0(a≠0)中，x取特殊值时，a、b、c之间满足的关系式。
例1、已知2y+y-3的值为2，则4y+2y+1的值为11.例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，则a的值为5.例3、一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程x^2-8x+5m=0的两个根，则m的值为10.针对练：1、已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-2.2、已知m是方程x^2-x-1=0的一个根，则代数式m^2-m-1=0.3、已知a是x^2-3x+1=0的根，则2a-6=0，a=3.4、方程(a-b)x+(b-c)x+c-a=0的一个根为（）A。
《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解 》 配套 2022人教版
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x>，120x x+>时，两根同为正数；当△≥0且120x x>，120x x+<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x<时，两根异号．当△＞0且120x x<，120x x+>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x<，120x x+<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b+，则必有一根a b-（a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（2020•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【变式】（2020•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤，且k ≠0. 则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1． 举一反三：【变式】已知：关于x 的方程2(1)04kkxk x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设x 1、x 2是方程22610x x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得1262x x +=，1212x x =-，要求2212x x +，212()x x -，122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知1262x x +=，1212x x =-，所以（1）222121212()2x x x x x x +=+-26135212222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）22121212()()4x x x x x x -=+-26137422222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-． 【总结升华】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21.举一反三：【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1）134； （2）3．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x-和x+积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( )．A．54m B．63m C．93m D．183m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．（2020•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴. 4.【答案】A；【解析】OM最长是半径5；最短是OM⊥AB时，此时OM=3，故选A.5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，∴MN 为△POQ 的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a -； 2(222)a -；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =-，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α， 则12(2)180n n ααα+++=-…°，∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ 2215l h r =+=，∴ 223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720S ππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH∵FH∥BC ，∴OF垂直平分BC∴BF FC∴AF平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3∠FDB=∠FBD∴BF=FD.18．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB＝120AB CDEO12345HAB CDEO12r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝(2)180n n-°时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。
一元二次方程练习教案：巩固知识点,提高解题技巧
一元二次方程练习教案：巩固知识点，提高解题技巧一元二次方程是中学数学中的重要内容，在高中阶段也会有更加深入的学习。
对于中学数学学习者而言，熟练地掌握一元二次方程的解法以及对于方程的各项系数以及解的含义的理解非常重要。
同时，一元二次方程在各种实际问题中也有着广泛的应用，比如在物理学、化学、经济学等领域都有着重要的地位。
本文将着重介绍如何巩固自己的一元二次方程解题技巧。
一、复习知识点在进行一元二次方程的练习之前，需要复习方程的基本知识点。
具体而言，大家需要掌握如下内容：1、什么是一元二次方程？一元二次方程是指形如ax²+bx+c = 0的方程，其中x为未知数，a、b、c为已知系数且a ≠ 0。
2、怎样求一元二次方程的解？（1）因式分解法：针对某些特殊的一元二次方程，可以利用因式分解的方法解出其解。
比如，x²-5x+6 = 0就可以利用因式分解的方法解得x=2或x=3。
（2）配方法：利用配方法可以将一元二次方程化为完成平方式或差平方式，从而更容易求出方程的解。
（3）公式法：根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可以表示为：$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$3、一元二次方程有哪些性质？（1）定理1：对于一个一元二次方程ax²+bx+c，如果a>0，则方程存在解的情况下，其解的个数为1或2。
（2）定理2：对于一个一元二次方程ax²+bx+c，如果其有实数根，则其解的判别式D=b²-4ac≥0。
（3）定理3：对于一个一元二次方程ax²+bx+c，如果其有实数根，则其解的求法如下：①当D>0时，其实数根为x1,x2或x2,x1，其中x1,x2为$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$②当D=0时，方程有唯一实根为$$x=\frac{-b}{2a}$$③当D<0时，方程无实根。
专题17.11 《一元二次方程》全章复习与巩固(知识讲解)-2020-2021学年八年级数学
专题17.11 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和−−−→降次因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 )0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =211.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．方程（m ﹣1）x |m |+1﹣4x +3=0是一元二次方程，则m 满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．【答案】m =﹣1 ﹣2 ﹣4 3【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．解：根据题意得，|m |+1=2且m ﹣1≠0，解得m =1或﹣1且m ≠1，所以，m =﹣1，m ﹣1=﹣1﹣1=﹣2，所以，此方程为22430x x --+=，所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．故答案为：m =﹣1；﹣2，﹣4，3．【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式是：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 举一反三：【变式】若22(2)310m m x x -++-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______．【答案】2【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数进行分析即可．解：∵22(2)310m m x x -++-=是关于x 的一元二次方程，∵m 2-2=2，且m+2≠0，解得：m=2．故答案为：2．【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 类型二、一元二次方程的解法2．解下列方程（1）2250x x --=（配方法）；（2）23(2)(2)x x x -=-（因式分解法）；（3）(2)(35)1t t --=（公式法）．【答案】（1）11x =21x =；（2）12x =，23x =；（3）1116t +=，2116t =． 【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）整理后求出24b ac -的值，再代入公式求出即可；解：（1）2250x x --=，225x x -=，配方得：22151x x -+=+，2(1)6x -=，开方得：1x -=解得：11x =21x =；（2）23(2)(2)x x x -=-，23(2)(2)0x x x ---=，(2)[3(2)]0x x x ---=，20x -=，3(2)0x x --=，12x =，23x =；（3）(2)(35)1t t --=，整理得：231190t t -+=，∵a=3，b=-11，c=9∵224(11)43913b ac -=--⨯⨯=>0 ，∵t ==解得：1116t +=，2116t =．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能灵活运用各种方法解方程是解此题的关键．举一反三：【变式】按要求的方法解方程，否则不得分．（1）2450x x -=+（配方法）（2）22730x x -+=（公式法）（3）(1)(2)24x x x ++=+（因式分解法）【答案】（1）1215x x ==-，；（2）12132x x ==，；（3）1221x x ，=-=． 【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）方程整理后利用因式分解法解方程即可．解：（1）2450x x -=+，移项得：245x x +=，配方得：24454x x ++=+，即()229x +=，直接开平方得：23x +=±，∵1215x x ==-，；（2）22730x x -+=，∵2a =，7b =-，3c =， ()2247423250b ac =-=--⨯⨯=>，∵754x ±==， ∵12132x x ==，；（3）(1)(2)24x x x ++=+，整理得：23224x x x ++=+，即220x x +-=，因式分解得：()()210x x +-=，∵20x +=或10x -=，∵1221x x ，=-=．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．已知关于x 的一元二次方程()212102x k x k +++-=，求证：不论k 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．【分析】根据一元二次方程的根的判别式得出∵=()212?412k k ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，然后对此进行化简，最后根据化简结果进一步求证即可. 解：由题意得：∵=()212?412k k ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=228k k ++=()217k ++， ∵()210k +≥，∵()2170k ++>， ∵不论k 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+3）x+k 2+3k+2＝0．（1）证明：无论k 为何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若∵ABC 的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+3）x+k 2+3k+2＝0的两个实根，第三边BC 的长是5．∵当k ＝2时，∵ABC 是 三角形？（直接写出结果）∵当k 为何值时，∵ABC 是等腰三角形？【答案】（1）证明见解析；（2）∵直角；∵当k ＝3或k ＝4时，∵ABC 是等腰三角形【分析】（1）由∵＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k 2+3k+2）＝1＞0即可证明；（2）∵直接将k 代入，根据题意得出AB 、AC 的长，再利用勾股定理逆定理得出即可； ∵利用因式分解法解方程求得x 1＝k+1，x 2＝k+2，根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：AB ＝AC ，AB ＝BC ，BC ＝AC ，据此求解可得．解：（1）∵∵＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k 2+3k+2）＝4k 2+12k+9﹣4k 2﹣12k ﹣8＝1＞0，∵无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵当k＝2时，x2﹣（2k+3）+k2+3k+2＝0为：x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，∵32+42＝52，∵∵ABC是直角三角形，故答案为：直角．∵∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，∵[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，解得：x1＝k+1，x2＝k+2，当AB＝AC时，k+1＝k+2，显然不存在；当AB＝BC时，k+1＝5，解得k＝4，此时AC= k+2=6，而5＋5＞6，故满足题意；当BC＝AC时，k+2＝5，解得k＝3，此时AB= k+1=4，而4＋5＞5，故满足题意；；综上，当k＝3或k＝4时，∵ABC是等腰三角形．【点拨】此题考查的是一元二次方程根的情况和一元二次方程的应用，掌握一元二次方程根的情况和∵的关系、勾股定理的逆定理和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4.已知关于的一元二次方程：.(1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出∵=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论．解：（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中，∵=[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0，∵对于任意实数t，方程都有实数根；（2）解：设方程的两根分别为m、n，∵方程的两个根互为相反数，∵m+n=t ﹣1=0，解得：t=1．∵当t=1时，方程的两个根互为相反数．考点：根与系数的关系；根的判别式.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程的两实数根为，．（1）求m 的取值范围；（2）设，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为．∵ 原方程有两个实数根．∴ ，∴ ． （2） ，且． 因为y 随m 的增大而减小，故当时，取得最小值1． 类型五、一元二次方程的应用5．如图，直线y ＝43x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）过B 点作直线与x 轴交于点P ，若∵ABP 的面积为8，试求点P 的坐标．（3）点M 是OB 上的一点，若将∵ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B 1处，求出点M 的坐标．（4）点C 在y 轴上，连接AC ，若∵ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，请直接写出点C 的坐标．【答案】（1）点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4）；（2）点P 的坐标为（1，0）或（﹣222(1)x m x m =--1x 2x 12y x x =+222(1)0x m x m +-+=22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△12m ≤1222y x x m =+=-+12m ≤12m =7，0）；（3）点M 的坐标为（0，1.5）；（4）点C 的坐标为（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）．【分析】（1）分别令y=0和x=0，即可得到A 、B 两点的坐标；（2）设点P （x ，0），则由∵ABP 的面积可得关于x 的方程，解方程即可得到点P 的坐标；（3）由（1）可得OA 、OB ，再由勾股定理可得AB ，从而得到1B 的坐标，设点M 的坐标为（0，m ），再由1MB MB =可得关于m 的方程，解得m 可得点M 的坐标；（4）设点C （0，t ），则当AB ＝BC 或AB ＝AC 时分别可以得到关于t 的方程，解方程即可得到点C 的坐标．解：（1）对于y ＝43x +4，令y ＝0，即y ＝43x +4＝0，解得x ＝﹣3，令x ＝0，则y ＝4， 故点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4）；（2）设点P （x ，0），则∵ABP 的面积＝12×AP ×OB ＝12×4×|x +3|＝8，解得x ＝1或﹣7， 故点P 的坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）由点A 、B 的坐标知，OA ＝3，BO ＝4，则AB 5＝AB 1，故点B 1的坐标为（2，0），设点M 的坐标为（0，m ），由题意得：MB ＝MB 1，即m 2+4＝（m ﹣4）2，解得m ＝1.5，故点M 的坐标为（0，1.5）；（4）设点C （0，t ），则AB ＝5，AC ，当AB ＝BC 时，则5＝|t ﹣4|，解得t ＝9或﹣1，当AB ＝AC 时，即25＝9+t 2，解得t ＝4（舍去）或﹣4，故点C 的坐标为（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点拨】本题考查图形与函数和方程的综合运用，熟练掌握一次函数的图象与性质、一元一次方程和一元二次方程的解法是解题关键．6．某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元．经市场调查发现，每袋售价每增加111 元，日均销售量减少5袋．当售价为每袋18元时，日均销售量为100袋．设口罩每袋的售价为x 元，日均销售量为y 袋．物价部门规定，该款口罩的每袋售价不得高于22元．当每袋售价定为多少元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元？【答案】每袋售价定为20元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元【分析】根据“总利润=每袋利润×日均销售量”列方程求解可得出答案．解：设每袋售价定为x 元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元，日均销售量为：()1005185190x x --=-+，根据题意可得：()()125190720x x --+=．解得：x 1=20，x 2=30．∵该款口罩的每袋售价不得高于22元，∵x =30舍去．∵x =20．答：每袋售价定为20元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．。
北师大版初中数学九年级上册知识讲解,巩固练习：第10讲《一元二次方程》全章复习和巩固
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.−−−→降次)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x|m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】 依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程是关于的一元二次方程，求m 的值．【答案】 根据题意得 解得所以当方程是关于的一元二次方程时，．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)； (2)； (3)．2(310m m x mx --=x 22,20,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩2(310m m x mx --=x m =224(3)25(2)0x x ---=225(3)9x x -=-2(21)4(21)40x x ++++=【答案与解析】(1)原方程可化为：，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0， ∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ ，． (2)， ，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0， ∴ ，． (3)， ∴ ．即， ∴ ． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三： 22[2(3)][5(2)]0x x ---=1167x =243x =25(3)(3)(3)x x x -=+-25(3)(3)(3)0x x x --+-=13x =292x =2(21)4(21)40x x ++++=2(212)0x ++=2(23)0x +=1232x x ==-22[2(3)][5(2)]x x ---【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ ，． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ ，．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ； 【解析】①当，即时，有，，有实数根； ②当时，由△≥0得，解得且． 综上所述，使关于x 的方程有实数根的a 的取值范围是．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．15x =-232x =-13x =21x =2(5)410a x x ---=50a -=5a =410x --=14x =-50a -≠2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥1a ≥5a ≠2(5)410a x x ---=1a ≥4． 为何值时，关于x 的二次方程（1）满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）满足 时,方程无实数根.【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2019•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2， ∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：k 2690kx x -+=k k k 10k k ≠＜，且1k =1k ＞ac b 42-=∆【变式】已知关于x 的方程有两个不相等的实数根、．(1)求k 的取值范围； (2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝，所以．由k-1≠0，得k ≠1. 当且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则，解得． 当时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2018•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x ，由题意得：10（1+2x ）2﹣15（1+x ）2=10，解得 x 1=60%，x 2=﹣1（舍去）．2x=120%． 2(1)(23)10k x k x k -+-++=1x 2x 224129412130k k k k -+-=-+>1312k <1312k <122301k x x k -+=-=-32k =32k =答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型．举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
华东师大初中数学九年级上册《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解． 【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0， 解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】 【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=； (3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x 2=∴x 2=用直接开平方法，得方程的根为 ∴x 1=，x 2=-．(2)原方程可化为x 2+2ax+a 2=4x 2+2ax+∴x 2=a 2用直接开平方法，得原方程的根为 ∴ x 1=a ，x 2=-a ．(3) a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x 1=，x 2=. (4)将方程整理，得(1-)x 2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x 1=0，x 2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用 这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t ＝1. 【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0． ∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0． ∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0． ∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a≤1 D ． a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a≥1． 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去． ∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【总结升华】设小正方形的边长为x cm ，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在欲砌50m 长的墙，砌成一个面积300m 2的矩形花园，则BC 的长为多少 m?【答案】解：设AB=x 米，则BC=（50﹣2x ）米． 根据题意可得，x （50﹣2x ）=300， 解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25， 故x 1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20． 答:BC 的长为20m ．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．。
【精品 教案】北师大版 九年级上册数学《一元二次方程》全章复习与巩固-教师版(基础篇)
《一元二次方程》全章复习与巩固【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.不为0．要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；练习：关于x的方程22(28)(2)10a a x a x--++-=,当a时为一元一次方程；当a时为一元二次方程.【答案】a=4；a≠4且a≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x 1=，x 2=. (4)将方程整理，得(1-)x 2-(1+)x=0 用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x 1=0，x 2=-3-2．练习：解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t ＝1. 【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =．(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0． ∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a ≤1 D ． a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a ≥1．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+g ，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．练习：已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去． ∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．练习：（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少 m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．（2016•新疆）一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2=14 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=14 D ．（x+3）2=43．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A ．2% B ． 5% C ． 10% D ． 20% 4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4 5．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 2 7．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．（2016•连云港）已知关于x 的方程x 2+x+2a ﹣1=0的一个根是0，则a= ．10．（2014秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a = . 12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=g ，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________．15．问题1：设a、b是方程x2＋x－2012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为；问题2：方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1―1）（x2―1）＝；问题3：已知一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根为x1、x2且x1x2（x1＋x2）＝3，则m的值是；问题4：已知一元二次方程x2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X1,X2，且X1+3X2=3,则m 的值是 .16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】A【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△. 8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9.【答案】．【解析】根据题意得：0+0+2a﹣1=0，解得a=．10．【答案】15m，10m；【解析】设留空宽度为xm，则（20﹣2x）（15﹣2x）=20×15×，整理得：2x2﹣35x+75=0，即（2x﹣5）（x﹣15）=0，解得x1=15，x2=2.5，∵20﹣2x＞0，∴x＜10，∴x=2.5，∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a -≠，所以1a =-. 12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++-=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解. 14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x --=的两实数根， ∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-= 15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34.【解析】由于a ，b 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a 2+a-2012=0，然后把a 2+2a+b 可以变为a 2+a+a+b ，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%； 【解析】设该校捐款的平均年增长率是x ，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x ，则个位数字为（5－x ）， 由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x ］=736. 整理,得x 2－5x+6=0,解得x 1=2,x 2=3. 当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m ≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y= －10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
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《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值. 【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m xmx ---=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】 根据题意得22,20,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程时，2m =-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=． 【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=， 即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0， 即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-， 25(3)(3)(3)0x x x --+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式； (2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式， 可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)． 【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0， 即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0， ∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+= （1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ） A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ． 【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根， ∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2， ∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=． 故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在， 请说明理由． 【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>，所以1312k<．由k-1≠0，得k≠1.当1312k<且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则12231kx xk -+=-=-，解得32k=．当32k=时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：10（1+2x）2﹣15（1+x）2=10，解得x1=60%，x2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型．举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。
从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数. 【答案】（1）1000m2；（2）20%.。